ANÁLISE MATEMÁTICA APOL02

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WLADIMIR FABIANI ALVES - RU: 1558504 Nota: 100 
PROTOCOLO: 2019072615585042B37C1C 
Disciplina(s): 
 
Análise Matemática 
Data de início: 26/07/2019 17:03 
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 26/07/2019 17:18 
 
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Questão 1/5 - Análise Matemática 
 
Observe o gráfico de uma função f(x)=(1+1x)x 
 
 representado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base no gráfico da função f(x)=(1+1x)x 
 
 e nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir. 
I. limx→∞f(x)=∞ e limx→−∞f(x)=−∞ 
II. limx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=−∞ 
III. limx→0+f(x)=1 e limx→0−f(x)=∞ 
IV. limx→0+f(x)=−∞ e limx→0−f(x)=∞ 
V. limx→0+f(x)=1 e limx→∞f(x)=e 
São corretas apenas as afirmativas: 
 
Nota: 20.0 
 A III e V 
 
Você acertou! 
A afirmativa I está incorreta porque limx→∞f(x)=e 
 e limx→−∞f(x)=e. A afirmativa II está incorreta porque limx→−∞f(x)=e. A afirmativa III está 
correta. A afirmativa IV está incorreta porque limx→0+f(x)=1 
. A afirmativa V está correta (livro-base, Capítulo 3). 
 B I e III 
 C I e IV 
 D II e V 
 E II, III e V 
Questão 2/5 - Análise Matemática 
 
Consideremos a função f:R→R 
 dada por f(x)={x2+1, x≤12x, x>1 
 
. 
 
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de funções contínuas e 
deriváveis, é correto afirmar que: 
 
 
 
Nota: 20.0 
 A 
 
Em x=1 
, f 
 
 é contínua, mas não é derivável. 
 B 
 
Em x=1 
, f 
 
 é derivável, mas não é contínua. 
 C Em x=1 
, f 
 possui limites laterais, mas são diferentes. 
 D Em x=1 
, f é contínua e é derivável. 
 
Você acertou! 
 
Temos que limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1) 
 e limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1). Portanto, f é contínua em x=1. Além disso, temos 
que limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2 e 
limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2 Logo, f é derivável em x=1 e 
f′(1)=2 
 
 (livro-base, Capítulo 4). 
 E 
 
Em x=1 
, f 
 
 não é contínua nem é derivável. 
 
 
Questão 3/5 - Análise Matemática 
 
Leia o fragmento de texto a seguir. 
 
“(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x) 
. Uma maneira conveniente de lembrar essa fórmula consiste em chamar a ‘função de fora’ e g 
a ‘função de dentro’ na composição (fg(x)) 
 
 e, então, expressar em palavras como: 
 
A derivada de (f(g(x)) 
 
 é a derivada da função de fora calculada na função de dentro vezes a derivada da função de 
dentro”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, H., 
BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman , v. 1. 2007. p. 210-211. 
 
Considere as funções e f(x)=ex 
 , g(x)=x2+2 e a função composta h(x)=f(g(x))=e(x2+2) 
 
. 
 
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre 
a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a derivada da função composta 
dada. 
 
Nota: 20.0 
 A h′(x)=(x2+2)e(x2+2) 
 B h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x 
 C h′(x)=2x⋅e(x2+2) 
 
Você acertou! 
h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2) 
(livro-base, capítulo 4). 
 D h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1 
 E h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1 
Questão 4/5 - Análise Matemática 
 
O primeiro fato a destacar sobre uma série de potências ∑∞nan(x−x0)n 
 é que o conjunto de valores de x para os quais ela converge é um intervalo de centro x0. Esse 
intervalo pode ser limitado (aberto, fechado ou semi-aberto), igual a R 
 
 ou até mesmo reduzir-se a um único ponto. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. 
Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p.159. 
Considere a expansão da série de potências ex=∑∞n=0xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R) 
 
Assinale a alternativa que contém os valores para x=1. 
 
Nota: 20.0 
 A e=∑∞n=01n!=1−11+12−16+⋯ 
 B e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯ 
 
Você acertou! 
A alternativa correta é a letra b. Substituindo os valores de n no somatório temos: 
e=∑∞n=01n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯ 
(livro-base p. 185). 
 C e=∑∞n=01n!=1+13+15+⋯ 
 
 D e=∑∞n=01n!=1−13+15−⋯ 
 
 E e=∑∞n=02nn!=1+23+34+⋯ 
 
Questão 5/5 - Análise Matemática 
 
Leia o excerto de texto a seguir. 
 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma função, e 
o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de estrutura, tornando-se 
o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, espaços topológicos são conjuntos 
equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em limites e continuidades de 
funções”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Lima, E. L. 
Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura 
e Aplicada, 2013. p. 161. 
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática com respeito à conceitos topológicos, 
enumere, na ordem sequencial, as definições – em linguagem não formal – que se relacionam a 
cada um dos elementos a seguir: 
 
 
 
 
 Conjunto aberto 
 
 Ponto interior 
 
 Conjunto fechado 
 
 Ponto de acumulação 
 
 Conjunto compacto 
 
 Ponto aderente 
 
 
 
 
( ) É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele. 
 
( ) É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 
 
( ) É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele. 
 
( ) É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto. 
 
( ) É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto. 
 
( ) É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores. 
 
 
 
Agora marque a sequência correta: 
 
 
 
Nota: 20.0 
 A 6 – 5 – 3 – 4 – 2 – 1 
 B 4 – 1 – 5 – 6 – 2 – 3 
 C 2 – 5 – 1 – 6 – 4 – 3 
 D 6 – 3 – 1 – 2 – 4 – 5 
 E 4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1 
 
Você acertou! 
 
A sequência correta é 4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1. Segundo o livro-base: “1. Conjunto aberto – É um 
conjunto onde todos os seus pontos são interiores. 2. Ponto interior – É um ponto que possui 
uma vizinhança inteiramente contida no conjunto. 3. Conjunto fechado – É um conjunto tal que 
todos os pontos aderentes pertencem à ele. 4. Ponto de acumulação – É um ponto tal que toda 
vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele. 5. Conjunto compacto – É todo 
conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 6. Ponto aderente – É um ponto que é 
limite de uma sequencia de elementos do conjunto” (livro-base, Capítulo 3).