Fundamentos gerais relacionados à economia

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Administração e Economia para Engenharia
3 – Fundamentos gerais relacionados à economia
Resumo de Matemática - Principais Fórmulas de Matemática Financeira
Juros Simples
J = C . i . t
J = juros
C = Capital
i = taxa de juros
t = número de períodos
Montante
M = C + J
M = C . (1 + ( i . t ) )
Juros Compostos
M = C . (1 +  i)t
J = M – C
Relação entre juros e progressões
Juros simples - progressão aritmética
Juros compostos - progressão geométrica
Resumo de Matemática - Principais Fórmulas de Matemática Financeira
Taxas Equivalentes
Taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida
1 + ia = (1 + im)t
ia = taxa anual
im = taxa mensal
Taxas Nominais, Reais e Efetivas
Taxas Nominais - O período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida.
Exemplo:
Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva:
15/12 = 1,25                    1,012512 = 1,1608
Taxas Efetivas - O período de formação e incorporação os juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.
Taxa Real - é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.
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Valor Presente e Futuro
Na fórmula M = C . (1 + i)n , o Capital  também é conhecido como Valor Presente e o montante M é também conhecido como Valor Futuro
 
Portanto:
 
Vf = Vp . (1 +  i)n
Resumo de Matemática - Principais Fórmulas de Matemática Financeira
Diferença entre juros simples e compostos
Enquanto nos juros simples a correção aplicada em todo o período leva em consideração apenas o valor inicial envolvido, nos juros compostos a correção é feita em cima de valores já corrigidos.
Por isso, os juros compostos também são chamados de juros sobre juros, ou seja, o valor é corrigido sobre um valor que também já foi corrigido.
Sendo assim, para períodos maiores de aplicação ou empréstimo a correção por juros compostos fará com que o valor final a ser recebido ou pago seja bem maior que o valor inicialmente aplicado ou emprestado.
A grande maioria das operações financeiras utiliza a correção pelo sistema de juros compostos. Os juros simples se restringem as operações de curto período de tempo.
Resumo de Matemática - Principais Fórmulas de Matemática Financeira
Fórmula de juros simples
Os juros simples são calculados aplicando a seguinte fórmula:
Sendo,
J: juros
C: valor inicial da transação, chamado em matemática financeira de capital
i: taxa de juros (valor normalmente expresso em porcentagem)
t: período da transação
Podemos ainda calcular o valor total que será resgatado (no caso de uma aplicação) ou o valor a ser quitado (no caso de um empréstimo) ao final de um período predeterminado.
Esse valor, chamado de montante, é igual a soma do capital com os juros, ou seja:
Resumo de Matemática - Principais Fórmulas de Matemática Financeira
Podemos substituir o valor de J, na fórmula acima e encontrar a seguinte expressão para o montante:
A fórmula que encontramos é uma função afim, desta forma, o valor do montante cresce linearmente em função do tempo.
Resumo de Matemática - Principais Fórmulas de Matemática Financeira
Exercícios – Juros Simples
1) João aplicou R$20 000,00 durante 3 meses em uma aplicação a juros simples com uma taxa de 6% ao mês. Qual o valor recebido por João ao final desta aplicação?
2) Em uma loja, um aparelho de TV é vendido com as seguintes condições:
Qual a taxa de juros cobrada neste financiamento?
Resumo de Matemática - Principais Fórmulas de Matemática Financeira
Exercícios – Juros Simples
3) Um capital é aplicado, a juros simples, à taxa de 4% ao mês. Quanto tempo, no mínimo, ele deverá ser aplicado, a fim de que seja possível resgatar o triplo da quantia aplicada?
4) Uma pessoa aplicou um capital a juros simples durante 1 ano e meio. Sendo corrigido a uma taxa de 5% ao mês, gerou no final do período um montante de R$ 35 530,00. Determine o capital aplicado nesta situação.
5) A conta de água de um condomínio deve ser paga até o quinto dia útil de cada mês. Para pagamentos após o vencimento, é cobrado juros de 0,3% por dia de atraso. Se a conta de um morador for de R$580,00 e ele pagar essa conta com 15 dias de atraso, qual será o valor pago?
6) Uma dívida de R$13 000,00 foi paga 5 meses depois de contraída e os juros pagos foram de R$ 780,00. Sabendo que o cálculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros?
7) Um terreno cujo preço é de R$ 100 000,00, será pago em um único pagamento, 6 meses após a compra. Considerando que a taxa aplicada é de 18% ao ano, no sistema de juros simples, quanto será pago de juros nessa transação?
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Exercícios – Juros Simples
8) UERJ- 2016
Na compra de um fogão, os clientes podem optar por uma das seguintes formas de pagamento:
• à vista, no valor de R$ 860,00;
• em duas parcelas fixas de R$ 460,00, sendo a primeira paga no ato da compra e a segunda 30 dias depois.
A taxa de juros mensal para pagamentos não efetuados no ato da compra é de:
a) 10%
b) 12%
c) 15%
d) 18%
Resumo de Matemática - Principais Fórmulas de Matemática Financeira
Exercícios – Juros Simples
9) Fuvest - 2018
Maria quer comprar uma TV que está sendo vendida por R$ 1500,00 à vista ou em 3 parcelas mensais sem juros de R$ 500,00. O dinheiro que Maria reservou para essa compra não é suficiente para pagar à vista, mas descobriu que o banco oferece uma aplicação financeira que rende 1% ao mês. Após fazer os cálculos, Maria concluiu que, se pagar a primeira parcela e, no mesmo dia, aplicar a quantia restante, conseguirá pagar as duas parcelas que faltam sem ter que colocar nem tirar um centavo sequer.
Quanto Maria reservou para essa compra, em reais?
a) 1450,20
b) 1480,20
c) 1485,20
d) 1495,20
e) 1490,20
Resumo de Matemática - Principais Fórmulas de Matemática Financeira
Exercícios – Juros Simples
10) Vunesp - 2006
Um boleto de mensalidade escolar, com vencimento para 10.08.2006, possui valor nominal de R$740,00.
a) Se o boleto for pago até o dia 20.07.2006, o valor a ser cobrado será R$703,00. Qual o percentual do desconto concedido?
b) Se o boleto for pago depois do dia 10.08.2006, haverá cobrança de juros de 0,25% sobre o valor nominal do boleto, por dia de atraso. Se for pago com 20 dias de atraso, qual o valor a ser cobrado?
Resumo de Matemática - Principais Fórmulas de Matemática Financeira
Exercícios – Juros Simples
11) Fuvest - 2008
No próximo dia 08/12, Maria, que vive em Portugal, terá um saldo de 2.300 euros em sua conta corrente, e uma prestação a pagar no valor de 3.500 euros, com vencimento nesse dia. O salário dela é suficiente para saldar tal prestação, mas será depositado nessa conta corrente apenas no dia 10/12. Maria está considerando duas opções para pagar a prestação:
Pagar no dia 8. Nesse caso, o banco cobrará juros de 2% ao dia sobre o saldo negativo diário em sua conta corrente, por dois dias;
2. Pagar no dia 10. Nesse caso, ela deverá pagar uma multa de 2% sobre o valor total da prestação.
Suponha que não haja outras movimentações em sua conta corrente. Se Maria escolher a opção 2, ela terá, em relação à opção 1,
a) desvantagem de 22,50 euros.
b) vantagem de 22,50 euros.
c) desvantagem de 21,52 euros.
d) vantagem de 21,52 euros.
e) vantagem de 20,48 euros.
Resumo de Matemática - Principais Fórmulas de Matemática Financeira
1 - Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00 aplicado à taxa de 4% ao trimestre, após um ano, no sistema de juros compostos.
Exercícios – Juros Compostos e Equivalência de Capitais - Resolução
2) Para comprar uma moto aproveitando um ótimo preço, uma pessoa pediu um empréstimo de R$ 6 000,00 a uma financeira a juros mensais de 15%. Dois meses depois, pagou R$ 3 000,00 e liquidou a dívida no mês seguinte.
Qual foi o valor da última prestação pago pela pessoa?
3) UECE - 2018
Uma lojavende um aparelho de TV, com a seguintes condições de pagamento: entrada no valor de R$ 800,00 e um pagamento de R$ 450,00 dois meses depois. Se o preço do televisor à vista é de R$1.200,00, então, a taxa de juros simples mensal embutida no pagamento é
A) 6,25%.
B) 7,05%.
C) 6,40%.
D) 6,90%.
Resumo de Matemática - Principais Fórmulas de Matemática Financeira
Exercícios – Juros Compostos e Equivalência de Capitais - Resolução
4) Enem – 2017 - 
Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas iguais a P.
O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.
A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é:
Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela. Utilize 0,2877 como aproximação para 
Resumo de Matemática - Principais Fórmulas de Matemática Financeira
Exercícios – Juros Compostos e Equivalência de Capitais - Resolução
e 0,0131 como aproximação para ln (1,0132). A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a 
a) 56ª
b) 55ª
c) 52ª
d) 51ª
e) 45ª
6) Enem - 2011
Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:
Resumo de Matemática - Principais Fórmulas de Matemática Financeira
Exercícios – Juros Compostos e Equivalência de Capitais - Resolução
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é
a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.
b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.
c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.
d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.
e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.
Resumo de Matemática - Principais Fórmulas de Matemática Financeira
Exercícios – Juros Compostos e Equivalência de Capitais - Resolução
7) UERJ - 2017
Um capital de C reais foi investido a juros compostos de 10% ao mês e gerou, em três meses, um montante de R$ 53240,00. Calcule o valor, em reais, do capital inicial C.
8) Fuvest - 2018
Maria quer comprar uma TV que está sendo vendida por R$ 1.500,00 à vista ou em 3 parcelas mensais sem juros de R$ 500,00. O dinheiro que Maria reservou para essa compra não é suficiente para pagar à vista, mas descobriu que o banco oferece uma aplicação financeira que rende 1% ao mês. Após fazer os cálculos, Maria concluiu que, se pagar a primeira parcela e, no mesmo dia, aplicar a quantia restante, conseguirá pagar as duas parcelas que faltam sem ter que colocar nem tirar um centavo sequer. Quanto Maria reservou para essa compra, em reais?
Resumo de Matemática - Principais Fórmulas de Matemática Financeira
Exercícios – Juros Compostos e Equivalência de Capitais - Resolução
9) UNESP - 2005
Mário tomou um empréstimo de R$ 8.000,00 a juros de 5% ao mês. Dois meses depois, Mário pagou R$ 5.000,00 do empréstimo e, um mês após esse pagamento, liquidou todo o seu débito. O valor do último pagamento foi de:
a) R$ 3.015,00.
b) R$ 3.820,00.
c) R$ 4.011,00.
d) R$ 5.011,00.
e) R$ 5.250,00.
10) PUC/RJ - 2000
Um banco pratica sobre o seu serviço de cheque especial a taxa de juros de 11% ao mês. Para cada 100 reais de cheque especial, o banco cobra 111 no primeiro mês, 123,21 no segundo, e assim por diante. Sobre um montante de 100 reais, ao final de um ano o banco irá cobrar aproximadamente:
a) 150 reais.
b) 200 reais
c) 250 reais.
d) 300 reais.
e) 350 reais.
Resumo de Matemática - Principais Fórmulas de Matemática Financeira
Exercícios – Juros Compostos e Equivalência de Capitais - Resolução
11) (PARENTE, 1996) 
Uma pessoa deseja substituir um título de valor nominal de R$ 85.000,00, com vencimento daqui a 2 meses, por outro título, com vencimento para 5 meses. Qual o valor nominal do novo título, sabendo-se que o banco em questão adota, nesse tipo de operação, a taxa composta de 9% a.m. e o critério do desconto racional?
12)      (PARENTE, 1996) 
Uma pessoa deve, em um banco, dois títulos: R$ 100.000,00 para pagamento imediato e R$ 70.000,00 para pagamento em 6 meses. Por lhe ser conveniente, o devedor propõe ao banco a substituição da dívida por um pagamento de R$ 150.000,00 em 3 meses e o saldo restante em 9 meses. Qual o valor do saldo restante se o banco realiza essa operação a 10% a.m., sob o critério de desconto racional composto?