Juros compostos

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Responsável pelo Conteúdo: 
Profa Ms Rosângela Maura Correa Bonici 
 
Revisão Textual: 
Profa Vera Lidia de Sa Cicaroni 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caro aluno, 
Nesta unidade de ensino, estudaremos o sistema de capitalização de juro composto. 
Aprenderemos o conceito e como efetuar seu cálculo, usando o método convencional 
(algébrico) e a calculadora HP-12C. No material complementar, você encontrará a indicação 
de um site com um emulador de HP-12C, que é uma calculadora virtual, e de outro com o 
guia o usuário HP-12C, caso precise. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta unidade você conhecerá o conceito de juro composto e também 
aprenderá a calculá-lo. O conteúdo teórico, além de apresentar 
exercícios resolvidos algebricamente, mostra como resolvê-los usando a 
calculadora HP-12C. Para que sua aprendizagem seja completa, leia 
sempre o conteúdo teórico, assista ao vídeo da aula e ouça o Power-
Point narrado. Esses materiais são complementares e visam proporcionar 
a melhor aprendizagem possível. Se mesmo assim tiver dúvidas, entre 
em contato com seu tutor; ele poderá auxiliá-lo. 
 
 Fórmula para Cálculo do 
Período de Aplicação 
 Cálculo do Juro Composto 
 Considerações sobre a Taxa de Juros 
 Juro Composto 
 Fórmula para Cálculo da Taxa ( i ) 
 
6 
 
 
 
 
 
 
Entendendo a matemática dos juros compostos 
 
Alberto comenta: "Navarro, decidi investigar melhor as alternativas de investimento 
disponíveis no mercado e percebi que muitos dos produtos oferecem rentabilidades 
semelhantes, com diferenças que nem sempre passam de 0,5%. Como não sei o impacto 
desse diferencial no futuro, peço sua ajuda. Afinal de contas, vale a pena brigar por 0,5%? 
Pode demonstrar, sem complicar, o tal juro composto? Obrigado." 
 
Lembro-me de uma das primeiras aulas de Engenharia Econômica Avançada, quando 
o ilustre Prof. José Arnaldo lançou a seguinte pergunta aos alunos da pós-graduação: 
"Pessoal, 0,5% é muito? É pouco? Por quê"? 
A cada instante a palavra mudava de mãos. Cada aluno tinha tempo para comentar 
sua resposta, sem pressão ou impressão de certo ou errado. Os que respondiam "Depende!" 
ouviam, imediatamente, a réplica incisiva do professor: "Depende de quê"? 
"É muito!", respondi com convicção. Lembrei-me de quatro anos seguidos de 
investimentos conservadores, realizados durante meus primeiros anos de trabalho, e do 
aprendizado adquirido depois de confrontá-los com as opções feitas por alguns de meus 
familiares. Fiquei para trás, escolhi mal os produtos bancários disponíveis e senti, na pele, o 
tamanho real do meio ponto percentual comentado em sala de aula. 
"É muito, Conrado? Por quê?", retrucou imediatamente o mestre. "O efeito dos juros 
compostos transforma esse 0,5% em uma enorme diferença no futuro, para o bem ou para 
mal. Investi mal durante alguns anos e percebi a falta desse meio ponto percentual", respondi. 
O saudável bate-papo entre alunos e professor prosseguiu e o tema foi, finalmente, explorado 
em sua forma técnica. 
0,5% é muito! Vamos entender? 
Os juros sobre juros representam a mágica da multiplicação do dinheiro. Einstein, do 
alto de sua enorme sabedoria, afirmou que esta é a força mais poderosa do universo. 
Vejamos, de forma simplificada, o que os juros compostos fazem, se soubermos usar seu 
poder: 
1. Depositamos um valor em uma aplicação; 
2. Após um mês, teremos o dinheiro aplicado mais o valor dos juros; 
3. No mês seguinte, os juros incidirão sobre o montante acumulado e assim 
sucessivamente. 
http://www.iepg.unifei.edu.br/arnaldo/
http://boo-box.com/link/aff:submarinoid/uid:247523/tags:investir+dinheiro
http://investclube.blogspot.com/2007/03/o-poder-dos-juros-compostos.html
http://boo-box.com/link/aff:submarinoid/uid:247523/tags:educação+financeira
 
7 
 
Simples, não? É como se tirássemos o dinheiro (já com os juros) todo mês e o 
reaplicássemos. Mas como notar, matematicamente falando, o efeito do 0,5% tão falado neste 
texto? A matemática dos juros compostos é simples, veja: 
Em que: 
FV = Valor que teremos no futuro (aquilo que queremos descobrir) 
PV = Valor que podemos investir no presente 
i = Rentabilidade da aplicação ou investimento 
n = Quantidade de períodos (tempo) em que manteremos o dinheiro investido 
Um exemplo numérico bem real? 
Suponha que você dispõe de 10 mil reais para investir e são duas as alternativas 
presentes no momento. O Produto A oferece rentabilidade líquida mensal de 0,5%, enquanto 
o Produto B oferece rentabilidade líquida de 1%. 
Perceba que referencio a rentabilidade como líquida, porque devemos, sempre, 
descontar a inflação do valor mensal apresentado pelos bancos e instituições financeiras. 
Decidimos que este dinheiro ficará aplicado por trinta anos, já que planejamos usá-lo apenas 
para a aposentadoria. A equação já pode ser resolvida: 
FV = Vamos descobrir 
PV = 10.000 
i = 0,005 (A) e 0,01 (B) 
n = 360 meses (30 anos) 
Com o produto A, teremos, ao final dos 30 anos, R$ 60.225,75. O produto B, 
"apenas" 0,5% mais rentável, trará um saldo final de R$ 359.496,41, cerca de seis vezes 
maior que o do produto A. Vale notar que essa formulação é válida para uma única aplicação 
investida por n períodos. Quando consideramos aplicações periódicas, como a aplicação de 
um montante todos meses, a conta é diferente. 
E aí? 0,5% é pouco? 
Conrado Navarro: Educador financeiro - MBA em Finanças pela UNIFEI. 
Disponível em <http://dinheirama.com/blog/2008/05/12/entendendo-a-matematica-
dos-juros-compostos/>. Acesso em 07 jun. 2011. 
FV = PV. (1 + i ) n 
 
http://dinheirama.com/blog/2008/01/03/o-investidor-inteligente-ainda-pensa-na-inflacao/
http://www.unifei.edu.br/
http://dinheirama.com/blog/2008/05/12/entendendo-a-matematica-dos-juros-compostos/
http://dinheirama.com/blog/2008/05/12/entendendo-a-matematica-dos-juros-compostos/
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
O regime de capitalização composto é o mais utilizado. Nele, o juro, a partir do 
segundo período, é calculado sobre o montante do período anterior. É o popularmente 
conhecido “juro sobre juro”. 
Vejamos um exemplo: Um capital de R$ 100,00, aplicado a 2% ao mês, tem a 
seguinte evolução no regime de juro composto. 
 
JURO COMPOSTO 
Mês Juro (2%) Montante 
0 - 100,00 
1 100 x 0,02 = 2,00 102,00 
2 102 x 0,02 = 2,04 104,04 
3 104,04 x 0,02 = 2,08 106,12 
 
 
Observe as diferenças que existem entre o juro simples e o composto. Veja a tabela 
comparativa. 
 
 JURO COMPOSTO JURO SIMPLES 
Mês Juro (2%) Montante Juro (2%) Montante 
0 - 100,00 - 100,00 
1 100 x 0,02 = 2,00 102,00 100 x 0,02 = 2,00 102,00 
2 102 x 0,02 = 2,04 104,04 100 x 0,02 = 2,00 104,00 
3 104,04 x 0,02 = 2,08 106,12 100 x 0,02 = 2,00 106,00 
 
O montante, no regime de juro composto, é maior do que o montante no regime de 
juro simples. 
 
 
 
 
9 
Considerações sobre a Taxa de Juros 
 
Taxas equivalentes são aquelas que, quando aplicadas a um mesmo 
capital, pelo mesmo período de tempo, produzem o mesmo 
rendimento. 
No caso do juro simples, a equivalência é simples, como já vimos 
anteriormente. Por exemplo: 1% ao mês = 2% ao bimestre = 6% ao 
semestre = 12 % ao ano. Se aplicarmos qualquer uma delas a um 
mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, irá produzir o 
mesmo montante que as demais. Vamos ver um exemplo: 
 
Exemplo 1: Vamos aplicar R$ 1.000,00, durante 6 meses, no regime de juro simples, usando 
as taxas acima e observar o que acontece com o montante: 
 
 
REGIME DE JURO SIMPLES ).1.( niPVFV  
 
Observações 
PV = 1000 
n = 6 meses 
i = 1% ao mês 
FV = ? 
FV = 1000 . (1 + 0,01.6) = 
1060,00 
 
 
 
Vejam que, neste 
caso, as taxas são 
equivalentes, 
pois produziram o 
mesmo 
montante. 
 
 
PV = 1000 
n = 6 meses (6/2 = 
3 bimestres) 
i = 2% ao bimestre 
FV = ? 
FV = 1000 . (1 + 0,02.3) = 
1060,00 
 
 
 
PV = 1000 
n = 6 meses (6/6= 
1 semestre) 
i = 6% ao semestre 
FV = ? 
FV = 1000 . (1 + 0,06.1) = 
1060,00 
 
 
PV = 1000 
n = 6 meses (6/12 
= 0,5 ano) 
i = 12% ao ano 
FV = ? 
FV = 1000 . (1 + 0,12.0,5) = 
1060,00 
 
 
 
Quando se trata de juro composto, a equivalência não é tão simples assim. Vamos 
ver um exemplo e observar o que acontece com o montante. 
 
 
Fonte: netto-
iadasenviadasporamigos.blog
spot.com 
 
 
10 
 
Exemplo 2: Vamos aplicar R$ 1.000,00, durante 6 meses, no regime de juro composto, 
usando as taxas acima e observar o que acontece com o montante: 
 
REGIME DE JURO COMPOSTOS 
 FV = PV. (1 + i ) n 
Observações 
PV = 1000 
n = 6 meses 
i = 1% ao mês 
FV = ? 
FV = 1000 . (1 + 0,01)6 = 
1.061,52 
 
Observem que, neste 
caso, as taxas não são 
equivalentes, pois não 
produziram o mesmo 
montante. 
 
 
PV = 1000 
n = 6 meses (6/2 = 
3 bimestres) 
i = 2% ao bimestre 
FV = ? 
FV = 1000 . (1 + 0,02)3 = 
1.061,21 
PV = 1000 
n = 6 meses (6/6 = 
1 semestre) 
i = 6% ao 
semestre 
FV = ? 
FV = 1000 . (1 + 0,06)1 = 
1.060,00 
PV = 1000 
n = 6 meses (6/12 
= 0,5 ano) 
i = 12% ao ano 
FV = ? 
FV = 1000 . (1 + 0,12)0,5 = 
1.058,30 
 
 
Cálculo do Juro Composto 
 
Para calcular o juro composto, usaremos algumas fórmulas que serão especificadas a 
seguir. Importante: ao usá-las, o período e a taxa de aplicação devem estar na mesma 
unidade de tempo. 
 
Fonte: geografiageoradical.blogspot.com 
 
Juro Composto 
Quando precisar fazer ajustes, porque 
período e taxa na combinam, faça 
SEMPRE no período e NUNCA na taxa 
 
11 
 
Vamos Relembrar os Arredondamentos 
 
O que deve ser levado em consideração no arredondamento é parte do número que se 
quer desprezar. Todo número possui uma parte inteira e uma decimal. 
 
 10,3 
Regra 1: Se for desprezar: 0, 1, 2, 3 ou 4, mantenha o número imediatamente anterior. 
Regra 2: Se for desprezar: 5, 6, 7, 8 ou 9, acrescente um ao número imediatamente anterior 
Vejamos alguns exemplos: 
Número O que quero? Arredondado 
10,3 Somente inteiro Regra 1: 10 
154,75 Uma casa decimal Regra 2: 154,8 
24,751 Uma casa decimal Regra 1: 24,8 
24,755 Duas casas decimais Regra 2: 24,76 
1.238,26 Uma casa decimal Regra 2: 1.238,3 
1.500,3456 Somente inteiro Regra 1: 1.500 
Para os cálculos, usamos arredondamentos e 6 casas decimais. 
 
Fórmula para cálculo do valor futuro (fv) ou montante e do valor presente ou 
capital 
Para calcular o valor futuro (FV), devemos conhecer o valor presente (PV), o período 
(n) e a taxa de juro (i). 
FÓRMULA 
 
 
FV = PV. (1 + i ) n 
FV Valor Futuro ou Montante 
PV Valor atual ou capital 
i Taxa de juros 
n Período da aplicação 
Para usar esta fórmula, a taxa ( i ) e o período ( n ) devem estar na mesma unidade de 
tempo. 
A taxa deve ser usada na forma unitária. 
 
 Vejamos alguns exemplos de aplicação: 
Parte Decimal 
DeDDecimalde
cimal 
Parte Inteira 
 
12 
 
Exemplo 1: Calcule o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao 
mês, durante 5 meses, sob o regime de juro composto. 
CÁLCULO DO MONTANTE 
Dados Solução algébrica 
FV = ? 
PV = 5000 
i = 4% a. m. (dividir por 100) 
n = 5 meses 
FV = PV. (1 + i ) n 
FV = 5000. (1+ 0,04) 5 
FV = 5000 . (1,216653...) 
FV = 6083,26 
 
Usando a calculadora HP 12-C, é possível calcular qualquer uma das variáveis da fórmula FV 
= PV. (1 + i ) n. Para isso, devemos conhecer três delas a fim de que seja calculada a quarta 
variável. 
Teclas da HP 12-C 
 
 
Do inglês Present Value, representa o capital. 
 
 
Do inglês Future Value, representa o montante. 
 
 
Do inglês interest, representa a taxa. 
 
 
Representa o tempo de aplicação. 
Solução HP 12-C 
 
 [REG] (limpa todas os registros armazenados na memória) 
5000 
 
 
4 
 
 
5 
 
 
 
 
 
R$ 6.083,26 
i 
n 
PV 
 
FV 
 
i 
n 
CHS 
 
f 
 PV 
 
FV 
 
 
13 
No próximo exemplo, veremos como proceder para calcular o valor presente ou 
capital. Devemos conhecer o valor futuro (FV), período (n) e a taxa de juro (i). 
 
Exemplo 2: No final de 2 anos, uma pessoa deverá efetuar o pagamento de R$ 2.000,00, 
referente ao valor de um empréstimo feito hoje. A taxa utilizada foi de 4% ao mês, sob o 
regime de juro composto. Qual foi o valor que a pessoa emprestou? 
 
CÁLCULO DO CAPITAL 
Dados Solução algébrica 
FV = 2000 
PV = ? 
i = 4% a. m. (dividir por 100) 
n = 2 anos (ajustar para mês) 
2 . 12 meses = 24 meses 
FV = PV. (1 + i ) n 
2000 = PV. (1+ 0,04) 24 
2000 = PV . (2,563304...) 
2000 / 2,563304... = PV 
PV = 780,24 
 
Solução HP 12-C 
 
 [REG] (limpa todas os registros armazenados na memória) 
2000 
 
 
4 
 
 
24 
 
 
 
 
 
R$ 780,24 
 
 
Fórmula para Cálculo do Período de Aplicação 
 
Para calcular o período de aplicação, devemos usar o logaritmo (LN). A calculadora HP-12C 
possui, em azul, a função (LN), que significa logaritmo neperiano. Para usá-la, devemos 
conhecer o valor futuro (FV), o valor presente (PV) e a taxa de juro (i). 
i 
n 
CHS 
 
f 
 FV 
 
PV 
 
 
14 
 
FÓRMULA 
 
)1( iLN
PV
FV
LN
n







 
FV Valor Futuro ou Montante 
PV Valor atual ou capital 
i Taxa de juros 
n Período da aplicação 
LN Logaritmo neperiano (em azul na HP 
12-C) 
Para usar essa fórmula, a taxa ( i ) e o período ( n ) devem estar na mesma unidade de 
tempo. 
A taxa deve ser usada na forma unitária. 
 
Exemplo 3: Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único 
pagamento de R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa de juro composto contratada é de 3% ao 
mês? 
 
CÁLCULO DO PERÍODO 
Dados Solução algébrica 
FV = 41524,33 
PV = 24278,43 
i = 3% a. m. (dividir por 100) 
n = ? 
)1( iLN
PV
FV
LN
n








 
156731,18
...029558,0
...536691,0
03,1
...710338,1
)03,01(
43,24278
33,41524











n
n
LN
LN
n
LN
LN
n
 
n = 18 meses e 0,156731 dias 
Para saber quantos dias (0,156731 x 30) = 5 dias 
 
 
 
 
 
15 
 
 
Solução HP 12-C 
 
 [REG] (limpa todas os registros armazenados na memória) 
41524,33 
 
 
24278,43 
 
 
3 
 
 
 
 
 
19 meses 
Sempre que usarmos a HP 12-C, o prazo será arredondado para maior. 
 
Fórmula para Cálculo da Taxa ( i ) 
 
Para calcular a taxa de juro, é necessário conhecer o valor futuro (FV), o valor presente 
(PV) e o período (
QT
QQ
), que SEMPRE deverá ser informado em dias. 
FÓRMULA 
 
100.1















QT
QQ
PV
FV
i 
FV Valor Futuro ou Montante 
PV Valor atual ou capital 
i Taxa de juros 
QQ Quanto eu Quero (prazo a ser 
calculado) 
QT Quanto eu Tenho (prazo que 
foi informado) 
O período (
QT
QQ
) deve ser informado em dias. 
 
Vamos observar um exemplo de aplicação. 
 
PV 
i 
CHS 
 
f 
 FV 
 
n 
 
16 
 
Exemplo 4: A Loja do Bom Preço financia a venda de uma máquina no valor de R$ 
10.210,72, para o pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 276 dias. 
Qual a taxa mensal cobrada pela loja? 
 
Cálculo da Taxa 
Dados Solução algébrica 
FV = 14520,68 
PV = 10210,72 
imensal = ? 
n = 276 dias 
  
 
 
mêsaoi
i
i
i
i
PV
FV
i
QT
QQ
90,3
100.039017,0
100.1...039017,1
100.1...422101,1
100.1
72,10210
68,14520
100.1
...1086956,0
276
30


































 
 Observe que, quando colocamos 30 no 
QQ, já havíamos previsto a taxa mensal. 
 
Solução HP 12-C 
 
 [REG] (limpa todas os registros armazenados na memória) 
10210,72 
 
 
14520,68 
 
 
276 
 
 
30 
 
 
3,90% ao mês 
i n 
 
FV 
ENTER
 
ent 
CHS 
 
f 
 
PV 
 
 
17 
 
 
 
 
 
 
Easy Calc – Site que faz cálculos de juro composto. 
Disponível em <http://drcalc.net/easycalc/Juros.htm>.Acesso em07 jul. 2011. 
Só Matemática - Site que traz teoria e exercícios sobre Matemática Financeira. 
Disponível em < http://www.somatematica.com.br/financeira.php>.Acesso em 07 
jul. 2011. 
Oficina da Net – Site que traz teoria sobre juros simples e ensina a calculá-los, 
usando o Microsoft Excel. Disponível em < 
http://www.oficinadanet.com.br/artigo/2096/calculo_de_juros_simples_e_composto
_no_excel_-_parte_1>. Acesso em 31 Mai. 2011. 
EPx - Web HP 12C Emulator – Site que traz a calculadora HP-12C virtual. 
Disponível em <http://epx.com.br/ctb/hp12c.php>. Acesso em 31 Mai. 2011. 
HP 12C Calculadora Financeira – Site você que traz o manual da calculadora HP 12C. 
Disponível em <http://epx.com.br/ctb/hp12c.php>. Acesso em 31 Mai. 2011. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
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_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
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_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
 
 
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PUCCINI, A. L. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 8 ed. São Paulo: Saraiva, 
2009. 
CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Financeira. 13 ed. São Paulo: Saraiva, 2002. 
BRANCO, A. C. C. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12C, 
Microsoft Excel. 2 ed. rev. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. 
VERAS. L. L. Matemática Financeira: uso de calculadoras financeiras, aplicações no 
mercado financeiro, introdução à engenharia econômica. 5 ed. São Paulo: Atlas, 2005.