III Teórico - Unidade III - Medidas de Posição

Prévia do material em texto

Probabilidade 
e Estatística
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Rosangela Maura Correia Bonici
Prof. Ms. Carlos Henrique de Jesus Costa
Revisão Textual:
Profa. Dra. Selma Aparecida Cesarin
Medidas de Posição
• Medidas de Posição
• Finalizando
 · A proposta deste estudo é conceituar as medidas de posição, em 
especial, as medidas de tendência central.
 · Entre elas, você verá: o que é, como calcular e como interpretar 
as medidas de tendência central chamadas de média aritmética e 
ponderada, moda e mediana.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Medidas de Posição
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como o seu “momento do estudo”.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.
No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e 
sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também 
encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão, 
pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato 
com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Medidas de Posição
Contextualização
Sobre a importância da Média Aritmética, o autor Alex Bellos, em seu livro Alex 
no País dos Números, destaca que, no fim do século XIX, o matemático francês 
Henri Poincaré suspeitava que sua padaria local, em Paris, estava roubando no peso 
dos pães e por isso decidiu utilizar a “Média Aritmética”, no interesse da justiça.
Figura 1
Fonte: iStock/Getty Images
Todos os dias, durante um ano, pesou seu “quilo” diário de pão. Poincaré sabia 
que, se pesasse menos de um quilo algumas vezes, isso não seria prova de má-fé, 
pois é de se esperar que o peso varie um pouco para cima e um pouco para baixo 
de um quilo. Ele imaginava que o peso do pão poderia variar em virtude de erros 
na fabricação do pão, como a quantidade de farinha usada e o tempo que o pão 
ficava no forno, que são aleatórios.
Depois de um ano, ele examinou todos os dados que tinha reunido e a “Média 
Aritmética” do peso dos pães foi de 950 gramas, e não um quilo, como se anunciava. 
A suspeita de Poincaré confirmou-se. O eminente cientista estava sendo enganado, 
por cinquenta gramas em média, em cada quilo de pão. Diz a lenda que Poincaré 
alertou as autoridades parisienses e o padeiro foi seriamente advertido.
O método utilizado por Poincaré, o cálculo da Média Aritmética do peso dos 
pães durante um ano, agora serve de base teórica para proteção do consumidor. 
Quando as lojas vendem produtos com pesos específicos, o produto não precisa, 
legalmente, ter aquele peso exato (não pode ter, porque o processo de fabricação, 
inevitavelmente, resultará em artigos mais pesados do que outros). Uma das tarefas 
dos escritórios de normas comerciais é pegar amostras aleatórias de produtos à 
venda e traçar gráficos de peso. Para qualquer produto que avaliam, a distribuição 
de peso tem de estar dentro da curva centrada na média anunciada.
8
9
Em outro trecho do livro, o autor Alex Bellos diz que o cientista Francis Galton 
(século XIX), primo-irmão de Charles Darwin, tinha paixão por medir coisas e se 
utilizava da Média Aritmética para tirar conclusões. Ele construiu um “laboratório 
antropométrico” (é um ramo da Antropologia que estuda as medidas e dimensões 
das diversas partes do corpo humano) em Londres, onde qualquer um podia entrar 
para ter altura, peso, força da mão, velocidade de golpe, visão e outros atributos 
físicos medidos por ele.
O laboratório reuniu informações minuciosas sobre mais de 10 mil pessoas, e 
Galton ficou tão famoso que até o primeiro ministro William Gladstone apareceu 
para medir a cabeça.
Num artigo publicado na Nature, em 1885, ele contou que, enquanto assistia 
a uma reunião muito chata, começou a medir a frequência com que seus colegas 
se mexiam e, por meio do cálculo da média dessas frequências, pode determinar o 
nível de tédio que uma plateia manifesta durante um evento.
Galton continuou avançando em suas pesquisas e se pôs a teorizar sobre como 
guiar a evolução humana por meio de suas médias aritméticas. Ele se interessava 
pela hereditariedade da inteligência e se perguntava como seria possível melhorar o 
nível geral de inteligência de uma população por intermédio do aumento da média. 
Figura 1
Fonte: iStock/Getty Images
Com esse objetivo, sugeriu um novo campo de estudos sobre “cultivo da raça”, 
ou aperfeiçoamento da linhagem de uma população pela reprodução seletiva. 
Apesar de muitos intelectuais liberais do fim do século XIX e começo do século 
XX terem apoiado seus estudos como forma de melhorar a sociedade. O desejo 
de “criar” seres humanos mais inteligentes foi uma ideia que não demorou a ser 
distorcida e dasacreditada. Nos anos 1930, seus estudos tornaram-se sinônimo de 
políticas nazistas homicidas para criar uma raça ariana superior.
9
UNIDADE Medidas de Posição
Olhando para trás, é fácil ver que traços classificatórios, como inteligência e 
pureza racial, podem levar à discriminação e ao preconceito. Por surgir quando se 
medem características humanas, a curva sobre a média ficou associada à tentativa 
de classificar alguns seres humanos como intrinsecamente melhores do que outros. 
O exemplo mais explícito disso foi a publicação, em 1994, de um livro polêmico e 
discutido com mais veemência nos últimos anos dos autores Richard J. Herrnstein 
e Charles Murray, que afirma que as diferenças de QI (Quociente de Inteligência) 
entre grupos raciais comprovam diferenças biológicas.
QI significa Quociente de Inteligência, mede o desempenho cognitivo de um indivíduo 
comparando pessoas do mesmo grupo etário. 
As escalas de inteligência foram propostas pelo psicólogo Lewis Madison Terman 
(1877-1956), com base em vários trabalhos sobre crianças superdotadas. Com base em 
novos estudos, David Wechsler (1896-1981) criou um teste desenvolvido exclusivamente 
para adultos, definindo a Escala de Inteligência Wechsler para Adultos (em inglês, 
WAIS – Wechsler Adult Intelligence Scale), que já passou por revisões.
Os níveis de inteligência são classificados com base no resultado do teste, de acordo com a 
seguinte escala:
• Igual ou superior a 130: superdotação;
• 120 a 129: inteligência superior;
• 110 a 119: inteligência acima da média;
• 90 a 109: inteligência média;
• 80 a 89: normal fraco;
• 70 a 79: limite da deficiência;
• Igual ou inferior a 69: deficiente mental.
Ex
pl
or
Fonte: <https://www.significados.com.br/qi/>Bellos, Alex. Alex no País dos Números – Uma Viagem ao Mundo Maravilhoso da 
Matemática. São Paulo: Cia das Letras, 2011.Ex
pl
or
Sobre a importância da média aritmética em nosso dia a dia, veja a notícia 
publicada no site Portal Brasil, em 28/07/2014 (Fonte: Ministério da Educação): 
“MEC explica conceito de Média Aritmética utilizado no balanço de 
desempenho do Enem”.
Segue resumo da reportagem:
O Ministério da Educação (MEC) divulgou nesta segunda-feira 
(12/09/2011) a média das notas do Exame Nacional do Ensino Médio 
(Enem) de 2010, por estabelecimento de ensino. Logo após o anúncio, 
o Ministério publicou nota em seu site explicando o conceito de Média 
Aritmética utilizado no balanço.
10
11
Segundo o MEC, é natural que cerca de 50% dos estudantes tenham 
apresentado desempenho abaixo da média, por mera questão estatística. 
Qualquer que seja a média estabelecida para diferentes valores, como 
peso, altura e desempenho em provas, sempre um número próximo à 
metade estará abaixo da média.
A nota diz ainda que “se os alunos com desempenho abaixo da média 
estiverem dispersos em um número maior de escolas em relação aos 
estudantes com notas superiores à média de instituições que concentram 
grande número de matrículas, a quantidade de unidades de ensino abaixo 
da média será superior”.
Saiba mais em: Portal MEC Brasil: https://goo.gl/5S5KsT
Ex
pl
or
11
UNIDADE Medidas de Posição
Medidas de Posição
As Medidas de Posição mais importantes são as Medidas de Tendência Cen-
tral e as Medidas Separatrizes. As Medidas de Tendência Central recebem esse 
nome por se posicionarem no centro da variável em estudo. As principais são: 
média aritmética, moda e mediana. Outras menos usadas são as médias: geo-
métrica, harmônica, quadrática, cúbica e biquadrática.
As medidas separatrizes são números reais que dividem a variável em estudo, 
quando está ordenada, em n partes que contém a mesma quantidade de elementos. 
As principais medidas separatrizes são: a própria mediana, os quartis, os quintis, 
os decis e os percentis.
Neste estudo, trabalharemos com as Medidas de Tendência Central por serem 
as mais importantes e as mais utilizadas na prática.
Introdução: Somatório – Notação Sigma ( ∑ )
Em Estatística, é muito utilizado o símbolo denominado somatório, indicado pela 
letra grega sigma maiúscula “∑”, que representa a soma.
Codificamos a soma por meio da notação “Sigma”, conforme a representação 
a seguir:
1
n
i
i
x
=
∑ Leitura: “Soma dos valores de xi, para i variando de 1 até n”.
1 2 3
1
n
n i
i
x x x x x
=
+ + + + =∑ Parcela 
Genérica
Operação de Adição 
entre as parcelas. Índice (posição)
Observação: Onde i é o índice do somatório. Assim, i = 1 indica o limite 
inferior (início do somatório) e n indica o limite superior (final do somatório).
Importante!
Para que a soma possa ser representada por essa notação, é fundamental que “i” assuma 
todos os valores inteiros consecutivos entre dois valores dados. Assim, a soma:
Representação INCORRETA, em virtude de a soma estar fora de sequência!
4
1 2 4
1=
+ + ≠ ∑ i
i
x x x x
↑
Representação CORRETA:
4
1 2 3 4
1
i
i
x x x x x
=
+ + + =∑
Importante!
12
13
Aprendendo com exemplos:
1) A Tabela a seguir representa a quantidade de farinha que uma Empresa 
alimentícia utiliza para a fabricação de seus pães ao longo de uma semana:
1° dia 2° dia 3° dia 4° dia 5° dia 6° dia 7° dia
380 kg 430 kg 404 kg 360 kg 450 kg 296 kg 580 kg
Represente o total da farinha utilizando o símbolo de somatório.
Resolução:
Podemos representar cada elemento como xi, em que i varia de 1 a 7. No caso, 
teríamos, então, x1, x2, x3, x4, x5, x6 e x7 que, somados, resultam 2.900 kg.
Em símbolo de somatório, a representação do total de farinha utilizada ao longo 
da semana é:
7
1 2 3 4 5 6 7
1
i
i
x x x x x x x x
=
= + + + + + +∑
Portanto:
7
1
7
1
380 430 404 360 450 296 580
2.900
i
i
i
i
x
x kg
=
=
= + + + + + +
=
∑
∑
2) Escreva na notação sigma, as seguintes somas (codificando-as):
a) 
5
1 2 3 4 5
1
i
i
x x x x x x
=
+ + + + =∑
b) 
4
1 2 3 4
1
i
i
x x x x x
=
+ + + =∑
c) 
6
3 4 5 6
3
i
i
x x x x x
=
+ + + =∑
d) 
4
2 2 2 2 2
1 2 3 4
1
i
i
x x x x x
=
+ + + =∑
e) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2 2 2 2
1 2 3
1
10 10 10 10i
i
x x x x
=
− + − + − = −∑
f) 
7
4 5 6 7
4
2 2 2 2 2 i
i
x x x x x
=
+ + + =∑
13
UNIDADE Medidas de Posição
3) Escreva as parcelas da soma indicada (decodificando e obtendo as parcelas 
componentes):
g) 
5
2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5
1
i
i
x x x x x x
=
= + + + +∑
h) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
2 2 2 2 2
2 3 4 5
2
3 3 3 3 3i
i
x x x x x
=
− = − + − + − + −∑
i) ( ) ( ) ( ) ( )
3
3 3 3 3
1 2 3
1
i
i
x b x b x b x b
=
− = − + − + −∑
j) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3
1
i
i
x x fi x x f x x f x x f
=
− ⋅ = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅∑
Atividades práticas
1) Escreva na notação sigma, as seguintes somas (codificando-as):
a) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 =
b) x2 + x3 + x4 + x5 =
c) (x1 + 2) + (x2 + 2) + (x3 + 2) =
d) (x1 – 10) + (x2 – 10) + (x3 – 10) + (x4 – 10) =
e) (x10 – 3)
4 + (x11 – 3)
4 + (x12 – 3)
4 =
f) (x1 – 15)
2 . f1 + (x2 – 15)
2 . f2 + (x3 – 15)
2 . f2 =
Respostas no final desta Unidade.
2) Escreva as parcelas da soma indicada (decodificando e obtendo as parcelas 
componentes):
g) 
7
1
2i
x
=
=∑
h) 
6
2
3
i
i
x
=
∑
i) ( )
4
2
1
i i
i
x a f
=
− ⋅ =∑
j) 
23
1
3 5
2
i
i
x
=
 − = 
 
∑
Respostas no final desta Unidade.
3) Calcule para a tabela abaixo, o valor numérico das somas indicadas:
i xi fi
1 3 2
2 4 5
3 6 3
4 8 2
∑ ∑ ∑
14
15
a) ix∑
b) fi =∑
c) i ix f⋅ =∑
d) ii x⋅ =∑
e) 2i ix f⋅ =∑
f) ( )212i ix f− ⋅ =∑
Respostas no final desta Unidade.
Medidas de Tendência Central
É um valor intermediário da série, ou seja, um valor compreendido entre o me-
nor e o maior valor da série. Em resumo, a Medida de Tendência Central procura 
estabelecer um número no eixo horizontal em torno do qual a série se concentra.
As principais medidas de tendência central são: a média aritmética, a moda e 
a mediana.
Média Aritmética (x)
Indicada por x, a média aritmética é uma das médias mais utilizadas no nosso 
dia a dia. Mas você sabe que média é essa e como tiramos essa média?
Ela é aplicada nos cálculos de médias escolares, em muitas situações que vemos 
nos jornais, como em pesquisas de opinião e de variação de preço de mercado-
rias, entre outras. Você nunca se perguntou acerca da origem das informações 
dadas pelos institutos de pesquisa, como “no Brasil, cada mulher, tem em média 
1,5 filhos”? Esses resultados vêm de análises estatísticas. Para esse caso em es-
pecífico, escolheu-se um grupo de mulheres e foi perguntado a cada uma delas o 
número de filhos. Feito isso, somou-se o total de filhos, e o valor encontrado foi 
dividido pela quantidade de mulheres pesquisadas. Esse exemplo é um caso de 
cálculo de média aritmética.
A seguir vamos calcular a média de dados estatísticos não agrupados ou 
agrupados (variável discreta ou variável contínua), cada uma dessas situações 
deve ser tratada de forma diferenciada.
Dados Não Agrupados
Para calcular a Média Aritmética de dados não agrupados, usamos a seguin-
te fórmula.
15
UNIDADE Medidas de Posição
Fórmula da Média Aritmética / Dados não agrupados
Ou seja:
Símbolo que representa Somatório
Somar cada um dos valores 
que a variável (xi) assume
Total de elementos 
estudados (n)
1
n
i
i
x
x
n
==
∑
1 2 3i nx x x x xx x
n n+ + + +
= ⇒ =∑ 
Aprendendo com exemplos
1) Sabendo-se que a venda de arroz “Tipo A”, durante uma semana, foi de 100, 
140, 130, 150, 160, 180 e 120 quilos, qual foi a média de venda diária de arroz 
durante a semana?
Resolução
Temos os dados nas seguintes posições:
1 2 3 4 5 6 7
00 40 30 50 60 80 20
Substituindo na fórmula:
7
1
7
i
i
x
x ==
∑
Significa que devemos somar:
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
Significa que devemos 
dividir por 7, pois foram 
anotadas as vendas durante 
7 dias da semana.
Calculando a média:
100 140 130 150 160 180 120
7
980
7
140
x
x
x
+ + + + + +
= ⇒
⇒ =
⇒ =
Resposta
A média de venda de arroz na semana foi de 140 quilos por dia.
16
17
2) A sequência representa as notas de estudantes na Disciplina de Gestão 
Financeira X: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8. Determine a média aritmética dessas notas.
4 5 5 6 6 7 7 8 6
8
ixx x x
n
+ + + + + + +
= ⇒ = ⇒ =∑
Somamos todas as 
notas e dividimos 
por 8, pois foram 
observadas as notas 
de 8 estudantes.
Resposta
A média aritmética das notas dos alunos de Gestão Financeira foi 6.
Atividades Práticas
4) Calcule a Média Aritmética das séries:
g) A: 2; 4; 5; 6; 8; 10; 13; 17; 25.
h) B: 3; 3; 3; 5; 5; 9; 9; 9; 13; 13; 20; 20; 20.
i) C: 7,8; 10,2; 10,9; 15,4; 18,5; 21,2.
Respostas no final desta Unidade.
5) Um produto é acondicionado em lotes contendo cada um deles 12 unidades. 
O lote só é aprovado se apresentar um peso superior a 50 quilos. Se as unidades 
que compõem determinado lote pesam: 2,8; 4; 4,2; 5; 3,5; 4; 5; 5,5; 4; 5; 7; 4, 
esse lote será aprovado? Qual o peso médio do produto?
Respostas no final desta Unidade.
Dados agrupados
Dados agrupados: O agrupamento dos dados facilita o cálculo das medidas de tendência 
central. Consiste em montar uma Tabela com o número de repetições dos elementos.Ex
pl
or
Para calcularmos a Média Aritmética de dados agrupados, usamos a seguinte 
fórmula da Média Aritmética Ponderada.
Fórmula da Média Aritmética
Ponderada (x) (Dados Agrupados)
Soma dos produtos da multiplicação 
entre os valores de “xi” e “fi”.
Soma de todos os 
elementos observados
1
1
n
i i
i
n
i
i
x f
x
f
=
=
⋅
=
∑
∑
17
UNIDADE Medidas de Posição
Ou Seja:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3
1 2 3
i i n n
i n
x f x f x f x f x f
x x
f f f f f
⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
= ⇒ =
+ + + +
∑
∑


Importante!
Também indicada por x, a Média Aritmética Ponderada difere da Média Aritmética 
por apresentar multiplicações (que representam frequências “fi”, ponderações, pesos) 
indicando quantas vezes cada elemento se repete.
Importante!
Aprendendo com exemplos
Cálculo da Média Aritmética para a Variável Discreta 
(Dados Agrupados Sem Faixas de Valores)
1) Foram observadas 34 famílias e anotado o “número de filhos do sexo 
masculino” que cada uma delas tem em uma distribuição de frequência variável 
discreta. Determine a média aritmética.
Distribuição de Frequência da Variável Discreta. 
“Quantidade de Meninos”
Qte. de Meninos (xi) Famílias Freq. Abs. (fi)
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4
Total 34
Resolução
As frequências (fi) são números indicadores da intensidade de cada valor da 
variável; elas funcionam como fatores de ponderação.
Para ajudar nos cálculos, vamos organizar os valores na seguinte Tabela:
xi fi xi . fi
0 2 0 . 2 = 0
1 6 1 . 6 = 6
2 10 2 . 10 = 20
3 12 3 . 12 = 36
4 4 4 . 4 = 16
Total ∑fi = 34 xi.
18
19
. 78 2,3
34
xi fi
x
fi
= = =∑
∑
Cálculo da Média:
ou
. 0.2 1.6 2.10 3.12 4.4 0 6 20 36 16 78 2,3
2 6 10 12 4 34 34
xi fi
x
fi
+ + + + + + + +
= = = =
+ + + +
∑
∑
Resposta
Essas famílias possuem em média 2,3 meninos.
2) Obtenha a média aritmética das estaturas de 50 mulheres, o que originou a 
seguinte distribuição:
Distribuição de Frequência da Variável Discreta.
“Estatura de mulheres”.
Estatura em cm (xx) Qte. de pessoas. (fi )
155 6
158 4
160 24
162 12
165 4
Total 50
Resolução
Para ajudar nos cálculos, vamos organizar os valores na seguinte Tabela:
xi fi xi . fi 
155 6 155 . 6 = 930
158 4 158 . 4 = 632
160 24 160 . 24 = 3840
162 12 162 . 12 = 1944
165 4 165 . 4 = 660
Total ∑fi = 50 ∑xi.fi = 8006
Cálculo da Média:
. 8006 160,12
50
xi fi
x
fi
= = =∑
∑
ou
19
UNIDADE Medidas de Posição
Resposta
. 155.6 158.4 160.24 162.12 165.4 930 632 3840 1944 660 8006 160,12
6 4 24 12 4 50 50
xi fi
x
fi
+ + + + + + + +
= ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
+ + + +
∑
∑
A estatura média das mulheres é de 160,12 cm.
Atividades práticas
6) Calcule a média da série a seguir:
Distribuição de Frequência Variável Discreta.
xi fi
2 1
3 4
4 3
5 2
Respostas no final desta Unidade.
7) Calcule o número médio de acidentes por dia em uma determinada esquina.
Distribuição de Frequência Variável Discreta.
N° de Acidentes por dia “xi” N° de Dias “fi”
0 20
1 9
2 5
3 3
4 2
5 1
Respostas no final desta Unidade.
Cálculo da Média Aritmética para a Variável CONTÍNUA 
(Dados Agrupados COm Faixas de Valores):
1) Calcular a estatura média de bebês em certa comunidade conforme a Tabela:
Distribuição de Frequência da Variável Contínua. 
“Estatura de Bebês”.
Observe que neste caso, a 
variável xi está agrupada 
por faixas de valores.
Estaturas (cm) “fi”
50 ├─ 4 4
54 ├─ 58 9
58 ├─ 62 11
62 ├─ 66 8
66 ├─ 70 5
70 ├─ 74 3
Totais 40
20
21
Para usar esta fórmula, 
temos de ter o valor 
de “xi” e do “fi”.
.xi fi
x
fi
= ∑
∑
Resolução
Para podermos calcular a média, é preciso achar o “xi” de cada faixa da Tabela. 
Consideramos, então, que “xi” é o ponto médio entre o limite inferior (li) e o limite 
superior (Li) de cada uma das classes.
Fazemos, então:
Ponto médio “xi” = 
2
li Li+
Para ajudar nos cálculos, vamos organizar as variáveis na seguinte Tabela:
Estaturas (cm) fi Ponto Médio xi xi . fi 
50 ├─ 54 4
50 54 52
2
+
= 4 . 52 = 208
54 ├─ 58 9
54 58 56
2
+
= 9 . 56 = 504
58 ├─ 62 11
58 62 60
2
+
= 11 . 60 = 660
62 ├─ 66 8
62 66 64
2
+
= 8 . 64 = 512
66 ├─ 70 5
66 70 68
2
+
= 5 . 68 = 340
70 ├─ 74 3
70 74 72
2
+
= 3 . 72 = 216
Total ∑fi = 40 - ∑xi.fi = 2.440
– Na primeira coluna, 
temos os intervalos 
de classes das 
estaturas, separados 
de 4 em 4 
centímetros;
– Na segunda coluna, 
a quantidade de 
cada um “fi”;
– Na terceira coluna, 
o “xi” encontrado 
após o cálculo do 
ponto médio;
– Na quarta coluna, 
o produto 
(multiplicação) “xi.fi”.
Cálculo da Média
. 2440 61
40
i i
i
x f
x x x
f
= ⇒ = ⇒ =∑
∑
ou
. 4.52 9.56 11.60 8.64 5.68 3.72
4 9 11 8 5 3
xi fi
x x
fi
+ + + + +
= ⇒ = ⇒
+ + + + +
∑
∑
21
UNIDADE Medidas de Posição
Resposta
A estatura média dos bebês é de 61 centímetros.
2) O quadro de distribuição de frequências representa os salários mensais de 30 
empregados de uma Empresa. Calcule o salário médio mensal desses empregados.
Distribuição de Frequência Variável Contínua
Salários em Reais Frequência “fi”
1.800 ├─ 2.000 8
2.000 ├─ 2.200 12
2.200 ├─ 2.400 6
2.400 ├─ 2.600 4
Resolução
Para ajudar nos cálculos, vamos organizar as variáveis na seguinte Tabela:
Distribuição de Frequência Variável Contínua
Salários em Reais Frequência “fi” Ponto Médio “xi” xi . fi
1.800 ├─ 2.000 8
1800 2000 1900
2
+
= 8 x 1900 = 15200
2.000 ├─ 2.200 12
2000 2200 2100
2
+
= 12 x 2100 = 25200
2.200 ├─ 2.400 6
2200 2400 2300
2
+
= 6 x 2300 = 13800
2.400 ├─ 2.600 4
2400 2600 2500
2
+
= 4 x 2500 = 10000
Total ∑fi = 30 ∑xi.fi = 64200
Cálculo da Média
. 64200 2140
30i i
i
x f
x x x
f
= ⇒ = ⇒ =∑
∑
ou
. 8.1900 12.2100 6.2300 4.2500
8 12 6 4
15200 25200 13800 10000 64200 2140
30 30
xi fi
x x
fi
x x x
+ + +
= ⇒ = ⇒
+ + +
+ + +
⇒ = ⇒ = ⇒ =
∑
∑
22
23
Resposta
O salário médio mensal dos funcionários da empresa é de R$ 2.140,00.
Atividades práticas
8) Uma Empresa de aviação observou em seus registros recentes o tempo de 
mão de obra gasto na revisão completa de um motor de jato. O seguinte quadro 
foi obtido:
Distribuição de Frequência Variável Contínua
Classe “i” Tempo de mão de obra (horas) N° de motores “fi ”
1 0 ├─ 5 2
2 5 ├─ 10 6
3 10 ├─ 15 9
4 15 ├─ 20 12
5 20 ├─ 25 3
a) Determine o número médio de horas de mão de obra necessário para a 
revisão de cada motor;
b) Com base nessa informação, qual deve ser o tempo total previsto de 
mão de obra para a revisão de 5 motores que aguardam revisão?;
c) Se a Empresa dispõe no momento de 2 homens trabalhando 9 horas por 
dia nessas revisões, conseguirá, provavelmente, revisar esses 5 motores 
em 4 dias?
Respostas no final desta Unidade
9) Calcular a altura média de uma série de pilares (colunas de concreto) de uma 
obra, conforme a tabela a seguir:
Distribuição de Frequência Variável Contínua
Altura dos Pilares em cm Frequência “fi ”
60 ├─ 67 11
67 ├─ 74 8
74 ├─ 81 14
71 ├─ 88 12
88 ├─ 95 18
Respostas no final desta Unidade.
Moda (mo)
Indicada por mo, é o valor que ocorre com maior frequência em uma sequência 
ou série de valores. Por exemplo, o salário mais comum em uma fábrica é chamado 
de salário modal, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados.
23
UNIDADE Medidas de Posição
A Moda tem um significado intuitivo, na medida em que popularmente associamos esse 
termo a algo que é encontrado ou utilizado com bastante frequência, quando, então, 
dizemos que “está na moda”. Um exemplo disso é quando vamos comprar um Celular ou 
uma Roupa de acordo com o que “está na moda”.
Esse termo foi criado em 1895, pelo matemático britânico Karl Pearson (1857-1936), que 
contribui muito para o desenvolvimento da Estatística como Disciplina Científica séria 
e independente.
Ex
pl
or
No exemplo a seguir, podemos dizer que o triângulo é figura geométrica que 
aparece com maior frequência; portanto, a figura geométrica modal é o triângulo. 
Você concorda?
Uma sequência pode ser classificada de acordo com o número de modas que 
possui em:
Nenhuma moda – Amodal
Uma moda – Unimodal ou modal
Duas modas – Bimodal
Mais de duas modas – Polimonal
Aprendendo com exemplos
CÁLCULO DA MODA envolvendo Rol 
(DADOS NÃO AGRUPADOS)
1) Na série X: 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 , a moda é 10. Dizemos que 
mo = 10 e que essa série é unimodal ou modal, pois tem uma moda.
Há séries que apresentam apenas um valor repetido; chamamos de série UNIMODAL ou MODAL.
24
25
2) A série Z: 3 , 5 , 8 , 10 , 12 não apresenta moda; portanto, dizemos que a 
série é amodal.
Há séries que não têm valor modal, isto é, nenhum valor aparece mais vezes que outros; então, 
chamamos de série AMODAL.
3) A série W: 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 apresenta duas modas 
mo = 4 e mo = 7. A série, então, é bimodal.
Há séries em que pode haver dois valores de concentração; chamamos de série BIMODAL.
CÁLCULO DA MODA quando os dados estão agrupados 
EM tabela ou DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Variável Discreta 
(SEM INTERVALOS DE CLASSE):
1) Qual a temperatura mais comum medida segundo a Tabela a seguir:
Distribuição de Frequência da Variável Discreta
Temperaturas “xi” Frequência ou “fi ”
0º C 1
1º C 5
2º C 12
3º C 6
Total ∑ fi = 24
Resolução
Quando os dados estão agrupados, é possível determinar imediatamente a 
moda. Basta fixar o valor da variável de maior frequência. No caso, é fácil verificar 
que a temperatura que mais se repete é 2° C.
Resposta
A temperatura modal é de 2º C, pois é a de maior frequência. Dizemos que 
mo = 2º C e que essa sequência é modal ou unimodal.
2) Calcule a moda da série:
Distribuição de Frequência Variável Discreta
xi fi 
4 3
5 7
6 7
8 3
Total ∑ 20
25
UNIDADE Medidas de Posição
Resolução
Nesse caso, é fácil observarmos que há duas modas, os números 5 e 6 se repe-
tem 7 (sete) vezes cada um; portanto possuem a maior frequência.
Resposta
A moda é igual a mo = 5 e mo = 6, dizemos que essa sequência é bimodal.
CÁLCULO DA MODA quando os dados estão agrupados em 
tabela ou distribuição de frequência Variável Contínua
1) Calcule a estatura modal dos bebês conforme a Tabela a seguir:
Observação: Pela definição, 
podemos afirmar que a Moda, 
nesse caso, está entre os limites 
da classe modal 58 ├─ 62. 
Para determinarmos o cálculo 
da moda em Variável Contínua, 
precisaremos utilizar a fórmula 
de Czuber (Emanuel Czuber 
1851-1925), por ser a mais 
precisa e completa, pois leva 
em consideração a frequência 
da classe modal.
A classe (linha da Tabela) que 
apresenta a maior frequência 
“fi” é chamada de Classe Modal.
Tabela da Variável Contínua
Estaturas em cm ou “h” Frequência ou “fi”
54 ├─ 58 9
58 ├─ 62 11
62 ├─ 66 8
66 ├─ 70 5
∑ fi 33
Resolução
Para ajudar o cálculo da moda, vamos utilizar a seguinte fórmula:
Fórmula de Czuber para Moda (Mo)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )0
.
2.
o
o
o
fi m fi ant
M li m h
fi m fi ant fi post
−
= +
− +  
li(mo) = limite inferior da classe modal.
fi(mo) = frequência da classe modal.
fi(ant) = frequência da classe anterior à classe modal.
fi(post) = frequência da classe posterior à classe modal.
h = amplitude do intervalo de classe (Li – li).
Em relação à fórmula e observando os dados da Tabela, temos:
li(mo) = 58 fi(mo)= 11 fi(ant) = 9 fi(post)= 8 h= 4
26
27
Substituindo na fórmula de Czuber e fazendo os cálculos, temos:
[ ]
11 9 2 258 .4 58 .4 58 .4 58 0,4.4 58 1,6 59,6
2.11 9 8 22 17 5
Mo −= + = + = + = + = + =
− + −
Fique atento à sequência das operações 
para não errar nos cálculos, ok!
Resposta
A moda das estaturas dos bebês é igual a 59,6 cm, ou ainda, a estatura de bebês 
mais frequente é 59,6 cm.
2) Calcule a moda para a distribuição a seguir que representa os salários de 
20 funcionários selecionados em uma Empresa.
Classe Modal
Distribuição de Frequência Variável Contínua
Classes “i” Salários em Reais N° de funcionários “fi ”
1 1.000 ├─ 1.300 3
2 1.300 ├─ 1.600 5
3 1.600 ├─ 1.900 8
4 1.900 ├─ 2.200 3
5 2.200 ├─ 2.500 1
– Total ∑ fi = 20
Resolução
Em relação à fórmula e observando os dados da Tabela, temos:
li(mo) = 1.600 fi(mo)= 8 fi(ant) = 5 fi(post)= 3 h= 300
Substituindo na fórmula de Czuber e fazendo os cálculos, temos:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )0
.
2.
o
o
o
fi m fi ant
M li m h
fi m fi ant fi post
−
= +
− +  
[ ]
8 5 3 31600 .300 1600 .300 1600 .300
2.8 5 3 16 3 8
1600 0,375.300 1600 112,50 1712,50
Mo Mo Mo
Mo Mo Mo
−
= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒
− + −
⇒ = + ⇒ = + ⇒ =
Resposta
A moda dos salários entre os 20 funcionários da Empresa é R$ 1.712,50 ou, 
ainda, o salário mais frequente entre os funcionários é no valor de R$ 1.712,50.
27
UNIDADE Medidas de Posição
Atividades práticas
10) Calcule a moda para a distribuição de valores de 54 Notas Fiscais emitidas 
na mesma data, selecionadas em uma Loja de Departamentos:
Distribuição de Frequências Variável Contínua
Classes “i” Consumo por nota R$ Nº de notas “fi”
1 0 ├─ 50 10
2 50 ├─ 100 28
3 100 ├─ 150 12
4 150 ├─ 200 2
5 200 ├─ 250 1
6 250 ├─ 300 1
– Total ∑ fi = 54
Respostas no final desta Unidade.
11) Calcule a moda para a distribuição a seguir, que representa a nota de 60 
alunos em uma prova de Marketing:
Distribuição de Frequência VariávelContínua
Classes “i” Notas Nº de alunos “xi”
1 0 ├─ 2 5
2 2 ├─ 4 20
3 4 ├─ 6 12
4 6 ├─ 8 20
5 8 ├─ 10 3
– Total ∑ fi = 60
Respostas no final desta Unidade.
Mediana (md)
Indicada por md, a mediana é o valor real que separa o rol (dados já organiza-
dos) em duas partes, deixando à sua direita o mesmo número de elementos que 
à sua esquerda.
Aprendendo com exemplos
Cálculo da mediana quando temos um número ímpar de elementos, o 
termo de ordem 
01
2
n + 
 
 
 corresponde à mediana (dados não agrupados).
1) Dada à série de valores X: 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10, determine a mediana.
Resolução
De acordo com a definição de mediana, vamos, primeiramente, ordenar (cres-
cente ou decrescente) os valores.
28
29
Ordenando, temos:
Posição: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª
Elementos de X: 2 5 6 9 10 13 15
3 elementos antes e
3 elementos depois.
Elemento que ocupa a 
posição central da série.
Assim, fazendo o cálculo da posição do elemento, confirmamos que:
0 0 0
01 7 1 8 4
2 2 2
n + +     = = =     
     
O valor “9” ocupa 
a 4ª posição.
Resposta
O valor que divide a série em duas partes iguais é o número 9. Logo, a mediana 
dessa sequência é 9 (md = 9). Podemos dizer que 50% dos valores da sequência X 
são menores do que 9 e 50% dos valores são maiores do que 9.
2) As onze turmas de 1º Ano da Engenharia têm, respectivamente: 42, 37, 28, 
40, 41, 48, 45, 37, 37, 41 e 44 alunos. Calcule a Mediana.
Resolução
Fazendo o cálculo da posição do elemento da mediana, temos:
0 0 0
01 11 1 12 6
2 2 2
n + +     = = =     
     
A mediana é a turma que 
ocupa a 6ª posição no Rol.
Assim, posicionando os elementos em Rol (ordem crescente), encontramos:
Posição: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 11ª
Turmas: 28 37 37 37 40 41 41 42 44 45 48
Turma que ocupa a posição central da série.
Resposta
A mediana será o termo que ocupa a 6ª posição, ou seja, a mediana é 41 
(md = 41). Dizemos que 50% das turmas do 1° Ano de Engenharia possuem 
menos de 41 alunos e 50% mais ou iguais a 41 alunos.
Cálculo da mediana quando o número de elementos é par, a mediana é 
obtida calculando-se a média aritmética entre os dois termos de ordem 
0
2
n 
 
  e 
0
1
2
n + 
  (dados não agrupados).
1) Determine a mediana da sequência Z: 7, 21, 13, 15, 10, 8, 9, 13.
29
UNIDADE Medidas de Posição
Resolução
Ordenando, temos:
Posição: a a a a a a a a
Elementos de Z: 7 8 9 10 13 13 15 21
O valor “13” ocupa 
a 5ª posição.
O valor “10” ocupa 
a 4ª posição.
Elementos que ocupam as 
posições centrais da série.
Logo, as posições dos termos centrais são:
0 0
08 4
2 2
n   = =   
   
 e ( )
0 0
0 081 1 4 1 5
2 2
n   + = + = + =   
   
Temos um problema! 
A Mediana não pode ser dois números. 
E agora?
Portanto, a mediana será a Média Aritmética entre 10 e 13, assim temos:
10 13 23 11,5
2 2
md += = =
Resposta
A mediana da sequência Z é 11,5. Podemos dizer que 50% dos valores dessa 
sequência são menores do que 11,5 e 50% são maiores do que 11,5.
2) As dez turmas de 1º Ano da Engenharia têm, respectivamente: 37, 28, 40, 
41, 48, 37, 37, 41, 46 e 44 alunos. Calcule a Mediana.
Resolução
Logo, as posições dos termos centrais são:
A mediana é a Media Aritmética das turmas 
que ocupam as posições 5 e 6 no Rol.
0 0
010 5
2 2
n   = =   
   
 e ( )
0 0
0 0101 1 5 1 6
2 2
n   + = + = + =   
   
30
31
Assim, posicionando os elementos em Rol (ordem crescente), encontramos:
Turmas que ocupam as posições centrais da série.
Posição: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª
Turmas: 28 37 37 37 40 41 41 44 46 48
Portanto, a mediana será a Média Aritmética entre 40 e 41. Assim, temos:
40 41 81 40,5
2 2
md += = =
Resposta
A mediana será 40,5 (md = 40,5). Dizemos que 50% das turmas do 1° Ano 
de Engenharia possuem menos de 40,5 alunos e 50% mais de 40,5 alunos.
Importante!
Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência da 
mediana com um dos elementos da série.
Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência 
da mediana com um dos elementos da série. A mediana será sempre a Média Aritmé-
tica dos dois elementos centrais da série.
Importante!
CÁLCULO DA MEDIANA quando os dados estão 
agrupados EM tabela ou DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
Variável Discreta (SEM INTERVALOS DE CLASSE)
1) Determinar a mediana que representa as notas de alunos da Disciplina de 
Língua Portuguesa, conforme a Tabela a seguir.
Notas (xi) fi 
2,0 3
5,0 4
8,0 9
10 5
Total ∑ fi = 21
Resolução
Nesse caso, os dados já estão ordenados e agrupados em uma Tabela de 
Frequência e a série é composta por 21 elementos, que é ÍMPAR; portanto, só 
admite um termo central.
Número ÍMPAR 
de elementos.
31
UNIDADE Medidas de Posição
Fazendo o cálculo da posição do elemento da mediana, temos:
A mediana é a nota que ocupa 
a 11ª posição na Tabela.
0 0
0 01 21 1 22 11
2 2 2
n + +     = = =     
     
E agora, para descobrir qual é a 11ª nota da Tabela?
Ex
pl
or
Nessa situação, para facilitar nossos cálculos, abriremos ao lado da coluna das 
frequências (fi) outra coluna que chamaremos de fac, ou seja, frequência acumulada. 
Nessa coluna, iremos acumular em cada linha as frequências absolutas (fi) da 
seguinte forma:
Notas (xi) fi fac
Posição dos elementos 
da sequência:
2,0 3 3 1ª até 3ª
5,0 4 3 + 4 =7 4ª até 7ª
8,0 9 7 + 9 = 16 8ª até 16ª
10 5 16 + 5 = 21 17ª até 21ª
Total ∑fi = 21 – –
Veja que a 
11ª posição 
está entre a 
8ª e a 16ª 
posições, 
então a 
mediana é a 
nota 8,0.
Resposta
A nota mediana de Língua Portuguesa é 8 (md = 8). Podemos dizer que 50% 
das notas são menores ou iguais a 8 e 50% são maiores ou iguais a 8.
2) Determine a mediana das temperaturas conforme a tabela a seguir:
Temperaturas em °C “xi” fi
0° 3
1° 5
2° 8
3° 10
5° 6
Total ∑ fi = 32
Resolução
A série é composta por 32 temperaturas; portanto, tem um número de elemen-
tos PAR, o que quer dizer que admite dois termos centrais.
Número PAR 
de elementos.
32
33
Logo, as posições dos termos centrais são:
0 0
032 16
2 2
n   = =   
   
 e ( )
0 0
0 0321 1 16 1 17
2 2
n   + = + = + =   
   
A Mediana é a Média Aritmética das temperaturas, 
que ocupam as posições 16 e 17 na Tabela.
E agora, para achar a 16ª e 17ª notas na Tabela?
Ex
pl
or
É fácil! Lembra-se?
Abriremos ao lado da coluna das frequências (fi) outra coluna, que chamaremos 
de fac, ou seja, frequência acumulada.
Nessa coluna, iremos acumular em cada linha as frequências absolutas (fi), da 
seguinte forma:
Temperaturas em °C “xi” fi fac Posição dos elementos da sequência
0° 3 3 1ª até 3ª
1° 5 3 + 5 = 8 4ª até 8ª
2° 8 8 + 8 = 16 9ª até 16ª
3° 10 16 + 10 = 26 17ª até 26ª
5° 6 26 + 6 = 32 27ª até 32ª
Total ∑fi = 32 – –
Sabemos que a mediana é apenas um número; portanto, a mediana será a 
Média Aritmética entre as temperaturas 2°C e 3°C, assim temos:
2 3 5 2,5
2 2
md += = =
Resposta
A temperatura mediana é 2,5°C (md = 2,5°C), ou seja, 50% das temperatu-
ras pesquisadas são menores que 2,5°C e 50% maiores que 2,5°C.
Atividades práticas
12) Calcule a mediana da distribuição:
Distribuição de Frequência Variável Discreta
xi fi 
2 5
4 20
5 32
6 40
8 2
Total ∑ fi = 99
Número ÍMPAR 
de elementos.
33
UNIDADE Medidas de Posição
Respostas no final desta Unidade.
13) Calcule a mediana para a série representativa da idade de 50 alunos de uma 
classe do primeiro ano de um determinadoCurso de Graduação.
Distribuição de Frequência Variável Discreta
Idade (anos) “xi” N° de alunos “fi”
17 3
18 18
19 17
20 8
21 4
Total ∑ fi = 50
Respostas no final desta Unidade.
CÁLCULO DA MEDIANA quando os dados estão 
agrupados EM tabela ou DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
Variável CONTÍNUA (COM INTERVALOS DE CLASSE):
Neste caso, é preciso seguir as etapas:
• 1ª Etapa: calculamos a posição da mediana, considerando se o número de 
elementos da série é par ou ímpar;
• 2ª Etapa: para identificarmos o intervalo de classe na qual se encontra a 
mediana, determinamos as frequências acumuladas “fac”;
• 3ª Etapa: calculamos a mediana “md” estimada pela fórmula a seguir.
Fórmula para o cálculo da Mediana (md):
( )
( )
( )
2 .
n fac ant
md li md h
fi md
−
= +
li(mo) = limite inferior da classe modal.
li(md) = limite inferior da classe mediana.
f(ac)ant = frequência acumulada à classe anterior a classe mediana.
fi(md) = frequência absoluta da classe mediana.
h = amplitude do intervalo de classe (Li – li).
n = número de termos.
34
35
1) Dada à tabela a seguir, que representa as estaturas de 40 pessoas, calcule o 
valor da mediana:
Distribuição de Frequência Variável Contínua
Estaturas (cm) fi 
50 ├─ 54 4
54 ├─ 58 9
58 ├─ 62 11
62 ├─ 66 8
66 ├─ 70 5
70 ├─ 74 3
Total ∑ fi = 40
Resolução
Vamos seguir as etapas descritas anteriormente.
1ª Etapa
Calculamos a posição da mediana, considerando se o número de elementos da 
série é par ou ímpar.
Essa série tem 40 elementos; portanto, é PAR, logo, as posições dos termos 
centrais são:
0 0
040 20
2 2
n   = =   
   
 e ( )
0 0
0 0401 1 20 1 21
2 2
n   + = + = + =   
   
A Mediana é a Média Aritmética das estaturas 
que ocupam as posições 20 e 21 na Tabela.
2ª Etapa
Identificamos o intervalo de classe em que se encontra a mediana e determinamos 
as frequências acumuladas “fac”.
A 20ª e 21ª 
estaturas estão 
na linha 3 e 
terão um valor 
compreendido 
entre 58 ├─ 62.
Chamamos essa 
linha de classe 
mediana.
Estaturas (cm) fi fac
Posição dos elementos 
na sequência
50 ├─ 54 4 4 1ª até 4ª
54 ├─ 58 9 4 + 9 = 13 5ª até 13ª
58 ├─ 62 11 13 + 11 = 24 14ª até 24ª
62 ├─ 66 8 24 + 8 = 32 25ª até 32ª
66 ├─ 70 5 32 + 5 = 37 33ª até 37ª
70 ├─ 74 3 37 + 3 = 40 38ª até 40ª
Total ∑fi = 40 – –
Número PAR 
de elementos.
35
UNIDADE Medidas de Posição
3ª Etapa
Calculamos a mediana “md” pela seguinte fórmula:
( )
( )
( )
2 .
n fac ant
md li md h
fi md
−
= +
Verificamos os valores na Tabela e encontramos o seguinte:
li(md) = 58 n = 40 fac(ant) = 13 fi(md) = 11 h = 4
Aplicando os valores na fórmula, temos:
40 13 20 13 7258 4 58 4 58 4
11 11 11
58 0,6364.4 58 2,5456 60,55
md md md
md md md
− −
= + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒
= + ⇒ = + ⇒ =
Resposta
A mediana estimada das estaturas é igual a 60,55 cm (md = 60,55). Significa 
que 50% das pessoas observadas têm estaturas inferiores a 60,55 cm e 50% têm 
estaturas superiores a 60,55 cm.
Atividades Práticas
14) O consumo de energia elétrica verificado em 250 residências de famílias 
da classe média, com dois filhos, revelou a distribuição a seguir. Calcule a mediana 
da distribuição.
Classes Consumo kWh Nº de famílias
1 0 ├─ 50 2
2 50 ├─ 100 15
3 100 ├─ 150 32
4 150 ├─ 200 47
5 200 ├─ 250 50
6 250 ├─ 300 80
7 300 ├─ 350 24
Total ∑fi = 250
Respostas no final desta Unidade.
Relação entre a Média, a Moda e a Mediana
Em uma série, a média, a mediana e a moda não têm, necessariamente, o mes-
mo valor. Como o próprio nome sugere, o valor da mediana (que ocupa a posição 
central numa distribuição de frequência), deve estar em algum ponto entre o valor 
da média e o valor da moda, mas pode também ser igual à moda e à média.
36
37
A mediana depende da posição do elemento na série ordenada. A média aritmética 
depende dos valores dos elementos. Essa é uma das diferenças marcantes entre 
mediana e média. A média se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos.
Aprendendo com um exemplo
1) Determine e média e a mediana nas sequências:
a) Z: 5, 7, 10, 13, 15 b) Y: 5, 7, 10, 13, 65
Resoluções
a) Sequência Z: 5, 7, 10, 13, 15
Cálculo da média
5 7 10 13 15 50 10
5 5
ixx x
n
+ + + +
= ⇒ ⇒ = =∑
Cálculo da mediana
Z: 5, 7, 10, 13, 15, temos que a mediana vale 10.
Resposta
A sequência Z tem média aritmética igual a 10 e mediana igual a 10.
b) Sequência Y: 5, 7, 10, 13, 65
Cálculo da média
5 7 10 13 65 100 20
5 5
xi
x x
n
+ + + +
= ⇒ = = =∑
Cálculo da mediana
Y: 5, 7, 10, 13, 65 temos que a mediana vale 10.
Resposta
A sequência Y tem média aritmética igual a 20 e mediana igual a 10.
Concluindo
Se compararmos os valores da sequência Z e Y, verificamos que:
Sequência Z Sequência Y
A sequência Z tem valores próximos uns dos outros.
Os valores próximos influenciam a média 
aritmética; porém, de forma leve.
A mediana não sofre influência dos valores da 
sequência, por considerar a posição dela.
A sequência Y tem valores bem distantes uns dos outros.
Os valores distantes influenciam a média 
aritmética, de forma acentuada.
A mediana não sofre influência dos valores da 
sequência, por considerar a posição dela.
37
UNIDADE Medidas de Posição
RESOLUÇÕES DAS ATIVIDADES PRÁTICAS
Somatório
1) Escreva na notação sigma, as seguintes somas (codificando-as):
a) 
6
1 2 3 4 5 6
1
i
i
x x x x x x x
=
+ + + + + = ∑
b) 
5
2 3 4 5
2
i
i
x x x x x
−
+ + + = ∑
c) ( ) ( ) ( ) ( )
3
1 2 3
1
2 2 2 2i
i
x x x x
=
+ + + + + = +∑
d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
1 2 3 4 1
1
10 10 10 10 10
i
x x x x x
=
− + − + − + − = −∑
e) ( ) ( ) ( ) ( )
12
4 4 4 4
10 11 12
10
3 3 3 3i
i
x x x x
=
− + − + − = −∑
f) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2 2 2 2
1 1 2 2 3 2
1
15 15 15 15i i
i
x f x f x f x f
=
− ⋅ + − ⋅ + − ⋅ = − ⋅∑
2) Escreva as parcelas da soma indicada (decodificando e obtendo as parcelas 
complementares):
a) 
7
1 2 3 4 5 6 7
2
i
i
x x x x x x x x
=
= + + + + + +∑
b) 
6
2 2 2 2 2
3 4 5 6
3
i
i
x x x x x
=
= + + +∑
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 4 4
1
i i
i
x a f x a f x a f x a f x a f
=
− ⋅ = + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅∑
d) 
2 22 23
31 2
1
3 33 35 5 5 5
2 2 2 2
i
i
x xx x
=
      − = − + − + −      
      
∑
3) Observe o passo a passo dos cálculos conforme Tabela a seguir:
i xi fi xi.fi i.xi xi².fi (xi - 10)².fi
1 3 2 3.2 = 6 1.3 = 3 3².2 = 18 (3 – 12)².2 = 162
2 4 5 4.5 = 20 2.4 = 8 4².5 = 80 (4 – 12)².5 = 320
3 6 3 6.3 = 18 3.6 = 18 6².3 = 108 (6 – 12)².3 = 108
4 8 2 8.2 = 16 4.8 = 32 8².2 = 128 (8 – 12)².2 = 32
∑ 10 ∑ 21 ∑ 12 ∑ 60 ∑ 61 ∑ 334 ∑ 622
a) 21ix =∑
b) 12fi =∑
c) 60i ix f⋅ =∑
d) 61ii x⋅ =∑
e) 2 334i ix f⋅ =∑
f) ( )212 622i ix f− ⋅ =∑
38
39
Média Aritmética
4) Calcule a Média Aritmética das séries
a) A: 2 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 10 ; 13 ; 17 ; 25.
2 4 5 6 8 10 13 17 25 90 10
9 9
x + + + + + + + += ⇒ ⇒
b) B: 3 ; 3 ; 3 ; 5 ; 5 ; 9 ; 9 ; 9 ; 13 ; 13 ; 20 ; 20 ; 20.
3 3 3 5 5 9 9 9 13 13 20 20 20 132 10,2
6 13
x + + + + + + + + + + + += ⇒ ⇒
c) C: 7,8 ; 10,2 ; 10,9 ; 15,4 ; 18,5 ; 21,2.
7,8 10,2 10,9 15,4 18,5 21,2 84 14
6 6
x + + + + += ⇒ ⇒
5) Cálculo do peso:
2,8 + 4 + 4,2 + 5 + 3,5 + 4 + 5 + 5,5 + 4 + 5 + 7 + 4 = 54 quilos
Cálculo da média
54 4,5
12
x quilos= ⇒
Resposta
O lote foi aprovado, pois pesa 54 quilos (superior a 50 quilos) e 4,5 quilos é o 
peso médio de cada produto.
Média Aritmética Ponderada
6) Calcule a média da série a seguir:
Distribuição de Frequência VariávelDiscreta
xi fi xi.fi 
2 1 2.1 = 2
3 4 3.4 = 12
4 3 4.3 = 12
5 2 5.2 = 10
Total ∑fi = 10 ∑xi.fi = 36
Cálculo da Média Ponderada
. 36 3,6
10
i i
i
x f
x x x
f
= ⇒ = ⇒ =∑
∑
39
UNIDADE Medidas de Posição
Resposta
A média dos dados da série é 3,6.
7) Calcule o número médio de acidentes por dia em uma determinada esquina.
Distribuição de Frequência Variável Discreta
N° de Acidentes por dia “xi” N° de Dias “fi” xi.fi
0 20 0.20 = 0
1 9 1.9 = 9
2 5 2.5 = 10
3 3 3.3 = 9
4 2 4.2 = 8
5 1 5.1 = 5
Total ∑fi = 40 ∑xi.fi = 41
Cálculo da Média Ponderada
. 41 1,03
40
i i
i
x f
x x x
f
⇒ = ⇒ =∑
∑
Resposta
A média é 1,03 acidentes por dia.
Média Aritmética Variável Contínua
8) Para ajudar nos cálculos, vamos organizar as variáveis na seguinte Tabela:
Distribuição de Frequência Variável Contínua
Classe “i”
Tempo de mão de 
obra (horas)
N° de 
motores “fi”
Ponto Médio “xi” xi . fi
1 0 ├─ 5 2
0 5 2,5
2
+
= 2 x 2,5 = 5
2 5 ├─ 10 6
5 10 7,5
2
+
= 6 x 7,5 = 45
3 10 ├─ 15 9
10 15 7,5
2
+
= 9 x 12,5 = 112,5
4 15 ├─ 20 12
15 20 17,5
2
+
= 12 x 17,5 = 210
5 20 ├─ 25 3
20 25 22,5
2
+
= 3 x 22,5 = 67,5
Total ∑fi = 32 – ∑xi.fi = 440
a) Determine o número médio de horas de mão de obra necessário para a 
revisão de cada motor.
40
41
Cálculo da Média
. 440 13,75
32
i i
i
x f
x x x
f
= ⇒ = ⇒ =∑
∑
Resposta
A média de horas para a revisão de cada motor é 13,75 horas.
b) Com base nessa informação, qual deve ser o tempo total previsto de 
mão de obra para a revisão de 5 motores que aguardam revisão?
Para calcular o tempo total, vamos apenas multiplicar a média de horas por 5. 
Então:
13,75 horas x 5 motores = 68,75 horas
Resposta
Como temos em média 13,75 horas para cada motor, para 5 motores o tempo 
total previsto de mão de obra será de 68,75 horas.
c) Se a Empresa dispõe no momento de 2 homens trabalhando 9 horas por 
dia nessas revisões, conseguirá provavelmente revisar esses 5 motores 
em 4 dias?
Vamos primeiro calcular o total de horas dos 2 homens trabalhando 9 horas por 
dia em 4 dias. Então:
2 homens x 9 horas x 4 dias = 72 horas no total
Agora é fácil verificar que o total de horas dos homens disponíveis (72 horas) é 
suficiente para a revisão dos 5 motores e que, conforme a alternativa anterior, são 
necessárias 68,75 horas para a revisão.
Resposta
Sim, a Empresa conseguirá revisar esses 5 motores em 4 dias.
9) Para ajudar nos cálculos, vamos organizar as variáveis na seguinte Tabela:
Distribuição de Frequência Variável Contínua
Altura dos Pilares em cm Frequência “fi ” Ponto Médio “xi” xi . fi 
60 ├─ 67 11
60 67 63,5
2
+
= 11 x 63,5 = 698,5
67 ├─ 74 8
67 74 70,5
2
+
= 8 x 70,5 = 564
74 ├─ 81 14
74 81 77,5
2
+
= 14 x 77,5 = 1085
41
UNIDADE Medidas de Posição
Altura dos Pilares em cm Frequência “fi” Ponto Médio “xi” xi . fi
81 ├─ 88 12
81 88 84,5
2
+
= 12 x 84,5 = 1014
88 ├─ 95 18
88 95 91,5
2
+
= 18 x 91,5 = 1647
Total ∑fi = 63 – ∑xi.fi = 5008,5
Cálculo da Média
. 5008,5 79,5
63
i i
i
x f
x x x
f
= ⇒ = ⇒ =∑
∑
Resposta
A altura média dos pilares (colunas de concreto) da obra é de 79,5 cm.
Moda Variável Contínua
10)
Classe Modal.
Distribuição de Frequências Variável Contínua
Classes “i” Consumo por nota R$ Nº de notas “fi”
1 0 ├─ 50 10
2 50 ├─ 100 28
3 100 ├─ 150 12
4 150 ├─ 200 2
5 200 ├─ 250 1
6 250 ├─ 300 1
– Total ∑fi = 54
Resolução
Em relação à fórmula e observando os dados da Tabela, temos:
li(mo) = 50 fi(mo)= 28 fi(ant) = 10 fi(post)= 12 h= 50
Substituindo na fórmula de Czuber e fazendo os cálculos, temos:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )0 2.
o
o
o
fi m fi ant
M li m h
fi m fi ant fi post
−
= + ⋅
− +  
Resposta
A moda das Notas Fiscais é R$ 76,47 ou, ainda, a Nota Fiscal mais frequente é 
no valor de R$ 76.47.
42
43
11)
Distribuição de Frequências Variável Contínua
Classes “i” Notas Nº de alunos “xi”
1 0 ├─ 2 5
2 2 ├─ 4 20
3 4 ├─ 6 12
4 6 ├─ 8 20
5 8 ├─ 10 3
– Total ∑fi = 60
1ª Classe Modal.
2ª Classe Modal.
Resolução
Em relação à fórmula e observando os dados da Tabela, temos:
1ª Classe Modal
li(mo) = 2 fi(mo)= 20 fi(ant) = 5 fi(post)= 12 h= 2
Substituindo na fórmula de Czuber e fazendo os cálculos, temos:
( ) ( )
( ) ( ) ( )0
( )
2.
o
o
o
fi m fi ant
M li m h
fi m fi ant fi post
−
= + ⋅
− +  
[ ]
20 5 15 152 2 2 2 2 2
2.20 5 12 40 17 23
2 0,6522.2 2 1,30 3,30
Mo Mo Mo
Mo Mo Mo
−
= + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒
− + −
⇒ = + ⇒ = + ⇒ =
2ª Classe Modal
li(mo) = 6 fi(mo)= 20 fi(ant) = 12 fi(post)= 3 h= 2
Substituindo na fórmula de Czuber e fazendo os cálculos, temos:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )0
.
2.
o
o
o
fi m fi ant
M li m h
fi m fi ant fi post
−
= +
− +  
[ ]
20 12 8 86 2 6 2 6 2
2.20 12 3 40 15 25
6 0,32.2 6 0,64 6,64
Mo Mo Mo
Mo Mo Mo
−
= + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒
− + −
⇒ = + ⇒ = + ⇒ =
43
UNIDADE Medidas de Posição
Resposta
A moda das notas são duas: mo = 3,30 e mo = 6,64 ou, ainda, as notas mais 
frequentes na Disciplina de Marketing são 3,3 e 6,64.
Mediana Variável Discreta
12) Fazendo cálculo da posição do elemento da mediana com número ÍMPAR 
de elementos, temos:
Distribuição de Frequências Variável Discreta
xi fi fac
Posição dos elementos 
da sequência
2 5 5 1ª até 5ª
4 20 5 + 20 = 25 6ª até 25ª
5 32 25 + 32 = 57 26ª até 57ª
6 40 57 + 40 = 97 58ª até 97ª
8 2 97 + 2 = 99 98ª até 99ª
Total ∑fi = 99 – –
A mediana é o elemento 
que ocupa a 50ª posição 
na Tabela.
Veja que a 
50ª posição 
está entre a 
26ª e 57ª 
posições; 
então, a 
mediana é o 
elemento 5.
0 0 0
01 99 1 100 50
2 2 2
n + +     = = =     
     
Resposta
A mediana da distribuição é 5 (md = 5). Podemos dizer que 50% dos elemen-
tos são menores ou iguais a 5 e 50% são maiores ou iguais a 5.
13) Fazendo cálculo da posição do elemento da mediana com número PAR de 
elementos, temos:
Logo, as posições dos termos centrais são:
0 0
050 25
2 2
n   = =   
   
 e ( )
0 0
0 0501 1 25 1 26
2 2
n   + = + = + =   
   
A Mediana é a Média Aritmética das idades 
que ocupam as posições 25 e 26 na Tabela.
44
45
Distribuição de Frequências Variável Discreta
Idade (anos) “xi” N° de alunos “fi ” “fac”
Posição dos elementos 
da sequência
17 3 3 1ª até 3ª
18 18 3 + 18 = 21 4ª até 21ª
19 17 21 + 17 = 38 22ª até 38ª
20 8 38 + 8 = 46 39ª até 46ª
21 4 46 + 4 = 50 47ª até 50ª
Total ∑fi = 50 – –
A 25ª e 
26ª idade 
procurada 
é 19 anos.
Nesse caso, não há necessidade de calcularmos a Média Aritmética das idades, 
pois a idade de 19 anos aparece tanto na 25ª como na 26ª posições, mas se 
efetuarmos o cálculo, vamos obter o mesmo valor, como,, por exemplo:
19 19 38 19
2 2
md += = =
Resposta
A idade mediana é 19 anos (md = 19), ou seja, 50% dos alunos possuem idades 
menores ou iguais a 19 anos e 50% maiores ou iguais a 19 anos.
Mediana Variável Contínua
14)
1ª Etapa
Calculamos a posição da mediana, considerando se o número de elementos da 
série é par ou ímpar.
Essa série tem 250 elementos; portanto, é PAR, logo, as posições dos termos 
centrais são:
0 0
0250 125
2 2
n   = =   
   
 e ( )
0 0
0 02501 1 125 1 126
2 2
n   + = + = + =   
   
45
UNIDADE Medidas de Posição
2ª Etapa
Identificamos o intervalo de classe em que se encontra a mediana e determina-
mos as frequências acumuladas “fac”.
Classes Consumo kWh Nº de famílias fac
Posição dos 
elementos na 
sequência1 0 ├─ 50 2 2 1ª até 2ª
2 50 ├─ 100 15 2 + 15 = 17 3ª até 17ª
3 100 ├─ 150 32 17 + 32 = 49 18ª até 49ª
4 150 ├─ 200 47 49 + 47 = 96 50ª até 96ª
5 200 ├─ 250 50 96 + 50 = 146 97ª até 146ª
6 250 ├─ 300 80 146 + 80 = 226 147ª até 226ª
7 300 ├─ 350 24 226 + 24 = 250 227ª até 250ª
Total ∑fi = 250 – –
3ª Etapa
Calculamos a mediana “md” pela seguinte fórmula:
( )
( )
( )
2
n fac ant
md li md h
fi md
−
= + ⋅
Verificamos os valores na Tabela e encontramos o seguinte:
li(md) = 200 n = 250 fac(ant) = 96 fi(md) = 50 h = 50
Aplicando os valores na fórmula, temos:
250 96 125 96 292200 50 200 50 200 50
50 50 50
200 0,58.50 200 29 229
md md md
md md md
− −
= + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒
= + ⇒ = + ⇒ =
Resposta
A mediana estimada dos consumos de energia elétrica é igual a 229 Kwh (md = 
229). Significa que 50% das famílias de classe média, com dois filhos, têm consumo 
de energia elétrica inferior a 229 Kwh e 50% tem consumo de energia elétrica 
superior a 229 Kwh.
46
47
Finalizando
Pessoal, esta Unidade teve muitos cálculos, não é mesmo?!
Conhecemos as Medidas de Posição e aprendemos que as principais são as 
Medidas de Tendência Central, que são: a média aritmética e ponderada, a moda 
e a mediana.
Tenho certeza de que conseguiram acompanhar e que estão satisfeitos por 
terem conseguido vencer mais uma etapa, e não deixem de realizar as ativida-
des práticas.
Abraços a todos!
Continuem se esforçando sempre e até a próxima.
47
UNIDADE Medidas de Posição
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Sites
Gênio da Matemática
https://goo.gl/NDkHxB
 Vídeos
Somatório – Explicação – ClickExatas
Explicação sobre o que é o símbolo estatístico Somatório ( ∑ ).
https://youtu.be/ValQ4awhJUY
Estatística Básica #4: Medidas de Tendência Central (parte 1)
Média Aritmética e Ponderada.
https://youtu.be/AxgY43xN0kA
Média em uma Tabela de Dados Agrupados em Classes
Média Aritmética para uma Tabela ou Distribuição de Frequência Variável Contínua.
https://youtu.be/O2FKsLrtCDM
Aula de Estatística – Média, Mediana e Moda
Média, Mediana e Moda (Dados Não Agrupados e Agrupados).
https://youtu.be/cgLVCUJvIIw
Estatística = #5/7 – Moda / Aula do Guto
Definição e exemplo de Moda.
https://youtu.be/rMvuVHcpUns
Estatística Básica #7: Moda para Dados Agrupados
Titio Trevas. Conteúdo: Cálculo da Moda utilizando a fórmula de Czuber (Variável 
Contínua). Tempo: 8:57 min.
https://youtu.be/9_mA1EOj-q4
Grings – Moda, Média e Mediana aula 4
Moda, Média e Mediana de dados não agrupados (Variável Discreta).
https://youtu.be/UfupcG1ax6U
48
49
 Vídeos
Grings – Média e Mediana dados agrupados aula 5
Média e a Mediana de uma Tabela ou Distribuição de Frequência Variável Contínua. 
Tempo: 14:33 min.
https://youtu.be/7djAJFHYyno
Estatística (Média, Mediana, Moda, Variância e Desvio Padrão) – Prof. Gui
Média Aritmética, Mediana, Moda, Variância e Desvio Padrão.
https://youtu.be/CG_AGULJJz8
Mediana para tabela de distribuição contínua – Somatize
Mediana em tabela ou distribuição de frequência Variável Contínua.
https://youtu.be/SQajFw3p46A
Exercícios Resolvidos – Estatísticas – Prof. Gui.
Exercícios resolvidos de Estatística com Média Aritmética, Mediana, Moda, Variância 
e Desvio Padrão.
https://youtu.be/v07FdggMK28
Estatística (ENEM) – Média Aritmética, Mediana e Moda
Prof. Marcos Aba. Conteúdo: Exercícios envolvendo a Média Aritmética, a Mediana 
e a Moda.
https://youtu.be/uAtPI64xep4
Mediana – Falando Matemática
Prof. Allan. Conteúdo: Mediana para Variável Discreta e Variável Contínua.
https://youtu.be/52GgnCbf9So
Estatística Básica #8: Mediana para Dados Agrupados
Titio Trevas. Conteúdo: Cálculo da Mediana (Variável Contínua).
https://youtu.be/QPSDMeP1g1E
 Leitura
Estatística Descritiva
No site a seguir você irá encontrar material para consulta sobre Estatística Descritiva: 
PETERNELLI, L. A.
https://goo.gl/vcPFb7
49
UNIDADE Medidas de Posição
Referências
CRESPO A. A. Estatística Fácil. 11.ed. São Paulo: Saraiva, 1994.
DOWNING, D. Estatística Aplicada. 2.ed. São Paulo: Saraiva, 2002.
MORETTIN, L. G. Estatística Básica. 7.ed. São Paulo: Pearson, 2000.
NEUFELD, J. L. Estatística Aplicada à Administração Usando o Excel. São 
Paulo: Pearson, 2003.
SPIEGEL, M. R. Estatística. 3.ed. Coleção Schaum. São Paulo: Pearson, 1994.
_______. Probabilidade e Estatística. Coleção Schaum. São Paulo: Pearson, 1977.
SILVA, E. M. Estatística Para os Cursos de Economia, Administração e 
Ciências Contábeis. 3.ed. São Paulo: Atlas, 1999.
50