ESTATÍSTICA

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FACULDADE PIO XII
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS
2º ANO
APOSTILA DE ESTATÍSTICA
PROF. PAULO CÉSAR ZANELLATO
ALUNO:..................................................................................
TURMA:.......................................
ANO:..........................
BIBLIOGRAFIA:
COSTA, Sérgio F. Introdução ilustrada à Estatística.
 São Paulo: Harbra.
CLARK, Jeffrey, DOWNING, Douglas. Estatística aplicada.
 São Paulo: Saraiva.
CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil.
 São Paulo: Saraiva.
DOWNING, D., CLARK J. Estatística Aplicada.
 São Paulo: Saraiva.
FONSECA, J.S., MARTINS, G.A. Curso de estatística.
 São Paulo: Atlas.
HOEL, Paul G. Estatística elementar.
 São Paulo: Atlas
NAZARETH, Helenalda de S. Curso básico de estatística.
 São Paulo: Ática.
SPIEGEL, Murray R. Estatística.
 São Paulo: Makron Books.
STEVENSON, Willian J. Estatística aplicada à administração.
 São Paulo: Harper & Row.
TOLEDO, Geraldo L. Estatística básica.
 São Paulo: Atlas.
SUMÁRIO:
1 - Introdução à Estatística ...................................................... 01
2 - Distribuição de freqüência ................................................. 08
3 - Medidas de Posição ........................................................... 15
4 - Medidas de Dispersão ........................................................ 29
5 - Probabilidade ..................................................................... 33
6 - Distribuições de Probabilidade ........................................... 43
7 - Amostragem ...................................................................... 56
8 - Intervalo de confiança ........................................................ 76
9 - Testes de hipóteses ............................................................ 87
10 - Correlação e Regressão ................................................... 101
Apêndice I (tabela da curva normal reduzida) .......................... 129
Apêndice II (tabela t student) .................................................. 130
Apêndice III (tabela de números aleatórios) ............................ 131
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 01
CONCEITO DE ESTATÍSTICA:
Dois conceitos geralmente aceitos:
Uma coleção de dados quantitativos referentes a
qualquer elemento ou grupo, especialmente quando os
dados são obtidos e colecionados de forma sistêmica.
Ex.: Pressão sangüínea, Jogos de futebol, empregos, etc...
Ciência que lida com a coleta, tabulação, análise,
interpretação e apresentação de dados quantitativos.
Ex.: Pesquisa de mercado determinando preferências do
consumidor, levantamento de índices de preços, etc...
Uso em:
• Controle de Qualidade;
• Projeções de mercado;
• Investimentos, etc..
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 02
POPULAÇÃO E AMOSTRA:
PopulaçãoPopulação
AmostraAmostraApresentaçãoApresentação
InferênciaInferência
População estatística ou universo estatístico
compreende o conjunto de entes portadores de,
pelo menos , uma característica comum.
Amostra é o subconjunto finito de uma
população.
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 03
ESTATÍSTICA INDUTIVA E DESCRITIVA:
•A Estatística Indutiva compreende a obtenção, a partir de
um conjunto limitado de dados ( amostra ) , de conclu-
sões sobre um grande conjunto de dados ( população ).
•A Estatística Descritiva compreende a descrição e análise
de um elemento ou grupo.
Fases daFases da
EstatísticaEstatística
IndutivaIndutiva
ouou
InferencialInferencial
DescritivaDescritiva
ouou
Dedutiva Dedutiva 
As conclusões ouAs conclusões ou
inferências não podem serinferências não podem ser
estabelecidas com certezaestabelecidas com certeza
absolutaabsoluta
Uso deUso de
Probabilidade !!!Probabilidade !!!
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 04
VARIÁVEIS:
As Variáveis podem ser:
1 - Qualitativa:
 Quando seus valores são expressos por atributos.
 - Nominal: masculino, feminino, solteiro, casado, etc
 - Ordinal: grau de instrução, colocação, etc.
2 - Quantitativa:
 Quando seus valores são expressos por números.
 - Contínua: altura, comprimento, temperatura, etc.
 - Discreta: Peças produzidas, nº de filhos, etc.
Conjunto de resultadosConjunto de resultados
 possíveis de um possíveis de um
 fenômeno. fenômeno.
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 05
COLETA E APRESENTAÇÃO DE DADOS:
COLETACOLETA OBSERVAÇÃOOBSERVAÇÃO
DIRETADIRETA
INDIRETAINDIRETA
APURAÇÃO EAPURAÇÃO E
APRESENTAÇÃOAPRESENTAÇÃO
TABELASTABELAS
GRÁFICOSGRÁFICOS
Exportações brasileiras
 03/95
SP 1344
MG 542
RS 332
ES 285
PN 250
SC 202
Fonte: SECEX
Expor ta ç õe s bra s ile ira s 
0 3 /9 5
0
500
1000
1500
SP MG RS E S P N SC
Es tad o
U
S
$
 
m
i
l
h
õ
e
s
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 06
GRÁFICOS PARA APRESENTAÇÃO DE DADOS:
A M O S T R A N º 2 0
D E FE IT O S FR E Q U Ê N C IA
A 2 8
B 2 0
C 1 4
D 1 3
E 1 0
F 5
C Q - 0 1 /0 2 / 99
C O L UNA S
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
A B C D E F
DEFEIT O S
F
R
E
Q
U
Ê
N
C
I
A
BA RRA S
0 1 0 2 0 3 0
A
B
C
D
E
F
D
E
F
E
I
T
O
S
F REQ UÊNC IA
L INHA S
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
A B C D E F
DEFEIT O S
F
R
E
Q
U
Ê
N
C
I
A
P IZ ZA
A
31 %
B
22 %
C
16 %
D
14 %
E
11 %
F
6 %
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 07
ARREDONDAMENTO DE DADOS:
Objetiva minimizar os erros acumulados por arredonda-Objetiva minimizar os erros acumulados por arredonda-
mento.mento.
Ex.: 12,8635 Ex.: 12,8635 �� 12,864 12,864 �� 12,86 12,86 �� 12,9 12,9 �� 13 13
NOTAÇÃO CIENTÍFICA:
Emprega-se quando o número comporta muitos zeros.Emprega-se quando o número comporta muitos zeros.
Ex.:Ex.: 500.000,00 = 5 x 10500.000,00 = 5 x 1055
854.000.000,00 = 8,54 x 10854.000.000,00 = 8,54 x 1088
0,0000355 = 3,55 x 100,0000355 = 3,55 x 10-5-5
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS:
São os algarismos ou dígitos representativos, separadosSão os algarismos ou dígitos representativos, separados
dos zeros necessários à localização da vírgula.dos zeros necessários à localização da vírgula.
Exemplos:Exemplos:
5,32 5,32 �� 3 alg. significativos.3 alg. significativos.
32,30 32,30 �� 4 alg. significativos. 4 alg. significativos.
00,0018 = 1,8 x 10,0018 = 1,8 x 10-3-3 �� 2 alg. significativos. 2 alg. significativos.
00,001800 = 1,800 x 10,001800 = 1,800 x 10-3-3 �� 4 alg. significativos. 4 alg. significativos.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 08
A Distribuição de freqüência compreende um
arranjo tabular dos dados por classes, juntamente
com suas freqüências correspondentes.
Dados Brutos e Rol:
 
 Intervalos de variação de uma variável.
li Li
AMOSTRAS
10
8
3
15
7
5
19
18
12
AMOSTRAS
3
5
7
8
10
12
15
18
19
AMOSTRAS
00 |---------- 05
05 |---------- 10
10 |---------- 15
15 |---------- 20
ClassesClasses
Amplitude do intervalo de classe ( h )
h = Li - li
Amplitude total da distribuição ( R )
R = Li ( máx ) - li ( mín )
Número de classes ou células ( K )
K = R / h
Ponto médio de uma classe ( xi )
xi = ( Li + li ) / 2
O NÚMERO DE CLASSES É SUBJETIVO
Métodos tradicionais:
K = 1 + 3,22 log n ( R. Sturges , n > 100 )
K = ( n pequeno )
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 09
R E C O M E N D A Ç Ã O
C L A S S E S O B S E R V AÇ Õ E S
5 a 9 < 1 0 0
8 a 1 7 d e 1 0 0 a 5 0 0
1 5 a 2 0 > 5 0 0
n
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 10
Tipos de freqüências:
Freqüência absoluta ( fi ) são os valores
que realmente representam o número de
dados de uma classe.
Freqüência relativa ( fri ) são os valores
das razões entre as freqüências simples e
a freqüência total.
Freqüência acumulada ( Fi ) é o total da
das freqüências de todos os valores infe-
riores ao limite superior do intervalo de
uma dada classe.
Freqüência acumulada relativa ( Fri ) é
a freqüência acumulada da classe, divi-
dida pela freqüência total.
� � nfi
�
�
fi
fifri
�� fiFi
�
�
fi
FiFri
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 11
Regras gerais de uma distribuição de freqüências:
1 - Após ordenação dos dados de forma tabulada, deter-
 minar o maior e menor número e, então, calcular a
 amplitude total do rol ( R );
2 - Definir o número de classes ( K );
3 - Determinar as freqüências de classe ( fi , fri , Fi e Fri ).
Exemplo:
i ESTATURAS xi fi fri FI Fri
[ cm ]
1 155 |----- 161 158 2 0,067 2 0,067
2 161 |----- 167 164 4 0,133 6 0,200
3 167 |----- 173 170 7 0,233 13 0,433
4 173 |----- 179 176 9 0,300 22 0,733
5 179 |----- 185 182 5 0,167 27 0,900
6 185 |----- 191 188 3 0,100 30 1,000
30 1,000
ESTATURAS DE ALUNOS [ cm ]
155 158 162 164 165 166 167 168 168 170
170 171 172 173 174 174 175 176 176 177
178 178 180 183 183 184 184 185 188 190
UFES
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 12
Histogramas:
Polígonos:
ESTATURA DE ALUNOS
0
2
4
6
8
10
158 164 170 176 182 188
ESTATURAS [ cm ]
F
R
E
ESTATURA DE ALUNOS
0%
20%
40%
60%
80%
100%
158 164 170 176 182 188
ESTATURAS [ cm ]
F
R
E
ESTATURA DE ALUNOS
0
2
4
6
8
10
158 164 170 176 182 188
ESTATURAS [ cm ]
F
R
E
ESTATURA DE ALUNOS
0%
20%
40%
60%
80%
100%
158 164 170 176 182 188
ESTATURAS [ cm ]
F
R
E
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 13
Tipos de curvas de freqüência ou Ogivas:
1 - Quanto à Simetria e forma:
Assimétrica
para a esquerda
 
Simétrica
( normal )
Assimétrica
para a direita
Forma de “ J “
Forma de “ J “
invertido
Forma de “ U “
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 14
Tipos de curvas de freqüência ou Ogivas:
2 - Quanto ao achatamento: 3 - Quanto às modas:
Normal
Leptocúrtica
Platicúrtica
Unimodal
Bimodal
Multimodal
MEDIDAS DE POSIÇÃO 15
Notação de Somatório:
Exemplo: X = ( 1 , 2, -2, 10, -5 )
n
n
j
XXXXXj �����
�
� ......321
1
6510221)5(10)2(21
1
�������������
�
�
n
j
Xj
MédiaMédia
 
MedianaMediana
 
ModaModa
Medidas de Tendência Central:
São medidas que representam a tendência dos
dados em se agruparem em torno dos valores
centrais.
QQ33QQ22QQ11
SeparatrizSeparatriz
MEDIDAS DE POSIÇÃO 16
Média aritmética ( ):
Quociente da divisão da soma dos valores da
variável pelo número deles.
 FÓRMULA PARA DADOS
 NÃO-AGRUPADOS.
Exemplo:
A produção leiteira de uma vaca, durante uma
semana foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros. Logo a
produção média ao longo da semana será:
X
n
XXX
n
Xj
X n
n
j ���
��
�
� ......211
14
7
98
7
12181615131410
��
������
�X
MEDIDAS DE POSIÇÃO 17
Propriedades da Média:
1ª : A soma algébrica dos desvios tomados em relação à
média é nula.
2ª : Somando-se ou subtraindo-se uma constante ( c ) de
todos os valores de uma variável, a média do conjunto
fica aumentada ou diminuída dessa constante.
3ª : Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de
uma variável por uma constante ( c ), a média do conjunto
fica multiplicada ou dividida por essa constante.
�
�
�
k
i
d
1
1 0
cXYcXY ii �����
cXYcXY ii �����
XXd ii ��
MEDIDAS DE POSIÇÃO 18
Média aritmética para dados agrupados:
Observações:
1ª - A fórmula da média aritmética para dados agrupados
corresponde também à média aritmética ponderada, onde
fi é a freqüência absoluta dos dados ou o peso de cada
dado na distribuição.
2ª - No caso de distribuição de freqüência sem intervalos
de classe, entende-se que Xi representa a variável em
estudo.
3ª - No caso de distribuição de freqüência com intervalos
de classe, entende-se que Xi representa o ponto médio de
cada classe.
�
�
�
i
ii
f
fx
X
MEDIDAS DE POSIÇÃO 19
Exemplos de Média aritmética para dados agrupados:
1º - Sem intervalo de classe:
2º - Com intervalo de classe:
COMPOSIÇÃO FAMILIAR
Nº DE MENINOS fi xi fi
0 2 0
1 6 6
2 10 20
3 12 36
4 4 16
34 78
ESTATURA DE ALUNO S
i ESTATURAS [ cm ] x i f i x if i
1 150 | --- -- 1 54 152 4 608
2 154 | --- -- 1 58 156 9 1404
3 158 | --- -- 1 62 160 11 1760
4 162 | --- -- 1 66 164 8 1312
5 166 | --- -- 1 70 168 5 840
6 170 | --- -- 1 74 172 3 516
40 6440
29,2
34
78
���
�
�
i
ii
f
fx
X
161
40
6440
���
�
�
i
ii
f
fx
X
MEDIDAS DE POSIÇÃO 20
Moda ( Mo ):
Compreende o valor que ocorre com maior
freqüência em uma série de valores.
A Moda para dados não-agrupados:
A moda consiste no valor que mais se repete.
 Exemplos:
 A = ( 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 15 )
 Não há Moda � Série amodal
 B = ( 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 , 13 , 15 )
 Mo = 10 � Série unimodal
 C = ( 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 10 )
 Mo = 4 e 7 � Série bimodal
MEDIDAS DE POSIÇÃO 21
A Moda para dados agrupados:
1º Caso: Sem intervalos de classe
Ex.:
 � Mo = 2
2º Caso: Com intervalos de classe
COMPOSIÇÃO FAMILIAR
MENINOS fi
0 2
1 6
2 12
3 4
4 1
soma: 25
*
21
1*
**
2
h
DD
DlMo
LlMobruta
�
�
��
�
�
)(
*
2
)(
*
1
post
ant
ffD
ffD
��
��
MEDIDAS DE POSIÇÃO 22
Exemplo de Moda para dados agrupados:
ESTATURA DE ALUNO S
i ESTATURAS [ cm ] x i f i x if i
1 150 | --- -- 1 54 152 4 608
2 154 | --- -- 1 58 156 9 1404
3 158 | --- -- 1 62 160 11 1760
4 162 | --- -- 1 66 164 8 1312
5 166 | --- -- 1 70 168 5 840
6 170 | --- -- 1 74 172 3 516
40 6440
6,1594
32
2158
3811
2911
)(
*
2
)(
*
1
*
21
1*
��
�
��
�����
�����
�
�
��
Mo
ffD
ffD
h
DD
DlMo
post
ant
MEDIDAS DE POSIÇÃO 23
Mediana ( Md ):
Compreende um número que se encontra no
centro de uma série de números, estando estes dispostos
segundo uma ordem.
A Mediana para dados não-agrupados:
Exemplos:
 A = ( 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 15 , 18 )
 Md = 11
 B = ( 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 15 , 18 , 20 )
 Md = ( 11 + 12 ) / 2 = 11,5
 C = ( 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 11 , 12 , 13 , 15 , 18 )
 Md = ( 11 + 11 ) / 2 = 11
MEDIDAS DE POSIÇÃO 24
A Mediana para dados agrupados:
1º Caso: Sem intervalos de classe
Exemplo.:
2º Caso: Com intervalos de classe
COMPOSIÇÃO FAMILIAR
MENINOS fi
0 2
1 6
2 12
3 4
4 1
soma: 25
2
ª3
5,12
2
25
2
�
�
��
�
Md
classe
fi
**
)(
* 2
f
hF
fi
lMd
ant �
�
�
�
�
�
�
�	
�
MEDIDAS DE POSIÇÃO 25
Exemplo de Mediana para dados agrupados:
 � Md
i E S T A T U R A S x i f i F I
[ cm ]
1 15 0 | - - - -- 1 5 4 15 2 4 4
2 15 4 | - - - -- 1 5 8 15 6 9 1 3
3 15 8 | - - - -- 1 6 2 16 0 1 1 2 4
4 16 2 | - - - -- 1 6 6 16 4 8 3 2
5 16 6 | - - - -- 1 7 0 16 8 5 3 7
6 17 0 | - - - -- 1 7 4 17 2 3 4 0
4 0
cmMd
Md
f
hF
fi
lMd
ant
5,160
11
413
2
40
158
2
*
*
)(
*
�
��
�
��
�
�
	�
�
�
�
�
�
�
�
	�
�
MEDIDAS DE POSIÇÃO 26
Relações entre a Média, Moda e Mediana:
Assimetria Positiva ou à direitaAssimetria Positiva ou à direita
MoMo MdMd MédiaMédia
MédiaMédia = = MdMd = = MoMo
SimetriaSimetria
MédiaMédia MdMd MoMo
Assimetria Negativa ou à esquerdaAssimetria Negativa ou à esquerda
MEDIDAS DE POSIÇÃO 27
Separatrizes ( Quartil, Decil e Percentil ):
São os valores de uma série ordenada que a
dividem em quatro, dez ou em cem partes iguais.
Para qualquer separatriz, utiliza-se a fórmula da
Mediana, operando-se a seguinte mudança:
Onde:
k = Nº de partes da separatriz
p = Separatriz ( 4 , 10 , 100 )
*
*
)(
* 2
f
hF
fi
lMd
ant �
�
�
�
�
�
�
�	
�
p
fikfi ��
�
2
MEDIDAS DE POSIÇÃO 28
i E S T A T U R A S x i f i F I
[ cm ]
1 15 0 | - - - -- 1 5 4 15 2 4 4
2 15 4 | - - - -- 1 5 8 15 6 9 1 3
3 15 8 | - - - -- 1 6 2 16 0 1 1 2 4
4 16 2 | - - - -- 1 6 6 16 4 8 3 2
5 16 6 | - - - -- 1 7 0 16 8 5 3 7
6 17 0 | - - - -- 1 7 4 17 2 3 4 0
4 0
Exemplo de Separatriz:
� P8
� Q3
cm
f
hF
fi
lQ
cm
f
hF
fi
lP
ant
ant
165
8
424
4
403
162
4
3
2,153
4
40
100
408
150
100
8
*
*
)(
*
3
*
*
)(
*
8
�
��
�
��
�
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��
�
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
As medidas de Dispersão ou Variabilidade
descrevem a diversificação dos valores de uma
variável em torno de um valor de tendência
central tomado como ponto de comparação.
Sejam os Conjuntos:
 A = ( 70 , 70 , 70 , 70 , 70 )
 B = ( 68 , 69 , 70 , 71 , 72 )
 C = ( 10 , 50 , 70 , 90 , 130 )
Como representar uma população, amostra
ou conjunto de dados ?
As medidas de dispersão são:
 - Amplitude Total. - Variância.
 - Desvio Médio. - Desvio Quartílico.
 - Desvio Padrão. - Desvio Percentílico.
 - Coeficiente de Variação.
MEDIDAS DE DISPERSÃO 29
70x �
Amplitude Total ( AT ):
Diferença entre o maior e o menor valor
observado.
Desvio Médio ( DM ):
Razão entre a soma dos desvios em relação à
média ( valor absoluto ) e o número deles.
 Dados não-agrupados: Dados agrupados:
Exemplo: 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 30
)()( mínmáx xxAT ��
n
xx
DM i�
�
�
n
xxifi
DM �
�
�
8,2
5
61168666362
65/)118632()11,8,6,3,2(
�
���������
�
�������
DM
xA
MEDIDAS DE DISPERSÃO 31
Desvio-padrão ( S ):
Raiz quadrada média dos quadrados dos desvios
tomados em relação à média.
Obs.: n - 1 graus de liberdade.
 Quando n > 30 , usar somente n no denominador,
 ao invés de n-1.
Exemplo:
� �
1
agrupados-nãoDados
2
�
�
�
�
n
xx
S i
� �
1
agrupadosDados
2
�
�
�
�
n
xxf
S ii
67,35,13
4
54
4
2540916
15
)611()68()66()63()62(
65/)118632()11,8,6,3,2(
22222
���
����
�
�
���������
�
�������
S
S
xA
MEDIDAS DE DISPERSÃO 32
Coeficiente de Variação ( CV ):
Medida de dispersão relativa compreendida pela
razão entre o desvio-padrão e a média.
Variância ( ):
É o quadrado do desvio-padrão.
Desvio Quartílico ( DQ ):
É o metade da diferença entre o 3º e o 1º quartil.
Desvio Percentílico ( DP ):
É a diferença entre o 90º e o 10º percentil.
100
x
SCV ��
2S
2
13 QQDQ ��
1090 PPDP ��
Probabilidade: Estudo dos experimentos
aleatórios ou não determinísticos.
Experimentos Aleatório
Resultados não podem ser determinados antes da
realização.
Espaço Amostral ( S )
Conjunto formado por todos os resultados
possíveis de um experimento aleatório.
Evento
Conjunto qualquer de resultados de um
experimento aleatório.
Experimento aleatório = Lançar dados
Exemplo : S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Evento A = { 2 }
PROBABILIDADE 33
Propriedades dos Eventos:
 Seja E um evento de S, tal que E � S :
 Se:
E = S � E é chamado evento certo.
E = � � E é chamado evento impossível.
E � S � Se E for unitário, então é chamado
 evento elementar.
Exemplo:
 No lançamento de um dado comum, tem-se:
 A = { 2 , 4 , 6 } � S � A é um evento comum.
 B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } � S � B é um evento certo.
 C = { 4 } � S � C é um evento elementar.
 D = � � D é um evento impossível.
Onde:
 A - Obter um número par.
 B - Obter um número menor ou igual a 6.
 C - Obter o número 4.
 D - Obter um número maior que 6.
PROBABILIDADE 34
Teoria elementar da Probabilidade:
 A probabilidade de um evento A ( A � S ) é dada por
P(A), tal que:
 Onde:
 n(A) é o nº de elementos do evento A.
 n(S) é o nº de elementos do espaço amostral S.
Axiomas da Probabilidade:
a) A probabilidade de um evento certo é 1.
b) A probabilidade de um evento impossível é zero.
c) A probabilidade de um evento E qualquer ( E � S ) é
 um número real P(E), tal que : 0 � P ( E ) � 1
d) A probabilidade de um evento elementar E qualquer é
 dado por : P ( E ) = 1 / n
e) A probabilidade de um evento complementar é dado
 por : P ( Ä ) = 1 - P ( A )
PROBABILIDADE 35
n(S)
n(A)P(A) �
PROBABILIDADE 36
Teorema da Adição:
a) Eventos mutuamente exclusivos:
Exemplo:
Em uma urna existem existem 10 bolas de 1 a 10. Uma
bola é retirada ao acaso. A probabilidade da bola retirada
ser um número primo ou maior que 8 é dado por:
 S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } � n ( S ) = 10
 Primo: A = { 2 , 3 , 5 , 7 } � n ( A ) = 4
 > 8: B = { 9 , 10 } � n ( B ) = 2
 Logo:
 P ( A � B ) = P ( A ) + P ( B ) = ( 4 / 10 ) + ( 2 / 10 )
 P ( A � B ) = 0,4 + 0,2 = 0,6
SS
A B
)B(P)A(P)BA(P ���
PROBABILIDADE 37
b) Reunião de dois eventos:
Exemplo:
Em uma urna existem existem 10 bolas de 1 a 10. Uma
bola é retirada ao acaso. A probabilidade da bola retirada
ser um número par ou maior que 4 é dado por:
 S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } � n ( S ) = 10
 Par: A = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } � n ( A ) = 5
 > 4: B = { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } � n ( B ) = 6
 A � B = { 6 , 8 , 10 } � n ( A � B ) = 3
Logo:
 P ( A � B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A � B )
 P ( A � B ) = ( 5/10 ) + ( 6/10 ) - ( 3/10 ) = 0,8
S
(A � B)
A B
)BA(P-)B(P)A(P)BA(P ����
PROBABILIDADE 38
Teorema da Multiplicação:
a) Eventoscondicionais ( dependentes ):
 - Ocorrência simultânea de dois eventos.
Exemplo:
Em uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4 azuis. Ao se
retirar 2 bolas consecutivas, a probabilidade da primeira
ser azul e da segunda ser vermelha é dado por:
 1ª retirada ( bola Azul ) � P ( A ) = 4 / 10 = 0,40
 2ª retirada ( bola Verm. )� P ( V | A ) = 6 / 9 = 0,67
 Logo: P ( A � V ) = P ( A ) x P ( V | A )
P ( A � V ) = 0,40 x 0,67 = 0,27
S
(A � B)
A B
)A|B(P)A(P)BA(P ���
PROBABILIDADE 39
b) Eventos independentes:
 - Ocorrência de um evento independe da ocorrência
 de outro evento.
Exemplo:
De dois baralhos retiram-se, simultaneamente, uma carta
do 1º baralho e uma carta do 2º baralho. A probabilidade
de a carta do 1º baralho ser um rei e a do 2º baralho ser o
5 de ouro é dada por:
 Evento A = rei no 1º baralho.
 Evento B = 5 de ouro no 2º baralho.
 P ( A ) = 4/52 = 1/13
 P ( B ) = 1/52
 Logo:
 P ( A � B ) = P ( A ) x P ( B ) = ( 1/13 ) x ( 1/52 )
 P ( A � B ) = 1/676 = 0,0015
)B(P)A(P)BA(P ���
PROBABILIDADE 40
c) Regra de Bayes:
 Sejam os eventos A1,.., A2, An mutuamente exclusivos
dos quais conhece-se a probabilidade de ocorrência e seja
B um evento para o qual também conhece-se sua probabi-
lidade de ocorrência P ( B | Ai ).
Logo:
)n...,3,2,1,(i:Onde
)A|B(P)A(P
)A|B(P)A(P)B|A(P
nn
ii
i
�
�
�
�
�
BB
AA22AA11 AA33
AA66 AA55 AA44
PROBABILIDADE 41
Exemplo ( Regra de Bayes ):
Dada a seguinte configuração:
Escolhe-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola
ao acaso, verificando que a bola é branca.
A probabilidade da bola ter vindo da urna U2 é dada por:
4068,0
59
24
8
3
3
1
3
1
3
1
9
1
3
1
3
1
3
1
 )br | U2( P
) U3|br ( P ) U3( P ) U2|br ( P ) U2( P ) U1|br ( P ) U1( P
) U2|br ( P ) U2( P )br | U2( P
8
3 ) U3|br ( P
3
1 ) U3( P
3
1 
9
3 ) U2|br ( P
3
1 ) U2( P
9
1 ) U1|br ( P
3
1 ) U1( P
��
�����
�
�
�����
�
�
��
���
��
Bolas Urnas
( Cores ) U1 U2 U3
Preta 3 4 2
Branca 1 3 3
Vermelha 5 2 3
Total 9 9 8
PROBABILIDADE 42
Análise Combinatória:
 Compreende o estudo das técnicas de contagem que
permitem calcular o número de ocorrências de um evento.
Ex.: combinações possíveis de letras e algarismos de
placas de automóveis, números telefônicos, grupos de
pessoas, etc.
Princípio Fundamental da contagem:
Arranjos e Permutações (importa a ordem dos elementos):
Combinações (não importa a ordem dos elementos):
r)!-(n
n! A rn, �
r)!-(n r!
n! 
r
n
 C rn, ���
�
�
��
�
�
�
modos )(
 de ocorre 
21 n n
E
�modos de ocorre 22 nE
modos de ocorre 11 nE
n! A P nn,n ��
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 44
Distribuição de Probabilidade:
a) Distribuição discreta de Probabilidade:
 É definida quando uma variável x pode assumir um
conjunto discreto de valores x1, x2, ... , xn , com as
probabilidades P1, P2, ... , Pn, respectivamente, sendo o
somatório P1 + P2 + ... + Pn = 1 .
Exemplo: Lançamento de um dado.
b) Distribuição Contínua de Probabilidade:
 Ocorre quando uma variável x pode assumir um
conjunto contínuo de valores.
X 1 2 3 4 5 6
P ( X ) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
aa bb
� ���
b
a
)bxa(Pdx)x(f
Introdução:
Variável aleatóriaVariável aleatória
Suponha-se um espaço amostral S e que a cada
ponto amostral seja atribuído um número. Fica então
definida uma função chamada variável aleatóriavariável aleatória, indicada
por uma letra maiúscula, sendo seus valores indicados por
letras minúsculas.
Ex.: Seja X ( nº de caras no lançamento de duas moedas )
uma variável aleatória que pode assumir os valores x1, x2
e x3. A cada valor xi correspondem pontos do espaço
amostral. Associa-se a cada valor xi a probabilidade pi de
ocorrência de tais pontos. A distribuição de probabilidade
é formada pelos valores x1, x2 e x3 ( domínio da função ) e
seus respectivos p1, p2 e p3 ( imagem da função ).
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 43
Nº DE CARAS PROBABILIDADE
X P ( X )
x1 = 2 p1 = 0,25
x2 = 1 p2 = 0,50
x3 = 0 p3 = 0,25
�Domínio Imagem�
� �1)(XP
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 45
Esperança Matemática:
 A Esperança matemática E ( X ) ou Média constitui o
valor que se deseja ou se espera de um evento qualquer.
Casos:
- Variável aleatória discreta:
- Variável aleatória contínua:
Exemplos de Vad :
1 - Se a probabilidade de um homem ganhar um prêmio
de R$ 10,00 é de 1/5 , então sua esperança matemática é:
2 - Em um certo negócio, um empresário pode ter um
lucro de R$ 300,00 com probabilidade de 0,6 ou pode ter
um prejuízo de R$ 100,00 com probabilidade de 0,4 .
� �� )X(PX)X(E
� ����� 00,25
110,00)X(PX)X(E
dX)X(fX)X(E �
��
��
��
00,140)4,000,100()6,00,0030()X(E ������
Modelos de distribuição de probabilidade:
As variáveis aleatórias podem ser discretas ou
contínuas. Para ambas, existem modelos de distribuição
de probabilidade específicos, que são aplicáveis em
função do problema a ser resolvido.
 - Variáveis aleatórias discretas:
 1ª - Binomial;
 2ª - Multinomial;
 3ª - Poisson.
- Variáveis aleatórias contínuas:
 4ª - Normal ( Gauss ).
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 46
Distribuições mais comuns
GraphGraph
.00.00
.25.25
.50.50
00 11 22
xx
p(x)p(x)
X�
�
X�
�
1ª - Distribuição Binomial:
CondiçõesCondições
Ao se realizar uma mesma prova n vezes sucessivas e
independentes, a probabilidade de que um evento se
realize r vezes nas provas é dada pela seguinte função:
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 47
O experimento deve ser repetido, nas mesmas
condições, um número finito de vezes ( n );
As provas repetidas devem ser independentes;
Cada prova admite dois resultados: sucesso ( p ) ou
fracasso ( q );
Durante o experimento, a probabilidade p do sucesso e
a probabilidade q ( q = 1 - p ) do fracasso, manter-se-ão
constantes.
E(X) = np V(X) = npq
r)(nr qp
r
n
 )r X ( P ) X ( �����
�
�
��
�
�
���f
Exemplo de distribuição binomial:
Ao se realizar uma prova com 3 questões, onde a
probabilidade de acerto é 0,2 em cada questão, calcular a
probabilidade de ocorrerem 2 acertos.
Solução:
 C = questão certa P ( C ) = 0,2 p = sucesso
 E = questão errada P ( E ) = 0,8 q = fracasso
1º modo - Possíveis eventos:
 C C E = P ( C ) x P ( C ) x P ( E ) = 0,2 x 0,2 x 0,8
 C E C = P ( C ) x P ( E ) x P ( C ) = 0,2 x 0,8 x 0,2
 E C C = P ( E ) x P ( C ) x P ( C ) = 0,8 x 0,2 x 0,2
 Logo, P = 3 ( 0,2 x 0,2 x 0,8 ) = 0,096
2º modo - Através da função binomial:
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 48
,09608,004,038,02,0
2
3
 ) 2 X ( P )23(2 ��������
�
�
��
�
�
�� �
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 49
2ª - Distribuição Multinomial:
CondiçõesCondições
Então, dado um determinado espaço amostral, ao se
realizar n provas, a probabilidade de que A1 ocorra r1
vezes, A2 ocorra r2 vezes, ... , An ocorra rn vezes é
equivalente a:
É uma generalização da distribuição binomial;
Repartição do espaço amostral em n eventos:
Eventos: A1, A2, ..., An ( mutuamente exclusivos )
Probabilidades: p1, p2 ,..., pn ( respectivamente );
As probabilidades eqüivalem a 1:
p1 + p2 + ... + pn = 1
r21 X
r
X
2
X
1
r21
r21ppp!X ... !X !X
n!)X,...,X,(X P ����
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 50
Exemplo de distribuição multinomial:
Um dado é lançado 10 vezes. Calcular a probabilidade de
terem aparecido duas vezes o nº 2 , duas vezes o nº 5 , três
vezes o nº 1 e uma vez os demais resultados.
Solução:
 n = 10 lançamentos de dado.
 p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = 1/6 = 0,167
 S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,6 }
 Logo:
%25,00025,0
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
1! 2! 1! 1! 2! 3!
10!
) 1X 2,X 1,X 1,X 2,X 3,X ( P
121123
654321
�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�������
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 51
3ª - Distribuição de Poisson:
CondiçõesCondições
De posse da média de uma determinada ocorrência, a
função massa de probabilidade é dada por:
Onde: � = Média ou coeficiente de proporcionalidade;
e � 2,718 ( logaritmo neperiano );
r = ocorrência.
Aplicável em situações que envolvem observações por
unidade de tempo, por exemplo, número de carros por
minuto que chegam a um posto de pedágio.
A probabilidade geralmente é pequena;
A média do evento ( ocorrência ) é conhecida.
E(X) = � = Np V(X) = �
r!
eλr)P(X
λr �
�
��
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 52
Exemplo de distribuição de Poisson:
Em média, há 2 chamadas por hora num certo telefone.
Calcular a probabilidade de:
a) receber 3 chamadas em 2 horas;
b) não receber nenhuma chamada em 90 minutos.
Solução:
letra a:
 r = 3 chamadas.
 � = 2 horas = 4 chamadas/hora.
 Logo:
letra b:
 r = 0
 � = 90 minutos = 3 chamadas/hora.
 Logo:
0,195
3!
718,24
r!
eλ3)P(X
43λr
�
�
�
�
��
��
0,050
0!
718,23
r!
eλ)0P(X
30λr
�
�
�
�
��
��
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 53
4ª - Distribuição Normal:
Propriedades:Propriedades:
É a mais importante e usual distribuição;
A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer
valor real;
A representação gráfica é uma curva em forma de sino,
simétrica em torno da média x, que recebe o nome de
curva normalcurva normal ou curva de Gausscurva de Gauss;
A área limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é
igual a 1 e corresponde à probabilidade da variável x
assumir qualquer valor real;
A curva normal é assintótica em relação ao eixo das
abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo
horizontal sem, contudo, alcançá-lo.
X�
�
X�
�
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 54
Condições da distribuição normal:Condições da distribuição normal:
 A função densidade da curva normal é dada por:
Onde:
 Z = Variável aleatória que representa a probabilidade.
 X = Variável aleatória que representa a distribuição.
 � = Média da distribuição.
 � = Desvio padrão da distribuição.
� = 0
��= 1
Z� = 0
��= 1
Z
σ
µXZ ��
Standardized Normal DistributionStandardized Normal Distribution
�����
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
xe
x 2
2
1
2 σ
1(x) f �
�
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 55
Exemplo de distribuição normal:
Seja X a variável que representa o diâmetro de parafusos
produzidos por uma máquina. Considerando que essa
variável tenha distribuição normal com média de 2,00 cm
e desvio padrão de 0,04 cm, calcular a probabilidade dos
parafusos terem diâmetro entre 2,00 e 2,05 cm.
Solução:
A probabilidade refere-se ao intervalo:
P ( 2,00 � X � 2,05 ) = P ( Z )
P ( 2,00 � X � 2,05 ) = 0,3944 = 39,44 %
3944,0)(25,1
04,0
00,205,2
σ
µXZ ��������� ZPtab
Conceito
Amostras aleatórias:
São amostras representativas da população, onde
cada elemento tem a mesma possibilidade de ser
incluido na amostra.
Ex.: Análise nutricional de alimento:
 Sopa
AMOSTRAGEM 56
Estudo das relações existentes entre uma população e
as amostras dela extraídas.
Conjunto de técnicas utilizadas para a seleção de uma
amostra.
Homogênea:Homogênea:
 Amostra representativa Amostra representativa
Decantada:Decantada:
Amostra não-representativaAmostra não-representativa
e tendenciosae tendenciosa
Amostras com e sem reposição:
A amostra em que cada elemento de uma população pode
ser escolhido mais de uma vez é denominada amostra
com reposição, enquanto , se cada elemento não pode ser
escolhido mais de uma vez, é denominada amostra sem
reposição.
A amostragem para populações finitas ou infinitas:
� Retirada sucessiva de 10 bolas , sem reposição, de
uma urna que contém 100 bolas � População finita;
� Lançamento de moeda 50 vezes com contagem do
número de caras � População infinita.
Observação: Uma população finita, cuja amostragem é
feita com reposição pode ser considerada teoricamente,
como infinita, visto que qualquer número de amostras
pode ser extraído sem exaurir a população. Para fins
práticos, a amostragem de uma população finita muito
grande pode ser considerada como a de uma população
infinita.
AMOSTRAGEM 57
Estimadores:
Qualquer função real definida a partir dos
elementos que compõem uma amostra.
Estimadores Não Tendenciosos:
A Média e Desvio-padrão das amostras serão estimadores
não tendenciosos para a população se:
AMOSTRAGEM 58
P o p u la ç ã oP o p u la ç ã o E s t im a d o re sE s t im a d o re s
A m o s tra
�
�
�
�
�
��
��
��
� �
A TA T
ss 22
xx
ss
Inferência ou
Indução
Amostra Amostra 
S
x
PopulaçãoPopulação
�
�
ESTIMATIVASESTIMATIVAS
�� �� ][][ SExE
Observação Importante:
Para o cálculo do desvio-padrão amostral Para o cálculo do desvio-padrão amostral SS considera-se: considera-se:
Seguido do fator de
correção:
Mas, pode-se usar simplesmente a equação:
Contudo, se não for feita a correção ou simplesmente não
usar n-1 , ocorrerá erro por tendenciosidade quando for
usar S como estimador para a população, ou seja, a
premissa para a não tendenciosidade não será mantida:
AMOSTRAGEM 59
� �
n
xx
S i�
�
�
2
1�n
n
� �
1
2
�
�
�
�
n
xx
S i
��][SE
AMOSTRAGEM 60
Estimativa e Distribuição Amostral:
A Estimativa compreende o valor numérico de uma
estimador, podendo ser este, o desvio-padrão, a média, a
variância, etc...
A Distribuição Amostral, por sua vez, é fundamental para
o processo de inferência ou indução estatística.
Considere todas as possíveis amostras de tamanho n que
podem ser extraídas de determinada população. Se para
cada uma delas se calcular um valor do estimador, tem-se
uma distribuição amostral desse estimador.
Como o estimador é uma variável aleatória, pode-se
determinar suas características, isto é, encontrar sua
média, variância, desvio-padrão, etc...
AMOSTRAGEM 61
Distribuição Amostral das Médias:
Teorema 1:Teorema 1:
A média da distribuição amostral das médias é igual àA média da distribuição amostral das médias é igual à
média populacional.média populacional.
Teorema 2:Teorema 2:
Se a população é infinita, ou se a amostragem é comSe a população é infinita, ou se a amostragem é com
reposição, então, o desvio-padrão da distribuição amostralreposição, então, o desvio-padrão da distribuição amostral
das médias é dado por:das médias é dado por:
Teorema 3:Teorema 3:
Se a população é finita, ou se a amostragemé semSe a população é finita, ou se a amostragem é sem
reposição, então, o desvio-padrão da distribuição amostralreposição, então, o desvio-padrão da distribuição amostral
das médias é dado por:das médias é dado por:
��][xE
n
S ��
1�
�
�
N
nN
n
S �
AMOSTRAGEM 62
Distribuição Amostral das Proporções:
Teorema 1:Teorema 1:
Para uma população infinita, em que a probabilidade doPara uma população infinita, em que a probabilidade do
sucesso seja sucesso seja pp e, do fracasso seja e, do fracasso seja qq ( ( 1 - p1 - p ), a distribuição ), a distribuição
amostral das proporções será dada por:amostral das proporções será dada por:
Teorema 2:Teorema 2:
Para uma população finita, cuja amostragem é obtida semPara uma população finita, cuja amostragem é obtida sem
reposição, em que a probabilidade do sucesso seja reposição, em que a probabilidade do sucesso seja pp e, do e, do
fracasso seja fracasso seja qq ( ( 1 - p1 - p ), a distribuição amostral das ), a distribuição amostral das
proporções será dada por:proporções será dada por:
n
pqp �� ��
npqnp �� ��
AMOSTRAGEM 63
Dimensionamento da Amostra:
Para o dimensionamento da amostra, deve-se considerarPara o dimensionamento da amostra, deve-se considerar
dois fatores que determinarão a expressão matemática adois fatores que determinarão a expressão matemática a
ser usada nos cálculos.ser usada nos cálculos.
Os fatores são:Os fatores são:
1º - Nível de mensuração da variável: qualitativa ou1º - Nível de mensuração da variável: qualitativa ou
quantitativa ( intervalar );quantitativa ( intervalar );
2º - Tamanho da amostra: infinita ou finita.
Nota-se, então, que poderão existir 4 casos em função do
tipo de variável a ser estudada.
Os casos são:
� Variável intervalar e população infinita;
� Variável intervalar e população finita;
� Variável qualitativa e população infinita;
� Variável qualitativa e população finita.
AMOSTRAGEM 64
Dimensionamento da Amostra:
1º caso - Variável intervalar e população infinita1º caso - Variável intervalar e população infinita
Onde:
Z = abscissa da curva normal em função de um nível de
confiança;
� = Desvio-padrão da população, expresso na unidade da
variável e, que pode ser determinado de pelo menos três
formas: especificações técnicas, resgate de estudos
semelhantes e conjeturas sobre possíveis valores;
d = Erro amostral, expresso na unidade da variável, que
compreende a máxima diferença que o investigador
admite aceitar entre a verdadeira média populacional e a
média amostral.
2
�
�
�
�
�
� �
�
d
Zn �
dx ���
AMOSTRAGEM 65
Dimensionamento da Amostra:
2º caso - Variável intervalar e população finita2º caso - Variável intervalar e população finita
Onde:
Z = Abscissa da curva normal em função de um nível de
confiança;
� = Desvio-padrão da população, expresso na unidade da
variável e, que pode ser determinado de pelo menos três
formas: especificações técnicas, resgate de estudos
semelhantes e conjeturas sobre possíveis valores;
N = Tamanho da população;
d = Erro amostral, expresso na unidade da variável, que
compreende a máxima diferença que o investigador
admite aceitar entre a verdadeira média populacional e a
média amostral.
222
22
)1( �
�
���
��
�
ZNd
NZn
dx ���
AMOSTRAGEM 66
Dimensionamento da Amostra:
3º caso - Variável qualitativa e população infinita3º caso - Variável qualitativa e população infinita
Onde:
Z = Abscissa da curva normal em função de um nível de
confiança;
p[chapéu] = Estimativa da verdadeira proporção de um
dos níveis da variável escolhida. Deve ser expresso em
decimais;
q[chapéu] = 1 - p[chapéu]
d = Erro amostral, expresso em decimais. Compreende a
máxima diferença que o investigador admite aceitar entre
a verdadeira proporção da população ( p ) e a proporção
das amostras ( p[chapéu] ).
2
2 ˆˆ
d
qpZn ���
dpp �� ˆ
AMOSTRAGEM 67
Dimensionamento da Amostra:
4º caso - Variável qualitativa e população finita4º caso - Variável qualitativa e população finita
Onde:
Z = Abscissa da curva normal em função de um nível de
confiança;
p[chapéu] = Estimativa da verdadeira proporção de um
dos níveis da variável escolhida. Deve ser expresso em
decimais;
q[chapéu] = 1 - p[chapéu] ;
N = Tamanho da população;
d = Erro amostral, expresso em decimais. Compreende a
máxima diferença que o investigador admite aceitar entre
a verdadeira proporção da população ( p ) e a proporção
das amostras ( p[chapéu] ).
qpZNd
NqpZn
ˆˆ)1(
ˆˆ
22
2
����
���
�
dpp �� ˆ
AMOSTRAGEM 68
Composição da Amostra:
Basicamente, existem dois métodos para composição da
amostra:
• Método Probabilístico:
Este método exige que cada elemento da população
possua determinada probabilidade ( normalmente
iguais ) de ser selecionado. Somente com base em
amostragens probabilísticas é que se podem realizar
inferências ou induções sobre a população a partir do
conhecimento da amostra;
• Método Não probabilístico ou Intencional:
São amostragens em que há uma escolha deliberada
dos elementos da amostra. Não é possível generalizar
os resultados das pesquisas para a população, pois as
amostras não-probabilísticas não garantem a
representatividade da população.
AMOSTRAGEM 69
Composição da Amostra:
Os Métodos Probabilísticos são subdivididos em quatro
processos:
1º - Amostragem aleatória simples;
2º - Amostragem sistemática;
3º - Amostragem estratificada;
4º - Amostragem por conglomerados ( agrupamentos ).
Os Métodos Não probabilísticos ou Intencionais, por sua
vez, são subdivididos em três processos:
1º - Amostragem acidental;
2º - Amostragem intencional;
3º - Amostragem por quotas.
A seguir, são caracterizados cada um dos processos acima
descritos.
AMOSTRAGEM 70
Composição da Amostra:
1º Método Probabilístico:
Amostragem aleatória simples
- Processo mais elementar e freqüentemente utilizado;
- Atribui-se a cada elemento da população um número
distinto, caso os elementos já não os possua. São
efetuados sucessivos sorteios até completar o tamanho
da amostra, previamente determinado;
- Para a realização dos sorteios, utilizam-se tábuas de
números aleatórios, que consistem em tabelas que
apresentam seqüências dos dígitos de 0 a 9 distribuídos
aleatoriamente;
- Por exemplo, seja uma população finita de 1000
elementos, pode-se numerá-los de 000 a 999. Escolhe-
se uma posição de qualquer linha da tabela de números
aleatórios, faz-se o sorteio, ou seja, retiram-se
conjuntos de três algarismos para se escolherem os
elementos que irão compor a amostra.
AMOSTRAGEM 71
Composição da Amostra:
2º Método Probabilístico:
Amostragem sistemática
- Variação da amostragem aleatória simples;
- Conveniente quando a população está ordenada
segundo algum critério, como fichas de um fichário,
listas telefônicas, etc...
- Calcula-se o intervalo da amostra N/n aproximando-o
para um número inteiro mais próximo ( a ). Sorteia-se
um número x entre 1 e ( a ), formando-se, assim, a
amostra dos elementos correspondentes aos números
seqüenciais: x ; x + a ; x + 2a ; x + 3a ; ...
- Por exemplo, seja a populaçãocomposta de 1000
elementos e a amostra de 200 elementos. Logo:
 a = 1000 / 200 = 5
 Se o número sorteado, de 1 a 5, for 3, os elementos
da população numerados por 3, 8, 13, ... , 998 irão
compor a amostra.
AMOSTRAGEM 72
Composição da Amostra:
3º Método Probabilístico:
Amostragem estratificada
- Adotado em casos de população heterogênea, em que
se podem distinguir subpopulações aproximadamente
homogêneas, denominados estratos;
- Após a determinação dos estratos, seleciona-se uma
amostra aleatória de cada subpopulação;
- As variáveis de estratificação mais comuns são: classe
social, idade, sexo, profissão, formação... Ou qualquer
outro atributo que revele os estratos dentro da
população.
All Students
Commuters Residents
Sample
AMOSTRAGEM 73
Composição da Amostra:
4º Método Probabilístico:
Amostragem por conglomerados ( agrupamentos )
- Método adotado quando há extrema dificuldade em se
identificar todos os elementos da população;
- Consiste em identificar alguns subgrupos da
população, realizar amostras aleatórias simples desses
subgrupos ( conglomerados ou agrupamentos ) e , uma
contagem completa para o conglomerado sorteado;
- Exemplos típicos são quarteirões, famílias,
organizações, agências, edifícios, etc...
Companies (Clusters)
Sample
AMOSTRAGEM 74
Composição da Amostra:
Métodos Não Probabilístico:
1º - Amostragem acidental: Trata-se de amostra formada
por aqueles elementos que vão aparecendo até se compor
o tamanho da amostra. Muito utilizada em pesquisas de
opinião, em que os entrevistados são acidentalmente
escolhidos.
2º - Amostragem intencional: De acordo com
determinado critério, é escolhido intencionalmente um
grupo de elementos que irão compor a amostra. Por
exemplo, numa pesquisa sobre preferência por
determinado cosmético, o pesquisador se dirige a um
grande salão de beleza e entrevista as pessoas que ali
estão.
AMOSTRAGEM 75
Composição da Amostra:
Métodos Não Probabilístico:
3º - Amostragem por quotas: Trata-se de um método
bastante utilizado em levantamentos de mercado e em
prévias eleitorais.
Ele abrange três fases:
• Classificação da população em termos de propriedades
que se sabe, ou presume, serem relevantes para a
característica a ser estudada;
• Determinação da proporção da população para cada
característica, com base na constituição da população;
• Fixação de quotas para cada entrevistador a quem tocará
a responsabilidade de selecionar interlocutores, de modo
que a classe total observada ou entrevistada contenha a
proporção de cada classe tal como determinado durante a
etapa anterior ( classificação da população ).
Trata-se de uma técnica para se fazer inferência
estatística. A partir de um intervalo de confiança,
construído com os elementos amostrais, pode-se
inferir sobre um parâmetro populacional.
O intervalo de confiança baseia-se na estimação. A partir
da definição do estimador, define-se o intervalo que irá
representar o fenômeno, atrelando-o a uma certa margem
de confiança.
A estimação pode ser pontual, quando o estimador é dado
por um único valor ou, pode ser intervalar, quando o
estimador é indicado por meio de um intervalo.
INTERVALO DE CONFIANÇA 76
Estimação
Estimativa
Pontual
Estimativa
Intervalar
Intervalo de Confiança Estimativa Intervalar
O Intervalo de confiança ou Estimativa intervalar
diferencia-se da Estimativa pontual na forma como se
apresenta o Estimador.
Na Estimativa pontual é calculado um único valor para o
parâmetro populacional. Já no Intervalo de confiança
busca-se um “ segmento “ ou intervalo ( x1 � ê � x2 ) que
contenha o parâmetro desconhecido.
Exemplo:Exemplo:
Retira-se uma amostra de 500 brasileiros e calcula-se a
média de suas alturas encontrando-se 1,66 m. Logo, uma
estimativa pontual da verdadeira altura média ( � ) é dada
pela média das amostras 1,66 m , desde que a amostra não
seja tendenciosa.
Já através do Intervalo de Confiança, poder-se-ia
encontrar um intervalo, por exemplo ( 1,58 � � � 1,68 )
que, em 95% das vezes, incluiria � ( a verdadeira altura
média dos brasileiros ).
INTERVALO DE CONFIANÇA 77
Principais aplicações de Estimativa Intervalar:
• Média:
� Distribuição Normal ou Gauss ( n > 30 );
� Distribuição Student ( n � 30 ).
• Proporção.
INTERVALO DE CONFIANÇA 78
Distribuição
Normal
n > 30
Distribuição
Student
n � �30
Média
Distribuição
Normal
n > 30
Proporção
População
Large
Sample
Small
Sample
Intervalo de Confiança para a Média:
1º Caso: Distribuição Normal ( large sample � n > 30 )
INTERVALO DE CONFIANÇA 79
90% Samples
95% Samples
99% Samples
�+1.65��x �+2.58��x
�x
_
�X
�+1.96��x
�-2.58��x �-1.65��x
�-1.96��x
�
�X�= � ± Z��x
x
x
xx
ZX
ZErro
ErroXZ
XErro
ErroX
��
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
)5(
(4)
(3)
- (2)
)1(
INTERVALO DE CONFIANÇA 80
A expressão para o Intervalo de Confiança para as Médias
é dada por:
Obs.: Equação para populações infinitas. Se a população
for finita, multiplicar o erro por:
1�
�
N
nN
n
ZX
n
ZX ��� ������
1. Dispersão dos dados:
Mensurados por �
2. Tamanho da amostra:
�X = � / �n
3. Intervalo de confiança:
���X - Z�X até�X + Z�X
INTERVALO DE CONFIANÇA 81
Exemplo 1:
Uma certa amostra de pão de tamanho n = 36 apresentou
peso médio de 50g . Para uma margem de segurança de
95% , estime a média do peso da população � se � = 12.
Exemplo 2:
O � para garrafas de 2 litros de vinho é 0,05 litro. Uma
amostra de 100 garrafas apresentou volume médio de
1.99 litros. Considerando 90% de confiança, estime o
verdadeiro volume médio das garrafas.
2 liter2 liter
92.5308.46
92.350
36
1296.150
��
��
������
�
�
�
�
n
ZX
9982.19818.1
0082.099.1
100
05.0645.199.1
��
��
������
�
�
�
�
n
ZX
INTERVALO DE CONFIANÇA 82
Intervalo de Confiança para a Média:
2º Caso: Distribuição Student ( small sample � n � 30 ).
( Gosset - início do séc. XX )
Considerações:
• População normalmente distribuída;
• Desvio padrão da população é desconhecido.
Estimativa do Intervalo de confiança:
Z
t0
t (df = 5)
Standard
Normal
t (df = 13)
n
StX
n
StX ������ �
INTERVALO DE CONFIANÇA 83
Como consultar a tabela t Student:
Exemplo 1:
Uma amostra aleatória de tamanho n = 25 tem média 50 e
desvio padrão 8. Para um intervalo de confiança de 95% ,
estime o valor da verdadeira média da população �.
v t.10 t.05 t.025
1 3.078 6.314 12.706
2 1.886 2.920 4.303
3 1.638 2.353 3.182
v t.10 t.05 t.025
1 3.078 6.314 12.706
2 1.886 2.920 4.303
3 1.638 2.353 3.182
t0 t0
Assume:
n = 3
df = n - 1 = 2
� = 0.10
�/2 = 0.05
2.920t values
� / 2
0.05
3022.536978.46
3022.350
25
80639.250
��
��
������
�
�
�
n
StX
INTERVALO DE CONFIANÇA 84
Exemplo 2:
Em testes dos 50 metros livres, um corredor obteve as
seguintes marcas ( segundos ):
3.6 , 4.2 , 4.0 , 3.5 , 3.8 , 3.1.
Qual a estimativa da média do corredor, considerando um
intervalo de confiança de 90% ?
• Média = 3.7 s
• n = 6
• GL = 6 - 1 = 5• t = 2.0150
• S = 0.3899
0207.43793.3
3207.07.3
6
3899.00150.27.3
��
��
������
�
�
�
n
StX
INTERVALO DE CONFIANÇA 85
Intervalo de Confiança para a Proporção:
Considerações:
1. Envolve variáveis qualitativas;
2. Fração ou % da população por categoria;
3. Proporção amostral ( p ):
4. Estimativa Intervalar ( Intervalo de confiança ):
^^
amostra da tamanho
sucessos de númeroˆ ��
n
xp
.0 .2 .4 .6 .8 1.0
P^
pP �ˆ�
n
qpzpp
n
qpzp
ˆˆˆˆˆˆ ��������
INTERVALO DE CONFIANÇA 86
Exemplo 1:
Em uma consulta à 400 eleitores, 32 manifestaram
intenção de votar num candidato X. Estime a proporção
de votos deste candidato, considerando um intervalo de
confiança de 95% e uma distribuição normal.
Exemplo 2:
Um diretor de produção de jornais deseja saber a
proporção de jornais que apresentam defeitos.
Após verificar aleatoriamente 200 jornais, ele
verificou que 35 tinham defeitos. Estime a
proporção da população que apresenta
defeitos, considerando um intervalo de
confiança de 90% .
1066.00534.0
0266.008.0
400
92.008.096.108.0
ˆˆˆ
��
��
�
���
�
���
p
p
n
qpZpp
2192.01308.0
0442.0175.0
200
825.0175.0645.1175.0
ˆˆˆ
��
��
�
���
�
���
p
p
n
qpZpp
A hipótese estatística compreende uma suposição quanto
ao valor de uma parâmetro populacional.
São exemplos de hipóteses estatísticas:
• A altura média de uma população é 1,65 m.
 H: � = 1,65 m
• O desvio padrão dos salários de uma empresa é 200,00.
 H: � = 200,00
• A proporção de votos de um certo candidato é 45%.
 H: p = 45%
Tipos de Hipóteses:
Designa-se por H0 , chamada hipótese nula, a hipótese
estatística a ser testada, e por H1 a hipótese alternativa. A
hipótese nula expressa uma igualdade, enquanto a
hipótese alternativa é dada por uma desigualdade.
Ex.: H0: � = 1,65 m
H1: � > 1,65 m
TESTE DE HIPÓTESES 88
Trata-se de uma técnica para se fazer inferência
estatística. A partir de um teste de hipóteses,
realizado com os dados amostrais, pode-se
inferir sobre a população.
No caso das inferências através do Intervalo de
Confiança, busca-se “cercar” o parâmetro populacional
desconhecido. Aqui, formula-se uma hipótese quanto ao
valor do parâmetro populacional, e pelos elementos
amostrais faz-se um teste que indicará a aceitação ou
rejeição da hipótese formulada.
TESTE DE HIPÓTESES 87
População
Amostra
�
�
�
��
�
�
��
�� ��
��
Teste de hipótese é uma regra de
decisão para aceitar ou rejeitar
uma hipótese estatística com base
nos elementos amostrais.
Idéia Subjetiva do Teste de Hipóteses:
Considere o julgamento de um réu. A priore, o réu é
inocente até que se prove o contrário. Logo, a hipótese
inicial ( inocência do réu ) pode anular a acusação, sendo
então, do ponto de vista estatístico, chamada hipótese
nula. A hipótese contrária, que visa provar a culpa do réu,
é chamada de hipótese alternativa.
• Hipótese Nula: H0: o réu é inocente
• Hipótese Alternativa: H1: o réu é culpado
Tipos de Erros:
• Erro tipo I: Rejeição da hipótese nula H0 quando
 a mesma é verdadeira.
• Erro tipo II: Aceitação da hipótese nula H0 quando
 a mesma é falsa.
Obs.: O nível de significância de um teste ( � ) é a
probabilidade de se cometer o erro tipo I.
TESTE DE HIPÓTESES 89
Tipos de Teste de Hipóteses:
Teste Unilateral Inferior
Teste Unilateral Superior
Teste Bilateral
TESTE DE HIPÓTESES 90
Ho
1/2 �
�
Rejeição Rejeição
Aceitação
1/2 
Ho
Rejeição
Aceitação
�
Ho
�
Rejeição
Aceitação
Principais aplicações do Teste de Hipóteses:
Equações estatísticas
Normal: Student: Proporção:
TESTE DE HIPÓTESES 91
Distribuição
Normal
n > 30
Distribuição
Student
n � �30
Média
Distribuição
Normal
n > 30
Proporção
População
n
XZ
�
��
�
n
S
Xt ���
n
qp
ppZ
�
�
�
ˆ
Etapas para realização dos Testes de Hipóteses:
1ª - Identificar Ho;
2ª - Identificar H1 ( atenção, pois H1 define o tipo de teste
a ser empregado );
3ª - Construir a região crítica para o teste escolhido;
4ª - Calcular o estimador e verificar se ele se situa na
região de aceitação ou na região de rejeição da hipótese
nula H0;
5ª - Decisão do teste:
• Se o estimador estiver na região de aceitação, aceite H0;
• Se o estimador estiver na região de rejeição, rejeite H0.
TESTE DE HIPÓTESES 92
Ho
 
Região de
rejeição
Região de
aceitação
Região de
rejeição
PontoPonto
CríticoCrítico
PontoPonto
CríticoCrítico
Exemplo 1:
TESTE DE HIPÓTESES 93
Deseja-se averiguar se uma caixa de cereais
contém 368 g do produto. Uma amostra
aleatória de 36 caixas apresentou média de
372.5 g. Sabe-se que o desvio padrão vale
15 g. Teste o peso líquido da caixa de
cereais ao nível de significância de 5%.
H0: � = 368
H1: � � 368
� � 0.05
n � 36
Teste estatístico:
Z0 1.96-1.96
.025
Reject H0 Reject H0
.025
Decisão: Aceita-se a hipótese nula H0.
Conclusão: O peso líquido da caixa pode ser
considerado igual a 368 g para � = 5%.
80.1
36
15
3685.372
��
�
�
�
�
n
XZ
�
�
368 g368 g
Exemplo 2:
TESTE DE HIPÓTESES 94
Deseja-se averiguar se o pão caseiro de uma
padaria pesa mais de 250 g. Uma
amostra aleatória de 36 pães apresentou
média de 254 g. Para um desvio padrão
de 15 g, teste a possibilidade ao nível de
significância de 5%.
H0: � = 250
H1: � > 262
� � 0.05
n � 36
Teste estatístico:
Decisão: Rejeita-se a hipótese nula H0.
Conclusão: O peso do pão pode ser considerado
superior que 250 g para � = 5%.
00.2
36
15
250255
��
�
�
�
�
n
XZ
�
�
Z0 1.645
.05
Reject
Exemplo 3:
TESTE DE HIPÓTESES 95
Um analista da Ford afirma que o consumo
de combustível do modelo Escort é
inferior a 10 Km/l. Modelos similares
apresentam desvio padrão de consumo de
1.2 Km/l. Foi levantada uma amostra de 60
Escort’s e verificou-se uma média de 9.6
Km/l. Para um nível de significância de
1%, teste a afirmação do analista.
Z0-2.33
.01
Reject
H0: � = 10
H1: � < 10
� � 0.01
n � 60
Teste estatístico:
Decisão: Rejeita-se a hipótese nula H0.
Conclusão: O consumo do modelo Escort pode
ser considerado menor que 10 Km/l para � = 1%.
58.2
60
2.1
106.9
��
�
�
�
�
n
XZ
�
�
Exemplo 4:
TESTE DE HIPÓTESES 96
500 ml500 ml
Uma fábrica de detergentes comercializa
seu produto em frascos com volume de 500
ml. Uma amostra aleatória de 16 frascos
apresentou um volume médio de 497.2 ml,
com desvio padrão de 5 ml. Teste a
produção desta fábrica ao nível de
significância de 1%.
Teste estatístico:
Decisão: Aceita-se a hipótese nula H0.
Conclusão: O volume do frasco de detergente
pode ser considerado igual a 500 ml para � = 1%.
24.2
16
5
5002.497
��
�
�
�
�
n
S
Xt �
H0: � = 500
H1: � � 500
� � 0.01
df � 16 - 1 = 15
t0 2.947-2.947
.005
Reject H0 Reject H0
.005
Exemplo 5:
TESTE DE HIPÓTESES 97
A capacidade de um certo tipo de baterias é inferior a
140 ampere-hora?
Uma amostra aleatória de 20 baterias
apresentou médiade 138.47 com desvio
padrão de 2.66. Assumindo distribuição
normal, realize o teste ao nível de
significância de 5%.
Decisão: Rejeita-se a hipótese nula H0.
Conclusão: A capacidade das baterias pode ser
considerada inferior a 140 para � = 5%.
H0: � = 140
H1: � < 140
� = 0.05
df = 20 - 1 = 19
57.2
20
66.2
14047.138
��
�
�
�
�
n
S
Xt �
Teste estatístico:
t0-1.729
.05
Reject
Exemplo 6:
TESTE DE HIPÓTESES 98
Pesquisa-se o preço médio de bichos de
pelúcia. Foram coletadas 10 amostras
similares e tomou-se os preços ( US$ ): 8 3
2 4 7 8 10 5 8 2. Para um nível de
significância de 5%, existem evidências de
que o preço médio dos bichos de pelúcia
seja superior a US$ 5.00 ?
Decisão: Aceita-se a hipótese nula H0.
Conclusão: O preço médio dos bichos de pelúcia
pode ser considerado US$ 5.00 para � = 5%.
77.0
10
87.2
0.57.5
��
�
�
�
�
n
S
Xt �
Teste estatístico:H0: � = 5
H1: � > 5
� = 0.05
df = 10 - 1 = 9
t0 1.833
.05
Reject
Exemplo 7:
TESTE DE HIPÓTESES 99
Uma máquina produz caixas para cereais com
índice de 10% de defeitos. Usando uma
máquina mais moderna, foram coletadas
200 caixas, sendo 11 com defeitos. Teste,
com 5% de significância, se a nova
máquina apresenta menos defeitos.
Decisão: Rejeita-se a hipótese nula H0.
Conclusão: Existem evidências de que a máquina
mais moderna apresente percentual de defeitos
inferior a 10% para � = 5%.
Teste estatístico:H0: p = 0.10
H1: p < 0.10
� = 0.05
n = 200
12.2
200
90.010.0
10.0
200
11
ˆ
��
�
�
�
�
�
�
n
qp
ppZ
Z0-1.645
.05
Reject
Exemplo 8:
TESTE DE HIPÓTESES 100
Uma auditoria detectou 4% de transações
erradas em uma empresa. Após
mudanças nos procedimentos, foram
analisadas 500 transações, das quais 25
ainda apresentaram erros. Teste se
houve alteração na proporção de erros,
considerando 5% de significância?
Decisão: Aceita-se a hipótese nula H0.
Conclusão: Pode se considerar que o percentual
de erros mantém-se em 4% para � = 5%.
Teste estatístico:H0: p = 0.04
H1: p � 0.04
� = 0.05
n = 500
14.1
500
96.004.0
04.0
500
25
ˆ
�
�
�
�
�
�
�
n
qp
ppZ
Z0 1.96-1.96
.025
Reject H0 Reject H0
.025
1 - Revisão de Geometria Analítica:
O estudo da reta no R2:
O conjunto R2 compreende todos os pares ordenados de
números reais.
Exemplo: ( 3 , 4 ) ; ( 4 , -5 ) ; ( -2 , 3 ) ; ( -4 , -2 ) ; ( 2 , 0 )
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 101
�
�
�
�
�
)4,3(
)5,4( �
)3,2(�
)2,4( ��
x
y
)0,2(
R}y e Rx|y){(x,R2 ���
Equação geral da reta:
Dada uma reta r no plano cartesiano e supondo que r
passe pelos pontos A(x1,y1) e B(x2,y2) sendo A � B ,
considera-se um ponto P(x,y) :
Tem-se:
O ponto P pertence à reta r se, e somente se, A, B e P
forem colineares, isto é:
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 102
�
�
�
),( 11 yxA
),( 22 yxB
),( yxP
r
x
y
)yy;x(xABAB
)yy;x(xAPAP
1212
11
�����
�����
 x-x1 y-y1
x2-x1 y2-y1
���� 0∆rP 0�
 Desenvolvendo o determinante, encontra-se:
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 103
0cbyax :será reta da geral equação a Logo,
cyx-y xbx- xay-y
:doConsideran
0)yxy(x)yx(x)xy(y
21122112
21122112
���
���
������
06-y2x será reta da equação a Logo,
06y-2x-041y-22x-
04)-1(y-1)-2(x-0
2- 1 
4-y 1- x
0
 4-2 1-2 
4-y 1- x
0
 y-y x- x
y-y x- x
:B(2,2) e A(1,4)por passa que reta da equação aObter 
:Exemplo
1212
11
��
������
���
���
Condição para um ponto pertencer a uma reta:
Dada uma reta de equação ax + by + c = 0 e um ponto
P(x0,y0) , a condição para P pertencer a r é:
ou seja, o par ( x0,y0) deve satisfazer à equação de r.
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 104
a(x0) + b(y0) + c = 0
rQ0-26-(8)2(-2)6-)(y)2(x 
rP06-(-4)2(5)6-)(y)2(x 
:se- tem, Q(-2,8) e P(5,-4) pontos os e 
06-y2x equação der reta a Dada 
:Exemplo
QQ
PP
�������
������
��
geral. equação à satisfaz (0,0) ponto o 
:origem pela passa reta a ), 0b e 0a ( 0c Caso )3º 
y eixor // xx0b 
:y eixo ao paralela é reta a ), 0a e ( 0b Caso )2º 
 xeixor // yy0a 
: xeixo ao paralela é reta a ), 0b e ( 0a Caso )1º 
:Casos
12
12
���
����
��
����
��
Equação reduzida e inclinação:
Considera-se uma reta r: ax + by + c = 0 , onde b � 0.
Nota-se que:
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 105
qmxy
:se-Tem
q
b
cem
b
a
:se-Fazendo
b
cx
b
aycaxby0cbyax
��
����
�����������
 Equação reduzida da reta r
3qe
2
3-m:Onde 
3
2
3x- y :logo 
2
6
2
3x- y 6 3x - 2y 0 6 -2y 3x 
:assim obtida é 
reduzida equação a , 0 6 -2y 3x :r reta a Dada 
:Exemplo
��
��
��������
��
Os Coeficientes na equação reduzida:
Na equação reduzida y = mx + q , os coeficientes m e q
são denominados, respectivamente, coeficiente angular e
coeficiente linear da reta r.
As suas interpretações geométricas são as seguintes:
Coeficiente angular: m = tg � , onde � é o ângulo de
inclinação da reta em relação ao eixo x.
Coeficiente linear: q é a ordenada do ponto onde r corta o
eixo y.
Exemplo:
A equação reduzida da reta r: y = x + 3 possui a seguinte
representação gráfica:
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 106
0
3�q
3-
r
)
) 45ºα �
45ºα � x
y
2 - Análise da Correlação e Regressão Simples:
São exemplos da utilização desta análise:
• Relação entre propaganda e vendas;
• Relação entre taxa de juros e balança comercial;
• Relação entre aluguel e idade de imóvel , etc.
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 107
Compreende a análise de dados amostrais para
identificar se e como duas variáveis estão
relacionadas entre si numa determinada população.
Sendo a relação entre variáveis de
natureza quantitativa, a correlação é o
instrumento adequado para descobrir e
medir essa relação.
Uma vez caracterizada a relação, procura-
se descrevê-la através de uma função
matemática. A regressão é o instrumento
adequado para a determinação dos
parâmetros dessa função.
Objetivos da análise de Correlação e Regressão:
• Avaliar se há ou não um relacionamento entre duas
variáveis extraídas de uma população;
• Caracterizar, quando houver, o grau de relacionamento
(fraco ou forte) entre duas variáveis consideradas;
• Predizer o valor de uma variável, variável dependente,
dado que seja conhecido o valor de uma variável
associada, variável independente.
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 108
Os dois primeiros objetivos consistem no que se
denomina Análise de Correlação, onde se procura
identificar quais variáveis são potencialmente
importantes na análise de um dado processo e o
interesse está no grau do relacionamento.
O terceiro objetivo compreende a Análise de
Regressão, por apresentar como resultado a
predição de valores de uma variável em função de
valores de uma outra variável e, desta forma,
requer o estabelecimento de uma equação
matemática que expresse este relacionamento.
3 - Teoria da Correlação:
3.1 - Relação determinística e relação estatística:
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 109
Relações determinísticas ou funcionais
são aquelas em que suas variáveis
satisfazem exatamente a uma
determinada equação, formando uma
correlação perfeita.
Ex.: Leis da mecânica,fórmulas de área
e volume, etc..
r π2C �
Relações estatísticas ou probabilísticas
são aquelas em que suas variáveis
tendem, em menor ou maior grau, a se
correlacionarem.
Ex.: Peso e estatura, resistência e força,
etc..
Quando duas variáveis estão ligadas por uma relação
estatística, dizemos que existe correlação entre elas.
Quando duas variáveis estão ligadas por uma relaçãoQuando duas variáveis estão ligadas por uma relação
estatística, dizemos que existe correlação entre elas.estatística, dizemos que existe correlação entre elas.
3.2 - Diagrama de dispersão:
O diagrama de dispersão compreende a representação
gráfica em um sistema coordenado cartesiano ortogonal
dos pares ordenados ( x , y ) referentes as grandezas
variáveis em análise, formando uma “ nuvem de pontos “.
Exemplo:
Considere a amostra aleatória de notas de dez alunos de
uma faculdade nas disciplinas de matemática e estatística:
Esse diagrama nos fornece uma idéia grosseira, porém útil
da correlação existente entre as variáveis.
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 110
Nº do notas
aluno Matemática Estatística
Xi Yi
1 5,0 6,0
8 8,0 9,0
24 7,0 8,0
38 10,0 10,0
44 6,0 5,0
58 7,0 7,0
59 9,0 8,0
72 3,0 4,0
80 8,0 6,0
92 2,0 2,0
NOTAS
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0
3.3 - Correlação linear:
A Correlação linear é caracterizada quando os pontos
obtidos em um diagrama de dispersão, vistos em
conjunto, formam uma elipse em diagonal.
Quanto mais fina for a elipse, mais ela se aproximará de
uma reta, sendo esta, a sua “ imagem “.
É possível verificar que a cada correlação está associada
como imagem uma relação funcional. Por esse motivo, as
relações funcionais são chamadas relações perfeitas.
No exemplo anterior, a reta imagem e respectiva equação
que a representa é a seguinte:
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 111
Nº do notas
aluno Matemática Estatística
Xi Yi
1 5,0 6,0
8 8,0 9,0
24 7,0 8,0
38 10,0 10,0
44 6,0 5,0
58 7,0 7,0
59 9,0 8,0
72 3,0 4,0
80 8,0 6,0
92 2,0 2,0
NOTAS
y = 0,8632x + 0,8889
R2 = 0,8304
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0
Assim, uma correlação é:
• Linear positiva se os pontos do diagrama têm como
imagem uma reta ascendente;
• Linear negativa se os pontos têm como imagem uma
reta descendente;
• Não-linear se os pontos têm como imagem uma curva.
Obs.: Se os pontos apresentam-se dispersos, não
oferecendo uma imagem definida, concluímos que não há
relação alguma entre as variáveis em estudo.
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 112
CORRELAÇÃO LINEAR POSITIVA CORRELAÇÃO LINEAR NEGATIVA
CORRELAÇÃO NÃO LINEAR NÃO HÁ CORRELAÇÃO
3.4 - Coeficiente de correlação linear ( r ):
O instrumento empregado para a medida da correlação
linear é o Coeficiente de correlação.
Esse coeficiente indica o grau de intensidade da
correlação entre duas variáveis e, ainda, o sentido dessa
correlação ( positivo ou negativo ).
O coeficiente de correlação de Pearson ( r ) é dado por:
onde:
 n é o número de observações.
 x é a variável independente.
 y é a variável dependente.
Os valores limites de r são -1 e +1 , isto é, o valor de r
pertence ao intervalo [ -1 , +1 ].
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 113
� �� �
� � � �2222 yynxxn
yxxyn
r
��� �
� ��
��
�
�
Assim, para duas variáveis, conclui-se que:
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 114
• Se a correlação é perfeita e positiva, então r = +1;
• Se a correlação é perfeita e negativa, então r = -1;
• Se não há correlação entre as variáveis, então r = 0.
• Se a correlação é perfeita e positiva, então r = +1;
• Se a correlação é perfeita e negativa, então r = -1;
• Se não há correlação entre as variáveis, então r = 0.
-1.0 +1.00
Correlação
Positiva
Perfeita
Aumenta o grau de
Correlação negativa
-.5 +.5
Correlação
Negativa
Perfeita
Sem
Correlação
Aumenta o grau de
Correlação positiva
r = 1 r = -1
r = .89 r = 0Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
1 - Para que uma relação possa ser descrita por meio do
coeficiente de Pearson, é imprescindível que ela se
aproxime de uma função linear. Na prática, verifica-se a
linearidade da relação por meio da inspeção do diagrama
de dispersão: se a elipse apresentar reentrâncias muito
acentuadas, pode se tratar de correlação curvilínea.
2 - Para se firmar conclusões significativas sobre o
comportamento simultâneo das variáveis analisadas, é
necessário que 0,6 � | r | � 1,0.
3 - A correlação é relativamente fraca se 0,3 � | r | < 0,6.
4 - A correlação é muito fraca e, praticamente, não
permite nenhuma conclusão se 0 < | r | < 0,3.
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 115
Considerações importantes:
Exemplo 1:
Considerando a nota de dez alunos nas disciplinas de
matemática e estatística, calcular o coeficiente de
correlação:
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 116
notas
Matemática Estatística xy x2 y2
x y
5,0 6,0 30 25 36
8,0 9,0 72 64 81
7,0 8,0 56 49 64
10,0 10,0 100 100 100
6,0 5,0 30 36 25
7,0 7,0 49 49 49
9,0 8,0 72 81 64
3,0 4,0 12 9 16
8,0 6,0 48 64 36
2,0 2,0 4 4 4
65,0 65,0 473 481 475
NOTAS
y = 0,8632x + 0,8889
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0
� �� �
� � � �
0,911r
554,19
505
525585
505r
4225-47504225-4810
4225-4730r
65-4751065-48110
6565-47310r
yynxxn
yxxyn
r
22
2222
�
��
�
��
��
�
��
�
�
��� �
� ��
Logo, a correlação
é linear positiva e
muito significativa
3.5 - Coeficiente de determinação ( ) :
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 117
2r
Y
X
�Y
Xi
(Yi -�Y)
desvio total
 (Yi -�Yi) - desvio não
 explicado
^
(Yi -�Y)
desvio explicado
^
Yi
 Yˆ - Y explicado não desvio O -
Y - Yˆ explicado desvio O -
Y-Y totaldesvio O -
:se- tem, Y seja Y de amostrais valoresdos média
a que , e ) regressão de equação pela obtido ( Y de
predito valor o como Yˆ doConsideran variável.outra
qualquer de valor do toconhecimen o sem estimada
é Y variáveluma onde acima, esquema o Supondo
ii
i
i
i
�
�
�
De posse dos desvios , obtêm-se as variações:
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 118
� �
� �
� �
y. depreditor 
bom um será ela que indicando , reta da tornoem dados
dos dispersão pequena uma indica um de próximo r
y. depreditor bom um será não ela
e,conseguintpor e, regressão de reta da tornoem dados
dos dispersão grande uma indica zero de próximo r 
:Conclusões
1 r 0 :que se-observa modo, Deste
 regressão. de reta da tornoem dados dos
dispersão a indica , e correlação de ecoeficient do drado
-qua o é ãodeterminaç de ecoeficient o , enteAnaliticam
 totalVariação
explicada Variação r 
:compreende ãoDeterminaç de eCoeficient o Logo,
Yˆ - Y explicada não A variação -
Y - Yˆ explicada A variação -
Y-Y totalA variação -
2
2
2
2
2
ii
2
i
2
i
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 119
1 - O Coeficiente de determinação R2 é o valor da
variação de Y que é explicada pela reta de regressão.
2 - A parcela ( 1 - R2 ) é o valor da variação total não
explicada por Y.
3 - Representações gráficas de R2:
Considerações importantes:
r2 = 1 r2 = 1
r2 = .8 r2 = 0Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Exemplo 2:
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 120
Você é analista de mercado de uma fábrica de
brinquedos