Apostila Topografia Aplicada 2011

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CTET - CENTRO DE TREINAMENTO EDUCACIONAL E TECNÓLIGO 
 
AUPES - Associação Unificada Pirassununguense de Ensino Superior 
FEAP – Faculdade de Engenharia Agrimensura de Pirassununga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TOPOGRAFIA APLICADA AO 
GEORREFERENCIAMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Engº. Paulo Augusto F. Borges 
Engenheiro Agrimensor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MAIO 2009 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 4 
2. OBJETIVOS .............................................................................................................. 5 
3. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA TOPOGRAFIA .............................................. 6 
3.1. Definições ........................................................................................................................ 6 
3.2. Objetivos e o Problema da Topografia ............................................................................ 6 
3.3. Divisão da Topografia ..................................................................................................... 8 
 
4. ORIENTAÇÃO ........................................................................................................ 10 
4.1. Azimute ......................................................................................................................... 10 
4.2. Declinação Magnética ................................................................................................... 14 
4.3. Rumo ............................................................................................................................. 16 
 
5. SISTEMA DE COORDENADAS .......................................................................... 17 
5.1. Sistema de Coordenadas Geográficas............................................................................ 17 
5.2. Sistema de Coordenadas Topográficas. ......................................................................... 19 
5.3. Conversão de Sistemas de Coordenadas ....................................................................... 21 
 
6. O USO DE ESCALAS E CONVENÇÕES TOPOGRÁFICAS ........................... 24 
6.1. Escalas ........................................................................................................................... 24 
6.2. Convenções e Normas do Incra ..................................................................................... 28 
 
7. MEDIDAS ANGULARES ...................................................................................... 33 
7.1. Classificação dos Equipamentos segundo à Precisão .................................................... 33 
7.2. Métodos de Medição Angular ....................................................................................... 35 
 
8. MEDIDAS LINEARES ........................................................................................... 40 
8.1. Medida Direta de Distâncias.......................................................................................... 41 
8.2. Erros nas Medidas com Diastímetros ............................................................................ 45 
8.3. Medida Indireta de Distâncias ....................................................................................... 47 
8.4. Medidas Lineares com Precisão .................................................................................... 56 
8.5. Medida Eletrônica de Distâncias ................................................................................... 63 
 
9. MÉTODOS DE LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS ................................. 75 
9.1. Levantamentos Planimétricos ........................................................................................ 75 
9.2. Métodos de Levantamentos ........................................................................................... 77 
9.3. Calculo de Poligonais .................................................................................................... 80 
 
10. PLANO TOPOGRÁFICO LOCAL ................................................................... 86 
10.1. Definição do Plano Topográfico Local ..................................................................... 86 
10.2. Extensão do Sistema Topográfico Local ................................................................... 87 
10.3. O Sistema Topográfico Local .................................................................................... 90 
 
11. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS ................................................. 99 
11.1. Transformações de Coordenadas Geodésicas em Topográficas Locais .................... 99 
11.2. Transformações de Coordenadas Topográficas Locais em Geodésicas .................. 102 
11.3. Determinação do Norte geográfico a partir das coordenadas plano retangulares no 
sistema topográfico local de pontos definidores dos azimutes planos (topográficos) ............. 104 
11.4. Exemplo de Transformação de coordenadas Geodésicas em plano retangulares no 
sistema topográfico local: ........................................................................................................ 106 
11.5. Exemplo de transformação de coordenadas planoretangulares - sistema topográfico 
local em coordenadas geodésicas ............................................................................................ 110 
 
12. BIBILIOGRAFIA .............................................................................................. 115 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
A obtenção das coordenadas geodésicas de pontos na Superfície física da Terra, utilizando 
o posicionamento por satélites, através da técnica de posicionamento global GPS, tem se tornado 
uma tarefa comum em vários campos de aplicação, inclusive para fins de levantamentos 
topográficos. 
A prática deste tipo de posicionamento tem demonstrado que é possível obter resultados 
com diferentes níveis de precisão, dependendo do equipamento utilizado, da metodologia adotada 
e do processamento empregado. Com a evolução dos receptores geodésicos, melhores técnicas de 
observação disponível e dos modernos e sofisticados métodos de ajustamento empregados, pôde-
se alcançar precisões (estatísticas) das coordenadas na casa de centímetros, e em alguns casos, de 
milímetros, desde que o rastreamento das portadoras seja efetuado por períodos longos, e se 
utilizem técnicas de pós-processamento dos dados. 
Assim, o advento do uso de receptores GPS para fins de levantamentos topográficos 
trouxe grandes facilidades para as práticas de georreferenciamento de glebas, que se tornou uma 
tarefa comum aos engenheiros do mensuramento e profissionais de áreas afins, devido à 
regulamentação da atual Lei de Registro de Terras 10.267 através do decreto 4.449 de 30 de 
outubro de 2002. Segundo a nova Lei, nos casos de desmembramento, parcelamento ou 
remembramento de imóveis rurais, a identificação de um imóvel rural será obtida a partir do 
memorial descritivo, contendo as coordenadas dos vértices definidores dos limites dos imóveis 
rurais, georreferenciadas ao Sistema Geodésico Brasileiro. 
Com isso, tornou-se cotidiano a manipulação (transformação) de coordenadas entre 
diferentes sistemas, cabendo a nós, profissionais da área do mensuramento, dominar com 
desenvoltura o processo de transformação de pontos geodésicos caracterizados por suas 
coordenadas geodésicas para coordenadas plano-retangulares no Sistema Topográfico Local e 
vice-versa. Para tal fim, cabe salientar, portanto, que é primordial o conhecimento e o domínio 
dos métodos e as técnicas convencionais aplicados aos levantamentos topográficos, uma vez que 
mesmo com o avanço da tecnologia para posicionamento baseado na recepção de satélites, muitas 
vezes teremos que recorreraos métodos tradicionais da Topografia. É também de extrema 
importância, dominar o Sistema de Projeção UTM, evitando-se o seu emprego generalizado, tal 
como a transformação das Coordenadas Planas no Sistema UTM para Coordenadas Planas no 
Sistema Topográfico Local, com aplicações das correções relativas ao fator de deformação linear 
(fator K) e ao fator de elevação, porém, sem o estabelecimento de uma origem, abstraindo-se o 
efeito da curvatura terrestre, o que ocasiona erros além do limite de precisão requerido pelo 
levantamento topográfico. 
Neste curso pretende-se apresentar os principais conceitos e fundamentos da topografia 
para que os profissionais possam dominar as técnicas de medição mais utilizadas, e exigidas pela 
Norma Técnica de Georreferenciamento, quando estes optarem pela execução dos levantamentos 
utilizando-se da Topografia convencional. 
Além de todo este estudo, pretende-se proporcionar o conhecimento e o uso na prática, 
dos principais e mais modernos equipamentos utilizados para a execução dos levantamentos, 
desde o uso de estações totais até as técnicas de posicionamento e processamento de dados 
coletados com receptores geodésicos (GPS). Para isso o curso será complementado com aulas 
práticas de campo, para que os alunos possam trabalhar na prática com estes equipamentos, 
procurando simular os trabalhos e procedimentos que deverão ser executados para o 
levantamento dos imóveis rurais. 
 
2. OBJETIVOS 
 
O objetivo desta disciplina é fornecer aos alunos do curso de Topografia Aplicada, os 
conhecimentos necessários para dominar e manipular com desenvoltura os trabalhos relacionados 
à execução de serviços de Levantamentos Topográficos voltados para o georreferenciamento de 
imóveis rurais em atendimento à Lei 10.267. Pretende-se apresentar os conceitos e as técnicas 
convencionais empregadas na Topografia bem como explorar o uso de novas tecnologias. Em 
função do grande salto no desenvolvimento tecnológico das técnicas de posicionamento através 
de satélites, a partir da introdução do sistema NAVSTAR-GPS, cabe aos profissionais habilitados 
aos serviços de medição, demarcação e georreferenciamento conhecer os procedimentos 
necessários para mesclar o uso dos levantamentos coletados com receptores Geodésicos (GPS) 
com os levantamentos executados pelas técnicas convencionais de Topografia, aplicando-se as 
transformações necessárias para a geração de uma representação em planta decorrente destes 
levantamentos. 
 
3. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA TOPOGRAFIA 
 
3.1. Definições 
A palavra topografia deriva etimologicamente do grego TOPOS, que significa “lugar” e 
de GRAPHEN, que significa “descrição”. Desta derivação surge as definições atribuídas à 
Topografia: 
Segundo UZEDA (1963), a Topografia “é a arte de representar em uma folha de papel, 
determinada superfície do solo terrestre, com todos os detalhes naturais e artificiais que aí se 
encontrem, dando, ao mesmo tempo, uma representação expressiva e rigorosa do seu relevo”. 
“A Topografia tem por finalidade determinar o contorno, dimensão e posição relativa de 
uma porção limitada da superfície terrestre, sem levar em conta a curvatura resultante da 
esfericidade terrestre” (ESPARTEL, 1987). 
Cita-se ainda definições mais elaboradas como: 
Topografia é “a ciência aplicada, baseada na geometria e na trigonometria plana, que 
utiliza medidas de distâncias horizontais, de diferenças de nível, de ângulos e de orientação, com 
o fim de obter a representação, em projeção ortogonal sobre um plano de referência, dos pontos 
que definem a forma, as dimensões e a posição relativa de uma porção limitada do terreno, sem 
considerar a curvatura da terra” (LOCH e CORDINI, 1995). 
 
3.2. Objetivos e o Problema da Topografia 
O objetivo final da topografia é a representação em planta de parte da superfície terrestre 
visando a definição de limites naturais, dimensões e a posição relativa dos pontos e também a 
representação da própria superfície topográfica (representação do relevo) realizado através das 
curvas de nível. 
Em função deste objetivo surge o problema da topografia, que é a representação do geóide 
(uma superfície curva) em um plano. 
O geóide por se tratar de uma superfície que, apesar de obedecer a certas leis topológicas, 
não se aproxima de nenhum sólido geométrico regular. Sendo assim, um ponto qualquer da 
superfície terrestre deveria ser representado pelas suas três coordenadas X, Y e Z, de forma que 
sua representação plana se torna impossível sem que haja deformações. 
Assim o artifício utilizado é a projeção ortogonal de todos os pontos da superfície sobre 
uma superfície horizontal de referência e em nível. Tal superfície plana é definida pelo plano 
tangente ao geóide no ponto de origem do sistema. Segundo LISTING (in GEMAEL, 1987) o 
geóide é caracterizado por ser, em todos os seus pontos, normal à direção da gravidade e 
coincidente com a superfície média dos mares prolongada através dos continentes. 
Assim, todo ponto A na Superfície Topográfica corresponderá: 
a) um ponto a que é a projeção do ponto A sobre a superfície de projeção (plano 
topográfico local). 
b) Um valor correspondente à distância A - a que representa a cota Z do ponto A 
em relação à superfície de comparação (ver Figura 3.1). 
 
Figura 3.1 – Superfícies de Referência: Topográfica, Geóide e Elipsóide. 
 
Por se tratar de uma projeção ortogonal têm-se como conseqüência, a não consideração da 
superfície curva da terra fazendo com que as projetantes (verticais) sejam paralelas entre si e 
normais (ortogonais) a este plano tangente (LOCH e CORDINI, 1995). 
 
A 
a 
3.3. Divisão da Topografia 
 
3.1.1. Topometria: 
 
 Este segmento da Topografia procura estudar os procedimentos utilizados para 
determinação de distância, ângulos e diferenças de nível com o intuito de determinar a 
posição relativa dos pontos da superfície topográfica. É subdividida em Planimetria e 
Altimetria. 
A Planimetria estabelece os procedimentos necessários à determinação de 
distância e ângulos no plano horizontal de referência que permitirá a localização 
planimétrica de pontos do terreno. Essa determinação é obtida a partir da referência dos 
pontos desconhecidos a um ou mais pontos do terreno já determinados (arbitrariamente ou 
georreferenciados). 
 A Altimetria visa estabelecer a relação vertical entre pontos do terreno, ou seja, a 
determinação das diferenças de nível entre eles. Para isso utiliza-se de medidas diretas 
(nivelamento geométrico) ou indiretas (nivelamento trigonométrico) obtidas a partir da 
medição de ângulos verticais. 
Segundo LOCH e CORDINI (1995), a topometria pode alcançar seus objetivos mediante 
três procedimentos distintos: 
 
1. tomando-se medidas de grandezas angulares e lineares em relação a um plano 
horizontal de referência – planimetria ou a um plano vertical de referência – 
altimetria. 
2. efetuando conjuntamente medidas de grandezas angulares e lineares em 
relação aos dois planos de referência, possibilitando a determinação planimétrica e 
altimétrica – taqueometria (ou levantamentos planialtimétricos). 
3. efetuando medidas de grandezas angulares, lineares e altimétricas a partir de 
fotografias de pontos do terreno – fotogrametria terrestre ou a partir de aeronaves 
– aerofotogrametria. 
 
3.1.2. Topologia: 
 
A topologia visa o estudo das formas exteriores do terreno e os processos 
empregados para representação das formas do terreno. Esta representação se dá pelas 
curvas de nível ou por meio de pontos cotados. 
 
4. ORIENTAÇÃO 
 
4.1. Azimute 
 
É o ângulo que um alinhamento forma com a direção norte, contado no sentido horário, 
variando, portanto, de0º a 360º. Em topografia, utiliza-se o norte verdadeiro, ou geográfico, que 
é direção dada pelo meridiano que passa pelo ponto em questão, sendo que em alguns casos 
admite-se o norte magnético, que é direção indicada por uma agulha imantada quando suspensa 
(bússola). O problema que se apresenta é a determinação do norte verdadeiro, uma vez que uma 
planta topográfica deve ser orientada nesse sentido. 
 
4.1.1. Determinação do norte verdadeiro 
 
 Existem vários processos para determinação do azimute verdadeiro de um 
alinhamento, desde processos expeditos até os mais precisos que se baseiam em 
determinações astronômicas. O caso mais desejável é a utilização de vértices geodésicos 
de coordenadas oficiais. Neste caso são necessários pelo menos dois vértices que 
proporcionam a correta orientação do trabalho através do cálculo do azimute existente 
entre os dois vértices oficiais. 
 Na inexistência de pontos topográficos conhecidos, quando necessário, determina-
se o azimute de um alinhamento, por um processo compatível com a precisão desejável. 
Alguns dos processos são: 
a) Processos expeditos 
- determinação da declinação magnética (ver item 4.2) 
- método do estilete vertical, cuja sombra projetada no período da manhã 
apresentará no período da tarde, com igual afastamento, uma posição simétrica. A 
bissetriz do ângulo formado entre o estilete e estes pontos materializará no terreno 
a direção do norte verdadeiro. 
 - extração do azimute, a partir de uma carta da região, de um alinhamento 
perfeitamente identificável em campo e que possa, ser levantado. 
 
 
b) Processos precisos 
 Todos os processos que requeiram maior precisão são baseados em 
determinações astronômicas, tanto do sol como de estrelas, sendo que no segundo 
caso, é sempre mais recomendável em função da maior precisão atingida. Os 
métodos são: 
 - Alturas iguais do sol; 
 - Distância zenital absoluta do sol; 
 - Alturas iguais de estrelas; 
 - Distância zenital absoluta de estrelas; 
- Máxima elongação de uma estrela circumpolar; 
 - Circum - elongação de estrelas; 
 - Passagem meridiana de uma estrela 
 
Como exemplo segue abaixo detalhes da determinação do Norte 
Verdadeiro pelo método da distância Zenital Absoluta. 
Segundo GEMAEL (1971), este método é especialmente indicado para 
observações a um astro fixo. Entretanto, com algumas correções pode-se aplicá-lo 
em observações ao Sol. Observando-se a Figura 4.1 , temos que Hn0ºHsME1 
representa o plano do horizonte do observador. 0º é a direção da graduação zero 
do limbo horizontal do aparelho. M é uma mira e ZE é a vertical de um astro. 
 
 
Figura 4.1 – Determinação do Azimute por visando-se o Sol.. 
 
Vamos considerar também a seguinte notação: 
LE Æ Leitura Horizontal do Astro 
LM Æ Leitura Horizontal da Mira. 
AE Æ Azimute do Astro. 
AM Æ Azimute da Mira. 
Nos procedimentos de campo o observador deve realizar uma leitura na 
mira LM, em seguida deve-se visar o astro obtendo a leitura LE e no limbo vertical 
a distância zenital z. Sabendo-se que a graduações do limbo azimutal crescem no 
sentido horário, têm-se da geometria que: 
 
MMEE ALAL −=− e logo EEMM ALLA +−= 
 
Se o aparelho nos fornece LM e LE, além da distância zenital z, nos resta 
determinar o azimute do astro (AE) para o momento da observação. 
A trigonometria esférica possibilita a solução de um triângulo esférico 
cujos lados são conhecidos, assim segundo GEMAEL (1981), utiliza-se a seguinte 
expressão: 
senz
senzsenAE ×
−×= φ
δφ
cos
)cos(cos 
onde: 
φ = Latitude do Local da Observação 
δ = Declinação do Astro 
z = Distância zenital medida e corrigida 
 
Ao final dos cálculos teremos dois azimutes que satisfazem a equação, de 
forma que elimina-se a ambigüidade a partir do conhecimento do horário da 
observação: o astro nasce a leste e oculta a oeste. 
De forma resumida este é o método para determinação do azimute 
verdadeiro de uma direção pelo método da distância zenital absoluta. O processo 
de cálculo completo pode ser consultado no Livro TOPOGRAFIA 
COMTEMPORÂNEA, de Carlos Loch e Jucilei Cordini. 
 
c) Processo de alta precisão 
 Este processo é utilizado para determinação de azimutes astronômicos de 1ª 
ordem sobre vértices da rede fundamental geodésica. É baseado na observação da 
estrela σ octantis, pelas características especiais que possui. 
 
d) Determinação do Azimute Geodésico por meio de Observações GPS 
Com a utilização de sistemas receptores de sinais GPS, nosso trabalho de 
determinação da orientação se torna muito mais fácil. Conhecendo-se as 
coordenadas geodésicas dos pontos de partida e referência da poligonal a 
determinação do azimute geodésico pode ser realizada a partir da transformação 
dessas coordenas para topográficas locais, item do Capítulo 11. 
 
Figura 4.2 – Determinação do Azimute através das 
coordenadas topográficas. 
 
Este método consiste em determinar o azimute calculando-se o ângulo α 
pela seguinte expressão: 
Y
X
Δ
Δ= arctanα 
α α 
α α 
1º 
2º 3º 
4º 
 
Assim o azimute será calculado da seguinte forma: 
 
1º QUADRANTE α=AZ 
2º QUADRANTE α−=180AZ 
3º QUADRANTE α+=180AZ 
4º QUADRANTE α−= 360AZ 
 
Para que o azimute calculado seja igual ao azimute geodésico, deve-se 
definir o ponto A como sendo a origem do sistema topográfico local, que será 
visto em detalhes mais adiante. Este ponto de origem deverá ser também o ponto 
de partida da poligonal de modo que o azimute calculado deste ponto para 
qualquer que seja o ponto de referência (P1, P2, P3 e P4) seja também o azimute 
geodésico. 
 
4.2. Declinação Magnética 
 
A bússola nada mais é que uma agulha imantada (imã) suspensa pelo seu centro de 
gravidade por meio de um pivô que oferece um mínimo de atrito, de modo que a agulha ao 
girar livremente acusa a direção do azimute magnético em um limbo graduado. 
O emprego da bússola é baseado na propriedade que tem a agulha imantada de se 
orientar sempre na direção do pólo magnético terrestre, quando da possibilidade de se mover 
livremente sobre o pivô. O magnetismo terrestre submete a agulha imantada a um movimento 
de rotação, pela ação de duas forças iguais, em sentido contrário (binário), e aplicadas em 
cada pólo da agulha, de modo que o momento provocado pelo binário somente se anula 
quando a agulha ocupa a direção norte-sul magnética. 
Existem uma infinidade de bússolas, desde as bússolas simples de mão até bússolas 
montadas sobre tripés e dotadas de lunetas. 
O norte magnético não coincide com o norte verdadeiro, formando um ângulo 
denominado declinação magnética. Sabe-se, contudo, que a direção para onde aponta a agulha 
imantada varia de um lugar para o outro (com a posição geográfica) e ao longo do tempo, de 
maneira que a declinação magnética torna-se variável. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.3 – Declinação magnética 
 
As variações da declinação magnética discriminam-se do seguinte modo: 
- Variações geográficas: em um dado instante ocorre variações de declinação de 
acordo com o local em que se observa. Para representar melhor essa situação são publicadas 
periodicamente as cartas isogônicas, que representam linhas que unem pontos sobre a 
superfície terrestre com a mesma declinação magnética, denominadas de curvas isogônicas. 
- Variações seculares: são aquelas observadas no decorrer dos séculos, em que o pólo 
norte magnético caminha em torno do pólo norte geográfico. Após um grande período de 
tempo a declinação magnética, em um mesmo local, pode até apresentar valor contrário 
àquele que já teve. Foi assim no Rio de Janeiro onde observações efetuadas em 1670 até 
1924, onde a declinaçãovariou de 24º10’, visto ter passado de -12º10’ (declinação ocidental 
ou oeste) para + 12º (declinação oriental ou leste), tendo um valor nulo em 1850. As curvas 
isopóricas são linhas que unem pontos com a mesma variação anual de declividade, e as 
plantas que as representam são denominadas de cartas isopóricas. Geralmente são publicadas 
as cartas isogônicas - isopóricas que representam simultaneamente as duas famílias de curvas. 
- Variações anuais: não são ainda bem conhecidas e variam de maneira não uniforme 
durante os meses do ano. Adotam-se valores médios de variações mensais de acordo com as 
variações anuais, dado a inexistência de observações em curtos espaços de tempo. 
- Variações diurnas: Apresentam variações sensíveis. Geralmente das 6 horas às 14 horas, há 
um desvio crescente para oeste, e daí em sentido contrário. As estações do ano e as regiões 
NVNV NMNM
δδ
afetam muito essas oscilações, que atingem os maiores valores por ocasião dos solstícios. 
Verifica-se ainda que a amplitude da variação é maior durante o dia do que à noite. 
- Variações locais: são variações da declinação motivadas por perturbações locais, tais 
como a presença ou proximidade de minério de ferro (magnetita, oligisto), linhas de 
transmissão, linhas telefônica, cercas, entre outros. 
- Variações acidentais: também denominadas de perturbações da agulha magnética, 
seguem, as vezes, repentinamente, desencadeadas pelas tempestades magnéticas, auroras 
boreais, tremores de terras, raios cósmicos, etc. Sob essas condições as variações são bruscas 
e repentinas. 
O cálculo da declinação magnética é efetuado a partir de interpolação linear das cartas 
isogônicas-isopóricas. Para isso é necessário conhecer as coordenas geográficas aproximadas 
(latitude e longitude) para localização da região em questão na carta. 
 
4.3. Rumo 
O rumo de um alinhamento é o menor ângulo que este forma com a direção do norte 
ou do sul. Varia de 0º a 90º contados a partir do: 
- norte para a direita - quadrante NE 
- norte para a esquerda - quadrante NW 
- sul para a direita - quadrante SE 
- sul para a esquerda - quadrante SW 
Desta forma o rumo é sempre expresso por um ângulo entre 0º a 90º seguido pelas 
duas letras que indicam o quadrante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.4 – Os quadrantes do Rumo 
N
NENW
SW SE
EW
S
0º
0º
90º90º
5. SISTEMA DE COORDENADAS 
 
Após um levantamento topográfico o próximo passo é representar o terreno em um 
sistema de eixos coordenados. Qualquer trabalho que envolva topografia ou geodésia deve ser 
representado em um sistema único de referência, representação esta, realizada por meio de um 
par ordenado X e Y (representação planimétrica). 
O sistema de coordenadas baseadas em coordenadas ortogonais foi introduzido por René 
Descartes (1596-1650) que o denominou de sistemas cartesianos. 
Mundialmente, o sistema mais usado é o sistema de coordenadas geográficas ou Latitude / 
Longitude, mas devido às necessidades de representação em um plano surgiram os sistemas de 
projeção, que visam a transformação da superfície do elipsóide não desenvolvível em uma 
superfície plana. 
 
5.1. Sistema de Coordenadas Geográficas. 
 
A astronomia de campo é a Ciência que determina as coordenadas Geográficas ou 
Astronômicas representadas pela latitude (φ) e longitude (λ). Como referência, toma-se a Linha 
do Equador (que divide a Terra em Hemisfério Norte e Hemisfério Sul) e a linha que passa pelos 
pólos e pela cidade inglesa de Greenwich (Meridiano de Greenwich), que divide a Terra em 
Hemisfério Oeste (W, de West) e Hemisfério Leste (E, de East). As linhas imaginárias paralelas à 
do Equador são chamadas de Paralelos e suas perpendiculares, de Meridianos. Convencionou-se 
que a linha do Equador é a linha 0º de Latitude e o meridiano de Greenwich, a linha 0º de 
Longitude. O meridiano oposto (a 180º) é chamado de "International Date Line" (Linha 
Internacional de Mudança de Data). A latitude varia de 0º no Equador a ± 90º nos pólos, tendo-se 
latitudes positivas para pontos no hemisfério Norte e latitudes negativas para pontos no 
hemisfério Sul. 
 
Figura 5.1 – Representação dos Meridianos e Paralelos. 
 
Definições: 
Latitude geodésica ϕ: ângulo, que a normal ao elipsóide, passante por um ponto P, forma 
com sua projeção equatorial. É contado ao longo do meridiano de P. 
Longitude geodésica λ: ângulo que mede o diedro formado pelos meridianos geodésicos 
do ponto considerado de Greenwich, contada a partir deste positivamente por leste. 
Altura geométrica h: ou altura elipsoidal, é o segmento da normal compreendida entre o 
ponto P e o elipsóide. Pode ser positiva ou negativa conforme P esteja acima ou abaixo da 
superfície elipsoidal. 
 
Figura 5.2 – Latitude e Longitude Geodésica: 
 
Meridiano de 
Greenwich 
5.2. Sistema de Coordenadas Topográficas. 
 
O sistema de coordenadas topográficas ou de projeção topográfica é o sistema utilizado 
nos levantamentos topográficos para posicionamento e representação dos elementos levantados, 
cujas características são definidas pelo item 3.40 da NBR-13.133. Somente por questões didáticas 
será dividido em dois tipos de sistemas de coordenadas no plano topográfico: 
 - Coordenadas Polares 
 - Coordenadas Retangulares 
 
5.2.1. Coordenadas Polares. 
 
 As coordenadas polares são definidas sobre um plano cartesiano a partir de um 
ângulo (azimute ou rumo) e um vetor (distância topográfica). 
 Um plano cartesiano é constituído por um sistema de dois eixos perpendiculares 
entre si, sendo que um deles assume a direção norte-sul e o outro a direção leste-oeste. 
 Desta forma a direção em relação aos eixos cartesianos é dada pelo azimute (ou 
rumo) e a distância em relação ao ponto em que se considera é definida pela distância 
topográfica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.3 – Sistema de coordenadas polar 
N= Y
E= X
Dis
t To
po
grá
fica
0º
0º
0º
90º 90º90º
180º
270º
α
O
B
5.2.1. Coordenadas Retangulares 
 
 No plano cartesiano é possível posicionar um ponto topográfico por meio de um 
par de coordenadas denominadas coordenadas topográficas, comumente expressas pela 
abcissa X (ou abcissa Este) e pela ordenada Y (ou ordenada Norte). Ver figura. 
 Essas coordenadas devem estar vinculadas (referenciadas) a vértices do Sistema 
Geodésico Brasileiro (SGB - item 3.39 da norma). Para isso o levantamento topográfico 
deve partir de pontos vinculados ao SGB, de forma a proporcionar uma amarração do 
plano topográfico local, permitindo, também, a vinculação a outros trabalhos já 
executados na região, nessas condições, ou a trabalhos que venham a ser executados no 
futuro. Existem situações, no entanto, em que essa amarração não é “possível” ou não é 
necessária, admitindo a adoção de um sistema topográfico local com origem arbitrária. O 
item 5.3 e sub-itens da norma definem essas condições. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.4 – Sistema de coordenadas retangulares 
 
 
N= Y
E= X
XB
YB
O
B(X,Y)
5.3. Conversão de Sistemas de Coordenadas 
 
 Normalmente as observações efetuadas em campo (ângulos e distâncias) são inicialmente 
transformadas em coordenadas polares (azimutes e distâncias horizontais) e depois em 
coordenadas retangulares (Coordenadas Norte e Este). Pode ocorrer, no entanto a necessidade de 
uma transformação inversa (coordenadas retangulares para polares), é o caso de reconstituição de 
poligonais já existentes ou de locação de obras, quando se devem levar os dados de escritório de 
volta para o campo. 
 
5.3.1. Conversão de Coordenadas Polares em RetangularesNeste caso admite-se que partiu-se de um ponto B de coordenas retangulares pré 
existentes (conhecidas) para determinar as coordenadas de um ponto C, cujas coordenadas 
polares foram obtidas em relação ao ponto B. Desta forma basta calcular as projeções 
ΔN=DY e ΔE=DX a partir das coordenadas polares e somá-las às coordenadas do ponto 
B, conforme a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.5 – Sistema de coordenadas retangular absoluta e relativa 
Pela análise da figura acima tem-se : 
DYYY
DXXX
BC
BC
+=
+=
 (2) 
 
N= Y
E= X
XB
XC
YB
YC
O
B(X,Y)
C(?,?)
AZBC
DX
DY DhBC
Eduarda
Realce
O segmento DX corresponde à projeção da distância Dh entre B e C sobre o eixo X, e 
pode ser obtido por : 
)( BCBC AZsenDhDX ⋅= (3) 
 
 O segmento DY corresponde à projeção da distância Dh entre B e C sobre o eixo 
Y, e pode ser obtido por : 
)cos( BCBC AZDhDY ⋅= (4) 
 Substituindo as expressões anteriores na principal temos : 
 
)cos(
)(
BCBCBC
BCBCBC
AZDhYY
AZsenDhXX
⋅+=
⋅+=
 (5) 
ou 
)cos(
)(
BCBCBC
BCBCBC
AZDhNN
AZsenDhEE
⋅+=
⋅+=
 (6) 
onde: 
NB e NC coordenadas Norte dos pontos B e C; 
EB e EC coordenadas Este dos pontos B e C; 
DhBC distância horizontal entre os pontos B e C 
AzBC azimute do ponto B para o ponto C. 
 
 DhBC e AzBC são as coordenadas polares do ponto B para o ponto C e devem ser 
obtidas conforme o 3.6.2.1. 
 Nota1: Observe que só faz sentido falar em coordenadas polares relativas, isto é, 
os valores de distância e o azimute de um ponto em relação a outro ponto. 
 Nota2: Já as coordenadas retangulares (ou coordenadas topográficas o que aliás é 
mais correto por ser um termo específico), são absolutas uma vez que está referenciada a 
origem do sistema topográfico adotado que pode ser local ou vinculado ao SGB, 
conforme visto. 
 Nota3: Todavia, pode-se falar, também, em coordenadas topográficas relativas (ou 
projeções), que nesse caso seriam expressas pelas equações (3) e (4) respectivamente. 
 
5.3.1. Conversão de Coordenadas Retangulares em Polares 
 
 Nesse caso a operação é inversa, sendo que, para isso, deve-se aplicar a 
formulação a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.6 – Conversão de coordenadas 
Pela figura anterior tem-se: 
E
NTagou
DX
DYTag Δ
Δ== ) ( ) ( θθ (7) 
Assim, 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−=
BC
BC
EE
NNArcTag θ (8) 
com a devida análise do quadrante. Isto é: 
 Quadrante NE AzBC = θ (ΔEBC > 0 e ΔNBC > 0) 
 Quadrante SE AzBC = 180º - θ (ΔEBC > 0 e ΔNBC < 0) 
 Quadrante SW AzBC = 180º + θ (ΔEBC < 0 e ΔNBC < 0) 
 Quadrante NW AzBC = 360º - θ (ΔEBC < 0 e ΔNBC > 0), e 
 
 A distância entre os pontos pode ser obtida por : 
 
( ) ( )22 NEDhBC Δ+Δ= (9) 
 
B(X,Y)
C(X,Y)
θ
DX
DY
Eduarda
Realce
6. O USO DE ESCALAS E CONVENÇÕES TOPOGRÁFICAS 
 
6.1. Escalas 
 
Segundo ESPARTEL (1987) o desenho topográfico nada mais é do que a projeção de 
todas as medidas obtidas no terreno sobre o plano do papel. 
Neste desenho, os ângulos são representados em verdadeira grandeza (VG) e as 
distâncias são reduzidas segundo uma razão constante. 
A esta razão constante denomina-se ESCALA. 
A escala de uma planta ou desenho é definida pela seguinte relação: 
E
L
= =1
M
l
 
Onde: 
"L" representa qualquer comprimento linear real, medido sobre o terreno. 
"l" representa um comprimento linear gráfico qualquer, medido sobre o papel, e que 
correspondente ao comprimento medido sobre o terreno. 
"M" é denominado Título ou Módulo da escala e representa o inverso de (l / L). 
A escala pode ser apresentada sob a forma de: 
• fração : 1/100, 1/2000 etc. ou 
• proporção : 1:100, 1:2000 etc. 
Podemos dizer ainda que a escala é: 
• de ampliação : quando l > L (Ex.: 2:1) 
• natural : quando l = L (Ex.: 1:1) 
• de redução : quando l < L (Ex.: 1:50) 
6.1.1. Critérios para a Escolha da Escala de uma Planta 
 
Se, ao se levantar uma determinada porção da superfície terrestre, deste 
levantamento, resultarem algumas medidas de distâncias e ângulos, estas medidas 
poderão ser representadas sobre o papel segundo: 
 
6.1.1.1 - O Tamanho da Folha Utilizada 
Para a representação de uma porção bidimensional (área) do terreno, terão 
que ser levadas em consideração as dimensões reais desta (em largura e 
comprimento), bem como, as dimensões x e y do papel onde ela (a porção) será 
projetada. Assim, ao aplicar a relação fundamental de escala, ter-se-á como 
resultado duas escalas, uma para cada eixo. A escala escolhida para melhor 
representar a porção em questão deve ser aquela de maior módulo, ou seja, cuja 
razão seja menor. 
É importante ressaltar que os tamanhos de folha mais utilizados para a 
representação da superfície terrestre seguem as normas da ABNT, que variam do 
tamanho A0 (máximo) ao A5 (mínimo). 
 
6.1.1.2 - O Tamanho da Porção de Terreno Levantado 
Quando a porção levantada e a ser projetada é bastante extensa e, se quer 
representar convenientemente todos os detalhes naturais e artificiais a ela 
pertinentes, procura-se, ao invés de reduzir a escala para que toda a porção caiba 
numa única folha de papel, dividir esta porção em partes e representar cada parte 
em uma folha. É o que se denomina representação parcial. 
A escolha da escala para estas representações parciais deve seguir os 
critérios abordados no item anterior. 
 
6.1.1.3 - O Erro de Graficismo ou Precisão do Levantamento 
Segundo DOMINGUES (1979) o Erro de Graficismo (ε), também 
chamado de Precisão Gráfica, é o nome dado ao raio do menor círculo no interior 
do qual se pode marcar um ponto com os recursos do desenho técnico. 
O valor de (ε), para os levantamentos topográficos desenhados 
manualmente, é da ordem de 0,2mm (1/5mm). Para desenhos efetuados por 
plotadores automáticos, este erro, em função da resolução do plotador, poderá ser 
maior ou menor. 
Assim, a escala escolhida para representar a porção do terreno levantada, 
levando em consideração o erro de graficismo, pode ser definida pela relação: 
P
E
ε≤
 
Onde: 
P: é a incerteza, erro ou precisão do levantamento topográfico, medida em 
metros, e que não deve aparecer no desenho. 
Por exemplo: a representação de uma região na escala 1:50.000, 
considerando o erro de graficismo igual a 0,2mm, permite que a posição de um 
ponto do terreno possa ser determinada com um erro relativo de até 10m sem que 
isto afete a precisão da carta. 
Analogamente, para a escala 1:5.000, o erro relativo permitido em um 
levantamento seria de apenas 1m. 
Desta forma, pode-se concluir que o erro admissível na determinação de 
um ponto do terreno diminui à medida em que a escala aumenta. 
 
6.1.2. Escala Gráfica 
Segundo DOMINGUES (1979), a escala gráfica é a representação gráfica de uma 
escala nominal ou numérica. 
Esta forma de representação da escala é utilizada, principalmente, para fins de 
acompanhamento de ampliações ou reduções de plantas ou cartas topográficas, em 
processos fotográficos comuns ou xerox, cujos produtos finais não correspondem à escala 
nominal neles registrada. 
A escala gráfica é também utilizada no acompanhamento da dilatação ou retração 
do papel no qual o desenho da planta ou carta foi realizado. Esta dilatação ou retração se 
deve, normalmente, a alterações ambientais ou climáticas do tipo: variações de 
temperatura, variações de umidade, manuseio, armazenamento, etc. 
Ainda segundo DOMINGUES (1979) a escala gráfica fornece, rapidamente e sem 
cálculos, o valor real das medidas executadas sobre o desenho, qualquer que tenha sido a 
redução ouampliação sofrida por este. 
A construção de uma escala gráfica deve obedecer aos seguintes critérios: 
1) Conhecer a escala nominal da planta. 
2) Conhecer a unidade e o intervalo de representação desta escala. 
3) Traçar uma linha reta AB de comprimento igual ao intervalo na escala da 
planta. 
4) Dividir esta linha em 5 ou 10 partes iguais. 
5) Traçar à esquerda de A um segmento de reta de comprimento igual a 1 (um) 
intervalo. 
6) Dividir este segmento em 5 ou 10 partes iguais. 
7) Determinar a precisão gráfica da escala. 
Exemplo: supondo que a escala de uma planta seja 1:100 e que o intervalo de 
representação seja de 1m, a escala gráfica correspondente terá o seguinte aspecto: 
 
A figura a seguir mostra outros tipos de representação da escala gráfica. 
 
Eduarda
Realce
6.1.3. Principais Escalas e suas Aplicações 
A seguir encontra-se um quadro com as principais escalas utilizadas por 
engenheiros e as suas respectivas aplicações. 
É importante perceber que, dependendo da escala, a denominação da 
representação muda para planta, carta ou mapa. 
 
Aplicação Escala 
Detalhes de terrenos urbanos 1:50 
Planta de pequenos lotes e edifícios 1:100 e 1:200 
Planta de arruamentos e loteamentos urbanos 1:500 
1:1.000 
Planta de propriedades rurais 1:1.000 
1:2.000 
1:5.000 
Planta cadastral de cidades e grandes 
propriedades rurais ou industriais 
1:5.000 
1:10.000 
1:25.000 
Cartas de municípios 1:50.000 
1:100.000 
Mapas de estados, países, continentes etc. 1:200.000 a 1:10.000.000 
Tabela 6.1 – Principais escalas e suas aplicações 
 
6.2. Convenções e Normas do Incra 
Segundo a Norma Técnica de Georreferenciamento, deve-se seguir algumas instruções 
para a elaboração da planta e do memorial descritivo, as quais estão listadas abaixo. 
 
MINISTÉRIO DO DESENVOLVIMENTO AGRÁRIO 
INSTITUTO NACIONAL DE COLONIZAÇÃO E REFORMA AGRÁRIA 
SUPERINTENDÊNCIA REGIONAL DE SÃO PAULO 
DIVISÃO TÉCNICA 
 
Informações Cartográficas que deverão constar na planta e memorial descritivo do imóvel, em 
conformidade com ABNT, NBR 13133 de 30.06.94 é necessário consultar ainda Decreto no. 89817 de 
20.06.84, Instruções Reguladoras das Normas Técnicas da Cartografia Nacional, quanto aos padrões 
de exatidão, NBR’s complementares e; Lei 10.267 de 28.08.01 que Institui o Sistema Público de 
Registros de Terras, e Decreto 4449 de 30 de outubro de 2002, DOU de 31/10/2002. 
 
NA PLANTA: 
 
(i) LEGENDA PADRÃO CONTENDO: 
 
1 - Formato de acordo com a Norma da ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas), linha de 
corte com 210 x 297. 
Campo Um 
Cabeçalho descrevendo tipo de levantamento - Planimétrico e ou Planialtimétrico 
folha nº.
Campo Dois 
3.2.1. – Nome do Imóvel; 
3.2.2. – Nome do Proprietário; 
3.2.3. – Código do Imóvel; 
3.2.4. – Transcrições e ou matrículas; 
3.2.5. – Município, Comarca e Estado; 
3.2.6. – Área do imóvel e perímetro; 
3.2.7. – Data da elaboração dos Trabalhos; 
– Escala 
Campo Três 
1 – Descrição e somatória das áreas ( Reservas 
Legal, Pres. Permanente, Estradas ) etc.; 
 
Campo Quatro
1 – Assinatura do Proprietário; 
2 – Assinatura do Resp. Técnico, contendo CREA 
e Qualificação Profissional; 
 
Campo Cinco 
Espaço que deverá estar livre para apor carimbos, registros e assinaturas de órgãos oficiais. 
 
 
 
 
 
 
QUADRO DE CONVENÇÕES: 
 
No quadro das convenções topográficas e sinais convencionais, colocados acima da legenda 
contendo:- 
 
1 – Norte quadrícula indicado na parte superior e a direita da planta; 
2 – Norte verdadeiro indicado na parte superior e a direita da planta; 
3 – Convergência Meridiana - Centro da planta ou área considerada; 
4 – Datum Horizontal e Meridiano Central; 
5 – Convenções Topográficas; 
6 – Sinais Convencionais; 
7 – Situação do Imóvel etc.; 
 
(ii) PROJEÇÕES ORTOGONAIS CONTENDO: 
1 – Na elaboração da planta, descrever as coordenadas no Sistema UTM (Universal Transverso de 
Mercator) de todos os vértices do perímetro do imóvel ou quadro discriminando pontos ou marcos 
com as respectivas coordenadas; 
2 – A PLANTA e o MEMORIAL, deverão ser apresentados em três vias impressas, juntamente com um 
disquete no formato DGN, DWG ou DXF da planta; 
3 – Escala da planta deverá ser apresentada em múltiplos de 100; 200; 250 e 500; 
4 – Quando não for possível descrever os elementos técnicos de cada lado do imóvel, faze-lo em 
quadro a parte; 
 
NO MEMORIAL DESCRITIVO: 
 
Cabeçalho contendo: 
1 – Propriedade; Proprietário; Município; Comarca; Área; Perímetro; Transcrição e ou matrícula do 
imóvel; 
 
Descrição do perímetro contendo: 
1 – Descrição e Localização do ponto inicial, com as respectivas coordenadas Referenciada ao Sistema 
Geodésico Brasileiro, no sistema UTM, bem como Meridiano Central e Datum Horizontal SAD 69 
(Oficial – IBGE). 
2 – Descrever as confrontações, conforme desenvolvimento da descrição do perímetro do imóvel, não 
sendo necessário repetir o confrontante em comum a cada lado de desenvolvimento; 
3 – A descrição deverá conter azimutes, seguido das respectivas distâncias e coordenadas N e E, no 
Sistema UTM dos respectivos vértices, separando cada lado descrito por ponto e virgula ( ; ); 
4 – Ao término da descrição do perímetro, informar a área em Hectares com 4 casas decimais. ex. O 
perímetro acima descrito, encerra uma área de n,nnnn ha.; 
5 – A descrição do perímetro principal ou do imóvel propriamente dito, deverá estar em folhas 
distintas com assinatura somente do técnico responsável, seguido da qualificação profissional e CREA; 
6 – A descrição de áreas internas, tais como áreas de preservação permanente, de reserva legal e 
outras, poderá ser de modo corrente, ou seqüencial com uma única assinatura do responsável técnico 
no final, assinatura esta, aos moldes do item 5; 
 
RELATÓRIO TÉCNICO 
 
1 – Relatório Técnico detalhado dos trabalhos executados contendo informações sobre: 
Metodologia e ainda: 
Objeto: Finalidade; Período de Execução; Localização; Origem (datum); Ocupantes Proprietários; 
Descrição dos Serviços Executados, (inclusive o georreferenciamento); Precisões obtidas; 
 Quantidades Realizadas ; Relação de Equipamentos; Equipe Técnica e finalmente Documentos 
Produzidos. 
 
A.R.T. - Anotação de Responsabilidade Técnica. 
 
1 – O responsável técnico, deverá apresentar a respectiva A.R.T. no original, conforme Área ou 
campo de Atuação, ou seja, no campo 4 item 04, para trabalhos executados por Engenheiros 
Agrimensores; item 06, para trabalhos executados por Engenheiros Cartógrafos, ou Engenheiros com 
formação Acadêmica em Geodésia, tudo de acordo com as atribuições específicas de cada área; 
2 – Na A. R. T., campo 17 (modelo novo), deverá descrever todo trabalho inerente à aquela 
anotação, ou seja o trabalho em si e as peças técnicas elaboradas; 
 
Obs. Importante: Os serviços/obras , devem corresponder às atribuições do profissional responsável, 
às mesmas que estão anotados na sua carteira emitida pelo CREA de sua jurisdição, sob pena de 
nulidade da ART, conforme artigo 9 , inciso II da Resolução 425/98 do CONFEA. 
 
3 – Poderá o INCRA, a qualquer tempo, promover vistorias e checar tais declarações sobre a 
veracidade das informações prestadas e do requerido, bem como solicitar ao CREA, informação sobre 
atribuições da área do profissional responsável. 
 
1 
 
 FL . 
2 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
4
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
B C 
Formato ABNT - linha de corte 
Medida de A a B = 297 milímetros 
Medida de B a C = 210 milímetros 
7. MEDIDAS ANGULARESEm levantamentos por meio de técnicas convencionais (a partir de estações totais e 
teodolitos), a medição de ângulos e distâncias se torna uma das tarefas mais importantes da 
topografia. A qualidade de um trabalho topográfico está intrinsecamente relacionado com a 
capacidade de se obter, através de métodos e equipamentos de medição adequados, um nível de 
precisão tolerável para os fins a que se destina o levantamento. 
Em se tratando de levantamentos topográficos para fins de georreferenciamento de 
imóveis rurais, as medições angulares e lineares devem ser realizadas obedecendo-se às diretrizes 
estabelecidas pela Norma Técnica de Georreferenciamento. 
 
7.1. Classificação dos Equipamentos segundo à Precisão 
 
Em poligonais para fins de apoio básico e de apoio à Demarcação deve-se atentar à 
precisão do equipamento utilizado. 
 
Teodolitos 
Segundo a Norma, os “teodolitos são classificados de acordo com o desvio 
padrão de uma direção observada em duas posições da luneta (CE/CD). O valor da 
precisão interna de cada modelo é normalmente definido pelo fabricante. Não havendo 
indicação deste, a precisão angular poderá ser aferida por entidade oficial habilitada a 
partir de testes efetuados em campo de prova ou laboratório de aferição”. 
 
Classe de teodolitos Desvio-padrão 
(precisão angular) 
precisão baixa ≤ 30” 
precisão média ≤ 07” 
precisão alta ≤ 02” 
Tabela 7.1 - Classificação dos teodolios de acordo com sua precisão angular (ABNT-
NBR-13.133/DIN). 
 
Med’s (Medidores Eletrônicos de Distâncias) 
 
Classe de MEDs Desvio-padrão 
precisão baixa (10 mm + 10 ppm x D) 
precisão média (5 mm + 5 ppm x D) 
precisão alta (3 mm + 2 ppm x D) 
Tabela 7.2 - Classificação dos medidores eletrônicos de distância – MEDs (ABNT-NBR-
13.133). 
 
Estações Totais 
 
Classes de 
Estações 
Totais 
Desvio padrão 
(precisão 
angular) 
Desvio-padrão 
(precisão 
linear) 
precisão 
baixa 
≤ 30” (10 mm + 10 
ppm x D) 
precisão 
média 
≤ 07” (5 mm + 5 ppm 
x D) 
precisão 
alta 
≤ 02” ( 3 mm + 3 
ppm x D) 
Tabela 7.3 - Classificação das estações totais de acordo com a precisão interna (ABNT-
NBR-13.133). 
 
Pela Norma, as Poligonais deverão ser desenvolvidas linearmente, sem mudanças 
substanciais de sentido, com deflexão inferior a 60°, visando minimizar os erros de 
orientação. 
O controle azimutal deverá ser rigorosamente observado. Nas medições angulares, 
metade das observações será efetuada no ângulo interno e metade no ângulo externo, com 
discrepâncias máximas de 360° ± 4”, 360° ± 5” respectivamente para poligonais de 
precisão (CONTROLE BÁSICO) e apoio ao levantamento e à demarcação (CONTROLE 
IMEDIATO). 
 
Importante: Nos desenvolvimentos poligonais os pontos de partida e chegada 
deverão ser distintos, qualquer que seja a técnica de levantamento utilizada. Sob nenhuma 
hipótese será admitido o fechamento de desenvolvimentos poligonais em torno de um 
mesmo ponto. 
 
7.2. Métodos de Medição Angular 
 
Com o intuito de se obter melhores resultados nas medidas angulares, uma vez que a 
obtenção destas medidas é uma das maiores fontes de erros nas medições, são utilizados 
diferentes métodos de observação os quais devem ser selecionados segundo o tipo de aparelho 
utilizado e o nível de precisão exigida. 
Dentre os métodos utilizados para obtenção dos ângulos horizontais o mais preciso 
possível, destacam-se os seguintes: 
 
7.1.1. Método da Repetição 
 
Segundo ESPARTEL (1977) e DOMINGUES (1979) este método consiste em 
visar, sucessivamente, os alinhamentos a vante e a ré de um determinado ponto ou 
estação, fixando o ângulo horizontal lido e tomando-o como partida para a medida da 
próxima direção a vante. Normalmente é um método utilizado em equipamentos com 
movimento geral e particular (teodolitos de eixo duplo, por exemplo, Wild T2), no qual é 
possível a fixação de uma direção qualquer para a primeira leitura a ré. A Figura abaixo 
exemplifica o Método da Repetição: 
 
Figura 7.1 – Representação do Método da Repetição 
 
Procedimentos para Aplicação do Método: 
9 Aponta-se a luneta do aparelho para o ponto a Vante (Ponto E2), onde no limbo 
horizontal se fixa uma direção inicial, normalmente próxima a zero graus; 
Eduarda
Nota
inicionull
9 Libera-se o aparelho e a luneta é apontada para o ponto a Ré (Ponto E0), onde anota-
se a direção observada; 
9 O ângulo horizontal resultante será a leitura da direção a Ré menos a leitura da direção 
a Vante; 
9 Fixa-se a direção observada a Ré e o aparelho é liberado e a luneta é novamente 
apontada para o ponto a Vante; 
9 A nova direção a vante será a leitura da direção a Ré lida anteriormente. 
9 Libera-se novamente o aparelho e aponta-se para o ponto a vante e uma nova direção 
é anotada; 
9 O processo se repete um certo número n de vezes. 
 
Cada medição será denominada uma série de leitura, onde deve-se definir o número de 
séries adequado para cada caso. Dependendo da precisão exigida, deve-se utilizar 3 a 8 
séries de leitura. O ângulo horizontal final (Af) obtido será calculado pela seguinte 
expressão: 
)1(
1
−
−=
n
AAA nf 
 
An = Última leitura do ângulo a Ré (E0). 
A1 = Leitura do primeiro ângulo de partida à Vante (E2) 
n = número de séries de leitura. 
 
 
7.1.2. Método da Reiteração 
 
Segundo ESPARTEL (1977) e DOMINGUES (1979) este método consiste em 
visar de forma sucessiva os alinhamentos a Vante e a Ré a um determinado ponto, 
tomando como partida para a medida dos ângulos um valor com intervalos regulares do 
círculo. 
Assim como indicado na figura a seguir: 
9 A luneta do aparelho é apontada para o ponto a vante (pontaria fina) e o 
círculo horizontal do mesmo é zerado; 
9 Em seguida, o aparelho é liberado e a luneta é apontada (pontaria fina) para 
o ponto a ré; 
9 O ângulo horizontal resultante é anotado ou registrado; 
9 O aparelho é liberado e a luneta é novamente apontada para o ponto a vante; 
9 O ângulo de partida utilizado neste momento para a segunda medida do 
ângulo horizontal deve ser diferente de zero e inteiro. (ex.: 090°00’00”, 180°00’00”, 
270°00’00”); 
9 Libera-se novamente o aparelho e aponta-se para o ponto a ré; 
9 Um novo ângulo horizontal é anotado ou registrado. 
9 O processo se repete um certo número n de vezes, até que o ângulo tenha 
sido medido em todos os quadrantes do círculo. 
 
Figura 7.2 – Representação do Método da Reiteração 
 
O valor final do ângulo horizontal, para os alinhamentos medidos, é dado pela 
seguinte relação: 
n
)HzHz(Hz 12 −Σ=
 
Onde: 
Hz2: é a leitura do ângulo horizontal (na ré). 
Hz1: é o ângulo horizontal de partida utilizado (na vante). 
n: número de leituras efetuadas na vante. 
 
 
7.1.3. Método das Direções 
 
O método das direções é o mais utilizado e o mais indicado para a medição de 
ângulos em um levantamento para fins de georreferenciamento. Consiste em medir um 
ângulo α entre dois alinhamentos OA e OB (Ver Figura 4.9), por meio de uma série de 
repetições. 
 
Figura 7.3 – Medindo ângulos. 
 
O processo consiste em instalar o aparelho no ponto O, visa-se o ponto de ré 
(Ponto A) com a luneta na posição direta medindo-se uma primeira direção com o limbo 
horizontal próximo a 0º00’00”. Em seguida mede-se a direção do ponto de vante (Ponto 
B). Assim, inverte-se a luneta, visa-se novamente o Ponto A (que agora terá uma direção 
próximo a 180º00’00”) e mede novamente a direção para o Ponto B, completando-se 
assim a primeira série de leitura (CD e CE, conforme estabelecido pela Norma Técnica). 
Repete-se o processo, alterando-se apenas a próxima direção inicial, que para 4 séries de 
leitura, por exemplo, seria próxima a 45º00’00”, depois próximoa 90º00’00” e 
finalizando-se com a direção próxima a 135º00’00”. Para atendimento à Norma, exige-se 
apenas um ciclo à direita (CD) e um ciclo à esquerda (CE). Assim, pode-se iniciar a 1ª 
leitura à RÉ com qualquer direção. 
 
Abaixo segue um exemplo de caderneta observada segundo o método das 
direções: 
 
Figura 74 – Exemplo numérico do Método das Direções 
 
Segue abaixo uma tabela com as especificações do INCRA para poligonais de 
demarcação. 
Descrição Taqueométrica Eletrônica
1 Desenvolvimento 
 Espaçamento entre estações 
 Comprimento máximo do desenvolvimento 
(recomendável) 
Até 150 m 
15 km 
(recomendável)
Até 500 m 
15 km 
2 Edição Angular Horizontal 
 Método 
 Instrumento (classificação ABNT) 
 Número de Séries 
 Número de posições p/ série 
das direções 
precisão baixa 
1 (CE e CD) 
2 
 
das direções 
precisão baixa 
1 (CE e CD) 
2 
3 Medição dos lados 
 Número mínimo de séries de leituras recíprocas 1 (FI, FM, FS)
 
2 leituras válidas
4 Controle Azimutal 
 Número máximo e lados sem controle 
 Erro de fechamento máximo em azimute para direções de controle 
25 
1’
 
15 
1’ 
5 Medição angular vertical 
 Número de séries 
 Valor máximo da diferença entre leituras verticais 
 Número máximo de lados entre pontos de altitudes conhecidas 
 Valor máximo do erro de fechamento altimétrico 
1 
20” 
25 
20 mm/Km
 
1 
20” 
15 
20 mm/Km
6 Fechamentos: 
 Angular 
 Linear (coordenadas) 
 Valor máximo para o erro relativo em coordenadas após a compensação 
 em azimute. 
N'1 
1/1000 
 
N'1 
1/2000 
Tabela 7.4 - Poligonais Geodésicas para Levantamento e Demarcação (CONTROLE IMEDIATO). Fonte: 
Norma Técnica de Georreferenciamento – INCRA. 
8. MEDIDAS LINEARES 
 
A planimetria tem como objetivo a representação em planta da projeção ortogonal dos 
pontos do terreno, por meio de suas coordenadas ortogonais. Para se determinar estas 
coordenadas, deve-se determinar as distâncias entre os pontos, juntamente com as medidas 
angulares. 
Em planimetria nos interessa somente as dimensões horizontais. Desta forma as distâncias 
medidas em campo, quando inclinadas devem ser reduzidas ao horizonte e após isso, segundo a o 
item 5.15.1 da NBR-13.133, reduzidas ao nível de referência altimétrica do sistema de projeção 
topográfica adotado. Isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8.1 – Elementos definidores do cálculo da distância horizontal 
 
( )ZsenDD ih ×= 
Onde: 
Dh é a distância reduzida ao horizonte; 
 Di é a distância inclinada; e 
 Z é a distância zenital. 
 
Tanto Di como Z devem ser corrigidas das influências sistemáticas conhecidas. 
A Dh
Di
B
z
8.1. Medida Direta de Distâncias 
 
Uma medição é dita “direta” quando se utiliza um instrumento diretamente sobre o 
terreno, o qual está em uma unidade de medida e que é tomada como termo de comparação. 
Para isso é necessário percorrer todo o alinhamento determinando-se o número de vezes que a 
referida unidade cabe dentro do trecho. Os instrumentos destinados à medida direta de 
distância são denominados “diastímetros”. 
De acordo com a natureza da unidade empregada (diastímetro) pode-se ter: 
 a) Medição de baixa precisão: empregada em levantamentos expeditos como o 
passo do homem ou do animal em que se monta (passômetro e odômetro), pela roda 
das viaturas (odômetro), pelo som, pelo relógio, por réguas graduadas, etc. 
 b) Medição de média precisão: empregado em levantamentos regulares, 
atualmente apenas como auxílio ao processo de medição indireta, por apresentar 
precisão inferior (excluindo-se a taqueametria). Os diastímetros empregados são: 
corrente do agrimensor, fita de aço, trena de aço, trenas de lona e de fibra de vidro. 
 c) Medição de alta precisão: que é o caso da fita de ínvar empregada nas medições 
de bases geodésicas. 
Nos interessa somente o estudo das medições diretas cujo diastímetro é a trena, uma 
vez que, atualmente, praticamente em todos os levantamentos topográficos as distâncias são 
medidas indiretamente, como veremos adiante, sobrando a aplicação da trena, em distâncias 
auxiliares ao levantamento, de menor precisão, ou em outro caso, em pequenas distâncias, 
principalmente na locação de obras de montagem industrial. 
 
Segundo ESPARTEL (1987) os principais dispositivos e acessórios utilizados na 
medição direta de distâncias são: 
8.1.1. Trenas 
A trena é uma fita flexível com graduação em metros, centímetros e milímetros 
cujo material utilizado em sua fabricação pode ser: lona, plástico reforçado com fibra de 
vidro, aço ou ainda de ínvar (material amplamente utilizado, por proporcionar menor 
dilatação linear em ambientes com temperaturas elevadas). 
A largura destes instrumentos varia de 10 a 12 mm com comprimentos vários, 
alguns de 30, 60, 100 e 150 metros de extensão. São apresentados enrolados em um 
tambor ou em cruzetas com cabos distensores nas extremidades para permitir esticá-los 
no momento da medição. 
O processo de medição com trenas, basicamente consiste em definir o 
alinhamento utilizando-se de balizas para o auxílio à medição (empregadas com o 
objetivo de demarcar ou balizar um alinhamento no terreno, as quais podem ser de 
madeira ou de aço). 
 
 
Figura 8.2 – Balizas 
 
Uma terceira baliza deve ser utilizada para orientar as trenadas. Durante a 
medição a trena deve ser mantida, o máximo possível, na horizontal, a partir de uma 
maior tração em suas extremidades. 
Para a medição de alinhamentos maiores que o comprimento da trena, se utilizam 
marcadores denominados fichas (peças metálicas pontiagudas em uma extremidade 
terminando em argolas na outra). 
 
Figura 8.3 –Exemplos de Fichas. 
 
Assim a cada trenada de 20 m, por exemplo, assenta-se a baliza intermediária e 
crava-se uma ficha. Ao final do processo de medição do alinhamento, contam-se as 
fichas, multiplica-se por 20 e soma-se a fração de trenada no final do trecho. 
 
Figura 8.4 –Exemplos de trenas. 
 
8.1.2. Piquetes 
São necessários para marcar, convenientemente, os extremos do alinhamento a ser 
medido. Normalmente feitos de madeira roliça ou de seção quadrada com a superfície no 
topo plana, onde se crava uma tachinha de cobre, ou até mesmo um prego, para 
materialização do ponto topográfico. Seu comprimento varia de 15 a 30 cm, e o diâmetro 
varia de 3 a 5cm. 
É cravado no solo, porém, parte dele (cerca de 3 a 5 cm) deve permanecer visível. 
8.1.3. Estacas 
As estacas são utilizadas como testemunhas da posição do piquete, para facilitar a 
localização do piquete. São cravadas próximas ao piquete cerca de 30 a 50cm, onde seu 
comprimento varia de 15 a 40cm; 
São chanfradas na parte superior para permitir uma inscrição numérica ou 
alfabética, que pertence ao piquete testemunhado. 
 
Figura 8.5 –Exemplo de estaca. 
 
8.1.4. Nível de Cantoneira 
É utilizado para auxiliar o posicionamento da baliza na posição vertical, uma vez 
que está dotado de um nível de bolha circular. 
 
Figura 8.6 –Exemplo de nível de cantoneira. 
 
 
8.1.5. Barômetro de Bolso 
Destinado à medição da pressão atmosférica (em mb = milibares) para fins de 
correção dos valores obtidos no levantamento. São aparelhos digitais, que além de 
fornecerem valores de pressão, fornecem também valores de altitude. 
 
Figura 8.7 –Exemplo de barômetro de bolso. 
 
8.1.6. Dinamômetro 
Destinado à medição das tensões que são aplicadas aos diastímetros para fins de 
correção dos valores obtidos no levantamento em função do coeficiente de elasticidade 
do material com que o diastímetro foi fabricado. 
 
8.1.7. Termômetro 
Destinado à mediçãoda temperatura do ar (°C) no momento da medição para fins 
de correção dos valores obtidos no levantamento em função do coeficiente de dilatação 
do material com que o diastímetro foi fabricado. 
 
8.2. Erros nas Medidas com Diastímetros 
Segundo LOCH e CORDINI (1995) os principais erros causadores de imprecisões na 
determinação de distâncias com diastímetros são: 
 
8.2.1. Horizontalidade: 
Em qualquer medição com um diastímetro, deve sempre ser observada a sua 
horizontalidade no momento da medição. Os erros cometidos serão sempre proporcionais 
ao comprimento do diastímetro, que será maior quanto maior for o seu comprimento. 
Este erro será sempre positivo, ou seja, a distância medida será sempre maior que a 
medida real. 
 
8.2.2. Dilatação: 
Os fabricantes em geral graduam as trenas na temperatura de 20º. Para corrigir o 
efeito de dilatação devido ao efeito da temperatura, que causa um erro negativo para 
temperaturas de trabalho acima da de aferição, deve-se aplicar a equação: 
 
( ) α⋅−⋅= 0ttSct 
 onde : 
t0 é a temperatura de aferição da trena 
 t é a temperatura de trabalho 
 S é o comprimento da trena 
 α é o coeficiente de dilatação da trena 
 
 Para uma trena de 30 m com temperatura de aferição de 20º C e 
temperatura de trabalho de 40º, sendo o coeficiente de dilatação do aço de 1,2×10-5 ºC-1, 
tem-se uma variação de 7 mm, que é um valor considerável para as medidas de precisão. 
 
8.2.3. Catenária: 
A catenária é a curva descrita pela trena quando suspensa do solo e tracionada, 
sendo ocasionada pelo seu próprio peso. 
 
Eduarda
Realce
A
S
T T
P
f
B
 
Figura 8.8 – Catenária. 
 
Como conseqüência origina um erro de sinal negativo, uma vez que os 
comprimentos medidos resultam ligeiramente maiores, o qual podem ser expresso por: 
S
fCc ⋅
⋅=
3
8 2 
onde : 
f é a flecha da catenária 
S é o comprimento da trena 
O valor de f pode ser obtido pela equação 
T
SPf ⋅
⋅=
8
2
 
Onde : 
 P o peso da trena e 
 T a tensão empregada na medição 
 
Observe que para uma flecha de 0,10 m em uma trena de 20 m o erro é de 1 mm, 
evidenciando-se a pequena influência do efeito da catenária. Isto mostra, também, que é 
desnecessário tracionar demasiadamente a trena no afã de neutralizar a catenária. Para 
produzir efeito mais positivo, pode-se colocar vários suporte intermediários que, 
praticamente, eliminam o efeito da catenária; ou aplicar-se a correção conforme 
formulação apresentada. 
 
8.2.4. Elasticidade: 
Para minimizar o efeito da catenária, e em alguns casos, para vencer a força do 
vento, a trena é submetida a uma força de tração superior aquela com que foi aferida. 
Quando a tensão é assegurada a mão (ao invés do dinamômetro), pode-se cometer erros 
Eduarda
Realce
Eduarda
Realce
sensíveis para trabalhos de precisão. Neste caso o erro é negativo, já que se obtém uma 
medida menor que a real. 
A variação do comprimento da trena (c), pode ser calculada por: 
( )
Es
Sc ⋅
−⋅= 0σσ 
 
onde: 
S é o comprimento da trena (m) 
σ é a tensão de aferição da trena (kg) 
σ0 é a tensão de trabalho (kg) 
s é a área da seção da trena (mm2) 
E é o módulo de elasticidade da trena (kg/mm2) 
 
Considerando, por exemplo, uma trena de 50 m com seção de 0,4 mm × 12 mm, 
graduada sob tensão de 10 kg e trabalhando a 15 kg, sofrerá uma variação de 3 mm, que 
pode ser considerável em trabalhos que requeiram maior precisão. Por outro lado para 
cometer erros inferiores a 1 mm a tensão de trabalho não deve exceder a 2 kg da de 
aferição, isto é, 10 kg ±2 kg. 
 
8.2.5. Padronagem: 
Erro ocasionado pelo uso contínuo do diastímetro que produz deformações que 
causam o seu alongamento, apresentando comprimento diferente do valor que indica. É 
um erro sistemático cumulativo e pode dar diferenças razoáveis. Para evitá-lo deve-se 
adquirir trenas de boa qualidade e fazer constantes aferições, comparando-se com outra 
trena confiável ou com um distanciômetro (MED). O erro cometido pode ser corrigido 
após a correta aferição da trena. 
 
8.3. Medida Indireta de Distâncias 
Segundo DOMINGUES (1979) diz-se que o processo de medida de distâncias é 
indireto quando estas distâncias são calculadas em função da medida de outras grandezas, 
Eduarda
Realce
não havendo, portanto, necessidade de percorrê-las para compará-las com a grandeza padrão. 
Os instrumentos de medição indireta são denominados “distânciômetros” e se 
dividem em três grupos: equipamentos óticos, mecânicos e eletrônicos. 
 
Figura 8.9 –Exemplos de instrumentos. 
 
Para o uso destes equipamentos se utilizam alguns acessórios essenciais, dentre os 
quais cita-se: o tripé (servirá de base para apoio e para estacionar o aparelho); o fio de prumo 
(serve para posicionar o aparelho exatamente sobre o ponto no terreno); a lupa (para leitura 
dos ângulos) para os casos do aparelho com limbos horizontais e verticais graduados. 
 
Figura 8.10 –Exemplos de tripés. 
 
Outro acessório essencial é a Mira ou Régua graduada: é uma régua de madeira, 
alumínio ou PVC, graduada em m, dm, cm e mm; utilizada na determinação de distâncias 
horizontais e verticais entre pontos. 
A figura a seguir (BORGES, 1988), ilustra parte de uma régua de quatro metros de 
comprimento e as respectivas divisões do metro: dm, cm e mm. 
 
Figura 8.11 –Exemplo de régua graduada. 
 
Ao processo de medida indireta denomina-se Estadimetria ou Taqueometria. A 
Taqueometria é a parte da Topografia que se ocupa da medida indireta das distâncias 
horizontais e das diferenças de nível, quer por meios óticos, quer por meios mecânicos, 
utilizando-se de instrumentos denominados taqueômetros (LOCH e CORDINI, 1995). 
Os teodolitos taqueométricos são aparelhos dotados de luneta que contém: 
3 fios estadimétricos horizontais (FS, FM e FI) 
1 fio estadimétrico vertical 
 
Figura 8.12 –Estádia. 
8.3.1. Métodos de Medida Indireta 
 
Segundo GARCIA e PIEDADE (1984) os métodos indiretos de medida de 
distâncias são: 
 
8.3.1.1 Distância Horizontal - Visada Horizontal 
A figura a seguir (GARCIA, 1984) ilustra um teodolito estacionado no ponto P e a 
régua graduada no ponto Q. Do ponto P visa-se o ponto Q com o círculo vertical do 
teodolito zerado, ou seja, com a luneta na posição horizontal. Procede-se a leitura dos fios 
estadimétricos inferior (FI), médio (FM) e superior (FS). A distância horizontal entre os 
pontos será deduzida da relação existente entre os triângulos a'b'F e ABF, que são 
semelhantes e opostos pelo vértice. 
 
Figura 8.13 –Visada Horizontal. 
 
Da figura tem-se: 
f = distância focal da objetiva 
F = foco exterior à objetiva 
c = distância do centro ótico do aparelho à objetiva 
C = c + f = constante do instrumento 
d = distância do foco à régua graduada 
H = AB = B - A = FS - FI = diferença entre as leituras 
M = FM = leitura do retículo médio 
Pelas regras de semelhança pode-se escrever que: 
Eduarda
Realce
a b
f
AB
d
' ' =
 
d AB
a b
f=
' '
.
 
a b f' '=
100→ fornecido pelo fabricante 
 
d AB ff=
.
100 
Hd ×= 100 CdDH += 
Portanto 
CHDH +×=100 
C é a constante de Reichembach, que assume valor 0 cm para equipamentos com 
lunetas analáticas e valores que variam de 25 cm a 50 cm para equipamentos com 
lunetas aláticas. 
 
8.3.1.2 Distância Horizontal - Visada Inclinada 
Neste caso, para visar a régua graduada no ponto Q há necessidade de se inclinar a 
luneta, para cima ou para baixo, de um ângulo (α) em relação ao plano horizontal. Como 
indicado na figura abaixo (GARCIA, 1984), a distância horizontal poderá ser deduzida 
através: 
 
Figura 8.14 –VisadaInclinada. 
 
Do triângulo AA'M → αcos' ×= MAMA 
Do triângulo BB'M → αcos' ×= MBMB 
Assim, ( ) αcos'' ×+=+ MBMAMBMA 
Porém, '''' BAMBMA =+ e HABMBMA ==+ 
Portanto, 
αcos'' ×= HBA 
Do triângulo OMR → αcos×= OMOR 
CBAOM +×= ''100 
CHOM +××= αcos100 
( ) αα coscos100 ×+××= CHOR 
Como ORDH = , tem-se que 
αα coscos100 2 ×+××= CHDH 
Desprezando-se o termo (cos α) na segunda parcela da expressão tem-se: 
CHDH +××= α2cos100 
 
8.3.1.3 Distância Vertical - Visada Ascendente 
A figura a seguir (GARCIA, 1984) ilustra a luneta de um teodolito inclinada no 
sentido ascendente (para cima). Assim, a diferença de nível ou distância vertical entre 
dois pontos será deduzida da relação: 
 
Figura 8.15 –Visada Ascendente.. 
 
MQRMRSQS −+= 
onde, 
QS = DN = diferença de nível 
RS = I = altura do instrumento 
MQ = M = FM = leitura do retículo médio 
2
FIFSFM +=
 
Do triângulo ORM, tem-se que: 
αtgORRM ×= Æ αtgDHRM ×= 
( ) αα tgCHRM ×+××= 2cos100 
ααα tgCtgHRM ×+×××= 2cos100 
αα
αα tgCsenHRM ×+×××=
cos
cos100 2 
ααα tgCsenHRM ×+×××= cos100 
entretanto, ( )
2
2cos ααα sensen =× , logo ( ) αα tgCsenHRM ×+××=
2
2100 . 
Desprezando-se a última parcela tem-se, α250 senHRM ××= . 
Substituindo na equação inicial, resulta: 
 
IFMsenHDN +−××= )2(50 α 
 
A interpretação do resultado desta relação se faz da seguinte forma: 
Se DN for positivo, significa que o terreno, no sentido da medição, está em ACLIVE. 
Se DN for negativo, significa que o terreno, no sentido da medição, está em 
DECLIVE. 
 
8.3.1.4 Distância Vertical - Visada Descendente 
A figura a seguir (GARCIA, 1984) ilustra a luneta de um teodolito inclinada no 
sentido descendente (para baixo). Assim, a diferença de nível entre dois pontos será 
deduzida da mesma forma que para o item 3, porém, com os sinais trocados. 
 
Figura 8.16 –Visada Descendente. 
 
Logo: 
IFMsenHDN −+××−= )2(50 α 
 
A interpretação do resultado desta relação se faz da seguinte forma: 
Se DN for positivo, significa que o terreno, no sentido da medição, está em 
DECLIVE. 
Se DN for negativo, significa que o terreno, no sentido da medição, está em 
ACLIVE. 
 
8.3.2. Erros nas Medidas Indiretas de Distâncias 
As principais fontes de incertezas na determinação das distâncias através das 
medições estadimétricas são: 
1 - leitura da régua: erro de leitura dos fios estadimétricos inferior, médio e 
superior, causados principalmente: 
- pela distância entre o teodolito e a régua (muito longa ou muito curta). 
- pela falta de capacidade de aproximação da luneta. 
- pela espessura dos traços do retículo. 
- pelo meio ambiente (refração atmosférica, ventos, má iluminação). 
- pela maneira como a régua está dividida e pela variação do seu comprimento. 
- pela falta de experiência do operador. 
2 - leitura de ângulos: leitura errônea dos círculos vertical e/ou horizontal, por 
falha ou falta de experiência do operador. 
3 - verticalidade da baliza: é o mais grave de todos e ocorre quando não se faz 
uso do nível de cantoneira. A figura abaixo (BORGES, 1988) ilustra a maneira correta de 
posicionamento da baliza nos levantamentos, ou seja, na vertical e sobre a tachinha do 
piquete. 
 
Figura 8.17 – Baliza na vertical. 
 
4 - verticalidade da mira: assim como para a baliza, ocorre quando não se faz uso 
do nível de cantoneira. 
5 - pontaria: no caso de leitura dos ângulos horizontais, ocorre quando o fio 
estadimétrico vertical do teodolito não coincide com a baliza (centro). 
6 - erro linear de centragem do teodolito: segundo ESPARTEL (1987), este erro 
se verifica quando a projeção do centro do instrumento não coincide exatamente com o 
vértice do ângulo a medir, ou seja, o prumo do aparelho não coincide com o ponto sobre 
o qual se encontra estacionado. 
 
 
7 - erro de calagem ou nivelamento do teodolito: ocorre quando o operador, por 
falta de experiência, não nivela o aparelho corretamente. 
 
8.4. Medidas Lineares com Precisão 
 
8.4.1. Desenvolvimento de Bases Topográficas 
 
O desenvolvimento de bases topográficas consiste em calcular uma distância 
horizontal D a partir da solução de triângulos, partindo-se de uma base inicial menor 
observada por um método mais preciso (medida por meio do ângulo paralático com mira 
horizontal – método descrito no item seguinte) e observando os ângulos necessários para a 
resolução do triângulo. Pode-se utilizar duas metodologias para determinação da distância 
D: 
 
a) Medindo dois ângulos: 
Considere a Figura 6.1 abaixo onde: 
AB = d = base observada 
CB = D = base a ser determinada 
α e β = ângulos horizontais observados 
 
Figura 8.18 – Desenvolvimento de bases topográficas medindo dois ângulos. 
 
Do Triângulo ABC tem-se ( )[ ]βαα +−= 180sen
d
sen
D . Entretanto sabemos que 
( )[ ] ( )βαβα +=+− sensen 180 . 
 Logo temos que: 
( )βα
α
+∗= sen
sendD 9.3.1 (a) 
 
Avaliação de Erros: 
Tomando-se β = 90º tem-se que αα
α tgdsendD ∗=∗=
cos
 9.3.1 (b) 
Aplicando a lei de propagação de erros na equação 6.1.1 (b) temos que: 
2
2
2
2
2
ασδα
δσδ
δσ ∗⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+∗⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= D
d
D
dD 
Assim, temos que: 
2
4
2
222
cos rad
dtg dD ασασασ ∗+∗= 9.3.1 (c) 
 
b) Medindo quatro ângulos: 
Considere a Figura 6.2 abaixo onde: 
AB = d = base observada 
CE = D = base a ser determinada 
α, β, δ e λ = ângulos horizontais observados. 
 
Figura 8.19 – Desenvolvimento de bases topográficas medindo quatro ângulos. 
 
Do Triângulo ABC tem-se ( )[ ]βαα +−= 180sen
d
sen
BC . Entretanto sabemos que 
( )[ ] ( )βαβα +=+− sensen 180 . 
 Logo temos que: 
( )βα
α
+∗= sen
sendBC 9.3.1 (d) 
 
Do Triângulo ABE tem-se ( )[ ]λδλ +−= 180sen
d
sen
BE . Entretanto sabemos que 
( )[ ] ( )λδλδ +=+− sensen 180 . 
 Logo temos que: 
( )λδ
λ
+∗= sen
sendBE 9.3.1 (e) 
 
Aplicando-se a lei dos co-senos no triângulo CBE temos: 
( )βδ +∗∗∗−+= cos2222 BEBCBEBCD 9.3.1 (f) 
 
ou ainda: 
Aplicando-se a lei dos co-senos no triângulo CAE, após calcular Ac e AE temos: 
( )λα +∗∗∗−+= cos2222 AEACAEACD 9.3.1 (g) 
 
8.4.2. Medição de Distâncias com Teodolito e Mira Horizontal 
 
A utilização de uma mira horizontal é um processo de obtenção de distancias 
horizontais por meio indireto onde através da medição de direções pela observação dos 
extremos de uma mira horizontal de ínvar (estádia) calibrada, colocada em diferentes 
posições durante o levantamento e, sabendo-se o comprimento da mira horizontal, pode-
se calcular por trigonometria a distância horizontal entre o aparelho e a posição da mira. É 
um método que pode melhorar sensivelmente os resultados para pequenas distâncias. 
A mira horizontal é constituída por uma régua de ínvar (metal com baixo 
coeficiente de dilatação linear) de comprimento L, que possui dois alvos, um em cada 
uma de suas extremidades usado como referência para a visada com o teodolito. 
Para sua operação, a mira horizontal deve ser instalada em um tripé na posição 
horizontal, sobre o ponto que define o alinhamento a ser medido com a posição onde está 
o aparelho. Assim, com o teodolito tomam-se visadas angulares entre as extremidades da 
mira horizontal, registrando-se o ângulo α, conforme figura abaixo: 
 
Figura 8.20 – Medida de distância com mira horizontal. 
 
 
Figura 8.21 – Foto ilustrativa de uma mira horizontal. 
 
Pela Figura 6.4 acima verifica-se que: 
D
btg ∗=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
22
α 9.3.2 (a) Æ 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∗
=
2
2 αtg
bD 9.3.2 (b) 
Normalmente b = 2,00 m, sendo assim tem-se que: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
2
1
αtg
D 9.3.2 (c) 
 
Avaliação de Erros: