Aplicações de Bernoulli

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Física II 
 
 
 
 
APLICAÇÕES DE BERNOULLI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Teorema de Bernoulli ............................................................................................................... 2 
1.1. Exemplos de aplicações ..................................................................................................... 3 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 5 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 6 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
Quando estamos em movimento em um carro ou outro veículo terrestre, 
podemos saber exatamente, momento a momento, a velocidade em que estamos, 
basta olharmos a velocidade instantânea mostrada no velocímetro. Em um carro 
essa velocidade é medida momento a momento considerando a quantidade de 
voltas que os pneus do veículo estão dando. Podemos também facilmente calcular 
uma velocidade média de deslocamento marcando o tempo levado entre dois 
pontos quaisquer entre os quais conheçamos a distância. Mas como a medida de 
velocidade é feita em um avião? Você já parou para pensar nisso? 
Em um avião não há como termos um referencial externo, como uma estrada, 
para fazermos a medição, entretanto, ele está sofrendo ação de um agente externo: 
o ar! A velocidade do avião é obtida por meio da captação da velocidade do ar, feita 
através de um instrumento de medida que funciona por meio do princípio de 
Bernoulli, que começaremos a estudar nessa apostila. 
Objetivos 
• Apresentar o teorema de Bernoulli. 
• Demonstrar algumas aplicações práticas do princípio. 
 
1. Teorema de Bernoulli 
Como vimos anteriormente, um fluido escoando por um conduto de área de 
seção transversal variável sofre mudanças na velocidade inversas às mudanças na 
área transversal. Nessa situação a vazão volumétrica permanece constante, 
respeitando, então, o princípio de conservação de massa, no qual a massa do fluido 
que entra em um conduto é igual à massa que sai do conduto. 
Bom, mas se a velocidade muda, alguma coisa deve ter causado isso, certo? 
Podemos chegar à conclusão, por meio das leis de Newton, que essas mudanças 
ocorrem devido a variações de pressão ao longo do contudo. A força resultante 
nesse contexto é a composição da força gravitacional com a força associada à 
diferença de pressão. 
Assim como a equação da continuidade expressa a conservação de uma 
quantidade física, a massa, o teorema de Bernoulli está ligado à conservação de 
outra grandeza física: a energia. O teorema de Bernoulli foi apresentado pela 
primeira vez na obra “Hidrodinâmica” de Daniel Bernoulli (1700-1782) em 1738. 
 
 
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IMPORTANTE! 
 
 
 
 
Podemos dividir a energia do fluido em três componentes principais: energia 
cinética, ligada ao movimento do fluido; energia potencial gravitacional, ligada à 
variação de altura em que o conduto apresenta para o fluido; e energia de fluxo, 
ligada à variação de pressão no fluido. 
O teorema de Bernoulli pode ser representado por meio de uma equação, que 
demonstraremos em apostilas seguintes, por ora vamos trabalhar apenas com o 
conceito geral e na sequência veremos algumas aplicações práticas. 
 
1.1. Exemplos de aplicações 
Existem muitas aplicações do teorema de Bernoulli e exemplos de fenômenos 
que têm como explicação esse teorema. Vamos ver alguns! 
Vamos começar pela caixa d’água, um exemplo bastante cotidiano. As caixas 
d’água são usadas tanto em residências quanto em empresas/fábricas para 
armazenar e abastecer água quando necessário. No sistema de caixa d’água existem 
dutos em diferentes alturas e com diferentes espessuras - dessa maneira, 
considerando que seja um sistema conservativo, o teorema de Bernoulli deve ser 
levado em conta na escolha dos tipos de canos, das alturas para entrada e saída de 
água, etc. 
Em um cano ou tubo que tenha um calibre variável, ou seja, que tenha 
diâmetros diferentes em pontos distintos, nós vimos que pela equação da 
continuidade, nas áreas de seção transversal menor a velocidade é maior, e vice-
versa. Pelo teorema de Bernoulli, considerando um desses canos na horizontal, ou 
seja, que não apresente variação de altura, temos que pontos de maior velocidade 
do fluido terão, na verdade, pressão mais baixa; enquanto pontos de menor 
velocidade terão pressão mais alta. Isso significa que, nas áreas do cano de menor 
calibre, a pressão é mais baixa do que nas áreas do cano de maior calibre. 
Essa relação entre velocidade, área e pressão acaba contrariando o senso 
comum, no qual as pessoas têm a tendência de dizer que quanto menor a área do 
O teorema de Bernoulli pode ser expresso da seguinte 
maneira: 
Para um fluido ideal, escoando em um conduto 
fechado, a energia do fluido permanece constante ao 
longo de todo o seu percurso. 
 
 
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cano maior será a pressão, embora pelo teorema de Bernoulli isso não seja verdade. 
É justamente o contrário, quanto menor a área de seção transversal do cano, menor 
a pressão nesse ponto. 
Apesar de parecer contra intuitivo, essa conclusão faz todo o sentido físico, 
pois parece razoável dizermos que o fluido aumentará de velocidade se a pressão 
atrás dele for maior que a pressão à sua frente, certo? Da mesma maneira, podemos 
dizer que a velocidade do fluido diminuirá se a pressão à frente dele for maior do que 
a pressão atrás. No primeiro caso, podemos ver que o fluido será acelerado e, no 
segundo caso, ele será desacelerado. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
Outra aplicação bastante prática é o tubo de Pitot. Na introdução dessa 
apostila falamos um pouco sobre a medida da velocidade em aviões, você sabia que 
o instrumento que mencionamos é o tubo de Pitot? A imagem a seguir mostra a 
localização de tubos de Pitot em um avião do modelo Boeing 777. 
01 
Tubos de Pitot em um avião Boeing 777. 
 
Bem, o tubo de Pitot (ou tubo pitot) temo objetivo de medir a velocidade de 
fluidos. Além de ser um aparelho usado nos aviões, também é utilizado para medir 
de maneira indireta a vazão em rios, oleodutos, redes de abastecimento de água, 
etc. Seu funcionamento tem como base o princípio de Bernoulli, o aparelho 
Pela equação da continuidade e pelo teorema de 
Bernoulli, quando fechamos a saída de uma mangueira 
de jardim para que a água vá mais longe, estamos 
diminuindo a pressão nesse ponto e aumentando a 
velocidade de saída da água. 
 
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relaciona os diferentes tipos de pressão sendo aplicados na equação de Bernoulli e é 
capaz de dar uma medida precisa da velocidade, veja o esquema de funcionamento 
a seguir. 
02 
Esquema de funcionamento do tubo Pitot 
 
Apenas a pressão total (Pt) não é suficiente para medir a velocidade por meio 
do tubo de Pitot, por isso, conforme o esquema, o aparelho relaciona também a 
pressão estática (Pe). Dessa maneira, o aparelho mede a diferença entre a pressão 
estática e a pressão dinâmica,dando ao indicador a velocidade, geralmente, em nós. 
Exercícios 
1. (Autor, 2019) O estudo dos fluidos em movimento envolve bastantes 
conceitos e princípios matemáticos, sobre isso, podemos afirmar: 
a. O teorema de Bernoulli refere-se à conservação de energia de um 
fluido. 
b. O teorema de Bernoulli refere-se à dissipação de energia de um fluido. 
c. As leis de Newton não são aplicáveis no estudo dos fluidos em 
movimento. 
d. As leis de conservação não são aplicáveis no estudo dos fluidos em 
movimento. 
e. Todas as alternativas são corretas. 
 
2. (Autor, 2019) O teorema de Bernoulli foi exposto pela primeira vez por Daniel 
Bernoulli em sua obra Hidrodinâmica, e tem esse nome justamente em 
 
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homenagem a quem o enunciou. Sobre esse teorema e suas aplicações sabe-
se que: 
a. Relaciona dois tipos de energia: cinética e potencial elástico. 
b. Relaciona dois tipos de energia: cinética e potencial gravitacional. 
c. Relaciona três tipos de energia: cinética, potencial gravitacional e de 
fluxo. 
d. Relaciona três tipos de energia: cinética, potencial elástica e de fluxo. 
e. Nenhuma das alternativas são verdadeiras. 
 
3. (Autor, 2019) O tubo de Pitot é um sensor de pressão que possibilita o 
funcionamento de um instrumento bastante importante nos aviões, ele visa 
medir uma grandeza física. O instrumento e a grandeza física são, 
respectivamente. 
a. Barômetro, pressão. 
b. Velocímetro, velocidade. 
c. Odômetro, pressão. 
d. Ohmímetro, aceleração. 
e. Dinanometro. 
Gabarito 
1. A 
a. Correto. 
b. Incorreto. Refere-se à conservação de energia, não à dissipação. 
c. Incorreto. São aplicáveis sim, mas não da mesma forma que nos 
sólidos. 
d. Incorreto. O próprio teorema de Bernoulli refere-se a uma conservação. 
 
2. C 
a. Incorreto. Relaciona energias cinética, potencial gravitacional e de 
fluxo. 
b. Incorreto. Relaciona energias cinética, potencial gravitacional e de 
fluxo. 
c. Correto. 
d. Incorreto. Relaciona energias cinética, potencial gravitacional e de 
fluxo. Ohmímetro é usado para medir resistência. 
 
3. B 
 
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a. Incorreto. Barômetro mede pressão. 
b. Correto. Velocímetro ou odômetro são usados para medir velocidade, é 
isso que o tubo de Pitot permite fazer nas aeronaves. 
c. Incorreto. Odômetro mede velocidade, não pressão. 
d. Incorreto. 
Resumo 
Tivemos a introdução do teorema de Bernoulli, que relaciona os diferentes 
tipos de energia em um fluido em escoamento e sua conservação, relacionando 
energia cinética de movimento do fluido, energia potencial gravitacional referente à 
variação de altura e energia de fluxo referente à variação de pressão no fluido. 
Por esse teorema, vimos que nas partes de maior velocidade no conduto 
temos menor pressão e vice-versa. 
Vimos também que na caixa d’água o princípio de Bernoulli é necessário para 
se calcular de maneira correta a instalação das tubulações em alturas corretas e 
também verificar o calibre de cada cano. Para diferentes calibres dos canos, a 
velocidade e a pressão variam. Também conhecemos o tubo de Pitot, que funciona 
com base no teorema de Bernoulli e pode ser usado para medir a velocidade de um 
fluido, sendo bastante utilizado em aeronaves. 
 
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Referências bibliográficas 
FEYMMAN, Richard. P; LEIGHTON, Robert B.; SANDS, Matthew. Lições de Física. Porto Alegre: Bookman, 2008. 3 v. 
Tradução de Adriana Válio Roque da Silva. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos. 2000. 
UFRGS. Equação de Bernoulli. 2018. Disponível em: < http://www.if.ufrgs.br/cref/werlang/aula3.htm#equacao>. 
Acesso em: 29 abr. 2019 
Referências imagéticas 
FIGURA 1. Disponível em: <https://commons.wikimedia.org/wiki/File:B777-381_JA8752_nose_Pitot_tube_ja.jpg>. 
Acesso em: 28 abr 2019 às 10h30. 
FIGURA 2. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Diagrama_do_Tubo_de_Pitot.PNG>. Acesso em: 
03 jun 2019 às 11h.