2 - Integral por frações parciais_compressed (1)

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Cálculo 2 – Profª Drª. Claudia Frizzarini (claudia.frizzarini@fmu.br) 
	
INTEGRAL DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS 
 
Inicialmente, vamos resolver a seguinte integral indefinida utilizando o que já foi aprendido 
anteriormente: 2𝑥 − 1− 1𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 2𝑥 − 1 𝑑𝑥 − 1𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 
 𝑢 = 𝑥 − 1𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 e 𝑢 = 𝑥 + 2𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
= 2. 1𝑢 𝑑𝑢 − 1𝑢 𝑑𝑢 = 2. 𝑙𝑛 𝑢 − 𝑙𝑛 𝑢 + 𝐶 = 2. 𝑙𝑛 𝑥 − 1 − 𝑙𝑛 𝑥 + 2 + 𝐶 
 Com isso, percebemos que essa integral não possui problemas para ser resolvida. Mas, e se 
aparecesse para nós resolvermos a integral !!!!²!!!! 𝑑𝑥? 
Essa integral na forma que se encontra não é resolvida com o que vimos até agora, mas observe que a 
função !!!!²!!!! = !!!! − !!!!, isto é: 2𝑥 − 1− 1𝑥 + 2 = 2. 𝑥 + 2 − 1. 𝑥 − 1𝑥 − 1 𝑥 + 2 = 2𝑥 + 4− 𝑥 + 1𝑥! + 2𝑥 − 𝑥 − 2 = 𝑥 + 5𝑥²+ 𝑥 − 2 
Mas, o que estamos querendo dizer com isso? 
Quando temos uma função racional (um quociente de polinômios), expressando-a como a soma de 
frações mais simples, chamadas frações parciais, sua resolução torna-se possível e simples. 
Proposição: Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, p(x) pode ser expresso como um produto de 
fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais. 
Exemplos: 
1) O polinômio 𝑞 𝑥 = 𝑥²− 3𝑥 + 2 pode ser escrito como o produto dos fatores lineares 𝑥 − 2 e 𝑥 − 1, isto é, 𝑞 𝑥 = 𝑥 − 2 . (𝑥 − 1). 
2) O polinômio 𝑞 𝑥 = 𝑥³− 𝑥²+ 𝑥 − 1 pode ser escrito como o produto do fator linear 𝑥 − 1 pelo 
fator quadrático irredutível 𝑥²+ 1, isto é, 𝑞 𝑥 = 𝑥²+ 1 . (𝑥 − 1). 
Definição: Seja 𝑓 𝑥 = !(!)!(!) uma função racional onde p e q são polinômios. Essa função racional 
chamada de própria se o grau de p for menor do que o grau de q. Agora, se o grau de p for maior ou 
igual ao grau de q, dizemos que essa função racional é imprópria, e para sua resolução necessitamos 
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fazer uma etapa preliminar, dividindo q por p, até que o grau do resto da divisão seja menor que o grau 
de q. O resultado da divisão será 
𝑓 𝑥 = 𝑝(𝑥)𝑞(𝑥) = 𝑠 𝑥 + 𝑟(𝑥)𝑞(𝑥) 
onde s e r também são polinômios. 
Existem casos, em que essa etapa preliminar já resolve o problema e a integral já fica fácil de ser 
resolvida, mas nem sempre isso acontece. 
Para facilitar o entendimento, vamos considerar alguns casos: 
Caso 1 – O denominador 𝑞(𝑥) é o produto de fatores lineares distintos 
Neste caso, podemos escrever o denominador 𝑞(𝑥) na forma 𝑞 𝑥 = 𝑥 − 𝑎! . 𝑥 − 𝑎! .… . (𝑥 − 𝑎!) 
Com isso, a decomposição da fração 𝑓 𝑥 = !(!)!(!) em frações mais simples é dada por 
𝑓 𝑥 = 𝐴!𝑥 − 𝑎! + 𝐴!𝑥 − 𝑎! +⋯+ 𝐴!𝑥 − 𝑎! 
Onde 𝐴!,𝐴!,… ,𝐴! são constantes. 
Exemplos: 
1) !!²!! 𝑑𝑥 
Vemos que neste caso, os métodos anteriores não nos ajudariam para solucionar essa integral, sendo 
assim vamos trabalhar com frações parciais. Como o grau do denominador é maior do que o numerador, 
temos que essa função é própria, sendo assim, basta encontrarmos as raízes do denominador para 
podermos decompor essa função e resolvermos a integral. 1𝑥²− 9 = 1𝑥 − 3 . (𝑥 + 3) 
Assim, 1𝑥 − 3 . (𝑥 + 3) = 𝐴!𝑥 − 3+ 𝐴!𝑥 + 3 
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	 1𝑥 − 3 . (𝑥 + 3) = 𝐴!. 𝑥 + 3 + 𝐴!. (𝑥 − 3)𝑥 − 3 . (𝑥 + 3) 
Eliminando os denominadores, temos: 1 = 𝐴!. 𝑥 + 3 + 𝐴!. (𝑥 − 3) 1 = 𝑥.𝐴! + 3.𝐴! + 𝑥.𝐴! − 3.𝐴! 0. 𝑥 + 1 = (𝐴!+𝐴!). 𝑥 + (3.𝐴! − 3.𝐴!) 
Igualando os coeficientes das mesmas potências de x, temos: 𝐴! + 𝐴! = 03.𝐴! − 3.𝐴! = 1 
Resolvendo o sistema, temos que: 𝐴! = !! e 𝐴! = − !! 
Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por: 1𝑥 − 3 . (𝑥 + 3) = 16𝑥 − 3 + − 16𝑥 + 3 1𝑥 − 3 . (𝑥 + 3) = 16 . 1𝑥 − 3− 16 . 1𝑥 + 3 
Logo, 1𝑥²− 9 𝑑𝑥 = 1𝑥 − 3 . (𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = 16 . 1𝑥 − 3− 16 . 1𝑥 + 3 𝑑𝑥= 16 . 1𝑥 − 3𝑑𝑥 − 16 . 1𝑥 + 3𝑑𝑥 = 16 . 𝑙𝑛 𝑥 − 3 − 16 . 𝑙𝑛 𝑥 + 3 + 𝐶 
 
Observação: Poderíamos encontrar os valores de 𝐴! e 𝐴! usando as raízes de cada termo linear 𝑥 − 3 e (𝑥 + 3), ou seja , 𝑥 = 3 e 𝑥 = −3. Bastava substituir esses valores na equação 1 = 𝐴!. 𝑥 +3 + 𝐴!. (𝑥 − 3), e assim teríamos os valores de 𝐴! e 𝐴!. 
 
2) !²!!!!!!!³!!!²!!! 𝑑𝑥 
Como o grau do denominador é maior do que o numerador, temos que essa função é própria, sendo 
assim, basta encontrarmos as raízes do denominador para podermos decompor essa função e 
resolvermos a integral. 2𝑥³+ 3𝑥²− 2𝑥 = 𝑥. 2𝑥! + 3𝑥 − 2 = 𝑥. 2𝑥 − 1 . (𝑥 + 2) 
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Ou seja, 𝑥²+ 2𝑥 − 12𝑥³+ 3𝑥²− 2𝑥 = 𝑥²+ 2𝑥 − 1𝑥. 2𝑥 − 1 . (𝑥 + 2) 𝑥²+ 2𝑥 − 1𝑥. 2𝑥 − 1 . (𝑥 + 2) = 𝐴𝑥 + 𝐵2𝑥 − 1+ 𝐶𝑥 + 2 𝑥²+ 2𝑥 − 1𝑥. 2𝑥 − 1 . (𝑥 + 2) = [𝐴. 2𝑥 − 1 . (𝑥 + 2)]+ [𝐵. 𝑥. (𝑥 + 2)]+ [𝐶. 𝑥. (2𝑥 − 1)]𝑥. 2𝑥 − 1 . (𝑥 + 2) 
Eliminando os denominadores, temos: 𝑥²+ 2𝑥 − 1 = 𝐴. 2𝑥 − 1 . 𝑥 + 2 + 𝐵. 𝑥. 𝑥 + 2 + [𝐶. (2𝑥 − 1)] 𝑥²+ 2𝑥 − 1 = 𝐴. 2𝑥! + 3𝑥 − 2 + 𝐵 𝑥! + 2𝑥 + 𝐶. (2𝑥! − 𝑥) 1𝑥²+ 2𝑥 − 1 = (2.𝐴 + 𝐵 + 2.𝐶)𝑥²+ (3.𝐴 + 2.𝐵 − 𝐶)𝑥 − 2.𝐴 
Igualando os coeficientes das mesmas potências de x, temos: 2𝐴 + 𝐵 + 2𝐶 = 13𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 = 2−2𝐴 = −1 
Resolvendo o sistema, temos que: 𝐴 = !! 𝐵 = !! 𝐶 = − !!" 
Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por: 𝑥²+ 2𝑥 − 1𝑥. 2𝑥 − 1 . (𝑥 + 2) = 12 𝑥 + 152𝑥 − 1 + − 110𝑥 + 2 𝑥²+ 2𝑥 − 1𝑥. 2𝑥 − 1 . (𝑥 + 2) = 12 . 1 𝑥 + 15 . 12𝑥 − 1− 110 . 1𝑥 + 2 
Logo, 𝑥! + 2𝑥 − 12𝑥! + 3𝑥! − 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥! + 2𝑥 − 1𝑥. 2𝑥 − 1 . 𝑥 + 2 𝑑𝑥 = = 12 . 1 𝑥 + 15 . 12𝑥 − 1− 110 . 1𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 12 1𝑥 𝑑𝑥 + 15 12𝑥 − 1𝑑𝑥 − 110 1𝑥 + 2𝑑𝑥= 12 . 𝑙𝑛 𝑥 + 110 . 𝑙 𝑛 2𝑥 − 1 − 110 . 𝑙 𝑛 𝑥 + 2 + 𝐶 
 
 
 
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3) !!!³!!³!!²!!!!!𝑑𝑥 
Como o grau do denominador é igual ao do numerador, temos que essa função é imprópria. Sendo 
assim, primeiramente precisamos fazer a divisão de polinômios: 
 
Lembre-se: 𝐷 = 𝑑. 𝑞 + 𝑟 ou seja, 
Assim, −4𝑥³2𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥 − 1𝑑𝑥 = −2. 2𝑥! + 𝑥! − 2𝑥 − 1 + (2𝑥! − 4𝑥 − 2)2𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥 − 1 𝑑𝑥 −4𝑥³2𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥 − 1𝑑𝑥 = −2. 2𝑥! + 𝑥! − 2𝑥 − 12𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥 − 1 𝑑𝑥 + 2𝑥! − 4𝑥 − 22𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥 − 1𝑑𝑥 −4𝑥³2𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥 − 1𝑑𝑥 = −2𝑑𝑥 + 2𝑥! − 4𝑥 − 22𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥 − 1𝑑𝑥 
Agora, vamos decompor a integral em frações parciais mais simples para podermos resolver toda ela: 2𝑥! − 4𝑥 − 22𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥 − 1𝑑𝑥 = 
As raízes de 2𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥 − 1 são 𝑥 = 1, 𝑥 = −1 e 𝑥 = − !!. Para encontra-las, pode usar Briott-
Rufini ou Relação de Girard, além de Báskara. Assim, 
2𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥 − 1 = 𝑥 − 1 . 𝑥 + 1 . 2. 𝑥 + 12 
Ou seja, 2𝑥! − 4𝑥 − 22𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥 − 1 = 2𝑥! − 4𝑥 − 2𝑥 − 1 . 𝑥 + 1 . 2. 𝑥 + 12 2𝑥! − 4𝑥 − 2𝑥 − 1 . 𝑥 + 1 . 2. 𝑥 + 12 = 𝐴𝑥 − 1 + 𝐵𝑥 + 1 + 𝐶2. 𝑥 + 12 2𝑥! − 4𝑥 − 2𝑥 − 1 . 𝑥 + 1 . 2. 𝑥 + 12 = 
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= 𝐴. 𝑥 + 1 . 2. 𝑥 + 12 + 𝐵. 𝑥 − 1 . 2. 𝑥 + 12 + [𝐶. 𝑥 − 1 . 𝑥 + 1 ]𝑥 − 1 . 𝑥 + 1 . 2. 𝑥 + 12 
Eliminando os denominadores, temos: 
2𝑥! − 4𝑥 − 2 = 𝐴. 𝑥 + 1 . 2. 𝑥 + 12 + 𝐵. 𝑥 − 1 . 2. 𝑥 + 12 + [𝐶. 𝑥 − 1 . 𝑥 + 1 ] 
 Usando o método simplificado, ou seja, usando as raízes (𝑥 = 1, 𝑥 = −1 e 𝑥 = !!), temos: 𝒙 = 𝟏: 2.1²− 4.1− 2 = 𝐴. 1+ 1 . 2. 1+ 12 + 𝐵. 1− 1 . 2. 1+ 12 + [𝐶. 1− 1 . 1+ 1 ] 
2− 4− 2 = 𝐴. 4. 32 + 𝐵. 0.2. 32 + 𝐶. 0.2 
−4 = 6𝐴 → 𝐴 = − 23 𝒙 = −𝟏: 2. −1 ! − 4. −1 − 2 = 𝐴. −1+ 1 . 2. −1+ 12 + 𝐵. −1− 1 . 2. −1+ 12 + +[𝐶. −1− 1 . −1+ 1 ] 
2+ 4− 2 = 𝐴. 0.2. − 12 + 𝐵. (−2).2. − 12 + 𝐶. −2 . 0 4 = 2𝐵 → 𝐵 = 2 
𝒙 = − 𝟏𝟐: 2. − 12 ! − 4. − 12 − 2 == 𝐴. − 12 + 1 . 2. − 12 + 12 + 𝐵. − 12 − 1 . 2. − 12 + 12+ 𝐶. − 12 − 1 . − 12 + 1 12+ 2− 2 = 𝐴. 12 . 2.0 + 𝐵. − 32 . 2.0 + 𝐶. − 32 . 12Cálculo 2 – Profª Drª. Claudia Frizzarini (claudia.frizzarini@fmu.br) 
	 12 = − 34𝐶 → 𝐶 = − 23 
Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por: 2𝑥! − 4𝑥 − 2𝑥 − 1 . 𝑥 + 1 . 2. 𝑥 + 12 = −
23𝑥 − 1 + 2𝑥 + 1 + − 232. 𝑥 + 12 2𝑥! − 4𝑥 − 2𝑥 − 1 . 𝑥 + 1 . 2. 𝑥 + 12 = − 23 . 1𝑥 − 1 + 2. 1𝑥 + 1 + − 23 . 12. 𝑥 + 12 2𝑥! − 4𝑥 − 2𝑥 − 1 . 𝑥 + 1 . 2. 𝑥 + 12 = − 23 . 1𝑥 − 1 + 2. 1𝑥 + 1 + − 13 . 1𝑥 + 12 
Logo, −4𝑥³2𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥 − 1𝑑𝑥 = −2𝑑𝑥 + 2𝑥! − 4𝑥 − 22𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥 − 1𝑑𝑥 −4𝑥³2𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥 − 1𝑑𝑥 = −2𝑑𝑥 + 2𝑥! − 4𝑥 − 2𝑥 − 1 . 𝑥 + 1 . 2. 𝑥 + 12 𝑑𝑥 −4𝑥³2𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥 − 1𝑑𝑥 = −2𝑑𝑥 + − 23 . 1𝑥 − 1 + 2. 1𝑥 + 1 + − 13 . 1𝑥 + 12 𝑑𝑥 −4𝑥³2𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥 − 1𝑑𝑥 = −2𝑑𝑥 + − 23 . 1𝑥 − 1 𝑑𝑥 + 2. 1𝑥 + 1 𝑑𝑥 − 13 . 1𝑥 + 12 𝑑𝑥 −4𝑥³2𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥 − 1𝑑𝑥 = −2𝑥 − 23 . 𝑙𝑛 𝑥 − 1 + 2. 𝑙𝑛 𝑥 + 1 − 13 . 𝑙𝑛 𝑥 + 12 + 𝐶 −4𝑥³2𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥 − 1𝑑𝑥 = −2𝑥 − 23 . 𝑙𝑛 𝑥 − 1 + 2. 𝑙𝑛 𝑥 + 1 − 13 . 𝑙𝑛 2𝑥 + 1 + 13 𝑙𝑛 |2|+ 𝐶 
Observação: O que está em rosa é uma propriedade de logaritmo, ou seja, log 𝑎. 𝑏 = log 𝑎 + log 𝑏 
 
Caso 2 – O denominador 𝑞(𝑥) é o produto de fatores lineares, e alguns deles se repetem. 
Se um fator linear 𝑥 − 𝑎! de 𝑞(𝑥) tem multiplicidade r (ou seja, se repete r vezes), a esse fator 
corresponderá uma soma de frações parciais da seguinte forma: 
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	 𝑓 𝑥 = !!!!!! ! + !!!!!! !!! +⋯+ !!!!!! 
Onde 𝐴!,𝐴!,… ,𝐴! são constantes. 
Exemplos: 
1) !³!!!!!!!!!!² 𝑑𝑥 
Como o grau do denominador é maior do que o numerador, temos que essa função é própria, sendo 
assim, basta encontrarmos as raízes do denominador para podermos decompor essa função e 
resolvermos a integral. 𝑥! − 4𝑥 = 𝑥! 𝑥! − 4 → 𝑥! = 0 𝑥! = 0 𝑥! = 2 𝑥! = −2 
Assim, temos que as raiz 𝑥 = 0 tem multiplicidade 2, ou seja, repete-se duas vezes. Desta forma, temos 
que: 𝑥³+ 3𝑥 − 1𝑥! − 4𝑥² = 𝑥³+ 3𝑥 − 1𝑥 − 2 . 𝑥 + 2 . 𝑥² 𝑥³+ 3𝑥 − 1𝑥 − 2 . 𝑥 + 2 . 𝑥² = 𝐴𝑥 − 2+ 𝐵𝑥 + 2+ 𝐶𝑥²+ 𝐷𝑥 𝑥! + 3𝑥 − 1𝑥 − 2 . 𝑥 + 2 . 𝑥! = = 𝐴. 𝑥 + 2 . 𝑥! + 𝐵. 𝑥 − 2 . 𝑥! + 𝐶. 𝑥 − 2 . 𝑥 + 2 + [𝐷. 𝑥 − 2 . 𝑥 + 2 . 𝑥]𝑥 − 2 . 𝑥 + 2 . 𝑥² 
Eliminando os denominadores, temos: 𝑥³+ 3𝑥 − 1 = 𝐴. 𝑥 + 2 . 𝑥! + 𝐵. 𝑥 − 2 . 𝑥! + 𝐶. 𝑥 − 2 . 𝑥 + 2 + [𝐷. 𝑥 − 2 . 𝑥 + 2 . 𝑥] 𝑥³+ 3𝑥 − 1 = 𝐴. 𝑥! + 2𝐴. 𝑥! + 𝐵𝑥! − 2𝐵𝑥! + 𝐶𝑥! − 4𝐶 + 𝐷𝑥! − 4𝐷𝑥 1. 𝑥³+ 0. 𝑥²+ 3𝑥 − 1 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐷 . 𝑥! + 2𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 . 𝑥! − 4𝐷𝑥 − 4𝐶 
Igualando os coeficientes das mesmas potências de x, temos: 𝐴 + 𝐵 + 𝐷 = 12𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = 0−4𝐷 = 3−4𝐶 = −1 
Resolvendo o sistema, temos que: 𝐴 = !"!" 𝐵 = !"!" 𝐶 = !! 𝐷 = − !! 
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Observe que neste caso, se usássemos o método simplificado não conseguiríamos determinar D. Para 
determina-lo teríamos que tomar uma das equações do sistema linear obtido quando igualamos os 
coeficientes das mesmas potências de x (ou seja, não seria tão viável usar esse método neste caso). 
Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por: 𝑥³+ 3𝑥 − 1𝑥 − 2 . 𝑥 + 2 . 𝑥² = 1316 𝑥 − 2+ 1516𝑥 + 2 + 14𝑥² +− 34𝑥 𝑥³+ 3𝑥 − 1𝑥 − 2 . 𝑥 + 2 . 𝑥² = 1316 . 1 𝑥 − 2+ 1516 . 1𝑥 + 2+ 14 . 1𝑥²− 34 . 1𝑥 
Logo, 𝑥³+ 3𝑥 − 1𝑥! − 4𝑥² 𝑑𝑥 = 𝑥³+ 3𝑥 − 1𝑥 − 2 . 𝑥 + 2 . 𝑥²𝑑𝑥 𝑥³+ 3𝑥 − 1𝑥! − 4𝑥² 𝑑𝑥 = 1316 . 1 𝑥 − 2+ 1516 . 1𝑥 + 2+ 14 . 1𝑥²− 34 . 1𝑥 𝑑𝑥 𝑥³+ 3𝑥 − 1𝑥! − 4𝑥² 𝑑𝑥 = 1316 . 1 𝑥 − 2𝑑𝑥 + 1516 . 1𝑥 + 2𝑑𝑥 + 14 . 1𝑥²𝑑𝑥 − 34 . 1𝑥 𝑑𝑥 𝑥³+ 3𝑥 − 1𝑥! − 4𝑥² 𝑑𝑥 = 1316 . 𝑙𝑛 𝑥 − 2 + 1516 . 𝑙𝑛 𝑥 + 2 − 14𝑥 − 34 . 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 
 
2) !!!!!!!!!!!!³!!!!!!! 𝑑𝑥 
Como o grau do denominador é menor que o do numerador, temos que essa função é imprópria. Sendo 
assim, primeiramente precisamos fazer a divisão de polinômios: 
 
Lembre-se: 𝐷 = 𝑑. 𝑞 + 𝑟 ou seja, 
Assim, 𝑥! − 2𝑥! + 4𝑥 + 1𝑥³− 𝑥! − 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝑥 + 1 . 𝑥! − 𝑥!𝑥 + 1 + 4𝑥𝑥³− 𝑥! − 𝑥 + 1 𝑑𝑥 
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	 𝑥! − 2𝑥! + 4𝑥 + 1𝑥³− 𝑥! − 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝑥 + 1 . 𝑥! − 𝑥!𝑥 + 1𝑥³− 𝑥! − 𝑥 + 1 𝑑𝑥+ 4𝑥𝑥³− 𝑥! − 𝑥 + 1𝑑𝑥 𝑥! − 2𝑥! + 4𝑥 + 1𝑥³− 𝑥! − 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝑥 + 1 𝑑𝑥 + 4𝑥𝑥³− 𝑥! − 𝑥 + 1𝑑𝑥 
Agora, vamos decompor a integral em frações parciais mais simples para podermos resolver toda ela: 4𝑥𝑥³− 𝑥! − 𝑥 + 1𝑑𝑥 = 
As raízes de 𝑥³− 𝑥! − 𝑥 + 1 são 𝑥 = 1, 𝑥 = 1 e 𝑥 = −1. Para encontra-las, pode usar Briott-Rufini ou 
Relação de Girard, além de Báskara. Assim, 𝑥³− 𝑥! − 𝑥 + 1 = 𝑥 − 1 . 𝑥 − 1 . (𝑥 + 1) 
Assim, temos que as raiz 𝑥 = 1 tem multiplicidade 2, ou seja, repete-se duas vezes. Desta forma, temos 
que: 4𝑥𝑥³− 𝑥! − 𝑥 + 1 = 4𝑥𝑥 − 1 ². (𝑥 + 1) 4𝑥𝑥 − 1 ². (𝑥 + 1) = 𝐴(𝑥 − 1)²+ 𝐵𝑥 − 1 + 𝐶(𝑥 + 1) 4𝑥𝑥 − 1 ². (𝑥 + 1) = 𝐴. 𝑥 + 1 + 𝐵. 𝑥 − 1 . 𝑥 + 1 + [𝐶. 𝑥 − 1 !]𝑥 − 1 ². (𝑥 + 1) 
Eliminando os denominadores, temos: 4𝑥 = 𝐴. 𝑥 + 1 + 𝐵. 𝑥 − 1 . 𝑥 + 1 + [𝐶. 𝑥 − 1 !] 4𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐴 + 𝐵𝑥²− 𝐵 + 𝐶𝑥! − 2𝐶𝑥 + 𝐶 0. 𝑥²+ 4𝑥 + 0 = 𝐵 + 𝐶 𝑥²+ 𝐴 − 2𝐶 𝑥 + (𝐴 − 𝐵 + 𝐶) 
Igualando os coeficientes das mesmas potências de x, temos: 𝐵 + 𝐶 = 0𝐴 − 2𝐶 = 4𝐴 − 𝐵 + 𝐶 = 0 
Resolvendo o sistema, temos que: 𝐴 = 2 𝐵 = 1 𝐶 = −1 
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Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por: 4𝑥𝑥 − 1 ². (𝑥 + 1) = 2(𝑥 − 1)²+ 1𝑥 − 1 + −1(𝑥 + 1) 
Logo, 𝑥! − 2𝑥! + 4𝑥 + 1𝑥³− 𝑥! − 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝑥 + 1 𝑑𝑥 + 4𝑥𝑥³− 𝑥! − 𝑥 + 1𝑑𝑥 𝑥! − 2𝑥! + 4𝑥 + 1𝑥³− 𝑥! − 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = (𝑥 + 1) 𝑑𝑥 + 4𝑥𝑥 − 1 ². (𝑥 + 1)𝑑𝑥 𝑥! − 2𝑥! + 4𝑥 + 1𝑥³− 𝑥! − 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥 + 1. 𝑑𝑥 + 2(𝑥 − 1)²+ 1𝑥 − 1 + −1(𝑥 + 1)𝑑𝑥 𝑥! − 2𝑥! + 4𝑥 + 1𝑥³− 𝑥! − 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥 + 1. 𝑑𝑥 + 2. 1(𝑥 − 1)²𝑑𝑥 + 1𝑥 − 1 𝑑𝑥 − 1(𝑥 + 1)𝑑𝑥 𝑥! − 2𝑥! + 4𝑥 + 1𝑥³− 𝑥! − 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝑥²2 + 𝑥 − 2𝑥 − 1+ 𝑙𝑛 𝑥 − 1 − 𝑙𝑛 𝑥 + 1 + 𝐶 
 
Caso 3 – O denominador 𝑞(𝑥) contém fatores lineares e quadráticos irredutíveis e nenhum deles se 
repetem. 
A cada fator quadrático 𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 de 𝑞(𝑥) corresponderá uma fração parcial da forma: 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 
Caso 4 – O denominador 𝑞(𝑥) contém fatores lineares e quadráticos irredutíveis e alguns dos fatores 
quadráticos se repetem. 
Se um fator quadrático 𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 de 𝑞(𝑥) tem multiplicidade s (ou seja, se repete s vezes), a esse 
fator corresponderá uma soma de frações parciais da forma: 𝐶!𝑥 + 𝐷!𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ! + 𝐶!𝑥 + 𝐷!𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 !!! +⋯+ 𝐶!𝑥 + 𝐷!𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 
Observação: esses dois últimos casos não serão abordados nesse material. 
 
 
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______________________________________________________________________ 
Exercícios: 
1) !"!²!! 
2) !!!!³!!²!!! 𝑑𝑥 
3) !!!!³!!!!!!!!𝑑𝑥 
4) !!!!! 𝑑𝑥 
5) !!!!!!!²!! 𝑑𝑥 
6) !!!!!!!!!!³!!² 𝑑𝑥 
7) !!!²!!!!!𝑑𝑥!! 
8) !!²!!!!!"!(!!!)(!!!)!! 𝑑𝑦 
______________________________________________________________________ 
Gabarito: 
1) !"!²!! = !! 𝑙𝑛 𝑥 − 2 − !! 𝑙𝑛 𝑥 + 2 + 𝐶 , pois 𝑥²− 4 = 𝑥 − 2 𝑥 + 2 , !!²!! = !!!! + !!!! , 𝐴 = !! e 𝐵 = − !! 
2) !!!!³!!²!!! 𝑑𝑥 = − !! 𝑙𝑛 𝑥 + !!" 𝑙𝑛 𝑥 − 2 − !!" 𝑙𝑛 𝑥 + 3 + 𝐶 , pois 𝑥³+ 𝑥²− 6𝑥 = 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) , !!!!³!!²!!! = !! + !!!! + !!!! , 𝐴 = − !! , 𝐵 = !!" e 𝐶 = − !!" 
3) !!!!³!!!!!!!!𝑑𝑥 = !! 𝑙𝑛 𝑥 − 1 − !! 𝑙𝑛 𝑥 + 1 + !! 𝑙𝑛 𝑥 − 3 + 𝐶 , pois 𝑥³− 3𝑥! − 𝑥 + 3 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) , !!!!³!!!!!!!! = !!!! + !!!! + !!!! , 𝐴 = !! , 𝐵 = − !! e 𝐶 = !! 
4) !!!!! 𝑑𝑥 = !!! − 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 
5) !!!!!!!²!! 𝑑𝑥 = !³! + 𝑥 + !! 𝑙𝑛 𝑥 − 1 + !! 𝑙𝑛 𝑥 + 1 + 𝐶 , pois !!!!!!!²!! 𝑑𝑥 = !!!! .(!!!!)!²!! 𝑑𝑥 + !!²!!𝑑𝑥 = 𝑥²+ 1𝑑𝑥 + !!²!!𝑑𝑥 , !!²!! = !!!! + !!!! , 𝐴 = !! 
e 𝐵 = !! 
6) !!!!!!!!!!³!!²𝑑𝑥 = !²! − !! + 2. 𝑙𝑛 𝑥 − 2. 𝑙𝑛 𝑥 − 1 + 𝐶 , pois 
Cálculo 2 – Profª Drª. Claudia Frizzarini (claudia.frizzarini@fmu.br) 
	 𝑥! − 𝑥! − 𝑥 − 1𝑥³− 𝑥² 𝑑𝑥 = 𝑥! − 𝑥! . 𝑥𝑥³− 𝑥² 𝑑𝑥 + −(𝑥 + 1)𝑥³− 𝑥² 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑥 + 1𝑥³− 𝑥²𝑑𝑥 𝑥³− 𝑥! = 𝑥²(𝑥 − 1) , ou seja, a raíz 𝑥 = 0 aparece duas vezes. !!!!³!!² = !!² + !! + !!!! , 𝐴 = −1 , 𝐵 = −2 e 𝐶 = 2. 
7) !!!²!!!!!𝑑𝑥!! ≅ 0,81 , pois 2𝑥²+ 3𝑥 + 1 = 2. 𝑥 + !! . 𝑥 + 1 , !!!²!!!!! = !!. !!!! + !!!! , 𝐴 = 4 e 𝐵 = −2 
8) !!²!!!!!"!(!!!)(!!!)!! 𝑑𝑦 ≅ 1,76 , pois 𝑦(𝑦 + 2)(𝑦 − 3) significa que as raízes são 0, −2 e 3. !!²!!!!!"!(!!!)(!!!) = !! + !!!! + !!!! , 𝐴 = 2 , 𝐵 = !! e 𝐶 = !!.