A3 - Graficos e Funçoes

Prévia do material em texto

*
*
Números e 
Funções Reais
Amintas Paiva Afonso
*
Números e funções reais
Conjunto dos Números Naturais (N)
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Positivos: Z+ = {0, 1, 2, 3, ...}
Negativos: Z- = {..., -3, -2, -1, 0}
Não nulos: Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}
N  Z (N está contido em Z)
Conjunto dos Números Racionais (Q)
Q = {a/b | a,b  Z, b  0}
Z  Q (Z está contido em Q)
*
Números e funções reais
Conjunto dos Números Irracionais ( I )
É o conjunto formado por números cuja representação decimal é não exata e não periódica
Exemplo:  = 3,141592653589...
Conjunto dos Números Reais (R)
É o conjunto formado pela união dos conjuntos dos números racionais e irracionais
*
Números e funções reais
Operações com números racionais
Adição: 
Subtração:
Multiplicação:
Divisão:
*
Números e funções reais
Reta Real
Cada ponto de uma reta real representa um número real
Numa reta real os números estão ordenados de maneira crescente da esquerda para a direita.
Um número a é menor que qualquer número b colocado a sua direita e maior que qualquer número c a sua esquerda.
*
Números e funções reais
Conceito de função
Dados dois conjuntos A e B, uma função f de A em B é uma lei ou regra de correspondência que relaciona a cada elemento de de A um único elemento de B.
Notação:
f: A  B
y = f(x) 
*
Números e funções reais
Plano Cartesiano
 O plano cartesiano é definido por dois eixos ortogonais
 Eixo x é o eixo das abscissas
 Eixo y é o eixo das ordenadas
 A origem do sistema é o ponto O
 As coordenadas do ponto P são os números reais x1 e y1
Par ordenado (x1 , y1)
*
Números e funções reais
Domínio
É o conjunto de valores assumidos por x.
Imagem
É o valor assumido pela função ao se aplicar a regra de correspondência para os elementos do domínio. 
Gráfico
É a representação geométrica dos pares x e y no plano cartesiano.
*
Retas
Coeficiente angular (m) da reta R:
Obs.:
Retas horizontais: m = 0
Retas verticais: Não têm m
*
Retas
Equação da Reta: Forma Ponto – Coeficiente angular
A equação abaixo é a equação na forma ponto 
	– coeficiente angular que passa pelo ponto (x1, y1) e tem coeficiente angular m.
*
Retas
Exemplo 1
Escreva uma equação para a reta que passa pelo ponto P(2, 3) com coeficiente angular -3/2.
x1 = 2
y1 = 3
m = -3/2
*
Retas
Exemplo 2
Escreva uma equação para a reta que passa pelos pontos P1(-2, -1) e P2(3, 4).
x1 = -2
y1 = -1
x2 = 3
y2 = 4
m = ?
*
Retas
Equação reduzida da reta:
m - coeficiente angular
b - coeficiente linear
Equação geral da reta:
A e B diferentes de zero.
*
Aplicações
Muitas variáveis importantes são relacionadas por equações lineares, como por exemplo, a relação entre as escalas de temperatura Fahrenheit e Celsius.
*
Funções e Gráficos
Os valores de uma variável frequentemente dependem dos valores de outra variável
A temperatura de ebulição da água depende da altitude (o ponto de ebulição diminui quando a altitude aumenta)
O rendimento anual de suas economias depende da taxa de juros oferecida pelo banco
Uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um único elemento de outro conjunto B é chamada de função.
OBS:
A é o domínio
B é a imagem (contra-domínio)
*
Funções e Gráficos
Nomenclatura (Leonhard Euler)
y é igual a f de x
*
Funções
Definição: Sejam R o conjunto dos números reais e, A e B dois subconjuntos de R. Uma função f de A em B é uma lei que associa a cada elemento x de A, um único elemento y = f(x) do conjunto B. Neste caso, dizemos que y é uma função de x, ou seja, f é uma função real de uma variável real
e denotamos por:
 x é chamada de variável independente.
 y é chamada de variável dependente.
 A é chamado de domínio, denotado por A = 𝔻(f).
 B é chamado de contra domínio , denotado por B = C𝔻(f).
*
Seja f: A → B uma função.
 Domínio da função f é o conjunto A definido por:
 A = 𝔻(f) = {x∊ℝ/ ∃ f(x)ℝ}
 A Imagem da função f, denotada por 𝕀m(f), é um subconjunto do contra domínio B, ou seja, 𝕀m(f)⊂B, definido por:
𝕀m(f) = {yB/ ∃ x∊A, com y = f(x)}
𝕀m(f)
y=f(x)
x
*
Funções e Gráficos
Domínios e imagens
Quando definimos uma função y = f(x) com uma fórmula e o domínio não é citado explicitamente ou restrito pelo contexto, considera-se que o domínio seja o maior conjunto de valores de x para os quais a fórmula fornece valores reais de y – domínio natural.
Se queremos restringir o domínio de algum modo devemos dizê-lo.
Exemplo: O domínio de y = x2 é o conjunto dos números reais. Se queremos somente valores positivos de x devemos escrever y = x2, x > 0.
Os domínios e as imagens de muitas funções de uma variável real a valores reais são intervalos ou combinações de intervalos, que podem ser abertos, fechados ou semi-abertos e finitos ou infinitos.
*
Funções e Gráficos
As extremidades de um intervalo são chamadas pontos de fronteira e os pontos restantes são chamados pontos interiores.
Intervalos que contêm os pontos de fronteira são fechados e os que não contêm são abertos.
Aberto AB
A < x < B ou (A, B)
Fechado AB
A ≤ x ≤ B ou [A, B]
Fechado em A e aberto em B
A ≤ x < B ou [A, B)
Aberto em A e fechado em B
A < x ≤ B ou (A, B]
*
Funções e Gráficos
Exemplos de domínios e imagens
A função 1 fornece um valor real de y para qualquer número real de x, então o domínio é (-, )
A função 2 fornece um valor real de y somente quando x é positivo ou zero, então o domínio é [0, )
*
Gráfico de uma função
Uma função pode ser representada por pares ordenados e seu gráfico é um subconjunto do ℝ2, isto é:
Gr(f) = {(x,y)  ℝ2/x𝔻(f) e y = f(x)  𝕀m(f)} ou
Gr(f) = {(x,f(x))  ℝ/ x  𝔻(f) }
(x,y)
y=f(x)
𝔻(f)={x∊ℝ/x1  x  x2}=[x1 , x2]
𝕀m(f)=[y1 , y2]
*
Zeros e sinais de uma função
Zeros ou raízes da função são os pontos de interseção do gráfico da função com o eixo Ox, ou seja, f(x)=0, ou ainda, onde y=0.
y=f(x)
Os sinais da função: Acima do eixo Ox ela é positiva e abaixo é negativa.
x1
x2
x3
]-∞,x1]  y<0
[x1,x2]  y>0
[x2,x3]  y<0
[x3,+∞[  y>0
+
+
▁
▁
*
Números e funções reais
Tipos de funções
Função afim
Ex.: y = x + 1;
Função linear
Ex.: y = 2x;
Função quadrática
Ex.: y = x2 – 2x – 3;
Função exponencial
Ex.: y = 2x;
Função logarítmica
Ex.: y = log2x;
Funções trigonométricas
Ex.: y = senx 
*
Função do 1º Grau
Uma função de 1º grau, ou RETA, é toda função real do tipo :
Onde:
 a ou m = taxa de variação da função, declividade, inclinação, coeficiente angular;
 b = ponto onde a reta toca o Eixo y;
*
Propriedades da Reta
 É definida por um polinômio de 1º grau;
 Possui uma única raiz real, isto é, ela cruza o Eixo X em
 apenas um ponto;
 O sinal da taxa de variação a (ou m) fornece a informação sobre o
 crescimento ou decrescimento da função:
a < 0  função decrescente;
a > 0  função crescente;
*
Propriedades da Reta
Só tocam o eixo X uma vez.
Se a < 0, a função decresce.
Se a > 0, a função cresce.
*
As funções de 1º Grau possuem apenas uma raiz, que é justamente onde a reta (que representa a função de 1º Grau) cruza o Eixo x. Isto é, onde a função tem valor zero.
Raízes da Função de 1º Grau
*
Função Afim
y = ax + b 
∀ a≠0 e bℝ 
θ
a > 0  reta crescente
b
a  coeficiente angular  a = tgθ
b  coeficiente linear
a < 0  reta decrescente
θ
b
  Função do 1º grau 
*
Função Linear
y = ax + b 
θ
a>0  reta crescente
a<0  reta decrescente
θ
y = ax 
*
Até 40h  3,00 por hora
Acima de 40h  + 50% (4,50 por hora)
Salário Bruto = (até 40h) + (acima de 40h)
Sendo x o número total de horas,
S(x) = 40.3 + (x – 40).4,5
S(x) = 120 + 4,5x – 180 = 4,5x - 60
Exercícios
*
Fixa...... 4,60 + 0,96 por quilômetro
Para um valor de 19,00
F(x) = 4,60 + 0,96.x
19 = 4,6 + 0,96.x
14,4 = 0,96.x
15 = x
Exercícios
*
X – preço de tabela
À vista: (30% de desc) = 0,7.x
Cartão de crédito: 1,1.x
Logo 0,7.x = 7000
 x = 10.000
E portanto, no cartão 1,1.10000 = 11000
Exercícios
*
Exercícios
*
Exercícios
*
Uma função de 2º grau, também chamada de função QUADRÁTICA, representada por uma PARÁBOLA, é toda função real do tipo:
Desde que a ≠ 0;
Função de 2º Grau
*
 É definida por um polinômio de 2o grau;
 Pode possuir:
Duas raízes reais e distintas;
Duas raízes reais e iguais;
Nenhuma raiz real (não cruza o Eixo X).
 O sinal de a fornece a informação sobre a concavidade da função:
a < 0  concavidade para baixo;
a > 0  concavidade para cima;
Propriedades da Parábola
*
Propriedades da Parábola
Podem ter três tipos de raízes.
Se a < 0, a concavidade é para baixo.
Se a > 0, a concavidade é para cima.
*
Para encontrar as raízes de funções de 2º Grau, resolvemos a equação:
Cuja solução pode ser dada pela fórmula de Bhaskara:
Raízes da Função de 2º Grau
*
Função Quadrática
  Função do 2º grau
a>0  concavidade para cima
a<0  concavidade para baixo
*
Função Quadrática
 > 0
 = 0
 <0
x1
x2
x1 = x2
*
Propriedades das Funções
-4
-2
-1
-3
*
Propriedades das Funções
1
-1
f(x+a) com a>0 deslocamento para a esquerda
f(x-a) com a>0 deslocamento para a direita
*
Propriedades das Funções
*
Propriedades das Funções
2
-2
f(x) e –f(x) são simétricas em relação ao eixo Ox
f(x) e f(-x) são simétricas em relação ao eixo Oy
*
Função Polinomial
3 raízes reais diferentes
2 raízes reais iguais e 1 diferente
2 raízes complexas e 1 real
*
Função Potência
*
Função Potência
*
Função Potência
*
Função Potência
*
Função Potência
*
Função Potência
*
Função Racional
-1
*
*
Função Logarítmica
1
1
*
Função Exponencial
1
1
1
*
Função definida por Sentença Aberta
1
0
2
-1
*
Função Modular
*
*
Círculo Trigonométrico e os eixos das funções trigonométricas
Seno e Cossecante
Cosseno e Secante
Tangente
 Cotangente
*
Funções sen(x) e cossec(x)
θ
*
Função Seno
*
Funções cos(x) e sec(x)
θ
*
Função Cosseno
Função Secante
*
Funções tg(x) e cotg(x)
θ
Eixo da tangente
Eixo da cotangente
*
Função Tangente
Função cotangente
*
Função Inversas das funções sen(x), cos(x) e tg(x)
f(x)=sen(x)
f -1(x)=arcsen(x)
*
f(x)=cos(x)
f -1(x)=arccos(x)
*
f-1 (x)=arctg(x)
*
Funções Hiperbólicas
Das funções trigonométricas, temos que P(x,y)=(cosθ,senθ) está sobre uma circunferência de equação x2+y2=1. .
Para as funções hiperbólicas, temos que P(x,y)=(coshθ,senhθ) está sobre uma hipérbole de equação x2-y2=1.
P(x,y)=(coshθ,senhθ)
*
Definições:
1
 Seno hiperbólico
 Cosseno hiperbólico
*
Outras funções hiperbólicas
Tangente hiperbólica
1
-1
Cotangente hiperbólica
1
-1
cotgh(x)
tgh(x)
*
Secante hiperbólica
1
Cossecante hiperbólica
sech(x)
cosech(x)
*