ApostilaTeoria-II

Prévia do material em texto

Universidade Regional de Blumenau 
Centro de Ciências Tecnológicas 
Engenharia Civil 
T
e
o
ri
a
 d
a
s 
E
st
ru
tu
ra
s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc. 
Blumenau – julho 2016 
Teoria das Estruturas 2 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc. 
 
UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU 
João Natel Pollonio Machado 
Reitor 
 
 
Udo Schroeder 
Vice-Reitor 
 
 
 
 
CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS 
Marcia Cristina Sardá Espíndola 
Diretora 
 
 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
Lucio Flavio da Silveira Matos 
Coordenador 
 
 
Teoria das Estruturas 3 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc 
Sumário 
 
SUMÁRIO .......................................................................................................................................... 3 
LISTA DE FIGURAS .............................................................................................................................. 5 
1. APRESENTAÇÃO ............................................................................................................................. 6 
1.1 EMENTA ................................................................................................................................................6 
1.2 CARGA HORÁRIA TOTAL ...........................................................................................................................6 
1.3 OBJETIVOS .............................................................................................................................................6 
1.4 METODOLOGIA .......................................................................................................................................6 
1.5 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO .........................................................................................................................6 
1.6 BIBLIOGRAFIA BÁSICA ..............................................................................................................................6 
1.7 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR .................................................................................................................7 
CURRICULUM RESUMIDO DO PROFESSOR ...........................................................................................................7 
2. DESLOCAMENTO EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS ............................................................................. 8 
2.1 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA ................................................................................................8 
2.1.1 Exemplo Viga em Balanço ..........................................................................................................9 
2.1.2 Exemplo Viga Biapoiada .......................................................................................................... 10 
2.1.3 Exercícios ................................................................................................................................. 12 
2.2 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS ...................................................................................................... 13 
2.2.1 Método da Carga Unitária ....................................................................................................... 13 
2.2.2 Roteiro para Determinação do Deslocamento Total da Estrutura .......................................... 14 
2.2.3 Exemplo Viga em Balanço ....................................................................................................... 14 
2.2.4 Exemplo Viga Biapoiada .......................................................................................................... 15 
2.2.5 Exercícios ................................................................................................................................. 16 
2.3 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS TABELADO ....................................................................................... 18 
2.3.1 Exemplo Viga em Balanço ....................................................................................................... 19 
2.3.2 Exemplo Viga Biapoiada .......................................................................................................... 20 
2.3.3 Exercícios ................................................................................................................................. 21 
3. MÉTODO DOS ESFORÇOS ............................................................................................................. 23 
3.1 SEQUÊNCIA DE CÁLCULO ....................................................................................................................... 23 
3.2 DESLOCAMENTOS ................................................................................................................................ 24 
3.3 EQUAÇÃO DE COERÊNCIA ...................................................................................................................... 24 
3.4 EXEMPLO ............................................................................................................................................ 24 
3.4.1 Primeira Solução ...................................................................................................................... 24 
3.4.2 Segunda Solução ...................................................................................................................... 26 
3.5 EXERCÍCIOS ......................................................................................................................................... 27 
4. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS .................................................................................................. 29 
4.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 29 
4.2 DISCRETIZAÇÃO ESTRUTURAL E GRAUS DE LIBERDADE ................................................................................ 29 
4.3 SISTEMA DE REFERENCIA ....................................................................................................................... 29 
4.4 TRELIÇA PLANA .................................................................................................................................... 30 
4.4.1 Discretização e Graus de Liberdade ......................................................................................... 30 
4.4.2 Conectividade .......................................................................................................................... 31 
4.4.3 Convenção de Sinais ................................................................................................................ 31 
4.4.4 Matriz de Rigidez ..................................................................................................................... 31 
Teoria das Estruturas 4 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc. 
4.4.5 Interpretação Física da Matriz de Rigidez ............................................................................... 32 
4.4.6 Rotação no Plano ..................................................................................................................... 33 
4.4.7 Equação Fundamental no Sistema Global ............................................................................... 34 
4.4.8 Montagem Matriz de Rigidez Global da Estrutura .................................................................. 35 
4.4.9 Vetor de Forças Nodais e Vetor de Deslocamentos ................................................................. 36 
4.4.10 Introdução das Condições de Contorno ................................................................................. 37 
4.4.11 Cálculo dasSolicitações nos Extremos das Barras ................................................................. 38 
4.4.12 Reações de Apoio ................................................................................................................... 38 
4.4.13 Roteiro de Cálculo .................................................................................................................. 38 
4.4.14 Exercícios ............................................................................................................................... 39 
4.5 VIGAS ................................................................................................................................................ 40 
4.5.1 Discretização e Graus de Liberdade ......................................................................................... 40 
4.5.2 Conectividade .......................................................................................................................... 40 
4.5.3 Convenção de Sinais ................................................................................................................ 40 
4.5.4 Matriz de Rigidez ..................................................................................................................... 41 
4.5.5 Vetor de Engastamento Perfeito ............................................................................................. 42 
4.5.6 Equação Fundamental do Equilíbrio ........................................................................................ 44 
4.5.7 Cálculo das Solicitações nos Extremos das Barras ................................................................... 44 
4.5.8 Reações de Apoio ..................................................................................................................... 44 
4.5.9 Exercícios ................................................................................................................................. 44 
4.6 PÓRTICO PLANO .................................................................................................................................. 46 
4.6.1 Discretização e Graus de Liberdade ......................................................................................... 46 
4.6.2 Conectividade .......................................................................................................................... 46 
4.6.3 Convenção de Sinais ................................................................................................................ 46 
4.6.4 Matriz de Rigidez no Sistema Local ......................................................................................... 47 
4.6.5 Rotação no Plano ..................................................................................................................... 47 
4.6.6 Vetor de Forças de Engastamento Perfeito ............................................................................. 49 
4.6.7 Equação Fundamental do Equilíbrio ........................................................................................ 49 
4.6.8 Cálculo das Solicitações nos Extremos das Barras ................................................................... 49 
4.6.9 Reações de Apoio ..................................................................................................................... 50 
4.6.10 Exercícios ............................................................................................................................... 51 
5. RESULTADOS EXERCÍCIOS ............................................................................................................. 52 
5.1 RESOLUÇÃO EXERCÍCIOS 2.1.3 ............................................................................................................... 52 
5.2 RESOLUÇÃO EXERCÍCIOS 2.2.4 ............................................................................................................... 52 
5.3 RESOLUÇÃO EXERCÍCIOS 2.3.3 ............................................................................................................... 53 
5.4 RESOLUÇÃO EXERCÍCIOS 3.5 .................................................................................................................. 53 
5.5 RESOLUÇÃO EXERCÍCIOS 4.4.14 ............................................................................................................. 56 
5.6 RESOLUÇÃO EXERCÍCIOS 4.5.7 ............................................................................................................... 56 
5.7 RESOLUÇÃO EXERCÍCIOS 4.6.10 ............................................................................................................. 58 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas 5 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
Lista de Figuras 
Figura 1 - Tabela de Integração de Diagramas. ........................................................................................................... 19 
Figura 2 - Método dos Esforços. .................................................................................................................................. 23 
Figura 3 - Graus de Liberdade no Plano....................................................................................................................... 29 
Figura 4 - Discretização de uma Treliça Plana. ............................................................................................................ 30 
Figura 5 - Graus de Liberdade de uma Treliça Plana. .................................................................................................. 30 
Figura 6 - Sentido Positivo das Forças em Barra de Treliça Plana. .............................................................................. 31 
Figura 7 - Barra de Treliça Plana. ................................................................................................................................. 31 
Figura 8 - Coeficientes de Rigidez do Primeiro Grau de Treliça Plana. ........................................................................ 32 
Figura 9 - Rotação de Vetores. .................................................................................................................................... 33 
Figura 10 - Forças Nodais e Deslocamentos Nodais. ................................................................................................... 36 
Figura 11 - Discretização de Vigas ............................................................................................................................... 40 
Figura 12 - Graus de Liberdade de Vigas ..................................................................................................................... 40 
Figura 13 - Sentido Positivo das Forças em Barra de Viga. .......................................................................................... 40 
Figura 14 - Interpretação Matriz de Rigidez. ............................................................................................................... 41 
Figura 15 - Reações de Apoio Vigas Biengastadas. ...................................................................................................... 42 
Figura 16 - Cálculo Reações de Apoio Vigas Biengastadas. ......................................................................................... 43 
Figura 17 - Discretização de Pórticos Planos e Graus de Liberdade de Pórticos Planos.............................................. 46 
Figura 18 - Convenção de Sinais do Pórtico Plano ....................................................................................................... 46 
Figura 19 - Reações de Apoio Pórtico Plano. ............................................................................................................... 49 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas 6 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.1. Apresentação 
1.1 Ementa 
Deslocamentos em estruturas isostáticas. Resolução de estruturas hiperestática das Estruturas: 
Método das forças, formulação algébrica e matricial; método dos deslocamentos, formulação matricial e 
caso particular. 
1.2 Carga Horária Total 
72 horas-aula 
1.3 Objetivos 
Obter conhecimento mais aprofundado com relação a análise dos deslocamentos e na resolução 
de estruturas hiperestática das estruturas. 
1.4 Metodologia 
Aulas expositivas e dialogadas. 
1.5 Critérios de Avaliação 
Critérios de avaliação para as provas escritas: 
- Clareza e objetividade nas respostas, organização da prova, capacidade de interpretação e 
habilidade de resolver os exercícios. 
- Domínio e/ou identificação de conceitos científicos, capacidade de relacionar os conceitos, 
capacidade aplicar conceitos científicos em situações concretas, raciocínio lógico, coerência com o 
tempo estipulado para resolução da prova. 
- A obtenção da resposta final correta não garante integralmente o valor da questão. 
 
Critérios de avaliação para as participação: 
- Participação em sala de aula; 
- Desenvolvimento de atividades em sala de aula e fora dela. 
1.6 Bibliografia Básica 
DUARTE FILHO, Luiz Alberto. Teoria das estruturas II: ciências exatas. Itajaí, SC : Univali Ed, 2007. 
205 p, il. (Raízes, n.9). 
 
SORIANO, Humberto Lima; LIMA, Silvio de Souza. Análise de estruturas: método das forças e 
método dos deslocamentos.2. ed. atual. Rio de Janeiro : Ciência Moderna, 2006. xiv, 308 p, il. 
 
SORIANO, Humberto Lima; LIMA, Silvio de Souza. Análise de estruturas: v.1: método das forças e 
método dos deslocamentos. Rio de Janeiro : Ciência Moderna, 2004. 
 
Teoria das Estruturas 7 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
SUSSEKIND, Jose Carlos. Curso de análise estrutural.3. ed. Porto Alegre : Globo, 1979. 3v, il. 
(Enciclopédia técnica universal Globo). 
1.7 Bibliografia Complementar 
BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON, E. Russell (Elwood Russell). Resistência dos materiais.3. ed. 
São Paulo : Makron Books, c1996. xx, 1255p, il. 
 
CAMPANARI, Flávio Antônio. Teoria das Estruturas. Rio de Janeiro : Guanabara Dois, 1985. 
 
GERE, James M; WEAVER JUNIOR, William. Analise de estruturas reticuladas. Rio de Janeiro : 
Guanabara, 1987. 443p, il. 
 
MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro : 
Elsevier, Campus, 2010. xxviii, 524 p, il. 
 
MCCORMAC, Jack C. Análise estrutural: usando métodos clássicos e métodos matriciais.4. ed. Rio 
de Janeiro : LTC, 2014. xvii, 482 p, il. 
 
SORIANO, Humberto Lima. Análise de estruturas: formulação matricial e implementação 
computacional. Rio de Janeiro : Ciência Moderna, 2005. x, 346 p, il. 
Curriculum resumido do professor 
Luis Carlos Seelbach 
Engenheiro Civil (FURB, 1996); MSc. (UFSC, 2004). É professor da Universidade Regional de 
Blumenau (FURB), nas disciplinas de Teoria das Estruturas e de Concreto Armado e foi professor da 
Universidade do Vale do Itajaí (UNIVALI), nas disciplinas de Teoria das Estruturas. E atua como 
Engenheiro Civil na área de projeto estrutural. 
 
Teoria das Estruturas 8 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
2. Deslocamento em Estruturas 
Isostáticas 
2.1 Equação Diferencial da Linha Elástica 
Devemos recordar que a curvatura da superfície neutra pode ser representada, no regime 
elástico, por: 
 
 
�� = �����	 (1) 
 
E que a equação a seguir fornece a curvatura de uma curva plana em um ponto Q(x,y) qualquer: 
 
 
�� = 
��
��
���
�
�����/� (2) 
 
Onde nesta equação 
���� e ������ são respectivamente a primeira e segunda derivadas da função y(x) 
que representa a curva. Que no caso de vigas a declividade 
���� é muito pequena, e por isso podemos 
dizer que: ������� = 0. Por isso podemos reescrever a equação 2 da seguinte maneira: 
 
 
�� = ������ (3) 
 
Substituindo o valor de 
�� da equação 1 na 3 obteremos: 
 
 
������ = �����	 (4) 
 
A qual é uma equação diferencial linear de segunda ordem, que rege o comportamento da linha 
elástica. 
No caso da viga possuir seção transversal variável, devemos expressar o produto EI como uma 
função de x antes de fazer à integração da equação 4. E no caso de vigas prismáticas, que é o caso de 
nosso estudo o valor de é EI constante. Em função disto obtemos a seguinte expressão: 
 
 
������ ∗ �� = ���� 
 
 
���� ∗ �� = ����� �� + !� (5) 
 
Onde !� é uma constante de integração. Vamos chamar "��� o ângulo, medido em radianos, que 
a tangente à curva elástica no ponto Q forma com a horizontal. E como este ângulo é muito pequeno 
podemos dizer que: �#�� = $%" ≅ "��� 
Em função disto, podemos reescrever a equação5: 
Teoria das Estruturas 9 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
 �� ∗ "��� = ����� �� + !� (6) 
 
Integrando a equação 5, obteremos: 
 
 �� ∗ # = �'�����	�� + !�) �� + !� 
 
 �� ∗ # = �'�����	��) �� + !�� + !� (7) 
 
Onde !� é a segunda constante de integração. Após a determinação das constantes de integração !� e !�, a equação 6 define a declividade da viga em qualquer ponto Q e a equação 7 a deflexão da viga 
em qualquer ponto Q. 
 
As constantes de integração !� e !�, são determinadas a partir das condições de contorno da viga 
em estudo, neste primeiro momento iremos apenas estudar: as vigas em balanço, as vigas 
simplesmente apoiadas e as vigas simplesmente apoiadas com balanço. 
 
2.1.1 Exemplo Viga em Balanço 
A viga AB tem seção transversal uniforme, pede-se para determinar a equação da linha elástica, o 
deslocamento vertical (deflexão) e a declividade no ponto A. 
 
 
 
O valor do momento em qualquer ponto da viga será dado pela equação 
 
 ���� = −+ ∗ � (8) 
 
Substituindo o valor do momento da equação 8 na equação 4, obtém: 
 
 
������ ∗ �� = −+ ∗ � 
 
Integrando-se a equação obtida, chega-se: 
 
 
���� ∗ �� = − ��+ ∗ �� + !� (9) 
 
As condições de contorno da viga, em estudo, na extremidade B são: x=L, y=0 e θ=0, substituindo 
esses valores na equação 9 determina-se o valor de !�: 
 
 !� = �� ∗ + ∗ ,� 
 
Que é substituído na equação 9, dá: 
 
 
���� ∗ �� = − �� ∗ + ∗ �� + �� ∗ + ∗ ,� (10) 
 
Integrando-se esta equação encontra-se: 
 
Teoria das Estruturas 10 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
 �� ∗ # = − �- ∗ + ∗ �. + �� ∗ + ∗ ,� ∗ � + !� (11) 
 
Aplicando-se novamente as condições de contorno na equação 11, encontramos !�: 
 
 0 = − �- ∗ + ∗ ,. + �� ∗ + ∗ ,� ∗ , + !� 
 
 !� = − �. ∗ + ∗ ,. 
 
Substituindo o valor de !� na equação 11, obtemos a equação da linha elástica, que é: 
 
 �� ∗ # = − �- ∗ + ∗ �. + �� ∗ + ∗ ,� ∗ � − �. ∗ + ∗ ,. 
 
 # = /-�	 ∗ �−�. + 3,�� − 2,.� (12) 
 
A deflexão e a declividade máximas ocorrem no ponto A, logo em x=0, estas são obtidas 
substituindo-se x nas equação 12 e 10 respectivamente, obtendo-se: 
 
 #2 = − /3�.�	 e "2 = /3���	 
 
2.1.2 Exemplo Viga Biapoiada 
A viga AB tem seção transversal uniforme, pede-se para determinar a equação da linha elástica e 
a deflexão máxima (flecha). 
 
 
 
O valor do momento em qualquer ponto da viga será dado pela equação 
 
 ���� = ��4 ∗ , ∗ � − ��4 ∗ �� (13) 
 
Substituindo o valor do momento da equação 13 na equação 4, obtém-se: 
 
 
������ ∗ �� = �� ∗ 4 ∗ , ∗ � − �� ∗ 4 ∗ �� 
 
Integrando-se a equação obtida, chega-se: 
 
 
���� ∗ �� = �5 ∗ 4 ∗ , ∗ �� − �- ∗ 4 ∗ �. + !� (14) 
Integrando-se a equação 14, obtemos: 
 
 # ∗ �� = ��� ∗ 4 ∗ , ∗ �. − ��5 ∗ 4 ∗ �5 + !� ∗ � + !� (15) 
 
As condições de contorno da viga, em estudo, na extremidade A são: x=0 e y=0, e na extremidade 
B: x=L e y=0. Substituindo na equação 15 as condições de contorno de A determina-se o valor de !�: 
 
Teoria das Estruturas 11Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
 0 ∗ �� = ��� ∗ 4 ∗ , ∗ 0. − ��5 ∗ 4 ∗ 05 + !� ∗ 0 + !� 
 !� = 0 
 
Substituindo na equação 15 as condições de contorno de B determina-se o valor de !�: 
 
 0 ∗ �� = ��� ∗ 4 ∗ , ∗ ,. − ��5 ∗ 4 ∗ ,5 + !� ∗ , + 0 
 
 !� = − ��5 ∗ 4 ∗ ,. 
 
Substituindo os valores de !� e !� na equação 15, obtemos a equação da linha elástica, que é: 
 
 # ∗ �� = ��� ∗ 4 ∗ , ∗ �. − ��5 ∗ 4 ∗ �5 − ��5 ∗ 4 ∗ ,. ∗ � 
 
ou 
 
 # = 6�5�	 ∗ �2 ∗ , ∗ �. − �5 − ,. ∗ �� (16) 
 
Substituindo na equação 14 o valor de !�, podemos determinar que o inclinação da viga será zero 
no meio da viga � = 3�. 
 
 
���� ∗ �� = �5 ∗ 4 ∗ , ∗ �� − �- ∗ 4 ∗ �. − ��5 ∗ 4 ∗ ,. 
 
 0 = �5 ∗ 4 ∗ , ∗ �� − �- ∗ 4 ∗ �. − ��5 ∗ 4 ∗ ,. 
 
 � = 3� 
 
Substituindo o valor de � encontrado na equação 16, obteremos: 
 
 #7 = 6�5�	 ∗ 82 ∗ , ∗ �3��. − �3��5 − ,. ∗ �3��9 
 
 #7 = 6�5�	 ∗ �2 ∗ , ∗ 3�: − 3;�-− 3;� � 
 
 #7 = − <63;.:5�	 
 
Que é a equação da flecha máxima para vigas biapoiadas com carga distribuída uniformemente. 
 
Teoria das Estruturas 12 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
2.1.3 Exercícios 
a) A viga AC tem seção transversal uniforme, pede-se a deflexão no meio dos dois tramos. 
 
Sabendo que Ay=15,625kN. 
É uma estrutura hiperestática, mas como conhece-se umas das reações o problema se torna isostático. 
 
b) Calcular o deslocamento vertical e a declividade no meio e na extremidade livre da viga em balanço 
indicada abaixo. Sabendo que a rigidez flexional é de 20.000kN.m². 
 
 
c) Calcular a deflexão em baixo da carga concentrada e a declividade nos apoios da viga biapoiada 
indicada abaixo. Sabendo que a seção transversal da viga é de 20 x 50cm e que o modulo de elasticidade 
do material é de 35 GPa. (1GPa = 1x106 kN/m²) 
 
 
d) Calcular a deflexão e declividade nos apoios A e B, no ponto C e no meio da viga biapoiada indicada 
abaixo. Sabendo que EI = 25x106 kN.m². 
 
 
e) Calcular o deslocamento vertical e a declividade nos pontos A, B, C e D da viga abaixo. Sabendo que 
todas as barras possuem o mesmo EI = 65x108 kN.m². 
 
 
f) Calcular a declividade e o deslocamento vertical nos pontos B e meio do tramo CD. Sabendo que todas 
as barras possuem modulo de elasticidade longitudinal de 21 GPa e seção transversal de 15 x 60cm. 
 
 
 
Teoria das Estruturas 13 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
2.2 Princípio dos Trabalhos Virtuais 
 
Em uma estrutura elástica, em equilíbrio, a soma dos trabalhos virtuais provocados pelos esforços 
externos ativos, mais a soma dos trabalhos virtuais provocados pelas reações de apoio, é igual a soma 
dos trabalhos virtuais provocados pelos esforços internos solicitantes. 
 
 ∑+> ∗ ? + ∑@ ∗ ?A = ∑� ∗ ∆ (17) 
onde: δ = deformação; 
 δR = deformação dos apoios; 
 +> = cargas virtual; 
 @ = reações de apoio; 
 
Fazendo δR = 0, teremos: 
 
 ∑+> ∗ ? = ∑� ∗ ∆ (18) 
 
 +> ∗ ? = CD ∗ �E + F> ∗ �G +�D ∗ �H +�DI ∗ �J (19) 
 
Da resistência dos Materiais sabemos: 
Lei de Hooke: �E = K�∗2 ∗ �� e �G = LM∗2 ∗ ℵ ∗ �� 
 
Equação Elástica: �H = ��∗	 ∗ �� e �J = �OM∗P ∗ �� 
 
Onde: A = área da seção transversal da barra; E = módulo de elasticidade longitudinal da barra; G = módulo de elasticidade transversal da barra; I = momento de inércia da seção da barra; J = momento de inércia polar da seção da barra; ℵ = fator de forma que leva em consideração a distribuição de tensões parabólica, dependendo 
da forma da seção. 
 
 
2.2.1 Método da Carga Unitária 
Que é um caso particular do Principio dos Trabalhos Virtuais, no qual se aplica dois sistemas de 
carregamento distintos sobre a estrutura. 
 
a) Sistema Real, que é formado pelas cargas reais que atuam sobre a estrutura; 
b) Sistema Virtual, formado por uma carga virtual unitária aplicada na direção do deslocamento a 
ser determinado. 
 
Fazendo +> = 1 daN e substituindo as diferenciais dos deslocamentos em 19, teremos: 
 ? = KD∗K�∗2 ∗ �� + L>∗LM∗2 ∗ ℵ ∗ �� + �D∗��∗	 ∗ �� + �DO∗�OM∗P ∗ �� 
 
Considerando o comprimento total da barra, teremos o deslocamento total. 
 ? = � KD∗K�∗2 ∗ ��EV + � L>∗LM∗2 ∗ ℵ ∗ ��EV + � �D∗��∗	 ∗ ��EV + � �DO∗�OM∗P ∗ ��EV (20) 
Teoria das Estruturas 14 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
 
Equação que é empregada para determinar os deslocamentos em qualquer ponto da estrutura. 
Em alguns tipos de estrutura é possível se desconsiderar alguns dos quatro termos da equação 20, 
como por exemplo: 
Em vigas esbeltas e pórticos, podemos desprezar as deformações por cortante e normalmente 
ainda as deformações em função dos esforços normais e momentos torçores também são pouco 
significativas, ficando a equação 20 restrita a: 
 
 ? = � �D∗��∗	 ∗ ��EV (21) 
 
Em grelhas com dimensões usuais, normalmente a equação 20 fica sendo: 
 
 ? � � �D∗��∗	 ∗ ��
E
V �
�DO∗�O
M∗P ∗ ��
E
V (22) 
 
E no caso das treliças, normalmente apenas os esforços normais são significativos, por isso a 
equação fica sendo: 
 
 ? � � KD∗K�∗2 ∗ ��
E
V (23) 
 
 
2.2.2 Roteiro para Determinação do Deslocamento Total da Estrutura 
a) Aplica-se na estrutura estudada as cargas reais e determinamos as equações de seus 
diagramas de esforços internos solicitantes; 
 
b) Aplica-se na estrutura descarregada, a carga virtual unitária, na direção do deslocamento que 
se pretende determinar, determinamos as equações de seus diagramas de esforços internos 
solicitantes; 
c) A integral do produto das equações obtidas nos itens a) e b), fornecendo o deslocamento 
pretendido; 
 
d) Se o deslocamento for positivo o seu sentido é o mesmo da carga unitária. 
 
2.2.3 Exemplo Viga em Balanço 
Determine o valor da flecha na extremidade livre da viga abaixo. 
 
 
� � W∗G
�
�� →
V,��∗V,�V�
�� → � � 8�10
\<]5 
 
 
Dados: 
Seção: 12 x 20 cm; 
E= 21.000.000 kN/m²; 
G= 8.400.000 kN/m² 
N = 1 
Teoria das Estruturas 15 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
Diagramas de Esforços Internos Solicitantes – Carga Real (da direita para esquerda) 
Valor de x � = −800 ∗ � F � *800 C � 0 �I � 0 
0 0 kN.m -800 kN 0 0 
2 -1.600 kN.m -800 kN 0 0 
Diagramas 
 
 
Carga Unitária: 
 
 
Diagramas de Esforços Internos Solicitantes – Carga Virtual (da direita para esquerda) 
Valor de x � = −1 ∗ � F � *1 C � 0 �I � 0 
0 0 kN.m -1 kN 0 0 
2 -2 kN.m -1 kN 0 0 
Diagramas 
 
 
? � � KD∗K�∗2 ∗ ��
E
V �
L>∗L
M∗2 ∗ N ∗ ��
E
V �
�D∗�
�∗	 ∗ ��
E
V �
�DO∗�O
M∗P ∗ ��
E
V 
? � � V∗V�∗2 ∗ ��
�
V �
\:VV∗\�
:.5VV.VVV∗V,V�5 ∗ 1 ∗ ��
�
V �
�\:VV∗��∗�\��
��.VVV.VVV∗V,VVVV: ∗ ��
�
V �
V∗V
M∗P ∗ ��
�
V 
? � \:VV∗\�:.5VV.VVV∗V,V�5 ∗ � ��
�
V 
:VV
��.VVV.VVV∗V,VVVV:� �
� ∗ ���V 
? � 3,97�10\.a�bV� 4,76�10\e f�
�
. gV
�
 
? � 3,97�10\< ∗ �2 * 0� 0,476 ∗ ��
�\V�
. � 
? � 0,00794 1,269 
 
? � 1,277	h] 
 
 
2.2.4 Exemplo Viga Biapoiada 
Determine o deslocamento angular da barra abaixo, junto ao apoio da esquerda. 
 
 
 	
� � i ∗ j
.
12 →
0,12 ∗ 0,20.
12 → � � 8�10
\<]5	
 
 
Dados: 
Seção: 12 x 20 cm; 
E= 21.000.000kN/m² 
Teoria das Estruturas 16 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
Diagramas de Esforços Internos Solicitantes – Carga Real (da direita para esquerda) 
Valor de x � = 4 ∗ � − 2 ∗ ��2 F = −4 + 2 ∗ � C = 0 �I = 0 
0 0 kN.m -4 kN 0 0 
4 0 kN.m 4 kN 0 0 
Diagramas 
 
 
 
Carga Unitária: 
 
Diagramas de Esforços Internos Solicitantes – Carga Virtual (da direita para esquerda) 
Valor de x � = 14 ∗ � F = − 14 C = 0 �I = 0 
0 0 kN.m -1/4 kN 0 0 
4 1 kN.m -1/4 kN 0 0 
Diagramas 
 
 ? = � �D∗��∗	 ∗ ��EV ? = � �5∗�\�∗�� �k �∗� 5k ∗���.VVV.VVV∗V,VVVV: ∗ ��5V ? = ���.VVV.VVV∗V,VVVV:∗ f� �� ∗ ��5V − � ��5 ∗ ��5V g ? = 5,95�10\5 ∗ 
f��. gV5 − �5 ∗ f�;5 gV5� 
? = 5,95�10\5 ∗ f�5�\V�. � −
�
5 ∗ �
5;\V;
5 �g ? = 0,00317	mn� 
 
 
2.2.5 Exercícios 
a) Calcular a deflexão e a declividade no meio e na extremidade livre da viga em balanço indicada 
abaixo. Sabendo que a rigidez flexional é de 20.000kN.m². 
 
 
b) Calcular a deflexão em baixo da carga concentrada e a declividade nos apoios da viga biapoiada 
indicada abaixo. Sabendo que a seção transversal da viga é de 20 x 50cm e que o modulo de elasticidade 
do material é de 35 GPa. (1GPa = 1x106 kN/m²) 
 
 
Teoria das Estruturas 17 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
c) Calcular o deslocamento vertical e declividade nos apoios A e B, no ponto C e no meio da viga 
biapoiada indicada abaixo. Sabendo que EI = 25x106 kN.m². 
 
 
d) Determine o deslocamento horizontal do apoio da direita, sabendo que E.I = 2x105kN.m². 
 
 
e) Determine o deslocamento vertical do ponto B, sabendo que todas as barras tem a mesma seção 
transversal e que são constituídas pelo mesmo material. A= 225 cm² e E = 210.000 MPa. 
 
f) Calcular a deflexão e a declividade nos pontos A, B e C do pórtico abaixo. Sabendo que todas as barras 
possuem o mesmo EI = 65x108 N.m². 
 
 
Teoria das Estruturas 18 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
2.3 Princípio dos Trabalhos Virtuais Tabelado 
 
Para determinação dos deslocamentos pelo uso de tabelas utilizamos a seguinte tabela, para 
calcular a equação ? = � �D∗��∗	 ∗ ��EV . (21) 
Teoria das Estruturas 19 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
Figura 1 - Tabela de Integração de Diagramas. 
2.3.1 Exemplo Viga em Balanço 
Determine o valor da flecha na extremidade livre da viga abaixo. 
 � = W∗G��� → V,��∗V,�V��� → � � 8�10\<]5 
 
Diagramas de Esforços Internos Solicitantes – Carga Real (da direita para esquerda) 
Valor de x � = −800 ∗ � F � *800 C � 0 �I � 0 
0 0 kN.m -800 kN 0 0 
2 -1.600 kN.m -800 kN 0 0 
Diagramas 
 
 
Carga Unitária: 
 
 
Diagramas de Esforços Internos Solicitantes – Carga Virtual (da direita para esquerda) 
Valor de x � = −1 ∗ � F � *1 C � 0 �I � 0 
0 0 kN.m -1 kN 0 0 
2 -2 kN.m -1 kN 0 0 
Diagramas 
 
 
 
? ∗ �� � + 
 
? ∗ �� � �. ∗ �D ∗ � ∗ o 
? ∗ �� � �. ∗ *1.600 ∗ *2 ∗ 2 
? � �. ∗
\�.-VV∗\�∗�
��.VVV.VVV∗V,VVVV: → ? � 1,2698h] 
 
 
Dados: 
Seção: 12 x 20 cm; 
E= 21.000.000 kN/m²; 
G= 8.400.000 kN/m² 
N = 1 
Teoria das Estruturas 20 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
2.3.2 Exemplo Viga Biapoiada 
Determine o deslocamento angular da barra abaixo, junto ao apoio da esquerda. 
 � = i ∗ j.12 → 0,12 ∗ 0,20.12 → � � 8�10\<]5 
 
 
 
Diagramas de Esforços Internos Solicitantes – Carga Real (da direita para esquerda) 
Valor de x � = 4 ∗ � * 2 ∗ ��2 F � *4 2 ∗ � C � 0 �I � 0 
0 0 kN.m -4 kN 0 0 
4 0 kN.m 4 kN 0 0 
Diagramas 
 
 
 
Carga Unitária: 
 
Diagramas de Esforços Internos Solicitantes – Carga Virtual (da direita para esquerda) 
Valor de x � = 14 ∗ � F � *14 C � 0 �I � 0 
0 0 kN.m -1/4 kN 0 0 
4 1 kN.m -1/4 kN 0 0 
Diagramas 
 
 
? ∗ �� � + 
 
? ∗ �� � �. ∗ �D ∗ � ∗ o 
? � �. ∗
5∗�∗5
��.VVV.VVV∗V,VVVV: 
? � 0,00317mn� 
 
 
Dados: 
Seção: 12 x 20 cm; 
E= 21.000.000kN/m² 
Teoria das Estruturas 21 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
2.3.3 Exercícios 
a) Calcular a deflexão e a declividade no meio e na extremidade livre da viga em balanço indicada 
abaixo. Sabendo que a rigidez flexional é de 20.000kN.m². 
 
 
b) Calcular o deslocamento vertical em baixo da carga concentrada e a declividade nos apoios da viga 
biapoiada indicada abaixo. Sabendo que a seção transversal da viga é de 20 x 50cm e que o modulo de 
elasticidade do material é de 35 GPa. (1GPa = 1x106 kN/m²) 
 
 
c) Calcular a deflexão e declividade nos apoios A e B, no ponto C e no meio da viga biapoiada indicada 
abaixo. Sabendo que EI = 25x106 kN.m². 
 
 
d) Determine o deslocamento horizontal do apoio da direita, sabendo que E.I = 2x105kN.m². 
 
 
 
Teoria das Estruturas 22 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
e) Calcular o deslocamento vertical e a declividade nos pontos A, B e C do pórtico abaixo. Sabendo que 
todas as barras possuem o mesmo EI = 65x108 N.m². 
 
 
f) Calcular o deslocamento vertical e declividade nos apoios A e B, no ponto C e no meio da viga 
biapoiada indicada abaixo. Sabendo que EI = 25x106 kN.m². 
 
 
g) Calcular a deflexão no ponto B e na posição x= 5,0m da viga biapoiada indicada abaixo. Sabendo que 
EI = 30x106 kN.m². 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas 23 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
3. Método dos Esforços 
3.1 Sequência de Cálculo 
a) Determina-se o grau de hiperestaticidade da estrutura; 
b) Escolhem-se as incógnitas, eliminado os vínculos e obtendo a estrutura fundamental; 
c) Determinam-se os estados elásticos, aplicando na estrutura fundamental a carga P(real), X1=1, 
X2=1,..., Xn=1, obtendo-se os deslocamentos, que serão os coeficientes das equações de coerência; 
d) Resolvem-se as equações, obtendo-se as incógnitas hiperestáticas (X1, X2,..., Xn); 
e) Por superposição de efeitos, ou substituição dos vínculos pelos valores das incógnitas, 
determinam-se os esforços na estrutura. 
 
Figura 2 - Método dos Esforços. 
 
 
Teoria das Estruturas 24 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
3.2 Deslocamentos 
δi,j – i é a direção da incógnita hiperestática, em que se realiza o deslocamento; 
 – j indica o esforço que esta provocando o deslocamento, j=0 → para o carregamento real (P) e 
j=1,2,3,...,n → para X1=1, X2=1,..., Xn=1. 
 
Logo: δ4,7 → é o deslocamento na direção de X4, provocado por X7=1; 
 δ6,0 → é o deslocamento na direção de X6, provocado pela carga real; 
 δ3,3 → é o deslocamento na direção de X3, provocado por X3=1. 
 
3.3 Equação de Coerência 
 
?�,� ∗ p� + ?�,� ∗ p� + ?�,V = 0?�,� ∗ p� + ?�,� ∗ p� + ?�,V = 0 		→ 		 p�p� (24) 
 
3.4 Exemplo 
Traçar o diagrama de momento fletor para a viga abaixo, adotando EI=1N.m2. 
 
3.4.1 Primeira Solução 
Tirando apoio B. 
 
 
Diagrama de momento referente à carga X1=1: M1 �� = 1 ∗ 6 → �� = 6C. ] 
 
 
Teoria das Estruturas 25 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
Diagrama de momento referente à carga real: M0 �V = −q ∗ o ∗ E� → �V � *800 ∗ 6 ∗ 3 → �V � *14.400C.] 
 
 
Determinação da deformação δ1,1 – integração de M1 com M1. 
 
?�,� ∗ �� � + 
 ?�,� ∗ �� � �. ∗ � ∗�D ∗ o → ?�,� ∗ 1 � �. ∗ 6 ∗ 6 ∗ 6 → ?�,� � 72 
 
Determinação da deformação δ1,0 – integração de M0 com M1. 
 
?�,V ∗ �� � �5 ∗ � ∗�D ∗ o → ?�,V ∗ 1 �
�
5 ∗ *14.400 ∗ 6 ∗ 6 → ?�,V � *129.600 
 
Equação de coerência: 
 
?�,� ∗ p� ?�,V � 0 → 72 ∗ p� * 129.600 � 0 → p� � 1.800 
 
Traçado diagrama de momento fletor: 
 
 
� � 1.800 ∗ � * 800 ∗ �
�
� F � 1.800 * 800 ∗ � � 0 → � � 2,25 
 
x M (N.m) 
 
0 0 
2 2.000 
2,25 2.025 
3 1.800 
4 800 
5 -1.000 
6 -3.600 
 
 
Teoria das Estruturas 26 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
3.4.2 Segunda Solução 
Convertendo a apoio A em rotulado fixo. 
 
 
 
Diagrama de momento referente à carga X1=1: M1 �� = −1C. ] 
 
Diagrama de momento referente à carga real: M0 
�V = q. E�: → �V = 800. -�: → �V = 3600C.] 
 
 ?�,� ∗ �� = �. ∗ � ∗ �D ∗ o → ?�,� ∗ 1 = �. ∗ 1 ∗ 1 ∗ 6 → ?�,� = 2 
 ?�,V ∗ �� = �. ∗ � ∗ �D ∗ o → ?�,V ∗ 1 = �. ∗ 3.600 ∗ −1 ∗ 6 → ?�,V = −7.200 
 
Equação de coerência: 
 ?�,� ∗ p� + ?�,V = 0 → 2 ∗ p� − 7.200 = 0 → p� = 3.600 
 
Traçado diagrama de momento fletor: 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas27 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
3.5 Exercícios 
a) Traçar diagramas de esforços internos solicitantes da estrutura abaixo, sabendo que o modulo de 
elasticidade longitudinal do material é de 25,0x106 kN/m² e que o momento de inércia é de 2,0x10-4m4. 
 
 
b) Traçar diagramas de esforços internos solicitantes da estrutura abaixo, sabendo que a rigidez 
flexional é de 1,0 kN.m². 
 
 
c) Traçar diagramas de esforços internos solicitantes da estrutura abaixo, sabendo que a rigidez flexional 
é de 1.000,0 kN.m². 
 
 
d) Traçar diagramas de esforços internos solicitantes para a viga abaixo, adotando EI=1N.m2. 
 
 
e) Traçar diagramas de esforços internos solicitantes para o pórtico abaixo, adotando EI=1N.m2. 
 
 
 
Teoria das Estruturas 28 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
f) Traçar diagramas de esforços internos solicitantes para o pórtico abaixo, adotando EI=1N.m2. 
 
 
g) Traçar diagramas de esforços internos solicitantes para a viga abaixo, adotando EIAB= 25x10
6 kN.m2e 
EIBC= 35x10
6 kN.m2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas 29 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
 
4. Método dos Deslocamentos 
4.1 Introdução 
Conhecido também como Método da Rigidez ou das Deformações é o processo mais utilizado 
para análise computacional de estruturas em barras. 
Isto ocorre, pois o Método dos Deslocamentos possui apenas um sistema possível ao contrário do 
Método dos Esforços que possuía vários sistemas possíveis. 
No Método dos Deslocamentos fixam-se todos os graus de liberdade possíveis da estrutura. Com 
isso as incógnitas do processo passam a ser os deslocamentos nos graus de liberdade sem condições de 
contorno. E para resolver estas incógnitas, aplicamos as equações de equilíbrio. 
Nesta disciplina iremos apresentar a solução na forma matricial, pois esta forma permite uma 
generalização imediata a estruturas complexas. 
 
4.2 Discretização Estrutural e Graus de Liberdade 
Discretizar significa definir um número finitos de pontos (nós), cujos deslocamentos possam 
representar o comportamento de toda a estrutura. 
Definem-se os graus de liberdade como sendo as direções segundo as quais ocorrem estes 
deslocamentos e podem atuar forças ou momentos. A quantidade de graus de lidberdade de uma 
estrutura define o número de equações que constituem o problema. 
Os graus de liberdade podem ser de dois tipos: translações, associados a forças e de rotação, 
associados a momentos. Uma barra de pórtico plano possui seis graus de liberdade, apresentados na 
figura abaixo. 
 
Figura 3 - Graus de Liberdade no Plano. 
 
Onde as direções apresentadas são os sentidos positivos dos deslocamentos e dos esforços nas 
extremidades das barras. 
 
4.3 Sistema de Referencia 
Uma estrutura reticulada é representada por elementos de barras que se interligam em nós. 
Onde cada barra (i) é representada por dois pontos, nó inicial (j) e nó final (k). 
Os sistemas de referência são estabelecidos em dois níveis: global e local. 
Teoria das Estruturas 30 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
No sistema de eixos Globais (X, Y), referencia-se a estrutura como um todo. Ficam referenciadas 
no sistema global as grandezas diretamente vinculadas aos nós, como coordenadas, deslocamentos, 
reações e cargas nodais. 
No sistema Local (XL, YL), que é associado a cada barra, cuja origem é o nó inicial da barra e o eixo 
XL coincide com o eixo da barra, sendo orientado na direção do nó final. O eixo YL coincide com o eixo 
principal de inércia da seção transversal da barra. E o eixo ZL coincide com o outro eixo principal de 
inércia. Ficam referenciadas ao sistema local as grandezas inerentes à barra, como momentos de 
inércia, as cargas nelas aplicadas e as solicitações. 
 
4.4 Treliça Plana 
As treliças se diferenciam dos demais modelos, principalmente, por dois aspectos: as ligações 
entre as barras são todas rotuladas e o carregamento é constituído, exclusivamente, por forças 
concentradas nos nós. 
 
4.4.1 Discretização e Graus de Liberdade 
Para o caso da treliça plana consideram-se apenas dois graus de liberdade por nó, que 
correspondem às duas translações possíveis. E em cada barra de treliça existe apenas uma solicitação 
possível, esforço normal. 
Na figura abaixo ilustra-se a discretização de uma treliça plana, onde as peças e nós são 
numerados de maneira aleatória. 
 
Figura 4 - Discretização de uma Treliça Plana. 
 
Com os nós da treliça numerados pode-se representar os graus de liberdade da treliça. 
 
Figura 5 - Graus de Liberdade de uma Treliça Plana. 
 
 
Teoria das Estruturas 31 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
4.4.2 Conectividade 
Definida a numeração dos nós e barras estabelece-se a conectividade das barras. Onde se 
determina qual é o nó inicial e o final de cada barra, que deverá ser respeitada até o final da resolução. 
 
Barra Nó inicial Nó final 
1 2 1 
2 1 3 
3 2 3 
 
4.4.3 Convenção de Sinais 
 
Figura 6 - Sentido Positivo das Forças em Barra de Treliça Plana. 
 
Onde: r�	s3 e r�	t3 - força no sentido do eixo local x, no nó inicial (j) e final (k), respectivamente; 
 r�	s3 e r�	t3 - força no sentido do eixo local y, no nó inicial (j) e final (k), respectivamente. 
 
4.4.4 Matriz de Rigidez 
Sendo a seguinte barra da treliça: 
 
Figura 7 - Barra de Treliça Plana. 
 
Sendo L seu comprimento, o alongamento, que corresponde a sua deformação elástica, será 
 
 ∆, = u�	t3 − u�	s3 (25) 
 
Onde: u�	t3 - é o deslocamento do nó k, na direção de xL e u�	s3 - é o deslocamento do nó j, na 
direção de xL. 
Como para barras de treliça a única solicitação compatível é força axial e supondo material 
elástico-linear, pode-se escrever: 
 
 v = � ∗ w → x2 = � ∗ ∆33 → r = �∗23 ∗ ∆, (26) 
 
Teoria das Estruturas 32 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
Considerando-se a barra submetida a uma força de tração, tem-se para o nó j e nó k, 
respectivamente: 
 
 r�	s3 = − �∗23 ∗ ∆,y	 (27) 
 r�	t3 = �∗23 ∗ ∆,y 
 
Substituindo-se ∆, nas equações acima, tem-se: 
 
 r�	s3 = − �∗23 ∗ zu�	t3 − u�	s3 { (28) 
 r�	t3 = �∗23 ∗ zu�	t3 − u�	s3 { 
 
Como na treliça não ocorre transferência de solicitações na direção yL, pode-se organizar as 
equações acima na forma matricial: 
 
 
|}~
}r�	s3r�	s3r�	t3r�	t3 €}
}‚ =
ƒ„„
„… �23 00 0 − �23 00 0− �23 00 0 �23 00 0 †‡‡
‡ˆ .
|}~
}u�	s3u�	s3u�	t3u�	t3 €}
}‚
 (29) 
 
A equação anterior corresponde à equação matricial da barra i, em coordenadas locais, e 
expressa as forças de extremo de barra (FiL) em função dos deslocamentos nodais (UiL). 
A matriz que relaciona FiL e UiL é a matriz de rigidez da barra da treliça em coordenadas locais (KiL). 
Por isso podemos expressar a equação na forma compacta. 
 	
 ry3 = ‰y3 	x	uy3 (30) 
 
Sendo a matriz de rigidez da barra da treliça uma matriz 4x4 simétrica. No processo do Método 
dos Deslocamentos monta-se a matriz de rigidez de cada barra separadamente e soma-se a contribuição 
de cada barra na matriz de rigidez global da estrutura. 
 
 ‰y3 = �23 ∗ ‹ 1 00 0 −1 00 0−1 00 0 1 00 0 Œ (31) 
 
4.4.5 Interpretação Física da Matriz de Rigidez 
Os coeficientes de rigidez são obtidos determinando os esforços que são necessários nos nós da 
estrutura para que se tenha um deslocamento unitário em um grau de liberdade, enquanto os outros 
permanecem nulos. Na figura a seguir apresenta os coeficientes de rigidez referentes ao deslocamento 
unitário no primeiro grau de liberdade. 
 
Figura 8 - Coeficientes de Rigidez do Primeiro Grau de Treliça Plana. 
 
Teoria das Estruturas 33 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
 
O mesmo procedimento se adota para os outros graus de liberdade da barra, determinando-setodos os termos da matriz de rigidez da barra, cujos termos serão kMN, que significa que este termo é a 
reação no grau de liberdade M em função do deslocamento unitário no grau de liberdade N. 
 
4.4.6 Rotação no Plano 
Conforme já apresentado, estudamos cada barra em seu sistema local de referencia e quando 
formos considerar a interação entre as diversas barras, devemos expressar os comportamenots 
individuais das barras em um mesmo sistema de referência, que será o sistema global da estrutura. 
Por isso devemos rotacionar as grandezas definidas no sistema local para o sistema global, o que 
é feito através da matriz de rotação. 
Seja o seguinte vetor V, referenciado no sistema global, para transportá-lo para um sistema local. 
 
Figura 9 - Rotação de Vetores. 
 
Onde as componentes de V no sistema global serão: 
 
 � =  ∗ hŽ (32) 
 � =  ∗ ‘’ 
 
E no sistema local as componentes de V serão: 
 
 
 �3 =  ∗ hŽ� − “� (33) 
 �3 =  ∗ ‘’� − “� 
 
Utilizando-se as relações trigonométricas, podemos reescrever as equações acima: 
 
 �3 =  ∗ hŽ ∗ hŽ“ +  ∗ ‘’ ∗ ‘’“ (34) 
 �3 =  ∗ ‘’ ∗ hŽ“ −  ∗ hŽ ∗ ‘’“ 
 
ou 
 
 �3 = � ∗ hŽ“ + � ∗ ‘’“ (35) 
 �3 = � ∗ hŽ“ − � ∗ ‘’“ 
 
Na forma matricial: 
 ”�3�3• = 
hŽ“ ‘’“−‘’“ hŽ“� . –
��— (36) 
 
Onde a matriz de rotação (r) é: 
m = 
 hŽ“ ‘’“−‘’“ hŽ“� 
Teoria das Estruturas 34 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
 
Assim, para transformar componentes globais em locais utiliza-se a seguinte expressão: 
 
 3 = m	x	 (37) 
 
E para transformar componentes locais em globais utiliza-se a matriz transposta de r: 
 
  = m˜	x	3 (38) 
 
Onde: m˜ = 
hŽ“ −‘’“‘’“ hŽ“ � 
 
Sendo: 
 
 hŽ“ = !� = ™š\™›3 (39) 
 ‘’“ = !� = œš\œ›3 
 
Onde Cx e Cy são os cosenos diretores da barra, ficando r: 
 	 m = 
 !� !�−!� !�� 
 
Considerando que V pode ser tanto as solicitações como deslocamentos nos nós j e k da barra, 
podemos escrever esta relação na forma de uma única expressão matricial: 
 
 
|}~
}u�s3u�s3u�t3u�t3 €}
}‚ = ƒ„„
„… !� !�−!� !� 0 00 00 00 0 !� !�−!� !�†‡‡
‡ˆ 	x	 |~
u�su�su�tu�t€
‚
 (40) 
 
De forma compacta: 
 
 uy3 = @	x	uy (41) 
 
Onde: UiL – vetor de deslocamentos nodais da barra i no sistema local; 
 Ui – vetor de deslocamentos nodais da barra i no sistema global; 
 R – matriz de rotação da barra de treliça, dada por: 
 
@ = ƒ„„
„… !� !�−!� !� 0 00 00 00 0 !� !�−!� !�†‡‡
‡ˆ 
 
4.4.7 Equação Fundamental no Sistema Global 
Considerando a equação fundamental de equilíbrio no sistema local: 
 
 ry3 = ‰y3 	x	uy3 (42) 
 
Teoria das Estruturas 35 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
Para obter-se a equação no sistema global, aplica-se as propriedades de rotação já apresentada. 
 
 ry3 = @	x	ry (43) 
 
Da qual obtém-se: 
 
 ry = @˜	x	ry3 (44) 
 
Ou: 
 
 ry = @˜	x	‰y3 	x	uy3 (45) 
 
Substituindo UiL, obtém-se: 
 
 ry = @˜	x	‰y3 	x	@	x	uy (46) 
 
Por tanto a equação fundamental do equilíbrio no sistema global, será: 
 
 ry = ‰y 	x	uy (47) 
 
Onde: Fi – é o vetor de solicitações no extremo da barra i, no sistema global; 
 Ui – é o vetor de deslocamentos no extremo da barra i, no sistema global; 
 Ki – é a matriz de rigidez da barra i, no sistema global, dada pela transformação: 
 
 ‰y = @˜	x	‰y3 	x	@ (48) 
 
Para a barra da treliça, fazendo este duplo produto matricial, obteremos: 
 
 ‰y = �23 ∗ ƒ„„
„… !�� !� . !�!� . !� !�� −!�� −!�. !�−!�. !� −!��−!�� −!�. !�−!�. !� −!�� !�� !� . !�!� . !� !�� †‡‡
‡ˆ
 (49) 
 
Observe que quando a barra da treliça for horizontal com conectividade na direção do eixo X 
global, os cossenos diretores serão Cx=1 e Cy=0. Fazendo a matriz local ser igual a matriz de rigidez 
global. 
 
4.4.8 Montagem Matriz de Rigidez Global da Estrutura 
A matriz de rigidez global é montada a partir das contribuições das matrizes de cada barra. 
Sendo a conectividade das barras as mostradas na tabela abaixo: 
 
Barra Nó inicial Nó final 
1 2 1 
2 1 3 
3 2 3 
 
E as matrizes de rigidez de cada barra, já no sistema global as seguintes. 
 
 
Teoria das Estruturas 36 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
 2 1 
 
2 
k111 k
1
12 k
1
13 k
1
14 
K1 = k121 k
1
22 k
1
23 k
1
24 
 
1 
k131 k
1
32 k
1
33 k
1
34 
 k141 k
1
42 k
1
43 k
1
44 
 
 
 1 3 
 
1 
k211 k
2
12 k
2
13 k
2
14 
K2 = k221 k
2
22 k
2
23 k
2
24 
 
3 
k231 k
2
32 k
2
33 k
2
34 
 k241 k
2
42 k
2
43 k
2
44 
 
 2 3 
 
2 
k311 k
3
12 k
3
13 k
3
14 
K3 = k321 k
3
22 k
3
23 k
3
24 
 
3 
k331 k
3
32 k
3
33 k
3
34 
 k341 k
3
42 k
3
43 k
3
44 
 
 1 2 3 
 
1 
k133 + k
2
11 k
1
34 + k
2
12 k
1
31 k
1
32 k
2
13 k
2
14 
 k143 + k
2
21 k
1
44 + k
2
22 k
1
41 k
1
42 k
2
23 k
2
24 
K= 
2 
k113 k
1
14 k
1
11 + k
3
11 k
1
12 + k
3
12 k
3
13 k
3
14 
 k123 k
1
24 k
1
21 + k
3
21 k
1
22 + k
3
22 k
3
23 k
3
24 
 
3 
k231 k
2
32 k
3
31 k
3
32 k
2
33 + k
3
33 k
2
34 + k
3
34 
 k241 k
2
42 k
3
41 k
3
42 k
2
43 + k
3
43 k
2
44 + k
3
44 
 
4.4.9 Vetor de Forças Nodais e Vetor de Deslocamentos 
 
 
Figura 10 - Forças Nodais e Deslocamentos Nodais. 
 
A ordem de montagem dos vetores de forças nodais e de deslocamentos é determinada pela 
numeração dos nós e os sinais são referenciados pelo sistema global. 
 
r =
|}~
} 25−300000 €}
}‚
 ; u =
|}~
}��.5<-€}
}‚ =
|}~
}��0000 €}
}‚
 
Teoria das Estruturas 37 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
 
Onde os deslocamentos são as incógnitas do processo, mas em virtude das vinculações existentes 
na estrutura, pode-se atribuir valores nulos para alguns termos. 
 
4.4.10 Introdução das Condições de Contorno 
O sistema de equações a seguir, corresponde a estrutura completa antes da aplicação das 
condições de contorno, é indeterminado, pois K é singular. 
 
 r = ‰	x	u (50) 
 
Esta singularidade resulta de não se ter considerado as ligações da estrutura com o meio exterior. 
A introdução das condições de vinculação retira esta singularidade da matriz de rigidez, desde que o 
número de reações seja, suficiente para impedir movimentos de corpo rígido. 
O conhecimento de determinados deslocamentos nodais diminui o número de incógnitas, 
tornando desnecessárias as equações correspondentes a estes deslocamentos. Assim, podem-se 
eliminar as linhas e colunas relativas aos deslocamentos conhecidos. 
Montando-se o sistemas de equações da treliça em estudo, obteremos: 
 
 1 2 3 
f1 
= 
1 
k133 + k
2
11 k
1
34 + k
2
12 k
1
31 k
1
32 k
2
13 k
2
14 
x 
u1 
f2 k
1
43 + k
2
21 k
1
44 + k
2
22 k
1
41 k
1
42 k
2
23 k
2
24 u2 
f3 2 
k113 k
1
14 k
1
11 + k
3
11 k
1
12 + k
3
12 k
3
13 k
3
14 u3 
f4 k
1
23 k
1
24 k
1
21 + k
3
21 k
1
22 + k
3
22 k
3
23 k
3
24 u4 
f5 3 
k231 k
2
32 k
3
31 k
3
32 k
2
33 + k
3
33 k
2
34 + k
3
34 u5 
f6 k
2
41 k
2
42 k
3
41 k
3
42 k
2
43 + k
3
43 k
2
44 + k
3
44 u6 
 
 1 2 3 
25 
= 
1 
k133 + k
2
11 k
1
34 + k
2
12 k
1
31 k
1
32 k
2
13 k
2
14 
x 
u1 
-30 k143 + k
2
21 k
1
44 + k
2
22 k
1
41 k
1
42 k
2
23 k
2
24 u2 
0 
2 
k113 k
1
14 k
1
11 + k
3
11 k
1
12 + k
3
12 k
3
13 k
3
14 0 
0 k123 k
1
24 k
1
21 + k3
21 k
1
22 + k
3
22 k
3
23 k
3
24 0 
0 
3 
k231 k
2
32 k
3
31 k
3
32 k
2
33 + k
3
33 k
2
34 + k
3
34 0 
0 k241 k
2
42 k
3
41 k
3
42 k
2
43 + k
3
43 k
2
44 + k
3
44 0 
 
Eliminando-se as linhas e colunas, obtém-se: 
 ž 25−30Ÿ =  ¡..� + ¡��� ¡.5� + ¡���¡5.� + ¡��� ¡55� + ¡��� ¢ 	x	 ž��Ÿ 
 
 
Teoria das Estruturas 38 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
4.4.11 Cálculo das Solicitações nos Extremos das Barras 
Após a resolução dos sistemas de equações, obtém-se os deslocamentos nodais da estrutura, no 
sistema global. No entanto, normalmente, deseja-se conhecer os esforços que atuam na barras. 
Para determinar os esforços na barra i deve-se, primeiro calcular o vetor Fi, através da equação a 
seguir. 
 
 ry = ‰y 	x	uy (51) 
 
Como nesta etapa da solução do problema a matriz de rigidez já esta montada, faltando apenas 
montar Ui, que requer atenção especial. E como os esforços aplicados nas barras são referenciados ao 
sistema local, deve-se rotacionar Fi. 
 
 ry3 = @	x	ry (52) 
 
4.4.12 Reações de Apoio 
Para cada nó (m) que é apoio, a reação será a soma das solicitações, no sistema global, de todas 
as barras que estão ligas ao nó mais as cargas aplicadas nele. 
 
 @£ = −+£ + ∑ ryy (53) 
 
Onde: i – é o número de barras ligadas ao nó (m); 
 Pm – é o vetor de forças aplicadas diretamente no nó (m); 
 ∑ ryy – é a soma das solicitações globais que concorrem no nó (m). 
 
4.4.13 Roteiro de Cálculo 
No Método dos Deslocamentos estuda-se primeiro o comportamento individual de cada barra, 
estabelecendo-se relações entre as forças de extremo da barra e os deslocamentos nodais através da 
matriz de rigidez da barra. 
Considerando-se a inter-relação de cada barra com as demais, obtém-se a matriz de rigidez global 
da estrutura, que representa as equações globais de equilíbrio, define o comportamento de toda 
estrutura e leva à solução do problema. 
Desta forma, pode-se definir dez etapas fundamentais na solução de um problema pelo Método 
dos Deslocamentos: 
 
a) discretização da estrutura e numeração dos nós e barras; 
b) especificação das conectividades e propriedades das barras; 
c) montagem da matriz de rigidez de cada barra no sistema global (Ki); 
d) montagem da matriz de rigidez da estrutura (K); 
e) montagem do vetor de cargas nodais (F) e vetor de deslocamentos (U); 
f) aplicação das condições de contorno; 
g) resolução do sistema de equações (determinação de U); 
h) determinação das forças nos extremos das barras (Fi); 
i) cálculo dos esforços nas barras (FiL); 
j) determinação das reações de apoio (R). 
 
 
Teoria das Estruturas 39 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
4.4.14 Exercícios 
a) Determinar os esforços que atuam nas barras da treliça abaixo, sabendo que o modulo de 
elasticidade longitudinal do material das barras é de 2x108 kN/m2 e área das barras de 3x10-4m2. 
 
b) Determinar os esforços que atuam nas barras da treliça abaixo, sabendo que o modulo de 
elasticidade longitudinal do material das barras é de 3x108 kN/m2 e a seção transversal das barras de 
6cm x 12cm. 
 
c) Determinar os esforços que atuam nas barras da treliça abaixo, sabendo que o modulo de 
elasticidade longitudinal do material das barras é de 6x108 kN/m2 e a seção transversal das barras de 
5cm x 10cm. 
 
 
Teoria das Estruturas 40 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
4.5 Vigas 
As vigas são um caso particular dos pórticos planos, pois normalmente não estão sujeitas ao 
esforço normal. Desta forma, podemos considerar como graus de liberdade apenas a translação vertical 
e a rotação no plano da estrutura. 
 
4.5.1 Discretização e Graus de Liberdade 
Para o caso de vigas consideram-se apenas dois graus de liberdade por nó, que correspondem a 
uma translação e a uma rotação possíveis. Que correspondem ao esforço cortante e ao momento fletor, 
respectivamente. 
Na figura abaixo ilustra-se a discretização de uma viga, onde as peças e nós são numerados da 
esquerda para direita. 
 
Figura 11 - Discretização de Vigas 
 
Com os nós da viga numerados pode-se representar os graus de liberdade da viga. 
 
Figura 12 - Graus de Liberdade de Vigas 
 
4.5.2 Conectividade 
Definida a numeração dos nós e barras estabelece-se a conectividade das barras. A qual pode ser 
definida no sentindo crescente da numeração dos nós, o sistema local das barras será sempre 
coincidente ao sistema global da estrutura. O que é conveniente, pois dispensa a rotação das matrizes. 
 
4.5.3 Convenção de Sinais 
 
Figura 13 - Sentido Positivo das Forças em Barra de Viga. 
 
Onde: r�s	e r�t – esforço cortante no nó inicial (j) e final (k), respectivamente; 
 �¤s e �¤t – momento fletor no nó inicial (j) e final (k), respectivamente. 
 
 
Teoria das Estruturas 41 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
4.5.4 Matriz de Rigidez 
A matriz de rigidez é obtida fazendo-se um a um os deslocamento na direção dos graus de 
liberdade iguais a um e deixando os demais iguais a zero, desta forma o termo ¡ys corresponderá à 
reação que ocorre na direção i, devido a um deslocamento unitário j, enquanto os demais 
deslocamentos permanecem nulos. Assim, pode-se dizer que os termos da coluna 1 da matriz são as 
reações obtidas, devido ao deslocamento unitário imposto na direção 1. 
 
 ‰y3 =
ƒ„
„„
„… ���	3� -�	3�-�	3� 5�	3
− ���	3� -�	3�− -�	3� ��	3− ���	3� − -�	3�-�	3� ��	3
���	3� − -�	3�− -�	3� 5�	3 †‡
‡‡
‡ˆ
 (54) 
 
Na tabela a seguir apresentam-se as reações de apoio em função dos deslocamentos 
unitários, que dão origem a matriz de rigidez da estrutura. 
 
Figura 14 - Interpretação Matriz de Rigidez. 
 
Teoria das Estruturas 42 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
4.5.5 Vetor de Engastamento Perfeito 
O método dos deslocamentos considera apenas forças aplicadas nos nós discretizados. Em função 
disso se existirem forças aplicadas nas barras estas deverão ser substituídas por forças aplicadas nos 
nós, obtidas através das equações apresentadas na tabela a seguir. 
 
 
Figura 15 - Reações de Apoio Vigas Biengastadas. 
 
r¥¦y = §@2�2@�¨¨© 
Onde: r¥¦y – vetor de forças de engastamento perfeito da barra i. 
 
Teoria das Estruturas 43 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
 
 
Figura 16 - Cálculo Reações de Apoio Vigas Biengastadas. 
 
Teoria das Estruturas 44 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
4.5.6 Equação Fundamental do Equilíbrio 
Sempre que existirem cargas aplicadas nas barras, deve-se acrescentar o vetor de forças de 
engastamento perfeito, a equação fundamental vista no caso de treliças planas. 
 
 r = ‰	x	u + r¥¦ (55) 
 
Onde: r¥¦ – representa a soma dos vetores de forças de engastamento perfeito de todas as 
barras, respeitando as conectividades. 
 
4.5.7 Cálculo das Solicitações nos Extremos das Barras 
Após a resolução dos sistemas de equações, obtém-se os deslocamentos nodais da estrutura, no 
sistema global. No entanto, normalmente, deseja-se conhecer os esforços que atuam na barras. 
Para determinar os esforços na barra i deve-se, primeiro calcular o vetor Fi, através da equação a 
seguir. 
 
 ry = ‰y 	x	uy +	r¥¦y (56) 
 
Como nesta etapa da solução do problema a matriz de rigidez da barra e o vetor de engastamento 
perfeito da barra já estão montados, faltando apenas montar Ui, que requer atenção especial. E como 
os sistema local das barras é coincidente com o sistema global, não é necessário rotacionar Fi. 
 
4.5.8 Reações de Apoio 
Para cada nó (m) que é apoio, a reação será a soma das solicitações, no sistema global, de todas 
as barras que estão ligas ao nó mais as cargas aplicadas nele. 
 
 @£ = −+£ + ∑ ryy (53) 
 
Onde: i – éo número de barras ligadas ao nó (m); 
 Pm – é o vetor de forças aplicadas diretamente no nó (m); 
 ∑ ryy – é a soma das solicitações globais que concorrem no nó (m). 
 
4.5.9 Exercícios 
a) Determinar os diagrama de esforços internos solicitantes da viga abaixo, sabendo que o modulo de 
elasticidade longitudinal do material das barras é de 2,5x107 kN/m2 e a seção transversal das barras de 
20cm x 60cm. 
 
 
 
Teoria das Estruturas 45 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
b) Determinar os diagrama de esforços internos solicitantes da viga abaixo, sabendo que EI1 = 50.000 
kN/m2 e EI2 = 27.000 kN/m
2. 
 
 
c) Traçar diagramas de esforços internos solicitantes da estrutura abaixo, sabendo que o modulo de 
elasticidade longitudinal do material é de 25,0x106 kN/m² e que o momento de inércia é de 2,0x10-4m4. 
 
 
d) Traçar diagramas de esforços internos solicitantes da estrutura abaixo, sabendo que a rigidez 
flexional é de 1,0 kN.m². 
 
 
e) Traçar diagramas de esforços internos solicitantes da estrutura abaixo, sabendo que a rigidez 
flexional é de 1.000,0 kN.m². 
 
 
f) Traçar diagramas de esforços internos solicitantes para a viga abaixo, adotando EI=1N.m2. 
 
g) Traçar diagramas de esforços internos solicitantes para a viga abaixo, adotando EIAB= 25x10
6 kN.m2e 
EIBC= 35x10
6 kN.m2. 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas 46 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
4.6 Pórtico Plano 
Os pórticos planos estão sujeitos a ação de duas forças e de um momento, sendo que as cargas 
que atuam sobre o pórtico só podem ser aplicadas no plano da estrutura. 
 
4.6.1 Discretização e Graus de Liberdade 
Para o caso de pórticos planos consideram-se três graus de liberdade por nó, que correspondem a 
duas translação e a uma rotação possíveis. Que correspondem ao esforço normal, esforço cortante e ao 
momento fletor, respectivamente. 
Na figura abaixo ilustra-se a discretização de um pórtico plano, onde as peças e nós são 
numerados de maneira aleatória. E a representação dos graus de liberdade do pórtico. 
 
Figura 17 - Discretização de Pórticos Planos e Graus de Liberdade de Pórticos Planos 
 
4.6.2 Conectividade 
Definida a numeração dos nós e barras estabelece-se a conectividade das barras. A qual pode ser 
definida no sentindo crescente da numeração dos nós, o sistema local das barras nem será sempre 
coincidente ao sistema global da estrutura. 
 
4.6.3 Convenção de Sinais 
 
Figura 18 - Convenção de Sinais do Pórtico Plano 
 
Onde: r�	s3 e r�	t3 - esforço normal, no nó inicial (j) e final (k), respectivamente; 
 r�	s3 e r�	t3 - esforço cortante, no nó inicial (j) e final (k), respectivamente. 
 ��	s3 e ��	t3 - momento fletor, no nó inicial (j) e final (k), respectivamente. 
 
 
Teoria das Estruturas 47 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
4.6.4 Matriz de Rigidez no Sistema Local 
A matriz de rigidez das barras dos pórticos é obtida da mesma maneira que no caso de vigas. A 
seguir apresenta-se a matriz de rigidez de uma barra de pórtico. 
 
 ‰y3 =
ƒ„
„„
„„
„„
…			�ª, 					0 				0		0 						12��,3 					6��,2		0 							6��,2 						4��,
− �ª, 0 00 − 12��,3 	6��,20 − 6��,2 	2��,− �ª, 		0 				0	0 − 12��,3 − 6��,2	0 		6��,2 		2��,
			�ª, 								0 					00 		12��,3 − 6��,20 − 6��,2 				4��, †‡
‡‡
‡‡
‡‡
ˆ
 (56) 
 
4.6.5 Rotação no Plano 
 
@y =
ƒ„„
„„…
!�−!�0
!�!�0
001000
000
000
000
000
000!�−!�0
!�!�0
001†‡‡
‡‡
ˆ
 
 
Fazendo-se a rotação da matriz da barra iremos obter: 
 
Teoria das Estruturas 48 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
 
Teoria das Estruturas 49 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
4.6.6 Vetor de Forças de Engastamento Perfeito 
O método dos deslocamentos consideram três forças aplicadas nos nós discretizados. Em função 
disso se existirem forças aplicadas nas barras estas deverão ser substituídas por forças aplicadas nos 
nós, obtidas através das equações apresentadas na tabela no caso de vigas. 
 
 
 
Figura 19 - Reações de Apoio Pórtico Plano. 
 
r¥¦y3 =
|}~
}C2@2�2C¨@�¨¨€}
}
‚
 
 
Onde: r¥¦y3– vetor de forças de engastamento perfeito da barra i, no sistema local. 
 
Onde este vetor deverá ser rotacionado para o sistema global, e para isso utiliza-se a seguinte 
equação. 
 
 r¥¦y = @˜ ∙ r¥¦y3 (57) 
 
Onde a matriz RT é: 
 
@˜ =
ƒ„„
„„…
!�!�0
−!�!�0
001000
000
000
000
000
000!�!�0
−!�!�0
001†‡‡
‡‡
ˆ
 
 
4.6.7 Equação Fundamental do Equilíbrio 
Sempre que existirem cargas aplicadas nas barras, deve-se acrescentar o vetor de forças de 
engastamento perfeito, a equação fundamental vista no caso de treliças planas. 
 
 r = ‰	x	u + r¥¦ (58) 
4.6.8 Cálculo das Solicitações nos Extremos das Barras 
Após a resolução dos sistemas de equações, obtém-se os deslocamentos nodais da estrutura, no 
sistema global. No entanto, normalmente, deseja-se conhecer os esforços que atuam na barras. 
Teoria das Estruturas 50 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
Para determinar os esforços na barra i deve-se, primeiro calcular o vetor Fi, através da equação a 
seguir. 
 
 ry = ‰y 	x	uy +	r¥¦y (51) 
 
Como nesta etapa da solução do problema a matriz de rigidez da barra e o vetor de engastamento 
perfeito da barra já estão montados, faltando apenas montar Ui, que requer atenção especial. E como 
os esforços aplicados nas barras são referenciados ao sistema local, deve-se rotacionar Fi. 
 
 ry3 = @	x	ry (52) 
 
4.6.9 Reações de Apoio 
Para cada nó (m) que é apoio, a reação será a soma das solicitações, no sistema global, de todas 
as barras que estão ligas ao nó mais as cargas aplicadas nele. 
 
 @£ = −+£ + ∑ ryy (53) 
 
Onde: i – é o número de barras ligadas ao nó (m); 
 Pm – é o vetor de forças aplicadas diretamente no nó (m); 
 ∑ ryy – é a soma das solicitações globais que concorrem no nó (m). 
 
 
Teoria das Estruturas 51 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
4.6.10 Exercícios 
a) Determinar os diagrama de esforços internos solicitantes do pórtico abaixo, sabendo que o modulo 
de elasticidade longitudinal do material das barras é de 2,0x107 kN/m2, a inércia é de 1,333x10-4 m4 e a 
área é de 0,04 m2. 
 
 
b) Traçar diagramas de esforços internos solicitantes para o pórtico abaixo, adotando EI=1N.m2. 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas 52 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
 
5. Resultados Exercícios 
5.1 Resolução Exercícios 2.1.3 
a) "� ∙ �� = �<,-�<∙��� − 50 ∙ � + 58,333 ; #� ∙ �� = �<,-�<∙��- − 25 ∙ �� + 58,333 ∙ � 
"� ∙ �� = 25 ∙ � − .,��<∙��� − 91,667 ; #� ∙ �� = 12,5 ∙ �� − .,��<∙��- − 91,667 ∙ � + 200 
#��� = .e,<�	 ; #�-� = − ��,<�	 
b) "� ∙ �� = − �<∙��- + 112,5 ; #� ∙ �� = − �<∙�;�5 + 112,5 ∙ � − 253,125 "��,<� = 4,922 ∙ 10\. mn� ; #��,<� = −4,482 ∙ 10\. ] ; "�V� = 5,625 ∙ 10\. mn� ; #�V� = −1,266 ∙ 10\� ] 
c) "� ∙ �� = 2 ∙ �� − 56 ; #� ∙ �� = �∙��. − 56 ∙ � "� ∙ �� = 60 ∙ � − 3 ∙ �� − 236 ; #� ∙ �� = 30 ∙ �� − 1 ∙ �. − 236 ∙ � + 360 #�-� = −2,634 ∙ 10\. ] ; "�V� = −7,681 ∙ 10\5 mn� ; "��V� = 8,779 ∙ 10\5 mn� 
e) "� ∙ �� = 72,5 ∙ �� − <∙��. − 442,607 ; #� ∙ �� = e�,<∙��. − <∙�;�� − 442,607 ∙ � 
"� ∙ �� = − <∙��� − <∙�
�
. + 300 ∙ � − 742,607 ; #� ∙ �� = − <∙��- − <∙�;�� + 150 ∙ �� − 742,607 ∙ � + 200 
". ∙ �� = −52,5 ∙ �� − <∙��. + 650 ∙ � − 1355,107 ; #. ∙ �� = −17,5 ∙ �. − <∙�;�� + 325 ∙ �� − 1355,107 ∙ � + 914,583 
"5 ∙ �� = 587,5 ∙ � − 40 ∙ �� − 2,5 ∙ �. − 1442,187 ; #5 ∙ �� = 293,75 ∙ �� − 5V∙��. − �,<∙�;5 − 1442,187 ∙ � + 1740,608 
 
"(V) = −6,809 ∙ 10
\: mn� ; #(V) = 0,000 ] ; "(�) = −2,553 ∙ 10
\: mn� ; #(�) = −1,075 ∙ 10
\e ] ; 
"(.,<) = 3,159 ∙ 10
\: mn� ; #(.,<) = −1,015 ∙ 10
\e ] 
 
f) "� ∙ �� = 12 ∙ �
� − 2 ∙ �. − 31,25 ; #� ∙ �� = 4 ∙ �. − 0,5 ∙ �5 − 31,25 ∙ � 
"� ∙ �� = 12 ∙ �
� − 2 ∙ �. − 62,5 ; #� ∙ �� = 4 ∙ �
. − 0,5 ∙ �5 − 62,5 ∙ � + 125 
". ∙ �� = −2 ∙ �
. + 48 ∙ �� − 360 ∙ � + 837,5 ; #. ∙ �� = −0,5 ∙ �
5 + 16 ∙ �. − 180 ∙ �� + 837,5 ∙ � − 1375 
 
"(5,V) = 5,776 ∙ 10
\5 mn� ; #(5,V) = 5,291 ∙ 10
\< ] ; "(e,<) = −1,102 ∙ 10
\5 mn� ; #(e,<) = −8,956 ∙ 10
\5 ] 
 
5.2 Resolução Exercícios 2.2.5 
a) ? = 4,482 ∙ 10\. ] ; ? = 4,922 ∙ 10\. mn� ; ? = 0,0127 ] ; ? = 5,625 ∙ 10\. mn� 
 
b) ? = 2,633 ∙ 10\. ] ; ? = −0,768 ∙ 10\. mn� ; ? = 8,777 ∙ 10\5 mn� 
 
c) ? = 0,000 ] ; ? = −1,058 ∙ 10\< mn� ; ? = 0,000 ] ; ? = 1,142 ∙ 10\< mn� ; ? = 1,716 ∙ 10\- ] ; ? = 3,100 ∙ 10\- mn� ; 
? = 1,775 ∙ 10\< ] ; ? = −6,633 ∙ 10\e mn� 
 
d) ? = 0,007875 ] 
 
e) ? = 0,0009524 h] 
 
f) ? = 0,000 ] ; ? = −9,335 ∙ 10\- mn� ; ? = 0,000 ] ; ? = −9,335 ∙ 10\- mn� ; ? = 0,000 ] ; ? = −8,133 ∙ 10\- mn� 
 
 
 
Teoria das Estruturas 53 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
5.3 Resolução Exercícios 2.3.3 
a) ? = 4,482 ∙ 10\.	]	;	sem	solução	PTV	tabelado	;	? = 1,266 ∙ 10\�	]	;	? = 5,625 ∙ 10\.	mn�		
b) ? = 2,634 ∙ 10\.	]	;	? = −7,681 ∙ 10\5	mn�	;	? = −8,779 ∙ 10\5	mn�		
c) ? = 0,000	]	;	? = −1,089 ∙ 10\<	mn�	;	? = 0,000	]	;	? = 1,185 ∙ 10\5	mn�	;	? = 1,772 ∙ 10\<	]	;	sem	solução	PTV	tabelado	;	? = 1,826 ∙ 10\<	]	;	? = −7,200 ∙ 10\e	mn�		
d) ? = 0,007875	]		
e) ? = 0,000	]	;	? = −9,335 ∙ 10\-	mn�	;	? = 0,000	]	;	? = −9,335 ∙ 10\-	mn�	;	? = 0,000	]	;	? = −8,133 ∙ 10\-	mn�		
f) sem	solução	PTV	tabelado		
g) ? = 1,600 ∙ 10\<	]	;	? = 8,069 ∙ 10\-	]	
5.4 Resolução Exercícios 3.5 
a) Momento	Fletor:	
	Esforço	Cortante:	
	Esforço	Normal:	
		
b) Momento	Fletor:	
	Esforço	Cortante:	
	Esforço	Normal:	
		
c) Momento	Fletor:	
	Esforço	Cortante:	
	Esforço	Normal:	
		
Teoria das Estruturas 54 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
d) Momento Fletor: 
 Esforço Cortante: 
 Esforço Normal: 
 
e) Momento Fletor: 
 Esforço Cortante: 
 Esforço Normal: 
 
 
Teoria das Estruturas 55 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
f) Momento Fletor: 
 Esforço Cortante: 
 Esforço Normal: 
 
g) Momento Fletor: 
 Esforço Cortante: 
 Esforço Normal: 
 
 
 
Teoria das Estruturas 56 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
5.5 Resolução Exercícios 4.4.14 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
5.6 Resolução Exercícios 4.5.7 
a) Momento Fletor: 
 Esforço Cortante: 
 Esforço Normal: 
 
Teoria das Estruturas 57 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
b) Momento Fletor: 
 Esforço Cortante: 
 Esforço Normal: 
 
c) Momento Fletor: 
 Esforço Cortante: 
 Esforço Normal: 
 
d) Momento Fletor: 
 Esforço Cortante: 
 Esforço Normal: 
 
e) Momento Fletor: 
 Esforço Cortante: 
 Esforço Normal: 
 
Teoria das Estruturas 58 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
f) Momento Fletor: 
 Esforço Cortante: 
 Esforço Normal: 
 
g) Momento Fletor: 
 Esforço Cortante: 
 Esforço Normal: 
 
5.7 Resolução Exercícios 4.6.10 
a) Momento Fletor: 
 
Teoria das Estruturas 59 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
Esforço Cortante: 
 Esforço Normal: 
 
 
Teoria das Estruturas 60 
 Prof. Luis Carlos Seelbach, MSc.
 
b) Momento Fletor: 
 Esforço Cortante: 
 Esforço Normal: