Diferenciabilidade de Função de Duas Variáveis

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Universidade Aberta do Brasil 
 Universidade Federal do Ceará 
 Instituto UFC Virtual 
 
Disciplina: CÁLCULO DIFERENCIAL II 
Coordenador da disciplina: CELSO ANTONIO SILVA BARBOSA 
Professor Titular: JOSÉ VALTER LOPES NUNES 
Tutor à Distância: PLÁCIDO ANTHONY LIMA MARTINS QUEIROZ 
Aluno: JHONNES FERREIRA DA SILVA Matrícula: 298185 
 
3 – Mostre que a função dada é diferenciável no seu domínio: 
h x y
y
x y
( , ) ;

 
Teremos que mostrar que: 
 
( ) {( , ) ² / }D f x y x y   
 
 
Assim: 
 
0
0
0
0 0
0
0 0
( ) ( ) ( )
( )² ( )²
( )²
( ) ( ) ( )
( )² ( )² ( )²
( )²
x x
x
x
y y
y
y
y
x y
x y D y D x y y y
f
x y x y
y
f
x y
x y D y D x y y x y y x
f
x y x y x y
x
f
x y

   
 
 



    
  
  


 
 
0 0 0 0 0 0 0 0
( , ) (0,0)
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
( , ) (0,0)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
( , ) (0,0)
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
lim
² ²
( )
( )² ( )²
lim
² ²
( )( )² ( )( ) ( ) (
lim
x y
u v
u v
u v
f x u y v f x y f x y u f x y v
u v
y v y y u x v
x u y v x y x y x y
u v
y v x y y x u y v x y y u x u y v x v x



    



  
     


            0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
( , ) (0,0)
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
( , ) (0,0)
)
( )( )² ² ²
( )( ² 2 ² ) ( )( ² ) ² ² )
² ² )
lim
( )( )² ² ²
² 2 ² ³ ² 2
lim
u v
u v
u y v
x u y v x y u v
y v x x y y x y u v x y y ux y u y uy vuy
vx vux vx y v x
x u y v x y u v
x y x y y vx vx


  

    
           
   

    
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
( , ) (0,0)
0 0 0 0
0
( , ) (0,0)
² ² ² ² ³ ²
² ² ² ² ² )
( )( )² ² ²
² ²
lim
( )( )² ² ²
( )(
lim
u v
u v
y vy x y x y x y y ux y uy
vx y vy ux y u y uy vuy vx vux vx y v x
x u y v x y u v
y u y uv x uv x v
x u y v x y u v
u v y u


       
        

    
  

    
 0
0 0 0 0
)
( )( )² ² ²
x v
x u y v x y u v

    
 
 
Se relembrarmos o conteúdo visto na última aula, veremos que: 
| | ² ²
| | ² ²
u u u v
v v u v
  
   
| | | | | |
2
² ² ² ² ² ²
( )
² ²
u v u v
u y u y u y
u v
u y

  
  


 
Assim é limitada 
Tendo em vista que, se (u,v) 0. 
 
0 0
( , ) (0,0)
0 0 0 0
( )
lim 0
( )( )²u v
y u x v
x u y v x y


    
 
Com isso veremos que a função primeira é limitada e segunda é 0 (zero), logo a função 
será zero (0). Assim chegamos à conclusão que a função é diferenciável no domínio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 – Verifique se a função dada é diferenciável na origem: 
 
2 2
2 2
xy
se x y 0
G x, y ;x y
0 se x y 0

 
  
  
 
Demonstrando temos que: 
 
0 0
0 0
(0 ,0) (0,0) 0 0
(0,0) lim lim 0
(0,0 ) (0,0) 0 0
(0,0) lim lim 0
x
t t
y
t t
f t f
f
t t
f t f
f
t t
 
 
  
  
  
  
 
 
( , ) (0,0)
( , ) (0,0)
( , ) (0,0) (0,0)( 0) (0,0)( 0)
lim
² ²
² ²
lim
² ²² ² ² ² * ² ²
x y
x y
x y
f x y f f x f y
x y
xy
x y xy xy
x yx y x y x y


    



 
  
 
 
Se (x, y) → (0, 0) não existirá limite, haja vista que: 
 
( , ) (0,0) 0
0
lim lim 0
² ² ²x y y
xy
x y x 
  

 
 
( , ) (0,0)
² ² 1
lim lim lim
² ² ² ² 2 ² 2x y y x y x
xy x x
x y x x x  
   
 
 
 
Assim chegamos a conclusão que a função não é diferenciável na sua origem. 
 
19 – Use o vetor gradiente para encontrar a equação do plano tangente à superfície 
de equação dada, no ponto indicado: 
lnz x y
e
0 ( 1, , 1)P e  
. 
 
Se considerarmos que f (x, y, z) = x ln y – z teremos que no ponto indicado o vetor será 
gradiente se: 
 
( , , ) ln ( ln ) ln
1
( , , ) ln ( ln ) *
( , , ) ln ( ln ) 1
x x
y y
z z
f x y z x y z D x y z y
x
f x y z x y z D x y z x
y y
f x y z x y z D x y z
    
     
     
 
 
Consideraremos o ponto 
0 ( 1, , 1)P e  
 
[ ( , , ), ( , , ), ( , , )]
(ln , , 1)
x y zf f x y z f x y z f x y z
x
f y
y
 
  
 
1 1
(ln , , 1) (1, , 1)f e
e e
      
 
0 0 0 0
1
[ (1, , 1)]*[( ) ( ) ( ) ] 0
1
(1, , 1)*[( 1) ( ) ( 1) ] 0
1
1*( 1) ( ) ( 1)*( 1) 0
1 1 1 0
0
0
f P x x a y y b z z c
e
x a y e b z c
e
x y e z
e
y
x z
e
xe e y e ze e
e
ex y ez e
e
ex y ez e
        
       
 
        
 
     
    

  

   
 
 
Assim veremos que se trata de uma equação tangente. 
 
24 – Mostre que a função dada possui derivada direcional no ponto (0,0) em todas 
as direções, mas não é diferenciável em (0,0): 
| |
) ( , )
² ²
x y
b g x y
x y

 

Se (x,y)≠(0,0) e 0 se (x,y)=(0,0) 
 
Já que se trata de uma direção qualquer, ou seja, não se determina uma direção exata, 
iremos considerar o ponto U = (U1, U2). 
 
 
 
   
1 2
0
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
0
1 2 1 2
0 * ,0 * (0,0)
(0,0) lim
( ) | | | | | |
, (0,0) 0
² ² ² ² ²( ² ²) | | ² ²
² ²
² ²
(0,0) lim
² ² ² ²
u
t
u
t
f t u t u f
f
t
tu tu t t u u t t u u t t u u
f tu tu f
t u t u t u u t u utu tu
tu u
u u
tu u
u u tu u u u
f
t t u u u u


  

      
  


  
 
 
1 2 1 2
0
1 2 1 2
(0,0) lim
² ² ² ²
u
t
u u u u
f
u u u u
 
 
 
 
Logo a função tem derivada direcional no ponto em questão (0, 0). 
 
Iremos mostrar agora que não é diferenciável: 
0 0
0 0
( , ) (0,0)
( , ) (0,0)
(0 ,0) (0,0) 0 0
(0,0) lim lim 0
(0,0 ) (0,0) 0 0
(0,0) lim lim 0
( , ) (0,0) (0,0)( 0) (0,0)( 0)
lim
² ²
| |
² ² | | | |
lim
² ²² ² ² ² * ² ²
x
t t
y
t t
x y
x y
x y
f t f
f
t t
f t f
f
t t
f x y f f x f y
x y
x y
x y x y x y
x yx y x y x y
 
 


  
  
  
  
    



 
  
 
 
 
Se (x, y) → (0, 0) o limite não existirá, pois se x ≥ 0:
 
 
( , ) (0,0) 0
( , ) (0,0)
| | 0
lim lim 0
² ² ²
| | | | ² | | ² 1
lim lim lim
² ² ² ² 2 ² 2
x y y
x y y x y x
x y
x y x
x y x x
x y x x x
 
  
  

   
 
 
 
31 – Se 
1 1
³ ³
3 3
z f ax by
 
  
 
onde a e b são constantes não-nulas, e f é uma função 
duas vezes diferenciável, mostre que z é solução da equação diferencial parcial 
1 1
0xx xy yyZ Z Z
ax by
  
 se, e somente se, f (u) = c1u + c2 onde c1 e c2 são constantes. 
Para demonstrar a situação acima, teremos que calcular o: Zxx, Zxy, Zyy, assim: 
 
1 1
³ ³
3 3
²
2
x
xx
z f ax by
Z ax
Z ax
 
  
 


 
 
0xyZ 
 
 
²
2
y
yy
Z by
Z by
 
 
 
 1 1
0
1 1
*2 0 *( 2 ) 0
2 2 0
xx xy yyZ Z Z
ax by
ax by
ax by
  
   
 
 
 c.q.d 
 
Assim Z é solução da equaçãodiferencial parcial em questão.