AULA 9 - Geometria Analitica e Algebra Linear

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Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear
Aula 9: Sistemas de Equações Lineares
Apresentação
Os sistemas de equações lineares aparecem frequentemente em matemática aplicada, economia e engenharia ao modelar
certos fenômenos. Por exemplo, em programação linear, geralmente é discutido como maximizar o lucro quando existem
certas restrições relacionadas à dificuldade, à disponibilidade de tempo ou a outras condições. Essas restrições podem ser
colocadas na forma de um sistema de equações lineares.
Veja essa situação prática para quem gosta de futebol: “Em um campeonato, cada time participante jogou 15 vezes, tendo o
time A um aproveitamento de 60% dos pontos que disputou. Nessa competição, a pontuação final de cada time foi obtida
considerando-se 3 pontos por vitória e 1 ponto por empate. Se o time A sofreu 2 derrotas, então, qual foi o número de
empates desse time?”
Para responder a essa pergunta e a outras mais específicas da engenharia, vamos à aula!
Objetivos
Definir e classificar os sistemas de equações lineares;
Aplicar os diferentes métodos de resolução dos sistemas de equações lineares.
Equações lineares
Uma reta em um sistema bidimensional de coordenadas retangulares 𝑥𝑦 pode ser representada por uma equação da
forma:
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 
(a e b não ambos iguais a 0)
Já um plano em um sistema tridimensional de coordenadas retangulares 𝑥𝑦𝑧 pode ser representado por uma equação
da forma:
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 = 𝒅
(a, b e c não todos iguais a 0)
Esses exemplos são de “equações lineares”:
• A primeira é uma equação linear nas variáveis 𝑥 e 𝑦; e 
• A segunda é uma equação linear nas variáveis 𝑥, 𝑦 e 𝑧.
Porém, geralmente, definimos uma equação linear nas n variáveis 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥 𝑛 como uma equação que pode ser
expressa na forma:
𝒂 𝟏𝒙 𝟏 + 𝒂 𝟐𝒙 𝟐 + … + 𝒏𝒂𝒙 𝒏 = 𝒃 Equação 1
Em que 𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎 𝑛 e 𝑏 são constantes, sendo que nem todos os a são nulos.
Nos casos especiais em que 𝑛 = 2 ou 𝑛 = 3, costumamos usar variáveis sem índices e escrevemos as equações lineares
como:
𝒂 𝟏𝒙 + 𝒂 𝟐𝒚 = 𝒃 
(𝑎1 e 𝑎2 não ambos iguais a zero)
 
𝒂 𝟏𝒙 𝟏 + 𝒂 𝟐𝒙 𝟐 + … + 𝒏𝒂𝒙 𝒏 = 𝟎
𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎3𝑧 = 𝑏 𝑎1, 𝑎2 e 𝑎3 não todos iguais a zero)
No caso especial em que 𝑏 = 0, a Equação 1 tem a forma:
𝒂 𝟏𝒙 𝟏 + 𝒂 𝟐𝒙 𝟐 + … + 𝒏𝒂𝒙 𝒏 = 𝟎
Ela é denominada equação linear homogênea nas variáveis 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥 𝑛 .
Sistemas lineares
Um sistema linear não envolve produtos ou raízes de variáveis.
Todas as variáveis ocorrem somente na primeira potência e não aparecem, por exemplo, como argumentos de funções
trigonométricas, logarítmicas ou exponenciais.
(
As equações seguintes são lineares:
𝑥 + 5𝑦 = 7 
3𝑥 – 6𝑦 = 2 
𝑥1 – 2𝑥2 + 11𝑥3 + 𝑥4 = 0 
𝑥1 + 𝑥2 + …. + 3𝑥𝑛 = − 2
As seguintes não são lineares:
𝑥 + 3𝑦2 = 4 
𝑠𝑒𝑚 (𝑥) + 𝑦 = − 1
3𝑥 + 2𝑦 – 𝑥𝑦 = 3 
x1 + x2 − x3 = 0
Um conjunto finito de equações lineares é denominado sistema de equações lineares ou, simplesmente, sistema
linear. As variáveis são denominadas incógnitas.
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bn
Um sistema linear arbitrário de m equações nas n incógnitas 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥 𝑛 pode ser escrito como:
a11x1 + a122x2 + … + a1nxn = b1a21x1 + a222x2 + … + a2nxn = b2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ am1x1 + am22x2 + … + amnxn = bn
O índice duplo dos coeficientes a das incógnitas dá sua posição no sistema.
Primeiro índice indica a equação em que ocorre o coeficiente.
Segundo índice indica qual é a incógnita que está sendo multiplicada.
Assim, por exemplo, a12 está na primeira equação e multiplica x .
Uma solução de um sistema nas n incógnitas 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥 𝑛 é uma sequência de n números 𝑠1, 𝑠2, . . . , 𝑠 𝑛 para os quais
a substituição 𝒙 𝟏 = 𝒔 𝟏 , 𝒙 𝟐 = 𝒔 𝟐 , . . . , 𝒙 𝒏 = 𝒔 𝒏 faz de cada equação uma afirmação verdadeira.

Exemplo
5𝑥 + 𝑦 = 3
2𝑥 − 𝑦 = 4 ∴ x = 1, y = − 2
4x1 − x2 + 3x3 = − 1
3x1 + x2 + 9x3 = − 4
∴ x1 = 1, x2 = 2 e x3 = − 1
Essas soluções podem ser escritas mais sucintamente como: (1,-2) e (1,2,-1), em que omitimos os nomes das
variáveis.
√
{
{
ij
2
{
{
Essa notação nos permite interpretar essas soluções geometricamente como pontos nos espaços bi e
tridimensionais.
De um modo mais geral, uma solução x1 = s1, x2 = s2, . . . . , xn = sn de um sistema linear em n incógnitas pode ser
escrita como s1, s2, . . . , sn , que é denominada ênupla ordenada.
Com essa notação, fica entendido que todas as variáveis aparecem na mesma ordem em cada equação.
Se n = 2, então, a ênupla é denominada par ordenado. Se n = 3, então, a ênupla é um terno ordenado.
Os sistemas lineares em duas incógnitas aparecem relacionados com interseção de retas.
Por exemplo, considere o sistema linear:
a1𝑥 + b1𝑦 = c1
a2𝑥 + b2𝑦 = c2
Nele, os gráficos das equações são retas no plano xy (Figura 1).
Cada solução (x, y) desse sistema corresponde a um ponto de interseção das retas, de modo que há três possibilidades:
As retas podem ser paralelas e distintas, caso em que não há interseção e, consequentemente, não existe solução;
As retas podem intersectar em um único ponto, caso em que o sistema tem exatamente uma solução;
( )
{
As retas podem coincidir, caso em que existe uma infinidade de pontos de interseção (os pontos da reta comum) e,
consequentemente, uma infinidade de soluções.
Em geral, dizemos que um sistema linear é consistente se possuir pelo menos uma solução e inconsistente se não tiver
solução.
Assim, um sistema linear consistente de duas equações em duas incógnitas tem uma ou uma infinidade de soluções, não
havendo outra possibilidade.
O mesmo vale para um sistema linear de três equações em três incógnitas.
a1𝑥 + b1𝑦 + c1𝑧 = d1
a2𝑥 + b2𝑦 + c2𝑧 = d2
a3𝑥 + b3𝑦 + c3𝑧 = d3
Nele, os gráficos das equações são planos.
As soluções do sistema, se houver, correspondem aos pontos em que os três planos se intersectam, de modo que, novamente,
vemos que há somente três possibilidades (Figura 2): 
• Nenhuma solução; 
• Uma solução; ou 
• Uma infinidade de soluções.
01
Nenhuma solução para o sistema, três planos paralelos sem interseção comum;
02
Nenhuma solução para o sistema, dois planos coincidentes, paralelos ao terceiro, sem interseção comum;
03
Uma infinidade de soluções, todos os planos coincidem, a interseção é um plano;
04
Uma infinidade de soluções, dois planos coincidentes, a interseção é uma reta;
{
05
Uma infinidade de soluções, a interseção é uma reta;
06
Nenhuma solução, dois planos paralelos, sem interseção comum;
07
Nenhuma solução, sem interseção comum;
08
Uma solução, a interseção é um ponto.

Atenção
Das nossas observações, vale a afirmação geral:
“Todo sistema de equações lineares tem zero, uma ou uma infinidade de soluções. Não existem outras
possibilidades.”
Matrizes de um sistema
À medida que cresce o número de equações e o número de incógnitas em um sistema linear, cresce também a complexidade
da álgebra envolvida em sua resolução.
As contas que precisamos fazer podem ficar mais tratáveis simplificando a notação e padronizando os procedimentos.
Assim, dado um sistema linear S de m equações e n incógnitas, consideraremos, a partir de agora, as matrizes:
A = a11 a12 a11 a13 . . . a1na21 a12 a21 a23 . . . a2na31 a32 a31 a33 . . . a3n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ am1 am2 am1 am3 . . . amn
B = a11 a12 a11 a13 . . . a1n b1a21 a12 a21 a23 . . . a2n b1a31 a32 a31 a33 . . . a3n b1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ am1 am2 am1 am3 . . . amnb1
Onde: 
A é chamada matriz incompleta do sistema e B matriz completa ou matriz aumentada do sistema. Note que B foi obtida a
partir de A, acrescentando-se a esta a coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema.
S1:
2𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥 − 𝑦 = 4
 ∴ A = 
2 1
1 - 1
, B = 
2 1 3
1 - 1 4
S2 :
𝑥 + 𝑦 - z = 2
𝑥 + 3z = - 4
 ∴ A = 
1 1 - 1
0 1 3
, B = 
1 1 - 1 2
0 1 3 - 4
O método básico de resolução de um sistema de equações lineares é efetuar operações algébricas no sistema que não alterem
o seu conjunto de soluções e que produzam uma sucessão de sistemas cada vez mais simples, até alcançar um ponto em que
se possa decidir se o sistema é consistente e, se for, quais são suas soluções.
As operações típicas são as seguintes:
• Multiplicar uma equação inteira por uma constante não nula; 
• Trocar duas equações entre si; e 
• Somar uma constante vezes uma equação a uma outra equação
Como as linhas (horizontais) de uma matriz aumentada correspondem às equações no sistema associado, essas três operações
correspondem às seguintes operações nas linhas da matriz aumentada:
[ ]
[ ]
{ [ ] [ ]
{ [ ] [ ]
Multiplicar uma linha inteira por uma constante não nula;
Trocar duas linhas entre si; e
Somar uma constante vezes uma linha a uma outra linha.
Essas operações são denominadas operações elementares com linhas de uma matriz.

Exemplo
Antes de continuar seus estudos, veja alguns exemplos <galeria/aula9/docs/Exemplo1.pdf> para entender melhor.
Teorema de Cramer
Considere um sistema linear onde o número de equações é igual ao número de incógnitas (isto é, m = n).
Nestas condições, A é matriz quadrada e o sistema S pode ser escrito na forma matricial A . X = C.
Seja D = det (A), se D ≠ 0, então o sistema será possível e terá solução única α1, α2, . . . , αn), tal que:
αi =
Di
D , ∀ i ∈ 1, 2, 3, …, n
Onde: 
D é o determinante da matriz obtida de A, substituindo-se a “i-ésima ” coluna pela coluna dos termos independentes das
equações do sistema.

Exemplo
Resolva o sistema S : 2x − y + z = 33x + 2y − z = 15x − y = 7
Resolução:
Aplicando a regra de Cramer:
A = 2 - 1 13 2 - 15 - 1 0 ∴ 
2 -1 1
3 2 -1
5 -1 0
= - 10
(
{ }
i
{
[ ] | |
D1 = 
3 -1 1
1 2 -1
7 -1 0
= - 11; D2 = 
2 3 1
3 1 -1
5 7 0
= - 15; D3 = 
2 -1 3
3 2 1
5 -1 7
= 7
Logo:
x =
- 11
- 10 = 
11
10 ; y =
15
10 =
- 3
2 ; z =
7
- 10 =
- 7
10

Comentário
O teorema de Cramer tem um interesse mais teórico do que prático.
Quando o número de equações é muito grande, fica bastante trabalhoso resolver o sistema através de sua aplicação. Por
exemplo, em um sistema de 5 equações e 5 incógnitas teríamos de calcular 6 determinantes de ordem 5.
O método de resolução que você verá a seguir é mais simples, embora, em alguns de seus aspectos teóricos, tenhamos
que usar o teorema de Cramer.
Eliminação gaussiana
Nesta seção, desenvolveremos um procedimento sistemático para resolver sistemas de equações lineares baseado na ideia de
efetuar certas operações nas linhas da matriz aumentada que a simplifiquem até uma forma em que a solução do
sistema possa ser visualizada.
Quando consideramos métodos para resolver sistemas de equações lineares, é importante distinguir entre sistemas grandes,
que precisam ser resolvidos por computador, e sistemas pequenos, que podem ser resolvidos a mão.
Os sistemas grandes requerem técnicas especiais para tratar dos problemas de tamanho de memória, erros de
arredondamento, tempo de solução e assim por diante.
Tais técnicas são estudadas na área de Análise Numérica. Contudo, quase todos os métodos que são utilizados com sistemas
grandes têm por base as ideais que serão desenvolvidas aqui.
Considere um sistema linear nas incógnitas x, y e z reduzido à matriz aumentada à forma:
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
Torna-se evidente que:
x = 1
y = 2
z = 3
Isso é um exemplo de uma matriz que está em forma escalonada reduzida por linhas.
Para ser dessa forma, uma matriz deve ter as seguintes propriedades:
• Se uma linha não consistir inteiramente em zeros, então o primeiro número não nulo da linha é um 1. Dizemos que esse número 1 é um pivô; 
• Se existirem linhas constituídas inteiramente de zeros, então elas estão agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz; 
• Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistirem só em zeros, o pivô da linha inferior ocorre mais à direita do que o pivô da linha superior; 
• Cada coluna que contém um pivô tem zeros nas demais entradas.
| | | | | |
| |
Dizemos que uma matriz que tem as três primeiras propriedades está em forma escalonada por linhas, ou simplesmente,
em forma escalonada. Assim, uma matriz em forma escalonada reduzida por linhas necessariamente está em forma
escalonada, mas não reciprocamente.

Exemplo
As matrizes a seguir estão em forma escalonada reduzida por linhas.
1 0 0 4
0 1 0 7
0 0 1 -2
, 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
, 
0 1 -2 0 1
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
, 
0 0
0 0
As matrizes a seguir estão em forma escalonada, mas não reduzida.
1 4 -3 7
0 1 0 2
0 0 1 5
, 
1 0 0
0 1 0
0 0 0
, 
0 1 2 6 0
0 0 1 -1 0
0 0 0 0 0
Como ilustram os exemplos anteriores, uma matriz em forma escalonada tem zeros abaixo de cada pivô, enquanto uma matriz
em forma escalonada reduzida por linhas tem zeros abaixo e acima de cada pivô.
Se a matriz aumentada de um sistema de equações lineares for colocada em forma escalonada reduzida por linhas através de
uma sequência de operações elementares nas linhas, então o conjunto de soluções estará visível ou poderá ser obtido
convertendo certas equações lineares à forma paramétrica.

Exemplo
Entenda melhor através de alguns exemplos <galeria/aula9/docs/Exemplo2.pdf> .
Métodos de eliminação
Você verá agora o procedimento de eliminação passo a passo, que pode ser usado para reduzir qualquer matriz à forma
escalonada reduzida.
Considere a matriz:
0 0 -2 0 7 12
2 4 -10 6 12 28
2 4 -5 6 -5 -1
Passo 1
Localizamos a coluna mais à esquerda que não seja constituída inteiramente de zeros (indicada em vermelho).
0 0 -2 0 7 12
2 4 -10 6 12 28
2 4 -5 6 -5 -1
Passo 2
| | | | | | | |
| | | | | |
| |
| |
Permutamos a primeira linha com uma outra linha, se necessário, para obter uma entrada não nula no topo da coluna
encontrada no Passo 1.
2 4 -10 6 12 28
0 0 -2 0 7 12
2 4 -5 6 -5 -1
• Foram permutadas a primeira e a segunda linha.
Passo 3
Se a entrada que agora está no topo da coluna encontrada no Passo 1 é a, multiplicamos a primeira linha inteira por 1/a para
introduzir um pivô.
1 2 -5 3 6 14
0 0 -2 0 7 12
2 4 5 0 6 -5 -1
• A primeira linha foi multiplicada por �⁄�
Passo 4
Somamos múltiplos convenientes da primeira linha às linhas inferiores para obter zeros em todas as entradas abaixo do pivô.
1 2 -5 3 6 14
0 0 -2 0 7 12
0 0 5 0 -17 -29
• A primeira linha foi multiplicada por (−2) e somada á terceira linha
Passo 5
Agora, escondemos a primeira linha da matriz e recomeçamos aplicando o Passo 1 à submatriz resultante. Continuamos dessa
maneira até que toda a matriz esteja em forma escalonada.
1 2 -5 3 6 14
0 0 -2 0 7 12
0 0 5 0 -17 -29
• A primeira linha foi multiplicada por (−2) e somada á terceira linha
1 2 -5 -5 3 6 14
0 0 1 -2 0
- 7
2 -6
0 0 5 0 0 -17 -29
• A primeira linha da submatriz foi multiplicada por −�⁄� para introduzir o pivô
1 2 -5 3 6 14
0 0 1 0
- 7
2 -6
0 0 0 0
1
2 1
| |
| |
| |
| |
| |
| |
• A primeira linha da submatriz foi multplicada por (−5) e somada à segunda linha da submatriz. 
• A linha superior da submatriz foi tratada (linha em vermelho) eretornamos ao passo 1. 
• A coluna não nula mais à esquerda da nova submatriz está em roxo
1 2 -5 3 6 14
0 0 1 0
- 7
2 -6
0 0 0 0 1 2
• A primeira e única linha da nova submatriz foi multiplicada por 2 para introduzir um pivô
Passo 6
Começando com a última linha não nula e trabalhando para cima, somamos múltiplos convenientes de cada linha às linhas
superiores para introduzir zeros acima dos líderes.
1 2 -5 3 6 14
0 0 1 0
- 7
2 -6
0 0 0 0 1 2
• �⁄� foi multiplicado a terceira linha e esta foi somada com a segunda linha
1 2 -5 3 6 14
0 0 1 0 1 1
0 0 0 0 1 2
• �⁄� foi multiplicado a terceira linha e esta foi somada com a segunda linha
1 2 -5 3 0 2
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 2
• (−6) foi multiplicado a terceira linha e esta foi somada com a primeira linha
1 2 0 3 0 7
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 2
• 5 foi multiplicado a segunda linha e esta foi somada com a primeira linha
A última matriz está na forma escalonada reduzida por linhas.
O procedimento (algoritmo) que acabamos de descrever, que reduz uma matriz à forma escalonada reduzida por linhas, é
denominado eliminação de Gauss-Jordan.
Esse algoritmo consiste em duas partes:
Fase para frente, ou direta – em que os zeros são introduzidos abaixo dos pivôs; e 
Fase para trás, ou inversa – em que os zeros são introduzidos acima dos pivôs.
Se usarmos somente a fase direta, então o procedimento, denominado eliminação gaussiana, produz uma forma escalonada
por linhas.
Sistema homogêneo
Um sistema de equações lineares é dito homogêneo, se os termos constantes são todos zero; ou seja, o sistema tem a forma:
| |
| |
| |
| |
| |
Cada sistema de equações lineares homogêneo é consistente, pois todos esses sistemas têm x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0 como
uma solução.
Essa solução é denominada solução trivial ou solução nula. Quaisquer outras soluções, se as houver são ditas não triviais.
Como um sistema linear homogêneo sempre tem a solução trivial, só há duas possibilidades para suas soluções:
• O sistema tem somente a solução trivial; 
• O sistema tem uma infinidade de soluções, além da solução trivial.
No caso especial de um sistema linear homogêneo de duas equações em duas incógnitas, temos:
a1 𝑥 + b1 𝑦 = 0 a1 𝑒 b1 não ambas nulas
a2 𝑥 + b2 𝑦 = 0 a2 𝑒 b2 não ambas nulas
 
Os gráficos das equações são retas pela origem e a solução trivial corresponde ao ponto de corte na origem.
Teoremas
Teorema das variáveis livres de sistemas homogêneos:
“Se um sistema linear homogêneo tiver n incógnitas e se a forma escalonada reduzida de sua matriz aumentada tiver r linhas
não nulas, então o sistema tem n – r variáveis livres.” 
Teorema:
“Se um sistema linear homogêneo apresentar mais incógnitas do que equações, ele terá uma infinidade de soluções”.
Eliminação gaussiana e retrossubstituição
A eliminação de Gauss-Jordan (redução à forma escalonada reduzida por linhas) é um procedimento útil com sistemas lineares
pequenos que são resolvidos à mão.
Contudo, com sistemas lineares grandes, que exigem a utilização de computadores, em geral é mais eficiente usar a
eliminação gaussiana (redução à forma escalonada por linhas), seguida pela técnica conhecida como substituição inversa, ou
retrossubstituição, para completar o processo de resolução do sistema.

Exemplo
Entenda melhor através de alguns exemplos <galeria/aula9/docs/Exemplo3.pdf> .
{ ( )( )
Atividade
1. O sistema linear 
x - y = 1
2x + y = - 5
 apresenta:
 a) Infinitas soluções
 b) Nenhuma solução
 c) Uma única solução, x = 0 e y = - 2
 d) Uma única solução, x = - 4/3 e y = - 7/3
 e) Uma única solução, x = 1/3 e y = - 2/3
2. O sistema S :
𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 + 2𝑥5 = 0
5𝑥3 + 10𝑥4 + 15𝑥6 = 5
2𝑥1 + 6𝑥2 + 8𝑥4 + 4𝑥5 + 18𝑥6 = 6
 apresenta, através da eliminação Gauss-Jordan, uma matriz escalonada
reduzida por linhas equivalente ao sistema:
 S :
𝑥1 + 3𝑥3 + x4 + 2𝑥6 = 0
x3 + 2x4 = 0
x1 =
1
3
 S :
x1 + 3x2 + 2x5 = 0
x3 - 2x4 = 0
x2 =
5
3
 S :
x1 - 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0
2x2 + 2x4 = - 3
x5 =
1
3
 S :
x1 - 3x2 - 4x4 + 2x5 = 0
x3 - 2x4 = 3
x6 =
1
3
 S :
x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0
x3 + 2x4 = 3
x6 =
1
3
{
{
{
{
{
{
{
3. Os coeficientes a, b, c e d, tais que a curva que passa pelos pontos A(0,10), B(1,7), C(3,-11) e D(4,-14) seja o gráfico
da equação 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑, são dados por:
 a) 1, -6, 2, 10
 b) -4, 21, -14, -10
 c) -1, 6, -2, -10
 d) -4, 21, -14, -10
 e) 0, -4, -2, 4
4. Marque a alternativa que corresponde à equação linear em x , x e x :
 a) x1 − 5x2 = √3x3 + 1
 b) x21 = x2 + √ x3
 c) sin x1 ⁄ x2 = 1 − x3
 d) ex1 + x2 = 1 ⁄ x3
 e) x1 + 2x1x2 = 3 − x3
3 2
1 2 3
( )
( )
5. O sistema S :
2x1 − 4x2 − x3 = 1
x1 − 3x2 + x3 = 1
3x1 − 5x2 − 3x3 = 1
 é um sistema classificado como:
 a) Impossível, ou seja, sem solução.
 b) Possível, apenas uma solução – o terno (1,-1,2)
 Possível, infinitas soluções – o terno x3 = t; x2 =
3t - 1
2 ; x1 =
7t - 1
2
 d) Possível, apenas uma solução – o terno (0,0,0)
 e) Possível, infinitas soluções – o terno x3 = - t; x2 =
3t+ 1
2 ; x1 =
− 7t+ 1
4
6. Dado o sistema S :
2x + 3y − z = 1
3x + 2y = 0
2x − 4z = 1
 é possível afirmar que:
 a) O sistema é impossível
 b O sistema é possível e indeterminado
 c) O sistema é possível com a solução (0,0,0)
 d) O sistema é possível com a solução (−�⁄�, �⁄�,−�⁄�)
 e) O sistema é possível com a solução (�⁄�,0,−�⁄�)
7. O sistema S :
x − y = k
x + 3y = 3
 a) Verdadeiro, ∀k ∈ R
 b) Verdadeiro, se k = 1
 c) Verdadeiro, se k = 3
 d) Falso, ∀k ∈ R
 e) Falso, o sistema S é impossível de ser resolvido
Referências
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman Companhia Editora Ltda., 2012.
DIAS, Glória; SOUZA, A. L.; LIMA, M. A. Álgebra linear (livro proprietário). Rio de Janeiro: SESES, 2015.
GUIMARÃES, L. G. S. et al. Bases Matemáticas para Engenharia. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
IEZZI, G.; HAZZAN, S. Fundamentos de Matemática Elementar. Volume 4: Sequências, matrizes, determinantes e
sistemas. 8. ed. São Paulo: Atual Editora Ltda., 2013.
Próximos Passos
Transformações lineares.
Explore mais
Chegamos em nossa nona aula e, com ela, concluímos o assunto sistemas de equações lineares. No entanto, para continuar
mantendo seu interesse e motivá-lo a prosseguir nesta caminhada, veja estas sugestões:
{
{
{
“Exercícios de Sistemas de equações lineares”; <https://pt.khanacademy.org/math/algebra/systems-of-linear-
equations/solving-any-system-of-linear-equations/e/systems_of_equations>
“Revisão do método de eliminação (sistemas de equações lineares)”.
<https://pt.khanacademy.org/math/algebra/systems-of-linear-equations/equivalent-systems-of-
equations/a/elimination-method-review>