Matemática Financeira unidade 2 pdf

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Unidade 2
Prof. Dr. Antonio Benedito de O. Junior
MATEMÁTICA
FINANCEIRA
Agenda
Fonte: MAIA, J. L.; ALVES FILHO, A. G. Estratégia competitiva na prática: teorias, ferramentas, estratégias e casos no Brasil. Limeira: Paco Editorial, 2015.
Na última web, abordei os temas da Unidade 1 do Plano de Ensino da 
disciplina.
Na web de hoje abordarei os temas da Unidade 2 do Plano de Ensino:
• Juros composto usando a calculadora HP-12
• Desconto Composto no regime racional
• Desconto Composto no regime comercial
• Taxas Equivalentes em Juro Composto
Juros Compostos
Conforme visto na aula anterior:
• Os juros incidem sobre o capital inicial acrescido dos juros
acumulados até o período anterior.
• O valor dos juros cresce exponencialmente.
Juros Compostos
Calcular o montante de um capital de $ 1.000,00, aplicado à
taxa de 4% a.m., durante 5 meses.
VP = $1.000,00
n = 5 meses
i = 4% a.m.
VF = ?
Juros Compostos
O montante no final de cada mês, torna-se o capital inicial do
mês seguinte.
Essa fórmula, no excel é bem prática, porém na mão é
trabalhosa.
Juros Compostos
Calcular o montante (VF) de uma aplicação de $ 15.000,00 pelo prazo de 6
meses, à taxa de 3% ao mês.
PV = 15.000,00
n = 6 meses
I = 3% ao mês
FV = ?
Resolução:
FV = VP (1 + i)n
FV = 15.000,00 x (1,03)6
FV = 17.910,78
ALTERNATIVAMENTE, poderíamos usar as teclas de função da HP 12C:.
15000 CHS PV 3 i 6 n = R$ 17.910,78
Juros Compostos
Qual é a taxa que deve ser aplicada a um capital de $ 43.000,00 para que,
em um regime de capitalização composta, dobre de valor em 18 meses?
PV = 43.000,00
FV = 2 x 43.000,00 = 86.000,00
n = 18 meses
i = ?
Resolução:
FV = PV (1 + i )n
(1 + i)18 =
86.000,00
43.000,00
= 2
(1 + i) = 21/18 = 1,03926
i = 3,926%
ALTERNATIVAMENTE, poderíamos usar as
teclas de função da HP 12C:.
f CLx 43000 CHS PV 86000 FV 18 n i = 3,926%
Desconto Bancário
Terminologias:
• Valor nominal: valor do título, expresso no documento.
• Desconto: valor abatido do valor nominal.
• Valor líquido: valor creditado ao cedente (quem descontou 
o título) .
As operações de desconto de recebíveis são bastante comuns 
no mercado financeiro.
Como as operações possuem curto prazo, normalmente 
menos de 90 dias, aplica-se a taxa de desconto com base em 
JUROS SIMPLES!
Desconto Bancário ou por Fora
É aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor
nominal.
É amplamente utilizado no mercado financeiro, principalmente
nas operações de crédito bancário e comercial a curto prazo.
Desconto Bancário
Desconto bancário é expresso por:
D = N x i x n
Valor Líquido por:
L = N x (1 – i x n)
Sendo que:
D = desconto; 
N = valor nominal; 
L = valor líquido recebido após o desconto; 
i = taxa; 
n = período de tempo
Desconto Bancário
Qual o desconto que deverá incidir sobre um título no valor de
R$ 750,00 pago com uma taxa de 5% ao mês por 2 meses e 10
dias antes do vencimento?
N = 750; n = 2 meses e 10 dias = 70 dias; i = 5% a.m. =
0,05/30 = a.d.
Logo:
Capitais Equivalentes
Para Samanez (2006), dois ou mais capitais representativos de uma certa
data são denominados equivalentes quando, a uma certa taxa de juros,
produzem resultados iguais em uma data comum (denominada data focal
ou data de comparação).
Ex.: Considere que um título de R$ 438.080,00 com vencimento para daqui a
8 meses seja equivalente a se receber na data atual o valor de R$ 296.000,00,
admitindo uma taxa de juros simples de 6% ao mês. Desta forma, os valores
R$ 438.080,00 e R$ 296.000,00 são equivalentes?
PV = 438.080,00; n = 8; FV = 296.000,00; i = 0,06
FV = PV + J = PV + PV x i x n => PV = FV/(1+i x n)
Portanto, os valores PV e FV são equivalentes
Taxas Equivalentes
Diz-se que uma taxa n1 é equivalente à taxa n2, quando:
(1 + 𝑖)𝑛1= (1 + 𝑖)𝑛2
Ou seja, duas ou mais taxas referenciadas a períodos unitários 
são equivalentes quando produzem o mesmo montante no 
final de determinado período, pela aplicação do mesmo capital 
inicial.
Taxas Equivalentes – Exercício 1
Vamos passar a taxa de 18% ao ano para uma taxa mensal:
(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝒂𝒏𝒐= (𝟏 + 𝒊)𝒏𝒎ê𝒔
Taxas Equivalentes – Exercício 1: Solução
Vamos passar a taxa de 18% ao ano para uma taxa mensal:
(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝒂𝒏𝒐= (𝟏 + 𝒊)𝒏𝒎ê𝒔
(1 + 0,18)1= (1 + 𝑖)12
(1,18)
1
12= 1 + 𝑖
𝑖 = (1,18)
1
12-1
i = 1,0138843 – 1
i = 0,0138843 (x 100)
i = 1,3888
i = 1,39% a.m.
Vamos passar a taxa de 2,0% ao mês para taxa anual:
(𝟏 + 𝒊)𝒏𝒎ê𝒔= (𝟏 + 𝒊)𝒏 𝒂𝒏𝒐
Taxas Equivalentes – Exercício 2
Vamos passar a taxa de 2,0% ao mês para taxa anual.
(𝟏 + 𝒊)𝒏𝒎ê𝒔= (𝟏 + 𝒊)𝒏 𝒂𝒏𝒐
(1 + 0,02)12= (1 + 𝑖)1
(1,02)12= 1 + 𝑖
1,268241 = 1 + i
i = 1,268241 – 1
i = 0,268441 (x 100)
i = 26,84% a.a.
Taxas Equivalentes – Exercício 2: Solução
Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% a.a.:
(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝒂𝒏𝒐= (𝟏 + 𝒊)𝒏𝒎ê𝒔
Taxas Equivalentes – Exercício 3
Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% a.a.:
(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝒂𝒏𝒐= (𝟏 + 𝒊)𝒏𝒎ê𝒔
(1 + 𝑖𝑎)
1/12= (1 + 𝑖𝑚)1
(1,60103)1/12= 1 + 𝑖
i = 1,04 – 1
i = 0,04 (x 100)
i = 4% a.m.
Taxas Equivalentes – Exercício 3: Solução
Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% a.d.:
(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝒂𝒏𝒐= (𝟏 + 𝒊)𝒏 𝒅𝒊𝒂
Taxas Equivalentes – Exercício 4
Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% a.d.:
(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝒂𝒏𝒐= (𝟏 + 𝒊)𝒏 𝒅𝒊𝒂
(1 + 𝑖𝑑)
360= (1 + 𝑖𝑎)1
(1,0019442)360= 1 + 𝑖
i = 2,0122 – 1
i = 1,0122 (x 100)
i = 101,22% a.m.
Taxas Equivalentes – Exercício 4: Solução
Qual a taxa mensal de juros cobrada em um empréstimo de $
64.000,00 para ser quitado por $ 79.000,00 no prazo de 117
dias?
Taxas de Juros – Exercício 5
Qual a taxa mensal de juros cobrada em um empréstimo de $
64.000,00 para ser quitado por $ 79.000,00 no prazo de 117
dias?
Taxas de Juros – Exercício 5: Solução
Taxa nominal x Taxa efetiva
Uma taxa é dita nominal quando a unidade de prazo definida para a
capitalização dos juros é diferente da unidade de prazo definida para a taxa
de juros.
Exemplo: A taxa nominal de juros cobrada por um banco é de 24% a.a.,
calcule o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos
juros seja mensal:
Isso se dá porque os juros são
capitalizados MENSALMENTE e
não ANUALMENTE, o que seria a
mesma grandeza da taxa de
juros expressa.
BONS ESTUDOS!
Conte comigo!
Matemática 
Financeira
Obrigado!
Prof. Dr. Antonio Benedito de O. Junior