Semana 6 - FT-2019_1-Cap3_Aletas_Aulas-1_e_2

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Fenômenos de Transporte
Cap3. - Aletas
Prof. Dr. Welber Gianini Quirino
wgquirino@fisica.ufjf.br
ICE / Departamento de Física
UFJF – Universidade Federal de Juiz de Fora
Capítulo 3 - Condução Unidimensional de Calor 
em Regime Estacionário
Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
Aplicação principal:
Aumentar a taxa de transferência de 
calor entre um sólido e um fluido 
adjacente através do aumento da 
área da superfície onde ocorre a 
convecção.
Aplicando a lei da conservação de energia
3.2 – Uma análise alternativa da Condução
geradasaídaentradaacumulada EEEE +−=
3.2 – Uma análise alternativa da Condução
 −==
T
T
x
x
x dTTk
xA
dx
q
00
)(
)(
:a reduz se eq. a
T de teindependen k(T) e
uniformefor A(x) se
1
0
1
0
=→
=→
−
xT
xT
seconhecendo
Tk
A
xqx =
Fazer o exemplo 3.4 - Incropera
Uso de aletas para melhorar a transferência de calor em uma parede plana
(a) Superfície sem aletas (b) Superfície aletada
1. Aumento da taxa de transferência de calor pelo aumento de h
ou diminuição de T.
2. Aumento da taxa de transferência de calor pelo aumento da área
de troca de calor
(a) Aleta plana com seção transversal uniforme
(b) Aleta plana com seção transversal não-uniforme
(c) Aleta anular
(d) Aleta piniforme
Principais tipos de aletas
ALETAS: COMO FUNCIONAM?
O calor é transportado da base (ou para a base) por meio da condução
térmica e adicionado (ou removido) ao ambiente externo pela convecção
térmica.
Distribuição temp. Aleta
B
as
e 
al
et
a 
T
0
Convecção
Temp. Ambiente ( T )
Convecção
Temp. Ambiente ( T )
B
as
e 
al
et
a 
T
0
Distribuição temp. Aleta
T0
T
T0
T
Condução
Condução
ALETAS: 
Circuito Térmico Equivalente (aquecimento da base)
Q = Qa+Qb
R2
Rk
Rb
Ra
T2 TT0








=
bf Ah
1








Ah
1
2






kA
L
Qb
Qa
T0, Ab
Ac
hf
T
h2
T2
L
Qb
Qa
Aplicando a lei da conservação de energia
Vamos resolver primeiro para aletas com área de sec. reta uniforme, sem 
geração de energia e estacionário ( sem variação da energia interna)
 00 ==
+−= geradasaídaentradaacumulada EEEE
T0, Ab
Ac
hf
T
h2
T2
L
geradasaídaentradaacumulada EEEE +−=
00 +−= saídaentrada EE
saídaentrada EE =
convxxxx dqdq
dx
d
qq ++= )(
)superiores ordens se-do(desprezanTaylor de Série em Expansão
)( dxq
dx
d
qq xxdxx
mas
+=+
convdxxx dqqq += +
0)( =+ convxx dqdq
dx
d
)(dq e 
dx
dT
kAq
mas
convtrx −=−= TTdAh sc
0)()
dx
dT
kA(
d
Logo,
tr =−+− TT
dx
dA
h
dx
s
c
Para k = constante
0)()
dx
dT
A(
d
tr =−− TT
dx
dA
k
h
dx
sc
ou ainda
0)(
dx
Td
A
dx
dTAd
2
2
tr
tr =−−+ TT
dx
dA
k
h
dx
sc
dividindo por Atr
0)(
Adx
dTAd
A
1
dx
Td
tr
tr
tr
2
2
=−−+ TT
dx
dA
k
h
dx
sc
2.4.1 - Aletas com área de seção transversal uniforme
0)(
Adx
dTAd
A
1
dx
Td
tr
tr
tr
2
2
=−−+ TT
dx
dA
k
h
dx
sc
0)(
Adx
Td
tr
2
2
=−− TT
dx
dA
k
h sc
0)(
Adx
Td
:logo perímetro, o é P onde P.dx dA mas,
tr
2
2
s
=−−
=
TT
k
Phc
Simplificando a equação pela definição de (x) = T(x)-T()
Eq. Geral
0
Ad tr =
dx
0
Adx
d
tr
2
2
=− 

k
Phc
onde
ou
0
dx
d 2
2
2
=− 

m
trkA
hP
m =2
A solução da eq. dif. de seg. ordem,
linear e homogênea, tem a forma:
mxmx eCeCx −+= 21)(
Para se determinar as constantes C1 e C2 é necessário especificar as 
condições de contorno
mxmx eCeCx −+= 21)(
• Condução de contorno na base da aleta
- Temperatura especificada (b)
• Condição de contorno no topo (ponta) da aleta
Caso A: Aleta longa T →T e L → 0 
Caso B: Perda desprezível - isolado - (adiabático)
Caso C: Temperatura especificada
Caso D: Perda de calor por convecção
Condução 
de contorno 
possíveis
1ª Condição de contorno na base da aleta
- Temperatura especificada
bss TT  −= )0(
Na base, a temperatura da aleta é igual a temperatura da superfície
As outras condições de contorno dependem da condição física na 
extremidade da aleta. Trataremos os quatro casos seguintes:
B. A extremidade da aleta é isolada
L xem 0 ==
dx
d
C. A temperatura na extremidade da aleta é fixa
L xem == L
D. A ponta perde calor por convecção
LLc
Lx
h
dx
d
k  ,=−
=
A. Aleta muito longa e a temperatura na extremidade se aproxima da 
temperatura do fluido
→= xem 0
2ª Condições de Contorno na ponta:
Lembrando da 1ª. condição de contorno
ss CCTT  +=−=  21)0(
A. Aleta muito longa e a temperatura na extremidade se aproxima 
da temperatura do fluido
→= xem 0
A segunda condição de contorno,
só pode ser satisfeita se C1, na eq. Diferencial, for igual a zero:
mx
sex
−=  )(
Essa é a distribuição de Temperatura. 
E o calor transferido?
Resolvendo 1º caso – Fazer no quadro
Como o calor conduzido através da raiz da aleta deve ser igual ao
calor transferido por convecção a partir da superfície da haste para o
fluido, então:
Calor Transferido na condição 1:
 
dxxPh
dx
dT
kA
dxTxTPh
dx
dT
kAq
c
x
c
x
aleta
)(
)(
00
00



=


=
=−
−=−=
Efetuando a diferenciação da equação anterior e substituindo o
resultado para x = 0 nesta, obtemos
  s0)( .θ )0( PAkhemkAq cmaleta =−−= −
O mesmo resultado é obtido através da avaliação do fluxo de calor
por convecção a partir da superfície da haste:
sc
mx
s
cmx
scaleta PAkhe
m
Ph
dxePhq  ===

−

−

00
Logo a resistência da aleta pode ser escrita como:
PAkh
1
R
θ
q 
PAkh
1
θ
q θPAkhq
c
aleta
s
aleta
c
s
aletascaleta
=
===
aletaR
Calor Transferido na condição 1:
Para os outros casos, o caminho é o mesmo
Resultados
Aplicando a lei da conservação de energia
Extremidade da Aleta ISOLADA
 00 ==
+−= geradasaídaentradaacumulada EEEE
T0, Ab
Ac
hf
T
h2
T2
L
Lembrando da 1ª. condição de contorno
21)0( CCs +==
Estas condições exigem que:
mLmL
Lx
emCemC
dx
d −
=
−==





210

B. A extremidade da aleta é isolada
L xem 0 ==
dx
d
Essa é a distribuição 
de Temperatura. E 
o calor 
transferido?
Obtemos:
 
1
 e 
1 2
221 mL
s
mL
s
e
C
e
C
−+
=
+
=

Substituindo na equação diferencial geral:
 
11 22 






+
+
+
=
−
−
mL
mx
mL
mx
s
e
e
e
e
2)(cosh xx eex −+=
Lembrando que:
Essa é a distribuição de 
Temperatura. E o calor 
transferido?
Como antes, aplica-se na 
eq. De Fourier 
Obtemos:
 
cosh(mL)
x)-coshm(L
s =
)tanh(.θ s mLPAkhq caleta =
 
kA
Ph
m
tr
c=
Onde
)()()tanh( mLmLmLmL eeeemL −− +−=
)tanh(
1
θs
mLPAkh
R
R
q
c
a
aleta
aleta
=
=
0
0,5
1
1,5
0 1 2 3 4
(mL)
T
an
h
(m
L)
Comprimento ideal
mostraremos a validade do quadro abaixo
Para os outros casos, o caminho é o mesmo
Resultados
L b
b
( / )senhmx senhm(L x)
senhmL
  + −
=

L b
a tr b
coshmL /
q h P A
senhmL+  
=  
Distribuição de Temperatura
Calor Transferido
onde
tr
hP
m
A
=

3. A temperatura na extremidade da aleta é fixa
L xem == L
 
 sup
etc parede, ,superfície base, .:Ps
sb
erficiebase


=
=
Conforme demonstramos 
no início da aula !
Distribuição de Temperatura
Calor Transferido
b
coshm(L x) (h / m )senhm(L x)
coshmL (h / m )senhmL
 − +  −
=
 + 
a tr b
senhmL (h / m )coshmL
q h P A
coshmL (h / m )senhmL
+ 
=  
+ 
onde
tr
hP
m
A
=

4. A ponta perde calor por convecção
LLc
Lx
h
dx
d
k  ,=−
=
 
 sup
etc parede, ,superfície base, .:Ps
sb
erficiebase


=
=
Capítulo 3 – Seleção e projeto de aletas
A seleção das aletas é feita com base no desempenho térmico e no
custo.
Do ponto de vista do desempenho térmico, o tamanho, a forma e o
comprimento mais desejável pela aleta podem ser avaliados por meio
de uma análise como a descrita a seguir:
A eficácia da transferência de calor de uma aleta é medida por um 
parâmetro chamado eficiência da aleta f, que é definido como:
base da ra temperatuna estivesse aleta a todase do transferiseria quecalor 
do transferirealcalor 
=f
máx
aleta
f
q
q
=
saletac
aleta
erficieconvec
aleta
f
Ah
q
q
q
 −−
==
supsup
s
s
θ
)tanh(.θ 
PLh
mLPAkh
c
c
f =
Por exemplo: a eficiência de uma aleta de pino circular com uma 
extremidade isolada é :
AkmPh
Ak
Ph
m
Ak
Ph
m c
cc 22 ===
s PAkhM c=
Substituindo,
mL
mL
LAkm
mLKAm
kALm
mLAkAkm
f
)tanh()tanh()tanh( )(
22
2
=


==


Outras eficiências calculadas e tabeladas na Tab.3.5
Frequentemente, é conveniente utilizar a área do perfil de uma 
aleta, Am. 
➢ Para uma forma retangular, Am é tLc,
➢ Para uma seção transversal triangular, Am é Lt/2
Do ponto de vista da transferência de calor
✓ Aletas finas, próximas umas das outras são melhores do que poucas
aletas grossas!
✓ Obviamente, aletas constituídas de materiais que apresentam alta
condutividade térmica são preferíveis.
✓ Algumas vezes, são parte integrante da superfície, porém pode haver
uma resistência de contato na base, se elas forem conectadas
mecanicamente.
Desempenho de Aletas
a
ˆTaxa de transferencia de calor da aleta
ˆTaxa de transferencia de calor sem a presença da aleta 
 =
a a
a
b tr,b b
q q
q h A
 = =

●Efetividade da aleta
● Calor Transferido
onde é a área da seção transversal da aleta na base
tr,bA
Obs.: Quando a  2 justifica-se o uso de aletas.
Exercícios cap.3
Cap.3 – Parte 1
2a; 3a; 5; 6ab; 8; 9; 15; 19; 27; 28; 32; 35; 37; 39; 49; 52; 55; 58
Cap.3 – Parte 2
104; 105; 108; 109; 111; 112; 113; 114; 116; 120; 122; 125; 127; 130