Aula 2 Circuitos Elétricos II - Fasores e impedância

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Instalações elétricas
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CIRCUITOS ELÉTRICOS II
MSc. Felipe Mendes de Vasconcellos
E-mail: felipe.vasconcellos@ufba.br
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/0508094462424211
Instalações elétricas
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UNIDADE 1
Seção 1.2 – Fasores e impedância
Quando um circuito elétrico é excitado por uma fonte de corrente alternada, os instantes iniciais correspondem à resposta transitória regida pelas equações diferenciais que compõem o modelo completo do sistema;
Quando este período transitório termina, as tensões e as correntes deste circuito podem ser representadas puramente por funções senoidais iniciando o regime permanente;
Para facilitar a análise matemática de circuitos elétricos de corrente alternada (CA) em regime permanente, utilizamos a representação da função senoidal por meio de um fasor;
Uma função senoidal é representada por uma amplitude de pico Ap , uma frequência angular ω e uma fase φ, parâmetros que não variam com o tempo, Tal equação consiste em uma generalização das equações senoidais para tensão e corrente vistas na seção anterior.
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Considere agora um vetor girante no plano complexo, com velocidade de rotação w e amplitude Ap constantes (representados no interior da circunferência da figura;
Ao longo do tempo, a extremidade deste vetor dá origem à senoide da equação anterior. Em um determinado instante t = τ, o vetor pode assumir uma magnitude igual à e a amplitude da função a(t) neste instante corresponde à projeção deste vetor no eixo imaginário, ou seja, a(t=τ) = Apsen(α), como está indicado na figura;
À medida que o tempo cresce, o vetor gira no sentido antihorário, como pode ser observado na figura, assumindo outros valores para o ângulo de inclinação.
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Por exemplo, no instante de pico positivo, o vetor assume sendo 90° = π/2 rad, e no instante de pico negativo, o valor corresponde a , sendo 270° = 3π/2 rad;
Assim, essa representação vetorial pode ser utilizada para representar de forma simplificada um sinal senoidal, dando origem à notação fasorial em circuitos CA;
Tal notação consiste na representação da senoide por meio de um vetor estático cujo módulo (ou intensidade) é o valor eficaz da grandeza elétrica Ap/√2 (que pode ser tensão, corrente, potência, etc.) e o ângulo de fase corresponde ao ângulo que o vetor forma com o eixo real em t = 0s. Este ângulo corresponde ao ângulo de defasagem do sinal (ou fase) θ;
O valor eficaz é utilizado, pois corresponde ao valor medido por instrumentos tais como o multímetro e também o mais utilizado na análise de circuitos CA. A representação do sinal senoidal da equação em t = 0s está ilustrada na figura a seguir para diferentes sinais senoidais.
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Note que a frequência angular não é representada, pois em regime permanente a frequência do sinal resultante não se altera, tornando este valor comum a todos os componentes do sistema. Assim, a transformação de uma tensão senoidal (ou cossenoidal) do domínio do tempo para o domínio da frequência resulta:
E esta associação é válida para as demais grandezas elétricas: corrente, potência, etc. Outra representação possível é utilizar o valor de pico ao invés do valor eficaz, porém o valor eficaz associado às grandezas elétricas são mais úteis devido à calibração dos equipamentos de medida, por exemplo, voltímetros e amperímetros, que fornecem as medidas dos respectivos valores eficazes;
Observe que o fasor da equação anterior, representado por uma amplitude e um ângulo, trata-se de um número complexo, correspondendo à sua forma polar. No entanto, ele pode ser representado também na forma retangular;
Considere um número complexo genérico na forma polar: , em que r é o raio (ou amplitude) e f é o ângulo de inclinação. Sua forma retangular pode ser representada por uma parte real e uma parte imaginária: z = x + jy , em que x é a parte real e y é a parte imaginária.
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 A relação entre as formas polar e retangular pode ser vista na figura e as relações entre r , ɸ , x e y são dadas nas equações;
Para realizar operações de adição e subtração, são utilizadas as propriedades conforme as equações;
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 Visto o conceito de notação fasorial, é possível iniciar a análise de circuitos elétricos CA em regime permanente por meio de fasores. Primeiro precisamos entender a resposta de elementos básicos, sendo eles o resistor, o capacitor e o indutor, às tensões e correntes senoidais;
Em seguida, aplicando a lei de Ohm nos três circuitos, podemos obter a corrente que percorre cada um dos elementos e/ ou a queda de tensão provocada por ela;
Na figura abaixo observamos um circuito puramente resistivo cuja corrente de entrada CA é dada por: 
Então a tensão sobre ele será:
E, portanto, 
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 Na figura a seguir observamos um circuito indutivo cuja corrente é dada por:
Dessa forma o fasor pode ser representado por
A oposição à corrente alternada provocada pelo indutor é diretamente proporcional à frequência do sinal aplicado e ao valor da indutância. Esta oposição é denominada reatância indutiva e sendo , o valor desta reatância é dado pela equação:
O fasor da reatância indutiva é igual à , e calculando a tensão sobre o indutor temos:
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 Já figura a seguir observamos um circuito capacitivo cuja tensão é dada por:
A oposição à corrente alternada provocada pelo capacitor é denominada reatância capacitiva , e este valor é inversamente proporcional à frequência do sinal aplicado e ao valor da capacitância, conforme a equação.
Aplicando a derivada da tensão sobre o capacitor, chegamos à corrente que o percorre:
Portanto, 
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 Para um dispositivo resistivo, a corrente que o atravessa e a queda de tensão que ela provoca estão em fase, como pode ser visto na figura. Neste caso, os valores de pico de tensão e correntes são relacionados pela lei de Ohm. Além disso, o valor da resistência não é influenciado pela frequência do sinal de alimentação aplicado.
Para o circuito indutivo, observe que o comportamento do indutor é caracterizado por uma oposição à variação de corrente, por isso ele sempre provoca um atraso de 90º da corrente em relação à tensão, como pode ser visto na figura.
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 Por final, para o circuito capacitivo, usamos a relação trigonométrica
		 e obtemos 
Verifique que ao contrário do indutor, o capacitor se comporta em oposição à variação de tensão, portanto dizemos que a tensão no capacitor está sempre atrasada de 90º em relação à corrente. Ou seja, no circuito capacitivo, a corrente está sempre adiantada de 90º em relação à tensão, como mostra a figura.
Representando a corrente e a tensão nos elementos resistor, indutor e capacitor na forma fasorial, podemos esboçá-las por meio de um gráfico, denominado diagrama fasorial, segundo a figura.
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 Com isso, são dadas as relações entre os fasores de tensão e corrente obtidas para os elementos resistor, indutor e capacitor respectivamente:
Escrevendo as relações como função da razão entre a tensão e a corrente
 podemos relacionar as expressões resultantes com a lei de Ohm:
Onde Z é denominada impedância do circuito em Ohm (Ω). Temos, assim, as impedâncias para resistores, indutorese capacitores respectivamente:
A combinação entre elementos resistivos, indutivos e capacitivos resulta em uma impedância na forma da equação , onde:
Assim como a impedância Z representa uma oposição ao fluxo de corrente alternada (CA), a habilidade que um condutor tem de conduzir corrente CA é chamada de admitância Y, cuja unidade é Siemens (S).
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A admitância é dada por: 
Onde G é acondutância e B é a susceptância do circuito, ambas com unidade Siemens (S).
Dado o conceito de impedância e a sua representação fasorial, os circuitos CA podem ser analisados de forma análoga aos circuitos CC, trocando-se a resistência R pela impedância Z, como veremos a seguir;
Considerando N impedâncias conectadas em série, conforme a figura, a impedância total equivalente do circuito é dada pela soma das impedâncias;
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Como a corrente é a mesma em todos os elementos, para um circuito com associação em série, ela pode ser determinada pela lei de Ohm:
E as tensões nas impedâncias podem ser calculadas:
A lei de Kirchhoff das tensões (LKT) pode ser aplicada ao longo do laço, logo:
e então: 
De forma análoga, quando temos N impedâncias conectadas em paralelo, conforme a figura, a impedância total do circuito é obtida somando-se as admitâncias em paralelo, conforme a equação:
Onde é definido pela equação: 
Nos circuitos em paralelo, a tensão é a mesma em todos os elementos. Assim, pela lei de Ohm, temos: 
E as correntes nas impedâncias podem ser calculadas:
A lei de Kirchhoff das correntes (LKC) pode ser aplicada no circuito , ou seja:
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Para o circuito apresentado pela figura:
 Obtenha a tensão na fonte em forma de fasor.
Calcule as reatâncias X L e XC , se w = 1000 rad/s.
Obtenha as impedâncias relacionadas aos elementos resistor, capacitor e indutor.
Calcule a impedância total (ZT ) do circuito e desenhe o diagrama de impedâncias.
Calcule a corrente na fonte em forma de fasor e desenhe o diagrama fasorial de tensão e corrente do circuito.
A partir da corrente em forma de fasor, obtenha a expressão da corrente na forma temporal.
EXEMPLO
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Resolução:
 Para calcular o fasor de tensão: 
Calculando as reatâncias segundo as equações, obtemos:
As impedâncias são dadas por: 
e
A impedância total consiste na soma das impedâncias resistiva, capacitiva e indutiva, pois os elementos estão em série.
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Para calcular a corrente, aplicamos a lei de Ohm:
Transformando o fasor de corrente para sua função no tempo, temos:
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Para finalizar, vamos observar um caso especial que ocorre quando as reatâncias capacitiva e indutiva se anulam. Na figura, vemos o comportamento da reatância do capacitor e indutor em função da frequência.
Em um determinado ponto, as reatâncias se cruzam, ou seja, para uma determinada frequência , anulando a reatância equivalente do circuito. Esta frequência é denominada frequência de ressonância do circuito, dada pela equação. 
 Ou em Hz:
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Determinação da corrente nominal para especificação de um fusível em uma fábrica
Você é o responsável técnico pelo projeto e manutenção de um circuito interno de uma fábrica. O projeto apresenta quatro equipamentos elétricos e um fusível de proteção contra sobrecorrentes que ainda deve ser dimensionado. Uma das características necessárias para o dimensionamento do fusível é a corrente nominal do circuito, ou seja, o valor de corrente que ele deve suportar continuamente sem romper. Esta corrente nominal corresponde à corrente do circuito quando todos os equipamentos estiverem em operação
As características das cargas foram disponibilizadas pela fábrica e constam no circuito desenhado a seguir. Como você faria para obter a corrente nominal do fusível?
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Há dois caminhos a seguir que poderão levar ao mesmo resultado para este problema. O primeiro é obter a admitância total do circuito e aplicar a lei de Ohm para obter a corrente da fonte. O segundo é obter as correntes individuais das cargas aplicando a lei de Ohm em cada uma delas e em seguida utilizar a lei de Kirchhoff dos nós para obter a corrente total do circuito.
Vamos utilizar o primeiro método, e você, aluno, está convidado a testar o segundo. Primeiro vamos escrever as cargas na forma polar. 
Para obter as admitâncias, basta fazer: 
Aplicando a lei de Ohm:
Portanto, para este circuito interno da fábrica, a corrente nominal que deve ser levada em consideração para dimensionamento do fusível é 
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Resolução das questões da seção “Faça valer a pena” do Livro Didático Digital da Seção 1.2
Entrega: Próxima aula
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ATIVIDADE AVALIATIVA
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