Estatística & Bioestatística - Medidas de dispersão

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Estatística & Bioestatística (2017) – Lauro Boechat Batista ; Keila Moreira Batista - Cap. 4 - Medidas de Dispersão 
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4 MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
4.1 DEFINIÇÃO 
 
 Medidas de dispersão ou medidas de variação são medidas que servem para 
descrever a variação (dispersão) dos dados de uma distribuição. 
 
 Medidas de dispersão ou de variação 
são medidas que servem para 
descrever a variabilidade dos dados de 
uma distribuição. 
 
 As medidas de variação: (a) amplitude total, (b) desvio médio absoluto, (c) 
variância, (d) desvio padrão, (e) coeficiente de variação, (f) variância da média, (g) 
desvio padrão da média, etc. 
 
 As principais medidas de dispersão: 
amplitude total, variância, desvio 
padrão e coeficiente de variação. 
 
 Pelo exemplo que iremos apresentar, poderemos verificar a importância das 
medidas de dispersão ou de variação. 
 
 Suponhamos que uma determinada pessoa (Martha) retire 15 amostras de seu 
sangue, no mesmo dia, e manda fazer a análise de sangue em relação ao número de 
hemácias por mm3, em três laboratórios diferentes, usando cinco nomes falsos. 
 
 O objetivo é saber a confiabilidade dos resultados (confiabilidade dos 
laboratórios). 
 
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 Os resultados, em milhões de hemácias por mm3, referentes às médias, estão 
descritos na Tabela 4.1. 
 
Tabela 4.1. Médias das análises de amostras de sangue, com relação ao número de 
hemácias (milhões/mm3), de Martha, em três laboratórios diferentes, usando cinco 
nomes falsos. 
Nomes Laboratórios 
 A B C 
Kellen x x x 
Keila x x x 
Karla x x x 
Maria x x x 
Conceição x x x 
Médias 5,0 5,0 5,0 
 
 Não apresentamos, por enquanto, os 15 valores obtidos. No entanto, para cada 
laboratório, para determinarmos a média, somamos os 5 valores e dividimos por 5. 
Desse modo, encontramos, por coincidência, média 5,0 para todos os 3 laboratórios. 
 
 Analisando a Tabela 4.1, pode-se dizer que os três laboratórios são iguais, se 
levássemos em consideração somente as médias. 
 
 Portanto, verificamos pelas médias que não há evidência para dizermos qual dos 
três laboratórios é o melhor e o pior. 
 
 A média não é suficiente para mostrar a 
distribuição dos dados. 
 
 Agora, para fazermos um estudo mais detalhado dos dados, haja vista que 
somente pela média não temos evidências suficientes para afirmarmos qual o melhor e 
qual o pior laboratório, apresentamos os valores na Tabela 4.2 
 
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Tabela 4.2. Análises de amostras de sangue, com relação ao número de hemácias 
(milhões/mm3), de Martha, em três laboratórios diferentes, usando cinco nomes falsos. 
Nomes Laboratórios 
 A B C 
Kellen 5,2 5,1 7,4 
Keila 5,8 5,0 3,5 
Karla 4,6 5,0 4,1 
Maria 4,4 4,9 6,8 
Conceição 5,0 5,0 3,2 
Médias 5,0 5,0 5,0 
 
 
Analisando a Tabela 4.2, pode-se dizer que os três laboratórios são iguais, se 
levássemos em consideração somente as médias. Entretanto, se levarmos em 
consideração os valores das análises de sangue de cada laboratório, verificamos que o 
laboratório C é o menos confiável, pois apresentou maior variação (variabilidade ou 
dispersão) entre os dados do sangue de uma mesma pessoa (Martha). Tanto é que ora 
diz que a Martha tem 7,4 milhões de hemácias/mm3 e ora diz que ela tem 3,2 milhões 
de hemácias/mm3, para um mesmo sangue. 
O mais confiável é o laboratório B, pois apresentou menor variação, isto é, está 
variando de 4,9 a 5,1 milhões de hemácias/mm3. Esta variação dos dados pode ser 
representada por meio das medidas de dispersão. 
 
 Portanto, para descrevermos uma população ou uma amostra, é necessário que 
as mesmas sejam representadas, no mínimo, por duas medidas, sendo uma de 
tendência central e outra de dispersão. Geralmente, essas duas medidas são a média e 
o desvio padrão. 
 Geralmente, a média e o desvio padrão, 
são suficientes para mostrarem uma 
distribuição de dados. 
 
 Deste exemplo, podem ser tiraradas as seguintes conclusões: 
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a) a média (medida de tendência central) não é suficiente para mostrar a 
distribuição dos dados; 
 
b) quanto menor a variação, mais confiáveis são os dados; e 
 
c) necessitamos de uma outra medida para estudarmos a distribuição dos dados 
(medida de dispersão ou de variação). 
 
 
O leitor poderá notar, neste exemplo, que por meio das medidas de variação é 
possível saber qual laboratório é o mais confiável. Por exemplo, vamos supor que o 
laboratório C fosse um método tradicional de dosagem de hemácias e que os 
laboratórios A e B fossem dois novos métodos. Pode-se concluir que estes dois novos 
métodos aparentam ser melhores do que o tradicional e, para afirmarmos isto, 
estatisticamente, seria necessário a aplicação do teste “F” de Snedecor, o qual será 
abordado oportunamente. 
 
4.2 PRINCIPAIS MEDIDAS DE VARIAÇÃO OU DE DISPERSÃO 
 
4.2.1 Amplitude total 
 
 Por definição, amplitude total dos dados é a diferença entre os limites superior 
(maior valor) e inferior (menor valor) dos dados, isto é, AT = lim sup - lim inf. 
 
 Amplitude total dos dados é a diferença 
entre os limites superior e inferior dos 
dados, AT = lim suip – lim inf. 
 
 
 
 
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Exemplo 4.1. Determine na Tabela 5.1 a amplitude total dos dados. 
 
Solução: 
 
Laboratório A: AT = 5,8 - 4,4 = 1,4 milhão de hemácias/mm3. 
Laboratório B: AT = 5,1 - 4,9 = 0,2 milhão de hemácias/mm3. 
Laboratório C: AT = 7,4 - 3,2 = 4,2 milhões de hemácias/mm3. 
 
O leitor poderá verificar que quanto menor a variação, menor será a amplitude 
total e, conseqüentemente, maior será a confiabilidade. Portanto, o laboratório B é o 
mais confiável, pois tem a menor amplitude total. 
 
 Quanto menor a amplitude total, maior 
será a confiabilidade. 
 
Pode-se verificar que se não houvesse variação (todos os valores iguais), todas 
as medidas de dispersão seriam nulas. 
 
 Se todos os valores fossem iguais, isto 
é, se não houvesse variação entre os 
dados, todas as medidas de dispersão 
seriam nulas. 
 
4.2.2 Desvio médio absoluto 
 
 Por definição, o desvio médio absoluto é a média dos desvios absolutos dos 
valores em relação à média. 
 
DM =   Xi - X  / n 
 
 É uma medida de pouco uso em estatística. 
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Exemplo 4.2. Calcule o desvio médio absoluto dos dados referentes a cada laboratório, 
na Tabela 4.2. 
 
Solução: 
 
Laboratório A: 
DM =   Xi - X  / n = { 5,2 - 5,0  + ... + 5,0 - 5,0  } / 5 = 2,0 / 5 = 0,4 milhão de 
hemácias por mm3. 
 
Laboratório B: 
DM =   Xi - X  / n = { 5,1 - 5,0  + ... + 5,0 - 5,0  } / 5 = 0,2 / 5 = 0,04 milhão de 
hemácias por mm3. 
 
Laboratório C: 
DM =   Xi - X  / n = { 7,4 - 5,0  + ... + 3,2 - 5,0  } / 5 = 8,4 / 5 = 1,68 milhões de 
hemácias por mm3. 
 
4.2.3 Variância e desvio padrão 
 
A variância e o desvio padrão são as mais importantes medidas de dispersão. Há 
uma relação entre estas duas medidas. O desvio padrão é a raiz quadrada positiva da 
variância e, logicamente, a variância é o quadradodo desvio padrão. 
 
 O desvio padrão é a raiz quadrada 
positiva da variância e, logicamente, a 
variância é o quadrado do desvio 
padrão. 
 
 
 
 
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Por exemplo: 
 
 Se o desvio padrão vale 10, então a variância vale 100; se o desvio padrão 
vale 5 m, então a variância vale 25 m2; e se o desvio padrão vale 4 kg, então a 
variância vale 16 kg2 . 
 
 Se a variância vale 36, então o desvio padrão vale 6 e se a variância vale 64 
m2 então o desvio padrão vale 8 m. 
 
 A unidade do desvio padrão é igual a dos dados e da média, enquanto que a 
unidade da variância é sempre ao quadrado. Como se vê, a variância não é expressa 
nas mesmas unidades dos dados originais, dificultando a compreensão da mesma, 
tendo em vista que kg2 é pouco usado, por exemplo. 
 
 A unidade do desvio padrão é igual à 
unidade dos dados e da média. 
 
Temos a variância e o desvio padrão em populações e amostras. 
 
4.2.3.1 Variância da população 
 
4.2.3.1.1 Variância da população para dados não agrupados 
 
 No caso de população, para dados não agrupados, a variância é representada 
por 2 (sigma dois) e este parâmetro é definido por: 
 
2 = 1
N
  (Xi - )
2 fórmula teórica 
 
2 = 1
N
 {  Xi
2 - ( Xi )
2 / N } fórmula prática 
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Exemplo 4.3 É dada a população: X1 = 5 kg, X2 = 8 kg e X3 = 2 kg. Determine a 
variância usando as duas fórmulas. 
 
a) 2 = 1
N
  (Xi - )
2 fórmula teórica. 
 = 
x
N
i
i
N


1 = 
3
285 
 = 
3
15
 = 5 kg 
2 = 1
N
  (Xi - )
2 = 
3
1
  (Xi - 5)
2 = 
3
1
 { (5 - 5)2 + (8 - 5)2 + (2 - 5)2 } 
2 = 
3
1
 { (0)2 + (3)2 + (-3)2 } = 
3
18
 = 6 kg2 
 
b) 2 = 1
N
 {  Xi
2 - ( Xi )
2 / N } fórmula prática 
2 = 1
N
 {  Xi
2 - ( Xi )
2 / N } = 
3
1
 { 52 + 82 + 22 – (5 + 8 + 2)2 / 3 } 
2 = 
3
1
 { 52 + 82 + 22 – (5 + 8 + 2)2 / 3 } =
3
1
 { 93 – (15)2 / 3 } = 
3
1
 { 93 – 75 } = 
3
18
= 6 kg2 
 
4.2.3.1.2 Variância da população para dados agrupados 
 
 Quando os dados são apresentados por meio de freqüências, ou seja, os dados 
são agrupados, a variância é determinada pelas seguintes fórmulas: 
 
2 =  ( Xi - )
2 fi / 
 fi fórmula teórica 
 
2 = {  Xi
2 fi - (  Xi fi )
2 /  fi } / 
 fi fórmula prática 
 
Exemplo 4.4 É dada a população: X1 = 5 kg, f1 = 2; X2 = 8 kg, f2 = 4 e X3 = 2 kg, f3 = 4. 
Determine a variância usando as duas fórmulas. 
 
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 = 

Xi fi /  fi = { 5 x 2 + 8 x 4 + 2 x 4 } / (2 + 4 + 4) = 50 / 10 = 5 kg 
 
a) 2 =  ( Xi - )
2 fi / 
 fi fórmula teórica 
 
2 =  ( Xi - )
2 fi / 
 fi = { (5 – 5)
2 x 2 + (8 – 5)2 x 4 + (2 – 5)2 x 4 } / 10 = 7,2 kg2 
 
b) 2 = {  Xi
2 fi - (  Xi fi )
2 /  fi } / 
 fi fórmula prática 
 
2 = { 52 x 2 + 82 x 4 + 22 x 4 – (5 x 2 + 8 x 4 + 2 x 4)2 / 10 } / 10 
 
2 = { 52 x 2 + 82 x 4 + 22 x 4 – (5 x 2 + 8 x 4 + 2 x 4)2 / 10 } / 10 = { 322 – 250 } / 10 
 
2 = 72 / 10 = 7,2 kg2 
 
4.2.3.2 Desvio padrão da população 
 
4.2.3.2.1 Desvio padrão da população para dados não agrupados 
 
 No caso de população, para dados não agrupados, o desvio padrão é 
representado por  (sigma) e este parâmetro é definido por: 
 
 = { 2 }1/ 2 = { 1
N
  (Xi - )
2 }1/ 2 fórmula teórica 
 
 = { 2 }1/ 2 = [ 1
N
 {  Xi
2 - ( Xi)
2 / N } ] 1/ 2 fórmula prática 
 
 No caso do exemplo 4.3, o desvio padrão da população é dado por: 
 
 = { 2 }1/ 2 = { 6 kg2 }1/ 2 = 
26kg
 = 2,45 kg 
 
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4.2.3.2.2 Desvio padrão da população para dados agrupados 
 
 Quando os dados são apresentados por meio de freqüências, ou seja, os dados 
são agrupados, o desvio padrão é determinado pelas seguintes fórmulas: 
 
 = { 2 }1/ 2 = {  ( Xi -  )
2 fi / 
 fi }
1/ 2
 fórmula teórica 
 
 = { 2 }1/ 2 = [ {  Xi
2 fi - (  Xi fi )
2 /  fi } / 
 fi ]
1/ 2 fórmula prática 
 
 O exemplo 4.4 mostra que o desvio padrão é dado por: 
 = { 2 }1/ 2 = { 7,2 kg2 }1/ 2 = 
22,7 kg
 = 2,68 kg 
 
 Nos cálculos dos desvios padrões, tanto para dados agrupados quanto para 
dados não agrupados, devemos primeiramente determinar as variâncias dos dados 
para depois extrairmos a raiz quadrada dos resultados e, desta forma, teremos os 
valores dos desvios padrões. 
 
 A utilização da fórmula prática é sempre preferível, principalmente quando 
a média não é um valor exato. 
 
 Já vimos que no caso de população, temos 4 fórmulas para a determinação da 
variância, sendo que duas delas referem-se a valores não agrupados (sem freqüências 
ou pesos) e as outras duas a dados agrupados. Em ambos os casos, têm-se fórmulas 
teóricas e práticas. Agora estudaremos a variância no caso de amostras. 
 
4.2.3.3 Variância da amostra 
 
4.2.3.3.1 Variância da amostra para dados não agrupados 
 
 No caso de amostra, para dados não agrupados, a variância é representada 
por s2 (esse dois) e esta estimativa é definida por: 
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s2 = 1
1n 
  (Xi - X )
2 fórmula teórica 
 
s2 = 1
1n 
{  Xi
2 - ( Xi )
2 / n } fórmula prática 
 
Exemplo 4.5 É dada a amostra: X1 = 5 kg, X2 = 8 kg e X3 = 2 kg. Determine a variância 
usando as duas fórmulas. 
 
a) s2 = 1
1n 
  (Xi - X )
2 fórmula teórica 
X = 
n
x
n
i
i
1 = 
3
285 
 = 
3
15
 = 5 kg 
 
s2 = 1
1n 
  (Xi - X )
2 = 
13
1

  (Xi - 5)
2 = 
2
1
 { (5 - 5)2 + (8 - 5)2 + (2 - 5)2 } 
 
s2 = 
2
1
 { (0)2 + (3)2 + (-3)2 } = 
2
18
 = 9 kg2 
 
b) s2 = 1
1n 
{  Xi
2 - ( Xi )
2 / n } fórmula prática 
 
s2 = 1
1n 
{  Xi
2 - ( Xi )
2 / n } = 
2
1
 { 52 + 82 + 22 – (5 + 8 + 2)2 / 3 } 
 
s2 = 
2
1
 { 52 + 82 + 22 – (5 + 8 + 2)2 / 3 } =
2
1
 { 93 – (15)2 / 3 } = 
2
1
 { 93 – 75 } = 
2
18
= 9 kg2 
 
 
 
 
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4.2.3.3.2 Variância da amostra para dados agrupados 
 
 Quando os dados são apresentados por meio de freqüências, ou seja, os dados 
são agrupados, a variância é determinada pelas seguintes fórmulas: 
 
s2 =  ( Xi - X )
2 fi / (
 fi - 1) fórmula teórica 
 
s2 = {  Xi
2 fi - (  Xi fi )
2 /  fi } / (
 fi - 1) fórmula prática 
 
Exemplo 4.6 É dada a população: X1 = 5 kg, f1 = 2; X2 = 8 kg, f2 = 4 e X3 = 2 kg, f3 = 4. 
Determine a variância usando as duas fórmulas. 
 
X = 

Xi fi /  fi = { 5 x 2 + 8 x 4 + 2 x 4 } / (2 + 4 + 4) = 50 / 10 = 5 kg 
 
a) s2 =  ( Xi - X )
2 fi / (
 fi –1) fórmula teórica 
 
s2 =  ( Xi - X )
2 fi / ( fi –1) = { (5 – 5)
2 x 2 + (8 – 5)2 x 4 + (2 – 5)2 x 4 } / 9 = 8 kg2 
 
b) s2 = {  Xi
2 fi - (  Xi fi)
2 /  fi } / (
 fi –1) fórmula prática 
 
s2 = { 52 x 2 + 82 x 4 + 22 x 4 – (5 x 2 + 8 x 4 + 2 x 4)2 / 10 } / 9 
 
s2 = { 52 x 2 + 82 x 4 + 22 x 4 – (5 x 2 + 8 x 4 + 2 x 4)2 / 10 } / 9 = { 322 – 250 } / 9 
 
s2 = 72 / 9 = 8 kg2 
 
4.2.3.4 Desvio padrão da amostra 
 
 
4.2.3.4.1 Desvio padrão da amostra para dados não agrupados 
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 85 
 No caso de amostra, para dados não agrupados, o desvio padrão é 
representado por s (esse) e esta estimativa é definida por: 
 
s = { s2 }1/ 2 = { 1
1n 
  ( Xi - X )
2 } 1/ 2 fórmula teórica 
 
s = { s2 }1/ 2 = [ 1
1n 
{  Xi
2 - (  Xi )
2 / n } ] 1/ 2 fórmula prática 
 
 No caso do exemplo 4.5 o desvio padrão da população é dado por: 
 
s = { s2 }1/ 2 = { 9 kg2 }1/ 2 = 
29kg
 = 3 kg 
 
4.2.3.4.2 Desvio padrão da amostra para dados agrupados 
 
 Quando os dados são apresentados por meio de freqüências, ou seja, os dados 
são agrupados, o desvio padrão da amostra é determinado pelas seguintes fórmulas: 
 
s = { s2 }1/ 2 = {  ( Xi - X )
2 fi / (
 fi - 1) } 
1 /2
 fórmula teórica 
 
s = { s2 }1/ 2 = [ {  Xi
2 fi - (  Xi fi )
2 /  fi } / (
 fi - 1) ]
1 /2
 fórmula prática 
 
 O exemplo 4.6 mostra que o desvio padrão é dado por: 
 
s = { s2 }1/ 2 = { 8 kg2 }1/ 2 = 
28kg
 = 2,83 kg 
 
 Observação: Embora o leitor pense que a determinação da variância usando a 
fórmula teórica é mais fácil, isto não é verdade. O mais fácil é quando usamos a fórmula 
prática. No exemplo em questão, o uso da fórmula teórica se tornou mais fácil do que o 
da fórmula prática pois a média foi exata e sem casas decimais. 
 
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4.2.4 Coeficiente de variação 
 
 O Coeficiente de variação (C.V.), em percentagem, é definido pela seguinte 
fórmula: 
 
C.V. = 100 s / X 
 
 O coeficiente de variação dá uma idéia da precisão dos dados, isto é, quanto 
mais baixo, menor variação existe entre os dados, relativamente à média. 
 
 Um cuidado especial deve ser tomado em relação ao coeficiente de variação. É 
quando a média dos dados tende para zero, porque nesse caso o C.V. tenderá para 
infinito. Portanto, não faz sentido discutir o C.V. quando a média é próxima de zero. 
 
 Outro cuidado que deve ser tomado em relação ao coeficiente de variação é com 
relação à natureza dos dados, pois um coeficiente de variação de 20%, por exemplo, 
pode ser excelente para determinadas variáveis e razoável para outras. 
 
 No caso da cultura da soja, um coeficiente de variação de 45% é péssimo para a 
produção de sementes e excelente para o número de nódulos, cujo coeficiente de 
variação é geralmente superior a 75%. Portanto, esta medida de dispersão deve ser 
utilizada com bastante cautela, pois depende do material que está sendo analisado. 
 
 O coeficiente de variação serve também para comparar a variabilidade dos 
dados nos casos de dados de características diferentes. Por exemplo, quando se diz 
que a média do ganho de peso dos leitões aos 140 dias de idade é de 80 kg, com um 
desvio padrão de 8 kg, verifica-se que o coeficiente de variação é de 10%. 
 
 Por outro lado, ao se afirmar que a média de glicose no sangue é de 90 mg/dL, 
com um desvio padrão de 9 mg/dL, significa que o coeficiente de variação é também de 
10%. 
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 87 
 Portanto, o coeficiente de variação, que é uma medida relativa, expressa em 
percentagem, serve para comparar características diferentes, ou seja, peso de leitões 
(kg) com glicose nos sangue (mg/dL), cujas unidades são totalmente diferentes. Em 
ambos os casos o coeficiente de variação é de 10%, ou seja, têm a mesma 
variabilidade relativa. 
 
 A variabilidade absoluta é determinada pelos valores da variância ou do desvio 
padrão e nesse caso, a variabilidade absoluta de cada característica não poderia ser 
comparada, haja vista que são unidades diferentes. Assim, para se comparar a 
variabilidade entre os pesos dos leitões com as quantidades de glicose no sangue, 
somente podem ser usados os coeficientes de variação. 
 
 Quanto menor o coeficiente de 
variação, mais uniformes são os dados. 
Não necessariamente são melhores os 
dados. 
 
 Um vendedor A, durante 5 meses, vendeu a seguinte quantidade de carros: 
200, 190, 250, 190, 170 e o vendedor B, durante 5 meses, vendeu 52, 52, 48, 50, 48. 
 
 É fácil verificar que o coeficiente de variação com relação à venda dos carros é 
de 15% para o vendedor A e de 4% para o vendedor B. 
 
 Ora, embora as vendas do vendedor B sejam mais constantes (menor coeficiente 
de variação) do que as do vendedor A, o vendedor A vendeu mais carros do que o 
vendedor B. Assim, o vendedor B é mais uniforme nas vendas, mas o vendedor A 
é o melhor. 
 
 Portanto, um menor coeficiente de variação não implica dizer que os dados 
são os melhores, somente informa que são mais uniformes, como acabamos de 
verificar neste exemplo. 
Estatística & Bioestatística (2017) – Lauro Boechat Batista ; Keila Moreira Batista - Cap. 4 - Medidas de Dispersão 
 88 
Exemplo 4.7 Sejam três raças de leitões (Duroc, Landrace e New Hampshire), cujos 
resultados, aos 140 dias de idade, estão expressos na Tabela dada a seguir: 
 
Tabela 4.2. Médias, variâncias, desvios padrões e coeficientes de variação de três 
raças de leitões. 
Raças Médias Variâncias Desvios 
padrões 
C. Variação 
Duroc 100 kg 324 kg
2 18 kg 18% 
Landrace 90 kg 324 kg
2 18 kg 20% 
New 
Hampshire 
80 kg 256 kg2 16 kg 20% 
 
 
 Neste exemplo, pode-se verificar que as raças Duroc e Landrace têm a mesma 
variabilidade absoluta (variância igual a 324 kg2 e desvio padrão 18 kg), porém a raça 
Duroc tem menor variabilidade relativa (18%). 
 
 A raça Duroc (variância igual a 324 kg2 e desvio padrão 18 kg) tem maior 
variabilidade absoluta do que a raça New Hampshire (variância igual a 256 kg2 e desvio 
padrão 16 kg), porém a raça Duroc (18%) tem menor variabilidade relativa do que a 
raça New Hampshire (20%). 
 
 As raças Landrace e New Hampshire têm a mesma variabilidade relativa (20%), 
embora a raça Landrace tenha a maior variabilidade absoluta (variância igual a 324 kg2 
e desvio padrão 18 kg). 
 
 A variabilidade absoluta é medida pela 
variância ou pelo desvio padrão. A 
variabilidade relativa é medida pelo 
coeficiente de variação. 
 
 
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 89 
Exemplo 4.8 Calcule a dispersão relativa (coeficiente de variação) dos seguintes dados 
da amostra, referente às alturas: 
 
X1 = 1,70 m X2 = 1,72 m X3 = 1,71 m X4 = 1,70 m X5 = 1,67 m 
 
Solução: 
 
X =  Xi / n = (1,70 + 1,72 + ... + 1,67) / 5 = 1,70 m. 
 
s2 = 1
1n 
  ( Xi - X )
2 = 1
5 1
 [ ( 1,70 - 1,70 )2 + ( 1,72 - 1,70 )2 + ... + ( 1,67 - 1,70)2 ] 
 
s2 = 0,0014 / 4 = 0,000350 m2 . 
 
 Portanto, o valor do desvio padrão é: 
 
s = 
0 000350,
 = 0,0187 m 
 
 O coeficiente de variação é C.V. = 100 . 0,0187 / 1,70 = 1,10%. 
 
4.2.5 Variância e desvio padrão da média 
 
4.2.5.1 Variância da média 
 
 A variância da média é igual a variância da população (2) dividida pelo tamanho 
da amostra (n).2
X
 = 2 / n onde 2
X
 leia-se “ sigma dois de xis barra ”. 
 
 
 
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 90 
4.2.5.2 Desvio padrão da média 
 
 O desvio padrão da média é definido como sendo a raiz quadrada positiva da 
variância da média (2
X
)1/2 ou senão como o desvio padrão da média () dividido pela 
raiz quadrada do tamanho da amostra ( 
n
 ), isto é, 
 
 
X
 = [ 2
X
 ] ½ ou 
X
 =  / 
n
 
 
 O desvio padrão da média é de grande utilidade na estatística e em outros 
capítulos veremos a sua aplicação. 
 
 Quando não se conhece a variância da população (2) ou o desvio padrão da 
população (), mas sim as suas respectivas estimativas (s2 ou s), pode-se obter as 
estimativas da variância da média ou do desvio padrão da média, como se segue: 
 
s2
X
 = s2 / n s
X
 = [s2
X
] ½ ou s
X
 = s / 
n
 
 
 A expressão s
X
 = s / 
n
 é denominada erro padrão da média. 
 
Exemplo 4.9 Sabe-se que a variância de uma população vale 16 m2. Retirando-se uma 
amostra de 100 elementos, pergunta-se: 
 
a) qual o valor da variância da média ? 
 
b) qual o valor do desvio padrão da média ? 
 
Solução: 
 
a) 2
X
 = 2 / n = 16 / 100 = 0,16 m2 
 
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b) 
X
 = [2
X
] ½ = 
0 16,
 = 0,40 m ou 
X
 =  / 
n
 = 4 / 
100
 = 4/10 = 0,40 m. 
 
Exemplo 4.10 De uma população retirou-se uma amostra de 25 elementos, obtendo-se 
desta amostra uma variância igual a 100 kg2. Pergunta-se: 
 
a) o valor da estimativa da variância da média ? 
 
b) o valor do erro padrão da média ? 
 
Solução: 
 
a) s2
X
 = s2 / n = 100 / 25 = 4 kg2. 
 
b) s
X
 = [s2
X
] ½ = 
4
 = 2 kg ou s
X
 = s / 
n
 = 10 / 
25
 = 2 kg. 
 
Exercício 4.1 Obtenha, por mero acaso, uma amostra de 10 elementos em sua área de 
atuação e determine: 
 
a) a amplitude total dos dados. 
 
b) a variância e o desvio padrão dos dados da amostra, usando as duas fórmulas 
(teórica e prática). 
 
c) o coeficiente de variação. 
 
d) a variância e o erro padrão da média. 
 
Exercício 4.2 Considere a seguinte população das alturas dos alunos de uma 
determinada classe e a seguir determine: 
X1 = 1,80 m X2 = 1,79 m X3 = 1,81 m X4 = 1,82 m X5 = 1,78 m 
 
 
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a) a amplitude total dos dados. 
b) a variância. 
c) o desvio padrão da população. 
 
Exercício 4.3. Considere uma amostra de 5 comprimidos de Atenolol, dados em mg, e 
a seguir determine: 
 
X1 = 40 mg X2 = 38 mg X3 = 41 mg X4 = 42 mg X5 = 39 mg. 
 
a) a amplitude total dos dados. 
b) a variância. 
c) o desvio padrão da amostra. 
d) o coeficiente de variação. 
 
PARA OS QUE QUISEREM IR ALÉM EM MEDIDAS DE MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
Suponha os seguintes dados, já ordenados, nas 5 amostras (A, B, C, D, E): 
 
A B C D E 
8 10 6 16 4 
8 10 6 16 4 
10 12 8 20 5 
12 14 10 24 6 
12 14 10 24 6 
X
_ = 10 X_ = 12 X_ = 8 X_ = 20 X_ = 5 
AT = 4 AT = 4 AT = 4 AT = 8 AT = 2 
S2 = 4 S2 = 4 S2 = 4 S2 = 16 S2 = 1 
S = 2 S = 2 S = 2 S = 4 S = 1 
CV = 20% CV = 16,67% CV = 25% CV = 20% CV = 20% 
 
 
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Considere a amostra A, comparando as demais com essa amostra: 
 
(1) os elementos da amostra B são iguais aos elementos da amostra A, 
somados da unidade 2, então a amplitude total, a variância e o desvio 
padrão não se alteram, alterando somente o coeficiente de variação; 
 
(2) os elementos da amostra C são iguais aos elementos da amostra A, 
subtraídos de 2 unidades, então a amplitude total, a variância e o desvio 
padrão não se alteram, alterando somente o coeficiente de variação; 
 
(3) os elementos da amostra D são iguais aos elementos da amostra A, 
multiplicados por 2 unidades, então a amplitude total, e o desvio padrão 
ficarão multiplicados por 2, a variância ficará multiplicada pelo quadrado de 
2, e o coeficiente de variação não se altera; 
 
(4) os elementos da amostra E são iguais aos elementos da amostra A, 
divididos por 2 unidades, então a amplitude total, e o desvio padrão ficarão 
divididos por 2, a variância ficará dividida pelo quadrado de 2, e o 
coeficiente de variação não se altera; 
 
 
Portanto, se somarmos ou subtrairmos a todos os elementos 
uma constante, a amplitude total, a variância e o desvio padrão não se 
alteram, mas o coeficiente de variação ficará alterado. 
 
Se multiplicarmos ou dividirmos todos os elementos por uma 
constante, a amplitude total e o desvio padrão ficarão multiplicados 
ou divididos pela constante, a variância ficará multiplicada ou dividida 
pelo quadrado da constante e o coeficiente de variação não se altera.