Estatística para Engenharia - Contando e Conjuntos

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TI0111 - Estat´ıstica para Engenharia
Contando e conjuntos
1 Metas de aprendizagem
1. Conhecer as definic¸o˜es e notac¸o˜es para conjuntos, intersec¸a˜o, unia˜o, complemento.
2. Ser capaz de visualizar operac¸o˜es de conjunto usando diagramas de Venn.
3. Entender como a contagem e´ usada para calcular probabilidades.
4. Ser capaz de usar a regra do produto, princ´ıpio de inclusa˜o-exclusa˜o, permutac¸o˜es e combinac¸o˜es
para contar os elementos em um conjunto.
2 Contando
2.1 Pergunta Motivadora
Exemplo 1: Uma moeda e´ na˜o viciada se obtemos cara ou coroa com igual probabilidade. Voceˆ joga
uma moeda na˜o viciada treˆs vezes. Qual e´ a probabilidade de que apenas uma das jogadas resulte
em cara?
Resposta: Ao jogarmos treˆs vezes, podemos listar facilmente os oito resultados poss´ıveis (considere
A=cara e B=coroa):
{AAA,AAB,ABA,ABB,BAA,BAB,BBA,BBB}.
Treˆs desses resultados teˆm exatamente uma jogada resultando em cara:
{ABB,BAB,BBA}.
Como todos os resultados sa˜o igualmente poss´ıveis, temos:
P (1 cara em 3 jogadas) =
nu´mero de resultados com uma cara
nu´mero total de resultados
=
3
8
.
Princ´ıpio: Suponha que haja n poss´ıveis resultados para um experimento e cada um e´ igualmente
prova´vel. Se houver k resultados deseja´veis, a probabilidade de um resultado deseja´vel e´ k/n. E´ claro
que poder´ıamos substituir a palavra deseja´vel por qualquer outro descritor: indeseja´vel, engrac¸ado,
interessante, remunerativo...
1
2.2 Conjuntos e Notac¸o˜es
Nosso objetivo e´ aprender te´cnicas para contar o nu´mero de elementos de um conjunto, enta˜o
comec¸aremos com uma breve revisa˜o de conjuntos.
2.2.1 Definic¸o˜es
Um conjunto S e´ uma colec¸a˜o de elementos. No´s usamos a seguinte notac¸a˜o:
Elemento: Escrevemos x ∈ S para indicar que o elemento x esta´ no conjunto S.
Subconjunto: Dizemos que o conjunto A e´ um subconjunto de S se todos os seus elementos estive-
rem em S. Escrevemos isso como A ⊂ S.
Complemento: O complemento de A em S e´ o conjunto de elementos de S que na˜o esta˜o em A.
Escrevemos isso como Ac ou S −A.
Unia˜o: A unia˜o de A e B e´ o conjunto de todos os elementos em A ou B (ou ambos). Escrevemos
isso como A ∪B.
Intersec¸a˜o: A intersec¸a˜o de A e B e´ o conjunto de todos os elementos em ambos A e B. Escrevemos
isso como A ∩B.
Conjunto vazio: O conjunto vazio e´ o conjunto sem elementos. Escrevemos isso como ∅.
Disjunto: A e B sa˜o disjuntos se na˜o tiverem elementos comuns. Isto e´, se A ∩B = ∅.
Diferenc¸a: A diferenc¸a entre A e B e´ o conjunto de elementos em A que na˜o esta˜o em B. Escrevemos
isso como A−B.
Vamos ilustrar essas operac¸o˜es com um exemplo simples.
Exemplo 2: Comece com um conjunto de 10 animais.
A = {Ant´ılope, Abelha, Gato, Ca˜o, Elefante, Ra˜, Mosquito, Hiena, Iguana, Onc¸a pintada}.
Considere dois subconjuntos:
M = o animal e´ um mamı´fero:
M = {Ant´ılope, Gato, Ca˜o, Elefante, Hiena, Onc¸a pintada}
S = o animal vive em estado selvagem:
S = {Ant´ılope, Abelha, Elefante, Ra˜, Mosquito, Hiena, Iguana, Onc¸a pintada}.
Nosso objetivo aqui e´ observar diferentes operac¸o˜es de conjunto.
Intersec¸a˜o: M ∩ S conte´m todos os mamı´feros selvagens:
M ∩ S = {Ant´ılope, Elefante, Hiena, Onc¸a pintada}.
Unia˜o: M ∪ S conte´m todos os animais que sa˜o mamı´feros ou selvagens (ou ambos):
M ∪ S = {Ant´ılope, Abelha, Gato, Ca˜o, Elefante, Ra˜, Mosquito, Hiena, Iguana, Onc¸a pintada}.
Complemento: M c significa tudo o que na˜o esta´ em M , ou seja, na˜o e´ um mamı´fero:
M c = {Abelha, Ra˜, Mosquito, Iguana}.
Diferenc¸a: M − S significa tudo o que esta´ em M e na˜o esta´ em S:
2
M −W = {Gato, Ca˜o}.
A relac¸a˜o entre unia˜o, intersecc¸a˜o e complemento e´ dada pelas leis de DeMorgan:
(A ∪B)c = Ac ∩Bc
(A ∩B)c = Ac ∪Bc
Em palavras, a primeira lei diz que tudo que na˜o esta´ em (A ou B) e´ o mesmo conjunto de tudo que
esta´ (na˜o em A) e (na˜o em B). A segunda lei e´ semelhante.
2.2.2 Diagramas de Venn
Os diagramas de Venn oferecem uma maneira fa´cil de visualizar as operac¸o˜es do conjunto.
Em todas as figuras, S e´ a regia˜o dentro do retaˆngulo grande, L e´ a regia˜o dentro do c´ırculo esquerdo
e R e´ a regia˜o dentro do c´ırculo direito. A regia˜o sombreada mostra o conjunto indicado abaixo de
cada figura.
Exemplo 3: Verifique as leis de DeMorgan para os subconjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4} do
conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5}.
Resposta: Para cada lei, trabalhamos os dois lados da equac¸a˜o e mostramos que eles sa˜o iguais.
1. (A ∪B)c = Ac ∩Bc:
Lado direito: A ∪B = {1, 2, 3, 4} ⇒ (A ∪B)c = {5}.
Lado esquerdo: Ac = {4, 5}, Bc = {1, 2, 5} ⇒ Ac ∩Bc = {5}.
Os dois lados sa˜o iguais. QED.
2.(A ∩B)c = Ac ∪Bc:
Lado direito: A ∩B = {3} ⇒ (A ∩B)c = {1, 2, 4, 5}.
Lado esquerdo: Ac = {4, 5}, Bc = {1, 2, 5} ⇒ Ac ∪Bc = {1, 2, 4, 5}.
Os dois lados sa˜o iguais. QED.
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Prova das Leis de DeMorgan
2.2.3 Produto de Conjuntos
O produto dos conjuntos S e T e´ o conjunto de pares ordenados:
S × T = {(s, t)|s ∈ S, t ∈ T} .
Em palavras, o lado direito diz “o conjunto de pares ordenados (s, t) tal que s esta´ em S e t esta´ em T .
Os diagramas a seguir mostram dois exemplos do produto de conjuntos.
A figura da direita tambe´m ilustra que, se A ⊂ S e B ⊂ T , enta˜o A×B ⊂ S × T .
2.3 Contando
Se S e´ finito, usamos |S| ou #S para indicar o nu´mero de elementos de S.
Dois princ´ıpios de contagem u´teis sa˜o o princ´ıpio da inclusa˜o-exclusa˜o e a regra do produto.
2.3.1 Princ´ıpio da Inclusa˜o-exclusa˜o
O princ´ıpio da inclusa˜o-exclusa˜o diz que
|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.
4
Podemos ilustrar isso com um diagrama de Venn. S sa˜o todos os pontos, A sa˜o os pontos no c´ırculo
azul e B sa˜o os pontos no c´ırculo vermelho.
|A| e´ o nu´mero de pontos em A e, da mesma forma, para os outros conjuntos. A figura mostra que
|A|+ |B| conta dobrado |A∩B|, e e´ por isso que |A∩B| e´ subtra´ıdo na fo´rmula de inclusa˜o-exclusa˜o.
2.3.2 Regra do Produto
A regra do produto diz que
Se temos n formas de executar a ac¸a˜o 1 e m formas de executar a ac¸a˜o 2, teremos n.m
formas de executar a ac¸a˜o 1 seguida da ac¸a˜o 2.
Exemplo 4: Se voceˆ tem 3 camisas e 4 calc¸as, enta˜o voceˆ pode fazer 3×4 = 12 combinac¸o˜es de roupa.
Um ponto extremamente importante e´ que a regra do produto e´ va´lida mesmo se as maneiras de
executar a ac¸a˜o 2 dependem da ac¸a˜o 1, desde que o nu´mero de maneiras de executar a ac¸a˜o 2 seja
independente da ac¸a˜o 1.
2.4 Permutac¸o˜es e Combinac¸o˜es
2.4.1 Permutac¸o˜es
Uma permutac¸a˜o de um conjunto e´ uma ordem particular de seus elementos. Por exemplo, o conjunto
{a, b, c} tem seis permutac¸o˜es: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Encontramos o nu´mero de permutac¸o˜es
listando todas elas. Tambe´m poder´ıamos ter encontrado o nu´mero de permutac¸o˜es usando a regra
do produto. Ou seja, existem 3 maneiras de escolher o primeiro elemento, depois 2 maneiras para o
segundo e 1 para o primeiro. Isto da´ um total de 3× 2× 1 = 6 permutac¸o˜es.
Em geral, a regra do produto nos diz que o nu´mero de permutac¸o˜es de um conjunto de k elementos e´
k! = k × (k − 1)× (k − 2)× ...× 2× 1.
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O nu´mero de permutac¸o˜es de n = n1 + n2 + . . . + nk objetos dos quais n1 sa˜o de um tipo, n2 sa˜o de
um segundo tipo, ..., e nk sa˜o de k-e´simo tipo e´
k!
n1!n2!...nk!
Exemplo 5: Liste todas as permutac¸o˜es de 3 elementos do conjunto {a, b, c, d}.
Resposta: Esta e´ uma lista mais longa,
abc acb bac bca cab cba
abd adb bad bda dab dba
acd adc cad cda dac dca
bcd bdc cbd cdb dbc dcb
Note que abc e acb contam como permutac¸o˜es distintas. Isto e´, para permutac¸o˜es, a ordem e´ impor-
tante.
Existem 24 permutac¸o˜es. Observe que a regra do produto teria nos dito que existem 4 · 3 · 2 = 24
permutac¸o˜es sem precisar listar todas elas.
2.4.2 Combinac¸o˜es
Em contrastecom as permutac¸o˜es, em combinac¸o˜es a ordem na˜o importa: permutac¸o˜es sa˜o listas e
combinac¸o˜es sa˜o conjuntos. Mostraremos o que queremos dizer com um exemplo.
Exemplo 6: Liste todas as combinac¸o˜es de 3 elementos do conjunto {a, b, c, d}.
Resposta: Tal combinac¸a˜o e´ uma colec¸a˜o de 3 elementos sem considerar a ordem. Enta˜o, abc e cab
ambos representam a mesma combinac¸a˜o. Podemos listar todas as combinac¸o˜es listando todos os
subconjuntos de exatamente 3 elementos.
{a, b, c} {a, b, d} {a, c, d} {b, c, d}
Existem apenas 4 combinac¸o˜es. Compare isso com as 24 permutac¸o˜es do exemplo anterior. O fator
de 6 vem porque cada combinac¸a˜o de 3 coisas pode ser escrita em 6 ordens diferentes.
2.4.3 Fo´rmulas
Usaremos as seguintes notac¸o˜es:
Pnk nu´mero de permutac¸o˜es (listas) de k elementos distintos de um conjunto de tamanho n.
Cnk =
(
n
k
)
nu´mero de combinac¸o˜es (subconjuntos) de k elementos de um conjunto de tamanho n.
Enfatizamos que pelo nu´mero de combinac¸o˜es de k elementos queremos dizer o nu´mero de subcon-
juntos de tamanho k.
6
Fo´rmulas:
Pnk =
n!
(n− k)! = n(n− 1)...(n− k + 1)
Cnk =
(
n
k
)
=
n!
k!(n− k)! =
Pnk
k!
A notac¸a˜o Cnk e´ lida “n escolha k”. A fo´rmula para P
n
k segue da regra do produto. Essa fo´rmula pode
ser escrita em func¸a˜o de Cnk porque um subconjunto de tamanho k pode ser ordenado em k! maneiras.
Podemos ilustrar a relac¸a˜o entre permutac¸o˜es e combinac¸o˜es revendo os resultados dos dois exemplos
anteriores:
abc acb bac bca cab cba {a, b, c}
abd adb bad bda dab dba {a, b, c}
acd adc cad cda dac dca {a, b, c}
bcd bdc cbd cdb dbc dcb {a, b, c}
Permutac¸a˜o P 43 Combinac¸a˜o C
4
3
Observe que cada linha na lista de permutac¸o˜es consiste em todos as 3! permutac¸o˜es do passo cor-
respondente na lista de combinac¸o˜es.
Exemplo 7: Conte o seguinte:
(i) O nu´mero de maneiras de escolher 2 de 4 coisas (a ordem na˜o importa).
(ii) O nu´mero de maneiras de listar 2 de 4 coisas.
(iii) O nu´mero de maneiras de escolher 3 de 10 coisas.
Resposta:
(i) Aqui esta´ pedindo combinac¸o˜es:
(
4
2
)
= 4!2! 2! = 6.
(ii) Aqui esta´ pedindo permutac¸o˜es: P 42 =
4!
2! = 12.
(iii) Aqui esta´ pedindo combinac¸o˜es:
(
10
3
)
= 10!3! 7! =
10·9·8
3·2·1 = 120.
Exemplo 8: Numa prova, um estudante deve responder exatamente 7 questo˜es de um total de
10 questo˜es. (a) Quantas escolhas ele tem? (b) Quantas escolhas ele tem se entre as 7 questo˜es, ele
deve responder pelo menos 3 das primeiras 5 questo˜es?
Resposta:
(a) O estudante deve escolher um subconjunto de tamanho 7 de um conjunto com 10 elementos, logo
tem
(
10
7
)
= 120 escolhas.
(b) No caso em que entre as 7 questo˜es deve responder pelo menos 3 das primeiras 5 questo˜es, o
7
estudante possui treˆs opc¸o˜es (disjuntas):
• Escolher exatamente 3 das primeiras 5 questo˜es e 4 das 5 u´ltimas;
• Escolher exatamente 4 das primeiras 5 questo˜es e 3 das 5 u´ltimas;
• Escolher as 5 primeiras questo˜es e 2 das 5 u´ltimas.
Assim, o total de escolhas que tem e´(
5
3
)(
5
4
)
+
(
5
4
)(
5
3
)
+
(
5
5
)(
5
2
)
= 110.
Outra resposta para a segunda parte: 120− (52)(55) = 110.
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