Matemática financeira_Corte (1)

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Cássio Silveira da Silva
Juliane Miziara Machado Borges
Matemática financeira
© 2010 by Universidade de Uberaba
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Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central UNIUBE
 Silva, Cássio Silveira da
S38m Matemática financeira / Cássio Silveira da Silva, Juliane Miziara Machado 
Borges ; ilustração [de] Rodrigo de Melo Rodovalho. – Uberaba : Universidade 
de Uberaba, 2010.
 180 p. : il. 
 ISBN 9788577773596 
 1. Matemática financeira. 2. Juros. 3. Empréstimos. I. Borges, Juliane Miziara Ma-
chado. II. Título. 
 
 CDD: 650.01513
Cássio Silveira da Silva
Mestre em Ciências contábeis pela Pontifícia Universidade Católica de 
São Paulo (PUC/SP); graduado em Ciências Econômicas pela Faculdade 
de Ciências Econômicas do Triângulo Mineiro (FCETM); especialista 
em Administração Financeira e Gestão Econômica pela FCETM e em 
Administração de Marketing também pela FCETM. Professor na área 
de gestão e finanças das instituições da Universidade de Uberaba 
(graduação e pós-graduação), FCETM (graduação e extensão) e FAZU 
(pós-graduação). Consultor de empresas nas áreas de Economia, 
Finanças e Gestão de custos ambientais.
Juliane Miziara Machado Borges
Especialista em Gestão empresária pela Fundação Getúlio Vargas (RJ). 
Bacharel em Administração de empresas pela Fundação Getulio Vargas 
(SP). Trabalhou em diversas instituições financeiras em São Paulo e 
Uberaba. Professora no ensino presencial da Universidade de Uberaba. 
Parecerista e roteirista de componentes curriculares para EAD da Uniube.
Tem experiência na área de Administração, com ênfase em Ciências 
contábeis, atuando principalmente nos componentes de Matemática e 
Administração financeira.
Sobre os autores
Sumário
Apresentação.......................................................................................VII
Capítulo 1 Matemática como instrumento para tomada de decisão......1
1.1 Calculadora financeira .............................................................................................5
1.1.1 Escolhendo sua calculadora........................................................................... 6
1.2 Matemática financeira................................................................................................7
1.3 Conceitos básicos de Matemática financeira .......................................................... 8
1.3.1 Operações financeiras ................................................................................... 8
1.3.2 Capital ............................................................................................................ 9
1.3.3 Juros...............................................................................................................10
1.3.4 Taxas de juros................................................................................................ 11
1.3.5 Montante........................................................................................................ 11
1.3.6 Regime de capitalização ............................................................................. .12
1.3.7 Rendas .........................................................................................................14
1.3.8 Fluxo de Caixa .............................................................................................15
1.4 Juros simples - regime de capitalização simples ..................................................16
1.5 Taxa equivalente - aprendendo a transformar a taxa de juros na mesma 
unidade de tempo do período ...............................................................................18
1.5.1 Primeira alternativa: transformar o período na mesma unidade de tempo 
da taxa de juros ............................................................................................18
1.5.2 Segunda alternativa: Taxa equivalente .......................................................19
1.6 Taxa nominal e Taxa efetiva...................................................................................20
1.7 Contagem de tempo ..............................................................................................23
1.8 Desconto de títulos de crédito ...............................................................................24
1.8.1 Desconto comercial ou bancário ou “por fora” - fórmula .............................26
1.8.2 Desconto racional ou “simples” ou “por dentro” – fórmula ..........................26
1.8.3 Comparando o Desconto comercial com o Desconto racional ...................26
1.8.4 Equivalência de capital em desconto de títulos ..........................................30
1.9 Conclusão ..............................................................................................................33
Capítulo 2 Conhecendo o poder da capitalização dos juros ............... 37
2.1 Dicas de utilização da calculadora financeira........................................................ 40
2.2 Capitalização composta......................................................................................... 47
2.2.1 Calculando juros, montante, capital e prazo ...............................................47
2.2.2 Cálculo de juros para números não inteiros e períodos ...............................59
2.3 Equivalência de taxa a juros compostos................................................................ 63
2.4 Taxa nominal e taxa efetiva ................................................................................... 69
2.5 Data focal ............................................................................................................... 76
2.6 Desconto composto ............................................................................................... 82
Capítulo 3 Diferindo o capital no tempo – Rendas .............................. 87
3.1 Rendas ...................................................................................................................90
3.1.1 Rendas imediatas .........................................................................................92
3.1.2 Rendas antecipadas ...................................................................................105
3.1.3 Rendas diferidas .........................................................................................112
3.2 Coeficientes de financiamentos ..........................................................................116
Capítulo 4 Cálculos utilizados em projetos de investimentos ........... 125
4.1 Sistemas de amortização..................................................................................... 127
4.1.1 Sistema do Montante ..................................................................................129
4.1.2 Sistema Americano .....................................................................................131
4.1.3 Sistema de Amortização Francês (SAF).....................................................1344.1.4 Sistema de Amortização PRICE .................................................................139
4.1.5 Sistema de Amortização Constante (SAC) ou Sistema Hamburguês .......141
4.1.6 Sistema de Amortização Misto (SAM) ........................................................144
4.1.7 SACRE – Sistema de Amortização Crescente ...........................................144
4.1.8 Sistemas de amortização com carência .....................................................147
4.1.9 Sistemas de amortização com juros pós-fixados .......................................156
4.2 Cálculos utilizando índices inflacionários............................................................. 162
Caro aluno.
Com o objetivo de levá-lo a conhecer e a perceber a aplicabilidade 
da Matemática financeira, elaboramos este livro didático. Com a sua 
leitura , você terá a oportunidade de identificar inúmeras situações que 
já vivenciou. A Matemática financeira é um instrumento que o auxiliará 
na tomada de decisões, na vida profissional e pessoal, relativas a 
financiamentos e a investimentos.
No primeiro capítulo, você conhecerá a calculadora financeira, os 
conceitos básicos da Matemática financeira e o regime de capitalização 
de juros simples.
No segundo capítulo, você será apresentado aos juros compostos, o 
regime de capitalização de juros mais utilizado no mercado financeiro.
O terceiro capítulo abordadará o tema “rendas” e com certeza, você já 
deve ter vivenciado alguma situação envolvendo este tema. Um exemplo 
são as compras que você pagou em parcelas iguais e em intervalos 
regulares, Tais como comprar um computador e 10 parcelas iguais em 
mensais de R$ 100,00.
No quarto e último capítulo, serão apresentadas as formas de liquidação 
de um empréstimo e/ou financiamento, ou seja, os sistemas de 
amortização. Serão abordadas questões como o cálculo do desconto 
que deve ser concedido quando se pretende quitar antecipadamente um 
financiamento.
Apresentação
VIII UNIUBE
Como você poderá perceber, todas as questões mencionadas possuem 
alto grau de interação com o seu dia a dia, o que torna seu aprendizado 
muito mais interessante.
Ressaltamos o fato de que a melhor maneira de aprender Matemática 
financeira é resolver o maior número possível exercícios, portanto, não 
deixe de realizar todas as atividades apresentadas neste material. Você 
também deverá se organizar da melhor maneira possível em termos de 
tempo de estudo.
Sucesso nesta etapa!
Cássio Silveira da Silva
Juliane Miziara Machado Borges
Introdução
Matemática como 
instrumento para 
tomada de decisão
Capítulo
1
Prezado aluno.
Bem-vindo a mais uma etapa na construção de sua aprendizagem, 
quando será abordada a Matemática financeira e suas aplicações.
Ela é uma das matérias, dentre as ministradas nos cursos 
gerenciais, que possui uma das maiores aplicabilidades, não só 
no nosso dia a dia enquanto consumidores, como também, no 
nosso cotidiano profissional.
A Matemática financeira nada mais é do que a aplicação da 
Matemática para tomada de decisões. Ela tem como objeto de 
estudo o valor do dinheiro no tempo e, para mensurar esse valor, 
aplicam-se conceitos e fórmulas matemáticas que possibilitam a 
verificação das alternativas mais viáveis no momento de tomar 
decisões sobre questões financeiras. 
Sejam as questões: financiar bens e produtos, fazer uma 
aplicação, realizar investimentos, tomar ou conceder empréstimos, 
dentre outras utilidades. 
2 UNIUBE
A Matemática financeira pode ser utilizada por nós enquanto 
profissionais da área de gestão ou, ainda, enquanto consumidores, 
uma vez que, mais cedo ou mais tarde, iremos tomar decisão 
sobre as vantagens de comprar algo à vista ou a prazo, se 
devemos financiar uma casa, se é vantagem financiar um 
carro pela concessionária ou pelo banco, se devemos comprar 
aquela calculadora financeira à vista, utilizar o cheque especial ou 
comprar a prazo na própria loja. 
Os cálculos matemáticos, por serem frutos de uma ciência exata, irão 
nos apontar a melhor decisão a ser tomada, ou seja, aquela que nos 
proporcione menores custos financeiros ou maiores rentabilidades, 
considerando esse termo como possibilidade de rendimento; lucro. 
 
Durante os anos em que trabalhamos com a Matemática, 
percebemos que muitos alunos têm “medo” deste componente 
curricular, acreditando ser difícil de se aprendê-lo. Entretanto, 
devemos ter em mente que não estaríamos vivos se não 
tivéssemos conhecimentos matemáticos. 
Certa vez um professor utilizou os seguintes exemplos para provar 
que todos nós somos bons em Matemática:
• O pedestre deve, ao atravessar uma rua, calcular 
automaticamente a velocidade com que o carro vem em 
sua direção, verificar a distância que será percorrida e a 
velocidade que deverá empregar para atravessá-la sem 
ser atropelado pelo veículo.
• Um veículo pretende ultrapassar outro que segue 
imediatamente à sua frente. No ponto de ultrapassagem, 
de uma estrada de via simples, verifica-se que está vindo 
outro automóvel na direção contrária. Portanto, o motorista 
rapidamente irá calcular qual a velocidade que deverá 
imprimir ao seu carro e verificará se o tempo será suficiente
 UNIUBE 3
Objetivos
para percorrer a distância de ultrapassagem com segurança, 
considerando a velocidade do carro que segue à sua frente e do 
veículo que vem em sua direção. 
Portanto, considerando a analogia acima, e tantos outros exemplos 
da utilização da Matemática no nosso cotidiano, podemos afirmar 
que, de fato, todos nós estaríamos mortos se não soubéssemos 
fazer cálculos matemáticos.
Entretanto, você deve estar se perguntando: Mas e os acidentes? 
E as pessoas que são atropeladas?
Ora, assim como pessoas são atropeladas por não utilizarem 
corretamente suas habilidades ou por distraírem, temos empresas e 
pessoas que têm grandes prejuízos financeiros por negligenciarem 
a Matemática no momento da tomada de decisão em suas 
atividades profissionais. Muitas vezes, empresários contabilizam 
grandes prejuízos em seus negócios por erros de cálculos o que, 
consequentemente, levam-nos a tomar decisões errôneas.
Esperamos que, ao final do estudo deste capítuilo, você seja capaz 
de:
• calcular o valor do dinheiro no tempo;
• conhecer e aplicar fórmulas matemáticas para cálculos 
financeiros de juros simples;
• utilizar Matemática financeira como instrumento de gestão para 
tomada de decisão;
• identificar o caráter interdisciplinar entre o conhecimento 
matemático, administrativo, contábil e econômico.
4 UNIUBE
Esquema
Calculadora
financeira
Matemática
financeira
Conceitos básicos
de Matemática
financeira
Contagem de
tempo
Taxa nominal e
Taxa efetiva
Taxa equivalente
Desconto de 
títulos de crédito
Juros simples
• Operações financeiras
• Capital
• Juros
• Taxa de juros
• Montante
• Regime de capitalização
• Rendas
• Fluxo de Caixa
• Desconto comercial
• Desconto racional
• Comparando o Desconto comercial 
com o Desconto racional 
• Equivalência de capital em 
descontos de títulos
• Escolhendo sua calculadora
• Primeira alternativa
• Segunda alternativa
 UNIUBE 5
Calculadora financeira1.1
Durante nossa jornada pelo mundo da Matemática financeira, iremos 
conhecer e compreender conceitos, trabalhar com fórmulas matemáticas 
visando solucionar problemas financeiros e, também, utilizaremos uma 
ferramenta muito simples, porém útil para resolução de cálculos que é a 
calculadora financeira.
Neste capítulo, você poderá acompanhar 
os exemplos e desenvolver exercícios 
utilizando uma calculadora simples que 
possua as quatro operações básicas. 
 
Entretanto, a partir do capítulo 2, para que você consiga dar continuidade 
ao seu aprendizado, há necessidade de adquirir uma calculadora 
financeira, uma vez que iremos trabalhar com cálculos exponenciais e 
as calculadoras simples não mais atenderão às nossas necessidades.Apesar de as calculadoras científicas possuírem funções exponenciais, 
recomendamos a utilização de uma calculadora financeira para 
desenvolver, de maneira mais simples, os cálculos financeiros, uma 
vez que, no mercado financeiro, é importante que você tome decisões 
de forma precisa e rápida.
A calculadora financeira amplia a segurança e imprime uma maior 
velocidade na solução de problemas financeiros e, por esse motivo, o 
mercado exige que os profissionais de área de gestão saibam manuseá-
la corretamente.
Operações básicas 
Adição, subtração, divisão 
e multiplicação.
6 UNIUBE
1.1.1 Escolhendo sua calculadora
Ao pesquisar sobre qual calculadora adquirir, você perceberá que há uma 
grande variedade de calculadoras financeiras disponíveis no mercado.
Você deve estar se perguntando: Qual calculadora comprar? Vale a pena 
“gastar” esse dinheiro em uma calculadora? Será que depois vou utilizá-
la?
O principal critério a ser observado é qual utilidade este equipamento 
terá para você. Você deve escolher um modelo que atenda às suas 
necessidades. De nada adianta optar pelo modelo mais barato se os 
recursos que ele oferece forem insuficientes para que você desempenhe 
suas atividades, por outro lado não há necessidade de adquirir a 
“melhor” existente no mercado se você não irá utilizar todas as funções 
disponíveis.
Sua escolha deverá ser uma calculadora que o ajude a desempenhar 
suas atividades e cujos recursos oferecidos sejam amplamente 
aproveitados.
Essa calculadora o acompanhará por muitos anos, tanto na vida 
acadêmica quanto na vida profissional. Durante a realização do seu curso 
de graduação, será utilizada em diversas disciplinas.
Dentre os vários modelos de calculadoras financeiras disponíveis, a mais 
utilizada é a HP12C do fabricante Hewlett Packard. Existem, ainda, os 
modelos HP12C Prestige e HP12C Platinum, porém, se você for adquirir 
uma, recomendo o modelo tradicional conhecido como Gold.
 UNIUBE 7
Outra calculadora fácil de manusear e com um preço mais baixo 
que a HP12C é o modelo HP10B, que também é uma boa opção 
de compra. Esses dois modelos sugeridos atendem às necessidades 
que temos de efetuar cálculos financeiros e são resistentes à intensa 
utilização.
Mas, se você tiver um outro modelo de calculadora financeira, não se 
preocupe, basta que tenha o manual de instruções de sua máquina para 
que possa familiarizar com algumas funções específicas. Iremos falar 
um pouco mais sobre a utilização de calculadoras em nosso próximo 
encontro.
 Matemática financeira1.2
Agora, você vai efetivamente iniciar seu estudo de Matemática financeira.
O que você entende por Matemática financeira?
PARADA PARA REFLEXÃO
Figura 1: Calculadora.
8 UNIUBE
Se você respondeu algo semelhante a - a 
expressão “Matemática financeira” nos remete 
automaticamente a “pensar sobre dinheiro”, 
você está certo! 
A Matemática financeira é um braço da Matemá-
tica aplicada que foca seu estudo no comporta-
mento do dinheiro no tempo.
 Conceitos básicos de Matemática financeira1.3
Existem alguns conceitos, termos e notações que são frequentemente 
utilizados pela Matemática financeira, bem como, no mercado empresarial 
e financeiro como um todo.
Para que você se habitue à nomenclatura, segue abaixo um referencial 
dos principais termos utilizados e suas definições, extraídas da apostila 
elaborada, sob o título “Matemática financeira: com utilização de 
calculadora HP12C” (SILVA, 2005).
1.3.1 Operações financeiras
São operações realizadas com dinheiro e podem 
ser Ativas ou Passivas.
Ativas: visam rendimentos (exemplos: aplica-
ções financeiras em cadernetas de poupança, 
CDB, entre outras.) Passivas: visam captação de 
recursos (financiamentos, empréstimos).
Matemática aplicada 
 
Ramo da Matemática 
que opera com 
grandezas mensuráveis 
do mundo físico, bem 
como com os dados 
quantitativos referentes 
a fatos (sociais e 
econômicos) e que leva 
em conta a noção de 
movimento. 
Fonte: (Houaiss, 2001 
p. 630).
CDB 
Certificado 
de Depósito 
Bancário é um 
título emitido 
pelos bancos 
com a intenção 
de captar dinheiro 
no mercado. 
 UNIUBE 9
Você sabe a diferença entre financiamento e empréstimo?
No empréstimo, o recurso é disponibilizado ao tomador sem que haja uma 
finalidade específica de utilização deste dinheiro. Por exemplo, um crédito 
pessoal que você utilizará da maneira que achar conveniente.
Já no financiamento, o destino deste recurso é utilizado para a aquisição de 
um bem específico, como a compra de um carro ou a compra de uma casa.
SAIBA MAIS
Para garantir certa segurança na realização de tais operações, é 
necessário o desenvolvimento de cálculos matemáticos adequados a 
cada situação apresentada. É justamente a matemática utilizada em tais 
cálculos que recebe o nome de Matemática financeira.
1.3.2 Capital
Imagine as seguintes situações:
1) Você aplicou R$1.000,00 em um fundo oferecido pelo banco do 
qual você é correntista. Ao final de um mês, você tinha acumulado 
R$1.005,00.
2) Este mês você precisou fazer um conserto não programado em 
seu carro. Para tal, foi ao banco e contratou um empréstimo de 
R$1.000,00 comprometendo-se a pagar R$1.010,00 ao final de um 
mês.
Qual o capital em cada uma das operações acima?
Ele está sendo empregado em que tipo de operação financeira?
10 UNIUBE
Capital, também denominado Principal ou Valor Presente (PV = Present 
Value), é qualquer quantia monetária que esteja disponível em certa 
data para que seja utilizado em uma operação financeira. Algumas 
notações encontradas: “C”, “PV” ou “P”. Durante nosso estudo, iremos adotar 
a notação “PV” para capital.
IMPORTANTE!
Agora que você já conhece o significado de Capital, verifique se 
você identificou corretamente o capital nas situações anteriormente 
mencionadas.
1) O capital é o valor inicial que você aplicou, ou seja, R$ 1.000,00. 
Foi empregado em uma operação financeira ativa, ou seja, visa um 
rendimento.
2) O capital é o valor que você contratou no empréstimo, ou seja, 
R$1.000,00. Foi empregado em uma operação financeira passiva, ou 
seja, você captou recursos para o conserto de seu carro.
1.3.3 Juros
É a remuneração pelo uso do capital ou pelo uso deste em 
operações financeiras. Notação utilizada: “J”
Agora, vamos identificar os juros nas duas situações já utilizadas acima:
1) O capital conforme você já sabe é de R$ 1.000,00, sendo que você irá 
resgatar R$1.005,00 ao final de um mês. Ou seja, você estará resgatando 
o principal de R$1.000,00 mais os juros de R$ 5,00.
 UNIUBE 11
1.3.4 Taxas de juros
Unidade de medida dos juros. Remuneração cobrada por unidade 
utilizada do capital PV durante determinada unidade de tempo.
 
Algumas notações encontradas:
i = forma percentual, como por exemplo: 5% a.m. 
r = forma unitária, caracterizada pela forma percentual dividida por 100. 
Ex : 0,05 a.m.
Sempre deve constar a periodicidade da taxa ao mês, ao ano etc.
IMPORTANTE!
1.3.5 Montante
Conhecido também como valor futuro (Future Value), é a soma dos juros 
mais o capital, no final de certo período de tempo.
Algumas notações utilizadas: “Cn”,”M”, “FV”e”S”. 
Utilizaremos durante nosso estudo, a notação “FV” para Valor Futuro.
Uma caderneta de poupança de R$100,00 ganhará R$2,00 de juros daqui 
a um mês. Assim, ela ficará com um montante de R$102,00.
EXEMPLIFICANDO!
12 UNIUBE
Como você pode perceber, no exemplo anterior, o montante corresponde 
ao somatório do principal com os juros.
FV=PV+J, sendo FV = Valor Futuro, PV = Valor Presente e J=Juros
1.3.6 Regime de capitalização
É a remuneração do capital através dos juros somados a este capital. A 
capitalização pode ser simples ou composta
• Capitalização simples: os juros incidem somente sobre o capital.
• Capitalização composta: é uma sucessão de juros simples tomados 
período por período. Os juros incidem no montante do final de cada 
período.
Vamos analisar uma aplicaçãode R$100,00 à taxa de 2% a.m. pelo prazo 
de cinco meses, observando a Figura 2 a seguir. 
Primeiro, no regime de juros simples:
Figura 2: Regime de juros simples.
PV=
R$ 100,00
0 1 mês 2 mês 3 mês 4 mês 5 mês
FV=
R$ 102,00
FV=
R$ 104,00
FV=
R$ 106,00
FV=
R$ 108,00
FV=
R$ 110,00
 UNIUBE 13
Agora vamos analisar o exemplo anterior no regime de juros compostos 
conforme se visualiza na Figura 3.
Figura 3: Regime de juros compostos.
PV=
R$ 100,00
0 1 mês 2 mês 3 mês 4 mês 5 mês
R$ 102,00 R$ 104,04 R$ 106,12 R$ 108,24
FV= FV= FV= FV= FV=
R$ 110,41
O que você pode observar de diferente entre os dois regimes de capitalização 
acima demonstrados?
PARADA PARA REFLEXÃO
Note que, apesar do período, taxa e capital serem as mesmas nos dois 
regimes de capitalização, após o primeiro período, os montantes 
apresentam diferenças devido à forma utilizada para calcular os juros, 
ou seja, depende do modo de capitalização. Isso porque, no primeiro 
período, por ser apenas um período, os juros são iguais; o capital em que 
incide os juros é o mesmo do exemplo da capitalização simples.
Entretanto, a partir do 1º período, o cálculo dos juros da capitalização 
simples continua sendo calculado pelo capital inicial. Já nos juros 
compostos, a capitalização para o período seguinte é calculada pelo 
montante do 2º período, ou seja, R$ 102,00, mais juros de 2% sobre os 
R$ 102,00, totalizando R$ 104,04 e, assim, sucessivamente.
14 UNIUBE
1.3.7 Rendas
Imagine a seguinte situação: você está comprando uma calculadora 
financeira no valor de R$ 430,00 para ser pago em cinco parcelas, 
mensais e iguais, no valor de R$ 91,23.
Figura 4: Parcelamento.
Analisando a situação acima, identificamos rendas como sendo as 
prestações a serem pagas.
Concluímos que são denominadas rendas, prestações, ou pagamentos 
propriamente ditos, a amortização de uma dívida por meio de 
pagamentos periódicos, ou ainda, depósitos periódicos para construir 
um capital.
• Notações mais utilizadas: “PMT” (Pagamentos ou Payment) ou “R”.
Iremos utilizar como notação, em nossos estudos, o “PMT”.
PV=
R$ 430,00
0 1 mês 2 mês 3 mês 4 mês 5 mês
R$ 91,23 R$ 91,23 R$ 91,23 R$ 91,23
RTM= RTM= RTM= RTM= RTM=
R$ 91,23
 UNIUBE 15
1.3.8 Fluxo de Caixa
Entrada e saída de Ativos monetários de um Caixa, num determinado 
período.
Representação:
A linha reta horizontal com escalas corresponde aos períodos de 
capitalização, que podem ser diários, mensais, bimestrais, anuais, e 
outros. Observe os próximos exemplos em que temos o indicador .
Setas para cima (+) ↑entrada Setas para baixo ( - ) ↓saída
Uma pessoa adquiriu um apartamento no valor de R$50.000,00 à vista; 
efetuou uma reforma no primeiro mês totalizando R$ 3.500,00, alugou o 
mesmo durante três meses, recebendo, mensalmente, o valor de R$ 
535,00 e vendendo o imóvel no quinto mês pelo valor de R$ 53.000,00. 
Essa operação poderá ser organizada por meio de um fluxo de Caixa, 
conforme o diagrama, a seguir:
EXEMPLIFICANDO!
PV=
R$
50.000,00
0 1 mês 2 mês 3 mês 4 mês 5 mês
 R$ 
3.500,00
R$ 535,00 R$ 535,00 R$ 535,00 R$ 53.000,00
Figura 5: Fluxo de Caixa.
16 UNIUBE
 Juros simples - regime de capitalização simples1.4
Conforme você viu anteriormente, no regime de capitalização simples, a 
taxa de juros incide sobre o capital inicial. 
Dessa forma, os juros simples serão iguais desde que a taxa de juros 
e a periodicidade na qual essas incidem permaneçam constantes. Por 
esse motivo, os juros simples também são denominados juros lineares.
Para calcular os juros de um determinado capital, basta multiplicar o valor 
do capital pela taxa de juros e, em seguida, pela quantidade de período 
que se deseja atualizar o capital. Matematicamente, o juro é calculado 
pela seguinte fórmula:
J = PV x i x n
No cálculo de capitalização, é necessário que seja indicado como incidirá 
a taxa de juros sobre o capital, ou seja, se a taxa de juros será mensal 
(am), anual (aa), semestral (as), ao quadrimestre (aq), ao trimestre (at), 
ao dia (ad) ou “ao período”.
* A taxa de juros deve estar na mesma unidade de tempo do período.
* Só podemos somar ou subtrair valores que estejam na mesma data.
Assim:
• Taxa indicada em meses (ao mês), o prazo da operação também 
deverá ser trabalhado em meses;
• Taxa indicada diária (ao dia), o prazo da operação deverá ser expresso 
em dias, e assim por diante.
IMPORTANTE!
 UNIUBE 17
Os juros simples, como o próprio nome diz, são mais simples de serem 
calculados, uma vez que, para efetuar os cálculos, basta utilizar as 
quatro operações básicas da matemática que, são a multiplicação, 
divisão, subtração e adição.
Você irá perceber que uma calculadora com as quatro operações básicas 
atenderá às suas necessidades em relação aos cálculos envolvendo os 
juros simples.
Portanto, uma valiosa dica para não ter dificuldade de calcular juros 
simples é ficar atento quanto ao período que se refere à taxa de juros e, 
também, o período de tempo em que o capital ficará aplicado, ou 
em que será atualizado.
IMPORTANTE!
Vale lembrar que, conhecendo a fórmula do cálculo de juros, 
descrita acima, e considerando o princípio de que o valor futuro é 
igual ao capital mais os juros, teremos todas as outras fórmulas que 
necessitamos para calcular o montante (FV), taxa de juros (i) e período 
(n), conforme poderá ser verificado, a seguir:
Fórmula 1 - Princípio do Valor Futuro: FV = PV + J
Fórmula 2 - Fórmula dos juros: J = PV x i x n 
Substituindo a fórmula 2 na fórmula 1, teremos:
FV = PV + J
FV = PV + PV x i x n
Logo:
FV = PV . ( 1 + i . n)
18 UNIUBE
A partir dessas duas fórmulas principais ─ a do cálculo dos juros (J) e a 
do valor futuro (FV) ─, calcula-se qualquer variável, desde que tenhamos 
três outras variáveis que necessitamos para que possamos substituí-
las nas fórmulas.
Taxa equivalente - Aprendendo a transformar a taxa de 
juros na mesma unidade de tempo do período
1.5
Vamos imaginar a fórmula de juros, que está descrita abaixo:
J = PV x i x n
Caso a taxa de juros não esteja na mesma unidade de tempo do período, 
temos duas alternativas.
Um exemplo da situação descrita acima é uma taxa de juros de 12%a.a. 
incidindo sobre um capital pelo prazo de 3 meses. Como você pode 
observar, a taxa é anual e o prazo está em meses.
1.5.1 Primeira alternativa: transformar o período na mesma unidade 
de tempo da taxa de juros
Imagine uma taxa de juros expressa em meses e o período de 
capitalização expresso em anos. Então teremos:
i = 1,50% ao mês n = 3 anos
Nesse caso, podemos transformar o período na mesma unidade de 
tempo da taxa, conforme poderá ser observado a seguir:
n = 3 anos = 36 meses
 UNIUBE 19
Dessa forma, podemos dizer que a taxa de juros será de 1,50% ao mês 
e o período de tempo da operação financeira será de 36 meses, que 
equivale a 3 anos.
1.5.2 Segunda alternativa: Taxa equivalente
A segunda opção é encontrar o que chamamos de Taxa equivalente, 
que no regime de capitalização simples também é proporcional. Para 
isso, basta encontrar uma taxa anual, equivalente a 1,50% ao mês.
Nesse caso, podemos utilizar uma regra de três simples, ou seja:
1,50% ao mês ------------------------ 1 mês
X % ao ano ------------------------ 12 meses (1 ano)
X = 1,50 x 12 = 18% ao ano.
A proporcionalidade entre a taxa de 1,50% ao mês e 18% ao ano é 
facilmente percebida, entretanto, cabe uma pergunta: por que podemos 
afirmar que elas são taxas equivalentes?
O Sr. Joseph aplicou o valor de R$ 25.000,00, durante 3 anos, a uma taxa 
de 1,50% ao mês e necessita saber quanto ganhará de juros durante esse 
período.
Primeiramente, devemos relacionar todas as informações necessárias para 
calcular os juros:
• PV = 25.000,00 J = PV x i x n
• i = 1,50% ao mês = 0,015 ao mês J= 25.000 x 0,015 x 36
• n = 3 anos = 36 meses J = 13.500,00
• J = ?
EXEMPLIFICANDO!
20 UNIUBEPortanto, os juros totalizaram R$ 13.500,00 durante o período de 3 
anos ou 36 meses.
Outra forma que poderíamos desenvolver os cálculos seria:
• PV = 25.000,00 J = PV x i x n
• i = 1,50% ao mês x 12 = 18% ao ano = 0,18 J = 25.000 x 0,18 x 3
• n = 3 anos J = 13.500,00
• J = ?
Observe que as taxas que utilizamos nas duas formas de cálculo foram 
diferentes, ou seja, 18% ao ano é diferente da taxa de 1,50% ao mês, 
porém, quando aplicadas sobre um capital, durante o mesmo período 
de tempo, proporcionam o mesmo valor dos juros, que no exemplo foi de 
R$ 13.500,00. Dessa forma, podemos dizer que as taxas, além de serem 
proporcionais, são equivalentes.
Taxa nominal e Taxa efetiva1.6
Outro ponto, referente a taxas de juros, a que devemos dar total atenção 
é o conceito de Taxa nominal e Taxa efetiva.
Taxa nominal: é aquela taxa aparente ou definida em um contrato.
Taxa efetiva: conhecida, também, como Taxa real ou Custo real do dinheiro.
IMPORTANTE!
Vamos esclarecer as definições acima expondo-lhe uma situação comum 
na vida de um cidadão:
Situação I: O Sr. Sanches pretende comprar uma bolsa no valor de R$ 
900,00 para presentear sua esposa pelo Dia dos Namorados. A loja 
informa que cobrará o juro de 1% ao mês e dará ao Sr. Sanches um 
prazo de 30 dias para o pagamento. 
 UNIUBE 21
Entretanto, caso o Sr. Sanches pague o preço à vista, a loja concederá 
um desconto de 5%. Portanto, qual é a taxa nominal e qual é a taxa 
efetiva dessa operação?
Dados do problema:
• PV = 900,00
• i = 1 % ao mês = 0,01 ao mês
• n = 30 dias = 1 mês
• FV = ?
Fórmula básica:
FV = PV x (1 + i x n)
FV = 900 x (1 + 0,01 x1) FV = 900 x 1, 01
FV = 909,00
Portanto, a taxa contratada para a operação foi de 1% ao mês (taxa 
nominal) e o valor que será pago após 30 dias será de R$ 909,00.
• Entretanto, caso o Sr. Sanches compre a bolsa à vista, o preço da 
mesma será:
Desconto = 900 x 0,05 = 45
Valor a ser pago à vista = 900 – 45 = 855
Portanto, o valor à vista não será de R$ 900,00 e sim R$ 855,00. Dessa 
forma, se utilizarmos os dados a seguir, a taxa de juros que a loja está 
cobrando do seu cliente é diferente daquela contratada, ou seja:
22 UNIUBE
Dados:
• PV = 855,00 (com desconto)
• FV = 909,00 (preço que deverá ser pago para compras a prazo)
• n = 30 dias = 1 mês 
Portanto, qual é a taxa real que está sendo cobrada?
FV = PV x (1 + i x n)
909 = 855 x ( 1 + i x 1) 
1,063158 - 1 = i
i = 1,063158 - 1 = 0,063158 = 6,32 % ao mês.
Concluímos que a taxa que está sendo cobrada, efetivamente, do Sr. 
Sanches é de 6,32% ao mês, e não 1% ao mês.
Se o cliente souber dessa informação, ele poderá decidir qual será a 
alternativa mais viável:
a) pegar o dinheiro emprestado para comprar a bolsa à vista;
b) financiá-la por meio de uma outra fonte de financiamento;
c) comprar a prazo na própria loja.
Para ficar mais claro, criemos uma outra situação.
Situação II: Suponhamos que o Sr. Sanches consiga um empréstimo, 
também com vencimento para 30 dias, a uma taxa de 6% ao mês. 
Para comprar a bolsa à vista, o Sr. Sanches necessita de R$ 855,00, 
uma vez que ele aproveitará o desconto concedido pela loja.
Vejamos, então, quanto ele pagará à pessoa que lhe emprestou o 
dinheiro ao final do prazo concedido.
 UNIUBE 23
Dados:
• PV = 855,00 (com desconto)
• n = 30 dias = 1 mês
• i = 6% ao mês = 0,06 ao mês
• FV = ?
FV = PV x (1 + i x n) = 855 x (1+ 0,06 x1)
FV = 855 x 1,06
FV = 906,30
Portanto, o valor que o Sr. Sanches deverá pagar ao agente 
financiador será R$ 906,30, menor que os R$ 909,00 que deveria pagar 
à loja, caso comprasse a bolsa a prazo. Portanto, uma economia 
de R$ 2,70.
Também poderíamos concluir a viabilidade da alternativa de 
compra, comparando a taxa do empréstimo com a taxa efetiva 
da empresa.
Contagem de tempo1.7
Outro fato a que devemos ficar atentos é quanto à contagem de tempo.
Na Matemática financeira, podemos utilizar dois tipos distintos de 
calendário e, consequentemente, com quantidade de dias diferentes.
“Ano comercial”, consideramos aquele que possui 360 dias, sendo 
30 dias por mês.Já o “ano civil” possui 365 dias e o número de dias 
do mês é exato.Geralmente, nos cálculos financeiros, utiliza-se o ano 
comercial, para facilitar os cálculos. Quando a contagem de tempo 
for feita pelo ano civil, tal informação é especificada no contrato.
24 UNIUBE
Desconto de títulos de crédito1.8
As operações de desconto consistem em antecipar 
o recebimento de títulos de créditos que possuem 
vencimentos em uma data futura. Geralmente, 
essas operações são de curto prazo e objetivam 
a obtenção de capital de giro disponível.
Você sabe quais são os títulos de crédito que são descontados com maior 
frequência no sistema financeiro? Dentre eles, constam:
Figura 6: Títulos de crédito.
Existem ainda, outros títulos de créditos que também podem ser 
descontados como, por exemplo, as notas promissórias, notas 
promissórias rurais e letras de câmbio. Porém, são menos comuns, não 
ocorrendo normalmente no sistema financeiro.
Vamos entender a definição de desconto?
Desconto é o valor que será deduzido do valor de 
face do título de crédito.
Valor de face:
Conhecido também 
como valor nominal, 
é a importância a 
ser paga na data de 
vencimento
Título de crédito
Documento que 
comprova a 
existência de uma 
dívida.
 UNIUBE 25
Cabe salientar que o cálculo do desconto é efetuado com base no tempo 
que o mesmo será antecipado. Geralmente, o período de antecipação é 
mensurado em dias.
IMPORTANTE!
No regime de juros simples, existem dois tipos de desconto:
• Desconto comercial, bancário ou “por fora”.
• Desconto racional, simples ou “por dentro”.
Os dois se diferem em relação à forma de incidência dos juros 
sobre o valor principal do título.
Figura 7: Forma de incidência dos juros sobre o valor principal do título.
Matematicamente, o desconto pode ser representado da seguinte 
forma:
D = N - A , em que:
D = Desconto
N = Valor nominal (valor de face)
A = Valor atual (valor do título na data presente)
26 UNIUBE
1.8.1 Desconto comercial, bancário ou “por fora” 
Fórmula: Dc = N x i x n em que:
Dc = Desconto comercial
N = Valor nominal
i = taxa de desconto (geralmente dada ao mês)
n = prazo de antecipação (geralmente dado em dias) 
Não deixe de transformar o prazo para a mesma unidade de tempo da 
taxa.
1.8.2 Desconto racional, “simples” ou “por dentro” 
Fórmula: Dr = A x i x n em que:
Dr = Desconto racional
A = valor atual (valor presente do título).
i = taxa de desconto (geralmente dada em mês)
n = prazo de antecipação (geralmente dado em dias) 
Não deixe de transformar o prazo para a mesma unidade de tempo da 
taxa.
1.8.3 Comparando o Desconto comercial com o Desconto racional
Para que compreenda a diferença entre Desconto comercial e Desconto 
racional, você precisa saber como as instituições financeiras realizam 
as operações de descontos. Veja, passo a passo, como essas 
transações ocorrem.
 UNIUBE 27
1º Passo - A empresa leva o título de crédito na instituição financeira.
2º Passo - A instituição financeira poderá ou não consultar a veracidade 
do título de crédito entrando em contato com o emitente (devedor), 
reservando-se o direito de não descontá-lo caso conste algo irregular, ou 
ainda, se o emitente (devedor)tenha alguma restrição de crédito em seu 
nome.
3º Passo - A instituição financeira antecipa o pagamento do título de crédito 
à empresa, cobrando-lhe juros equivalentes aos dias de antecipação. Juros 
estes denominados “desconto”.
4º Passo - O título de crédito ficará custodiado (guardado) na instituição 
financeira, que fará a cobrança do mesmo.
5º Passo - Quando o devedor (emitente sacado) efetuar o pagamento, o 
dinheiro ficará para a instituição que o descontou.Vejamos esses conceitos na seguinte situação.
Situação III: O Magazine Universitário S/A está vendendo 
calculadoras financeiras no valor de R$ 450,00 para pagamento em 
30 dias, por meio de cheque pré-datado. Ao vender uma calculadora 
para o Sr. Sanches, com cheque pré-datado, conforme as condições 
de venda adotadas pela empresa, a mesma pretende descontá-lo em 
uma instituição financeira. O Banco Uberaba S/A informa que irá cobrar 
uma taxa de desconto de 2% ao mês.
Dessa forma, qual será o valor do desconto (juros) cobrado pela 
instituição financeira e o qual será o valor atual recebido pela 
empresa Magazine Universitário S/A, sabendo-se que:
a) o critério de cálculo será pelo Desconto comercial.
b) o critério do cálculo será pelo Desconto racional.
28 UNIUBE
Vamos acompanhar o raciocínio para cada modalidade de desconto.
a) Desconto comercial 
N = 450 (valor do cheque)
n = 30 dias (prazo de antecipação) = 1 mês
i = 2% ao mês = 0,02 ao mês (juros cobrados pelo Banco)
Dc = N x i x n A = N - Dc
Dc = 450 x 0,02 x 1 A = 450 - 9
Dc = 9,00 A = 441
Portanto, o valor de desconto será de R$ 9,00 e o valor recebido pelo 
Magazine Universitário S/A será de R$ 441,00.
Passaremos agora, à resolução da letra b, referente ao desenvolvimento 
do cálculo do Desconto racional:
b) Desconto racional
A = ? (não sabemos ainda o valor atual, uma vez que é exatamente 
o que queremos calcular).
n = 30 dias (prazo de antecipação) = 1 mês
i = 2% ao mês = 0,02 ao mês (juros cobrados pelo banco) 
N = 450
1) Dr = A x i x n
2) D = N - A
Substituindo 2 em 1, teremos:
N - A = A x i x n
 UNIUBE 29
Portanto:
N = A + A x i x n 
N = A (1 + i x n)
A = N / (1 +in)
ou
Dr = A x i x n
Dr = 441,18 x 0,02 x 1
Dr = 8,82
Portanto, o valor de desconto será de R$ 8,82 e o valor recebido pelo 
Magazine Universitário S/A será de R$ 441,18.
Chamamos sua atenção para o seguinte detalhe: o valor do Desconto 
comercial é maior que o do Desconto racional. Dessa forma, o Magazine 
Universitário S/A pagará mais juros caso desconte esse cheque 
pré-datado no Desconto comercial.
As instituições financeiras optam pela utilização do Desconto comercial e, 
justamente por esse motivo, que ele é chamado de Desconto comercial 
ou bancário.
Outrossim, observem que o Desconto comercial é calculado pelo valor 
nominal e o Desconto racional é calculado pelo valor atual. Sendo o 
valor atual sempre menor que o valor nominal, podemos representá-los 
em dois círculos, conforme Figura 8, a seguir:
A = 450/(1+0,02x1) = 450/1.02 = 441,18
D = N - A
D = 450 - 441,18 = 8,82
30 UNIUBE
Figura 8: Desconto “por dentro” e Desconto “por fora”.
Fonte: Silva (2005).
Esperamos que tenha ficado mais fácil diferenciar o “desconto por 
dentro” e “desconto por fora”. Vale ressaltar que esses dois termos 
são muito utilizados em concursos e a maior parte dos candidatos 
comete erros por confundirem a fórmula correta a ser utilizada.
1.8.4 Equivalência de capital em desconto de títulos
Agora, que já sabemos diferenciar o Desconto comercial e o 
Desconto racional, temos uma outra situação muito comum no 
mercado. Em certos casos, o cliente de uma determinada empresa, 
devedor de um título de crédito, pode propor negociações que 
envolvam substituição do título de crédito, modificando as datas de 
vencimentos.
Isso é perfeitamente possível, porém o beneficiário (credor) só deverá 
aceitar a negociação se obtiver o mesmo valor atual do título caso o 
mesmo seja descontado. Damos o nome a essa transação financeira de 
“equivalência de capital”. Podemos compreender melhor esse conceito 
resolvendo a situação a seguir.
 UNIUBE 31
Situação IV: Vamos supor que o Sr. Sanches, emissor do cheque 
pré-datado no valor de R$ 450,00, com vencimento para 30 
dias, resolve trocá-lo com o Magazine Universitário S/A por outro 
documento com vencimento para daqui a 45 dias, consequentemente 
ganhando mais 15 dias de prazo. Portanto, o valor do novo documento 
não poderá ser calculado simplesmente acrescendo ao valor original, 
que no caso é de R$ 450,00, os juros correspondentes aos 15 dias a 
mais de prazo.
Primeiramente, o credor, que, no exemplo, será o Magazine 
Universitário S/A, deverá verificar se o cheque de R$ 450,00, caso fosse 
descontado, seria pelo desconto comercial ou pelo desconto racional. 
Em seguida, basta igualar os dois valores atuais, ou seja, o valor atual 
do título antigo deverá ser igual ao valor atual do título novo. Após, 
efetue os cálculos encontrando a variável que queremos saber, que é 
o novo valor atual.
Desenvolvendo:
a) Equivalência de capital calculada por meio de desconto 
comercial: 
Título original Novo título
N = 450,00 N’ = ?
n= 30 dias = 1 mês n’= 45 dias = 1,50 mês
 
Taxa de desconto: i = 2% ao mês = 0,02 ao mês
Sabendo-se que a fórmula do valor atual é: A = N ( 1 - i x n)
32 UNIUBE
A = A’
N x (1 - i x n) = N’ x (1 - i x n’)
450 x (1 - 0,02 x 1) = N’ x (1 - 0,02 x 1,5)
450 x 0,98 = N’ x (1 - 0,03)
441 = N’ x 0,97
N’=441/0,97 = 454,64
Portanto, o valor do novo título deverá ser de R$ 454,64, com 
vencimento para daqui a 45 dias, uma vez que, no caso de ser 
descontado, irá proporcionar o mesmo valor atual do título de R$ 450,00 
com vencimento para 30 dias, ou seja, o valor atual seria igual a R$ 
441,00.
b) Equivalência de capital calculada pelo Desconto racional: 
Título original Novo título
N = 450,00 N’ = ?
n= 30 dias = 1 mês n’= 45 dias = 1,50 mês 
Taxa de desconto: i = 2% ao mês = 0,02 ao mês
A fórmula do valor atual, utilizando o desconto racional é a seguinte:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 .
'
'
1 . 1 . '
450 '
1 0,02.1 1 0,02.1,50
450 '
1,02 1 0,03
'441,176471
1,03
' 441,176471.1,03
' 454,411765
' 454,41
NA
i n
A A
N N
i n i n
N
N
N
N
N
N
=
+
=
=
+ +
=
+ +
=
+
=
=
=
≅
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 .
'
'
1 . 1 . '
450 '
1 0,02.1 1 0,02.1,50
450 '
1,02 1 0,03
'441,176471
1,03
' 441,176471.1,03
' 454,411765
' 454,41
NA
i n
A A
N N
i n i n
N
N
N
N
N
N
=
+
=
=
+ +
=
+ +
=
+
=
=
=
≅
 UNIUBE 33
Portanto, o valor do novo título deverá ser de R$ 454,41, com 
vencimento para daqui a 45 dias, uma vez que, no caso de ser 
descontado, irá proporcionar o mesmo valor atual do título de R$ 
450,00 com vencimento para 30 dias, ou seja, o valor atual seria, 
aproximadamente, de R$ 441,18.
Conclusão1.9
Agora, que você já conhece alguns “segredos” da Matemática financeira, 
deve prosseguir seu estudo, reforçando conceitos e desenvolvendo 
exercícios. Só se aprende Matemática financeira resolvendo muitos 
exercícios e, inclusive, diversas vezes cada um deles.
Este é apenas o começo do estudo da Matemática financeira, quando 
você teve a oportunidade de aprender conceitos elementares e estudar 
o regime de capitalização de juros simples.
Passemos ao conjunto de atividades que lhe permitirá construir novos 
conhecimentos a partir do que foi abordado neste capítulo.
Resumo
Neste capitulo abordamos um conteúdo da Matemática financeira que a 
torna um importante instrumento para tomada de decisão. Você nota que, 
ao iniciar os estudos da disciplina, algumas perguntas inevitavelmente 
passam pela sua cabeça: qual o seu campo de aplicação? Qual a sua 
utilidade prática? Ela fará alguma diferença em minha vida? E você 
percebe o quanto ela está entranhada na sua vida. Iniciamos o conteúdo 
ensinando como se utiliza a calculadora, os conceitos, termos e notações 
que são frequentemente utilizados pela Matemática financeira, bem 
como, pelo mercado empresarial e financeiro como um todo. Espero que 
tenha compreendido os conceitos estudados e caso tenha tido alguma 
dúvida volte ao texto e releia-o e também resolva os exercícios! 
34 UNIUBE
Atividades
Atividade 1
1.1 - Você aplicouR$ 4.800,00 por 10 meses à taxa de 25%a.a. Calcule 
o juro obtido.
1.2 - Qual o valor que resgatou o aplicador que investiu R$ 56.000,00 
pelo prazo de 3 anos à taxa de 5% a.m.?
Atividade 2
Por quanto tempo deve ser aplicado um capital de R$ 16.000,00 à taxa 
de juros de 16% ao ano, para que, final deste período, o valor acumulado 
seja de R$ 16.640,00?
Atividade 3
3.1 - Você aplicou R$ 5.000,00 num banco por 2 meses à taxa de 5% 
a.m.. Sabe-se que incide uma alíquota de 25% sobre os juros. Calcule:
a) o valor dos juros
b) o imposto de renda retido
c) o valor líquido de resgate
d) a taxa efetiva mensal de rendimento
3.2 - Uma instituição financeira faz empréstimos e cobra 12% a.m. de 
juros simples que devem ser pagos antecipadamente pelo tomador . 
Qual a taxa efetiva que o tomador paga por empréstimo de R$ 30.000,00 
por 3 meses? 
 UNIUBE 35
Atividade 4
4.1 - Uma determinada mercadoria é vendida à vista por R$ 130,00. Mas 
se o comprador desejá-la comprar a prazo, deverá dar uma entrada de 
20% e o restante será pago após 30 dias. Entretanto, a segunda parcela 
terá juros e totalizará um montante de R$ 106,90. Qual a taxa de juros 
cobrada na venda a prazo?
4.2 - Cláudio deseja financiar a compra de um home theather no valor 
de R$ 3.000,00, em uma entrada mais três prestações mensais de 
R$1.000,00. Sabendo que será cobrada uma taxa de 1,8% a.m. no 
regime de juros simples, calcule o valor da entrada.
Atividade 5
5.1 - Uma duplicata no valor de $ 4.500,00 foi descontada 60 dias antes 
de seu vencimento a uma taxa de 25% a. a.
a) Qual foi o desconto comercial que sofreu? 
b) Quanto recebeu seu portador? 
c) Se o desconto fosse racional, qual a taxa anual que corresponderia ao 
mesmo valor descontado?
5.2 - Uma empresa oferece os seguintes títulos para serem descontados 
num banco comercial: 
Vencimento ( dias ) Valor do título (R$)
30 10.000,00
60 20.000,00
90 30.000,00
Total 60.000,00
36 UNIUBE
Determinar o valor a ser creditado na conta desta empresa, por essa 
operação de desconto, assumindo o mês com 30 dias e sabendo-se que 
a taxa de desconto comercial acertada é de 1% a.m.+
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 9. ed. 
São Paulo: Atlas, 2006.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil – 13 ed. 
São Paulo: Saraiva 2002.
HOUAISS, A. Dicionário Houaiss da língua portuguesa. Rio de janeiro: 
Objetiva, 2001.
SILVA, Cássio Silveira da. Matemática financeira: com utilização da calculadora 
HP12C. Uberaba, 2005 (apostila).
VERAS, Lilia Ladeira. Matemática financeira: uso de calculadoras financeiras, 
aplicações ao mercado financeiro, introdução à engenharia econômica. 4. ed. 
São Paulo: Atlas, 2001.
Cássio Silveira da Silva
Juliane Miziara Machado Borges
Introdução
Conhecendo o poder da 
capitalização dos juros
Capítulo
2
Prezado aluno, no Capítulo 1 – Matemática como instrumento 
para tomada de decisão – vimos que a Matemática pode ser 
utilizada para auxiliar os gestores a tomarem decisões financeiras. 
Estudamos conceitos básicos de Matemática comercial, sistema 
de capitalização simples e desconto de títulos de crédito. 
Agora, iremos conhecer uma nova forma de capitalização, 
conhecida como “juros compostos” ou capitalização composta. O 
critério da capitalização composta é o mais utilizado no mercado 
financeiro, uma vez que o custo do capital é calculado de forma 
mais precisa, remunerando não só o capital como também os juros 
que deveriam ser obtidos, período a período. Esse sistema de 
capitalização também é conhecido como “juros sobre juros”. 
Trabalhando com consultoria em finanças, já presenciamos várias 
situações em que pessoas físicas ou empresas levam prejuízos 
significativos por desconhecerem o sistema de capitalização 
composta. Esse sistema, por remunerar não somente o capital 
como também os juros obtidos período a período, “multiplica” o 
capital de forma exponencial, fazendo com que uma dívida triplique 
seu valor, dependendo das taxas de juros contratadas.
38 UNIUBE
A título de exemplo, suponhamos que uma taxa de cartão de 
crédito seja 10,35% ao mês (atualmente, é muito comum encontrar 
essas taxas sendo praticadas por algumas bandeiras de cartões 
de crédito) e uma pessoa esteja financiando um saldo devedor de 
R$ 1.000,00 do cartão de crédito, pretendendo liquidar a dívida 
daqui a um ano. Ao final de doze meses, o saldo devedor terá 
alcançado a incrível cifra de R$ 3.260,38 ou seja, o valor final será 
mais de três vezes o valor inicial.
Alguns estudiosos, professores e consultores de finanças chamam 
os prejuízos gerados pelo desconhecimento e domínio da 
Matemática financeira como “custos da ignorância na Matemática 
financeira”.
Como dissemos anteriormente, no sistema de capitalização 
composta, os juros são calculados a partir de fórmulas 
exponenciais, dificultando o desenvolvimento uma vez que 
teremos que utilizar expoentes, raízes e funções de logaritmo 
natural ou neperiano (Ln). Lembrando que Logaritmo natural 
ou neperiano é o logaritmo de base “e” (2,718281). O lagoritmo 
neperiano de x (lnx) é a potência a que se deve elevar “e” para 
se obter “x”.
Para facilitar os cálculos, existem as calculadoras financeiras. 
Compactas, fáceis de serem transportadas e, como dizia um 
dos papas da Economia e Finanças, Mário Henrique Simonsen 
(1935-1997), engenheiro, especializado em Economia e ex-ministro 
da Fazenda, “cabem no bolso de um paletó”.
Além das calculadoras financeiras, temos os palm’s e planilhas 
eletrônicas, que é o caso do MS Excel, que facilitam a “vida” 
daqueles que necessitam efetuar cálculos de capitalização 
composta.
 UNIUBE 39
Portanto, nessa etapa do estudo, é de fundamental importância a 
aquisição de uma calculadora financeira, conforme recomendações 
do capítulo anterior, para que você consiga um maior aproveitamento 
nos estudos. 
Muitos alunos tentam acompanhar os estudos de Matemática 
financeira utilizando calculadoras científicas, que podem ser 
utilizadas sem nenhum tipo de problema para efetuarem algumas 
operações financeiras. Entretanto, para calcular taxa interna de 
retorno, fluxo de caixa e alguns outros cálculos mais complexos as 
máquinas científicas ficam limitadas, exigindo muito conhecimento 
matemático de seu usuário.
Um bom motivo para que você adquira uma calculadora financeira 
é a velocidade de resposta que a calculadora financeira é capaz 
de fornecer.
Por questões didáticas e mercadológicas, iremos adotar a 
HP12C para elaborar nossos exemplos e explicações. Portanto, 
recomendo que você adquira uma calculadora desse modelo, 
de preferência o modelo tradicional ou também conhecido como 
“HP12C Gold”.
Desejamos-lhe bons estudos.
Objetivos
Esperamos que os conteúdos trabalhados neste capítulo sejam 
capazes ajudá-lo a desenvolver as seguintes habilidades: 
• calcular o custo do dinheiro no tempo,
• conhecer e aplicar fórmulas matemáticas para cálculos 
financeiros de juros compostos;
40 UNIUBE
• conhecer e manusear a calculadora financeira HP 12C;
• utilizar a Matemática financeira como instrumento de gestão 
para tomada de decisão;
• identificar o caráter interdisciplinar entre o conhecimento 
matemático, administrativo, contábil e econômico;
Esquema
• Calculando juros, montante, capital e prazo
• Cálculo de juros para números não inteiros 
e períodos
Dicas de utilização da
calculadora financeira
Capitalização composta
Data focal
Equivalência de taxa a
juros compostos
Desconto composto
Taxa nominal e Taxa
efetiva
Dicas de utilização da calculadora financeira2.1
Antes de iniciarmos os estudos de regime de capitalização composta, 
conforme falamos anteriormente, daremos ênfase a algumas importantes 
funções e teclas da HP12C que você utilizará com maior frequência. 
Cabe observar que não pretendemos aqui escrever sobre todas as funções 
da referida calculadora e, muito menos, detalhar todas as operações 
possíveis de serem feitas utilizando tal ferramenta. Osdetalhes sobre as 
funções, operações e cuidados com o equipamento você deverá conhecer 
estudando detalhadamente o manual que acompanha sua calculadora.
 UNIUBE 41
Depois dessas recomendações, vamos as dicas do Quadro 1:
Podemos garantir que o estudo do manual da calculadora é um importante 
ingrediente para solidificar o conhecimento de Matemática financeira. A 
calculadora financeira está para o gestor de finanças assim como o bisturi 
está para o cirurgião.
IMPORTANTE!
Quadro 1: Sequência de teclas das funções básicas da calculadora.
Teclas Visor Significado
ON 0,00 Liga a calculadora.
CLx 0,00 Apaga o número que está no visor.
f 2 0,00
Para fixar o número de casas decimais basta 
teclar o f (segunda função) de cor laranja 
e, em seguida, teclar o número de casas 
desejadas. No exemplo, fixamos em 2 (duas) 
casas decimais.
f REG 0,00
Trata-se de uma função “Clear” que apaga 
todos os regis tradores (registros de 
memória, registros financeiros, etc...)
f Fin 0,00
Também se refere a função “Clear” que limpa 
os registradores financeiros.
As teclas que apagam os registradores são de grande importância, 
principalmente aquela que limpa os registradores financeiros (f Fin), uma 
vez que os números armazenados nas teclas financeiras permanecem 
guardados até que sejam substituídos ou apagados através da função 
“clear” descrita. Mesmo se a calculadora financeira for desligada, 
os números armazenados em suas memórias não deixam de existir, 
permanecendo até que sejam apagados com comando específico 
(função “clear”).
42 UNIUBE
No caso dos cálculos financeiros, os números armazenados podem 
influenciar resultados, provocando erro no resultado desejado, podendo 
causar grandes transtornos para o usuário, uma vez que o mesmo poderá 
tomar decisões erradas em uma prova ou no fechamento de um negócio.
E por falar em memórias, a calculadora HP12C possui 20 memórias que 
podem ser utilizadas para armazenamento de números. Os números ali 
armazenados podem ser recuperados mesmo depois que você desligou 
a calculadora. Podem ser realizadas operações (multiplicação, divisão, 
adição e subtração), com os números que estão armazenados, sendo 
estes substituídos pelo resultado obtido. Para utilizar esse recurso, leia a 
Seção 1 (Introdução ao Uso), item “Registradores e Armazenamento” do 
manual da calculadora HP12C e, também, observe o quadro, a seguir.
Para armazenar um número, utilizando esse recurso, você deverá 
informar o número que pretende armazenar e, teclar STO (Store = 
armazenar) e, em seguida, escolher um número de “0” a “9” armazenando 
os dados em umas das 10 (dez) primeiras memórias da máquina. Caso 
necessite, você poderá teclar STO e, em seguida, “.” (ponto) e um número 
de “0” a “9” para utilizar as outras 10 memórias existentes, perfazendo o 
total de 20 memórias disponíveis. Veja o Quadro 2:
Quadro 2: Sequência de teclas a serem usadas numa situação de utilização da função STO 
da calculadora.
Passo Teclas Visor Significado
1 ON 0,00 Liga a calculadora.
2 F 2 0,00
Posicionar a calculadora em duas 
casas decimais.
3 F REG 0,00 Limpar os registradores.
4 500 500,
Informe o valor que pretende utilizar 
em seus cálculos.
 UNIUBE 43
Suponhamos que você deseja somar R$ 50,00 com o valor que está 
armazenado na memória “2” (R$ 600,00) e, em seguida, armazenar o 
resultado na própria memória dois, substituindo o número anterior pelo 
novo resultado. Dessa forma você poderia proceder da seguinte maneira 
(Quadro 3):
5 STO 1 500,00
Armazenar o valor que está no visor 
na memória “1”
6 600 600,
Informe o valor que pretende utilizar 
em seus cálculos
7 STO 2 600,00
Armazenar o valor que está no visor 
na memória ‘2”
8 1200 1.200,
Informe o valor que pretende utilizar 
em seus cálculos
9 STO .2 1.200,00
Armazenar o valor que está no visor 
na memória “.2” (ponto dois).
.
Quadro 3: Sequência de teclas a serem usadas na situação proposta acima
Passo Teclas Visor Significado
1 ON 0,00 Liga a calculadora.
2 50 50,
Informe o valor que pretende utilizar 
em seus cálculos.
3 STO + 2 50,00
Somar o número do visor ao número 
que está armazenado na memória 2 
(dois).
4 RCL 2 650,00
Recuperar o valor armazenado 
na memória “2”, que nesse caso 
é o resultado de 600,00 (número 
armazenado anteriormente) 
somado ao 50,00 (utilizado na 
operação atual).
A HP12C também possui as memórias financeiras, no total de 5 teclas 
utilizadas para desenvolver cálculos financeiros de juros compostos. Os 
números que são armazenados nessas teclas podem ser substituídos por 
outros dados inseridos na mesma tecla ou ainda apagados utilizando a 
função “clear” por meio das teclas “f Fin”, conforme explicado anteriormente.
44 UNIUBE
As teclas são as descritas no Quadro 4:
Quadro 4: Sequência de teclas a serem usadas no cálculo de juros compostos
Teclas da HP12C Função
n Números de períodos ou prestações
PV Valor Presente ou Capital
i Taxa de Juros (Percentual)
FV Valor Futuro ou Montante
PMT
Valor dos Pagamentos ou Prestações (quando os 
valores são iguais)
Para visualizar os valores armazenados nestes registradores, basta 
acionar a tecla RCL e, logo em seguida, a tecla desejada, como descrito 
no Quadro 5:
Quadro 5: Sequência de teclas a serem usadas numa situação de cálculo de juros impostos
Passo Teclas Visor Significado
1 ON 0,00 Liga a calculadora.
2 f 2 0,00
Posicionar a calculadora em duas 
casas decimais
3 f Fin 0,00 Limpar os registradores
4 5 5,
Informe o valor que pretende utilizar 
em seus cálculos
5 n 5,00
Tecle “n” para inserir o número de 
períodos
6 30 30,
Informe o valor que pretende utilizar 
em seus cálculos
7 PV 30,00
Tecle “PV” para inserir o valor 
presente.
8 2 2,
Informe o valor que pretende utilizar 
em seus cálculos
9 i 2,00
Tecle “i” para inserir a taxa de juros, 
que nesse caso será de 2,00 % 
 UNIUBE 45
Para recuperar os números armazenados, a fim de checar se foram 
informados corretamente, para rever informações ou para outra finalidade 
que se fizer necessária, basta utilizar a tecla RCL (Recall = recuperar) e, 
logo em seguida, pressionar a tecla financeira desejada. 
Quando a calculadora sai da fábrica, ela fica configurada para expressar 
os valores na maneira americana, ou seja, a separação da parte inteira 
da parte decimal dos números é feita com o “.” (ponto) e os grupos de 3 
dígitos são separados por “,” (vírgula), conforme se vê em: US$ 1,237.58.
Em determinados momentos, tal configuração pode confundir o usuário 
brasileiro, uma vez que temos o hábito de separar as casas que indicam 
milhares com “.” (ponto) e a parte inteira da decimal por “,” (vírgula), 
conforme se nota em: R$ 1.237,58 
Para fazer a alteração, basta desligar a calculadora, pressionar e manter 
pressionada a tecla do ponto (“.”) e, em seguida, pressionar a tecla 
“ON”, soltando-as simultaneamente. Se repetir novamente a operação a 
calculadora voltará a ser usada com a configuração original.
Muitas pessoas, ao adquirirem um novo equipamento, não têm o hábito 
de fazer a leitura do manual. Tenho certeza que você conhece milhares 
de pessoas que, ao adquirirem um novo celular, um aparelho de DVD, um 
carro, um aparelho de TV, e tantos outros aparelhos eletrônicos não fazem a 
leitura do manual e aprendem a manusear o equipamento com experiências 
adquiridas anteriormente, por deduções ou tentativa e erro. Talvez esse 
seja o motivo de redução de vida útil do equipamento, danos que algumas 
vezes são irreversíveis ou subutilização do produto, não usufruindo todos os 
benefícios que o mesmo pode oferecer. Dessa maneira, convidamos você 
a quebrar esse velho paradigma e fazer uma leitura muito interessante e 
importante para que aprenda dominar todas as funções de sua calculadora 
que serão utilizadas nos cálculos financeiros.
SAIBA MAIS
46 UNIUBE
Portanto, você deverá realizar a leitura dos itens abaixo, que compõem o 
manual de sua HP12C. Os itens que deverão ser lidos e que você poderá 
localizá-los pelo índice são:1. Introdução
2. Facilitando os cálculos financeiros
3. Parte I – Resolvendo problemas
4. Seção 1 – Introdução ao uso
5. Seção 2 – Funções de porcentagem e de calendário
6. Seção 3 – Funções financeiras básicas
7. Seção 5 – Recursos adicionais de operação
8. Seção 7 – Funções matemáticas e de alterações de números
9. Apêndice C: Condições de erros
10. Apêndice E: Bateria, garantia e informações sobre assistência técnica
11. Índices das teclas de funções.
Caso você não possua o manual da calculadora, o mesmo encontra-se 
disponível acessando endereço, a seguir, que é do site da HP:
Tenha certeza de que, somente com a prática, a utilização da calculadora 
financeira se tornará algo natural.
Manual da calculadora financeira <http://h10025.www1.hp.com/ewfrf/wc/
manualCategory?lc=pt&cc=br&dlc=pt&product=81575>
PESQUISANDO NA WEB
 UNIUBE 47
Capitalização composta2.2
Agora que você já realizou a leitura do manual de sua calculadora, 
vamos iniciar nosso estudo sobre capitalização composta, ou o chamado 
popularmente de “juros sobre juros”.
Na capitalização composta, conforme explicado anteriormente, os juros 
incidem no montante do final de cada período, ou seja, são calculados 
os juros de um determinado capital. O juro é somado ao capital formando 
um montante (juros + capital) que, no próximo período, receberá os juros. 
Dessa forma, os juros também rendem juros. A capitalização composta é 
uma sucessão de juros simples tomados período por período.
Um capital de $ 100 será ajustado por juros compostos a uma taxa de 
2%, por período, durante 5 períodos, assim:
 100 110,41108,24106,12104,04102 i = 2%
0 54321 n = períodos
EXEMPLIFICANDO!
2.2.1 Calculando juros, montante, capital e prazo
Para calcular juros pelo regime de capitalização composta, torna-se 
necessário utilizar fórmulas que contenham expoentes, pois os juros 
compostos também são conhecidos como juros exponenciais. 
As calculadoras financeiras já vêm programadas para elaborarem 
cálculos de juros compostos e as Planilhas Eletrônicas (como por 
exemplo, o MS Excel), por sua vez, possuem um assistente de função 
com várias fórmulas financeiras, facilitando assim a vida dos gestores 
que necessitam tomar decisões com base nos cálculos financeiros para 
minimizar riscos.
48 UNIUBE
Antes de apresentar a primeira fórmula, devemos ter consciência de que, 
aprender utilizar a calculadora é importante, uma vez que facilita nossos 
cálculos, porém devemos saber trabalhar com as fórmulas matemáticas para 
que possamos compreender e demonstrar cálculos, caso seja necessário. 
Em concursos públicos, provas para ingresso em pós-graduação, perícia 
jurídica e outros tipos de trabalho torna-se necessário demonstrar todos os 
passos utilizados na elaboração dos cálculos.
IMPORTANTE!
Agora que já fizemos as recomendações quanto à importância da 
utilização de fórmulas, apresento a você a principal fórmula para calcular 
os juros compostos:
J = PV . ((1+ i)n – 1) em que:
J = Juros PV = Valor presente ou Capital
n = Prazo ou período i = Taxa de juros
A seguir, vamos criar uma sequência de situações-exemplos em que você 
aplicará os conceitos vistos até aqui e desenvolveremos sua resolução.
Situação I: O Sr. Aderbal aplicou R$ 3.750,00 no Banco de Uberaba S/A 
durante 5 meses a uma taxa de 2,50% ao mês. Calcule qual foi o juro 
que o Sr. Aderbal ganhou durante o período que o recurso ficou aplicado.
 UNIUBE 49
Quadro 6: Resolução algébrica da Situação I
Dados Resolução algébrica
PV = 3.750,00
n = 5 meses
i = 2,50 % a.m. ou 0,025 a.m.
J = PV . ((1+ i)n - 1)
J = 3750 . ((1 + 0,025)5 - 1)
J = 3750 . ((1,025)5 - 1)
J = 3750 . (1,131408 - 1)
J = 3750 . 0,131408
J = 492,78
Não temos teclas na calculadora financeira que permitam calcular 
diretamente o valor dos juros, entretanto podemos calculá-los pela 
diferença entre o Valor Futuro e o Valor Presente (J=FV-PV). 
Para tornar possível a resolução pelo cálculo do Valor Futuro, devemos 
primeiramente conhecer a fórmula utilizada para cálculo do montante.
FV = PV . (1 + i)n
• Aplicando a fórmula do valor futuro no exemplo anterior e calculando 
o montante da aplicação, teremos:
Quadro 7: Cálculo do valor futuro
 
Dados Resolução Algébrica
PV = 3.750,00
n = 5 meses
i = 2,50 % a.m. ou 0,025 a.m.
FV = ???
FV = PV . (1 + i)n
FV = 3.750, . (1 + 0,025)5
FV = 3.750, . (1,025)5
FV = 3.750, . 1,131408
FV = 4.242,78
50 UNIUBE
• Representação gráfica da Situação I pelo diagrama abaixo:
Figura 1: Representação gráfica da situação do Quadro 7.
PV= 3.750,00
1º mês 2º mês 3º mês 4º mês 5º mês0
FV= 4.242,78
A seta para baixo significa que está acontecendo uma saída de recursos 
do “caixa” para que sejam aplicados e, por sua vez, a seta voltada para 
cima indica que está ocorrendo uma entrada de recursos no “caixa” após 
o resgate da aplicação.
• Para desenvolver a situação exposta no Quadro 7, utilizando as teclas 
financeiras da HP12C, teremos:
Quadro 8: Sequência de teclas a serem usadas nas etapas do Quadro 7
Passo Teclas Visor Significado
1 ON 0,00 Liga a calculadora.
2 f 2 0,00
Posiciona a calculadora em duas 
casas decimais.
3 f Fin 0,00 Limpa os registradores.
4
3750 CHS 
PV
- 3.750,00
Informe o valor presente, mude 
o sinal para negativo pela tecla 
“CHS” e, em seguida, tecle “PV”.
5 5 n 5,00 Informe o período e tecle “n”. 
 UNIUBE 51
6 2,5 i 2,50
Informe a taxa de juros e tecle “i” 
(não é necessário dividir a taxa por 
cem).
7 FV 4.242,78
Tecle “FV” para ser calculado o 
valor futuro da operação.
O valor futuro será de R$ 4.242,78
As calculadoras financeiras trabalham com fluxo de caixa, ou seja, trabalham 
com entrada e saída de recursos. Dessa forma, quando existe saída de 
recursos ela indica outro recurso entrando e vice-versa. O sinal de negativo 
indica saída de capital e o sinal positivo indica a entrada.
Para calcular o Valor Presente, podemos utilizar a seguinte fórmula:
IMPORTANTE!
( )1
=
+ n
FVPV
i
Situação II: O Sr. Joseph pretende viajar para o exterior daqui a 10 meses e 
necessitará, na ocasião da viagem, uma quantia de R$ 12.800,00. Sabendo que 
a taxa de juros é de 3,00 % ao mês, qual será o valor que ele deverá aplicar 
hoje para que, ao final da aplicação, consiga o valor futuro desejado?
52 UNIUBE
Quadro 9: Resolução algébrica da Situação II
Dados Resolução algébrica
FV = 12.800,00
n = 10 meses
i = 3,00 % a.m. ou 0,03 a.m.
PV = ???
• Representação gráfica dessa situação pelo diagrama abaixo:
Figura 2: Representação gráfica da Situação correspondente ao Quadro 9.
PV= 9.524,40
2º mês 4º mês 6º mês 8º mês 10º mês0
FV= 12.8000,00
• Para desenvolver dessa situação utilizando as teclas financeiras da 
HP12C, teremos o Quadro 10:
Quadro 10: Sequência de teclas a serem usadas na calculadora, para resolução da Situação II
Passo Teclas Visor Significado
1 ON 0,00 Liga a calculadora.
2 f 2 0,00
Posiciona a calculadora em 
duas casas decimais.
3 f Fin 0,00 Limpa os registradores.
( )
( )
( )
10
10
1
12.800
1 0,03
12.800
1,03
12.800 9.524,40
1,343916
n
FVPV
i
PV
PV
PV
=
+
=
+
=
= =
 UNIUBE 53
4 12800 FV 12.800,00
Informe o valor futuro e, em 
seguida, tecle “FV”.
5 10 n 10,00 Informe o período e tecle “n”. 
6 3 i 3,00
Informe a taxa de juros e tecle 
“i” (não é necessário dividir a 
taxa por cem).
7 PV - 9.524,40
Tecle “PV” para ser calculado 
o valor presente da operação.
O valor presente será de R$ 9.524,40
1) O valor presente apareceu no visor de sua calculadora com sinal negativo 
porque ela está trabalhando com fluxo de caixa, ou seja, entrada e saída de 
valores. Quando informado o valor futuro positivo (entrada de recursos no 
caixa) a calculadora financeira informa um valor presente (saída de recursos 
no caixa) com o sinal negativo para indicar a saída de recursos.
2) Portanto, nesse caso, o sinal deverá ser ignorado.
3) Não há necessidade de obedecer a uma única sequência para informar os 
valores nas teclas financeiras.Basta que você coloque todas as informações 
necessárias antes de solicitar o cálculo final.
IMPORTANTE!
Situação III: O Sr. Gustavo recebeu a seguinte proposta do gerente 
do Banco de Uberaba S/A: aplicando o valor de R$ 2.700,00 por um 
prazo de 18 meses, ele receberá um valor de R$ 3.592,94. Ajude o 
Sr. Gustavo calcular a taxa de juros mensal que o Banco de Uberaba 
S/A irá pagar por essa aplicação.
54 UNIUBE
• A fórmula que deverá ser utilizada para efetuar cálculos de taxa de 
juros será a seguinte: 
1
1 100
 
  = − ×   
 
nFVi
PV
• Observe a resolução, a seguir, no Quadro 11:
Quadro 11: Resolução algébrica da Situação III
Dados Resolução algébrica
PV = 2.700,00
FV = 3.592,94
n = 18 meses
i = ???
( )
[ ]
1
1
18
0,055556
1 100
3592,94 1 100
2700
1,330719 1 100
1,0160 1 100
0,0160 100 1,60
 
  = − ×   
 
 
  = − ×   
 
 = − × 
= − ×
= × =
nFVi
PV
i
i
i
i
Dessa forma, teremos uma taxa de juros de 1,60% ao mês.
• Representação gráfica da Situação III pelo diagrama abaixo, da Figura 3:
Figura 3: Representação gráfica da Situação III correspondente ao Quadro 11.
PV= 2.700,00
4º mês 8º mês 12º mês 16º mês 18º mês0
FV= 3.592,94
 UNIUBE 55
Quadro 12: Sequência de teclas a serem usadas nessa Situação
Passo Teclas Visor Significado
1 ON 0,00 Liga a calculadora.
2 f 2 0,00
Posiciona a calculadora em 
duas casas decimais.
3 f Fin 0,00 Limpa os registradores.
4 2700 PV 2.700,00
Informe o valor presente e, em 
seguida, tecle “PV”.
5 3592,94 CHS FV - 3.592,94
Informe o valor futuro, mude 
o sinal teclando CHS e, em 
seguida, tecle “FV”.
6 18 n 18,00 Informe o período e tecle “n”. 
7 i 1,60
Tecle “i” para calcular a taxa 
de juros já em percentual.
8 f 6 1,599999
Tabula para 6 (seis) casas 
decimais, caso você tenha 
que utilizar essa taxa para 
outros tipos de cálculos.
A taxa de juros é de 1,60% ao mês ou 1,599999% ao mês.
• Para desenvolver a Situação III, utilizando as teclas financeiras da 
HP12C, teremos:
Situação IV: Calcule por quanto tempo a Srta. Velloni deverá aplicar o 
valor de R$ 15.800,00 para obter um montante de R$ 23.700,00 sabendo 
que a taxa de juros mensal será de 3,75% ao mês.
• Para calcular o período, devemos aplicar uma função de logaritmo 
natural ou neperiano (Ln) pela seguinte fórmula:
( )1
=
+
FVLn
PVn
Ln i
56 UNIUBE
Observe a resolução, a seguir, no Quadro 13:
Quadro 13: Resolução algébrica da Situação IV
Dados Resolução algébrica
PV = 15.800,00
FV = 23.700,00
i = 3,75% ao mês.
n = ???
 n ≅ 11 meses 
0,405465n 11,013892
0,036814
= =
( )
23700Ln Ln1,5015800n
Ln 1 0,0375 Ln1,0375
= =
+
( )
FVLn
PVn
Ln 1 i
=
+
Dessa forma, teremos um prazo aproximado de 11 meses
Cabe observar que não é muito recomendado calcular diretamente o período 
utilizando as teclas financeiras da HP12C, uma vez que a máquina costuma 
arredondar as frações para cima, distorcendo as respostas obtidas.
Para minimizar esse problema, existe uma função ou “anúncio” “C”, 
conforme manual da HP12C que deverá ser requisitada, acionando as 
teclas STO EEX. Nesse momento, aparecerá do lado direito do seu visor 
a letra “C”, informando que a máquina irá calcular os períodos conforme 
princípios de juros compostos. Ela não sairá do visor, mesmo após desligar 
e ligar a calculadora; caso você queira tirá-la do visor, basta utilizar o mesmo 
procedimento descrito acima.
IMPORTANTE!
 UNIUBE 57
Quadro 14: Sequência de teclas a serem usadas na Situação IV
Passo Teclas Visor Significado
1 ON 0,00 Ligar a calculadora.
2 f 6 0,0000000
Posicionar a calculadora em 
seis casas decimais.
3 f Fin 0,000000 Limpar os registradores.
4 STO EEX 0,000000
Irá aparecer no visor o 
anúncio “C”.
5 15800 CHS PV - 15.800,000000
Informe o valor presente, 
modifique o sinal para 
negativo (saída de caixa 
para aplicação) teclando 
CHS e, em seguida, tecle 
“PV”.
6 23700 FV 23.700,00
Informe o valor futuro e, em 
seguida, tecle “FV”.
7 3,75 i 3,75000
Informe a taxa de juros e 
tecle “i”.
8 n 12,000000
Tecle “n” para calcular o 
prazo da aplicação.
Nesse caso, a HP12C fornecerá a resposta 12, ou seja, 12 meses.
Como vimos, pela fórmula, o prazo correto seria 11 meses e 1 dia.
Portanto, não é seguro calcular o prazo pela HP12C.
• Para desenvolver a Situação IV, utilizando as teclas financeiras da 
HP12C, teremos o disposto no Quadro 14:
Outra recomendação importante é não utilizar números não inteiros de 
períodos para informar na tecla “n” para cálculos de juros compostos 
utilizando a HP12C. A informação de números não inteiros para “n” 
pode acarretar problemas de arredondamentos, fazendo com que você 
obtenha um resultado incorreto.
58 UNIUBE
Portanto, caso você tenha que calcular prazos, utilize as fórmulas 
algébricas ou, ainda, funções de períodos de planilhas eletrônicas 
(MS Excel ou similar) que podem ser acionadas pela opção “Inserir”/ 
“Funções”/ “Financeiras” e, em seguida selecione “Período”. Seguindo 
esses procedimentos, o quadro de diálogo aberto pelo programa torna-se 
autoexplicativo.
Logo, vamos ver como resolver Situação IV anterior utilizando a fórmula 
pela HP12C, e não suas funções financeiras:
Quadro 15: Sequência de teclas a serem usadas na Situação IV
Passo Teclas Visor Significado
1 ON 0,00 Ligar a calculadora.
2 f 6 0,000000
Posicionar a calculadora em 
seis casas decimais.
3 f Fin 0,000000 Limpar os registradores.
4 3,75 ENTER 3,750000
Informe a taxa de juros e 
tecle “Enter”
5 100 ÷ 0,037500
Divida taxa de juros por 100 
para transformá-la em taxa 
unitária.
6 1 + 1,037500
Adicione mais 1 (um) 
conforme fórmula.
7 g Ln 0,036814
Acione a função g (tecla 
azul) e, em seguida, tecle 
%T. Dessa forma, você irá 
utilizar a função azul que fica 
na parte inferior da tecla, ou 
seja, irá utilizar o “Ln”.
8 STO 1 0,036814
Armazene o número do visor 
na memória 1 da calculadora.
9 23700 ENTER 23.700,000000
Informe o valor futuro e tecle 
ENTER
10 15800 ÷ 1,500000
Informe o valor presente e 
tecle o sinal de dividir.
 UNIUBE 59
11 g Ln 0,405465
Acione a função g (tecla 
azul) e, em seguida, tecle 
%T. Dessa forma, você irá 
utilizar a função azul que fica 
na parte inferior da tecla, ou 
seja, irá utilizar o “Ln”.
12 RCL 1 0,036814
Recupere o valor armazenado 
na “Memória 1”
13 ÷ 11,013892 Tecle o sinal de divisão.
O prazo da aplicação será de 11 meses.
Vale observar que a fração deverá ser transformada em dias, conforme 
explicado na situação anterior. Para isso, deveríamos subtrair o número 
inteiro, ou seja, o número 11 (onze) e multiplicar a fração por 30. Dessa 
forma, ficaria assim:
0,013892 x 30 = 0,416760 dias 
Isso significa que o prazo será de 11 meses e, aproximadamente, 1 dia.
2.2.2 Cálculo de juros para números não inteiros e períodos
Quanto mais exercícios você realizar, acabará percebendo que, em 
determinados momentos, poderá se deparar com operações financeiras 
cujo período não se apresenta de forma “inteira”, ou seja, o prazo da 
operação é parte inteira e parte fracionada.
Quando você estiver diante de uma situação como essa, há duas 
maneiras para calcular a parte fracionada do período. Podemos utilizar 
capitalização composta ou capitalização simples.
60 UNIUBE
Quando utilizamos capitalização composta para parte inteira do período 
e capitalização simples para parte fracionada, damos o nome a esse 
procedimento de “regime de capitalização misto”.
Vamos compreender melhor esse conceito acompanhando a Situação V.
Situação V: Uma empresa firma um contrato de capital de giro com o 
Banco de Uberaba S/A no valor de R$ 6.300,00, cujo vencimento será 
daqui a 5 meses e 21 dias. A taxa de juros contratada foi de 9,50% ao 
mês. Calcule o montante que deverá ser pago, utilizando as seguintes 
opções de pagamento:
a) Regime de capitalização composto. 
b) Regime de capitalização misto.
a) Resolução pelo Regime de Capitalização Composto
Quadro 16: Resolução algébrica da Situação V
Dados Resolução Algébrica