apostila controle estatistico do processo

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Controle Estatístico 
do Processo
Elder André Zuin
APRESENTAÇÃO
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Controle Estatístico do 
Processo, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmico 
e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) 
alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina.
A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis-
ciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail.
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, 
a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, 
bem como acesso a redes de informação e documentação.
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suple-
mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para 
uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!
Unisa Digital
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................... 5
1 COLETA DE DADOS .............................................................................................................................. 7
1.1 Folha de Verificação ........................................................................................................................................................7
1.2 Estratificação .....................................................................................................................................................................8
1.3 Resumo do Capítulo .......................................................................................................................................................9
1.4 Atividades Propostas ......................................................................................................................................................9
2 METROLOGIA ......................................................................................................................................... 11
2.1 Instrumentos ..................................................................................................................................................................13
2.2 Tolerância Dimensional ..............................................................................................................................................22
2.3 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................23
3 INTRODUÇÃO ÀS CARTAS DE CONTROLE ........................................................................ 25
3.1 Conceito de Variabilidade .........................................................................................................................................25
3.2 Tipos de Variável ............................................................................................................................................................26
3.3 Critérios das Causas Especiais ..................................................................................................................................29
3.4 Distribuição Normal .....................................................................................................................................................33
3.5 Cartas de Controle para Variáveis ...........................................................................................................................34
3.6 Cartas de Controle de Atributos .............................................................................................................................43
3.7 Capacidade de Processos ..........................................................................................................................................53
3.8 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................57
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................... 59
REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................. 63
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INTRODUÇÃO
Prezado(a) estudante, 
O objetivo desta apostila é apresentar os princípios do controle estatístico dos processos. Trata-se 
de uma ferramenta de qualidade utilizada em processos produtivos e de serviços que tem a função de 
fornecer informações relativas ao diagnóstico mais eficaz na prevenção de defeitos ou problemas num 
dado processo produtivo, que é avaliado de tal forma que temos um aumento substancial na produção 
e uma consequente diminuição de desperdício de matérias-primas, insumos e horas destinadas às corre-
ções de processos defeituosos.
Como o próprio nome nos sugere, a estatística é ferramenta fundamental desse processo e deve 
ser encarada como um pré-requisito fundamental ao entendimento desta matéria. Obviamente que 
você, caro(a) estudante, não deve ser um(a) estatístico(a) profissional, mas deve conhecer as principais 
ferramentas e conceitos utilizados nesta apostila.
A introdução proposta de metrologia teve como intuito mostrar a você, aluno(a), as dificuldades 
encontradas nos primórdios da engenharia humana, pois não havia padrões definidos. No caso desta 
apostila, esse assunto teve a função de demonstrar como é importante fazer a coleta de dados com 
critérios, parâmetros e cautela, pois o estudo do processo a ser analisado depende exclusivamente do 
tratamento dessas medidas.
No mais, desejamos-lhe sucesso nos seus estudos, que esta apostila desperte em você, aluno(a), o 
interesse pela matéria de maneira que, quando for um(a) profissional formado(a), encare a sua profissão 
não como um simples modo de subsistência e sobrevivência, mas como uma atividade prazerosa e que 
será, sem sombra de dúvidas, muito útil ao nosso país que está em plena fase de crescimento. Dessa ma-
neira, o(a) profissional fica realizado(a) e o país ganha com a sua prestação de serviços. 
Como disse sabiamente o filosofo romano Sêneca: ”Se não sabes a que porto te diriges, ne-
nhum vento te será favorável (sic)”. Então, sem pretensão alguma, que esta apostila seja o porto seguro 
daquele(a) estudante que desejar o conhecimento aqui contido, de modo a guiá-lo(a) por uma carreira 
profícua e cheia de realizações.
Muito sucesso a você, prezado(a) estudante.
Cordialmente,
Professor Elder André Zuin
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COLETA DE DADOS1
Caro(a) aluno(a), 
Neste capítulo, trataremos da fase de coleta 
de dados. Vamos iniciar a discussão relativa a esse 
tópico?
A fase de coleta de dados é a mais impor-
tante, pois determina todo o comportamento do 
processo escolhido para ser avaliado. Sugiro que 
façamos um exercício mental respondendo às 
perguntas:
ƒƒ O que quero medir?
ƒƒ O que devo medir?
ƒƒ Qual resultado esperado?
ƒƒ O que estou medindo é realmente o 
que devo medir?
ƒƒ Existem fatores externos e/ou internos 
que afetam a qualidade das medidas?
ƒƒ Os dados coletados são realmente con-
fiáveis?
ƒƒ Existem desvios que não foram analisa-
dos ou fatores importantes que foram 
descartados?
Feito esse pequeno exercício, poderemos 
passar para a próxima fase, na qual surgem novas 
perguntas:
ƒƒ Quem deve fazer as medidas?
ƒƒ Comodevem ser feitas as medidas?
ƒƒ Quando devem ser feitas as medidas?
ƒƒ Quais são os recursos necessários para 
se fazer as medidas?
AtençãoAtenção
O sucesso do seu controle é fundamentado na 
boa execução das medidas.
Vamos então iniciar o estudo dos métodos 
utilizados na coleta de medidas?
Podemos listar os principais métodos utili-
zados:
1. Folha de verificação;
2. Estratificação.
1.1 Folha de Verificação
Processos nada mais são que transformar 
entradas em saídas e, quando conhecemos mui-
to bem o processo, podemos prever as saídas de 
acordo com os dados de entrada. Essa previsão 
ajuda-nos na correção de erros ao longo do tem-
po. O controle de qualidade exige a análise dos 
dados com as finalidades de inspecionar para 
poder aceitar ou rejeitar um dado produto, mo-
nitorar o desempenho do processo e controlar 
para a diminuição de desperdícios ao longo do 
processo.
Nesse contexto, entra a folha de verifica-
ção, que é uma ferramenta simples e rápida, tor-
nando o controle e a coleta de dados automática. 
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Vejamos um exemplo de folha de verificação na 
Tabela 1.
Tabela 1 – Exemplo de folha de verificação.
Folha de verificação de itens defeituosos
Peça:
Setor:
Operador:
Turno:
Verificador:
Turno de Operação a b c
...
Obs.: Um exemplo de folha de verificação de um processo qualquer na Empresa X, onde a, b e c são 
exemplos de processos que devem ser monitorados.
Claro que as tabelas devem ser adequadas 
à realidade da empresa e customizadas de acordo 
com os processos ou serviços envolvidos.
Um exemplo particular de folha de verifica-
ção é o checklist (literalmente, lista de verificação). 
Aqui no Brasil, checklist é a relação de itens que 
deve ser checada antes do início de uma ativida-
de. Um simples exemplo de checklist é a lista de 
compras que fazemos antes de ir ao supermerca-
do; que serve para verificarmos se adquirimos ou 
não todos os itens que precisávamos.
1.2 Estratificação
Mas você pode perguntar-se: E quando os 
produtos são fabricados por diferentes máqui-
nas e, dessa forma, apresentar diferenças entre si, 
como podemos fazer o controle? A estratificação 
é a resposta. 
Estratificar é tomar amostras de diferentes 
produtos, de diferentes máquinas, para poder fa-
zer uma comparação com o mínimo de parâme-
tros. 
Convido você a fazer o seguinte e simples 
exercício mental: imagine uma caixa cheia de por-
cas, parafusos e arruelas. Como se podem compa-
rar produtos que foram feitos de maneiras e em 
processos diferentes? A solução é simples, basta 
separar todas as porcas, arruelas e parafusos. Com 
isso, é possível fazer uma análise aprofundada 
dos processos envolvidos.
É muito importante lembrar que a estrati-
ficação deve ser feita antes da coleta dos dados 
e sempre, na análise dos dados, lembre-se de 
que os dados provenientes de origens diferentes 
apontam efeitos característicos e diferentes sobre 
a qualidade.
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Caro(a) aluno(a), a mensagem-chave deste capítulo pode ser resumida em três palavras: organiza-
ção, planejamento e anotações bem feitas.
É importante conhecer o processo a ser avaliado, para se fazer a folha de verificações e o processo 
de estratificação.
É fundamental saber:
Folha de verificação é uma tabela ou planilha estruturada para o registro de dados e o cálcu-
lo de algumas estatísticas.
Estratificação é a técnica de classificar itens em grupos semelhantes para a coleta de análise 
de dados.
Caro(a) aluno(a), vamos agora avaliar a sua aprendizagem.
1.3 Resumo do Capítulo
1.4 Atividades Propostas
1. Faça uma folha de verificação para levantamento da produção de uma fábrica de biscoitos ao 
longo do mês. Considere pelo menos 5 tipos de biscoitos, a produção e cada item por mês e o 
total produzido.
2. A folha de verificação abaixo controla o número de ligações realizadas por um grupo de pes-
soas no trabalho durante uma semana.
Folha de verificação para monitoração de ligações
Motivo 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª Total
Engano 0 1 0 2 4 7
Pedido de informação 1 0 1 1 1 4
O próprio chefe 2 1 1 3 4 11
Chamadas pessoais 5 10 12 14 11 52
Total 8 12 14 20 20 74
Você deve fazer uma análise dos dados encontrados explicando o comportamento das ligações em 
função do mês.
3. Descreva o tipo de estratificação que pode ser usado para estudar erros no trabalho de uma 
equipe de costureiras.
4. Descreva o tipo de estratificação que pode ser usado para estudar as faltas no trabalho.
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Iremos agora para um breve histórico sobre 
metrologia e coleta de dados com instrumentos.
Como fazia o homem, cerca de 4.000 anos 
atrás, para medir comprimentos? As unidades de 
medição primitivas estavam baseadas em partes 
do corpo humano, que eram referências univer-
sais, pois ficava fácil de chegar a uma medida que 
podia ser verificada por qualquer pessoa. 
Foi assim que surgiram medidas-padrão, 
como a polegada, o palmo, o pé, a jarda, a braça 
e o passo. Algumas dessas medidas-padrão con-
tinuam sendo empregadas até hoje. Veja os seus 
correspondentes em centímetros: 1 polegada = 
2,54 cm; 1 pé = 30,48 cm; 1 jarda = 91,44 cm.
Em geral, essas unidades eram baseadas 
nas medidas do corpo do rei, sendo que tais pa-
drões deveriam ser respeitados por todas as pes-
soas que, naquele reino, fizessem as medições.
O Antigo Testamento da Bíblia é um dos 
registros mais antigos da história da humanida-
de. No Gênesis, lê-se que o Criador mandou Noé 
construir uma arca com dimensões muito especí-
ficas, medidas em côvados.
O côvado era uma medida-padrão da re-
gião onde morava Noé, e é equivalente a 3 pal-
mos, aproximadamente 66 cm.
Há cerca de 4.000 anos, os egípcios usavam, 
como padrão de medida de comprimento, o cú-
bito: distância do cotovelo à ponta do dedo mé-
dio. Como as pessoas têm tamanhos diferentes, o 
cúbito variava de uma pessoa para outra, ocasio-
nando as maiores confusões nos resultados das 
medidas. Para serem úteis, era necessário que os 
padrões fossem iguais para todos. Diante desse 
problema, os egípcios resolveram criar um pa-
drão único: em lugar do próprio corpo, eles pas-
METROLOGIA2
saram a usar, em suas medições, barras de pedra 
com o mesmo comprimento. Foi assim que surgiu 
o cúbito-padrão.
Com o tempo, as barras passaram a ser cons-
truídas de madeira, para facilitar o transporte. 
Como a madeira logo se gastava, foram gravados 
comprimentos equivalentes a um cúbito-padrão 
nas paredes dos principais templos. Desse modo, 
cada um podia conferir periodicamente sua barra 
ou mesmo fazer outras, quando necessário.
Nos séculos XV e XVI, os padrões mais usa-
dos na Inglaterra para medir comprimentos eram 
a polegada, o pé, a jarda e a milha.
Na França, no século XVII, ocorreu um avan-
ço importante na questão de medidas. A toesa, 
que era então utilizada como unidade de medida 
linear, foi padronizada em uma barra de ferro com 
2 pinos nas extremidades e, em seguida, chumba-
da na parede externa do Grand Chatelet, nas pro-
ximidades de Paris. Dessa forma, assim como o 
cúbito-padrão, cada interessado poderia conferir 
seus próprios instrumentos. Uma toesa é equiva-
lente a 6 pés, aproximadamente 182,9 cm.
Entretanto, esse padrão também foi se des-
gastando com o tempo e teve que ser refeito. Sur-
giu, então, um movimento no sentido de estabe-
lecer uma unidade natural, isto é, que pudesse ser 
encontrada na natureza e, assim, ser facilmente 
copiada, constituindo um padrão de medida.
Havia também outra exigência para essa 
unidade: ela deveria ter seus submúltiplos esta-
belecidos segundo o sistema decimal. O sistema 
decimal já havia sido inventado na Índia, quatroséculos antes de Cristo. Finalmente, um sistema 
com essas características foi apresentado por Tal-
leyrand, na França, num projeto que se transfor-
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mou em lei naquele país e que foi aprovada em 8 
de maio de 1790.
Estabelecia-se, então, que a nova unidade 
deveria ser igual à décima milionésima parte de 
um quarto do meridiano terrestre.
Essa nova unidade passou a ser chamada 
metro (o termo grego metron significa medir).
Os astrônomos franceses Delambre e Mé-
chain foram incumbidos de medir o meridiano. 
Utilizando a toesa como unidade, mediram a 
distância entre Dunkerque (França) e Montjuich 
(Espanha). Feitos os cálculos, chegou-se a uma 
distância que foi materializada numa barra de 
platina de seção retangular de 4,05 x 25 mm.
O comprimento dessa barra era equivalente 
ao comprimento da unidade padrão metro, que 
assim foi definido: metro é a décima milionésima 
parte de um quarto do meridiano terrestre.
Foi esse metro transformado em barra de 
platina que passou a ser denominado metro dos 
arquivos.
Com o desenvolvimento da ciência, verifi-
cou-se que uma medição mais precisa do meri-
diano fatalmente daria um metro um pouco dife-
rente. Assim, a primeira definição foi substituída 
por uma segunda: metro é a distância entre os dois 
extremos da barra de platina depositada nos Arqui-
vos da França e apoiada nos pontos de mínima fle-
xão na temperatura de zero grau Celsius. Escolheu-
-se a temperatura de zero grau Celsius por ser, na 
época, a mais facilmente obtida com o gelo fun-
dente.
No século XIX, vários países já haviam ado-
tado o sistema métrico. No Brasil, o sistema métri-
co foi implantado pela Lei Imperial nº 1.157, de 26 
de junho de 1862. Estabeleceu-se, então, um pra-
zo de dez anos para que padrões antigos fossem 
inteiramente substituídos.
Com exigências tecnológicas maiores, de-
correntes do avanço científico, notou- se que o 
metro dos arquivos apresentava certos inconve-
nientes. Por exemplo, o paralelismo das faces não 
era assim tão perfeito. O material, relativamente 
mole, poderia se desgastar, e a barra também não 
era suficientemente rígida.
Para aperfeiçoar o sistema, fez-se outro pa-
drão, que recebeu:
ƒƒ seção transversal em X, para ter maior 
estabilidade;
ƒƒ uma adição de 10% de irídio, para tor-
nar seu material mais durável;
ƒƒ dois traços em seu plano neutro, de for-
ma a tornar a medida mais perfeita.
Assim, em 1889, surgiu a terceira definição: 
metro é a distância entre os eixos de dois traços 
principais marcados na superfície neutra do padrão 
internacional depositado no Bureau International 
des Poids et Mésures (BIPM), na temperatura de zero 
grau Celsius e sob uma pressão atmosférica de 760 
mmHg e apoiado sobre seus pontos de mínima fle-
xão.
Em 1826, foram feitas 32 barras-padrão na 
França. Em 1889, determinou-se que a barra nº 6 
seria o metro dos Arquivos e a de nº 26 foi desti-
nada ao Brasil.
Esse metro-padrão encontra-se no Instituto 
de Pesquisas Tecnológicas (IPT).
Atualmente, a temperatura de referência 
para calibração é de 20 ºC. É nessa temperatura 
que o metro, utilizado em laboratório de metro-
logia, tem o mesmo comprimento do padrão que 
se encontra na França, na temperatura de zero 
grau Celsius.
Ocorreram, ainda, outras modificações. 
Hoje, o padrão do metro em vigor no Brasil é reco-
mendado pelo Instituto Nacional de Metrologia, 
Normalização e Qualidade Industrial (INMETRO), 
baseado na velocidade da luz, de acordo com 
decisão da 17ª Conferência Geral dos Pesos e Me-
didas de 1983. O INMETRO, em sua Resolução nº 
3/1984, assim definiu o metro:
AtençãoAtenção
Metro é o comprimento do trajeto percorrido 
pela luz no vácuo, durante o intervalo de tem-
po de 1 / 299.792.458 do segundo.
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Você sabia que a famosa fórmula da Relativida-
de Geral E = mc2 apresentou ao público geral o 
conceito de velocidade da luz, que, por ser muito 
estável e constante, serviu para parametrizar a 
medida dessa grandeza física? A padronização de 
tempo é feita da mesma maneira que a do metro, 
baseada em outro fenômeno físico, que é o de-
caimento radioativo do césio no relógio atômico.
CuriosidadeCuriosidade
É importante observar que todas essas defi-
nições somente estabeleceram com maior exati-
dão o valor da mesma unidade: o metro.
Porém, nem todo o mundo aderiu ao metro. 
A Inglaterra e todos os territórios dominados há 
séculos por ela utilizavam um sistema de medi-
das próprio, facilitando as transações comerciais 
ou outras atividades de sua sociedade.
Acontece que o sistema inglês difere to-
talmente do sistema métrico que passou a ser 
o mais usado em todo o mundo. Em 1959, a 
jarda foi definida em função do metro, valendo 
0,91440 m.
As divisões da jarda (3 pés; cada pé com 12 
polegadas) passaram, então, a ter seus valores ex-
pressos no sistema métrico:
ƒƒ 1 inch (uma polegada) = 25,4 mm;
ƒƒ 1 yd (uma jarda) = 0,91440 m;
ƒƒ 1 ft (um pé) = 304,8 mm.
AtençãoAtenção
Esta introdução tem o intuito de mostrar a você 
o quanto é importante estabelecer padrões e 
critérios para coleta de medidas. 
Na próxima seção desta apostila, daremos 
uma breve introdução a alguns instrumentos de 
medição, para que você se acostume com os mais 
utilizados na indústria.
2.1 Instrumentos
Caro(a) aluno(a), iniciaremos agora uma breve apresentação de alguns instrumentos utilizados em 
processos industriais.
Paquímetro
O paquímetro é um instrumento usado para medir as dimensões lineares internas, externas e de 
profundidade de uma peça. Consiste em uma régua graduada, com encosto fixo, sobre a qual desliza um 
cursor. 
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O cursor ajusta-se à régua e permite sua livre movimentação, com um mínimo de folga. Ele é dota-
do de uma escala auxiliar, chamada nônio ou vernier. Essa escala permite a leitura de frações da menor 
divisão da escala fixa.
O paquímetro é usado quando a quantidade de peças que se quer medir é pequena. Os instrumen-
tos mais utilizados apresentam uma resolução de: 0,05 mm, 0,02 mm, 1/128” ou .001”.
As superfícies do paquímetro são planas e polidas, e o instrumento geralmente é feito de aço ino-
xidável. Suas graduações são calibradas a 20 ºC.
Princípio do nônio
A escala do cursor é chamada nônio ou vernier, em homenagem ao português Pedro Nunes e ao 
francês Pierre Vernier, considerados seus inventores. O nônio possui uma divisão a mais que a unidade 
usada na escala fixa.
No sistema métrico, existem paquímetros em que o nônio possui dez divisões equivalentes a nove 
milímetros (9 mm). Há, portanto, uma diferença de 0,1 mm entre o primeiro traço da escala fixa e o pri-
meiro traço da escala móvel. Essa diferença é de 0,2 mm entre o segundo traço de cada escala; de 0,3 mm 
entre o terceiros traços, e assim por diante.
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Leitura no sistema métrico
Na escala fixa ou principal do paquímetro, a leitura feita antes do zero do nônio corresponde à 
leitura em milímetro. Em seguida, devem-se contar os traços do nônio até o ponto em que um deles 
coincidir com um traço da escala fixa. Depois, soma-se o número que leu na escala fixa ao número que 
leu no nônio. Para você entender o processo de leitura no paquímetro, são apresentados, a seguir, dois 
exemplos de leitura.
Calibradores
Calibradores são instrumentos que estabelecem os limites máximo e mínimo das dimensões que 
desejamos comparar. Podem ter formatos especiais, dependendo das aplicações, como, por exemplo, as 
medidas de roscas, furos e eixos.
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Geralmente sãofabricados de aço carbono e com as faces de contato temperadas e retificadas. Os 
calibradores são empregados nos trabalhos de produção em série de peças intercambiáveis, isto é, peças 
que podem ser trocadas entre si, por constituírem conjuntos praticamente idênticos.
Quando isso acontece, as peças estão dentro dos limites de tolerância, isto é, entre o limite máximo 
e o limite mínimo, quer dizer: passa/não passa.
Tipos de calibrador
ƒƒ Calibrador tampão (para furos)
O funcionamento do calibrador tampão é bem simples: o furo que será medido deve permitir a 
entrada da extremidade mais longa do tampão (lado passa), mas não da outra extremidade (lado não 
passa).
Por exemplo, no calibrador tampão 50H7, a extremidade cilíndrica da esquerda (50 mm + 0,000 
mm, ou seja, 50 mm) deve passar pelo furo. O diâmetro da direita (50 mm + 0,030 mm) não deve passar 
pelo furo.
O lado não passa tem uma marca vermelha. Esse tipo de calibrador é normalmente utilizado em 
furos e ranhuras de até 100 mm.
ƒƒ Calibrador de boca
Esse calibrador tem duas bocas para controle: uma passa, com a medida máxima, e a outra não 
passa, com a medida mínima. O lado não passa tem chanfros e uma marca vermelha. É normalmente 
utilizado para eixos e materiais planos de até 100 mm. O calibrador deve entrar no furo ou passar sobre o 
eixo por seu próprio peso, sem pressão.
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ƒƒ Calibrador de boca separada
Para dimensões muito grandes, são utilizados dois calibradores de bocas separadas: um passa e o 
outro não passa. Os calibradores de bocas separadas são usados para dimensões compreendidas entre 
100 mm e 500 mm.
ƒƒ Calibrador de boca escalonada
Para verificações com maior rapidez, foram projetados calibradores de bocas escalonadas ou de 
bocas progressivas. O eixo deve passar no diâmetro máximo (Dmáx.) e não passar no diâmetro mínimo 
(Dmín.). Sua utilização compreende dimensões de até 500 mm.
ƒƒCalibrador chato
Para dimensões internas, na faixa de 80 a 260 mm, tendo em vista a redução de seu peso, usa-se o 
calibrador chato ou calibrador de contato parcial.
Para dimensões internas entre 100 e 260 mm, usa-se o calibrador escalonado representado abaixo. 
ͳͻ��
 ƒ� Calibrador de boca escalonada 
Para verificações com maior rapidez, foram projetados calibradores de bocas 
escalonadas ou de bocas progressivas. O eixo deve passar no diâmetro máximo 
(Dmáx.) e não passar no diâmetro mínimo (Dmín.). Sua utilização compreende 
dimensões de até 500 mm. 
 ƒ� Calibrador chato 
Para dimensões internas, na faixa de 80 a 260 mm, tendo em vista a redução de 
seu peso, usa-se o calibrador chato ou calibrador de contato parcial. 
 
Para dimensões internas entre 100 e 260 mm, usa-se o calibrador escalonado 
representado abaixo. 
 
 
 
 
 
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Para dimensões acima de 260 mm, usa-se o calibrador tipo vareta, que é formado por hastes metá-
licas com as pontas em forma de calota esférica.
ƒƒCalibrador de boca ajustável
O calibrador de boca ajustável resolve o problema das indústrias médias e pequenas pela redução 
do investimento inicial na compra desses equipamentos. O calibrador ajustável para eixo tem dois ou 
quatro parafusos de fixação e pinos de aço temperado e retificado. É confeccionado de ferro fundido, 
em forma de ferradura. A dimensão máxima pode ser ajustada entre os dois pinos anteriores, enquanto 
a dimensão mínima é ajustada entre os dois pinos posteriores.
Esse calibrador normalmente é ajustado com auxílio de blocos-padrão.
Conservação
ƒƒ Evitar choques e quedas.
ƒƒ Limpar e passar um pouco de óleo fino, após o uso.
ƒƒ Guardar em estojo e em local apropriado. 
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Relógio comparador 
O relógio comparador é um instrumento de 
medição por comparação, dotado de uma escala 
e um ponteiro, ligados por mecanismos diversos a 
uma ponta de contato. Medir a grandeza de uma 
peça por comparação é determinar a diferença da 
grandeza existente entre ela e um padrão de di-
mensão predeterminado. Daí originou-se o termo 
medição indireta.
Dimensão da peça = Dimensão do padrão ± 
diferença.
Também se pode tomar como padrão uma 
peça original, de dimensões conhecidas, que é 
utilizada como referência. O comparador cen-
tesimal é um instrumento comum de medição 
por comparação. As diferenças percebidas nele 
pela ponta de contato são amplificadas mecani-
camente e irão movimentar o ponteiro rotativo 
diante da escala.
Quando a ponta de contato sofre uma pres-
são e o ponteiro gira em sentido horário, a diferen-
ça é positiva. Isso significa que a peça apresenta 
maior dimensão que a estabelecida. Se o ponteiro 
girar em sentido anti-horário, a diferença será ne-
gativa, ou seja, a peça apresenta menor dimensão 
que a estabelecida. Existem vários modelos de 
relógios comparadores. Os mais utilizados pos-
suem resolução de 0,01 mm. O curso do relógio 
também varia de acordo com o modelo, porém 
os mais comuns são de 1 mm, 10 mm, 250” ou 1”.
A figura a seguir mostra um relógio compa-
rador:
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Em alguns modelos, a escala dos relógios 
se apresenta perpendicularmente em relação à 
ponta de contato (vertical). E, caso apresentem 
um curso que implique mais de uma volta, os re-
lógios comparadores possuem, além do ponteiro 
normal, outro menor, denominado contador de 
voltas do ponteiro principal.
Alguns relógios trazem limitadores de tole-
rância. Esses limitadores são móveis, podendo ser 
ajustados nos valores máximo e mínimo permiti-
dos para a peça que será medida. Existem ainda 
os acessórios especiais que se adaptam aos reló-
gios comparadores. Sua finalidade é possibilitar 
controle em série de peças, medições especiais 
de superfícies verticais, de profundidade, de es-
pessuras de chapas etc.
Condições de uso
Antes de medir uma peça, devemos nos 
certificar de que o relógio se encontra em boas 
condições de uso. A verificação de possíveis erros 
é feita da seguinte maneira: com o auxílio de um 
suporte de relógio, tomam-se as diversas medidas 
nos blocos-padrão. Em seguida, deve-se observar 
se as medidas obtidas no relógio correspondem 
às dos blocos. São encontrados também calibra-
dores específicos para relógios comparadores. 
Aplicação de relógios comparadores
 
 
Controle Estatístico do Processo
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Conservação
ƒƒ Descer suavemente a ponta de contato 
sobre a peça.
ƒƒ Levantar um pouco a ponta de contato 
ao retirar a peça.
ƒƒ Evitar choques, arranhões e sujeira.
ƒƒ Manter o relógio guardado no seu esto-
jo.
ƒƒ Os relógios devem ser lubrificados in-
ternamente nos mancais das engrena-
gens.
2.2 Tolerância Dimensional
O último tópico abordado neste capítulo apresenta a você o conceito de tolerância, pois a seu uso 
interfere diretamente na qualidade das medidas.
Tipos de ajuste
Ajuste com folga: é quando o afastamento supe-
rior do eixo é menor do que o afastamento inferior do 
furo. O eixo sempre será menor do que o furo.
Ajuste com interferência: é quando o afasta-
mento superior do furo é menor do que o afastamento 
inferior do eixo. O eixo sempre será maior que o furo.
Ajuste incerto: é o ajuste intermediário entre o 
ajuste com folga e o ajuste com interferência. Nesse 
caso, o afastamento superior do eixo é maior do que o 
afastamento inferior do furo, e o afastamento superior 
do furo é maior do que o afastamento inferior do eixo. 
O ajuste final entre as peças poderá ser tanto com fol-
ga quanto com interferência,dependendo das dimen-
sões efetivas de cada uma das peças.
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Campos de tolerância ISO
No sistema ISO, as tolerâncias são indicadas por letras e números. Os campos de tolerância para 
eixos são representados por letras minúsculas, enquanto que os campos de tolerância para furos são 
representados por letras maiúsculas. 
No desenho técnico de eixo e furo, o acoplamento é indicado 
pela dimensão nominal comum às duas peças ajustadas, seguida das 
correspondentes tolerâncias. A tolerância do furo é indicada ao alto; 
e a do eixo é indicada logo abaixo.
2.3 Resumo do Capítulo
O objetivo maior deste capítulo foi demonstrar a você quais são os critérios e alguns instrumentos 
de medidas que os profissionais utilizam para a coleta de dados na sua rotina profissional. O tratamento 
e significados desses dados serão apresentados no próximo capítulo desta apostila. Não serão propostos 
exercícios, pois o intuito é mostrar o conceito de metrologia e de como aplicá-lo e, logo, não faz parte do 
escopo deste trabalho.
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Durante a década de 1920, o estatístico Wal-
ter Shewhart (1891-1967), dos Laboratórios Bell, 
desenvolveu os conceitos básicos da moderna 
engenharia da qualidade e os apresentou na obra 
Economic Control of Quality of Manufactured Pro-
ducts, de 1931.
Shewhart entendia que o operário era per-
feitamente capaz de compreender, observar e 
controlar a sua produção e dedicou-se a desen-
volver técnicas para tal. Introduziu, então, os con-
ceitos de controle estatístico do processo e de 
ciclo de melhoria contínua, que foram aplicados, 
experimentalmente, na fábrica de Hawthorne, já 
no final dos anos 1920. 
INTRODUÇÃO ÀS 
CARTAS DE CONTROLE3
Carta de controle é um tipo de gráfico utili-
zado para o acompanhamento de um processo. 
Esse gráfico determina estatisticamente uma fai-
xa denominada limites de controle, que é limitada 
pela linha superior (limite superior de controle) e 
uma linha inferior (limite inferior de controle), 
além de uma linha média. O objetivo é verificar, 
por meio do gráfico, se o processo está sob con-
trole, isto é, isento de causas especiais.
3.1 Conceito de Variabilidade
Todos os fenômenos naturais se caracteri-
zam por certa variação, ou seja, nunca se repetem 
exatamente da mesma forma. Isso ocorre para 
objetos físicos, pessoas e eventos, que são sem-
pre caracterizados por alguma variação.
Nos processos produtivos, ocorre algo simi-
lar, pois nenhum deles é suficientemente aperfei-
çoado para produzir itens exatamente iguais. As 
variações que ocorrem são devidas às mudanças 
do material, da energia elétrica, do desgaste da 
ferramenta, da mudança de operadores ou de su-
pervisão de inúmeros outros fatores.
Existem duas causas diferentes para as va-
riações:
ƒƒ Causas comuns: são variações intrínse-
cas ao processo que ocorrem de forma 
aleatória. 
ƒƒ Causas especiais: são variações decor-
rentes de motivos que fogem ao funcio-
namento normal e regular do sistema, 
ou seja, algo que difere do previsível.
Vamos verificar os exemplos a seguir, caro(a) 
aluno(a):
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Tabela 2 – Causas de variação.
Comum Especial 
Outras denominações Crônica, ambiental ou inerente ao processo Eventual, aleatória ou identificável 
Natureza Permanente Eventual, transitória 
Problemas com origem 
nesta causa 85% dos problemas 15% dos problemas 
Detecção 
Normalmente difícil, exigindo análise 
de todas as fases do processo, 
incluindo todos os fatores que podem 
afetá-los 
Normalmente fácil, pelos próprios 
operadores do processo 
Perdas econômicas 
provocadas Grandes Pequenas 
3.2 Tipos de Variável
Caro(a) aluno(a), a seguir dissertaremos bre-
vemente a respeito dos tipos de variável:
ƒƒ Variável Qualitativa: é representada 
por uma qualidade do indivíduo pes-
quisado, também conhecida como atri-
buto, e não apresenta mensuração. 
 • Nominal: não existe nenhuma or-
denação nas possíveis realizações. 
Por exemplo: sexo, cor dos olhos, 
fumante/não fumante, doente/sa-
dio etc.
 • Ordinal: existe uma ordem nos 
seus resultados. Por exemplo: esco-
laridade (1º, 2º, 3º graus), estágio da 
doença (inicial, intermediário, ter-
minal), mês de observação (janeiro, 
fevereiro,..., dezembro). 
ƒƒ Variável Quantitativa: apresenta como 
possíveis realizações números resultan-
tes de uma contagem ou mensuração. 
 • Discreta: seus valores formam um 
conjunto finito de números re-
sultantes de uma contagem. Por 
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exemplo: número de filhos, núme-
ro de bactérias por litro de leite, nú-
mero de cigarros fumados por dia.
 • Contínua: os valores pertencem 
a um intervalo de números reais e 
que resultam de uma mensuração. 
Por exemplo: peso (balança), altura 
(régua), tempo (relógio).
Medidas da variabilidade de amostras
Todo processo produz resultados que se-
guem alguma distribuição. Essa distribuição pode 
ser descrita através de três propriedades: tendên-
cia, dispersão e distribuição.
Medidas de tendência ou de localização
a) Média: é o ponto de balanço dos valores da lista de dados.
n
x
n
x...xxx
n
1i
i
n21
∑
==
+++
=
onde: n é o número de elementos da amostra.
b) Mediana: é o valor central em uma lista ordenada de dados, ou, se a lista tiver uma quantidade 
par de dados, é a média dos dois valores centrais. 
c) Moda: é o valor mais frequente em uma lista de dados. 
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Agora, prezado(a) aluno(a), vamos exercitar o que foi acima passado com um simples exemplo 
comentado:
Calcular a média, a mediana e a moda do seguinte conjunto de dados de 6 elementos:
1, 10, 10, 4, 3, 5 ͵ͳ��
1, 10, 10, 4, 3, 5 ���� ��������[�0pGLD ����� 
Para calcular a mediana, devem-se ordenar os valores: 
 
1, 3, 4, 5, 10, 10 
 
Como n = par, a mediana é a média dos dois valores centrais, ou seja, a média 
entre 4 e 5 = 4,5 . 
A moda é 10 (aparece duas vezes no conjunto de dados). 
Agora, dando continuidade aos nossos estudos, daremos seguimento na 
matéria apresentando as medidas de dispersão. 
 
Medidas de dispersão 
 
a)� Amplitude (R): é o maior valor da lista menos o menor valor. 
b)� Variância (s2): é a média ponderada ao quadrado dos desvios de todos os 
valores com relação à média. � �Q [[V QL L ��� ¦ � 
onde: n é o número de elementos da amostra , n-1 para n < 30 amostras. 
c)� Desvio-padrão (s): é o desvio médio ponderado de cada valor com relação 
à media dos valores. Corresponde à raiz quadrada da variância. 
 
3.3 Critérios das Causas Especiais 
 
Para calcular a mediana, devem-se ordenar os valores: 
1, 3, 4, 5, 10, 10
Como n = par, a mediana é a média dos dois valores centrais, ou seja, a média entre 4 e 5 = 4,5.
A moda é 10 (aparece duas vezes no conjunto de dados). 
Agora, dando continuidade aos nossos estudos, daremos seguimento na matéria apresentando as 
medidas de dispersão.
Medidas de dispersão
a) Amplitude (R): é o maior valor da lista menos o menor valor. 
b) Variância (s2): é a média ponderada ao quadrado dos desvios de todos os valores com relação 
à média. 
( )
n
xx
s
n
i
i
2
12
∑
=
−
=
onde: n é o número de elementos da amostra , n-1 para n < 30 amostras.
c) Desvio-padrão (s): é o desvio médio ponderado de cada valor com relação à media dos valo-
res. Corresponde à raiz quadrada da variância.
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1º critério: 1 ou mais pontos fora dos limites de controle.
2º critério: 7 ou mais pontosconsecutivos acima ou abaixo da média.
3.3 Critérios das Causas Especiais
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3º critério: 6 ou mais pontos consecutivos crescentes ou decrescentes.
4º critério: 14 ou mais pontos consecutivos alternados.
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5º critério: 2 de 3 pontos maiores que 2s em relação à média (mesmo lado).
6º critério: 4 de 5 pontos maiores que 1s em relação à média (mesmo lado).
 
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7º critério: 15 ou mais pontos consecutivos dentro de 1s em relação à média (qualquer lado).
 8º critério: 8 ou mais pontos consecutivos maiores que 1s em relação à média (qualquer lado).
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A maioria dos dados tende a seguir uma distribuição normal ou de sino. Uma das propriedades-
-chave da distribuição normal é que ela pode ser caracterizada por dois parâmetros: a média e a disper-
são. 
3.4 Distribuição Normal
͵͸��
3.4 Distribuição Normal 
 
A maioria dos dados tende a seguir uma distribuição normal ou de sino. Uma 
das propriedades-chave da distribuição normal é que ela pode ser caracterizada por 
dois parâmetros: a média e a dispersão. 
 � �������� VPSV �� [H[I 
 
 
 
 
 
 
Considerações sobre a distribuição normal: 
 ƒ� 68,2% dos dados localizados dentro de ±1V da média; ƒ� 95,4% dos dados localizados dentro de ±2V da média; ƒ� 99,1% dos dados localizados dentro de ±3V da média; ƒ� 99,996% dos dados localizados dentro de ±6V da média. 
 
A regra que permite lidar com amostras é conhecida como Teorema do Limite 
Central, onde: 
 ƒ� a média das médias das amostras é igual à média da população; ƒ� o desvio-padrão das médias das amostras é igual ao desvio-padrão da 
população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. 
 
ponto de inflexão
Considerações sobre a distribuição normal:
ƒƒ 68,2% dos dados localizados dentro de 
±1s da média;
ƒƒ 95,4% dos dados localizados dentro de 
±2s da média;
ƒƒ 99,1% dos dados localizados dentro de 
±3s da média;
ƒƒ 99,996% dos dados localizados dentro 
de ±6s da média.
A regra que permite lidar com amostras 
é conhecida como Teorema do Limite Central, 
onde:
ƒƒ a média das médias das amostras é 
igual à média da população;
ƒƒ o desvio-padrão das médias das amos-
tras é igual ao desvio-padrão da popu-
lação dividido pela raiz quadrada do 
tamanho da amostra.
x=µ 
n
s s=
Após essa pequena introdução de teoria es-
tatística, poderemos entrar no assunto que é o 
foco central dos nossos estudos de Controle Esta-
tístico de Processos.
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Caro(a) aluno(a), os processos descritos no 
capítulo anterior nada mais são do que coletores 
de dados ou variáveis.
Variáveis são características de qualidade 
que são mensuráveis, como, por exemplo: o diâ-
metro de um rolamento, uma resistência elétrica, 
o tempo de atendimento de um pedido etc. Mui-
tos processos têm características mensuráveis, 
assim há um amplo espaço para o uso das cartas 
para variáveis.
As cartas para variáveis, mais especifica-
mente as cartas para x (média) e R (amplitude), 
representam a aplicação clássica de controle de 
processo.
Uma medição (por exemplo: l = 16,54) con-
tém muito mais informação do que a simples 
classificação da peça como “dentro ou fora de es-
pecificação”. Obter um valor medido é mais caro 
do que simplesmente classificar uma peça como 
boa/ruim. Contudo, as medições fornecem mais 
informações e, portanto, exigem uma amostra 
menor. Assim, o custo total de amostragem pode 
ser menor. Outra vantagem é que, como as cartas 
de controle para variáveis exigem uma amostra-
gem pequena, o lapso de tempo entre a produção 
das peças e a ação corretiva pode ser encurtado.
Quando se usa variáveis, a análise do de-
sempenho do processo pode ser feita mesmo 
se todas as unidades estão dentro dos limites de 
especificação. Isso é importante na busca da me-
lhoria contínua e torna as cartas de variáveis uma 
ferramenta de controle mais poderosa do que as 
cartas de atributos. As variáveis podem ser usa-
das para monitorar a localização (X) e a dispersão 
(R). Assim, as cartas de controle são quase sempre 
preparadas aos pares.
3.5 Cartas de Controle para Variáveis
Tipos de carta de controle:
ƒƒCartas das médias e amplitudes ( ͞x, R );
ƒƒCartas das médias e do desvio-padrão 
( ͞x, s ); 
ƒƒCartas da mediana e da amplitude (x͂, 
R);
ƒƒCartas de valores individuais e ampli-
tude móvel (X, AM).
 
Carta ͞x, R
O gráfico ͞x (médias) descreve a variação en-
tre as amostras ao longo do tempo. Já o gráfico R 
(amplitudes) descreve a variação dentro da amos-
tra ao longo do tempo.
Para a elaboração das cartas, devem-se cal-
cular os limites de controle, com o objetivo de 
determinar a média ou a amplitude que se pode 
esperar do processo. 
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Exemplo de Carta ͞x, R
Tabela 3 – Fórmulas da Carta ͞x, R.
͵ͻ��
Tabela 3 – Fórmulas da Carta ଲx, R. 
Para consultar e aplicar! � �¦ ˜ NL L[N; �� 
Constantes de Shewhart 
n A2 D3 D4 
2 1,880 0 3,268 
3 1,023 0 2,574 
4 0,729 0 2,282 
5 0,577 0 2,114 
6 0,483 0 2,004 
7 0,419 0,076 1,924 
8 0,373 0,136 1,864 
9 0,337 0,184 1,816 
10 0,308 0,223 1,777 
 
� �LL ;;5L PLQPD[ � ¦ ˜ NL L5N5 �� 5$;/6&; ˜� � 5$;/,&; ˜� � 5'/6&5 ˜ � 5'/,&5 ˜ � 
 
Não existe melhor forma de se aplicar o conhecimento do que fazer um 
pequeno exemplo: 
 
Exercício de aplicação 
 
De um determinado processo, foram retiradas 44 amostras aleatórias de 4 
elementos. Os seguintes resultados foram obtidos: 
 PP; L ������� ¦ PP5L ������ ¦ 
 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos ଲx, R . 
 
K= 44 amostras ���PPN;; L ������������� ¦ ��PPN55 L ����������� ¦ 
 
Não existe melhor forma de se aplicar o conhecimento do que fazer um pequeno exemplo:
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36
Exercício de aplicação
De um determinado processo, foram retiradas 44 amostras aleatórias de 4 elementos. Os seguintes 
resultados foram obtidos:
͵ͻ��
Tabela 3 – Fórmulas da Carta ଲx, R. 
Para consultar e aplicar! � �¦ ˜ NL L[N; �� 
Constantes de Shewhart 
n A2 D3 D4 
2 1,880 0 3,268 
3 1,023 0 2,574 
4 0,729 0 2,282 
5 0,577 0 2,114 
6 0,483 0 2,004 
7 0,419 0,076 1,924 
8 0,373 0,136 1,864 
9 0,337 0,184 1,816 
10 0,308 0,223 1,777 
 
� �LL ;;5L PLQPD[ � ¦ ˜ NL L5N5 �� 5$;/6&; ˜� � 5$;/,&; ˜� � 5'/6&5 ˜ � 5'/,&5 ˜ � 
 
Não existe melhor forma de se aplicar o conhecimento do que fazer um 
pequeno exemplo: 
 
Exercício de aplicação 
 
De um determinado processo, foram retiradas 44 amostras aleatórias de 4 
elementos. Os seguintes resultados foram obtidos: 
 PP; L ������� ¦ PP5L ������ ¦ 
 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos ଲx, R . 
 
K= 44 amostras ���PPN;; L ������������� ¦ ��PPN55 L ����������� ¦ 
 
 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos ͞x, R .
͵ͻ��
Tabela 3 – Fórmulas da Carta ଲx, R. 
Para consultar e aplicar! � �¦ ˜ NL L[N; �� 
Constantes de Shewhart 
n A2 D3 D4 
2 1,880 0 3,268 
3 1,023 0 2,574 
4 0,729 0 2,282 
5 0,577 0 2,114 
6 0,483 0 2,004 
7 0,419 0,076 1,924 
8 0,373 0,136 1,864 
9 0,337 0,184 1,816 
10 0,308 0,223 1,777 
 
� �LL ;;5L PLQPD[ � ¦ ˜ NL L5N5 �� 5$;/6&; ˜� � 5$;/,&; ˜� � 5'/6&5 ˜ � 5'/,&5 ˜ � 
 
Não existe melhor forma de se aplicar o conhecimento do que fazer um 
pequeno exemplo: 
 
Exercíciode aplicação 
 
De um determinado processo, foram retiradas 44 amostras aleatórias de 4 
elementos. Os seguintes resultados foram obtidos: 
 PP; L ������� ¦ PP5L ������ ¦ 
 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos ଲx, R . 
 
K= 44 amostras ���PPN;; L ������������� ¦ ��PPN55 L ����������� ¦ 
 ͶͲ��
a)� Gráfico de ଲx 
na tabela "constantes de Shewhart", para n = 4 o A2 = 0,729 
 ��PP/6&; ������������������� ˜� ��PP/,&; ������������������� ˜� 
 
b) Gráfico de R 
na tabela "constantes de Shewhart", para n = 4 o D4 = 2,282 e D3 = 0 
 ��������������� ˜ 5/6& ������ ˜ 5/,& 
 
Carta ଲx, s 
 
O gráfico ଲx (médias) descreve a variação entre as amostras ao longo do tempo. 
Já o gráfico s (desvio-padrão) descreve o desvio-padrão dentro da amostra ao longo 
do tempo. 
Para a elaboração das cartas, devem-se calcular os limites de controle, com o 
objetivo de determinar a média ou desvio-padrão que se pode esperar do processo. 
 
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37
Carta ͞x, s 
O gráfico x͞ (médias) descreve a variação entre as amostras ao longo do tempo. Já o gráfico s (des-
vio-padrão) descreve o desvio-padrão dentro da amostra ao longo do tempo.
Para a elaboração das cartas, devem-se calcular os limites de controle, com o objetivo de determi-
nar a média ou desvio-padrão que se pode esperar do processo. 
Exemplo de Carta ͞x, s
Tabela 4 – Fórmulas da Carta ͞ x, s.
Ͷͳ��
Exemplo de Carta ଲx, s 
 
 
Tabela 4 – Fórmulas da Carta ଲ x, s. 
Para consultar e aplicar! � �¦ ˜ NL L[N; �� 
Constantes de Shewhart 
n A2 B3 B4 
2 2,685 0 3,267 
3 1,955 0 2,568 
4 1,629 0 2,266 
5 1,427 0 2,089 
6 1,286 0,030 1,970 
7 1,182 0,118 1,882 
8 1,099 0,185 1,815 
9 1,032 0,239 1,761 
10 0,975 0,284 1,716 
 
� �� �� �� ¦ Q [[V QL LL ¦ ˜ NL LVNV �� V$;/6&; ˜� � V$;/,&; ˜� � V%/6&V ˜ � V%/,&V ˜ � 
 
Não existe melhor forma de se aplicar o conhecimento do que fazer um 
pequeno exemplo: 
 
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Não existe melhor forma de se aplicar o conhecimento do que fazer um pequeno exemplo:
Exercício de aplicação
De um determinado processo, foram retiradas 187 amostras aleatórias de 10 elementos. Os seguin-
tes resultados foram obtidos:
Ͷʹ��
Exercício de aplicação 
 
De um determinado processo, foram retiradas 187 amostras aleatórias de 10 
elementos. Os seguintes resultados foram obtidos: 
 PP; L �������� ¦ PPVL ������� ¦ 
 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos ଲx, s 
 DPRVWUDV��� N PP��������������� ¦N;; L PP������������� ¦NVV L 
 
a)� Gráfico de ଲx 
na tabela "constantes de Shewhart", para n = 10 o A3 = 0,975 
 PP������������������� ˜� ;/6& PP������������������� ˜� ;/,& 
 
b)� Gráfico de s 
na tabela, para n = 10 o B4 = 1,716 e B3 = 0,284 
 PP������������� ˜ V/6& ������������� ˜ 5/,& 
 
Carta xࡿ, R 
 
O gráfico xࡿ (mediana) descreve a mediana entre as amostras ao longo do 
tempo. Já o gráfico R (amplitude) descreve a variação dentro da amostra ao longo do 
tempo. Para a elaboração das cartas, devem-se calcular os limites de controle, com o 
objetivo de determinar a mediana ou a amplitude que se pode esperar do processo. 
 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos ͞x, s
Ͷʹ��
Exercício de aplicação 
 
De um determinado processo, foram retiradas 187 amostras aleatórias de 10 
elementos. Os seguintes resultados foram obtidos: 
 PP; L �������� ¦ PPVL ������� ¦ 
 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos ଲx, s 
 DPRVWUDV��� N PP��������������� ¦N;; L PP������������� ¦NVV L 
 
a)� Gráfico de ଲx 
na tabela "constantes de Shewhart", para n = 10 o A3 = 0,975 
 PP������������������� ˜� ;/6& PP������������������� ˜� ;/,& 
 
b)� Gráfico de s 
na tabela, para n = 10 o B4 = 1,716 e B3 = 0,284 
 PP������������� ˜ V/6& ������������� ˜ 5/,& 
 
Carta xࡿ, R 
 
O gráfico xࡿ (mediana) descreve a mediana entre as amostras ao longo do 
tempo. Já o gráfico R (amplitude) descreve a variação dentro da amostra ao longo do 
tempo. Para a elaboração das cartas, devem-se calcular os limites de controle, com o 
objetivo de determinar a mediana ou a amplitude que se pode esperar do processo. 
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Carta x͂, R
O gráfico x͂ (mediana) descreve a mediana entre as amostras ao longo do tempo. Já o gráfico R 
(amplitude) descreve a variação dentro da amostra ao longo do tempo. Para a elaboração das cartas, 
devem-se calcular os limites de controle, com o objetivo de determinar a mediana ou a amplitude que se 
pode esperar do processo.
Exemplo de Carta x͂, R
Tabela 5 – Fórmulas da Carta x͂, R.
Ͷ͵��
Exemplo de Carta xࡿ, R 
 
 
Tabela 5 – Fórmulas da Carta š ࡿǡ��Ǥ 
Para consultar e aplicar! PHGLDQD; a 
Constantes de Shewhart 
n �a$ D3 D4 
2 1,880 0 3,268 
3 1,187 0 2,574 
4 0,796 0 2,282 
5 0,691 0 2,114 
6 0,584 0 2,004 
7 0,508 0,076 1,924 
8 0,433 0,136 1,864 
9 0,412 0,184 1,816 
10 0,362 0,223 1,777 
 
� �LL ;;5L PLQPD[ � ¦ ˜ NL L5N5 �� 5$;/6&; ˜� �a aa 5$;/,&; ˜� �a aa 5'/6&5 ˜ � 5'/,&5 ˜ � 
 
Não existe melhor forma de se aplicar conhecimento do que fazer um pequeno 
exemplo: 
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40
Não existe melhor forma de se aplicar conhecimento do que fazer um pequeno exemplo:
Exercício de aplicação
De um determinado processo, foram retiradas 25 amostras aleatórias de 5 elementos. Os seguintes 
resultados foram obtidos:
ͶͶ��
Exercício de aplicação 
 
De um determinado processo, foram retiradas 25 amostras aleatórias de 5 
elementos. Os seguintes resultados foram obtidos: 
 PP;L ������a ¦ PP5 ��� 
 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos x ࡿ, R. 
 DPRVWUDV�� N PP�������������aa ¦N;; L 
 
a)� Gráfico de xࡿ 
na tabela "constantes de Shewhart", para n = 5 o �a$ = 0,691 
 PP/6&; ������������������a ˜� ���PP/,&; �����������������a ˜� 
 
b)� Gráfico de R 
na tabela, para n = 5o D4 = 2,114 e D3 = 0 
 PP������������ ˜ 5/6& ; ����� ˜ 5/,& 
 
Carta X, AM 
 
O gráfico X (valores individuais) descreve o valor das amostras ao longo do 
tempo. Já o gráfico AM (amplitude móvel) descreve a variação entre amostras ao longo 
do tempo. Para a elaboração das cartas, devem-se calcular os limites de controle, com 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos x͂, R.
ͶͶ��
Exercício de aplicação 
 
De um determinado processo, foram retiradas 25 amostras aleatórias de 5 
elementos. Os seguintes resultados foram obtidos: 
 PP;L ������a ¦ PP5 ��� 
 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos x ࡿ, R. 
 DPRVWUDV�� N PP�������������aa ¦N;; L 
 
a)� Gráfico de xࡿ 
na tabela "constantes de Shewhart", para n = 5 o �a$ = 0,691 
 PP/6&; ������������������a ˜� ���PP/,&; �����������������a ˜� 
 
b)� Gráfico de R 
na tabela, para n = 5o D4 = 2,114 e D3 = 0 
 PP������������ ˜ 5/6& ; ����� ˜ 5/,& 
 
Carta X, AM 
 
O gráfico X (valores individuais) descreve o valor das amostras ao longo do 
tempo. Já o gráfico AM (amplitude móvel) descreve a variação entre amostras ao longo 
do tempo. Para a elaboração das cartas, devem-se calcular os limites de controle, com 
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41
Carta X, AM
O gráfico X (valores individuais) descreve o valor das amostras ao longo do tempo. Já o gráfico AM 
(amplitude móvel) descreve a variação entre amostras ao longo do tempo. Para a elaboração das cartas, 
devem-se calcular os limites de controle, como objetivo de determinar a média ou o desvio-padrão que 
se pode esperar do processo.
Exemplo de carta x,AM
Tabela 6 – Fórmulas da Carta x,AM.
Ͷͷ��
o objetivo de determinar a média ou o desvio-padrão que se pode esperar do 
processo. 
 
Exemplo de carta x,AM 
 
Tabela 6 – Fórmulas da Carta x,AM. 
Para consultar e aplicar! N [[[[ N��� ����� 
Constantes de Shewhart 
n E2 D3 D4 
2 2,660 0 3,268 
3 1,772 0 2,574 
4 1,457 0 2,282 
5 1,290 0 2,114 
6 1,184 0 2,004 
7 1,109 0,076 1,924 
8 1,054 0,136 1,864 
9 1,010 0,184 1,816 
10 0,975 0,223 1,777 
 
� ���� LLL [[$0 i = 2, ..., k � ����� � �� N $0$0$0$0 N $0(;/6&[ ˜� � $0(;/,&[ ˜� � $0'/6&5 ˜ � $0'/,&5 ˜ � 
 
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Não existe melhor forma de se aplicar o conhecimento do que fazer um pequeno exemplo.
Exercício de aplicação
De um determinado processo, foram retiradas 24 amostras aleatórias. Os seguintes resultados fo-
ram obtidos: 
Ͷ͸��
Não existe melhor forma de se aplicar o conhecimento do que fazer um 
pequeno exemplo. 
 
Exercício de aplicação 
 
De um determinado processo, foram retiradas 24 amostras aleatórias. Os 
seguintes resultados foram obtidos: 
 PP; ����� ¦ PP$0 ���� ¦ 
 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos X, AM 
 DPRVWUDV�� N PP������������ ¦N;; L PP������������ � ¦N $0$0 
 
a)� Gráfico de X 
na tabela "constantes de Shewhart", para n = 2 o E2= 2,660 
 PP�������������������� ˜� ;/6& PP������������������� ˜� ;/,& 
 
b)� Gráfico de AM 
na tabela, para n = 2o D4 = 3,268 e D3 = 0 
 PP�������������� ˜ 5/6& ������� ˜ 5/,& 
 
Ͷ͸��
Não existe melhor forma de se aplicar o conhecimento do que fazer um 
pequeno exemplo. 
 
Exercício de aplicação 
 
De um determinado processo, foram retiradas 24 amostras aleatórias. Os 
seguintes resultados foram obtidos: 
 PP; ����� ¦ PP$0 ���� ¦ 
 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos X, AM 
 DPRVWUDV�� N PP������������ ¦N;; L PP������������ � ¦N $0$0 
 
a)� Gráfico de X 
na tabela "constantes de Shewhart", para n = 2 o E2= 2,660 
 PP�������������������� ˜� ;/6& PP������������������� ˜� ;/,& 
 
b)� Gráfico de AM 
na tabela, para n = 2o D4 = 3,268 e D3 = 0 
 PP�������������� ˜ 5/6& ������� ˜ 5/,& 
 
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Em muitos casos, existem produtos com características importantes que não podem ser medidas 
ou são difíceis ou caras para serem aferidas em um controle por variáveis.
Nesses casos, é conveniente o uso de cartas de controle de atributos, que possuem uma sensibili-
dade muito menor do que aquelas de variáveis, mas constituem uma ferramenta importante para análise 
da estabilidade de processos.
Tipos de carta de controle de atributos:
ƒƒ Fração de não conformes (carta p);
ƒƒ Número de não conformes (np);
ƒƒ Número de defeitos (carta c);
ƒƒ Defeitos por unidade (carta u). 
Carta p
É usada quando as características da qualidade só podem ser observadas por atributos (aprovado 
ou reprovado). O custo de coleta e registro gráfico dos dados é geralmente menor do que os gráficos 
para variáveis, pois um único gráfico p pode ser aplicado a qualquer número de características observa-
das em um produto inspecionado.
Nessa carta, o tamanho das amostras pode ou não ser constante.
Exemplo de Carta p
3.6 Cartas de Controle de Atributos
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44
A fração de não conformes (p), também chamada de fração defeituosa, é definida como o quocien-
te entre o número de itens não conformes (D) e o número total de itens inspecionados (n):
Ͷͺ��
Exemplo de Carta p 
 
A fração de não conformes (p), também chamada de fração defeituosa, é 
definida como o quociente entre o número de itens não conformes (D) e o número 
total de itens inspecionados (n): 
 Q'S 
 
Exemplo de fixação: os resultados obtidos foram: 60 itens aprovados e 20 
itens reprovados. Calcular a fração defeituosa do lote. 
 
D = 20 (quantidade de itens não conformes) 
n = 80 (total de itens inspecionados) �������� S 
 
Exemplo de fixação: os resultados obtidos foram: 60 itens aprovados e 20 itens reprovados. Calcu-
lar a fração defeituosa do lote.
Tabela 7 – Fórmulas da Carta p.
Ͷͺ��
Exemplo de Carta p 
 
A fração de não conformes (p), também chamada de fração defeituosa, é 
definida como o quociente entre o número de itens não conformes (D) e o número 
total de itens inspecionados (n): 
 Q'S 
 
Exemplo de fixação: os resultados obtidos foram: 60 itens aprovados e 20 
itens reprovados. Calcular a fração defeituosa do lote. 
 
D = 20 (quantidade de itens não conformes) 
n = 80 (total de itens inspecionados) �������� S 
 
Ͷͻ��
Tabela 7 – Fórmulas da Carta p. 
Para consultar e aplicar! ƒ� para "n" constante ƒ� para "n" variável QN 'S NL L˜ ¦ � ¦¦ NL LNL LQ'S �� 
onde: 
k: número de amostras 
n: tamanho da amostra 
onde: 
k: número de amostras 
n: tamanho da amostra � �Q SSS/6&S �˜˜� �� � �Q SSS/,&S �˜˜� �� 
 
Vamos a um exemplo de aplicação? 
 
Exercício de aplicação 
 
Em uma fábrica de meias, 200 pares são analisados diariamente. Nos 25 dias 
úteis de um mês, obtiveram-se os seguintes números de pares defeituosos: 
 
13, 8, 10, 15, 12, 9, 6, 4, 7, 11, 14, 10, 7, 9, 12, 13, 8, 11, 9, 12, 15, 11, 8, 6, 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos a um exemplo de aplicação?
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45
Exercício de aplicação
Em uma fábrica de meias, 200 pares são analisados diariamente. Nos 25 dias úteis de um mês, 
obtiveram-se os seguintes números de pares defeituosos:
13, 8, 10, 15, 12, 9, 6, 4, 7, 11, 14, 10, 7, 9, 12, 13, 8, 11, 9, 12, 15, 11, 8, 6, 16
Elaborar o gráfico e calcular a linha média e de controle da carta p.
ͷͲ��
Elaborar o gráfico e calcular a linha média e de controle da carta p. 
 
k = número de amostras = 25 
n = tamanho da amostra = 200 �������������������������� �� ����������� ¦ L ' o˜ ˜ ¦ ��������� QN 'S NL L ������ S � � � � �˜˜� �˜˜� ��� ���������������������� Q SSS/6&S � � ˜� ˜˜� �������������������� ������������������� o� ˜� ��������������������������� ������ S/6& � � � ���� ���������������������� �˜˜� �˜˜� Q SSS/,&S ������ S/,& 
 
 
Conclusão: processo estável, pois não apresenta causas especiais conforme os 
quatro primeiros critérios. 
 
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46
Conclusão: processo estável, pois não apresenta causas especiais conforme os quatro primeiros 
critérios. 
Carta np
É usada quando as amostras retiradas do processo tiverem sempre o mesmo tamanho (“n” cons-
tante), é mais fácil elaborar diretamente a carta np, ao invés de calcular as frações de não conformes das 
amostras.
Nessa carta, o tamanho das amostras é constante.
Exemplo de carta np
Tabela 8 – Fórmulas da carta np.
ͷʹ��
Tabela 8 – Fórmulas da carta np.�
Para consultar e aplicar! N'QS NL L¦ � NQ 'S NL L˜ ¦ � 
onde: 
k: número de amostras 
n: tamanho da amostra � �SQSQS/6&QS �˜˜� �� � �SQSQS/,&QS �˜˜� �� 
 
Vamos a um exemplo de aplicação? 
 
Exercício de aplicação 
 
Para a análise de um processo produtivo, foram retiradas 20 amostras com 80 
elementos, cujos resultados são: 
 
9, 5, 12, 6, 9, 16, 4, 10, 3, 12, 7, 4, 10, 21, 5, 12, 11, 6, 4, 7 
 
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Vamos a um exemplo de aplicação? 
Exercício de aplicação
Para a análise de um processo produtivo, foram retiradas 20 amostras com 80 elementos, cujos 
resultados são:
9, 5, 12, 6,9, 16, 4, 10, 3, 12, 7, 4, 10, 21, 5, 12, 11, 6, 4, 7
Elaborar o gráfico e calcular a linha média e de controle da carta np.
ͷ͵��
Elaborar o gráfico e calcular a linha média e de controle da carta np. 
 
k = número de amostras = 20 
n = tamanho da amostra = 80 �������������������������� �� ������������� ¦ L ' o˜ ˜ ¦ �������� NQ 'S NL L ������ S o ¦ ������N'QS NL L ���� QS � � � � �˜˜� �˜˜� ������������������ SQSQS/6&QS � � ˜� ˜� ˜˜� ������������������������������������� o� ���������� ����� QS/6& � � � � o�˜˜� �˜˜� ������������������ SQSQS/,&QS ���� QS/,& 
 
 
Conclusão: processo não estável, pois apresenta causas especiais conforme o 1º 
critério (1 ou mais pontos fora dos limites de controle). 
 
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48
Conclusão: processo não estável, pois apresenta causas especiais conforme o 1º critério (1 ou mais 
pontos fora dos limites de controle).
Carta c
Quando um item deixa de atender a um ou mais requisitos de uma especificação, este é considera-
do como defeituoso ou não conforme. Em muitas situações, além de classificar o produto como perfeito 
ou não conforme, pode-se, também, contar o número de defeitos por unidade inspecionada.
Ao analisar chapas de aço de mesmo tamanho, pode-se contar o número de defeitos por chapa e 
usar a carta de controle para o número total de defeitos por unidade, denominados carta c.
Exemplo de Carta c
Tabela 9 – Fórmulas da carta c.
ͷͷ��
Tabela 9 – Fórmulas da carta c.�
Para consultar e aplicar! NFF NL L¦ � 
onde: 
k: número de amostras 
c: número de defeitos FF/6&F ˜� � FF/,&F ˜� � 
 
Vamos a um exemplo de aplicação? 
 
Exercício de aplicação 
 
Apresenta-se o número de defeitos observado em 26 amostras sucessivas de 
100 placas de circuito impresso: 
 
21, 24, 16, 12, 15, 5, 28, 20, 31, 25, 20, 24, 16, 19, 10, 17, 13, 22, 18, 39, 30, 24, 16, 19, 
17,15 
 
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Vamos a um exemplo de aplicação? 
Exercício de aplicação
Apresenta-se o número de defeitos observado em 26 amostras sucessivas de 100 placas de circuito 
impresso:
21, 24, 16, 12, 15, 5, 28, 20, 31, 25, 20, 24, 16, 19, 10, 17, 13, 22, 18, 39, 30, 24, 16, 19, 17,15
Elaborar o gráfico e calcular a linha média e de controle da carta c.
ͷ͸��
Elaborar o gráfico e calcular a linha média e de controle da carta c. 
 
k = número de amostras = 26 �������������������������������� ����������� ¦ L LF o ¦ ������NFF NL L ����� F ˜� ˜� ˜� ������������������������ FF/6&F o� ������������ ����� F/6& ˜� ˜� ˜� ������������������������ FF/,&F o� ������������ ���� F/,& 
 
 
Conclusão: processo não estável, pois apresenta causas especiais conforme o 1º 
critério (1 ou mais pontos fora dos limites de controle). 
 
Carta u 
 
É uma variação da carta c, quando o número de elementos varia de amostra 
para amostra, havendo, portanto, limites de controle diferentes para cada uma delas. 
Conclusão: processo não estável, pois apresenta causas especiais conforme o 1º critério (1 ou mais 
pontos fora dos limites de controle).
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50
Carta u
É uma variação da carta c, quando o número de elementos varia de amostra para amostra, haven-
do, portanto, limites de controle diferentes para cada uma delas.
Chapas de aço de vários tamanhos são produzidos, um número variável de unidades é produzido a 
cada dia. Não podemos, nessa situação, por falta de comparabilidade dos totais, trabalhar com a carta c. 
Nesse caso, a carta correta é a u.
Exemplo de carta u
Tabela 10 – Fórmulas da carta u.
ͷ͹��
Chapas de aço de vários tamanhos são produzidos, um número variável de 
unidades é produzido a cada dia. Não podemos, nessa situação, por falta de 
comparabilidade dos totais, trabalhar com a carta c. Nesse caso, a carta correta é a u. 
 
Exemplo de carta u 
 
Tabela 10 – Fórmulas da carta u. 
Para consultar e aplicar! ¦¦ NL LNL LQFX �� onde: k: número de amostras c: número de defeitos 
n: tamanho da amostra LX QXX/6& ˜� � LX QXX/,& ˜� � 
 
Vamos a um exemplo de aplicação? 
 
 
Vamos a um exemplo de aplicação? 
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51
Exercício de aplicação
Em uma fábrica de acabamento de tecido, pano tingido é inspecionado procurando-se a ocorrên-
cia de defeitos por 50 metros quadrados:
Amostra Tamanho da Amostra Nº Defeitos
A 10 14
B 8 12
C 13 20
D 10 11
E 9,5 7
F 10 10
G 12 21
H 10,5 16
I 12,5 19
J 12,5 23
Elaborar o gráfico e calcular a linha média e de controle da carta u.
ͷͺ��
Exercício de aplicação 
 
Em uma fábrica de acabamento de tecido, pano tingido é inspecionado 
procurando-se a ocorrência de defeitos por 50 metros quadrados: 
 
Amostra Tamanho da Amostra Nº Defeitos 
A 10 14 
B 8 12 
C 13 20 
D 10 11 
E 9,5 7 
F 10 10 
G 12 21 
H 10,5 16 
I 12,5 19 
J 12,5 23 
 
Elaborar o gráfico e calcular a linha média e de controle da carta u. 
 ¦ ��������� ��� �� ����������������������L F ¦ ��������� ��� �� �����������������������������L Q o ¦¦ ��������NL LNL LQFX ����� X QQQXX/6& LLX ����������������������� ˜� ˜� ˜� Q/6&X ���������� � o˜� ˜� LLX QQXX/,& ������������ Q/,&X ���������� � 
 
 
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52
Calcula-se o LSCu e o LICu para cada amostra, como segue:
Amostra
Tamanho da 
Amostra
Nº Defeitos U U barra LSCu LICu
A 10 14 1,400 1,417 2,546 0,288
B 8 12 1,500 1,417 2,679 0,154
C 13 20 1,538 1,417 2,407 0,426
D 10 11 1,100 1,417 2,546 0,288
E 9,5 7 0,737 1,417 2,575 0,258
F 10 10 1,000 1,417 2,546 0,288
G 12 21 1,750 1,417 2,447 0,386
H 10,5 16 1,524 1,417 2,519 0,315
I 12,5 19 1,520 1,417 2,427 0,407
J 12,5 23 1,840 1,417 2,427 0,407
Conclusão: processo estável, pois não apresenta causas especiais conforme os quatro primeiros 
critérios.
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53
A capacidade está associada à repetitividade inerente de certas características mensuráveis resul-
tantes de um processo.
Nessa análise, tem-se o interesse de saber se o conjunto global de elementos produzidos por um 
processo atende às especificações técnicas aplicáveis.
Diz-se que um processo é capaz, quando produz elementos que atendem a todos os requisitos 
aplicáveis.
E considera-se um processo não capaz, quando este for tal que não atenda integralmente às espe-
cificações.
Etapas para avaliação da capacidade de um processo:
1º passo
Verificar a estabilidade do processo.
2º passo
Elaborar o histograma do processo.
3º passo
Comparar o histograma com a especificação aplicável.
Para o cálculo da capacidade do processo ser absolutamente confiável, deve-se coletar, no mínimo, 
20 amostras com 5 elementos, totalizando 100 peças (ideal e usual = 125 peças: 25 amostras com 5 ele-
mentos).
Para estudos iniciais da capacidade do processo, podem-se utilizar, para orientação, 30 peças.
3.7 Capacidade de Processos
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54
Histograma x distribuição normal
͸ͳ��
Histograma x distribuição normal 
� �������� VPSV �� [H[I 
 
 
Vamos a um exemplo de aplicação? 
A especificação do diâmetro de um eixo é de 20,3±0,7 mm. Em um 
determinado mês, o fabricante desse eixo produziu 608 unidades, conforme a 
distribuição de frequências abaixo: 
 
Diâmetro 
(mm) 
19,0 
a 
19,2 
19,3 
a 
19,5 
19,6 
a 
19,8 
19,9 
a 
20,1 
20,2 
a 
20,4 
20,5 
a 
20,7 
20,8 
a 
21,0 
21,1 
a 
21,3 
21,4 
a 
21,6 
21,7 
a 
21,9 
22,0 
a 
22,2Frequência 12 68 135 114 98 67 51 38 19 5 1 
 
Verificar se o processo é capaz. 
 ƒ� Primeiramente, calculam-se os limites de especificação: ƒ� LIE (Limite Inferior de Especificação): 20,3 - 0,7 = 19,6 mm; ƒ� LSE (Limite Superior de Especificação): 20,3 + 0,7 = 21,0 mm. 
 
Vamos a um exemplo de aplicação?
A especificação do diâmetro de um eixo é de 20,3±0,7 mm. Em um determinado mês, o fabricante 
desse eixo produziu 608 unidades, conforme a distribuição de frequências abaixo:
Diâmetro 
(mm)
19,0 a 
19,2
19,3 a 
19,5
19,6 a 
19,8
19,9 a 
20,1
20,2 a 
20,4
20,5 a 
20,7
20,8 a 
21,0
21,1 a 
21,3
21,4 a 
21,6
21,7 a 
21,9
22,0 a 
22,2
Frequência 12 68 135 114 98 67 51 38 19 5 1
Verificar se o processo é capaz.
ƒƒ Primeiramente, calculam-se os limites de especificação:
ƒƒ LIE (Limite Inferior de Especificação): 20,3 - 0,7 = 19,6 mm;
ƒƒ LSE (Limite Superior de Especificação): 20,3 + 0,7 = 21,0 mm.
Posteriormente, elabora-se o histograma.
Controle Estatístico do Processo
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55
Histograma de diâmetros
A dispersão do processo é menor que os limites de especificação, ou seja, o processo é capaz.
Índice de capacidade de um processo
Capacidade inerente ao processo (Cp) 
͸ʹ��
Posteriormente, elabora-se o histograma. 
 
Histograma de diâmetros 
 
 
A dispersão do processo é menor que os limites de especificação, ou seja, o 
processo é capaz. 
 
Índice de capacidade de um processo 
 
Capacidade inerente ao processo (Cp) 
 V/,(/6(&S �� 
onde: 
LSE: Limite Superior de Especificação 
LIE: Limite Inferior de Especificação 
s: Desvio-padrão 
 
 Índice de capacidade do processo (Cpk)
͸͵��
Índice de capacidade do processo (Cpk) 
 »»¼º««¬ª ¸¸¹·¨¨©§ �¸¸¹·¨¨©§ � V/,([V [/6(PtQ&SN ��� 
onde: 
LSE: Limite Superior de Especificação 
LIE: Limite Inferior de Especificação ଲx: Média do processo 
s: Desvio-padrão do processo 
 
 
 
 
Relação entre o Cp e o Cpk �
 
 
 
Usual na indústria: 
Cp e Cpk > 1,33
͸͵��
Índice de capacidade do processo (Cpk) 
 »»¼º««¬ª ¸¸¹·¨¨©§ �¸¸¹·¨¨©§ � V/,([V [/6(PtQ&SN ��� 
onde: 
LSE: Limite Superior de Especificação 
LIE: Limite Inferior de Especificação ଲx: Média do processo 
s: Desvio-padrão do processo 
 
 
 
 
Relação entre o Cp e o Cpk �
 
 
 
Usual na indústria: 
Cp e Cpk > 1,33
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56
Relação entre o Cp e o Cpk 
͸͵��
Índice de capacidade do processo (Cpk) 
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onde: 
LSE: Limite Superior de Especificação 
LIE: Limite Inferior de Especificação ଲx: Média do processo 
s: Desvio-padrão do processo 
 
 
 
 
Relação entre o Cp e o Cpk �
 
 
 
Usual na indústria: 
Cp e Cpk > 1,33
Vamos a um exercício de aplicação?
Calcular o Cp e o Cpk para os dados abaixo considerando a especificação: 0,84±0,06%:
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Vamos a um exercício de aplicação? 
Calcular o Cp e o Cpk para os dados abaixo considerando a especificação: 
0,84±0,06%: 
 
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3.8 Atividades Propostas 
 
1.� Em um processo foram retiradas 50 amostras aleatórias de 5 elementos. Os 
seguintes resultados foram obtidos: ����� ¦ L; ���&5L �� ¦ 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos ଲx , R. 
 
2.� Em um processo foram retiradas 35 amostras aleatórias de 4 elementos. Os 
seguintes resultados foram obtidos: 
 &��q ¦ �����L; &��q ¦ ����L5 
 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos ଲx , s. 
Teor de mangânes (%) 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87
Frequência 1 2 5 16 57 198 6 2
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Vamos a um exercício de aplicação? 
Calcular o Cp e o Cpk para os dados abaixo considerando a especificação: 
0,84±0,06%: 
 
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3.8 Atividades Propostas 
 
1.� Em um processo foram retiradas 50 amostras aleatórias de 5 elementos. Os 
seguintes resultados foram obtidos: ����� ¦ L; ���&5L �� ¦ 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos ଲx , R. 
 
2.� Em um processo foram retiradas 35 amostras aleatórias de 4 elementos. Os 
seguintes resultados foram obtidos: 
 &��q ¦ �����L; &��q ¦ ����L5 
 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos ଲx , s. 
Teor de mangânes (%) 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87
Frequência 1 2 5 16 57 198 6 2
Controle Estatístico do Processo
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1. Em um processo foram retiradas 50 amostras aleatórias de 5 elementos. Os seguintes resulta-
dos foram obtidos:
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Vamos a um exercício de aplicação? 
Calcular o Cp e o Cpk para os dados abaixo considerando a especificação: 
0,84±0,06%: 
 
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3.8 Atividades Propostas 
 
1.� Em um processo foram retiradas 50 amostras aleatórias de 5 elementos. Os 
seguintes resultados foram obtidos: ����� ¦ L; ���&5L �� ¦ 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos ଲx , R. 
 
2.� Em um processo foram retiradas 35 amostras aleatórias de 4 elementos. Os 
seguintes resultados foram obtidos: 
 &��q ¦ �����L; &��q ¦ ����L5 
 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos ଲx , s. 
Teor de mangânes (%) 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87
Frequência 1 2 5 16 57 198 6 2
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos ͞x , R.
2. Em um processo foram retiradas 35 amostras aleatórias de 4 elementos. Os seguintes resulta-
dos foram obtidos:
 
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Vamos a um exercício de aplicação? 
Calcular o Cp e o Cpk para os dados abaixo considerando a especificação: 
0,84±0,06%: 
 
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3.8 Atividades Propostas 
 
1.� Em um processo foram retiradas 50 amostras aleatórias de 5 elementos. Os 
seguintes resultados foram obtidos: ����� ¦ L; ���&5L �� ¦ 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos ଲx , R. 
 
2.� Em um processo foram retiradas 35 amostras aleatórias de 4 elementos. Os 
seguintes resultados foram obtidos: 
 &��q ¦ �����L; &��q ¦ ����L5 
 
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos ଲx , s. 
Teor de mangânes (%) 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87
Frequência 1 2 5 16 57 198 6 2
Calcular as linhas médias e de controle dos gráficos ͞x , s.
3. Foram retiradas 12 amostras de válvulas de um certo processo de fabricação. Os resultados são:
Amostra Tamanho da amostra Itens não conformes
A 165 5
B 160 12
C 175 8
D 160 14
E 155 7
F 160 9
G 155 12
H 165 6
I 155 0
J 152 15
K 165 8
L 149 20
Elaborar o gráfico e calcular a linha média e de controle da carta p.
3.8 Atividades Propostas
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