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VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Rio de Janeiro / 2008 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS À UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO Todos os direitos reservados à Universidade Castelo Branco - UCB Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, armazenada ou transmitida de qualquer forma ou por quaisquer meios - eletrônico, mecânico, fotocópia ou gravação, sem autorização da Universidade Castelo Branco - UCB. Universidade Castelo Branco - UCB Avenida Santa Cruz, 1.631 Rio de Janeiro - RJ 21710-250 Tel. (21) 3216-7700 Fax (21) 2401-9696 www.castelobranco.br Un3e Universidade Castelo Branco Equações Diferenciais / Universidade Castelo Branco. – Rio de Janeiro: UCB, 2008. - 48 p.: il. ISBN 978-85-7880-003-1 1. Ensino a Distância. 2. Título. CDD – 371.39 Responsáveis Pela Produção do Material InstrucionalResponsáveis Pela Produção do Material Instrucional Coordenadora de Educação a DistânciaCoordenadora de Educação a Distância Prof.ª Ziléa Baptista Nespoli Coordenadora do Curso de GraduaçãoCoordenadora do Curso de Graduação Sonia Albuquerque - Matemática ConteudistaConteudista Antonio Fábio Serafi m Supervisor do Centro Editorial – CEDISupervisor do Centro Editorial – CEDI Joselmo Botelho Apresentação Prezado(a) Aluno(a): É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de gradu- ação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, conseqüentemente, propiciando oportunidade para melhoria de seu desempenho profi ssional. Nossos funcionários e nosso corpo docente es- peram retribuir a sua escolha, reafi rmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua. Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhe- cimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica. Seja bem-vindo(a)! Paulo Alcantara Gomes Reitor Orientações para o Auto-Estudo O presente instrucional está dividido em três unidades programáticas, cada uma com objetivos defi nidos e conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam atingidos com êxito. Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades com- plementares. As Unidades 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1. Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das três unidades. Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todo o conteúdo de todas as Unidades Programáticas. A carga horária do material instrucional para o auto-estudo que você está recebendo agora, juntamente com os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 60 horas-aula, que você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso. Bons Estudos! Dicas para o Auto-Estudo 1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo. 2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite interrupções. 3 - Não deixe para estudar na última hora. 4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor. 5 - Não pule etapas. 6 - Faça todas as tarefas propostas. 7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento da disciplina. 8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a auto-avaliação. 9 - Não hesite em começar de novo. SUMÁRIO Quadro-síntese do conteúdo programático ................................................................................................. 11 Contextualização da disciplina ................................................................................................................... 13 UNIDADE I EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1.1 - Introdução ........................................................................................................................................... 15 1.2 - Classifi cação ....................................................................................................................................... 15 1.3 - Ordem e Grau ..................................................................................................................................... 15 1.4 - Soluções .............................................................................................................................................. 16 1.5 - Solução Geral e Solução Particular .................................................................................................... 16 UNIDADE II EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM 2.1 - Introdução ........................................................................................................................................... 19 2.2 - Equações Separáveis ........................................................................................................................... 19 2.3 - Equações Homogêneas ....................................................................................................................... 21 2.4 - Equações Exatas ................................................................................................................................. 24 2.5 - Fator Integrante ................................................................................................................................... 26 2.6 - Equações Lineares .............................................................................................................................. 29 UNIDADE III APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM NA GEOMETRIA 3.1 - Família de Curvas ............................................................................................................................... 34 3.2 - Aplicações ........................................................................................................................................... 35 3.3 - Trajetórias Ortogonais ........................................................................................................................ 36 Glossário ..................................................................................................................................................... 39 Gabarito ....................................................................................................................................................... 40 Referências bibliográfi cas ........................................................................................................................... 45 11Quadro-síntese do conteúdo programático UNIDADES DO PROGRAMA OBJETIVOS I - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1.1 - Introdução 1.2 - Classifi cação 1.3 - Ordem e Grau 1.4 - Soluções 1.5 - Solução Geral e Solução Particular II - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM 2.1 - Introdução 2.2 - Equações Separáveis 2.3 - Equações Homogêneas 2.4 - Equações Exatas 2.5 - Fator Integrante 2.6 - Equações Lineares III - APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFEREN- CIAIS DE 1ª ORDEM À GEOMETRIA 3.1 - Família de Curvas 3.2 - Aplicações 3.3 - Trajetórias Ortogonais • Diferenciar uma equação diferencial ordinária de uma equação diferencial parcial; • Determinar a ordem e o grau de uma equação; • Verifi car se uma função ésolução da equação dada; • Resolver problemas, dado o valor inicial. • Transformar uma equação da forma normal para a forma diferencial e vice-versa; • Identifi car os diversos tipos de equações diferenciais; • Resolver uma equação diferencial separável; • Resolver uma equação diferencial homogênea; • Resolver uma equação diferencial exata; • Determinar o fator integrante e resolver a equação usando o fator integrante; • Resolver uma equação diferencial linear. • Identifi car famílias de curvas, dada uma equação diferencial; • Representar uma família de curvas no plano cartesiano; • Determinar a equação diferencial de uma família de curvas; • Encontrar as trajetórias ortogonais a uma família de curvas. 13Contextualização da Disciplina Ao elaborarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo resumido, evitando as receitas prontas e o formalismo excessivo. O objetivo é fazer com que você compreenda as idéias básicas da disciplina de Equa- ções Diferenciais e, quando necessário, saiba transferir as estruturas adquiridas às outras áreas de conhecimento. É importante observarmos a importância do perfeito entendimento das disciplinas de Cálculo I, II e III para a compreensão dessa disciplina. Esperamos que este material seja útil no desenvolvimento de seus trabalhos e no seu aprendizado. 15UNIDADE I EQUAÇÕES DIFERENCIAISEQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1.11.1 - Introdução Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma “função incógnita e suas derivadas”. Vejamos alguns exemplos: 1.21.2 - Classificação Uma equação diferencial pode ser classifi cada em: • Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) → quando existe apenas uma variável independente. Exemplos: Os itens a, b e c do exemplo anterior. • Equação Diferencial Parcial → quando a função incógnita depende de mais de uma variável independente. Podemos citar, como exemplo, os itens a, b e c, que são equações diferenciais ordinárias, enquanto o item d é uma equação diferencial parcial. 1.31.3 - Ordem e Grau A ordem de uma equação diferencial é a ordem mais alta derivada que nela comparece. Exemplos: 16 O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita como um polinômio na função incógnita e suas de- rivadas, é dado pela maior potência que defi ne a ordem da equação. Exemplos: 1.41.4 - Soluções Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável independente x, num intervalo, é uma função y(x), que verifi ca identicamente a equação para todo x no intervalo. Exemplos: a) Verifi que se y = x² – 1 é uma solução da equação ( ) 1 24 −=+ yy' : Se y = x² – 1 ⇒ y’ = 2x. Então: . Logo, y = x² – 1 não é solução da equação ( ) 1 24 −=+ yy' . b) Dada a equação diferencial ordinária y’+2y=0, verifi que se xeCy 2−= . é solução da mesma. Se xeCy 2−= . ⇒ xeCy 22 −−= ..' ⇒ 0222 22 =+−=+ −− xx eCeCyy ....' . Logo, xeCy 2−= . é solução da equação y’+2y=0. 1.51.5 - Solução Geral e Solução Particular Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer solução da equação, enquanto a solução geral é o conjunto de todas as suas soluções. Exemplo: A solução xeCy 2−= . é uma solução geral da equação, mas, quando atribuímos valores a C (constante arbitrária), obtemos soluções particulares da equação. Como: xxx eyeyey 222 7 2 5 2 −−− −=== .;.;. ; são soluções particulares da equação. 17 Exercícios de Fixação 1) Determine a ordem e o grau das equações abaixo. 2) Verifi que se a função dada constitui uma solução da equação correspondente, onde c é constante. 3) Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial ?'' 0 =− yy ( a ) y = xe ( b ) y = xsen ( c ) y = ( d ) y =0 ( e ) y = 12 +x ( f ) y = 3 4) Determine a solução do problema de valor inicial , sabendo que a solução geral da equação é ( ) ,xecxy −= . em que c é uma constante arbitrária. Exercícios de Auto-avaliação 1) Verifi que se a função dada constitui uma solução da equação correspondente, em que c e k são constantes. 2) Mostre que 1 1 2 − = x y é solução de mas não o é em qualquer intervalo mais amplo contendo ] [ 11 ,−=I : 18 3) Determine o valor de 4) Determine uma solução particular da equação 04 ,' =+ yy sabendo que 10 e 00 == )(')( yy e xcxsency 2 2 21 cos.. += é a solução geral da equação. Verifi que a solução encontrada na equação dada. 19UNIDADE II EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEMEQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM 2.12.1 - Introdução Uma equação diferencial de 1ª ordem pode ser escrita na forma diferencial ou na forma normal. • FORMA NORMAL → ( )yxfy ,, = Exemplos: • FORMA DIFERENCIAL → M (x, y).dx + N (x, y).dy = 0 Exemplos: Observe que os exemplos a e b das duas formas são os mesmos, escritos de forma diferente. 2.22.2 - Equações Separáveis Seja uma equação diferencial, na forma diferencial, . A equação se diz separável ou de variáveis separáveis, se: – ( ) ( )xAyxM =, → função somente de x; – ( ) ( )yByxN =, → função somente de y. Exemplos: SOLUÇÃO GERAL: Consideremos a equação separável: A solução é: 20 Exemplos: 1) Resolver a equação Solução: 2) Resolver a equação 1 1 2 + + = y xy, : Solução: Então: Observe no segundo exemplo que nem sempre temos condições de explicitar y em função de x. Logo, a so- lução fi cará na forma implícita. 3) Resolver a equação Solução: A condição dada de y ( 0 ) = 1 nos leva a uma solução particular da equação. Exercícios de Fixação 1) Resolva as equações diferenciais abaixo: 21 2) Pesquise equações diferenciais separáveis, resolva e verifi que o resultado encontrado, derivando a resposta. 2.32.3 - Equações Homogêneas Função Homogênea Uma função ( )yxf , é dita homogênea se ( ) ( )yxftytxtf n ,..,. = , onde n é o grau de homogeneidade. Exemplos: a) Temos: . Logo, é uma função homogênea de grau 2. b) ( ) yxeyxf +=, Temos: ( ) ( ) ( )yxfteeytxtf nyxtytxt ,..,. ... ≠== ++ . Logo, a função ( ) yxeyxf +=, não é homogênea. Equação Homogênea Uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem, é dita homogênea se as funções ( ) ( )yxNyxM ,, e forem homogêneas com o mesmo grau de homogeneidade. 22 Observe que sendo ( ) ( )yxNyxM ,, e homogêneas, com o mesmo grau de homogeneidade, temos: Fazendo: , a equação se transforma em uma equação de variáveis separáveis. Vejamos: Como: Conseqüentemente a equação pode ser escrita . Logo: . Portanto, fazendo as transformações transformamos uma equação homogênea em uma equação separável em x e t. Resolvendo a equação separável e substituindo voltamos às variáveis originais. Exemplo: Resolva a equação: (y – x) . dx + (x + y) . dy = 0. Solução: Como M e N são funções homogêneas de grau 1, logo a equação é uma equação homogênea. Substituindo y = t.x e dy = t.dx + x.dt, temos: 23 Simplifi cando a equação por ,x encontramos: Encontramos: Substituindo x yt = Encontramos: Obs.: Algumas equações diferenciais ordinárias podem ter mais de uma classifi cação, logo, mais de uma forma diferente de ser resolvida. Como exemplo, temos o segundo exercício, que mostra uma equação que é separável e homogênea e pede para resolver das duas formas. Exercícios de Fixação 1) Verifi que se as funções dadas abaixo são homogênea e, em caso afi rmativo, determine o grau de homogeneidade: 2) A equação é uma equação de variáveis separáveis e é uma equação homogênea. Resolva das duas formas, comparando os resultados obtidos: 3) Resolva a equação diferencial caso seja homogênea: 24 4) Resolva as equações diferenciais abaixo: 2.42.4- Equações Exatas Uma equação diferencial de M(x, y).dx + N(x, y).dy = 0 é dita exata se existe uma função ( )yxu , tal que: du (x, y) = M(x, y).dx + N(x, y).dy. Mas (diferencial total). Comparando a defi nição com a diferencial total, temos: Se M e N são funções contínuas com derivadas parciais primeiras contínuas em uma região do plano xy, então a equação é exata se, e somente se: SOLUÇÃO: Se Exemplos: 1) Resolver a equação: . Solução: Primeiro devemos verifi car se ela é exata. 25 Logo: Então a solução é: . 2) Resolver a equação: Solução: Inicialmente, vamos verifi car se ela é exata. A solução é dada por: Então: Portanto, ( ) ( ) .' Kyygyg +=⇒= 1 Logo, . Exercícios de Fixação 1) Verifi que se cada equação abaixo é exata ou não: 2) Resolva as equações que forem exatas: 26 3) Resolva a equação diferencial exata, dado o valor inicial: 4) Verifi que se a equação diferencial é: a) separável b) homogênea c) exata 2.52.5 - Fator Integrante Seja a equação diferencial . Sabemos que quando ocorre x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂ ela é dita exata. Se a equação não for exata, tenta-se transformar essa equação em uma equação exata, mediante uma multiplicação por um fator adequado. Exemplo: A equação Mas, se multiplicarmos a equação por ,2 1 x − obtemos: , que é uma equação diferencial exata, pois 2 1 xx N y M −= ∂ ∂ = ∂ ∂ . Esse fator ,2 1 x − é chamado fator integrante. Definição Seja a equação diferencial M(x, y).dx + N(x, y).dy = 0. Uma função ( ) yxI , é um fator integrante da equação M(x, y).dx + N(x, y).dy = 0 se a equação diferencial I(x, y).[M(x, y).dx + N(x, y).dy] = 0 é exata. Em geral, toda equação tem um fator integrante, como é provado, porém em alguns casos é difícil encontrá-lo. Exemplo: Verifi que se a função ( ) y yxI 1 =, é fator integrante da equação . Solução: Observe que a equação não é exata, pois: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxNyxMyyxNyxyxN yyxMyyxM xy x y ,, ,., .,, ≠ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ =⇒+= =⇒= 1 2 2 . Se ( ) y yxI 1 =, é um fator integrante da equação , a equação é exata. 27Aplicando a propriedade distributiva, a equação fi ca da seguinte forma: . Temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).,,,, ,, yxNyxM yxN y xyxN yxMyyxM xy x y = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ =⇒+= =⇒= 1 1 1 Portanto, ( ) y yxI 1 =, é um fator integrante da equação. Teorema Se não é uma equação exata e possui uma solução geral ( ) ,,, RKKyxu ∈= então, existe um fator integrante. Dem.: Diferenciando ( ) ,, Kyxu = temos: . Logo: . (1) Da equação inicial podemos tirar que (2) Comparando (1) e (2), temos: ( ) ( )yxN yxM y u x u , , = ∂ ∂ ∂ ∂ : Sendo ( ) ( ) ( ),,, , yxI yxN yxM = segue-se que: Mas Colocando o fator ( )yxI , em evidência, temos: Portanto, para toda equação diferencial que possui solução temos um fator integrante, ( )yxI , . 28 Determinação do Fator Integrante Muitas vezes o fator integrante é determinado por inspeção. O êxito de encontrar o fator integrante vai depen- der, então, da habilidade do calculista em reconhecer que determinado grupo de termos constitui uma equação diferencial exata, ou um fator integrante para aquela equação. Em alguns casos, os fatores integrantes podem ser determinados com o auxílio do teorema a seguir, que nos dá condições de descobrir um fator integrante quando as funções satisfazem as determi- nadas condições. Seja a equação diferencial e a função ( )yxI , um fator integrante. a) Se ( ) ( ),. xgNM N xy =− 1 função somente de x, então é um fator integrante da equação . b) Se ( ) ( ),. yhNM M xy =− 1 função somente de y, então é um fator integrante da equação . c) Se ( ) ( ),.... yxgxNyxfyM == e então a função ( ) NyMx yxI .. , − = 1 é um fator integrante da equação . Exemplo: Resolva a equação diferencial , encontrando um fator integrante: Solução: Transformando para a forma diferencial, encontramos: . Observe que: Logo, não é uma equação diferencial exata. Vamos então pesquisar um fator integrante. Se ( ) ( ) ,.. xxNM N xy 202 1 11 −=− − =− função apenas de ,x então é um fator integrante. Conseqüentemente, a equação é exata. Conferindo: é exata, vejamos: . Portanto, resolvendo a equação : 29 Seja ( )yxu , a solução da equação, logo: Então: ( ) ( ) ..'....'... 2222 22 xxxxx exxgexeyxxgeyxu −−−− −=⇒−=+= Portanto, . Logo, a solução é ou 2 1 2 1 2. 2 2 122 2 +−=⇒+−=⇒ − − = −− − x xx x eKy e Ky e eKy . Exercícios de Fixação 1) Determine um fator integrante para cada equação abaixo: 2) Dada a equação diferencial 0=− xdyydx .. , pede-se: a) encontrar um fator integrante e resolver como uma equação diferencial exata. b) resolver como uma equação diferencial separável. 3) Encontre um fator integrante e resolva a seguinte equação: 0 2 =+ ydyxxdy ... 2.62.6 - Equações Lineares Uma equação diferencial de 1ª ordem é dita equação diferencial linear quando ela pode ser escrita na forma: ( ) ( )xgyxfy =+ ., . O aspecto característico dessa equação é o fato de ela ser linear em 'yy e , enquanto ( ) ( )xgxf e podem ser quaisquer funções dadas de x . 30 Exemplos: Resolução de uma Equação Linear 1º Caso: Quando ( ) 0=xg . No caso de ( ) 0=xg , temos ( ) .., 0=+ yxfy Temos: Podemos escrever: Observe que no caso de ( ) 0=xg toda equação linear é uma equação separável. 2º Caso: Quando ( ) 0≠xg . No caso de ( ) 0≠xg , temos ( ) ( )xgyxfy =+ ., . Logo: Verifi camos que a equação obtida não é exata, pois . Portanto, vamos pesquisar um fator integrante para essa equação. Sabemos que se ( )xy NMN −.1 é uma função apenas de x, podemos descobrir um fator integrante. No caso, temos: então: é um fator integrante da equação. Multiplicando a equação pelo fator integrante, a transformamos numa equação exata. Temos: 31Chamando Mas Resolvendo a equação, temos: Mas falta descobrir ( )xj , então, derivando a solução u em relação a x temos: ( ).''.. xjheyu hx += Comparando xu na diferencial total, temos: ( ) hhh egyfexjhey ...''.. −=+ . Lembrando que Portanto, podemos escrever: Logo, a solução Ou . Mas . Portanto, Logo, se ( ) ( )xgyxfy =+ ., , com ( ) ⇒≠ 0xg . 32 Exemplos: 1) Resolva a equação 03 =+ yxy .' : Como ( ) ,0=xg estamos na situação de equação linear vista como no primeiro caso, logo: 2) Resolva a equação :' 3 =+ yy É uma equação linear do tipo visto no 2º caso, com Como ( ) 0 ,≠xg temos: ⇒ Exercícios de Fixação 1) Resolva as equações diferenciais de variável linear: 2) Resolva a equação diferencial, dado o valor inicial: Exercícios de Auto-avaliação 1) Resolva as equações diferenciais: 33 Para ilustrar o seu conhecimento, pesquise sobre as equações de Bernoulli, Riccati, Lagrange e Clairaut. 34 UNIDADE III APLICAÇÕESAPLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM NA GEOMETRIADE 1ª ORDEM NA GEOMETRIA 3.13.1 - Família de Curvas Para cada valor fi xo de k, k ∈ R, a equação F(x, y, k) representa uma curva no plano xy e, para k variável, ela representa um número infi nito de curvas. A totalidade dessas curvas é chamada família de curvas de um parâmetro, e k é chamado parâmetro da família. Ex.: a) ( ) 0=−+= kyxkyxF ,, representa uma famíliade retas paralelas, cada reta corresponde precisamente a um valor de k. Por exemplo, para 011 033 022 011 =++⇒−= =−+⇒= =−+⇒= =−+⇒= yxk yxk yxk yxk 35 b) representa uma família de circunferências de centro na origem e raio K. Por exemplo, para 93 42 11 22 22 22 =+⇒= =+⇒= =+⇒= yxk yxk yxk 3.23.2 - Aplicações 1) Determine a equação diferencial da família de circunferências de raio K e centro na origem: Solução: 2) Determine e identifi que a família de curvas cuja equação diferencial é x yy 2=' : Solução: 2 xCy .=⇒ A família de curvas é representada por 2 xCy .= , que é uma família de parábolas de vértice na origem. Derivando implicitamente, temos: 36 3.33.3 - Trajetórias Ortogonais Duas famílias de curvas são mutuamente ortogonais quando as curvas de uma família interceptam as curvas da outra, formando um ângulo reto, formando assim uma rede ortogonal. Quando são dadas as curvas de uma família e queremos descobrir uma outra família ortogonal, as curvas da família a ser obtida são chamadas de trajetórias ortogonais das curvas dadas. O ângulo de intersecção entre duas curvas é defi nido como o ângulo entre suas tangentes no ponto de intersecção. Seja uma família de curvas que pode ser representada por uma equação diferencial ( ).,' yxfy = Uma curva da família que passa por um ponto ( )00 yx , tem nesse ponto o coefi ciente angular ( )00 yxf , . O coefi ciente angular da trajetória ortogonal que passa por ( )00 yx , deve ser o recíproco negativo de ( )00 yxf , , isto é, ( )00 1 yxf , − , porque esta á a condição para que as tangentes de duas curvas em ( )00 yx , sejam perpendiculares. (Geometria Analítica → Duas retas r e s são perpendiculares se o produto dos coefi - cientes angulares for igual a –1). Logo, a equação diferencial das trajetórias ortogonais é: ( )yxfy ,' 1 −= , e as trajetórias ortogonais são de- terminadas integrando essa equação. Exemplo: Dada a família de parábolas 2xcy .= , encontre: a) A equação diferencial dessa família. b) A equação diferencial das trajetórias ortogonais. c) As trajetórias ortogonais. Solução: a) Se Logo, x yyx x yy 22 2 =⇒= '..' . b) ( ) y xy x yyxf y 22 11 −=⇒−=−= ' , ' . c) . Exercícios de Fixação 1) Ache a equação da curva que passa pelo ponto ( )12 , e cujo coefi ciente angular é, em cada ponto, igual a :⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− x y1 2) Represente as famílias de curvas abaixo por equações diferenciais: 37 3) Dada a família de curvas a) A equação diferencial dessa família. b) A equação diferencial das trajetórias ortogonais. c) As trajetórias ortogonais. 4) Pesquise sobre: aplicações de equações diferenciais de 1ª ordem. (Sugestão → problemas de variação de temperatura, problemas envolvendo queda de corpos com resistência do ar, circuitos elétricos, etc.) 38 Se você: 1) concluiu o estudo deste guia; 2) participou dos encontros; 3) fez contato com seu tutor; 4) realizou as atividades previstas; Então, você está preparado para as avaliações. Parabéns! 39 Glossário Equação Diferencial - equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas. Equação Exata - equação M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0, em que a derivada parcial de M em relação à variável y é igual à derivada parcial da função N em relação a x. Equação Homogênea - equação M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0, em que M e N são funções homogêneas com o mesmo grau de homogeneidade. Equação Linear - equação M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0, que pode ser escrita na forma: y’ + f(x).y = g(x). Equação Separável - equação M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0, que você pode escrever M(x,y) = A(x) e N(x,y) = B(y). Fator Integrante - uma função I(x,y) é um fator integrante da equação M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0, se I(x,y).[ M(x,y). dx + N(x,y).dy ] = 0 é uma equação exata. Solução Geral - é o conjunto de todas as soluções da equação diferencial. Solução Particular - a solução particular é qualquer solução da equação. 40 Gabarito Exercícios de Fixação Unidade I Página 17: 1) a) 3ª ordem e 1º grau b) 2ª ordem e 7º grau 2) a) é solução b) não é solução c) é solução d) é solução 3) a) é solução b) não é solução c) é solução d) é solução e) não é solução f) não é solução 4) xey −= 32 . Unidade II Página 20: 41 Página 23: 1) a) É homogênea de grau 2 b) É homogênea de grau 1 c) É homogênea de grau 1 d) Não é homogênea 2) Os dois resultados obtidos devem ser iguais ou equivalentes. 3) Não é homogênea. 4) a) b) Página 25: 1) a e b são exatas. 3) 42 4) a) é separável b) é homogênea c) não é exata Página 29: 2) K y x = 3) Fator integrante: y 1 (a equação admite outros fatores integrantes); Solução: Página 32: 1) a) xeKy 2.= b) xe Ky = c) xKxy .. += 23 2) xxy 223 cos.cos. −= Unidade III Página 36: 1) 2) a) x yy =' b) yy 3=' 3) a) x yy 3=' b) y xy 3 −=' 43 c) Kxy =+ 223 Exercícios de Auto-avaliação: Unidade I Página 17: 1) a) Não é solução b) É solução c) É solução d) É solução 3) ;1 e 1 =−= ba 4) Solução particular: xseny 2 2 1 .= Para verifi car que é solução é só substituir 'yy e na equação dada. Unidade II Página 32: b) c) 12 2 1 2 2 22 =++⇒=+−=+ xyykkxyy cos;cos i) Kyxsenyx =+ .. 44 j) Kyxyx =++ 32 32 . k) 2 2 1 x eKy − = . l) xx eKey −+= . 2 1 m) x K x exy x ++= 45 Referências Bibliográficas BRONSON, Richard. Moderna Introdução às Equações Diferenciais. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. 4 ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científi cos Editora, 2000. KREYSZIG, Erwin. Matemática Superior. Tradução de Carlos Campos de Oliveira. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científi cos Ltda., 1982. v. 1. LEIGHTON, Walter. Equações Diferenciais Ordinárias. Tradução de Luiz Adauto da Justa Medeiros. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científi cos Editora Ltda. 1970. LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. Tradução de: Antonio Paques, Otilia Teresinha W. Paques, Se- bastião Antonio José Filho e Seiji Hariki. São Paulo: Editora Harper & Row do Brasil Ltda. (HARBRA), 1977. v. I. MUNEM, Mustafá A. & FOULIS, David J. Cálculo. Traduzido por André Lima Cordeiro, André Vidal Pessoa, Evandro Henrique Magalhães de Almeida Filho e José Miranda Formigi Filho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científi cos Ltda., 1982. v. I. THOMAS JUNIOR, George B. Cálculo. Tradução de Alfredo Alves de Farias. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científi cos Ltda., 1980. v. 4.
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