Gabarito P-1 A do 1sem2015

Prévia do material em texto

Nº sequencial 
 
DISC: Nº MA 2121 CÁLCULO II 
I 
P-1 A DATA: 30/ mar / 2015 
NOME: NOTA: 
ASS.: TURMA: 
Instruções Gerais: A duração da prova é 80 minutos. Não é permitida a consulta e nem o uso de calculadoras e 
 celulares. O valor de cada questão é 2.0 pontos. Respostas a tinta. 
 
 
 
 
 
 
2𝑥3 − 3𝑥2 − 6𝑥 + 10 𝑥2 − 3 
− 2𝑥3 + 6𝑥 2x − 3 
 −3𝑥2 + 10 
 +3𝑥2 − 9 
 1 
 
 
2𝑥3−3𝑥2−6𝑥+10
𝑥2−3
 = (2𝑥 − 3) + 
1
𝑥2−3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nº 
2ª questão: a) Passar a equação 3cosθ – 2senθ = 2 
para a forma cartesiana. 
1ª questão: Resolver ∫
2𝑥3−3𝑥2−6𝑥+10
𝑥2−3
 dx 
b) Passar a equação (𝑥 − 6)2 + 𝑦2 = 36 para a 
forma polar. 
 
I = ∫(2𝑥 − 3)𝑑𝑥 + ∫
𝑑𝑥
𝑥2−3
 [ tabela nº 13 ] 
 
I = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 +
𝟏
𝟐√𝟑
𝐥𝐧 |
𝒙−√𝟑
𝒙+√𝟑
| + C 
(𝑥 − 6)2 + 𝑦2 = 36 
𝑥2 − 12𝑥 + 36 + 𝑦2 = 36 
𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 = 0 
𝑟2 − 12𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 
𝑟( 𝑟 − 12𝑐𝑜𝑠𝜃 ) = 0 
r = 0 ou 
r = 12cosθ 
 
3cosθ – 2senθ = 2 
 
3
𝑥
𝑟
 − 2
𝑦
𝑟
= 2 
 
3𝑥−2𝑦
𝑟
= 2 
 
3𝑥 − 2𝑦 = 2𝑟0 
 
3𝑥 − 2𝑦 = 2√𝑥2 + 𝑦2 
MA 2121 P-1 A DO 1º SEMESTRE DE 2015 MA2121 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª questão: Resolver ∫
𝑥+2
𝑥2+ 2𝑥+4
 𝑑𝑥 4ª questão: Resolver ∫
1
𝑥.√4−𝑥2
 𝑑𝑥 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 [(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
∆
4𝑎2
] 
𝑥2 + 2𝑥 + 4 = (𝑥 + 1)2 + 3 
 
I = ∫
𝑥+2
(𝑥+1)2+3
𝑑𝑥 
u = x +1 ; x = u −1 ; dx = du 
 
I = ∫
(𝑢−1)+2
𝑢2+3
𝑑𝑢 
I = ∫
𝑢+1
𝑢2+3
𝑑𝑢 
I = ∫
𝑢𝑑𝑢
𝑢2+3
 + ∫
1
𝑢2+3
𝑑𝑢 
 [ tabela nº 11 ] 
 
 t = 𝑢2 + 3 dt = 2udu 
 ∫
𝑢𝑑𝑢
𝑢2+3
 = 
1
2
∫
𝑑𝑡
𝑡
 = 
1
2
ln|𝑡| = 
1
2
ln|𝑢2 + 3| 
 
I = 
1
2
ln|𝑢2 + 3| + 
1
√3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑢
√3
) + C 
 
I = 
1
2
ln|(𝑥 + 1)2 + 3| + 
1
√3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑥+1
√3
) + C 
 
I = 
𝟏
𝟐
𝐥𝐧|𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒| + 
𝟏
√𝟑
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (
𝒙+𝟏
√𝟑
) + C 
 
 
 
x = 2senθ 
dx = 2cosθ.dθ 
 
 
𝐼 = ∫
2𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑑𝜃
2𝑠𝑒𝑛𝜃√4−4𝑠𝑒𝑛2𝜃
 ∫
2𝑐𝑜𝑠𝜃
2𝑠𝑒𝑛𝜃.2𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑑𝜃 = 
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝜃. 𝑑𝜃 
 
 
I = 
1
2
ln|𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃| +C = 
1
2
ln |
2
𝑥
−
√4−𝑥2
𝑥
| + 𝐶 
 
I = 
𝟏
𝟐
𝐥𝐧 |
𝟐
𝒙
−
√𝟒−𝒙𝟐
𝒙
| + 𝑪 
 
 
 
√4 − 𝑥2 
x 
2 
Outra resolução: 
 
𝑡2 = 4 − 𝑥2 ; x = √4 − 𝑡2 ; dx = 
−2𝑡.𝑑𝑡
2√4−𝑡2
 
 
 
 
I = ∫
1
√4−𝑡2.√𝑡2 
 
(−𝑡.𝑑𝑡)
√4−𝑡2
 
 
I = −∫
𝑑𝑡
4−𝑡2
 
 
I = +∫
𝑑𝑡
𝑡2−4
 [ tabela nº 13 ] 
 
 
I = 
1
2.2
ln |
𝑡−2
𝑡+2
| + 𝐶 
 
 
I = 
1
4
ln |
√4−𝑥2 − 2
√4−𝑥2 + 2
| + 𝐶 
 
θ 
MA 2121 P-1 A DO 1º SEMESTRE DE 2015 MA2121 
 
 
 
 RASCUNHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5ª questão: Calcular a área da região limitada pelas curvas 
y = senx.cosx e y = senx, com 0 ≤ x ≤ π. 
 
 
x 
A = ∫ [𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥]𝑑𝑥
𝜋
0
 
 
A = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑑𝑥
𝜋
0
 − ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑑𝑥
𝜋
0
 
 
 
 u = senx du = cosx.dx 
 
 ∫ 𝑢. 𝑑𝑢 = 
𝑢2
2
 = 
𝑠𝑒𝑛2𝑥
2
 
 
A = −𝑐𝑜𝑠𝑥 − 
𝑠𝑒𝑛2𝑥
2
|
𝜋
1
0
 
 
A = (−𝑐𝑜𝑠𝜋 − 
𝑠𝑒𝑛2𝜋
2
) − (−𝑐𝑜𝑠0 − 
𝑠𝑒𝑛20
2
) 
 
A = −(−1) − ( −1 ) = 2 u.a.