_FENÔMENOS DE TRANSPORTE - Equação de Bernoulli e suas aplicações

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO 
CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS E ENGENHARIAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA RURAL 
PROGRAMA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE ALIMENTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Bernoulli e suas aplicações na 
mecânica dos fluidos 
 
 
 
 
 
 
IAGO BOSE VETTORAZZI 
INGRID CARVALHO 
MARIANA MANZO 
PEDRO HENRIQUE ALVES MARTINS 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alegre-ES 
2020 
2 
 
IAGO BOSE VETTORAZZI 
INGRID CARVALHO 
MARIANA MANZO 
PEDRO HENRIQUE ALVES MARTINS 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI E SUAS APLICAÇÕES NA MECÂNICA DOS 
FLUIDOS 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado ao Programa de 
Graduação em Engenharia de Alimentos, 
Centro de Ciências Agrárias e Engenharias, 
Universidade Federal do Espírito Santo, 
Alegre, ES. 
 
Prof​a​ Dra. Fernanda Machado Baptestini 
Departamento de Engenharia Rural, UFES – 
Campus ​Alegre/ES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
1. Introdução 4 
2. Metodologia 4 
3. Desenvolvimento 4 
4. Equação de Bernoulli 5 
5. Aplicações 
 5.1 ​Sustentação da asa 7 
 5.2 ​Lei de Torricelli 9 
 5.3 ​Tubo de Venturi 10 
 5.4 ​Pressão de estagnação 11 
 5.5 ​A bomba spray 12 
6. Considerações Finais 13 
7. Referências ​ 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://docs.google.com/document/d/1CkklBhwQtlermuyCv5miANas9xEdVKc9DzUER96AFZU/edit#heading=h.f1jks66phqok
https://docs.google.com/document/d/1CkklBhwQtlermuyCv5miANas9xEdVKc9DzUER96AFZU/edit#heading=h.z09rp8j8edab
https://docs.google.com/document/d/1CkklBhwQtlermuyCv5miANas9xEdVKc9DzUER96AFZU/edit#heading=h.j0neme3sfr6r
https://docs.google.com/document/d/1CkklBhwQtlermuyCv5miANas9xEdVKc9DzUER96AFZU/edit#heading=h.322dj1piqfsd
https://docs.google.com/document/d/1CkklBhwQtlermuyCv5miANas9xEdVKc9DzUER96AFZU/edit#heading=h.78uu244wv48w
https://docs.google.com/document/d/1CkklBhwQtlermuyCv5miANas9xEdVKc9DzUER96AFZU/edit#heading=h.bcja7zlc64jt
https://docs.google.com/document/d/1CkklBhwQtlermuyCv5miANas9xEdVKc9DzUER96AFZU/edit#heading=h.4k694cpoy6h6
https://docs.google.com/document/d/1CkklBhwQtlermuyCv5miANas9xEdVKc9DzUER96AFZU/edit#heading=h.qs6gbat1sq71
https://docs.google.com/document/d/1CkklBhwQtlermuyCv5miANas9xEdVKc9DzUER96AFZU/edit#heading=h.gl3526qdvunj
https://docs.google.com/document/d/1CkklBhwQtlermuyCv5miANas9xEdVKc9DzUER96AFZU/edit#heading=h.cu0u1vl89p
4 
 
 
 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
A equação de Bernoulli recebeu este nome em homenagem ao matemático 
suíço Daniel Bernoulli que publicou sobre o tema em 1738, com o objetivo de 
descrever o comportamento dos fluidos em movimento no interior de um tubo. A 
equação de Bernoulli foi deduzida a partir das considerações de quantidade de 
movimento descritas na segunda lei de Newton é obtida por integração da equação 
de Euler, que possui larga aplicação em Mecânica dos Fluídos e Hidráulica. É 
preciso tomar cuidado ao aplicar a equação de Bernoulli, uma vez que ela é uma 
aproximação que se aplica apenas às regiões não viscosas do escoamento. A 
equação de Bernoulli é provavelmente a equação mais famosa e utilizada nos 
estudos da mecânica dos fluidos, sendo utilizada em várias aplicações como, por 
exemplo, para explicar a sustentação de uma asa. 
Diante do exposto, objetivou-se com esta revisão aborda as aplicações da 
equação de Bernoulli. 
 
2 METODOLOGIA 
Trata- se de um estudo de abordagem do tipo revisão bibliográfica. A busca 
bibliográfica foi realizada entre setembro e novembro de 2020, incluindo artigos, 
teses, monografias, livros e diversos trabalhos publicados que abordam o tema de 
equação de Bernoulli e suas aplicações. Para a elaboração deste trabalho foram 
coletadas informações dos documentos selecionados e como finalidade revisar de 
forma sistêmica as referências disponíveis, sendo apresentados na sequência. 
 
3 DESENVOLVIMENTO 
A equação de Bernoulli é uma relação aproximada entre pressão, velocidade e 
elevação, ​pode ser considerada uma afirmação do princípio de conservação de 
energia​ ​apropriado para fluidos ​e é válida em regiões de escoamento incompressível 
e em regime permanente, cujas forças de atrito resultantes são desprezíveis. Apesar 
de sua simplicidade, essa provou ser uma ferramenta muito útil e importante na 
mecânica dos fluidos. 
 
 
 
5 
 
4 EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
A equação de Bernoulli é um caso particular da equação de Euler, ou seja, é 
obtida pela integração da equação ao longo de uma linha de corrente para o caso de 
um escoamento permanente. Possui larga aplicação em Mecânica dos Fluídos e 
Hidráulica. Para se chegar à dedução desta equação, deve-se considerar um 
volume de controle sob a hipótese de propriedades uniformes nas seções de 
entrada e saída. 
Estabeleceram-se então algumas considerações: 
● Regime permanente (invariância no tempo): ; ρ dV∂∂t ∫
 
 
e = 0 
● Escoamento incompressível (densidade constante): ​;ρ1 = ρ2 = ρ 
● Escoamento invíscido (viscosidade nula): ;W visc = 0 
● Ausência de interações de calor e de trabalho: e Qc = W visc = 0 
eint,1 = eint,2 = eint 
 
Fazendo-se todas as considerações acima, pode-se escrever a equação: 
 0 = e z( int1 + g 1 + 2v
2
1 + ρ1
ρ1 ) (ρ v A )1 1 1 + e z( int2 + g 2 + 2v
2
2 + ρ2
ρ2 ) (ρ v A )2 2 2 
 
A lei da conservação de massa implica em: = .v Aρ1 1 1 v Aρ2 2 2 
Cancelando-se os termos envolvendo a vazão mássica e a energia interna, 
tem-se: 
gz1 + 2
v21 + ρ1
p1 = gz2 + 2
v22 + ρ2
p2 ⇔
v21
2g +
p1
ρg = z2 +
v22
2g +
p2
ρg 
As relações apresentadas na equação são conhecidas como equação de 
Bernoulli. E pode-se expressá-la considerando que ao longo do escoamento a soma 
das parcelas é igual a um valor constante. 
 
onstantez + 2g
V 2 + pρg = c 
Em que: 
 
● V​- velocidade 
● P​- pressão, 
● ρ-​ massa específica do fluido 
● g-​ gravidade local 
● z-​ altura. 
 
 
Cada parcela dessa equação pode ser associada a uma forma de energia: 
 
6 
 
● P: pressão estática, que representa a pressão termodinâmica real do 
fluido; 
● : pressão dinâmica, que representa o aumento de pressão quando o ρ 2
v2 
fluido em movimento é parado de forma isoentrópica; 
● ρgz: pressão hidrostática, que não é pressão no sentido real. 
 
Portanto, a equação de Bernoulli descreve a relação entre pressão, 
velocidade e altura ao longo de uma linha decorrente de um fluido 
incompressível, sem viscosidade e sem turbulência. ​Tal princípio pode ser 
enunciado da seguinte forma: “Se a velocidade de uma partícula de um fluido estiver 
aumentando enquanto a mesma escoa ao longo de uma linha de corrente, a pressão 
desse fluido deve diminuir e se sua pressão aumenta, sua velocidade deverá 
diminuir”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
5 APLICAÇÕES 
5.1 Sustentação da asa
 
Existem várias maneiras de explicar como um aerofólio gera 
sustentação​,​ algumas teorias são mais complicadas ou matematicamente rigorosas 
do que outras. Algumas teorias demonstraram estar incorretas. Existem teorias 
baseadas no princípio de Bernoulli e há teorias baseadas diretamente na terceira lei 
de Newton. 
A explicação convencional da sustentação da asa, baseada na lei de 
Bernoulli, diz que a pressão menor acima da asa é a consequência de uma maior 
velocidade do ar acima dela. Este raciocínio tem defeitos fundamentais, pois não dá 
uma causa para a maior velocidade do ar acima da asa. Nesse raciocínio diz que oprincípio de Bernoulli​ ​exige que o aerofólio tenha uma forma assimétrica. Sua área 
de superfície deve ser maior na parte superior do que na parte inferior. À medida 
que o ar flui sobre o aerofólio, ele é deslocado mais pela superfície superior do que 
por baixo. De acordo com o ​princípio​ da ​continuidade​, esse deslocamento deve levar 
a um aumento na velocidade do fluxo (resultando em uma diminuição na pressão). A 
velocidade do fluxo é aumentada um pouco pela superfície inferior do aerofólio, mas 
consideravelmente menor do que o fluxo na superfície superior (Fig 1). A força de 
sustentação de um aerofólio, caracterizada pelo coeficiente de sustentação, pode 
ser alterada durante o vôo por alterações na forma de um aerofólio. O coeficiente de 
elevação pode, portanto, ser duplicado com dispositivos relativamente simples (flaps 
e slats) se usado em toda a extensão da asa. O uso do princípio​ ​de​ ​Bernoulli é 
incompleto. Falta explicar como a asa causa estas diferenças nas velocidades. Esta 
falta é fundamental. 
 
 Figura 1. Escoamento do ar em torno da asa. 
Desse modo fazendo uma abordagem crítica, onde diz que a velocidade 
do ar é maior na parte superior da asa do que na inferior (o ar tem uma distância 
maior a percorrer por cima). Pela equação de Bernoulli a velocidade maior do 
escoamento reduz a pressão na parte superior, e o empuxo 
dinâmico E resultante sustenta o avião. 
 
https://www.thermal-engineering.org/pt-br/o-que-e-equacao-de-continuidade-definicao/
https://www.thermal-engineering.org/pt-br/o-que-e-equacao-de-continuidade-definicao/
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Este raciocínio se baseia na hipótese de que as partículas do ar que 
estavam juntas à frente da asa se juntem novamente atrás dela. Smith (1972) 
destacou que esta hipótese não tem nenhuma justificativa na teoria e é errada. 
A ​Figura 2​ mostra que as partículas do ar que estavam juntas à frente da asa 
nunca mais se juntarão atrás dela. 
 
 Figura 2. Linhas de escoamento em torno da asa. 
 
A diferença das distâncias percorridas não pode estar relacionada com as 
diferenças geométricas existentes acima e abaixo da asa. O raciocínio é 
totalmente equivocado e deve ser evitado, pois as partículas do ar não podem 
saber, a priori, que a distância a ser percorrida acima da asa é maior do que 
abaixo dela e por isso devem ter maior velocidade acima do que abaixo para não 
se separem no final dos dois percursos. 
Portanto, partindo do fato já explicado de que a pressão na superior é 
menor, podemos agora entender porque na superfície superior da asa a 
velocidade é maior. Ao entrar em uma região de menor pressão o ar é acelerado 
paralelamente ao deslocamento, ganhando maior velocidade. Vale a lei de 
Bernoulli. Mas desta vez é claro que a pressão menor é a causa da velocidade 
maior. Então a lei de Bernoulli é válida, mas a interpretação correta é diferente 
da usada nos livros-textos. As diferenças de pressão são causadas pelo desvio 
do escoamento. Só em função dessas pressões as velocidades se modificam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
5.2 Lei de Torricelli 
 
Uma superfície livre de um líquido em um reservatório e a superfície de um 
orifício circular na lateral (Figura 3) estão expostos à mesma pressão atmosférica, 
pressão manométrica nula, na superfície livre do reservatório a velocidade V​1 ​é nula 
pois o nível do reservatório baixa muito lentamente, a velocidade do jato V​2 ​é finita. 
 Figura 3. Experimento de Torricelli 
Pela figura sabemos que o tipo do escoamento é irrotacional, podemos 
aplicar a equação de Bernoulli, entre dois pontos de quaisquer seções. 
 
 v22g +
P
pg + h = H 
portanto; 
 h1 =
v22
2g + h2 
como h​1 – h​2 = h é a altura em que o líquido desde entre a superfície livre e o orifício 
obtemos: 
 v 2 = √2gh 
que descreve a equação do teorema de Torricelli. 
Tal equação possui uma boa precisão quando aplicada em instantes de um 
escoamento transiente, onde a variação do nível da superfície livre do reservatório é 
lenta. 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
5.3 Tubo de Venturi 
 
O tubo de Venturi (Figura 4) é um tubo horizontal, é um aparato que pode ser 
usado para obter a velocidade do escoamento e a vazão de um líquido 
incompressível através da variação da pressão. O líquido atravessa uma região com 
maior seção transversal e em seguida pela seção de menor seção transversal. 
 ​Figura 4. Tubo de Venturi 
Como observado na Figura 2, através dos tubos verticais laterais podemos 
observar a variação de pressão nas seções. A pressão na seção mais larga é maior 
do que na seção mais estreita, o oposto da velocidade. 
Através da equação de continuidade, tem-se: 
 · v A · v A1 1 = 2 2 
como , temos que . AA1 > 2 vv1 < 2 
Pela equação de Bernoulli, aplicada em dois pontos diferentes a mesma 
altura, temos: 
 ρv ρv2
1 2
1 + p1 = 2
1 2
2 + p2 
Podemos concluir que: ., pois v p1 > p2 1 < v2 
Resumindo a equação, em condutores onde há seções variáveis, na seção 
mais estreita a pressão é menor e a velocidade de escoamento é maior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
5.4 Pressão de estagnação 
 
Quando aplicamos a equação de Bernoulli entre pontos 1 e 2 em uma linha 
de corrente central de um jato contra parede plana (Figura 5), obtemos: 
 P ∆ = P 2 − P 1 = 2
ρv21 
O aumento da pressão é decorrente a uma transformação taquicarga P 2 − P 1 
volumétrica. No ponto 2, considerado ponto de estagnação, a velocidade é nula. O 
termo é nomeado de pressão dinâmica; é chamado de pressão estática v /2ρ 21 P 1 
pois seria uma pressão indicada por um manômetro que fosse levado com o 
escoamento; resulta na soma da pressão estática com a pressão dinâmica, P 2 
nomeada pressão de estagnação. 
 ​Figura 5. Jato de água contra a parede 
A força hidrostática de flutuação que proporciona o equilíbrio para o peso dos 
volumes de controle nos pontos 1 e 2, portanto a equação (3) pode ser analisada na 
seguinte forma; 
 P P∆ = ∆ * = 2
ρv21 
com isso observamos que a soma de pressão estática para na equação 3 é P 1 
imprópria, pois inclui a pressão devida ao escoamento.P 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
5.5 A bomba de spray 
 
Em um vaporizador de perfume (Figura 6), faz com que o ar seja empurrado 
paralelamente ao extremo de um tubo que está imerso em um líquido. A pressão 
nesse ponto diminui, e a diferença de pressão com o outro extremo do tubo empurra 
o fluido para cima e pulverizar-se. O ar rápido também divide o fluido em pequenas 
gotas, que são empurradas para frente. 
 ​ ​Figura 6.Vaporizador. 
Nas chaminés o princípio de Bernoulli desempenha igualmente o papel. ​O 
movimento de ar do lado de fora de uma casa, que é inferior que a pressão no 
interior da casa, ajuda a criar uma diferença de pressão que expulsa o ar quente da 
lareira para cima, através da chaminé. Além disso, acresce o fato do ar quente sermenos denso que o ar frio, fato que também contribui para a saída da fumaça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
A equação de Bernoulli demonstra os conceitos empregados nas aplicações 
dessa equação no dia a dia, como no exemplo mais famoso da aplicação dessa 
equação, o sustentamento da asa de um avião, que tem como explicação ​a maior 
velocidade do ar acima da asa não é a causa, mas sim a consequência de uma 
pressão menor nesta região. Apesar de ser uma equação bastante útil e utilizada em 
problemas físicos, a equação de Bernoulli apresenta uma série de restrições em sua 
aplicação, sendo assim, não pode ser utilizada em escoamentos em regime 
permanente, incompressível, sem atritos e ao longo de uma linha de corrente. 
A equação de Bernoulli é uma obtida a partir da integração da equação de 
Euler ao longo de uma linha de corrente em um escoamento permanente, 
relacionando a pressão, a velocidade e a elevação entre pontos ao longo de uma 
linha de corrente e, obviamente, seguindo as suas restrições de aplicações 
delimitadas por um volume de controle e, para escoamento irrotacional, em regime 
permanente e incompressível, a equação de Bernoulli pode ser aplicada entre dois 
pontos quaisquer do escoamento. A equação de Bernoulli é a principal equação dos 
estudos da mecânica dos fluidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7 REFERÊNCIAS 
 
FOX, Robert W. et al. ​Introdução à Mecânica dos Fluidos​. 8 ed.: LTC/Gen, 2016. p.312-331. 
LANGE, Cátia Rosana; DOLZAN, Neseli. ​Fenômenos de transporte​. Uniasselvi, 2009. 
WELTNER, Klaus et al. A dinâmica dos fluidos complementada e a sustentação da asa. ​Rev. 
Bras. Ensino Fís. ​, São Paulo, v. 23, n. 4, pág. 429-443, dezembro de 2001. Disponível em 
<http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-11172001000400009&lng=en&nrm=iso
>. acesso em 12 de novembro de 2020. 
GOMES, Ronaldo Araújo. ​As aplicações da equação de Bernoulli na dinâmica dos fluidos. 
Monografia (Licenciatura em física)- Universidade Federal de Uberlândia. Uberlândia, p.33. 2005. 
PENTEADO, Paulo Cesar M. ​Física Conceitos e Aplicações: Noções de Hidrodinâmica para o 
Ensino médio, 2003. 
NUSSENZVEIG, H. MOYSES, ​Curso de Física básica: Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor​, v. 2, 
São Paulo, Ed. Edgard Blucher, 2002. 
Peduzzi, Luiz O. Q, Atividades experimentais no ensino de física​. Edição especial, Caderno 
Brasileiro de Ensino de Física, 2002. 
A. Máximo, B. Alvarenga e C. Guimarães, ​Física: Contexto e Aplicações​, (Scipione, Rio de Janeiro, 
2016), 2ªed. 
CID, A. S.; CORREA, T. Venturino: análise da variação de pressão em um tubo de Venturi utilizando 
Arduino e sensor de pressão. ​Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 41, nº 3, e20180333​, p. 
1-7, 7 jan. 2019.