Alunos 13 SÉRIES DE PAGAMENTOS ANTECIPADOS

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UNIVERSIDADE PRESBITERIANA 
MACKENZIE - CCSA
Prof Shan Ping Tsai 1
SÉRIES DE 
PAGAMENTOS 
ANTECIPADOS
Séries de Pagamentos Antecipados
são as séries em que o primeiro
pagamento ou recebimento se dá no
início do primeiro período, ou seja, na
data zero.
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Exemplo
Determinar o montante ao final do 5o. mês
de uma série de 5 pagamentos mensais,
iguais e consecutivos de $1.000,00 a taxa
de 1% a.m., de forma antecipada.
FV
0 1 2 3 4 5
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Solução
1a. parcela: FV1 = PV1(1+i)5
FV1 = 1000(1+0,01)5 = $ 1.051,01
2a. parcela: FV2 = PV2(1+i)4
FV2 = 1000(1+0,01)4 = $ 1.040,60
3a. parcela: FV3 = PV3(1+i)3
FV3 = 1000(1+0,01)3 = $ 1.030,30
4a. parcela: FV4 = PV4(1+i)2
FV4 = 1000(1+0,01)2 = $ 1.020,10
5a. parcela: FV5 = PV5(1+i)1
FV5 = 1000(1+0,01)1 = $ 1.010,00
FVTOTAL= $ 5.152,01
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FVTOTAL = FV1 + FV2 + FV3 + FV4 + FV5
FVTOTAL = 1000(1,01)5 + 1000(1,01)4 + 1000(1,01)3 +
1000(1,01)2 + 1000(1,01)1
FVTOTAL = 1000[ (1,01)5 + (1,01)4 + (1,01)3 + (1,01)2
+ (1,01)1 ]
O termo dentro dos colchetes é a soma dos termos de 
uma PG, com razão 1,01 e primeiro termo a1=1,011. Se 
for tomada a expressão literal , ao final, teremos:
i
iPMTiFV
n 1)1()1( −++=
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É possível perceber que cada pagamento
tem um período a mais de incidência de
juros, quando comparada com o mesmo
exemplo da série de pagamentos
postecipados.
Dessa forma, para uma série antecipada
de pagamentos:
),()1( niFACPMTiFV ⋅⋅+=
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Se quisermos extrapolar para as outras 
expressões teremos:
1)1(
)1(
)1(
1
)1(
1)1()1(
1)1()1(
1
−+
+
+
=
+
−+
+=
−++
=
n
n
n
n
n
i
iiPV
i
PMT
ii
iPMTiPV
i
iFV
i
PMT
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Exercícios
1. Qual o montante, no final de 20 meses,
resultante da aplicação de 14 parcelas iguais,
mensais e consecutivas de $1.500,00 cada
uma, sabendo-se que a taxa contratada é de
1,2% ao mês e que a primeira aplicação é
feita “hoje”?
2. Quanto deverei aplicar mensalmente, à taxa
de 1% ao mês, para ter um montante de
$30.000,00 no final do 12o mês, de acordo
com os conceito de termos antecipados?
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3. Uma concessionária de veículos aplica juros
efetivos de 12% ao mês nas vendas à prazo e
exige a amortização em sete prestações
mensais antecipadas. Considerando que em
uma determinada venda realizada o valor de
cada uma das 4 primeiras prestações foi de
$4.000 e das 3 últimas $10.000, calcular o
valor do financiamento efetivo.
4. Um empréstimo de $50.000,00 deve ser
liquidado em 12 prestações iguais. Sabendo-se
que a primeira vence no final do 4o mês e que
a taxa de juros cobrada pela instituição
financeira é de 4,5% ao mês, determinar o
valor da prestação.
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Respostas:
1) $24.697,80
2) $2.342,04
3) $26.703,09
4) $6.257,37
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Bibliografia
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra.
Matemática financeira, 7ª edição.
São Paulo: Atlas, 2013.
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