08 AULA - CROSS - Exercícios resolvidos - lista I

Prévia do material em texto

UNICID - Universidade Cidade de São Paulo
AULA - 8
METODO DE CROSS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - lista-1
Prof. José Félix Drigo
2ºSem - 2019
10kN/m
35kN
15kN 5kN
1m2m 6m
9kN/m
1,5m3m2m 4m
Calcular forças de reações e fazer os diagramas de Esforços Cortantes e de 
Momento Fletor
30kN
5m1m
10kN/m
1m
5kN/m
3m 2m3m
Exercício-01 EI = 1 Exercício-02 EI = 1
Exercício-03 EI = 1 Exercício-04 EI = 1
2m 1m
10kN/m 10kN
5kN/m
1m1m
8kN/m
1m
1m
EXERCÍCIO-01
Calcular os Momentos e as Reações e elaborar os diagramas de efeito cortante e
de momento fletor, usando o Método de Cross.
Dado: IE = 1
10kN/m
35kN
1m2m 6m2m
1) COEFICIENTE DE RIGIDEZ (K)
��� =	
���
	
=
	�
=
�
�
��� =
���
	
= 
, 
	
= 
, �
2) COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO (D)
DBA =
���
��� +	���
=
, 
, 
 + 
, �
= 
, ��
DBC = � − 	0,55 = 
, ��
, �� 
, ��
IE = 1
KAB = 0,6 KBC = 0,5
10kN/m35kN
1m2m 6m2m
4) MOMENTOS DE ENGASTAMENTOS PERFEITO (MEP)
��� = −
���	(	��) 
�	�
−
���(	��)� 
�	�
= −
��(�)(�)(���)
�(�)�
−
�
 � �(���)�
�(�)�
�� = 0	kNm
��� =
�	�
�
= 
�
(
�)
�
= 	45	kNm
�� = 0	kNm
, �� 
, ��
10kN/m35kN
1m2m 6m2m
(33,6) (4,05)
= 37,65	kNm
4) INTERAÇÃO DE CROSS:
 −�', 
�
, ��
��, 
, ��
7,35
−�, 
��� −�, �
'�
��, 
( 
−��, 
(
6) REAÇÕES DE APOIO:
VA = )*
+
+
,-*
+
=
./(.)
/
+
01(0)(1,/)
/
=
V(kN)
22,00 kN
VBA = 35 + 10 – 22 = 23,00 kN
VBC = VC = ,+
2
=
01(3)
2
=
30,00 kN
AB	=	
|∆�|
	
=
80,39
/
= 8,338	kN		 BC	=	
|∆�|
	
=
80,39
3
= 6,948	kN			
– 8,338
8,338
6,948
– 6,948
VA = 13,66 kN
VBA = 31,34 kN
VBC = 36,95 kN
VCB = 23,05 kN
|∆�|
	
30,00 kN
−��, 
(=>?
10kN/m35kN
1m2m 6m2m
7) MOMENTO FLETOR:
Vão AB: 
MMÁX = 27,32 kNmM(2)= 13,66(2)− 0	– 0
13,66kN
M(x) = V0x − P(x − a)– M0
Vão BC: 
= 3,695mx = 
36,95
10
M(3,695) = 36,95(3,695)− 5 3,695 2	– 41,69
36,95kN
MMÁX = �
, �� kNm
13,66 − 35 = − 21,34 
M(x) = V0x −	
qx2
2
−M0
−��, 
(=>?
10kN/m35kN
1m2m 6m2m
M(4) = – ��, �
 kNmM(4)= 13,66(4)− 35(4 − 2)	– 0
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS CORTANTES E DE MOMENTO FLETOR
13,66
36,95
3,695m
−22,43
26,58
27,32
−15,36
−31,34 −23,05
−41,69
10kN/m35kN
1m2m 6m2m
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS CORTANTES E DE MOMENTO FLETOR
10kN/m35kN
1m2m 6m2m
13,66
36,95
3,695m
−22,43
26,58
27,32
−15,36
−31,34 −23,05
−41,69
EXERCÍCIO-02
Calcular os Momentos e as Reações e elaborar os diagramas de efeito cortante e
de momento fletor, usando o Método de Cross.
Dado: IE = 1
5kN/m
3m 2m3m 1m
10kN/m 10kN
1m
1) COEFICIENTE DE RIGIDEZ (K)
��� =	
���
	
=
�
�
=
�
��� =
���
	
= 
, �
	
= 
, '�
2) COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO (D)
DBA =
���
��� +	���
=
, �
, � + 
, '�
= 
, �
DBC = � − 	0,40 = 
, 
, �
 
, 
IE = 1
KAB = 0,50 KBC = 0,75
5kN/m
3m 2m3m 1m
10kN/m 10kN
1m
4) MOMENTOS DE ENGASTAMENTOS PERFEITO (MEP)
��� = −
'�	�
���
−
(�	�
���
=−
'(�
)(
�)
���
−
((�)(
�)
���
	
�� = 0	kNm
��� =
(�	�
���
	+
���	(	��)
�	�
= 
((�)(��)
���
+	
�
(�)(���)
�(��)
�� = 0	kNm
, �
 
, 
5kN/m
3m 2m3m 1m
10kN/m 10kN
1m
(19,6875) (12,6562)
(5,625) (4,6875)
=	32,34	kNm
= 10,31	kNm
4) INTERAÇÃO DE CROSS:
 −��, ��
, �
�
, ��
, 
−��, 
�
�, ��� ��, ���
�(=>?) ��, �� 
−��, ��
6) REAÇÕES DE APOIO:
VA = ,-*
+
+
,-*
+
=
01 . 8,/ 	�	/(.)(0,/)
3
=
V(kN)
26,25 kN
VBA = 30 + 15 – 26,25 = 18,75 kN
VBC = ,-*
+
+
)*
+
=
/ 2 . 	�	01(0)
8
= 10,00 kN
AB	=	
|∆�|
	
=
2.,/.
3
= 3,92	kN		 BC	=	
|∆�|
	
=
2.,/.
8
= 5,88	kN			
– 3,92
3,92
5,88
– 5,88
VA = 22,33 kN
VBA = 22,67 kN
VBC = 15,88 kN
VCB = 4,12 kN
|∆�|
	
VC = 10 + 10 – 10 = 10,00 kN
3m 2m3m 1m
10kN/m
10kN
1m
5kN/m
3m 2m3m 1m
10kN/m
10kN
1m
5kN/m
7) MOMENTO FLETOR:
Vão AB: 
MMÁX = 38,70 kNmM(2,233)= 22,33(2,233)− 5 2,233 2	– 0
22,33kN
M(x) = V0x −	
qx2
2
– M0
= 2,233mx1 = 
22,33
10
22,33 − 30 = −7,67 
M(3) = 21,99 kNmM(3)= 22,33(3)− 5 3 2	– 0
3m 2m3m 1m
10kN/m
10kN
1m
5kN/m
7) MOMENTO FLETOR:
M(2) = −	1,77 kNmM(2)= 15,88(2) − 2,5 2 2	– 23,53
M(x) = V0x −	
qx2
2
	– P x − a 	– M0
15,88kN
MMÁX = 4,11 kNmM(3)= 5,88(1)− 1,77
Vão BC: 15,88 − 10 = 5,88 
−��, ��=>?
Portanto: corta em 3m
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS CORTANTES E DE MOMENTO FLETOR
��, ��
2,233m
15,88
−7,
'
4,11
21,99
38,70
−23,53
−22,67
−1,77
−	4,12
5,88
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS CORTANTES E DE MOMENTO FLETOR
��, ��
2,233m
15,88
−7,
'
4,11
21,99
38,70
−23,53
−22,67
−1,77
−	4,12
5,88
EXERCÍCIO 3: Calcular os Momentos e as Reações e elaborar os diagramas de
efeito cortante e de momento fletor, usando o Método de Cross.
Dado: IE = 1
30kN
5m1m
10kN/m
1m
5kN/m
1m1m
1) COEFICIENTE DE RIGIDEZ (K)
��� =	
���
	
=
	�
�
=
�
�
��� =
���
	
KAB = 
, '� KBC = 
, �
Dado: IE = 1
= 
, '�	
= 
, �
30kN
5m1m
10kN/m
1m
5kN/m
1m1m
2) COEFICIENTE DE
DISTRIBUIÇÃO (D)
DBA =
���
��� +	���
 
= 
, ��DBA =
, '�
, '� + 
, �
 
, �� 
, ��
DBC = � − 	DBA = 
, ��
4) MOMENTOS DE ENGASTAMENTOS PERFEITO (MEP)
��� = −��, 
=>?��� = −��, 
�� − �, '�
(	 − �, ��� ⇒
��� = −	
���	(	 + �)	
�	�
−
�
�	�	
[�� − (� + �)� + ��	� �� + � ] −	
���
�		�
	(	 + �)�
���	: 0 ≤ x1 ≤ 4
−��, 
30kN
5m1m
10kN/m
1m
5kN/m
1m1m
, �� 
, ��
��� = −	
�
(�)(� + �)	
�(�)�
−
�
�(�)�	
[�� − (� + �)� + �(�)� � + � ] −	
�
(� + �)�
�	(�)�
4) MOMENTOS DE ENGASTAMENTOS PERFEITO (MEP)
���: 0 ≤ x2 ≤ 5 ��� = �� =
�	�
��
−��, 
��� = �� = 20,83	kNm
�
, ��
��� = �� =
�
	H	��
��
30kN
5m1m
10kN/m
1m
5kN/m
1m1m
, �� 
, ��
−�
, ��
4) INTERAÇÃO DE CROSS:
 −��, 
, ��
�
, ��
, ��
−
, ''
−�
, ��
, �
�
 
, �
� 
, �
�
−��, �� ��, �� −�
, 
�
6) REAÇÕES DE APOIO:
VA = )*�,-*�,-*
+
=
.1 . �/ 0 0,/ �01(0)(1,/)
8
=
V(kN)
25,62 kN
VBA = 30 + 5 +10 – 25,62 = 19,38 kN
VBC = VCB = ,+
2
=
01(/)
2
= 25 kN
AB	=	
|∆�|
	
=
1	I20,2.
8
= 5,31	kN		 BC	=	
|∆�|
	
=
20,2.	I21,3.
/
= 0,12	kN			
– 5,31
5,31
0,12
– 0,12
VA = 20,31 kN
VBA = 24,69 kN
VBC = 25,12 kN
VCB = 24,88 kN
|∆�|
	
 −��, �� ��, �� −�
, 
�
5kN/m
10kN/m30kN
5m1m1m 1m1m
34kN
7) MOMENTO FLETOR:
Vão AB: 
M(MÁX) = 20,31kNm
x	=	2m
20,31kN
M(1) = 20,31(1)
M(2) = 10,62kNm
 −��, ��=>? ��, ��=>? −�
, 
�=>?
5kN/m
10kN/m30kN
5m1m1m 1m1m
M(2) = 20,31(2) −	30(2 − 1)
x	=	3m
M(3) = −	1,57kNm
M(3) = −	9,69 1 − 2,5(1)2	+ 10,62
M(x) = V0x – 
q	x2
�
– P(x – a) – M0
x = 1m
20,31 −	30	= −9,69
7) MOMENTO FLETOR:
Vão BC: 
25,12kN
M = V0x –
q	x2
�
– P(x – a) –M0
 −��, ��=>? ��, ��=>? −�
, 
�=>?
5kN/m
10kN/m30kN
5m1m1m 1m1m
MMÁX = 10,32kNm
M(2,512) = 25,12(2,512) − 	5(2,512)2− 	21,23
25,12 – 10x1 = 0
V		=	0	=>
x1=	2,512m
VA – qx1=	0	
M(x) = V0x – 
q	x2
�
– P(x – a) – M0
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS CORTANTES E DE MOMENTO FLETOR
�
, ��
1m
−9,69
25,12
−14,69
2,512m
0M	 NOP	 NOQ 			
−24,69
20,31
10,62
−4,07
−21,23 −20,63
10,32
−24,88
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS CORTANTES E DE MOMENTO FLETOR
�
, ��
1m
−9,69
25,12
−14,69
2,512m
0M	 NO 			
P	 NOQ 			
−24,69
20,31
10,62
−4,07
−21,23
−20,63
10,32
−24,88
EXERCÍCIO 4: Calcular os Momentos e as Reações e elaborar os diagramas de
efeito cortante e de momento fletor, usando o Método de Cross.
Dado: IE = 1
15kN 5kN
9kN/m
1,5m3m2m 4m
8kN/m
1m
1) COEFICIENTE DE RIGIDEZ (K)
��� =	
���
	
=
�
�
=
�
��� =
���
	
KAB = 
, 
' KBC = 
, '�
Dado: EI = 1
= 
, 
'
= 
, '�
2) COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO (D)
DBA =
���
��� +	���
=
, 
'
, 
' + 
, '�
= 
, �'
, �' 
, ��
DBC = � − 	0,47 = 
, ��
15kN 5kN
9kN/m
1,5m3m2m 4m
8kN/m
1m
4) MOMENTOS DE ENGASTAMENTOS PERFEITO (MEP)
�� = �
, ��=>?�� = ��, ���� + �
, �
�� + 
, ���( ⇒
�� =
����	
	�
+
���
��	�	
(
�� + ��� + ��) +	
���
��	�
	(��� + ��)
���	: A-B
, �' 
, ��
15kN 5kN
9kN/m
1,5m3m2m 4m
8kN/m
1m
�� =
��(�)��	
�
+
((�)�
�� 
 �	
[
(�)� + � � + ��] +	
�
�� 
 �
	(� � + �)
�
, ��
4) MOMENTOS DE ENGASTAMENTOS PERFEITO (MEP)
�� = −��, �
=>?��� = −
, 
' − ��, ��'� − �, �
' ⇒
��� = −
���b	
	�
−
���
��	�
	(��� + ��) −
���
��	�	
(
�� + ��� + ��)
���	: A-B
, �' 
, ��
15kN 5kN
9kN/m
1,5m3m2m 4m
8kN/m
1m
��� = −
��(�)�(�)
�
−
((�)�
�� 
 �
	[� � + ��] −
�
�� 
 �	
[
(�)� + � � + �]
−��, �
�
, ��
4) MOMENTOS DE ENGASTAMENTOS PERFEITO (MEP)
���: B − C ���: C − D
��� =
�	�
�
��� = 16	kNm
��� =
�	H	��
�
�
 
��� = 0
��� =
�	�
�
+ PL
��� =
�(�,�)�
�
+ 5(1,5)
��� = 16,5	kNm
�
, �
, �' 
, ��
15kN 5kN
9kN/m
1,5m3m2m 4m
8kN/m
1m
�
, �� −��, �
�T = 0
5) INTERAÇÃO DE CROSS:
−��, �
, �'
�
, ��
−��, �� −�
, �
��, (�(' ��, ��
�
−��, �' ��, �' −�
, �
�
, ��
�, ((��
�
, �'
�
, �
�
, �
−�, ��
�(=>?)
15kN 5kN
9kN/m
1,5m3m2m 4m
8kN/m
1m
6) REAÇÕES DE APOIO:
�
, �' −��, �' ��, �' −�
, �
VA = ,-*�,-*�)*
+
=
9 / .,/ 	�	U 0 1,/ 	�	0/(8)
3
V(kN)
�
, �
= 36,92 kN
VBA = 9(5) + 8(1) +15 – 36,92 = 31,08 kN
VBC = VCB = ,+
2
=
U(8)
2
= 16 kN
VCD = 8(1,5) + 5 = 17 kN
AB	=	
|∆�|
	
=
83,2V	I20,2V
3
= 4,167	kN		 BC	=	|∆�|
	
=
20,2V	I03,/
8
= 1,192	kN			
4,167
– 4,167
– 1,192
1,192
VA = 41,09 kN
VBA = 26,91 kN
VBC = 14,81 kN
VCD = 17 kN
VCB = 17,19 kN
|∆�|
	
7) MOMENTO FLETOR:
Vão AB: M = V0x –
q	x2
�
– P(x – a) – M0
x	=
U,19
9
= 0,898	m	
M(MÁX) = 21,55kNmM(2,898) = 41,09 2,898 − 4,5(2,898)2− 	15(2,898− 2) − 46,27
M(5) = 41,09 5 − 4,5(5)2 − 	15(5− 2)	– 46,27 M(5) = 1,68kNm
15kN 5kN
9kN/m
1,5m3m2m 4m
8kN/m
1m
�
, �'=>?
41,09 kN
(41,09 – 18 – 15 = 8,09)
7) MOMENTO FLETOR:
Vão BC: 
M = V0x –
q	x2
�
– P(x – a) –M0
MX = V
x −	
qx2
�
	– �(W	– a) – M
M(MÁX) = −	7,56 kNmM(1,851) = 14,81(1,851) − 4(1,851)2− 21,27
14,81 – 8x = 0 x	=	1,851m
V0 – qx	=	0	
15kN 5kN
9kN/m
1,5m3m2m 4m
8kN/m
1m
14,81kN
−��, �'=>?
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS CORTANTES E DE MOMENTO FLETOR
41,09
0,898m
−46,27
23,09
−18,91
1,851m 0
M	 NO 			
P	 NOQ 			
−26,91
21,55
−	7,56−21,27 −16,50
1,68
15kN 5kN
9kN/m
1,5m3m2m 4m
8kN/m
1m
8,09
5
17
0
14,81
−17,19
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS CORTANTES E DE MOMENTO FLETOR
15kN 5kN
9kN/m
1,5m3m2m 4m
8kN/m
1m
41,09
0,898m
−46,27
23,09
−18,91
1,851m 0
M	 NO 			
P	 NOQ 			
−26,91
21,55
−	7,56
−21,27
−16,50
1,68
8,09 5
17
0
14,81
−17,19