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UFSM – Colégio Técnico Industrial Eletrotécnica 2005 
 
 
 Prof. Marcos Daniel Zancan 71
Unidade VI – Corrente Alternada 
 
6.1. Introdução 
 
Podemos definir energia elétrica como a 
energia resultante do movimento de cargas 
elétricas em um condutor. É companheira 
inseparável da era moderna. Não é difícil 
imaginar como nossa vida seria diferente sem 
ela. Mas o que a faz tão importante a ponto de 
se tornar praticamente indispensável à vida 
atual? São muitos os motivos, como, por 
exemplo: 
a) É facilmente transportável. Pode ser 
produzida no local mais conveniente e 
transmitida para consumidores distantes 
por uma simples rede de condutores (fios). 
b) É facilmente transformável em outras 
formas de energia: calor, luz, movimento. 
c) É elemento fundamental para a ocorrência 
de muitos fenômenos físicos e químicos 
que formam a base de operação de 
máquinas e equipamentos dos tempos 
atuais. Exemplo: eletromagnetismo, efeito 
termiônico, efeito semicondutor, 
fotovoltaico, oxidação e redução, etc. 
 Entretanto, como qualquer forma de 
energia, ela deve obedecer ao primeiro 
princípio da termodinâmica. Assim, 
quando dizemos geração de energia 
elétrica, devemos entender como uma 
transformação de uma outra forma de 
energia em energia elétrica. 
 Existem várias formas de se gerar 
energia elétrica. Mas, quando se trata de 
quantidades para consumo de uma sociedade, 
as opções diminuem. As mais comuns são: 
Térmica: a energia que se transforma é o calor 
resultante da queima de algum combustível 
(derivado de petróleo como óleo combustível, 
gás natural, carvão, madeira, resíduos como 
bagaços, etc). Em nível mundial representa 
provavelmente a maior parcela. As instalações 
usam basicamente caldeiras que geram vapor 
que aciona turbinas que acionam geradores. 
Ou então máquinas térmicas como motores 
diesel ou turbinas a gás. No aspecto ecológico 
apresenta problemas. A queima de 
combustíveis joga na atmosfera poluentes 
variados como o enxofre além do dióxido de 
carbono, responsável pelo já preocupante 
efeito estufa (aquecimento global). Se madeira 
ou carvão vegetal são usados, a conseqüência é 
o desmatamento. 
Nuclear: pode ser considerada como uma 
térmica que usa caldeira, sendo a fonte de 
calor um reator nuclear em vez da queima de 
combustível. Por algum tempo foi considerada 
a solução do futuro para a geração de energia 
elétrica. Mas os vários acidentes ocorridos ao 
longo do tempo revelaram um enorme 
potencial de risco. Os resíduos (lixo atômico) 
são outro grave problema.Em vários países não 
é mais permitida a construção de novas usinas 
nucleares. 
Hídrica: a energia potencial de uma queda 
d'água é usada para acionar turbinas que, por 
sua vez, acionam geradores elétricos. Em geral 
as quedas d'água são artificialmente 
construídas (barragens), formando extensos 
reservatórios, necessários para garantir o 
suprimento em períodos de pouca chuva. Não 
é um método totalmente inofensivo para o 
ambiente. Afinal, os reservatórios ocupam 
áreas enormes mas é um problema 
consideravelmente menor que os anteriores. 
Evidente que a disponibilidade é totalmente 
dependente dos recursos hídricos de cada 
região. No Brasil representa a maior parcela da 
energia gerada. 
 Outros meios, considerados 
ecologicamente limpos, vêm sendo usados 
cada vez mais, embora a participação global 
seja ainda pequena: solar e eólico. No 
primeiro, em geral, a energia da radiação solar 
é convertida diretamente em elétrica com o uso 
de células fotovoltaicas. Há necessidade de 
acumuladores (baterias) para suprir picos de 
demanda e fornecer energia durante a noite. 
Usado principalmente para pequenas unidades 
residenciais em zonas rurais. No método 
eólico, o arraste dos ventos aciona pás 
acopladas a geradores. É claro que a 
viabilidade depende das características 
climáticas da região. Em alguns países sua 
participação vem aumentando, dada a 
possibilidade de se obter quantidades razoáveis 
de energia com quase nenhum prejuízo 
ecológico. Entretanto, é sempre um sistema 
complementar a um outro, uma vez que a 
irregularidade dos ventos não permite um 
fornecimento constante. 
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6.2. Geração 
 
Denominamos alternador ao gerador de 
corrente alternada, assim como denominamos 
dínamo ao gerador de corrente contínua. Os 
geradores são máquinas destinadas a converter 
energia mecânica em energia elétrica. A 
transformação de energia nos geradores 
fundamenta-se nas Leis de Faraday e Lenz. A Lei 
de Faraday afirma que todo condutor imerso em 
um campo magnético variável produz uma força 
eletromotriz induzida (femi). A Lei de Lenz 
complementa a Lei de Faraday informando que a 
polaridade da femi produz uma corrente induzida 
que tende a se opor à causa que lhe originou. 
 Os alternadores pertencem à categoria das 
máquinas síncronas, isto é, máquinas cuja rotação 
é diretamente relacionada ao número de pólos 
magnéticos e a freqüência da força eletromotriz. 
Não há, basicamente, diferenças construtivas entre 
um alternador e um motor síncrono, podendo um 
substituir o outro sem prejuízo de desempenho. 
Assim, um alternador quando tem seu eixo 
acionado por um motor, produz energia elétrica 
nos terminais e, ao contrário, recebendo energia 
elétrica nos seus terminais, produz energia 
mecânica na ponta do eixo, com o mesmo 
rendimento. 
 A indução magnética ocorre sempre que há 
movimento relativo entre um condutor e um campo 
magnético. O gerador elementar, concebido por 
Michael Faraday em 1831, na Inglaterra e mais ou 
menos na mesma época por Joseph Henry, nos 
Estados Unidos, era constituído por uma espira que 
girava entre os pólos de um ímã, semelhante à 
figura: 
No gerador elementar acima, uma espira 
de fio girando em um campo magnético 
produz uma fem. Os terminais da bobina são 
ligados ao circuito externo por meio dos anéis 
coletores e escovas. 
 A força eletromotriz e a corrente de um 
gerador elementar mudam de direção cada vez 
que a espira gira 180°. A tensão de saída deste 
gerador é alternada, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
 
Faraday estabeleceu, ainda, que os 
valores instantâneos da força eletromotriz (ou 
tensão) podiam ser calculados pela relação: 
 
 
 
onde: 
e = força eletromotriz; 
B = indução do Campo Magnético; 
l = comprimento do condutor; 
v = velocidade linear de deslocamento do 
condutor e 
θ = ângulo formado entre B e v; 
 O campo magnético da figura acima é 
constituído por ímãs naturais. Para que seja 
possível controlar tensão e corrente em um 
alternador, o campo magnético é produzido 
e = B . l . v. sen(θ)
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por ímãs artificiais, formados por bobinas 
alimentadas com corrente contínua suprida por 
uma fonte externa e controlada por um 
regulador de tensão. 
 
6.3. Definições em CA 
 
CICLO: É um conjunto de valores que se 
repetem periodicamente. O tempo necessário 
para que a onda senoidal complete um ciclo é 
chamado de PERÍODO (T), e é dado em 
segundos (s). 
 
FREQUÊNCIA: Exprime a quantidade de 
períodos de uma onda no tempo de um segundo. 
 
 
 
 
 A unidade de freqüência é Hertz (Hz) 
que é igual a ciclos/segundo. 
 
VELOCIDADE ANGULAR (ω): É o ângulo 
descrito na unidade de tempo. 
 
 
 
 
 
CURVA DE VARIAÇÃO DE UMA GRANDEZA 
ALTERNADA: 
 
 
 
 
Uma corrente senoidal pode ser 
representada pela componente vertical de um 
vetor demódulo Ip (corrente de pico) que gira 
no sentido anti-horário com velocidade angular 
constante w = 2πf. 
 Nota-se a semelhança com um número 
complexo. Assim podemos escrever: 
i = Ip(cos wt + j sen wt) = Ip ejwt 
 
e para a tensão: 
 
v = Vp(cos wt + j sen wt) = Vp ejwt 
 
 E, para indicar a representação 
complexa, usamos I em vez de i e V em vez de 
v. 
 
 
Corrente: i = Ip sen(wt) 
Tensão: v = Vp sen(wt + ø) 
Legenda (fórmulas e figura): 
v tensão instantânea 
i corrente instantânea 
Vp tensão de pico 
Ip corrente de pico 
f freqüência 
w freqüência angular (= 2πf) 
t tempo 
ø ângulo de fase 
T período (=2π/w=1/f) 
 
Numa grandeza senoidal temos os 
seguintes tipos de valor: 
 
VALOR MÁXIMO: É o máximo valor que uma 
grandeza pode assumir. Também é conhecido 
como Valor de Pico (VP) ou de Crista. Os 
valores compreendidos entre o pico de 
frequencia f
T
= =
1 
w
T
f= =2 2π π . 
V t V sen w t( ) max. ( . )= 
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máximo positivo e o de máximo negativo são 
chamados de Valor Pico-a-Pico(VPP = 2.VP). 
 
VALOR MÉDIO: O valor médio de uma 
grandeza senoidal, quando considerado de um 
período inteiro, é nulo, pois a soma dos valores 
instantâneos relativa à semi-onda positiva é 
igual à negativa, sendo sua resultante 
constantemente nula. 
 Pela razão exposta, o valor médio de 
uma grandeza alternada senoidal deve ser 
considerado como sendo a média aritmética 
dos valores instantâneos no intervalo de meio 
período. Este valor médio é representado pela 
ordenada média da semi-onda que indica os 
valores instantâneos. 
 
 
 
 
 
VALOR EFICAZ: Suponha-se que dois 
circuitos elétricos iguais de resistência R são 
atravessados um por corrente contínua e outro 
por corrente alternada. Se os dois circuitos 
considerados produzirem a mesma quantidade 
de calor, se dirá que há equivalência entre as 
duas correntes. Não se pode, porém dizer que 
o valor médio da corrente alternada 
corresponde ao da corrente contínua, pois o 
valor médio de uma grandeza alternada é zero. 
 Para expressar a equivalência entre as 
duas correntes se dirá que a intensidade da 
corrente contínua é igual ao valor eficaz da 
corrente alternada. Isto é, uma corrente 
alternada que possui o valor eficaz de 10 A, 
quando atravessar um circuito elétrico 
produzirá a mesma quantidade de calor que 
uma corrente contínua, cuja intensidade é 10 
A. 
 
 
 
 
 
O valor eficaz é o valor de uma corrente 
contínua que produz a mesma dissipação de 
calor em um resistor. É também é chamado de 
rms (root mean square). A maioria dos 
voltímetros e amperímetros para corrente 
alternada indicam valores em rms. Entretanto, 
é importante lembrar que instrumentos comuns 
só indicam o valor rms correto para tensões ou 
correntes senoidais. Para outras formas devem 
ser usados tipos mais sofisticados, chamados 
de true-rms. 
 
 
 
 
Assim, por exemplo, 110 Volts eficazes 
correspondem a uma amplitude de 155.6 V e 
uma amplitude pico-a-pico de 311 V. 
Resumindo: 
 
 
 
FATOR DE FORMA: É a relação entre o valor 
eficaz e o valor médio de uma onda. No caso 
de uma onda senoidal temos: 
 
 
 
 
 
ÂNGULO DE FASE: O ângulo de fase entre 
duas formas de onda de mesma freqüência é a 
diferença angular num dado instante. Por 
exemplo, o ângulo de fase entre as ondas A e B 
da figura abaixo é de 90°. Considere o instante 
para 90°. O eixo horizontal representa as 
unidades de tempo em ângulos. A onda B 
começa com seu valor máximo e cai para zero 
em 90°, enquanto a onda A começa em zero e 
cresce até seu valor máximo em 90°. A onda B 
atinge seu valor máximo 90° na frente da onda 
Vmedio V V= =2 0 636
π
. max , . max 
Vef V
Vef V
=
=
2
2
0 707
. max
, . max
 
2 / Vp Vef = 2 /Ip Ief = 
K Vef
Vmedio
= = 111, 
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A; logo, a onda B está adiantada relativamente 
à onda A de 90°. Este ângulo de fase de 90° 
entre as ondas A e B é mantido durante o ciclo 
completo e todos os ciclos sucessivos. Em 
qualquer instante, a onda B passa pelo valor 
que a onda A terá 90° mais tarde. 
 
 
FASORES: Na comparação de ângulos de fase 
ou simplesmente fases de correntes e tensões 
alternadas, é mais conveniente a utilização de 
diagrama de fasores correspondentes às formas 
de onda da tensão e da corrente. Um fasor é 
uma entidade com módulo e sentido. Os 
termos fasor e vetor são usados para 
representar quantidades que possuem um 
sentido. Entretanto, o fasor varia com o tempo, 
enquanto o vetor tem sentido fixo no espaço. 
Eixo de projeção
Eixo de referência
V
T.t
N
sombra: 
função senoidal 
da tensão V 
 
 
6.4. Formas de Representação de um 
Sinal Senoidal 
 
6.4.1. Forma de Onda 
 Representa graficamente a variação do 
sinal senoidal em função do tempo. O exemplo 
abaixo mostra a representação por forma de 
onda de duas tensões senoidais, A e B. 
 
 
 
6.4.2. Diagrama Fasorial 
 Representa fasorialmente os sinais 
senoidais. Para os sinais senoidais A e B, do 
exemplo acima, teremos o diagrama fasorial, 
com valores de pico: 
VA
VB
30°
400 V
T = 120.B
 
 
6.4.3. Expressão trigonométrica 
 Representa sob forma de função 
trigonométrica os sinais senoidais. Para o 
exemplo acima teremos: 
 
vA = 220.sen (120.π.t + 30°) [V] 
 
vB = 400.sen (120.π.t) [V] 
 
6.4.4. Números Complexos 
 Representa sob forma de números 
complexos os sinais senoidais. Para o exemplo 
acima teremos: 
 
VA = 220 |30° [V] 
 60 Hz 
VB = 400 |0° [V] 
 
 Nota-se que na representação por 
números complexos não é possível identificar 
a freqüência, devendo esta ser informa 
separadamente. 
 
 
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6.5. Tipos de Cargas em Circuitos CA 
 
6.5.1. Cargas Resistivas Puras 
 Em um circuito resistivo puro em CA, as 
variações na corrente ocorrem em fase com a 
tensão aplicada. 
 
 
 IR 
 
 
 
 
Expressões trigonométricas: 
 
tsenVv PR .. ω= 
tsenItsen
R
Vi PPR .... ωω == 
 
Forma de onda: 
 
 
Diagrama fasorial: 
 
 
Números complexos: 
 
 VR = VP |0° [V] 
 
 IR = IP |0° [A] 
 
6.5.1.1. Potência em Cargas Resistivas Puras 
 
2
2
.. RRRR IRR
VIVP === 
 
tsenIVp PP ...
2 ω= 
 A figura abaixo apresenta a variação da 
potência em função do tempo para um circuito 
resistivo puro. Nota-se que a potência apenas 
assume valores positivos, sendo denominada 
de potência ativa, uma vez que representa a 
potência fornecida à carga, produzindo 
trabalho útil. 
 
A potência média de um circuito 
resistivo puro pode ser determinada 
multiplicando-se a tensão rms pela corrente 
rms: 
 
PPrmsrmsmédia IVIVP ..5,0. == 
 
6.5.2. Cargas Capacitivas Puras 
 Em um circuito capacitivo puro em CA, 
a corrente está adiantada 90° em relação à 
tensão aplicada. 
 
 IC 
 
 
 
 
 
t
VC
t
QVCQ
∆
∆
=
∆
∆
⇒= .. 
 
t
VCi
t
Qimas
∆
∆
=⇒
∆
∆
= . 
 
tsenVv P .. ω= 
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t
tsenVCiLogo P
∆
∆
=
... ω 
 
Derivando a equação acima, temos: 
 
tVCi P .cos... ωω= 
 
)90.(... °+= tsenVCi P ωω 
 
 Portanto, para um circuito capacitivo 
puro teremosas seguintes expressões 
trigonométricas: 
 
tsenVv PC .. ω= 
)90.(... °+= tsenVCi PC ωω 
PP VCI ..ω= 
 
Formas de onda: 
 
 
 
Diagrama fasorial: 
 
 
Números complexos: 
 
 VC = VP |0° [V] 
 
 IC = IP |+90° [A] 
 
6.5.2.1. Reatância Capacitiva 
 A reatância capacitiva XC é a dificuldade 
imposta pelo campo elétrico do capacitor à 
passagem da corrente elétrica. Sua unidade é o 
ohm. 
 
 
 
 
 
6.5.2.2. Potência em Cargas Capacitivas 
Puras 
 
CC IVP .= 
))90.(.).(..( °+= tsenItsenVp PP ωω 
tsenIVp PP ..2.
2
. ω= 
 
 A figura abaixo apresenta a variação da 
potência em função do tempo para um circuito 
capacitivo puro. Nota-se que a potência 
assume valores positivos e negativos, sendo 
seu valor médio igual a zero. Esta potência é 
denominada potência reativa capacitiva, uma 
vez que representa a potência trocada entre a 
fonte e o capacitor (carga e descarga), não 
representando trabalho útil. 
 
 
6.5.3. Cargas Indutivas Puras 
 Em um circuito indutivo puro em CA, a 
corrente está atrasada 90° em relação à tensão 
aplicada. 
 
 IL 
 
 
 
 
Considerando: 
tsenIi P .. ω= 
CfC
X C ...2
1
.
1
πω
== 
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t
tsenIL
t
iLv P
∆
∆
=
∆
∆
=
.... ω 
 
Derivando a equação acima, temos: 
 
tILv P .cos... ωω= 
)90.(... °+= tsenILv P ωω 
 
Portanto, para um circuito indutivo puro, 
teremos as seguintes expressões 
trigonométricas: 
 
)90.(... °+= tsenILv PL ωω 
tsenIi PL .. ω= 
PP VL
I .
.
1
ω
= 
 
Formas de onda: 
 
 
 
 
Diagrama fasorial: 
 
 
Números complexos: 
 
 VL = VP |90° [V] 
 
 IL = IP |0° [A] 
 
 
 
6.5.3.1. Reatância Indutiva 
 A reatância indutiva XL é a dificuldade 
imposta pelo campo magnético do indutor à 
passagem da corrente elétrica. Sua unidade é o 
ohm. 
 
 
 
 
 
6.5.3.2. Potência em Cargas Indutivas Puras 
 
LL IVP .= 
))90.(.).(..( °−= tsenItsenVp PP ωω 
tsenIVp PP ..2.
2
. ω−= 
 
 A figura abaixo apresenta a variação da 
potência em função do tempo para um circuito 
indutivo puro. Nota-se que a potência assume 
valores positivos e negativos, sendo seu valor 
médio igual à zero. Esta potência é 
denominada potência reativa indutiva, uma vez 
que representa a potência trocada entre a fonte 
e o indutor (carga e descarga), não 
representando trabalho útil. Nota-se que a 
potência reativa indutiva é inversa à potência 
reativa capacitiva. 
 
 
6.6. Impedância 
 
 A impedância, por definição, é a relação 
entre os valores eficazes de tensão e corrente 
em um circuito CA genérico. Esta grandeza 
 
LfLX L ...2. πω == 
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representa a oposição total oferecida pela 
carga à passagem da corrente alternada 
senoidal. Sua unidade é o ohm. 
 
 
 
 
 
Para circuitos capacitivos: 
CXjRCj
RZ .
.
1
−=+=
ω 
 
Triângulo de Impedâncias: 
R
XC
Z
N
 
 
Para circuitos indutivos: 
LXjRLjRZ .. +=+= ω 
 
Triângulo de Impedâncias: 
 
R
XL
Z
N
 
 
6.7. Admitância 
 
 A admitância, por definição, é o inverso 
da impedância. Esta grandeza representa a 
facilidade total oferecida pela carga à 
passagem da corrente alternada senoidal. Sua 
unidade é o Siemens (S). 
 
 
 
 
6.8. Condutância 
 
 A condutância, por definição, é o inverso 
da resistência. Esta grandeza representa a 
facilidade total oferecida pela carga resisitiva à 
passagem da corrente alternada senoidal. Sua 
unidade é o Siemens (S). 
 
 
 
 
 
6.9. Susceptância 
 
 A susceptância (indutiva ou capacitiva), 
por definição, é o inverso da reatância 
(indutiva ou capacitiva). Esta grandeza 
representa o quanto um componente, 
capacitivo ou indutivo, é susceptível à 
passagem da corrente elétrica. Sua unidade é o 
Siemens. 
 
 
 
 
 
 
6.10. Circuito RLC Série 
 
 O circuito RLC série é formado por um 
resistor, um indutor e um capacitor ligados em 
série, como mostra a figura abaixo, cuja 
corrente foi considerada, arbitrariamente, 
como tendo fase inicial zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em um circuito RLC série, a tensão total 
aplicada é a soma vetorial das tensões no 
resistor, capacitor e indutor, isto é: 
 
 
 
 
jXRZ += 
Z
Y 1= 
R
G 1= 
L
L X
b 1= 
C
C X
b 1= 
CLR vvvv ++= 
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 Com relação ao diagrama fasorial acima, 
sabe-se que: 
● a tensão no resistor está em fase com a 
corrente; 
● a tensão no indutor está adiantada 90° em 
relação à corrente; 
● a tensão no capacitor está atrasada 90° em 
relação à corrente; 
 A figura abaixo mostra os diagramas de 
tensões e triângulo de impedâncias, 
considerando VL>VC, isto é, XL>XC. 
 
 
 
 Como VL > VC, a defasagem Φ da 
tensão do gerador em relação à corrente é 
positiva, porém menor que 90°, devido à 
influência do resistor. Isto significa que a 
fase da impedância é também positiva, 
caracterizando um circuito indutivo, no 
qual a reatância indutiva predomina sobre 
a capacitiva. 
 
 
 
 
 A partir do triângulo de impedâncias e de 
tensões, obtem-se o Triângulo de Potências: 
 
a) Para Circuito Capacitivo: 
P
Pr
Pa
N
 
 
b) Para Circuito Indutivo: 
P
Pr
Pa
 
 
 Através das relações nos triângulos de 
potências acima, as potências ativa (P), reativa 
capacitiva (Pr) e aparente (Pa), podem ser 
expressas por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.11. Circuito RLC Paralelo 
 
 O circuito RLC paralelo é formado por 
um resistor, um indutor e um capacitor ligados 
em paralelo, como mostra a figura abaixo, cuja 
tensão foi considerada, arbitrariamente, como 
tendo fase inicial zero. 
 
 
 
 
][cos.. WIVP rmsrms φ= 
 
][.. VArsenIVP rmsrmsr φ= 
 
][. VAIVP rmsrmsa = 
)( CL XXjRZ −+= 
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Em um circuito RLC paralelo, a corrente 
total fornecida pelo gerador é a soma vetorial 
das correntes no resistor, capacitor e indutor, 
isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Com relação ao diagrama fasorial acima, 
sabe-se que: 
● a corrente no resistor está em fase com a 
tensão; 
● a corrente no indutor está atrasada 90° em 
relação à tensão; 
● a corrente no capacitor está adiantada 90° 
em relação à tensão; 
 
321
1111
ZZZZT
++= 
 






−+=
CLT XX
j
RZ
11.11 
 
 
 
 
Se bL > bC → XL < XC → circuito indutivo; 
Se bL < bC → XL > XC → circuito capacitivo; 
 
 Após determinada a impedância 
equivalente da associação paralelo, as 
potências ativa, reativa e aparente podem ser 
determinadas pelas mesmas equações 
empregadas no circuito RLC série. 
 
6.12. Fator de Potência 
 
 O fator de potência de um circuito mede 
a relação entre a potência útil e a potência total 
de um circuito, isto é, o aproveitamento da 
potência total de um circuito para a produção 
de trabalho útil. 
 A partir do triângulo de potências, temos: 
 
 
 
 
 
 
 Onde φ é o ângulo de fase (ângulo da 
impedância). 
 
6.13. Circuitos Ressonantes 
 
 Um circuito ressonante é aquele que 
apresenta a menor oposição possível à 
passagem da corrente elétrica numa 
determinada freqüência fo, denominada 
freqüência de ressonância do circuito. Isto 
significa que as freqüências maiores e menores 
que fo encontrarão maior oposiçãopor parte do 
circuito ressonante. 
 A figura abaixo mostra um circuito 
ressonante série, no qual é aplicada uma tensão 
alternada em uma determinada freqüência. 
 Quando a freqüência da 
tensão v é tal que XL = XC, a 
reatância indutiva é anulada 
pela reatância capacitiva, já 
que estão defasadas de 180°. 
Isto significa que o circuito 
comporta-se como se fosse 
uma resistência pura. 
 A freqüência de 
ressonância fo, na qual este 
fenômeno ocorre, pode ser 
determinada pela expressão: 
 
 
 
 
CLR iiii ++= 
)( CL bbjGY −+= 
Pa
PFP == φcos 
CL
fo ..2
1
π
= 
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 Os gráficos da figura abaixo mostram o 
comportamento do circuito ressonante série em 
função da freqüência: 
 
(a) Gráfico da Impedância 
 
(b) Gráfico da Corrente 
 
 Das figuras acima podem-se tirar as 
seguintes conclusões: 
● na freqüência de ressonância, o circuito é 
puramente resistivo e a oposição à corrente 
é mínima, resultando numa corrente 
máxima; 
● abaixo da freqüência de ressonância, a 
impedância é capacitiva (XC > XL) e a 
corrente está adiantada em relação à tensão 
aplicada; 
● acima da freqüência de ressonância, a 
impedância é indutiva (XL > XC) e a 
corrente está atrasada em relação à tensão 
aplicada. 
 
 Para o circuito RLC paralelo, vale 
também a expressão da freqüência de 
ressonância mostrada acima. Mas neste caso, 
como os dispositivos estão em paralelo, os 
gráficos da impedância e da corrente diferem 
do circuito série, conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 Das figuras acima podem-se tirar as 
seguintes conclusões: 
● na freqüência de ressonância, o circuito é 
puramente resistivo e a oposição à corrente 
é máxima, resultando numa corrente 
mínima; 
● abaixo da freqüência de ressonância, a 
impedância é indutiva (XC > XL); 
● acima da freqüência de ressonância, a 
impedância é capacitiva (XL > XC). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
01. Explique o princípio de funcionamento 
de um gerador elementar de corrente 
alternada. 
 
02. Quais as diferenças entre o gerador CA e 
CC quanto ao princípio de 
funcionamento? Explique. 
 
03. De que depende a tensão induzida nas 
bobinas de um gerador CA? Represente 
matematicamente. 
 
04. Diferencie valor de pico, pico a pico, 
médio e eficaz de um sinal senoidal. 
 
05. O que é fator de forma? 
 
06. O que é um fasor? 
 
07. Quais as formas de representação de um 
sinal senoidal? Exemplifique e explique 
cada uma. 
 
08. Qual a relação entre a corrente e a tensão 
em circuitos resistivos, capacitivos e 
indutivos puros? 
 
09. Diferencie reatância indutiva de reatância 
capacitiva. 
 
10. Qual a influência da freqüência na 
resistência, reatância capacitiva e 
reatância indutiva? 
 
11. O que é impedância? 
 
12. Defina Admitância, Condutância, 
Susceptância Indutiva e Susceptância 
Capacitiva. 
 
13. Diferencie potência ativa, reativa e 
aparente. 
 
14. Conceitue fator de potência. 
 
15. O que é ressonância? Quais as condições 
para que um circuito RLC ressone? 
 
16. Para as formas de onda abaixo, 
determine: 
a) valor rms, médio, pico e pico a pico; 
b) período, freqüência e velocidade 
angular; 
c) fase inicial e defasagem entre elas; 
d) expressões matemáticas. 
 
 
 
 
17. Uma tensão senoidal tem freqüência de 
100Hz, valor de pico de 10V e inicia o 
ciclo com atraso de π/3 rad. Pedem-se: 
a) Período e freqüência angular; 
b) Expressão matemática; 
c) Representação gráfica. 
 
18. Represente os sinais do exercício 16 
através de diagrama fasorial; 
 
19. Represente os sinais do exercício 16 
através de números complexos; 
 
20. Dadas as tensões v1 = 30 |0° Vp e v2(t) = 
20.sen (ωt + π/2) [V], pedem-se os 
sinais: 
a) v3 = v1+v2, fasorialmente; 
b) v3 = v1+v2, matematicamente, através 
de n°s complexos; 
c) v3 = v1+v2, graficamente, soma ponto 
a ponto; 
d) v4 = v1-v2, fasorialmente; 
e) v4 = v1-v2, matematicamente, através 
de n°s complexos; 
 
21. Dado o circuito a seguir, determine: 
 
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a) Expressões de v(t) e i(t) nas formas 
trigonométrica e complexa; 
b) Formas de onda e representações 
fasoriais de v(t) e i(t); 
c) Expressões de v1(t) e v2(t) nas formas 
trigonométrica e complexa; 
d) Formas de onda e representações 
fasoriais de v1(t) e v2(t); 
e) Potências de pico e média fornecida 
pelo gerador e dissipada por cada 
resistor; 
f) Formas de onda das potências do 
item anterior. 
 
22. Dado o circuito a seguir, determine: 
 
 
a) Expressões de v(t) e i(t) nas formas 
trigonométrica e complexa; 
b) Formas de onda e representações 
fasoriais de v(t) e i(t); 
c) Expressões de i1(t) e i2(t) nas formas 
trigonométrica e complexa; 
d) Formas de onda e representações 
fasoriais de i1(t) e i2(t); 
e) Potências de pico e média fornecida 
pelo gerador e dissipada por cada 
resistor; 
f) Formas de onda das potências do 
item anterior. 
 
23. Um aquecedor elétrico para torneira tem 
o circuito a seguir: 
 
a) Qual a potência média e de pico 
dissipada pelo aquecedor em cada 
posição? 
b) Qual a corrente eficaz e de pico 
consumida pelo aquecedor em cada 
posição? 
24. Em que freqüências um capacitor de 
33uF possui reatâncias de 10Ω e 1kΩ? 
 
25. Para o circuito abaixo, determine a 
intensidade da corrente rms, 
representando-a em diagrama fasorial. 
 
 
 
26. Em que freqüências a corrente eficaz no 
circuito a seguir vale 10mA e 1A? 
 
 
27. Calcule a reatância de um capacitor de 
4,7uF nas freqüências de 60 e 400Hz. 
 
28. Um capacitor de 1uF e conectado a uma 
fonte de tensão alternada de 50 |60° V, 
60Hz. Determine, na forma complexa, a 
reatância, bem como a corrente do 
circuito. 
 
29. Uma bobina ideal tem 50Ω de reatância 
quando ligada num gerador cuja tensão é: 
v(t) = 20.sen (5.102.t+90°) [V]. Pedem-
se: 
 a) expressão da corrente em função do 
tempo e na forma polar; 
 b) valor eficaz da tensão e da corrente; 
 c) valor da indutância; 
 d) diagrama fasorial. 
 
30. Uma bobina ideal tem a seguinte reatância: 
XL = 250|90° Ω. Ela é percorrida por 
uma corrente i(t) = 100.sen (103.t + 45°) 
[mA]. Pedem-se: 
 a) expressão da tensão em função do 
tempo e na forma polar; 
 b) valor eficaz da tensão e corrente; 
 c) valor da indutância; 
 d) diagrama fasorial. 
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31. Em relação ao circuito a seguir, pedem-
se: 
 
a) expressão da corrente em função do 
tempo e na forma polar; 
b) valor eficaz da corrente e da tensão; 
c) valor da reatância; 
d) diagrama fasorial. 
 
32. Em um circuito indutivo alimentado com 
110V rms, 60Hz, deseja-se que a 
corrente seja limitada em 200mAp. 
Determine o valor da indutância a ser 
projetada. 
 
33. Sobre uma bobina de 200mH é aplicada 
uma tensão de 110V rms / 60Hz. 
Considerando a bobina ideal e a fase 
inicial da tensão nula, pedem-se: 
 a) reatância da bobina em módulo e em 
número complexo; 
 b) valor eficaz da corrente da bobina; 
 c) valor médio da corrente na bobina; 
 d) valor de pico da corrente da bobina; 
 e) gráficos da tensão e corrente na 
bobina; 
 
34. Um amperímetroindicou a leitura de 
10A para a corrente de um determinado 
circuito. Determine a corrente de pico, 
eficaz e média. 
 
35. A um circuito série, constituído por uma 
resistência de 15Ω, uma indutância de 
0,1H e uma capacitância de 50uF é 
aplicada uma tensão de 110 |0°V na 
freqüência de 60Hz. Calcular: 
 a) a corrente solicitada pelo circuito; 
 b) as quedas de tensões no resistor, 
indutor e capacitor, comprovando a 
tensão total; 
 c) a potência total consumida pelo 
circuito, bem como a potência ativa e 
reativa; 
 d) o ângulo de fase; 
 e) representar o circuito vetorialmente, 
caracterizando-o. 
 
36. Uma tensão de 200|30°V na freqüência 
de 60Hz alimenta um circuito série 
constituído por uma resistência de 10 Ω, 
uma indutância de 500mH e uma 
capacitância de 100uF. Calcular os 
mesmos itens do exercício 35. 
 
37. Uma tensão de 240|30°V, de freqüência 
60Hz alimenta um circuito série 
constituído por uma resistência de 20Ω, 
uma reatância de j20Ω e uma 
capacitância de 200uF. Calcular: 
 a) a corrente absorvida pelo circuito; 
 b) a potência aparente, ativa e reativa; 
 c) o ângulo de fase; 
 d) representação fasorial caracterizando 
o circuito. 
 
38. A um circuito série constituído por uma 
resistência de 5Ω, uma indutância de 
0,5H e uma reatância de –j30Ω é 
aplicada uma tensão de 220|60°V. 
Sabendo-se que a velocidade angular no 
circuito é de 40rad/s, calcular os mesmos 
itens do exercício 37. 
 
39. Para o circuito abaixo, calcule: 
 
a) I1, I2, I3 e I4; 
b) It; 
c) ângulo de fase; 
d) representação vetorial, caracterizando 
o circuito. 
 
40. Três impedâncias de valores iguais a: 
Z1= 100Ω, Z2=10 + j20Ω e Z3=5-j10Ω 
são ligadas em paralelo. Sabendo-se que 
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a corrente que circula por Z1=2A, 
calcular: 
a) as correntes i2 e i3; 
b) a corrente total; 
c) o ângulo de fase; 
d) potências ativa, reativa e aparente; 
e) fator de potência; 
f) fazer a representação vetorial 
caracterizando o circuito. 
 
41. Uma impedância de 10|60°Ω é associada 
em paralelo a um capacitor de 10uF. 
Sabendo-se que ao circuito foi aplicada 
uma tensão de 100|30°V, 60Hz, calcule: 
 a) as correntes i1 e i2 (capacitor); 
 b) a corrente total; 
 c) o ângulo de fase; 
 d) potência ativa, reativa e aparente; 
 e) fator de potência; 
 f) representação fasorial caracterizando o 
circuito. 
 
42. Em um circuito RLC série tem-se: R = 
100 ohms, L = 1 mH e C = 0,1uF. Se a 
tensão do gerador é de 10∟0°V, pedem-
se: 
a) freqüência de ressonância do circuito; 
b) corrente fornecida pelo gerador na 
freqüência de ressonância; 
c) ângulo de defasagem entre tensão do 
gerador e corrente na ressonância; 
d) corrente e defasagem se f=20kHz; 
e) corrente e defasagem se f=10kHz. 
 
43. Em um circuito RLC série, tem-se: VR = 
6V, VC = 20V, VL = 12V e I = 10∟0° 
mA. Pedem-se: 
a) impedância complexa; 
b) tensão aplicada no circuito; 
c) diagrama fasorial caracterizando o 
circuito. 
d) potência ativa, reativa e aparente; 
e) fator de potência. 
 
44. Em um circuito RLC série, o ângulo de 
defasagem entre tensão do gerador e 
corrente é de 60°, sendo f = 60 Hz, Z = 
200 ohms e XC = 2.XL. Determine: 
a) se o circuito é indutivo ou capacitivo; 
b) valor de R, L e C; 
c) diagrama fasorial. 
 
45. Dado o circuito a seguir, pedem-se: 
 
a) impedância complexa; 
b) freqüência de ressonância; 
c) corrente complexa; 
 
46. O circuito de sintonia de um rádio AM 
tem uma bobina de L = 100uH em série a 
um capacitor variável. Quais os limites 
de capacitância deste capacitor para que 
a rádio sintonize de 530 kHz a 1600 
kHz? 
 
47. Dado o circuito a seguir, pedem-se: 
 
a) corrente em cada componente e a 
corrente total; 
b) impedância complexa; 
c) diagrama fasorial caracterizando o 
circuito. 
 
48. Dado o circuito a seguir, pedem-se: 
 
a) impedância complexa; 
b) corrente complexa fornecida pelo 
gerador; 
c) diagrama fasorial caracterizando o 
circuito. 
 
49. Dado o circuito a seguir, pedem-se: 
 
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a) corrente complexa em cada 
componente e no gerador; 
b) impedância complexa; 
 c) fator de potência. 
 
50. Dado o circuito a seguir, pedem-se: 
 
a) freqüência de ressonância; 
b) corrente fornecida pelo gerador na 
ressonância. 
 
51. Dado o circuito a seguir, pedem-se: 
 
a) impedância complexa; 
b) fator de potência; 
c) I, I1 e I2; 
d) diagrama fasorial caracterizando o 
circuito. 
 
52. Dado o circuito a seguir, pedem-se: 
 
a) impedância complexa.; 
b) fator de potência; 
c) I1, I2 e I3. 
 
53. Dado o circuito a seguir, determine: 
 
a) impedância complexa; 
b) I1, I2 e I3; 
c) potência ativa dissipada pelo circuito. 
54. Determine a tensão do gerador no 
circuito a seguir: 
 
 
55. Determine I1 e a tensão do gerador no 
circuito a seguir: 
 
 
56. Determine a expressão Vx(t) no circuito 
a seguir: 
 
 
57. Calcule o fator de potência e as potências 
ativa, reativa e aparente do seguinte 
circuito: 
 
58. Calcule as correntes Ia, Ib e Ic do 
circuito abaixo. 
 
 
 
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59. Calcule as tensões VR e VL do circuito 
abaixo: 
 
 
60. Dado o circuito abaixo, calcule as 
correntes Ia, Ib e Ic. 
 
 
61. Dado o circuito abaixo, calcule a 
corrente e a tensão nos capacitores C1 e 
C2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
01 – 15: Sem respostas (teóricas); 
16: a) V1rms = 8,4852V; V2rms = 11,3137V; 
 V1m = 7,6320V; V2m = 10,1760V; 
 V1p = 12V; V2p = 16V; 
 V1pp = 24V; V2pp = 32V; 
 b) T1 = T2 = 40ms; f1 = f2 = 25Hz; 
 ω1 = ω2 = 50.π rad/s; 
 c) Ф1 = -45°; Ф1 = +90°; Ф = 135°; 
 d) v1(t) = 12.sen (50.π.t – 45°) [V]; 
 v1(t) = 16.sen (50.π.t + 90°) [V]; 
17: a) T = 10ms; ω = 200.π rad/s; 
 b) v = 10.sen (200.π.t – π/3) [V]; 
18: Sem resposta; 
19: V1 = 12|-45°Vp; 
 V1 = 16|+90°Vp; 
20: a) V3 = 36,0555 |33,69° Vp; 
 b) V3 = 36,0555 |33,69° Vp; 
 c) V3 = 36,0555 |33,69° Vp; 
 d) V4 = 36,0555 |-33,69° Vp; 
 e) V4 = 36,0555 |-33,69° Vp; 
21: a) v(t) = 12.sen (ωt + 90°) [V]; 
 i(t) = 0,0024.sen (ωt + 90°) [A]; 
 Vp = 12 |90° V; 
 ip = 0,0024 |90° A; 
 b) sem resposta; 
 c) v1(t) = 4,8.sen (ωt + 90°) [V]; 
 v2(t) = 7,2.sen (ωt + 90°) [V]; 
 V1p = 4,8 |90° V; 
 V2p = 7,2 |90° V; 
 d) sem resposta; 
 e) Pp = 0,0288W; Pm = 0,0144W; 
 PmR1 = 0,00576W; PmR2 = 0,00864W; 
 f) sem resposta; 
22: a) v(t) = 12.sen (ωt + 90°) [V]; 
 i(t) = 0,01.sen (ωt + 90°) [A]; 
 Vp = 12 |90° V; 
 ip = 0,01 |90° A; 
 b) sem resposta; 
 c) i1(t) = 0,006.sen (ωt + 90°) [A]; 
 i2(t) = 0,004.sen (ωt + 90°) [A]; 
 I1p = 0,006 |90° A; 
 I2p = 0,004 |90° A; 
 d) sem resposta; 
 e) Pp = 0,12W; Pm = 0,06W; 
 PmR1 = 0,036W; PmR2 = 0,024W; 
 f) sem resposta; 
23: a) Pp1 = 1420W ; Pm1 = 1210W; 
 Pp2 = 1210W ; Pm1 = 605W; 
 Pp3 = 806,74W ; Pm3 = 403,37W; 
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 b) I1 = 11A; Ip1 = 15,558A; 
 I2 = 5,5A; Ip1 = 7,779A; 
 I3 = 3,667A; Ip1 = 5,186A; 
24: f = 482Hz e f = 4,82Hz; 
25: I = 0,1 |30° mA; 
26: f = 0,26Hz e f = 26,5Hz; 
27: Xc = 564Ω e Xc = 85 Ω; 
28: Xc = 2652,6606|-90° Ω ; 
 I = 18,8490 |150° A; 
29: a) i(t) = 0,4.sen (5.102.t) [A]; 
 Ip = 0,4 |0° A; 
 b) V = 14,1V e I = 0,28A; 
 c) L = 100mH; 
 d) sem resposta; 
30: a) v(t) = 25.sen (103.t+135°) [V]; 
 Vp = 25 |135° V; 
 b) V = 17,7V e I = 70,7mA; 
 c) L = 250mH; 
 d) sem resposta; 
31: a) i(t) = 4.sen (104.t –180°) [mA]; 
 Ip = 4 |-180° mA; 
 b) V = 14,2V e I = 2,83mA; 
 c) XL = 5000 Ω; 
 d) sem resposta; 
32: L = 2,06H; 
33: a) |Xc| = 75,4 Ω; Xc = 75,4 |90° Ω; 
 b) I = 1,46A; 
 c) Im = 1,3122A; 
 d) Ip = 2,065A; 
 e) sem resposta; 
34: Ip = 14,14A; 
 Irms = 10A; 
 Im = 8,99A. 
35: a) I = 5,12 |45° A; 
 b) VR = 76,8 |45° V; 
 VC = 271,61 |315° V; 
 VL = 192,97 |135° V; 
 c) Pa = 563, 2 VA; 
 P = 398,24W; 
 Pr = 398,24VAr; 
 d) Ф = -45°; 
 e) circuito capacitivo; 
36: a) I = 1,2324 |-56,46° A; 
 b) VR = 12,324 |-56,46° V; 
 VC = 32,6845 |-146,46° V; 
 VL = 232,3044 |33,53° V; 
 c) Pa = 246 VA; 
 P = 15,1893W; 
 Pr = 245,5306VAr; 
 d) Ф = 86,46°; 
 e) circuito indutivo; 
37: a) I = 11,36 |12° A; 
 b) Pa = 2726,4 VA; 
 P = 2592,960W; 
 Pr = 842,506VAr; 
 c) Ф = 18°; 
 d) circuito indutivo; 
38: a) I = 19,67 |123° A; 
 b) Pa = 4327,4 VA; 
 P = 1964,59W; 
 Pr = 3855,741VAr; 
 c) Ф = -63°; 
 d) circuito capacitivo; 
39: a) I1 = 0,189 |89° A; 
 I2 = 93,63 |-20° A; 
 I3 = 0,376 |87° A; 
 I4 = 0,377 |90° A; 
 b) It = 92,405 |-19° A; 
 c) Ф = 19°; 
 d) circuito indutivo; 
40: a) I2 = 8,944 |-63° A; 
 I3 = 17,88 |63° A; 
 b) It = 16,259 |29° A; 
 c) Ф = -29°; 
 d) Pa = 3251,8VA; 
 P = 2844,088W; 
 Pr = 1576,5VAr; 
 e) circuito capacitivo; 
41: a) I1 = 10 |-30° A; 
 I2 = 0,377 |120° A; 
 b) It = 9,674 |-28° A; 
 c) Ф = 58°; 
 d) Pa = 967,4VA; 
 P = 966,810W; 
 Pr = 33,761VAr; 
 e) circuito indutivo; 
42: a) f0 = 15,915 kHz; 
 b) I = 100∟0°mA; 
 c) φ = 0°; 
d) I = 90,9∟-24,7°mA; 
Def = 24,7° indutivo; 
e) I = 72,3∟43,9°mA; 
Def = 43,9° capacitivo; 
43: a) Z = 1000∟-53° ohms; 
b) V = 10∟-53° V; 
c) circuito capacitivo; 
d) Pap = 0,1VA; P = 0,6018W; 
Pr =0,7986Var; 
e) cos φ = 0,6018 capacitivo; 
44: a) capacitivo; 
b) R =100 ohms; C = 7,66 uF; 
L = 459 mH; 
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45: a) Z = 343,57∟-29,16° ohms; 
b) f0 = 227Hz; 
c) I = 145,5∟29,16° mA; 
46: a) 98,95 pF ≤ C ≤ 901,8 pF; 
47: a) IR = 20∟0° mA; IL = 100∟-90° mA; 
 IC = 40∟90°mA; 
IT = 63,25∟-71,6° mA; 
b) Z = 316,2∟+71,6° ohms; 
c) circuito indutivo; 
48: a) Z = 14∟-50° ohms; 
b) I = 7,8∟50° A; 
c) circuito capacitivo; 
49: a) IR = 5,5∟0° A; IL = 2,75∟-90° A; 
 IC = 5,5∟90° A; I = 6,15∟26,5° A; 
b) Z = 17,88∟-26,5° ohms; 
c) FP = 0,89; 
50: a) f0 = 503 kHz; 
b) I = 1∟0° mA; 
51: a) Z= 3,54∟-8,1° ohms; 
b) FP = 0,99; 
c) I = 31∟88,1°A; I1 = 22∟43,1°A; 
 I2 = 22∟133,1°A; 
d) circuito capacitivo; 
52: a) Z = 23,9∟56,7° ohms; 
b) FP = 0,55; 
c) I1 = 4,6∟-56,7° A; 
I2 = 2,8∟33,27° A; 
 I3 = 5,42∟-88,7° A; 
53: a) Z = 22,36∟-26,56° ohms; 
b) I1 = 2,24∟26,5° A; 
I2 = 2,24∟-63,5° A; 
 I3 = 3,17∟71,5° A; 
c) P = 100,5 W; 
54: V= 358∟-33,6° V; 
55: I1 = 6,45∟-41,7° A; 
 V= 68,8∟-43,9° V; 
56: Vx(t) = 47,15.sen (wt+180°) [V]; 
57: FP = 0,7; 
Pap = 756VA; P = 530W e Pr = 543Var; 
58: Ia = 0,6685∟179,8° A; 
 Ib = 11,7212∟-172,3° A; 
 Ic = 11,059∟8,17° A; 
59: VR = 11,39∟102,7° V; 
 VL = 1,161∟-39,5° V; 
60: Ia = 2,23∟112,0° A; 
 Ib = 1,105∟175,2° A; 
 Ic = 2,9∟-48,1° A; 
61: IC1 = 0,1603∟-140,95° A; 
 IC2 = 1,9347∟80,19° A; 
 VC1 = 85,0334∟-129,05° A; 
 VC2 = 285,116∟-9,81° A;