Definição de função

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Matemática 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
 
1. Função .................................................................................................................................. 2 
1.1. Definição ........................................................................................................................... 2 
1.2. Domínio e Imagem ........................................................................................................... 4 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 7 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 8 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Nesta apostila apresentaremos o conceito de função como sendo um dos 
mais importantes nos estudos da Matemática. Abordaremos e analisaremos de uma 
forma bem clara a relação que ocorre entre os conjuntos Domínio e Imagem. 
Através da Matemática, poderemos obter a relação entre dois conjuntos, 
entendendo a forma na qual eles se relacionam, e assim definiremos de um modo 
geral como sendo uma função. 
Objetivo 
• Introduzir o conceito de função. 
• Apresentar os conceitos de domínio e imagem, relacionando-os com a 
função. 
 
1. Função 
1.1. Definição 
Para que possamos definir o termo função, tomemos como exemplo dois 
conjuntos no qual chamaremos de A e B. Estes conjuntos possuem elementos que se 
associam entre eles, ou seja, um elemento de A está se correspondendo com algum 
elemento de B. A essa relação entre os conjuntos é que chamamos de função. Mas é 
necessário cada elemento do conjunto A esteja associado a apenas um elemento de 
B. 
Vejamos alguns exemplos práticos da aplicação de função: 
Quando vamos a alguma lanchonete, por exemplo, nos deparamos com 
aquelas tabelas de preços fixadas na parede, conforme a imagem abaixo: 
 
 
3 
 
 
Autor, 2019 
Podemos perceber que para cada produto descrito na tabela, temos um 
preço correspondente, ocorrendo assim uma função conforme o conceito dado 
anteriormente. 
Outros exemplos práticos da utilização de função são a conta de energia 
elétrica, onde o valor pago será em função da quantidade de quilowatts consumidos 
durante o mês e a conta de água, cujo valor cobrado é de acordo com o consumo de 
metros cúbicos de água medido pelo hidrômetro. 
Assim, consideremos a relação f de A em B, no diagrama abaixo, onde todo 
elemento de A está associado, através de f, a um único elemento de B. Assim 
dizemos que f é uma função de A em B. 
 
Representação da função f de A em B 
 
Neste outro exemplo, veremos que g não é uma função de C em D, pois existe 
elemento em C, (o elemento 8) que não está associado, através de g, a elemento 
algum de D. 
 
Salgados Fritos ............... R$ 2,00
Salgados Assados ............... R$ 3,00
Refrigerante Lata ............... R$ 5,00
Suco Laranja Natural ............... R$ 8,00
Refresco de Laranja ............... R$ 3,00
Vitamina de Banana ............... R$ 5,00
TABELA DE PREÇOS
 
4 
 
 
Representação da função g de C em D 
 
Agora veremos que t não é função de G em P, pois o elemento 4 está 
associado, através de t, a mais de um elemento de P. 
 
Representação da função t de G em P 
1.2. Domínio e Imagem 
Para que possamos entender de uma forma bem clara o que é domínio de 
uma função e o que é imagem de uma função, vamos a um exemplo bem prático. 
 
Representação da função f de A em B 
 
Na figura acima, temos uma função f de A em B, onde o conjunto A é o 
domínio da função e o conjunto B, o contradomínio da função. Temos x є A e y є B e 
.3
 C g .2 D
1. .1
5. .5
6. .6
8.
 
5 
 
chamaremos de imagem de x pela função f, o valor y, que é o valor assumido pela 
função f para x є A . A sua representação será f(x) (lemos f de x). Assim, y = f(x). 
O conjunto imagem da função f é o conjunto de todos os y obtidos e 
indicamos por Im(f). 
Vejamos um exemplo: 
Consideremos os conjuntos A= {0,1,2,3} e B={0,1,2,3,4,5,6} e a função f: A → B 
que transforma x є A em 2x є B. 
 
 
Representação da função f(x)=2x 
Aqui temos f: A → B definida por f(x) = 2x, ou seja, y = 2x. Na indicação x 2x 
temos que x é transformado pela função f em 2x. 
Agora, podemos então concluir, que para caracterizar uma função, 
precisamos conhecer seus três componentes: o domínio A, o contradomínio B e uma 
regra que associa cada elemento de A a um único elemento y = f(x) de B. 
No exemplo citado, o domínio é A = {0,1,2,}, o contradomínio B={0,1,2,3,4,5,6} 
e a regra é dada por y = 2x e o conjunto imagem é dado por Im(f) = {0,2,4,6}. 
 
FIQUE ATENTO! 
 
 
 
 
 
Domínio: representado por todos os elementos 
do conjunto A. 
Contradomínio: representado por todos os 
elementos do conjunto B 
Imagem: representado por todos os elementos 
do contradomínio (conjunto B) que tem 
correspondente com o domínio (conjunto A). 
 
 
6 
 
Vamos entender através do auxílio das flechas que condições devem 
satisfazer uma relação f de A em B para ser considerada uma função: 
• É necessário que todo elemento x ∈ A (x pertence a A) participe de pelo 
menos um par (x, y) ∈ f (x e y pertencem a função), ou seja, todo 
elemento do conjunto A deve servir como ponto de partida da flecha. 
 
• É necessário que cada elemento x ∈ A (x pertence a A) participe de 
apenas um único par (x, y) ∈ f (x e y pertencem a função), ou seja, cada 
elemento de A deve servir como ponto de partida da flecha para um 
único elemento de B. 
Uma relação f só é função se atender as condições citadas acima, ou seja, 
caso ocorram as seguintes situações, f não é função: 
1-Se existir um elemento de A do qual não parta flecha. 
A B 
 
 
 
 
 
2- Se não existir um elemento de A que partam duas ou mais flechas do 
mesmo conjunto. 
A B 
 
 
 
 
 
Vamos a dois exemplos para que possamos sanar qualquer dúvida que ainda 
possa existir. 
Dados os conjuntos A= {0,-1,1,-3,3} e B= {0,3,27,-3,-9,1}, quais das relações 
seguintes são funções de A em B? 
a) f= {(x, y) є A X B | y = 3x2} 
Representando as relações no diagrama de flechas, temos: 
 
 
 
7 
 
 
Representação do diagrama de flechas: y=3x2 
f é função, pois todo elemento de A está associado, através de f, a um único 
elemento de B. 
b) g= {(x,y) є A X B | y = x} 
 
Representação do diagrama de flechas: y=x 
 
g não é função, pois o elemento -1 pertencente a A não está associada, 
através de g, a nenhum elemento de B. 
Exercícios 
1. (Autor, 2019) De acordo com o esquema a seguir, temos a representação 
de uma função de “A” em “B”: 
 
A B 
 
 
 
 
 
 
 
18 
20 
40 
 9 
 10 
 20 
 
8 
 
 
Determine: 
a) Domínio 
b)Imagem 
c) f(9) 
d) f(10) 
 
2. (Autor, 2019) Dada a função f: {-1, 0, 5, 10} R, definida por f(x)= 3x2+4, 
defina sua imagem. Para a resolução deste exercício, consulte os 
exemplos dados, ou seja, faça a substituição de cada elemento do 
conjunto na fórmula dada. 
 
3. (Paiva, 1999) Dados os conjuntos A={-2,-1,0,1,2} e B={0,1,2,3,4,5), 
determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem da função 
f={(x,y) є A X B| y = x2}. 
Gabarito 
1. O exercício nos fornece os conjuntos A e B, então podemos responder ao 
que nos foi solicitado: 
 
A B 
 
 
 
 
 
 
a) Como vimos inicialmente, o conjunto em que as flechas saem é 
denominado Domínio, então: D = {9,10,20}. 
 
b) Conjunto imagem é todos os elementos do contradomínio (conjunto “B”) 
em que há relacionamento com o Domínio, então: Im = {18,20,40}. 
 
c) Perguntar qual a f(9) é a mesma coisa que perguntar qual a imagem do 
ponto 9, ou seja, f(9) = 18. 
18 
20 
40 
 9 
 10 
 20 
 
9 
 
 
d) Perguntar qual a f(10) é a mesma coisa que perguntar qual a imagem do 
ponto 10, ou seja, f(10) = 20. 
 
2. Se f:{-1, 0, 5, 10} precisamos apenas substituir cada valor de x na fórmula 
f(x)= 3x2+4 e obteremos o resultado. Tem-se então para: 
 
x=-1 
f(-1)= 3.(-1)2+4 
f(-1) = 7 
 
x=0 
f(0)= 3.(0)2+4 
f(0)= 4 
 
x= 5 
f(5)= 3(5)2+4 
f(5)= 79 
 
x=10 
f(10)= 3(10)2+4 
f(10) = 304 
Resumo 
Hoje aprendemos que uma função pode ser definida como a relação entre 
dois conjuntos, onde dado o conjunto A, seus elementos devem se corresponder à 
apenas um elemento do conjunto B. O conjunto A é chamado de Domínio, o 
conjunto B de contradomínio e os elementos do contradomínio, que se 
correspondem com o conjunto A, são chamados de imagem. 
De uma forma gráfica, podemos assim representar, onde todos os elementos 
de A (Domínio) possuem um correspondente em B (contradomínio) e a imagem é 
{0,2,4,6}: 
 
10 
 
 
Representação domínio, contradomínio e imagem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f
0. .0
1. .2 
2. .4 
3. .6 
A B
 
11 
 
Referências bibliográficas 
DANTE, L.R. Matemática: volume único.1ª.ed. São Paulo, Ática 
 
PAIVA, M. Matemática: volume único. 1.ed.São Paulo, Moderna, 1999