ENGENHARIA_ECONMICA_2019-1_-_Apostila_v2013

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Edson de Oliveira Pamplona – http://www.iepg.unifei.edu.br/edson 
José Arnaldo Barra Montevechi – http:// www.iepg.unifei.edu.br /arnaldo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2013 
 
 
2
 
1. Introdução 
2. Matemática financeira 
3. Análise de Alternativas de Investimentos 
4. Análise de Investimento em Situação de Incerteza 
5. Avaliação de Projetos e Negócios 
6 Análise de Investimento em Situação de Risco 
6.1 Probabilidade da Inviabilidade de Investimentos 
6.2 Simulação de Monte-Carlo 
7 Árvores de Decisão 
8 Determinação da Taxa Mínima de Atratividade pelo WACC e CAPM 
Referências Bibliográficas 
Anexo 
Estudos de Caso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
 
 O curso de Engenharia Econômica Avançada visa o aprofundamento nas técnicas 
básicas de Engenharia Econômica, complementando conhecimentos já obtidos em cursos 
introdutórios da área. 
 O objetivo do curso é que o aluno domine as técnicas apresentadas, obtendo uma base 
sólida para tomada de decisão sobre investimentos, considerando todo o ambiente de 
incertezas que cerca este tipo de análise. 
 Aborda-se, inicialmente, a matemática financeira e os critérios de decisão mais 
utilizados, forçando uma revisão do assunto. Com base nestas ferramentas, e nos conceitos de 
depreciação e impostos, os alunos são levados a avaliar projetos e negócios através da 
previsão de fluxos de caixa e de indicadores de métodos DCF como Valor do Negócio, VPL e 
TIR. 
 Passa-se, então, aos métodos para análise de investimentos em condições de risco e 
incerteza. Para enfrentar a incerteza, sempre presente, serão estudados métodos como análise 
de sensibilidade e critérios baseados na teoria dos jogos. 
 O risco será tratado com a utilização de elementos da estatística. O Valor Esperado e o 
risco de VPL’s e TIR’s, a probabilidade de inviabilidade de projetos, a simulação por Monte 
Carlo e árvores de decisão serão vistos. 
 Finalmente, será abordado o Modelo de Precificação de Ativos (CAPM) que pode 
auxiliar no entendimento da inclusão do risco na avaliação de investimentos e na 
determinação da taxa de descontos. 
 
 
 
 
Os autores 
 
 
 
A Matemática Financeira se preocupa com o valor do dinheiro no tempo. E pode-se iniciar o 
estudo sobre o tema com a seguinte frase: 
 
“NÃO SE SOMA OU SUBTRAI QUANTIAS EM DINHEIRO QUE NÃO ESTEJAM NAS 
MESMAS DATAS” 
Embora esta afirmativa seja básica e simples, é absolutamente incrível como a maioria das 
pessoas esquece ou ignoram esta premissa. E para reforçar, todas as ofertas veiculadas em 
jornais reforçam a maneira errada de se tratar o assunto. Por exemplo, uma TV que à vista é 
vendida por R$5000,00 ou em 6 prestações de R$1000,00, acrescenta-se a seguinte 
informação ou desinformação: total a prazo R$6000,00. O que se verifica que se somam os 
valores em datas diferentes, desrespeitando o princípio básico, citado acima, e induzindo a se 
calcular juros de forma errada. Esta questão será mais bem discutida em item deste capítulo. 
 
Uma palavra que é fundamental nos estudos sobre matemática financeira é JUROS. Para 
entendermos bem o significado desta palavra vamos iniciar observando a figura II.1 . Cada um 
dos fatores de produção é remunerado de alguma forma. Como se pode entender, então, os 
juros é o que se paga pelo custo do capital, ou seja, é o pagamento pela oportunidade de poder 
dispor de um capital durante determinado tempo. A propósito estamos muito acostumados 
com "juros", lembrem dos seguintes casos: 
 
1. Compras a crédito; 
2. Cheques especiais; 
3. Prestação da casa própria; 
4. Desconto de duplicata; 
5. Vendas a prazo; 
6. Financiamentos de automóveis; 
7. Empréstimos. 
 
Como se pode ver o termo é muito familiar se lembrarmos do nosso dia a dia. Podemos até 
não nos importar com a questão, mas a pergunta que se faz é: o quanto pagamos por não 
considerarmos adequadamente a questão? E concluindo, nota-se a correspondência entre os 
termos "juros" e "tempo", que estão intimamente associados. 
 
A seguir será discutido o que são juros simples e juros compostos, além de outros pontos 
importantes em matemática financeira. 
 
Ao se calcular rendimentos utilizando o conceito de juros simples, tem-se que apenas o 
principal, ou seja, o capital inicial, rende juros. O valor destes juros pode ser calculado pela 
seguinte fórmula: 
 
 
 5
J = P . i . n 
onde: 
 
 P = principal 
 J = juros 
 i = taxa de juros 
 n = número de períodos 
 
O valor que se tem depois do período de capitalização, chamado de valor futuro (F), pode ser 
calculado por: 
 
F = P + J 
F = P + P.i.n 
F = P(1 +i.n) 
 
A fórmula acima é pouco utilizada, porque na maioria dos cálculos em matemática financeira 
usam-se juros compostos que será discutido a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura II.1 - Fatores da produção considerados em economia 
 
 6
 
Com juros compostos, no final de cada período, o juro é incorporado ao principal ou capital, 
passando assim a também render juros no próximo período. Podemos deduzir a expressão da 
seguinte maneira: 
 
 No primeiro período: 
 
 F1 = P + P . i = P . (1 + i) 
 
 No segundo período: 
F2 = F1 + F1 . i = F1 . ( 1 + i) = P . (1 + i).(1 + i) = P . (1 + i)2 
 
 No terceiro período: 
F3 = F2 + F2.i = F2 . (1 + i) = P . (1 + i)2. (1 + i) = P . (1 + i)3 
 
Se generalizarmos para um número de períodos igual a n, tem-se a expressão geral para 
cálculo de juros compostos, dada por: 
 
F = P . (1 + i)n 
 
A fórmula acima é muito utilizada, e através dela pode-se constatar que para o primeiro 
período o juro simples é igual ao juro composto. 
 
EXEMPLO II.1 - Para um capital de R$ 100.000,00 colocado a 20% a.a. durante 3 anos, 
qual o valor futuro para os casos de considerarmos juros simples e juros compostos? 
 
FIM DO ANO JUROS SIMPLES 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
 O 
 1 
 2 
 3 
 
EXEMPLO II.2 - Vamos fazer uma aplicação em CDB de R$ 30.000 a uma taxa de 1,4 % 
para um período de 1 ano. Qual o valor dos juros? Quais os juros líquidos, se o IR é de 20%? 
Qual o valor da rentabilidade líquida mensal? Em relação à poupança esta aplicação é 
interessante 
 
 
 
 
 
 7
 
É a representação gráfica do conjunto de entradas (receitas) e saída (despesas) relativo a certo 
intervalo de tempo. Um exemplo de fluxo de caixa pode ser visto na figura II.2. 
 
 
 
 
Figura II.2 - Fluxo de caixa 
 
 
A engenharia econômica vai trabalhar com gráficos do tipo da figura II.2, assim como os 
fundamentos da matemática financeira. 
 
Os gráficos de fluxo de caixa devem ser feitos do ponto de vista de quem faz a análise. Para 
entender este conceito, vamos imaginar que uma máquina custa R$ 20.000,00 à vista ou 5 
prestações de R$ 4.800,00. Para a venda a vista o fluxo de caixa é diferente do ponto de vista 
do comprador para o do vendedor, isto pode ser visto na figura II.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura II.3 - Fluxo de caixa sobre diferentes pontos de vista 
4.800,00 
20.000,00 
 0 1 2 3 4 5 
0 1 2 3 4 5 
20.000,00 
4.800,00 
comprador 
vendedor 
 
 8
 
As relações de equivalência permitem a obtenção de fluxos de caixa que se equivalem no 
tempo. Para calcular as relações uma ferramenta que é muito utilizada é o Excel. 
 
A simbologia que será utilizada é: 
 
 i = taxa de juros por período de capitalização; 
 n = número de períodos a ser capitalizado; 
 VP = quantia de dinheiro na data de hoje; 
 VF = quantia de dinheiro no futuro; 
 PGTO = série uniforme de pagamento. 
 
Esta relação de equivalência pode ser entendida pela a observação da figura II.4 a seguir.Figura II.4 - Equivalência entre P e F 
 
O valor VF pode ser obtido por: 
VF = VP. (1 + i)n 
 
O fator (1 + i)n é chamado de fator de acumulação de capital de um pagamento simples. 
 
Para achar VP a partir de VF, o princípio é o mesmo apresentado no caso anterior. A 
expressão analítica é: 
 
VP = VF/(1 + i)n 
 
O fator 1/(1 +i)n é chamado de valor atual de um pagamento simples. 
 
 
EXEMPLO II.3 - Conseguiu-se um empréstimo de R$ 10.000,00 em um banco que cobra 
5% ao mês de juro. Quanto deverá ser pago se o prazo do empréstimo for de cinco meses? 
 
 
 
 
 
0 1 2 n 0 1 2 n 
VP 
VF 
Dado VP Achar VF 
 
 9
EXEMPLO II.4 - Uma aplicação financeira de R$ 200.000,00 rendeu após 7 meses o valor 
de R$ 300.000,00. Qual a taxa mensal "média" de juros desta aplicação? 
 
 
 
 
 
EXEMPLO II.5 - Uma aplicação de R$ 200.000,00 efetuada em uma certa data produz, à 
taxa composta de juros de 8% ao mês, um montante de R$370.186,00 em certa data futura. 
Calcular o prazo da operação. 
 
 
 
 
 
Esta relação de equivalência pode ser entendida pela a observação da figura II.5 a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura II.5 - Equivalência entre PGTO e VP 
 
 
Para se calcular VP a partir de PGTO, pode-se deduzir a seguinte expressão: 
 
VP = PGTO (1 +i) -1 + PGTO (1 + i) -2 + PGTO (1 +i) -3 + ..... + PGTO (1 +i) -n 
 
VP = PGTO [(1 + i) -1 + (1 + i) -2 + (1 +i) -3 +..... + (1 +i) -n] 
 
Nota-se que o termo que multiplica A é o somatório dos termos de uma PG, com número 
limitado de elementos, de razão (1+ i)-1. A soma dos termos pode ser calculada pela seguinte 
expressão: 
 
r - 1
.rna - 1a = nS
 
Que resulta em: 
0 1 2 n 0 1 2 n 
VP 
 
dado PGTO achar VP 
PGTO 
 
 10
 
i .i)+(1
n
1 - i)(1
n
 PGTO = VP 
 
 
 
Das expressões que relacionam VP e PGTO, pode-se chegar à maneira de se calcular PGTO 
a partir de VP. Esta relação é dada por: 
 
 
1 )i+1(
n
i . )i1(
n
 VP = PGTO 
 
EXEMPLO II.6 - Um empresário pretende fazer um investimento no exterior que lhe 
renderá US$ 100.000 por ano, nos próximos 10 anos. Qual o valor do investimento, sabendo-
se que o empresário trabalha com taxa de 6% ao ano? 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO II.7 - O que é mais interessante, comprar uma TV LED por R$ 4.000,00 à vista, 
ou R$ 4.410,00 em 3 vezes, sendo a primeira prestação no ato da compra? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO II.8 - Vale a pena pagar à vista com 20% de desconto ou a prazo em 3 
pagamentos iguais, sendo o primeiro hoje? 
 
 
 
 
 
 
 
 11
EXEMPLO II.9 - Calcular a prestação de um financiamento de valor de R$2.000,00 com 8 
pagamentos iguais, considerando uma taxa de 13 % ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta relação de equivalência pode ser entendida pela a observação da figura II.6 a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura II.6 - Equivalência entre PGTO e VF 
 
Para se calcular VF a partir de PGTO, pode-se deduzir a seguinte expressão: 
 
VF = PGTO + PGTO (1 +i) 1 + PGTO (1 + i) 2 + PGTO (1 +i) 3 + ... + PGTO (1 +i) n -1 
 
VF = PGTO [ 1 + (1 + i) 1 + (1 + i) 2 + (1 +i) 3 + ..... + (1 +i) n - 1] 
 
Nota-se que o termo que multiplica PGTO é o somatório dos termos de uma PG, semelhante 
a relação entre VP e PGTO vista antes, com número limitado de elementos, de razão (1+ i) 1. 
A soma dos termos calculada pela fórmula de somatório dos termos de uma PG finita leva a 
seguinte expressão: 
 
i 
1 - i)(1
n
 PGTO =VF 
 
 
0 1 2 n 0 1 2 n 
 
 
Dado PGTO Achar VF 
PGTO 
VF 
 
 12
Das expressões que relacionam VF e PGTO, pode-se chegar a maneira de se calcular PGTO a 
partir de VF. Esta relação é dada por: 
 
 
1 i)+(1
n
i
 VF= PGTO 
 
 
 
EXEMPLO II.10 - Quanto deve-se depositar anualmente numa conta a prazo fixo que paga 
juros de 12% ao ano, para se ter R$ 500.000,00 daqui a 14 anos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estas séries também chamadas infinita ou custo capitalizado tem estes nomes devido a 
possuírem um grande número de períodos. Este é um fato comum em aposentadorias, 
mensalidades, obras públicas, etc... 
 
O valor presente da série uniforme infinita é: 
 
i .i)+(1
n
1 - i)(1
n
 PGTO = VP 
i .i)+(1
n
1 - i)(1
n
 PGTO lim n= VP 
 
 
i
1
 PGTO. = P V 
.ii) + (1
n
1
 
i
1
 lim n PGTO = VP
 
 
 
 13
EXEMPLO II.11 - Quanto deverei depositar em um fundo com a finalidade de receber para 
sempre a importância anual de R$ 12.000,00 considerando ser a taxa anual de juros igual a 
10%? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO II.12 - Qual a menor quantia que um grupo deve cobrar hoje, para dar uma renda 
anual de R$ 6.000? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Taxa efetiva de juros é aquela em que a unidade de tempo coincide com a unidade do período 
de capitalização. Como exemplo pode-se pensar 140 % ao ano com capitalização anual, esta é 
uma taxa efetiva, pois há coincidência entre as unidades de tempo da taxa e o período de 
capitalização. Outro exemplo de taxa efetiva é 10% ao mês com capitalização mensal, que da 
mesma maneira é uma taxa efetiva. 
 
A taxa efetiva é que tem de ser utilizada na maioria dos cálculos em matemática financeira e 
engenharia econômica, por isto tem de estar muito claro seu significado e a equivalência entre 
ela e outras maneiras de se apresentar taxas de juros. 
 
Vejamos primeiramente a equivalência entre duas taxas efetivas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
12)miVP(1= VF (1) 
 
0 1 2 12 meses 
VP 
VF 
 
 14
 
 
 
 
 
 
 
1)AiVP(1= VF (2) 
Como (1) = (2), tem-se que: 
 
)Ai + 1 (
1
 = )mi (1
12
 
 
Do mesmo modo, pode-se relacionar: 
 
)si + (1
2
 = )Ai + 1 (
1
 = )mi (1 = )di + (1
360 12 
 
 
A taxa nominal, ao contrário da efetiva, a unidade de tempo da taxa é diferente do tempo do 
período de capitalização. Como exemplo, pode-se pensar nos seguintes casos, 120% ao ano 
com capitalização mensal ou 15% ao mês com capitalização anual. É preciso tomar cuidado 
com o uso deste tipo de taxa em cálculos, freqüentemente ela é imprópria para o uso, e então é 
necessário convertê-la para uma efetiva correspondente. Existe confusão quanto a esta taxa, e 
muitas vezes são usadas para mascarar realmente qual a taxa de juros que esta envolvida no 
empreendimento. 
 
Para converter taxa nominal em efetiva pode-se utilizar o seguinte raciocínio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) + VP(1=VF
m
 (3) 
 
 
 
 
 
 
 
0 1 2 m 
VP 
VF 
0 1 ano 
0 1 
P 
VP 
F 
VF 
 
 15
 
iE)+ VP(1=VF (4) 
 
Como iN = i x m e (3) = (4), tem-se: 
 
1 - 
m
iN
 + 1
m
 = iE
1 - i) + (1
m = iE
iE) + (1 i) + (1
m
 
 
Com a expressão acima se pode converter uma taxa nominal em uma efetiva. 
 
Um cuidado importante quanto a estas taxas apresentadas, é o entendimento do conceito que 
esta por trás de cada uma. Na literatura existente e no próprio mercado financeiro existem 
diferenças quanto à nomenclatura. O que é necessário estar certo na hora de se fazer um 
cálculo é se o tempo da taxa coincide com seu período de capitalização. 
 
EXEMPLO II.13 - A taxa do sistema financeirohabitacional é de 12% ao ano com 
capitalização mensal, portanto é uma taxa nominal, achar a efetiva correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO II.14 - A taxa da poupança é de 6% ao ano com capitalização mensal, portanto é 
uma taxa nominal, achar a efetiva correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO II.15 - Qual o juro de R$ 2.000,00 aplicados hoje, no fim de 3 anos, a 20 % ao 
ano capitalizados mensalmente? 
 
 
 
 
 
 
 
 16
EXEMPLO II.16 - Qual a taxa efetiva anual equivalente a 15% ao ano capitalizados 
trimestralmente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO II.17 - Calcular as taxas efetivas e nominal anual, correspondente a 13% ao mês? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO II.18 - Peço um empréstimo de R$ 1.000,00 ao banco. Cobra-se 
antecipadamente uma taxa de 15% sobre o valor que é entregue já líquido, e depois de um 
mês paga-se R$ 1.000,00. Qual a taxa efetiva de juros deste empréstimo? 
 
 
 
 
 
 
 
 17
 
 
 
Após a classificação dos projetos tecnicamente corretos é imprescindível que a escolha 
considere aspectos econômicos. E é a engenharia econômica que fornece os critérios de 
decisão, para a escolha entre as alternativas de investimento. 
Infelizmente, nem todos os métodos utilizados são baseados em conceitos corretos. Por esta 
razão é muito importante ter cuidado com uso de alguns destes métodos, e principalmente, 
conhecer suas limitações. 
 
Um dos métodos, que é muito utilizado, e que possui limitações do ponto de vista conceitual é 
o PAY-BACK ou método do tempo de recuperação do investimento. O método do PAY-
BACK consiste simplesmente na determinação do número de períodos necessários para 
recuperar o capital investido, ignorando as conseqüências além do período de recuperação e o 
valor do dinheiro no tempo. Normalmente é recomendado que este método seja usado como 
critério de desempate, se for necessário após o emprego de um dos métodos exatos. 
Neste curso serão estudados três métodos de avaliação, que convenientemente aplicados dão o 
mesmo resultado e formam a base da engenharia econômica. Estes métodos são exatos e não 
apresentam os problemas observados, por exemplo, no PAY-BACK. Os métodos são: 
 
 Método do valor presente líquido (VPL); 
 Método do valor anual uniforme (VA); 
 Método da taxa interna de retorno (TIR). 
 
Estes métodos são equivalentes e indicam sempre a mesma alternativa de investimento, que é 
a melhor do ponto de vista econômico. Embora indicarem o mesmo resultado, existe é claro 
vantagens e desvantagens um em relação ao outro, e que serão comentadas ao longo do curso. 
 
 
É o método que avalia o tempo de recuperação do investimento. Em sua versão mais simples, 
o chamado Pay Back simplificado, apenas considera-se quantos períodos a receita levará para 
igualar o investimento. Por exemplo, para o fluxo de caixa da figura III.1, a receita iguala o 
investimento de $1000 no período 3, assim o Pay Back deste investimento é de 3 anos. O erro 
deste método esta no fato de se somar valores que não estão na mesma data, o que como foi 
 
 18
mostrado no capítulo anterior, sobre matemática financeira, não é correto. Assim, deve-se ter 
muito cuidado com a resposta e seu uso como principal critério de decisão é questionável. 
 
 
Figura III.1 – Fluxo de caixa, com período de Pay Back de 3 anos 
 
 
Os métodos de avaliação que serão apresentados, para efeito de avaliar méritos de alternativas 
para investimento, apresentam como principal característica o reconhecimento da variação do 
valor do dinheiro no tempo. Este fato evidência a necessidade de se utilizar uma taxa de juros 
quando a análise for efetuada através de um deles. A questão é definir qual será a taxa a ser 
empregada. 
 
A TMA é a taxa a partir da qual o investidor considera que está obtendo ganhos financeiros. 
Existem grandes controvérsias quanto a como calcular esta taxa. Alguns autores afirmam que 
a taxa de juros a ser usada pela engenharia econômica é a taxa de juros equivalente à maior 
rentabilidade das aplicações correntes e de pouco risco. Uma proposta de investimento, para 
ser atrativa, deve render, no mínimo, esta taxa de juros. 
 
Outro enfoque dado a TMA é a de que deve ser o custo de capital investido na proposta em 
questão, ou ainda, o custo de capital da empresa mais o risco envolvido em cada alternativa de 
investimento. Naturalmente, haverá disposição de investir se a expectativa de ganhos, já 
deduzido o valor do investimento, for superior ao custo de capital. Por custo de capital, 
entende-se a média ponderada dos custos das diversas fontes de recursos utilizadas no projeto 
em questão. 
 
 
O valor do negócio é o valor presente dos fluxos de caixa futuros. A idéia deste valor é 
ilustrada na figura III.2. Como se pode ver não se considera o investimento, vai se calcular na 
data 0 o valor dos fluxos de caixa futuros. 
 
 
 19
 
Figura III.2 - valor do negócio (V Negocio) 
 
 
 
O método do valor presente líquido, também conhecido pela terminologia método do valor 
atual, caracteriza-se, essencialmente, pela transferência para o instante presente de todas as 
variações de caixa esperadas, descontadas à taxa mínima de atratividade. Em outras palavras, 
seria o transporte para a data zero de um diagrama de fluxos de caixa, de todos os 
recebimentos e desembolsos esperados, descontados à taxa de juros considerada. 
Se o valor presente for positivo, a proposta de investimento é atrativa, e quanto maior o valor 
positivo, mais atrativa é a proposta. 
 
A idéia do método é mostrada esquematicamente, na figura III.3. 
 
 
 
Figura III.3 - Valor presente líquido (VPL) 
 
 20
 
Este método caracteriza-se pela transformação de todos os fluxos de caixa do projeto 
considerado, numa série uniforme de pagamentos, indicando desta forma o valor do benefício 
líquido, por período, oferecido pela alternativa de investimento. É também chamado de valor 
anual uniforme. A idéia do método é mostrada na figura III.4. 
 
Como geralmente, em estudos de engenharia econômica a dimensão do período considerado 
possui magnitude anual, foi convencionada a adoção da terminologia Valor anual. 
 
O projeto em análise só será atrativo se apresentar um benefício líquido anual positivo, e entre 
vários projetos, aquele de maior benefício positivo será o mais interessante. 
 
 
Figura III.4 - Valor anual (VA) 
 
 
 
Por definição, a taxa interna de retorno de um projeto é a taxa de juros para a qual o valor 
presente das receitas torna-se igual aos desembolsos. Isto significa dizer que a TIR é aquela 
que torna nulo o valor presente líquido do projeto. Pode ainda ser entendida como a taxa de 
remuneração do capital. A figura III.5 explica o método. 
 
A TIR deve ser comparada com a TMA para a conclusão a respeito da aceitação ou não do 
projeto. Uma TIR maior que a TMA indica projeto atrativo. Se a TIR é menor que a TMA, o 
projeto analisado passa a não ser mais interessante. 
 
 
 
 
 21
 
 
Figura III.5 – Taxa interna de retorno (TIR) 
 
 
 
EXEMPLO III.1 – Responder as questões do problema colocado na figura III.6. 
 
 
 
 
Figura III.6 – Exemplo III.1 
 
 
 
 22
EXEMPLO III.2 – Caso de uma termoelétrica a gás. 
 
Uma empresa do setor de energia estuda um investimento em uma termelétrica a gás de 350 
MW e levantou os seguintes dados: 
 
• Investimento $ 500.000,00 por MW instalado 
• Produção de energia 2.800.000 MWh por ano 
• Preço da energia elétrica produzida $30,00 por MWh 
• Custos de Operação e Manutenção $ 4,00 por MWh 
• Outros Custos (Transporte de energia, etc.) $ 1.000.000,00 por ano 
• Consumo de gás 500.000.000 m3 por ano 
• Custo do gás $ 0,06 por m3 
 
O horizonte de planejamento é de 20 anos, após os quais a termelétrica será vendida por $35 
milhões. 
 
Se a TMA da empresa éde 15% ao ano, qual é o Valor do Negócio e o VPL? 
O negócio é viável? 
 
 
 
 
 23
EXEMPLO III.3 – Numa análise realizada em determinada empresa, foram detectados 
custos operacionais excessivamente elevados numa linha de produção, em decorrência da 
utilização de equipamentos velhos e obsoletos. 
 
Os engenheiros responsáveis pelo problema propuseram à gerência duas soluções alternativas. 
A primeira consistindo numa reforma geral da linha, exigindo investimentos estimados em $ 
10.000, cujo resultado será uma redução anual de custos igual a $ 2.000 durante 10 anos, após 
os quais os equipamentos seriam sucatados sem nenhum valor residual. A segunda proposição 
foi à aquisição de uma nova linha de produção no valor de $ 35.000 para substituir os 
equipamentos existentes, cujo valor líquido de revenda foi estimado a $ 5.000. Esta alternativa 
deverá proporcionar ganhos de $ 4.700 por ano, apresentando ainda um valor residual de $ 
10.705 após dez anos. 
 
Sendo a TMA para a empresa igual a 8% ao ano, qual das alternativas deve ser preferida pela 
gerência? Calcular VPL, VA e TIR e interpretar os resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24
Da solução do exemplo III.3 cabe uma reflexão. Através da análise pura dos resultados qual a 
melhor opção? Vamos colocar os resultados do VPL, VA e TIR, na tabela a seguir. 
 
 VPL VA TIR 
REFORMA 
COMPRA 
 
Como falado anteriormente, os métodos sempre indicam a melhor alternativa de investimento, 
do ponto de vista econômico. 
 
As duas taxas de retorno do problema são superiores à taxa mínima de atratividade, portanto 
são propostas atrativas. Como a TIR da reforma é maior que alternativa de compra, deveria ser 
dada preferência à primeira, contrariando o resultado obtido pelos dois métodos anteriores. 
 
Entretanto o procedimento correto da análise indica que se deve fazer um exame da taxa 
interna de retorno calculada para o fluxo da diferença entre os investimentos das propostas. 
 
No caso do exemplo, será melhor aplicar $30.000 na alternativa de compra obtendo um 
retorno de 12% a.a. ou será mais interessante investir $ 10.000 na alternativa de reforma com 
um retorno de 15,1% e os $20.000 de diferença à taxa mínima de atratividade? 
 
A análise incremental é um complemento necessário ao método da taxa interna de retorno na 
medida em que se responde a este tipo de dúvida. 
 
 
No caso de alternativas de investimento mutuamente exclusivas deve-se examinar a taxa de 
retorno obtida no acréscimo de investimento de uma em relação à outra. Sempre que esta taxa 
for superior à TMA, o acréscimo é vantajoso, isto faz com que a proposta escolhida não seja 
necessariamente a de maior taxa de retorno. Entretanto, para proceder à análise incremental 
deve-se certificar de que as propostas tenham TIR maior que a TMA. 
 
 
EXEMPLO III.4 – Aplicar para o exemplo III.3 a análise incremental. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 25
 
Na maioria dos fluxos de caixa, há apenas uma mudança no sinal, isto é, o investimento 
inicial (sinal negativo) geralmente resulta numa seqüência de rendas líquidas ou economias de 
custo (sinais positivos). Essa situação normalmente leva a uma única solução. 
 
Entretanto, se ocorrer mais que uma inversão no sinal surgirá outras taxas de retorno. Em 
álgebra, a regra de sinais de Descartes afirma que poderá haver tantas raízes positivas, quantas 
são as mudanças na direção do sinal do fluxo de caixa. 
 
Para entender o problema, consideremos o fluxo de caixa a seguir. 
 
 
1.600
10.000
10.000
0 1 2
diagrama de fluxo de caixa
 
 
 
O equacionamento que permite o cálculo das taxas é: 
 
0 = 1.600 - 10.000 x (1+ i)-1 + 10.000 x (1 +i)-2 
 
Resolvendo esta equação chega-se a dois resultados, o primeiro é i = 25% e o segundo é i = 
400%, que não apresentam significado econômico nenhum. 
 
Uma resolução apropriada para este problema requer a consideração de uma taxa de juros 
auxiliar. Por exemplo, para o fluxo anterior considera-se que os $1.600 do período 0 sejam 
reinvestidos a uma taxa auxiliar de 20% por um período. A taxa auxiliar pode ser a TMA. 
Desta forma o fluxo de caixa passará a ter apenas uma inversão de sinal, conforme se pode 
observar a seguir. 
 
 
 26
-10.000+1.600x(1+0,2) = - 8.080
10.000
0 1 2
diagrama de fluxo de caixa
 
 
 
O equacionamento que permite o cálculo da taxa é: 
 
0 = -8.080 + 10.000 x (1+ i)-1 
 
 
Resolvendo esta equação chega-se a apenas um resultado, sendo i = 23,8%. 
 
 
 
 
Existe casos em que se torna necessário decidir entre propostas de investimento cujos 
horizontes de planejamento são diferentes. Por exemplo, considere a comparação entre duas 
propostas com duração estimadas de 6 e 12 anos. Como será aplicado o capital disponível 
depois do término do projeto mais curto, durante o período compreendido entre os términos 
de ambos os projetos? 
 
A solução válida para este problema requer que todas as conseqüências das alternativas sejam 
levadas para um horizonte de planejamento comum. Supõe-se, por exemplo, que se admita a 
alternativa mais curta poder ser substituída ao fim de seis anos por outra idêntica. 
 
O procedimento comumente adotado para o caso de vidas diferentes é o seguinte: 
 
 Calcula-se o mínimo múltiplo comum das vidas das alternativas propostas; 
 Repetem-se os fluxos tantas vezes até atingir este tempo. 
 
Desta maneira comparam-se alternativas de diferentes durações numa base temporal 
uniforme. 
 
 27
O método do valor anual uniforme implicitamente já considera a repetição do investimento, 
tornando desnecessária a utilização do procedimento mencionado. 
 
 
EXEMPLO III.5 - Uma certa operação pode ser executada satisfatoriamente tanto pela 
máquina X como pela máquina Y. Os dados pertinentes às duas alternativas são os seguintes: 
 
 MÁQUINA X MÁQUINA Y 
Custo inicial $ 6.000 $ 14.000 
Valor residual 0 20% do custo inicial 
Vida de serviço em anos 12 18 
Despesas anuais $ 4.000 $ 2.400 
 
Comparar as alternativas, pelo método do valor presente, supondo uma taxa mínima de 
atratividade de 12% ao ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pode-se lidar com alternativas que são mutuamente exclusivas no sentido que apenas uma, das 
várias alternativas disponíveis, é necessária para preencher uma dada função, todas as outras 
se tornam supérfluas. Outro tipo de exclusividade mútua refere-se ao caso em que uma ou 
mais das alternativas podem ser aceitas, mas, devido às limitações de capital, nem todas as 
alternativas podem ser aceitas. Chama-se ao primeiro caso de exclusividade mútua 
"Financeira". 
Geralmente a cada ano as empresas elaboram uma relação de futuros investimentos, 
denominada "Orçamento de capital". Um fato que freqüentemente ocorre nestas ocasiões é a 
limitação de recursos para financiar todas as solicitações provenientes das diversas gerências. 
A existência de restrições financeiras coloca a alta administração diante da necessidade de 
 
 28
selecionar aquele conjunto de alternativas, o pacote orçamentário, economicamente mais 
interessante, cuja demanda por recursos não supera o volume disponível. 
 
EXEMPLO III.6 – Suponha que uma ou mais das propostas apresentadas na tabela a seguir 
podem ser aceitas porque não são tecnicamente equivalentes, isto é, cada uma desempenha 
função diferente. 
 
 
Alternativa Investimento 
inicial 
Benefícios 
anuais 
Valor presente Taxa interna 
de retorno 
A 10.000 1.628 1.982 10% 
B 20.000 3.116 2.934 9% 
C 50.000 7.450 4.832 8% 
 
 
SUPOSIÇÕES: a vida esperada de cada proposta é de 10 anos. O valor residual esperado de 
cada proposta é zero. A TMA é de 6% ao ano. O capital total disponível para o investimento é 
de $ 75.000.29
 
O valor presente de uma série anual uniforme perpétua é conhecido como custo capitalizado. 
Sabe-se que: 
 
i .i)+(1
n
1 - i)(1
n
 PGTO = VP 
 
 Para n tendendo para o infinito: 
 
i .i)+(1
n
1 - i)(1
n
 PGTO lim n= VP 
 
 
i
1
 . PGTO = P V 
.ii) + (1
n
1
 
i
1
 lim n PGTO = VP
 
EXEMPLO III.7 – Seja um apartamento que possua as seguintes características: 
 
 investimento inicial = $ 100.000; 
 vida do projeto = infinita; 
 valor mensal de aluguel menos gastos do proprietário = $ 650; 
 TMA = 1% ao mês. 
 
Calcular o Valor Econômico do Apartamento na data zero. 
Verificar a viabilidade do investimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30
 
1) Numa análise das oportunidades para redução de custos efetuada pelo departamento de 
transporte de uma usina siderúrgica foi detectada a possibilidade de atingir-se tal objetivo, 
substituindo-se o uso de caminhões alugados, para transporte de produtos em processamento 
na área de laminação, por conjunto de tratores e carretas. 
 
Se implementada a modificação, deverá haver uma redução anual de despesas da ordem de $ 
350.000 correspondentes ao aluguel pago pelo uso de caminhões. 
Um estudo de simulação realizado determinou a necessidade de adquirirem-se dois tratores e 
cinco carretas, totalizando um investimento de $ 350.000. 
 
Os custos de mão de obra, combustível e manutenção foram estimados em $ 200.000 no 
primeiro ano, aumentando anualmente $ 5.000, devido à elevação do custo de manutenção, 
proporcionado pelo desgaste dos veículos. 
 
Considerando-se a TMA da empresa igual a 8% ao ano, verificar a viabilidade da preposição, 
levando-se em conta que a vida econômica estimada para os equipamentos foi de cincos anos 
com valor residual nulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31
2) Determinada indústria pretende comprar uma máquina que custa $43.400 e estimou o 
seguinte fluxo de caixa: 
 
ANOS 0 1 2 3 ... 8 9 10 
Valores -43.400 10.000 9.000 8.000 ... 3.000 2.000 11.000 
 
Há uma previsão de aumento de lucro de $ 10.000 ao final do primeiro ano, $ 9.000 no 
segundo e assim sucessivamente. Ao final de 10 anos o equipamento poderá ser vendido por $ 
10.000. Admitindo uma TMA de 6% ao ano, especifique as equações que permitam, com 
auxílio das tabelas, calcular o valor presente liquido do fluxo de caixa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 32
3) Duas escavadeiras estão sendo consideradas para a compra por uma empresa construtora, a 
GIANT e a TROJAN. Ambas tem capacidade requerida, mas a GIANT é considerada mais 
maciça que a TROJAN e acredita-se que terá vida mais longa. As estimativas dos aspectos 
que serão influenciados pela escolha são as seguintes: 
 
 TROJAN GIANT 
Custo inicial da entrega $40.000 $60.000 
Custo de manutenção no primeiro 
ano 
$8.000 $5.000 
Acréscimo anual no custo de 
manutenção durante a vida da 
máquina 
$800 $400 
Vida econômica 4 anos 6 anos 
Valor residual $4.000 $6.000 
 
 
A máquina TROJAN requererá uma revisão custando $ 5.000 ao final do segundo ano. A 
máquina GIANT requererá uma revisão custando $ 4.000 ao final do terceiro ano. 
Compare os valores presentes usando uma TMA de 15% ao ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33
4) Resolver o problema anterior pelo critério do valor anual uniforme. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34
5) Planeja-se construir um edifício de 3 andares. É esperado que alguns anos mais tarde, mais 
3 andares deverão ser construídos. Dois projetos foram feitos: 
 
Projeto A: é um projeto convencional para um edifício de 3 andares. O custo é de $ 420.000. 
Projeto B: projeto para 6 andares, mas serão construídos somente 3, por enquanto. O custo 
inicial deste projeto é de $490.000. 
Com o projeto A serão gastos $500.000 para aumentar mais 3 andares numa data futura. 
Com o projeto B se gastará somente $400.000 pelo aumento de mais 3 andares. 
A vida dos edifícios é de 60 anos, com valor residual nulo. 
 
Os custos de manutenção serão $1.000 por ano mais barato no projeto B que no projeto A, 
durante 60 anos. Outras despesas anuais, inclusive seguro, serão as mesmas para os dois 
projetos. Com taxas de descontos de 3% ao ano, qual a data do aumento de mais 3 andares 
que justifica a escolha do projeto B? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 35
6) Uma empresa está considerando dois planos alternativos para a construção de um muro ao 
redor de sua nova fábrica. Uma cerca como um "galinheiro" de aço galvanizado requer um 
custo inicial de $ 35.000 e custos anuais estimados de manutenção de $300. A vida esperada é 
de 25 anos. Uma parede de concreto requer um custo inicial de apenas $ 40.000, mas 
necessitará reparos pequenos a cada 5 anos a um custo de $ 1.000 e reparos maiores a cada 10 
anos a um custo de $ 5.000. Supondo-se uma taxa de juros de 10% ao ano, e uma vida 
perpétua, determinar: 
 a) o valor presente dos dois planos; 
 b) o custo anual equivalente para os dois planos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 36
7) Os projetos X e Y são duas propostas mutuamente exclusivas. O projeto X requer um 
investimento presente de $ 250.000. As receitas anuais estimadas para 25 anos são de $ 
88.000. As despesas anuais estimadas, sem o imposto de renda, são $ 32.000. O imposto de 
renda anual estimado é de $ 24.000. O projeto Y requer um investimento presente de $ 
350.000. As receitas anuais estimadas para 25 anos são de $ 100.000. As despesas anuais 
estimadas, sem o imposto de renda são $ 40.000. Imposto de renda anual estimado: $ 24.000. 
Em cada projeto é estimado um valor residual de $ 50.000 ao final dos 25 anos. Assumindo 
uma TMA depois do imposto de renda de 9% ao ano, faça os cálculos necessários para 
determinar qual dos projetos é recomendado pelo critério da taxa interna de retorno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37
8) Elabore o gráfico: valor presente X taxa de desconto, e comente a respeito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38
9) Um fabricante de peças esta analisando uma modificação em seu processo de produção. 
Duas alternativas estão em consideração, sendo que ambas exigem a realização de inversões, 
resultando, em contrapartida, em redução dos atuais custos de produção. Cada uma das 
alternativas apresenta as seguintes características: 
 
 Alternativa A Alternativa B 
custo inicial $ 10.000 $ 15.000 
redução anual de custos $ 2.400 $ 2.700 
valor residual nulo nulo 
vida econômica 8 anos 8 anos 
 
 A alternativa A exigirá, contudo, após 5 anos de utilização, uma inversão adicional de $ 
5.000 destinada a promover uma modificação no projeto original. 
 
Sendo o custo do capital para a empresa igual a 7% ao ano, verificar qual das alternativas é 
mais atrativa. Utilizar o método da taxa interna de retorno e admitir que, para fazer face ao 
desembolso no quinto ano de operação da alternativa A, será constituído um fundo de reserva 
a partir da capitalização de depósitos anuais iguais durante os cinco anos, a uma taxa de 10% 
ao ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39
10) Uma empresa esta considerando a compra de um pequeno computador para seu 
departamento de pesquisas. Várias alternativas mutuamente exclusivas estão em estudo.As 
estimativas relativas a cada uma são: 
 
Computador Custo inicial do 
computador $ 
Valor residual 
estimado $ 
Economia anual líquida 
resultante do novo 
computador X condições 
existentes 
A 280.000 240.000 46.000 
B 340.000 280.000 56.000 
C 380.000 310.000 62.000 
D 440.000 350.000 72.000 
 
 A empresa pretende manter o computador durante 10 anos, época em que será 
vendido. 
 Se a TMA é de 15% ao ano, usar o método do valor presente para determinar que 
alternativa deve ser escolhida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40
11) Usar o método da taxa de retorno para selecionar dentre as alternativas descritas no 
problema 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 41
12) Um superintendente está estudando as seguintes propostas de investimentos que foram 
recebidas dos departamentos (E) produção, (F) controle da qualidade e (G) expedição: 
 
Proposta Investimento inicial ($) Excesso anual de 
recebimentos sobre 
despesas ($) 
E1 2.000 275 
E2 4.000 770 
F1 4.000 1.075 
F2 8.000 1.750 
G1 4.000 1.100 
 
As propostas E1 e E2 são mutuamente exclusivas por razões técnicas; F1 e F2 são também 
mutuamente exclusivas. Cada uma das alternativas tem vida esperada de 10 anos e valor 
residual zero. A firma adota uma TMA de 10% ao ano. 
 
a) Que propostas devem ser recomendadas se o capital para o investimento for ilimitado? 
b) Que propostas devem ser recomendadas se apenas $ 14.000 estiverem disponíveis para 
novos investimentos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 42
 
 
 
 
 
 
 
 
Nome Fórmula 
Fator de Valor Futuro de um Pgto 
Simples 
( 1 + i ) n 
Fator de Valor Presente de um Pgto 
Simples 
( 1 + i ) -n 
Fator de Valor Futuro de uma Série 
Uniforme 
( 1 + i )n – 1 
i 
Fator de Valor Anual de um Valor 
Futuro ou Fator de Formação de 
Capital 
_____i_____ 
( 1 + i )n - 1 
Fator de Valor Presente de uma Série 
Anual 
( 1 + i )n – 1 
( 1 + i )n . i 
Fator de Valor Anual de um Valor 
Presente ou Fator de Recuperação de 
Capital 
( 1 + i )n . 1 
( 1 + i )n – i 
 
Fator de Valor Presente de uma Série 
Gradiente 
( 1 + i )n – 1 – ni 
i2 ( 1 + i )n 
Fator de Valor Anual de uma Série 
Gradiente 
( 1 + i )n – 1 – n.i 
i. (( 1 + i )n – 1) 
Fator de valor Futuro de uma Série 
Gradiente 
( 1 + i )n – 1 – ni 
i2 
 
 
 
1. BLANK, Leland e TARQUIN, Anthony, P.E. Engenharia Econômica. São Paulo: 
McGraw-Hill, 2008. 
2. CASAROTTO FILHO, Nelson, KOPITTKE, Bruno H., Análise de Investimentos. São 
Paulo, Editora Atlas, 2003. 
3. DAMODARAN, Aswath. Avaliação de Investimentos. São Paulo: Qualitymark, 2010. 
4. DE FARO. Clóvis, Matemática Financeira. São Paulo, Editora Atlas, 1982. 
5. FLEISCHER, Gerald A. Teoria da Aplicação do Capital. São Paulo, Edgard Blucher, 
1973. 
6. GRANT, Eugene et alli. Principles of Engineering Economy. New York, Ronald Press, 
1976. 
7. HIRSCHFELD, Henrique. Engenharia Econômica e Análise de Custos. São Paulo, Atlas, 
1992. 
8. NEVES, César das. Análise de Investimentos. Rio de Janeiro, Zahar Editora, 1982. 
9. OLIVEIRA, J.A. Nascimento. Engenharia Econômica: Uma Abordagem às Decisões de 
Investimento. São Paulo, McGraw-Hill, 1982. 
10.PAMPLONA, E.O. Abordagem da Inflação na Análise Econômico - Financeira de 
Investimentos. Dissertação de mestrado, UFSC, 1984. 
11.PAMPLONA, E.O., CAVALCANTI FILHO, A. Engenharia Econômica I. Apostila, 
1987. 
12.REVISTAS: Engineering Economist, Industrial Engineering, Harvard Business Review e 
outras. 
13. ROSS, Stephen, WESTERFIELD, Randolph e JAFFE, Jeffrey. Administração Financeira: 
Corporate Finance. São Paulo: Atlas, 2002 
14.WOILER, S. et alli. Projetos. São Paulo, Atlas, 1983. 
15.BNDES. Roteiro para obtenção de financiamentos. 2006 
 
 44
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ 
Engenharia Econômica Avançada 
 
___________________________________________________________________________ 
Uma empresa do setor de energia estuda um investimento em uma termelétrica a gás de 350 
MW e levantou os seguintes dados: 
 
Investimento $ 500,000.00 por MW instalado 
Produção de energia 2.800.000 MWh por ano 
Preço da energia elétrica produzida $30.00 por MWh 
Custos de Operação e Manutenção $ 4.00 por MWh 
Outros Custos (Transporte de energia, etc.) $ 1,000,000.00 por ano 
Consumo de gás 500.000.000 m3 por ano 
Custo do gás $ 0.06 por m3 
O horizonte de planejamento é de 20 anos, após os quais a termelétrica será vendida por $35 
milhões. 
A taxa mínima de atratividade da empresa é de 15% ao ano após o imposto de renda. 
 
1a Questão 
a) Qual a quota anual de depreciação do investimento, considerando que a taxa máxima de 
depreciação permitida para este caso é de 4%. 
b) Qual o valor contábil no final do vigésimo ano? 
c) Qual o lucro ou prejuízo na venda do ativo? 
 
2a Questão 
Analise a viabilidade do investimento após o Imposto de Renda, considerando uma alíquota 
de 35% sobre o lucro tributável. 
 
3a Questão 
Qual o preço mínimo da energia elétrica para que o investimento seja viável? (Considerar 
análise após o Imposto de Renda) 
 
4a Questão 
Calcule a TIR do capital próprio investido na termelétrica considerando que 70% do 
investimento total seja financiado pelo BNDES, pelo sistema SAC, em 10 anos, a uma taxa de 
juros real de 10% ao ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 45
UNIVESRSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ 
ENGENHARIA ECONÔMICA 
 
___________________________________________________________________________ 
O diretor da empresa S de eletrônica recebeu uma proposta da direção da empresa B para 
levar parte de sua fábrica para a cidade de Curitiba. A empresa S faz a montagem de placas 
eletrônicas em SMD em Itajubá e fornece para a Empresa B, que fabrica impressoras fiscais 
em Curitiba. A empresa B comprou um terreno ao lado de sua fábrica para instalação de seus 
fornecedores e gostaria que a empresa S se instalasse em parte desse terreno. Os dados são os 
seguintes: 
 Investimentos fixos adicionais para instalar parte da fábrica em Curitiba: R$ 270.000,00 
(Robô: 150.000, Máquina solda: 60.000, Computadores, Bancadas, etc.) 
 Investimento em Capital de Giro: R$ 65.000,00 
 Produção e venda das placas para a empresa B: 500 placas por dia. 
 Preço da placa R$ 4,10 
 Custos fixos (Aluguel, Mão-de-obra, encargos, etc.): R$ 230.000,00 por ano 
 Custos variáveis (Componentes, base, etc.): R$ 0,90 por placa 
 Despesas: R$ 90.000,00 
 ICMS: 18% 
 IRPJ + CSSL = 35% 
 Taxa de depreciação sobre os equipamentos: 10% por ano 
 
A Empresa B dá garantias de compra das placas durante os próximos 5 anos, no final dos 
quais os investimentos fixos terão um valor residual de venda de R$ 80.000,00. 
A taxa mínima de atratividade da empresa é de 18% ao ano. 
 
Pede-se 
 
1. Elaborar, usando o Excel, a projeção da demonstração de resultados e do fluxo de 
caixa da empresa. 
2. Analise a viabilidade do investimento após o Imposto de Renda. 
3. Qual o Preço mínimo da placa para que o investimento seja viável? 
4. Se a empresa fizesse um financiamento de 60% do investimento fixo no BNDES a 
uma taxa de 12% ao ano, para pagar em 4 anos, sendo o primeiro de carência, pelo 
sistema SAC, analise a viabilidade do capital próprio. 
 
 
 46
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ 
___________________________________________________________________________ 
A Valec Engenharia e Construção, estatal ligada ao Ministério dos Transportes, vai 
recomendar ao governo a concessão de um trem de alta velocidade (280 km/h) entre o Rio de 
Janeiro e São Paulo. O presidente da estatal, José Francisco das Neves, informou que o 
projeto prevê investimentos privadosda ordem de US$ 9 bilhões. 
O projeto prevê uma ligação de 412 quilômetros, dos quais 95 em túneis, que seriam 
percorridos em aproximadamente 88 minutos entre a Estação da Luz (SP) e a Central do 
Brasil (RJ). Os trens, com capacidade de 855 passageiros, teriam uma freqüência a cada 15 
minutos, mas, considerando o índice de ocupação de 75%, o número de usuários seria de 18 
milhões de passageiros por ano. O preço a ser cobrado por passageiro está estimado em 
U$$170,00, mas há dúvidas quanto ao preço mínimo a ser considerado na licitação. O custo 
variável estimado por passageiro é de US$ 15, o custo fixo anual é de US$ 592 milhões e as 
despesas anuais montam a US$ 200 milhões anuais. 
A concessionária teria direito de exploração por 35 anos ao final dos quais os equipamentos e 
melhorias seriam repassados ao governo pelo valor de US$ 2 bilhões. A TMA de possíveis 
concessionárias deve girar em torno de 15% ao ano. Os impostos proporcionais são de 16% 
sobre a receita bruta. A alíquota de IRPJ/CSLL é de 34%. Suponha, inicialmente, que os US$ 
9 bilhões seja gastos na data zero. 
1a Depreciação 
Se, dos US$ 9 bilhões de investimento, US$ 7 bilhões forem considerados de construção civil 
e US$ 2 bilhões de equipamentos: 
a) Qual a quota anual de depreciação dos equipamentos, considerando que a taxa máxima de 
depreciação do governo para este caso é de 10%. 
 
 
b) Qual a quota anual de depreciação da construção civil? 
 
 
c) Qual o valor contábil no final dos 35 anos? 
 
 
2a Projeção de Fluxo de Caixa 
Elabore a projeção da demonstração de resultados e do Fluxo de Caixa do projeto 
 
3a Análise depois do imposto de renda 
Analise a viabilidade do investimento após o Imposto de Renda, calculando o Valor do 
Negócio, o VPL e a TIR e se a proposta é viável ou não. 
 
 
4a Análise de sensibilidade 
Qual seria o preço mínimo por passageiro a ser considerado para compensar o investimento? 
 
 47
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ 
Cuidado ao tratar milhares, milhões e bilhões. 
O projeto TAV (Trem de Alta velocidade) do Brasil apresenta as seguintes características: 
Trens com velocidade igual ou superior a 250 km/h. 
Extensão Total: 510,8 km, sendo Túnel: 90,9 km (18%), Ponte: 107,8 km (21%) e Superfície: 
312,1 km (61%) 
 
Projeção da demanda em milhares de passageiros por ano: 
ANOS 2014 a 2023 2024 a 2033 2034 a 2043 2044 a 2054 
TOTAL 32.608 46.059 69.097 99.365 
Tarifa média: R$ 82,00 por passagem 
Os investimento será realizado em 5 anos (supor 1/5 ao final de cada um dos cinco primeiros 
anos) e o valor total é de: (não há valor residual de venda) 
ITEM 
INVESTIMENTO 
(R$ MILHÕES) 
% 
Obras Civis 24.583,0 71,0 
Desapropriação e medidas socioambientais 3.894,1 11,3 
Sistemas e Equipamentos 3.409,9 9,8 
Material Rodante 2.739,8 7,9 
TOTAL 34.626,8 100,0 
Suponha a depreciação anual de 4% para obras civis e material rodante e de 10% para 
sistemas e equipamentos. Não há depreciação para desapropriação e medidas socioambientais. 
Custos e despesas operacionais em milhares de reais. 
2014 a 2023 2024 a 2033 2034 a 2043 2044 a 2054 
Custos operacionais 310.000,00 575.300,00 774.300,00 775.700,00 
Despesas operacionais 57.100,00 76.700,00 98.900,00 121.100,00 
A TMA de possíveis concessionárias deve girar em torno de 18% ao ano. Os impostos 
proporcionais são de 18% sobre a receita bruta. A alíquota de IRPJ/CSLL é de 34%. 
1a Questão projeções 
Preencha a projeção da demonstração de resultados e do Fluxo de Caixa 
2a Questão Análise depois do imposto de renda sem financiamento 
Analise a viabilidade do investimento após o Imposto de Renda. Calcule o VPL e a TIR e 
indique se é viável ou não. 
3a Questão Análise depois do imposto de renda sem financiamento 
Qual o valor do Negócio em 2009 sem considerar o Financiamento 
 
 48
4a Questão Análise de sensibilidade 
Qual seria o preço mínimo por passageiro a ser considerado para compensar o investimento? 
5a Questão Financiamento 
Considerando o financiamento de 70% do investimento com início de pagamento em 2014, 
sem carência, com taxa de juros de TJLP + 1% (7% ao ano), sistema SAC e 30 anos de prazo, 
qual a TIR do Capital Próprio investido? 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ - SULGAS 
Engenharia Econômica 
 
Suponha a avaliação da implantação de um sistema de cogeração em um hospital. Um grupo 
gerador Allison com 2834 Kw de potência foi escolhido a partir da verificação da necessidade 
de frio e calor. Os seguintes dados são adotados: 
 
Investimento na turbina (fonte: Turbine Handbook) $ 850 por KW instalado 
Câmbio: R$ 2,50 / $1.00 
Investimento na Caldeira de recuperação R$ 336260,00 
Investimento no Chiller de absorção R$ 2.183.000,00 
Consumo do gás (baseado na energia req. e poder calorífico do gás) 0,19938 m3/s 
Horas de utilização 8760 horas 
Preço do gás (segundo PPT) 0,2675 R$/m3 
Custos de operação e manutenção 5% do investimento por ano 
Custo anual de energia contratada atualmente R$ 3.758.149,00/ ano 
 
O horizonte de planejamento é de 15 anos, sem valor residual de venda dos equipamento. 
A taxa mínima de atratividade adotada é de 12% ao ano após o imposto de renda. 
 
Analise a viabilidade do investimento após o Imposto de Renda, considerando uma alíquota 
de 35% sobre o lucro tributável. 
 
Qual o preço máximo do gás para que o investimento seja viável? (Considerar análise após o 
Imposto de Renda) 
 
Calcule a TIR do capital próprio investido considerando que 85% do investimento total seja 
financiado pelo BNDES, pelo sistema SAC, em 6 anos, incluindo 1 ano de carência, a uma 
taxa de juros real de 12% ao ano. 
 
 No fluxo de caixa esquemático mostrado na Figura III.1, como se sabe na data zero, 
normalmente se tem o investimento necessário para o projeto, as demais parcelas são os 
resultados da composição de receitas, despesas de manutenção, mão de obra, matéria 
prima, energia elétrica, imposto, depreciação, financiamentos, etc... a acontecerem em 
cada uma das datas previstas dentro da vida do projeto. 
 
 
 
 
 
 
Figura III.1 - Fluxo de caixa esquemático de um projeto 
 
Os métodos que permitem avaliar o fluxo de caixa da Figura III.1 do ponto de vista 
econômico são os métodos: do valor presente liquido (VPL), o método do valor anual 
(VA) e a taxa interna de retorno (TIR). Acontece que na maioria das vezes ao analisar 
estes fluxos a consideração sobre os diversos dados é determinística. Será que isto 
ocorre na realidade? Como se sabe isto não é verdade. Existem variações sobre os 
diversos elementos que compõe o fluxo de caixa que precisam ser consideradas para o 
total sucesso da escolha da melhor alternativa. 
É comum se distinguir duas situações quanto à variação dos dados no fluxo de caixa. 
Estas situações são chamadas de análise de risco e análise de incerteza. Na análise de 
risco é possível calcular uma distribuição de probabilidades associada a um resultado do 
Investimento 
0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n 
Vida do projeto 
Capítulo 4 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 4. 2 
fluxo de caixa (VPL, VA ou TIR). Com a distribuição probabilística é possível se 
calcular as chances do projeto se tornar inviável, fornecendo subsídios para decidir entre 
as alternativas que possuem diferentes graus de risco. As técnicas usuais de se trabalhar 
com o risco são: 
1. Distribuição de probabilidades; 
2. Simulação do fluxo de caixa; 
3. Árvore de decisão. 
Na análise de incerteza não se conhece a distribuição estatística de um fluxo de caixa e 
vai se trabalhar com opiniões e sugestões de especialistas que terãode decidir sobre 
qual o melhor projeto do ponto de vista econômico. Infelizmente, é esta a situação mais 
freqüente e também a qual os analistas estão menos preparados para enfrentar. Como 
responder as seguintes perguntas: “Qual será a inflação daqui a três anos?”, “Qual o 
valor do KW/h se as companhias de distribuição forem privatizadas?”, “Qual o valor 
do petróleo daqui a 5 anos?”..., pode-se notar que situações desta natureza sempre 
existem nos projetos. Então, a consideração de incertezas traz como um de seus 
objetivos a discussão de como reagir frente a decisões necessárias, em ambientes onde 
não é possível se ter valores exatos ou uma distribuição probabilística dos dados. As 
técnicas utilizadas para consideração da incerteza são: 
1. Análise de sensibilidade; 
2. Análise de ponto de equilíbrio; 
3. Análise de cenários. 
 
 
Como mostrado esquematicamente na Figura III.2: “O futuro pode revelar surpresas”. 
Quanto maior a vida do projeto maior as chances de se ter problemas com estimativas 
feitas na época da análise econômica do projeto. 
 
 
 
Capítulo 4 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 4. 3 
 
 
 
 
 
Figura III.2 - A incerteza que pode acontecer com os fluxos de caixas 
Vários são os fatores que podem contribuir para a incerteza. Alguns destes fatores estão 
sintetizados na Figura III.3. Como se pode notar alguns fatores, por exemplo, aumento 
de impostos, podem afetar a todas as empresas e são os chamados sistemáticos. Outros 
fatores, como, por exemplo, o aumento de preço de uma matéria prima específica, 
atinge empresas em casos isolados e são os não sistemáticos. 
Econômicos Financeiros Técnicos Outros 
 Oferta 
subdimensionada 
 Insuficiência de 
capital 
 Inadequabilidade 
do processo 
utilizado 
 Fatores políticos 
 Demanda 
superdimensionada 
 Falta de 
capacidade de 
pagamento 
 Inadequabilidade 
das matérias 
primas 
 Fatores 
institucionais 
 Dimensionamento 
incorreto 
 Inadequabilidade 
da tecnologia 
empregada 
 Problema de 
gerenciamento de 
projeto 
 Alteração dos 
produtos e 
subprodutos 
 Greve 
 Alteração dos 
preços da matéria 
prima 
 Inflação 
 Investimentos 
imprevistos 
 
 
Figura III.3 - Fatores que levam a incerteza 
investimento 
0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n 
Aumento das incertezas 
 Fatores imprevistos 
Capítulo 4 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 4. 4 
 
Técnica bastante prática para se tratar o problema das incertezas é a análise de 
sensibilidade. Na verdade é mais um enfoque que uma técnica. Consiste em medir o 
efeito produzido na rentabilidade do investimento, ao se variar os dados de entrada. 
Deve-se variar cada parâmetro de uma vez estabelecendo o valor mais provável, o limite 
inferior e superior da variação. Para cada valor calcula-se VPL, VA ou TIR e com isto 
pode-se ter uma idéia da sensibilidade do parâmetro em questão. 
A análise de sensibilidade é baseada no conceito de elasticidade. Supondo o fluxo de 
caixa da Figura III.4, onde I é o investimento inicial, C os custos envolvidos, R a receita 
prevista, L o valor residual e n a vida útil do projeto. 
 
 
 
 
 
Figura III.4 
R é o resultado da venda de X unidades de um produto pelo preço P. C é o custo 
composto de duas parcelas, o custo fixo CF e o custo variável CV referente à utilização 
de duas matérias primas, mp1 e mp2. A expressão que permite calcular o custo é a 
seguinte: 
C = CF + CV = CF + ( 1 P1 + 2P2) X 
Nesta expressão 1 e 2 representam a razão com que as duas matérias primas mp1 e 
mp2 são utilizadas por unidade de produto. São também chamados de coeficientes 
técnicos. P1 e P2 são os preços das duas matérias primas. 
O valor presente liquido do fluxo de caixa mostrado na Figura III.4 pode ser 
representado pela seguinte expressão: 
VPL = - I + {PX - [CF + ( 1 P1 + 2P2) X]}(P/A, i%, n) + L / (1 + i)
n 
I 
0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n 
R 
C 
R + L 
Capítulo 4 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 4. 5 
Trabalhando a expressão, ela pode ser reescrita da seguinte forma: 
VPL = - I + [(P - 1 P1 - 2P2) X - CF] (P/A, i%, n) + L / (1 + i)
n 
Ao se variar X na expressão acima se chega ao gráfico da Figura III.5, onde se nota 
perfeitamente o valor mínimo a ser vendido do produto para que VPL possa ser maior 
que zero. O ponto de cruzamento da curva com a abscissa é chamado de ponto de 
equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura III.5 - Ponto de equilíbrio 
 
Pela análise da figura III.5 nota-se que quantidades de X abaixo de X0 faz o projeto ser 
inviável. O ponto de equilíbrio pode ser alterado para qualquer variável do fluxo de 
caixa (I, P, P1, P2, i,...) e com isto pode-se estudar a viabilidade para as diversas 
alterações, além de se descobrir quais são os parâmetros mais sensíveis, que fazem o 
projeto se inviabilizar mais facilmente. Sobre estes parâmetros é que se devem 
estabelecer controles mais rígido. É a maneira mais simples de se analisar a incerteza, e 
consiste no primeiro passo para a análise de risco, pois se toma conhecimento dos 
parâmetros mais sensíveis que necessitam de um estudo mais aprofundado. 
Tanto a análise de sensibilidade quando o cálculo do ponto de equilíbrio são úteis em 
análise econômica, mas apresentam limitações. A relação dos parâmetros de entrada é 
considerada de forma independente, o que normalmente não ocorre na realidade. A 
análise de cenários permite que possa se verificar o impacto no VPL alterando mais de 
um parâmetro de entrada que se considera chave no investimento sendo analisado. Uma 
forma comum de se fazer esta análise é criando um cenário pessimista, um provável e 
X quantidade vendida 0 X0 
VPL(x) 
Capítulo 4 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 4. 6 
outro otimista, onde os valores das variáveis de entrada mais significativos são alterados 
para estas condições e então se verifica a atratividade do projeto em questão. 
O Excel tem ferramentas que ajudam muito na condução da análise de sensibilidade, 
cálculo de ponto de equilíbrio e análise de cenários. A discussão das técnicas será feita 
com a solução de um problema e o uso da planilha para resolvê-lo. 
 
 
Uma empresa do setor de garrafas térmica esta pensando em lançar uma nova garrafa 
para manter líquidos gelados. O investimento necessário é de US$ 100.000,00. A 
previsão de vendas é de 10 mil garrafas por mês a um preço de US$ 10,00 por garrafa. 
Os custos fixos serão de US$ 20.000,00 por mês e os custos variáveis de US$ 4,00 por 
garrafa. Ao final de três meses a empresa venderá a linha por US$ 30.000,00. A TMA 
da empresa é de 10% ao mês. 
Responda as seguintes perguntas: 
 Qual dos parâmetros de entrada, preço de venda e previsão de vendas, que mais 
afeta o VPL? 
 Qual o ponto de equilíbrio do preço de venda? 
 Qual o ponto de equilíbrio do volume de vendas? 
 Qual o resultado do VPL para os seguintes cenários: 
Cenários 
 
 
Capítulo 4 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 4. 7 
 
Considere o fluxo de caixa da Figura 3.4 e os seguintes parâmetros: 
I = 100 P1 = 2 i = 10 % a.a. 
L = 15 1 = 0.5 n = 5 anos 
X = 20 P2 = 3 CF = 10 
P = 9 2 = 2 
 
Analise a sensibilidade do fluxo de caixa e calcule os pontos de nivelamento para X e I. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I L X P P1 1 P2 2 CF i n 
Valor 
esperado 
 
Situação 
pessimista 
 
VP 
VPL 
Situação 
 
Tabela de análise de sensibilidade (variações de 10%, exceto para n). 
 
Capítulo 4 - Análise de Investimentosem Situação de Incerteza 4. 8 
 
Uma empresa está considerando a possibilidade de realizar um novo gasoduto. A 
instalação deste novo gasoduto requererá um gasto de US$2.000.000.000,00 em 
investimento fixo. 
Estima-se uma vida econômica, para o projeto, de 20 anos. A empresa espera contar 
com um volume de gás para comercializar de 16 milhões de m3/dia, pagando por este 
gás um preço de US$0,90 por Milhão de btu. A empresa espera comercializar este gás a 
um valor de US$2,70 por Milhão de btu. O poder calorífico do gás é de 36785,43 
(btu/m3). 
A empresa que terá um custo de operação de US$13.000.000,00 e um custo de 
manutenção de US$32.000.000,00 por ano, de acordo com previsões de especialistas. 
O valor dos equipamentos após os 20 anos é estimado que tenham um valor de 
US$200.000.000,00. 
A empresa tem um custo de capital de 15% ao ano. 
Considerando o ano com 365 dias, responder as seguintes questões: 
 
1. Verificar a atratividade do projeto. 
2. Analisar a sensibilidade do projeto para uma variação negativa de 15% no 
volume de vendas de gás. 
3. Calcular o preço de venda mínimo do gás. 
4. Verificar a sensibilidade do projeto para um acréscimo de 20% no valor do 
investimento fixo. 
 
Capítulo 4 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 4. 9 
 
Caso de uma termoelétrica a gás. 
Uma empresa do setor de energia estuda um investimento em uma termelétrica a gás de 
350 MW e levantou os seguintes dados: 
• Investimento $ 500.000,00 por MW 
instalado 
• Produção de energia 2.800.000 MWh por ano 
• Preço da energia elétrica produzida $30,00 por MWh 
• Custos de Operação e Manutenção $ 4,00 por MWh 
• Outros Custos (Transporte de energia, etc.) $ 1.000.000,00 por ano 
• Consumo de gás 500.000.000 m3 por ano 
• Custo do gás $ 0,06 por m3 
O horizonte de planejamento é de 20 anos, após os quais a termelétrica será vendida por 
$35 milhões. 
Responda as seguintes questões: 
 Se a TMA da empresa é de 15% ao ano, qual é o Valor do Negócio e o VPL? 
 O negócio é viável? 
 Qual dos parâmetros de entrada, custo de operação e manutenção e custo do gás, 
que mais afeta o VPL? 
 Qual o ponto de equilíbrio do preço do gás? 
 Qual o ponto de equilíbrio da tarifa? 
 Qual o resultado do VPL para os seguintes cenários: 
Cenários 
 Dados: Pessimista Provável Otimista 
Potência = 350 350 350 
Invest = 500000 500000 500000 
Produção = 2800000 2800000 2800000 
Tarifa = 25 30 35 
Custos OM = 5 4 3 
Outros = 1500000 1000000 800000 
Consumo gás = 50000000 500000000 50000000 
Custo gás = 0,08 0,06 0,05 
N = 20 20 20 
VR = 35000000 35000000 35000000 
TMA = 15% 15% 15% 
 
 
 
Este capítulo pretende apresentar conceitos e procedimentos para avaliação de projetos e 
negócios. As projeções e os indicadores utilizados são aqueles que normalmente são utilizados 
por instituições financeiras na avaliação de projetos para financiamentos. 
Para avaliação de Projetos e Negócios é necessário: 
 Projetar Demonstração de resultados 
 Projetar Fluxo de Caixa 
 Conhecer conceitos de Custos 
 Utilizar conceitos de Depreciação 
 Utilizar conceitos de Impostos proporcionais à receita e ao lucro, como IRPJ e CSL 
 
 
 Embora a preocupação do curso seja a avaliação econômica através dos fluxos de caixa, 
IRPJ e CSLL são saídas de caixa e seu cálculo depende de conceitos da contabilidade. Uma 
rápida abordagem às demonstrações contábeis torna-se, então, importante. 
As demonstrações contábeis são uma representação estruturada da posição patrimonial e 
financeira e do desempenho de uma empresa ou qualquer outra entidade. O objetivo das 
demonstrações contábeis é o de proporcionar informação acerca da posição patrimonial e 
financeira, do desempenho e dos fluxos de caixa da entidade que seja útil a um grande número de 
usuários em suas avaliações e tomada de decisões econômicas. 
O conjunto de demonstrações contábeis inclui, entre outras, as seguintes: 
(a) balanço patrimonial ao final do período; 
(b) demonstração do resultado do período; 
 O Balanço Patrimonial deve apresentar as seguintes informações: 
Capítulo 5 – Avaliação de Projetos e Negócios 5. 2 
 
2
 
 O Ativo Imobilizado é um subgrupo do Ativo Não Circulante que por sua vez é 
localizado no Ativo de uma empresa. O Ativo Imobilizado é registrado na contabilidade de uma 
companhia através de seu custo de aquisição. Este custo pode ser tanto aquele pago pelo ativo, 
quanto o seu custo de fabricação ou construção. 
 No caso de compra de terceiros, o custo de aquisição é determinado pelo seu valor de 
compra mais os gastos complementares necessários à sua posse, instalação e funcionamento. Em 
resumo, o custo de aquisição normalmente é constituído de: 
 Valor de compra 
 Gastos com transporte do Bem 
 Prêmio de seguro pelo transporte 
 Gastos com a instalação 
 Gastos necessários à transferência do Bem. 
 
Em vista da infinidade de tipos de ativos fixos, costuma-se agrupa-los em contas, cujos 
títulos indicam com razoável precisão a natureza dos bens nelas registrados. 
Os bens tangíveis são aqueles que existem fisicamente, que podem ser vistos, tocados e 
sentidos. As principais contas que agrupam os bens tangíveis são: 
 Terrenos 
Capítulo 5 – Avaliação de Projetos e Negócios 5. 3 
 
3
 Edificações 
 Máquinas e Equipamentos 
 Veículos 
 Móveis e Utensílios 
É conveniente lembrar que estes bens são considerados Ativo Imobilizado se forem 
destinados à manutenção da atividade da companhia. 
A nova lei contábil (Lei nº 11.638 de 2007) introduziu o subgrupo Intangível no grupo do 
Ativo Não Circulante, conforme a nova redação dada ao artigo 178 da Lei nº. 6.404/1976. 
Nesse subgrupo devem ser classificados os valores que estavam em outras contas do 
Ativo Permanente, em conformidade com a legislação anterior, bem como as novas transações 
que representem bens incorpóreos, como marcas, patentes, direitos de concessão, direitos de 
exploração, direitos de franquia, direitos autorais, gastos com desenvolvimento de novos 
produtos, ágio pago por expectativa de resultado futuro (fundo de comércio, ou goodwill). 
O registro contábil dos ativos intangíveis (incluindo o goodwill) deve ser feito pelo seu 
custo de aquisição, se esse custo puder ser mensurado com segurança, e não por expectativa de 
valor no mercado, sendo vedada completamente no Brasil sua reavaliação (Lei das S/A). 
O ativo intangível gerado internamente (com exceção do goodwill) pode, em certas 
circunstâncias, conforme restrições dadas pela NBC T 19.8, ser reconhecido pelo seu custo de 
obtenção. Mas não podem nunca ser ativados os gastos com pesquisa. Os gastos com 
desenvolvimento somente são capitalizáveis nas condições restritas dadas pela NBC T 19.8. 
Os ativos intangíveis precisam ser amortizados conforme sua vida útil econômica. No 
caso dos intangíveis sem vida útil econômica determinada, sua amortização será normal em 2008 
(como no caso do goodwill). Todavia, de 2009 em diante essa amortização fica vedada. 
Como norma básica a lei das sociedades por ações dispõe: 
No Balanço Patrimonial os elementos do Ativo Imobilizado serão registrados pelo custo de 
aquisição, deduzido o saldo da respectiva conta de depreciação, amortização ou exaustão. A 
diminuição de valor dos elementos do Ativo Imobilizado será registrada periodicamente nas 
contas de depreciação, quando corresponder à perda do valor dos direitos que tenham por objeto 
bens físicos sujeitos a desgaste ou perda de utilidade por uso, ação da natureza ou obsolescência. 
As depreciações vão sendo registradas a cada ano em contas específicas acumuladoras de saldo e 
em contrapartida esses valores serão computados como custo ou despesa operacional, em cada 
exercício social. 
Quando o bem chega a 100% dedepreciação e ainda existir fisicamente (caso normal nas 
empresas) deixa de ser depreciado. O Ativo é baixado contabilmente quando for vendido, doado 
ou quando cessar sua utilidade para a empresa. 
Do ponto de vista econômico, e este é o conceito que deve ser adotado em estuodos de 
investimentos, a depreciação não é considerada como um custo, mas como uma fonte de recursos 
para as operações da firma que poderá ser utilizada a critério da administração. 
A depreciação é um custo ou despesa operacional sem desembolso. 
Capítulo 5 – Avaliação de Projetos e Negócios 5. 4 
 
4
 
 Prédios e Edificações 
 Veículos 
 Máquinas e Equipamentos 
 Móveis e Utensílios 
 Ferramentas 
 Terrenos 
 Antigüidades 
 Obras de arte 
Os motivos mais freqüentes para a baixa do Ativo Imobilizado são a venda ou a cessação de 
utilidade para a companhia. Em qualquer dos casos, é necessário que o valor do bem baixado seja 
retirado contabilmente dos registros da empresa. 
Se o bem for vendido, o resultado contábil da baixa (lucro ou prejuízo) será a diferença entre seu 
valor pelo qual o bem for vendido e seu valor contábil, que por sua vez é o custo original menos 
a depreciação acumulada. 
Se o seu valor contábil for nulo, no caso de já estar totalmente depreciado, o valor da venda será 
o lucro da transação. 
Se o bem for baixado por motivo da cessação de utilidade (obsolescência, danos irreparáveis, 
etc), e ainda tiver valor contábil, este será o valor da perda que irá para a demonstração de 
resultados. 
Uma firma A que compre um equipamento usado de uma firma B iniciará o processo de 
depreciação sobre este equipamento (baseando-se no valor da transação), mesmo que este 
equipamento já tenha sido totalmente depreciado na contabilidade da firma B. Vemos, pois, 
como podem surgir vantagens para firmas de um mesmo grupo, mas que sejam pessoas jurídicas 
independentes, ao transacionarem equipamentos usados entre sí. 
 
No Balanço Patrimonial: 
 
Não Circulante 
Imobilizado 
Edificações 60.000 
Máquinas e Equipamentos 20.000 
Móveis e Utensílios 5.000 
Veículos 15.000 
 100.000 
Depreciação Acumulada (20.000) 
 80.000 
 
Na Demonstração de Resultados 
Capítulo 5 – Avaliação de Projetos e Negócios 5. 5 
 
5
A depreciação deve ser apropriada ao custo de produção (é um custo indireto de produção) ou 
então como despesa de depreciação no grupo de “despesas operacionais”. 
A perda ou ganho na venda do Ativo Imobilizado (venda de imóveis, equipamentos, veículos, 
etc.) devem ser apresentados na Demonstração de Resultados do Exercício como Outras Receitas 
Operacionais (no caso de ganho) ou Outras Despesas Operacionais (no caso de perda). A perda 
ou ganho são calculados pela diferença do valor de venda menos o valor contábil do imobilizado 
na data da venda. 
 
Demonstração de Resultados do Exercício (DRE) 
Receita de Vendas 1000 
- Tributos Incidentes sobre Vendas (ICMS, ISS, PIS, Cofins, Outros) -120 
Receita Líquida de vendas 880 
- Custo do Produto Vendido (MP, MOD, CIP)* -350 
 Despesa de Depreciação -100 
Resultado Bruto 430 
- Despesas Operacionais 
 Despesas com Vendas - 80 
 Despesas Administrativas -100 
 Outras despesas e receitas operacionais (ganho ou perda de capital) +10 
 Despesa de Depreciação - 80 
Resultado Antes de Receitas e Despesas Financeiras (EBIT)** 180 
 + Receitas Financeiras 0 
 - Despesas Financeiras - 50 
Resultado Antes dos Tributos Sobre o Lucro (EBT)*** 130 
 - Tributos sobre o Lucro (IRPJ / CSLL)**** -40 
Lucro Líquido do Período 90 
 
* MP: Matérias-primas consumidas; MOD: Mão de obra direta; CIP: Custos Indiretos de 
Produção como, por exemplo, aluguéis, energia elétrica entre outros. 
** EBIT: Earnings Before Interests and Taxes (Lucro Antes dos Juros e Impostos) 
*** EBT: Earnings Before Taxes (Lucro Antes dos Impostos) 
**** IRPJ e CSLL: Imposto de Renda das Pessoas Jurídicas e Contribuição Social sobre o Lucro 
Líquido 
 
As taxas máximas de depreciação permitidas pelo governo para os principais grupos de ativos 
são: 
 
Edificações 4% 
Instalações 10% 
Animais Vivos 20% 
Veículos Em Geral 20% 
Equipam. Em Geral 10% 
Móveis E Utensílios 10% 
 
Capítulo 5 – Avaliação de Projetos e Negócios 5. 6 
 
6
Atualmente, são as seguintes as taxas limites de depreciação anual, fixadas pela Instrução 
Normativa 162, de 31/12/1998, da Secretaria da Receita federal (tabela resumida): 
 
 
Ministério da Fazenda 
Secretaria da Receita Federal 
Instrução Normativa SRF nº 162, de 31 de dezembro de 1998 
DOU de 07/01/1999, pág. 5 
 Fixa prazo de vida útil e taxa de depreciação dos bens que relaciona. 
O SECRETÁRIO DA RECEITA FEDERAL, no uso de suas atribuições e tendo em vista o disposto no art. 253, § 1°, do 
Regulamento do Imposto de Renda, aprovado pelo Decreto n° 1.041, de 11 de janeiro de 1994, resolve: 
Art. 1° A quota de depreciação a ser registrada na escrituração da pessoa jurídica, como custo ou despesa operacional, será 
determinada com base nos prazos de vida útil e nas taxas de depreciação constantes dos anexos: 
I - Anexo I: bens relacionados na Nomenclatura Comum do MERCOSUL - NCM; 
II - Anexo II: demais bens. 
Art. 2° Esta Instrução Normativa entra em vigor na data de sua publicação. 
EVERARDO MACIEL 
 
 
Anexo I - Bens relacionados na Nomenclatura Comum do MERCOSUL - NCM 
Bens Taxa anual de 
depreciação 
ANIMAIS VIVOS 20 % 
Exceção: Galos, Galinhas, Patos, Gansos, Perus, Peruas E Galinhas-D'angola (Pintadas), Das Espécies 
Domésticas, Vivos 
50 % 
OBRAS DE PLÁSTICOS 20 % 
Correias de transmissão e correias transportadoras 50 % 
OBRAS DE BORRACHA (Correias Transportadoras Ou De Transmissão, De Borracha Vulcanizada) 50 % 
OBRAS DE COURO 50% 
OBRAS DE MADEIRA (caixotes, caixas, engradados, barricas e embalagens semelhantes, de madeira; 
carretéis para cabos, de madeira; paletes simples, paletes-caixas e outros estrados para carga, de madeira; 
taipais de paletes, de madeira; barris, cubas, balsas, dornas, selhas e outras obras de tanoeiro) 
20 % 
TAPETES E OUTROS REVESTIMENTOS PARA PAVIMENTOS, 
DE MATÉRIAS TÊXTEIS 
20 % 
OUTROS ARTEFATOS TÊXTEIS CONFECCIONADOS (cortinados, cortinas e estores; sanefas 
e artigos semelhantes para camas para uso em hotéis e hospitais; sacos de quaisquer dimensões, para 
embalagem) 
20 % 
Encerados e toldos; tendas; velas para embarcações, para pranchas à vela ou para carros à vela; artigos para 
acampamento 
25 % 
PRODUTOS CERÂMICOS 20 % 
OBRAS DE VIDRO 20 % 
OBRAS DE FERRO FUNDIDO, FERRO OU AÇO 10 % 
construções, de ferro fundido, ferro ou aço, exceto as construções pré-fabricadas: Pontes e elementos de 
pontes, Torres e pórticos 
4 % 
Recipientes para gases comprimidos ou liquefeitos, de ferro fundido, ferro ou aço 20 % 
OBRAS DE ALUMÍNIO 10 % 
construções de alumínio 4 % 
Recipientes para gases comprimidos ou liquefeitos, de alumínio 20 % 
Capítulo 5 – Avaliação de Projetos e Negócios 5. 7 
 
7
FERRAMENTAS 20 % 
aparelhos mecânicos de acionamento manual, pesando até 10kg, utilizados para preparar, acondicionar ou 
servir alimentos ou bebidas 
10 % 
OBRAS DIVERSAS DE METAIS COMUNS (cofres-fortes, portas blindadas e compartimentos para 
casas-fortes, cofres e caixas de segurança e artefatos semelhantes, de metais comuns) (fichários) 
10% 
REATORES NUCLEARES, CALDEIRAS, MÁQUINAS, APARELHOS E 
INSTRUMENTOS MECÂNICOS (turbimas, motores, bombas, ar-condicionado, queimadores, fornos, 
etc.) 
10 % 
"bulldozers", "angledozers", niveladores, raspo-transportadores ("scrapers"), pás mecânicas, escavadores, 
carregadoras e pás carregadoras, compactadores e rolos ou cilindros compressores, autopropulsores 
25 % 
Máquinas automáticas