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Sistemas Equivalentes

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Matemática 
 
 
 
 
SISTEMAS EQUIVALENTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
 
1. Sistemas equivalentes ......................................................................................................... 2 
 1.1. Princípio aditivo da igualdade e multiplicativo da igualdade ........................................ 2 
 1.2. Conceito de sistemas equivalentes ................................................................................. 3 
 1.3. Criando situações de equivalência .................................................................................. 5 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 7 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 7 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila anterior, estudamos as técnicas de resolução de sistemas, através 
dos métodos de adição e de subtração. Fizemos alguns exercícios e pudemos 
perceber também como podemos aplicar estes métodos no nosso dia a dia. 
Diante do aprendizado já adquirido, vamos agora conhecer os sistemas 
equivalentes, resolver exercícios, obtendo assim novos saberes, de uma forma bem 
clara e contextualizada. Veremos que a equivalência entre dois sistemas, pode ser 
feita pelos métodos da adição ou da subtração. Então, arregacem as mangas e mãos 
à obra. 
Objetivo 
• Conceituar os sistemas equivalentes; 
• Resolver sistemas equivalentes. 
 
1. Sistemas equivalentes 
1.1. Princípio aditivo da igualdade e multiplicativo da igualdade 
Quando vamos a um supermercado, uma mercearia ou algo desse tipo para 
efetuarmos compras de mercadorias através do peso, normalmente utiliza-se uma 
balança para que o preço pago seja de acordo com a quantidade pesada do produto. 
Antigamente, bem lá nos primórdios da civilização, os primitivos geralmente, 
não tinham a necessidade de pesar os objetos, pois se duas pessoas precisavam de 
alguma coisa da outra, utilizam a troca direta. 
Mas isto mudou por volta do no 5.000 a.C., pois o ouro como sendo 
considerado um metal muito valioso, tornou necessária a invenção da balança pelos 
egípcios. Em inúmeros murais e papiros podemos ver as balanças egípcias. 
Vejamos então a balança abaixo: 
 
Os quadrados verdes e azuis representados no desenho acima possuem o 
mesmo peso, independentemente de suas cores serem diferentes. Perceba que a 
□
□□ □□□
□□□ □□ □ □□□□
6 + 2 = 8 1 + 7 = 8
 
3 
 
quantidade em cada lado da balança, é a mesma, fazendo assim que ela se mantenha 
equilibrada. 
Se acrescentarmos ou retirarmos algum quadrado de um lado, temos que 
retirar ou acrescentar a mesma quantidade do outro lado para manter a igualdade. 
Assim também, se multiplicarmos ou dividirmos cada lado da balança pelo 
mesmo número, a igualdade irá permanecer. 
 
FIQUE ATENTO! 
 
 
 
 
 
1.2. Conceito de sistemas equivalentes 
O termo equivalente, tem origem francesa “equivalente” e quer dizer aquilo 
que possui valor igual, ou tenha o mesmo sentido. 
Ao usarmos a palavra equivalente, para a descrição de algo, dizemos que esse 
algo, ou essa coisa pode substituir a outra da mesma forma ou do mesmo significado. 
O sinônimo, por exemplo de uma palavra, é o significado daquela palavra, o seja 
equivale à essa palavra. 
Quando falamos de dois sistemas lineares equivalentes, dizemos que estes 
possuem o mesmo conjunto solução. 
A equivalência entre dois sistemas, pode ser feita através de técnicas de 
resolução de sistema, como por exemplo o método da adição ou método da 
substituição. No exemplo abaixo, temos dois sistemas na qual o conjunto solução é o 
mesmo, portanto são equivalentes. 
Os sistemas abaixo 
1S
 e 
2S
 são equivalentes, pois ambos admitem apenas o 
par (3,-1) como solução. 
 
Princípio aditivo da igualdade: adicionando ou 
subtraindo um mesmo número nos dois membros de uma 
igualdade obtém-se outra sentença que ainda é uma 
igualdade. 
Princípio multiplicativo da igualdade: multiplicando 
ou dividindo por um mesmo número (diferente de zero) os 
dois membros de uma igualdade obtêm-se uma nova 
sentença que ainda é uma igualdade. 
 
 
 
4 
 
1
2
2 1
x y
S
x y
+ =

+ =
 
2
4
3 2 7
x y
S
x y
− =

+ =
 
 
Resolvendo S1 pelo método da adição: 
2 .(-1)
2 1
x y
x y
+ =

+ =
 
2
2 1
1
x y
x y
y
− − = −

+ =
= −
 
logo x + y = 2 → x – 1 = 2 → x = 3 
Resolvendo S2 pelo método da substituição: 
4
3 26 7
x y
x
− =

+ =
 
4x y= +
 
Substituindo x = 4 + y em 3x + 2y = 7 
3(4 + y) + 2y = 7 
12 +3 y + 2y = 7 
5y = 7 – 12 
y = -1 logo x = 4 – 1 → x = 3 
Vejamos outro exemplo: 
19
2 31
x y
x y
+ =

+ =
 
3 43
2 2
x y
x y
+ =

− = −
 
x = 19 – y y = 43 – 3x 
2x + y = 31 x – 2y = -2 
2.(19-y)+y = 31 x -2.(43 – 3x) = -2 
38 -2y + y = 31 x – 86 +6x = -2 
-y = 31 – 38 7x = -2 + 86 
-y = -7 7x = 84 
y = 7 x = 12 
 
 
 
 
 
5 
 
x + y = 19 3x + y = 43 
x = 19 –y y = 43 – 3x 
x = 19 – 7 y = 43 -3.12 
x = 12 y = 43 - 36 
 y = 7 
S = {(12,7)} S = {(12,7)} 
 
1.3. Criando situações de equivalência 
Agora que já sabemos o que são sistemas equivalentes, podemos criar 
situações no intuito de realizar a equivalência entre dois sistemas. 
Vamos então ver alguns exemplos: 
Exemplo 1 
10
4 2 38
x y
x y
+ =

+ =
 
3 21
6 55
ax y
x by
+ =

+ =
 
O nosso objetivo será determinar os valores de a e b para que os sistemas 
acima sejam equivalentes. 
Bem, para começar, vamos resolver o sistema no qual os coeficientes possuem 
valores indicados. 
10
4 2 38
x y
x y
+ =

+ =
 
1ª equação 2ª equação Substituindo na 1ª equação 
y = 10 – x 4x + 2(10 – x) =38 y = 10 – x 
 4x +20 -2x = 38 y = 10 – 9 
 2x = 18 y = 1 
 x = 9 
Como já obtemos os valores de x e y, agora vamos substituir os valores no 
sistema com os coeficientes a e b. 
3 21
6 55
ax y
x by
+ =

+ =
 
1ª equação 2ª equação 
a.9 + 3.1 = 21 6.9 + b.1 = 55 
 
6 
 
9a + 3 = 21 54 + b = 55 
9a = 21 -3 b = 55 - 54 
9a = 18 b = 1 
a = 2 
 
Para que os sistemas sejam equivalentes, os coeficientes a e b devem assumir 
os valores 2 e 1 respectivamente. 
Exemplo 2: 
Neste segundo exemplo, vamos determinar o valor do coeficiente k Є R, de 
forma que os sistemas sejam equivalentes. 
2 1
3 2 5
x y
x y
− =

+ =
 
3 5
2
kx y k
x y
+ = +

+ =
 
1ª equação 2ª equação Substituindo na 1ª equação 
2x – y =1 3x + 2y = 5 2x - y = 1 
-y = 1 – 2x 3x +2(-1 +2x)=5 2.1 -y = 1 
y = -1 + 2x 3x -2 + 4x = 5 -y = 1 - 2 
 7x = 5 + 2 y = 1 
 7x = 7 
 x = 1 
Como já obtemos

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