Aula II_pu

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VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
Diego Vila Nova
TEMAS DESTA AULA
1. Valores Absolutos e por unidade (pu) 
2. Exemplo de Aplicação da representação pu
3. Sistemas de Linhas de Transmissão Trifásicas
4. Representação da Linha por Quadripolos
5. Exemplo de Aplicação de Quadripolos
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VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Definição de valor por unidade
▪ Definição das bases da representação em pu
▪ Procedimento para representação e pu
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VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Definição de valor por unidade
Grandezas expressas no Sistema Internacional de Unidades:
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V – Volt; I – Ampère; S – Volt.Ampère; Z – Ohm
O que é o pu?
VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Definição de valor por unidade
O que é o pu?
Representa as grandezas elétricas como uma porcentagem de
um valor de referencia, normalmente escolhido como o valor
nominal da grandeza a ser representada.
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VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Definição de valor por unidade
𝑔𝑝𝑢 =
𝐺
𝐺𝑏
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𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜
𝑔𝑝𝑢 − 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑧𝑎 𝑒𝑚 𝑝𝑢
𝐺 − 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑧𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎
𝐺𝑏 − 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑧𝑎
VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Definição de valor por unidade
Exemplo:
Numa base de corrente de 50 A, qual o valor em pu de uma 
corrente de 30 A?
𝑖𝑝𝑢 =
𝐼
𝐼𝑏
=
30
50
= 0,6 𝑝𝑢
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VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Definição de valor por unidade
Por que representar grandezas em pu?
A representação em pu traz uma série de vantagens:
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VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
➢ Diminuição do peso do banco de dados do sistema;
➢ Generalização de resultados e maior sensibilidade às grandezas;
➢ Relação de transformação dos transformadores 1:1 quando não há 
choque de base;
➢ Simplifica ainda mais a representação unifilar.
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vantagens:
VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Definição das bases da representação em pu
Normalmente são escolhidas potência de base e tensão de 
base e calculadas corrente de base e impedância e base a 
partir das seguintes relações:
𝑆𝑏 − 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑖𝑑𝑎
𝑉𝑏 − 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑖𝑑𝑎
𝐼𝑏 =
𝑆𝑏
𝑉𝑏
𝑍𝑏 =
𝑉𝑏
𝐼𝑏
𝑜𝑢 𝑍𝑏 =
𝑉𝑏
2
𝑆𝑏
BASES ESCOLHIDAS BASES CALCULADAS
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VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Definição das bases da representação em pu
Qual valor devo escolher como base de potência?
Normalmente a base de potência é fornecida, caso contrário
escolhe-se a potência nominal do gerador de maior potência
do sistema a ser representado.
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Qual valor devo escolher como base de tensão?
Normalmente a base de tensão é igual ao valor nominal da
tensão do TRECHO que se está representando.
VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Definição das bases da representação em pu
TRECHO?
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Os transformadores de potência tem por função
alterar os níveis e tensão de corrente do sistema.
Quando há um transformador conectando partes do
sistema há alteração dos níveis de tensão de corrente.
VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Procedimento para representação e pu
TRAFO TENSÃO NO 
PRIMÁRIO (kV)
TENSÃO NO 
SECUNDÁRIO (kV)
T1 15 0,4
T2 60 15
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VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Procedimento para representação e pu
𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 1 𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 3𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 2
TRAFO TENSÃO NO 
PRIMÁRIO (kV)
TENSÃO NO 
SECUNDÁRIO (kV)
T1 15 0,4
T2 60 15
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𝑉𝑏1 =? ? ?
𝑉𝑏2 = ??? 
𝑉𝑏3 =? ? ?
VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Procedimento para representação e pu
𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 1 𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 3𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 2
𝑉𝑏1 = 60 𝑘𝑉
𝑉𝑏2 = 15 𝑘𝑉
𝑉𝑏3 = 0,4 𝑘𝑉
TRAFO TENSÃO NO 
PRIMÁRIO (kV)
TENSÃO NO 
SECUNDÁRIO (kV)
T1 15 0,4
T2 60 15
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VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Procedimento para representação e pu
𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 1 𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 3𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 2
𝑆𝑏 = 𝑆 𝑀𝑉𝐴
𝑉𝑏1 = 60 𝑘𝑉
𝑍𝑏1 =
𝑉𝑏1
2
𝑆𝑏
𝐼𝑏1 =
𝑆𝑏
𝑉𝑏1
𝑆𝑏 = 𝑆 𝑀𝑉𝐴
𝑉𝑏2 = 15 𝑘𝑉
𝑍𝑏2 =
𝑉𝑏2
2
𝑆𝑏
𝐼𝑏2 =
𝑆𝑏
𝑉𝑏2
𝑆𝑏 = 𝑆 𝑀𝑉𝐴
𝑉𝑏3 = 0,4 𝑘𝑉
𝑍𝑏3 =
𝑉𝑏3
2
𝑆𝑏
𝐼𝑏3 =
𝑆𝑏
𝑉𝑏3
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VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Procedimento para representação e pu
𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 1 𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 3𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 2
𝑥𝑡𝑟2 =
𝑋𝑡𝑟2
𝑍𝑏1
𝑧34 =
𝑍34
𝑍𝑏2
𝑐4 =
𝐶4
𝑆𝑏
𝑥𝑡𝑟3 =
𝑋𝑡𝑟3
𝑍𝑏2
𝑧12 =
𝑍12
𝑍𝑏3
𝑐2 =
𝐶2
𝑆𝑏
𝑐1 =
𝐶1
𝑆𝑏
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Exemplo
VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Desenvolvimento de um caso base monofásico
TRAFO 𝑽𝒑 (kV) 𝑽𝒔 (kV)
T1 15 0,4
T2 60 15
𝑺𝒏 (MVA)
0,8
20
19
𝑿%
0,05
0,10
VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Desenvolvimento de um caso base monofásico
LINHAS3 R (Ω) X (Ω)
𝒁𝟏𝟐 0,0184 0,0070
𝒁𝟑𝟒 2,5000 1,5400
CARGA S (kVA) 𝒄𝒐𝒔 θ
𝑪𝟏 130 0,85
𝑪𝟐 500 0,9
𝑪𝟒 10 000 0,9
20
VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Desenvolvimento de um caso base – DEFINDO OS TRECHOS
𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 1 𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 3𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 2
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𝑺𝒃 = 𝟏𝑴𝑽𝑨
VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Desenvolvimento de um caso base – DEFINDO AS BASES
𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 1 𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 3𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 2
𝑍𝑏1 =
𝑉𝑏1
2
𝑆𝑏
=
60.103
2
1.106
= 3600 Ω
Considerar com base de potência 1 MVA 
𝑺𝒃 = 𝟏𝑴𝑽𝑨
𝐼𝑏1 =
𝑆𝑏
𝑉𝑏1
=
1. 106
60.103
= 16,6667 𝐴
𝑉𝑏1 = 60 𝑘𝑉
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VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 1 𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 3𝑇𝑅𝐸𝐶𝐻𝑂 2
𝑺𝒃 = 𝟏𝑴𝑽𝑨
𝑉𝑏1 = 60 𝑘𝑉
𝑍𝑏1 = 3600 Ω
𝐼𝑏1 = 16,6667 𝐴
𝑺𝒃 = 𝟏𝑴𝑽𝑨
𝑉𝑏2 = 15 𝑘𝑉
𝑍𝑏2 = 225 Ω
𝐼𝑏2 = 66,66 𝐴
𝑺𝒃 = 𝟏𝑴𝑽𝑨
𝑉𝑏3 = 0,4 𝑘𝑉
𝑍𝑏3 = 0,16 Ω
𝐼𝑏3 = 2500 𝐴
▪ Desenvolvimento de um caso base – DEFINDO AS BASES
Considerar com base de potência 1 MVA 
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VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
𝒛𝟑𝟒 =
𝒁𝟑𝟒
𝒁𝒃𝟐
=
𝟐,𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎+𝒋𝟏,𝟓𝟒𝟎𝟎
𝟐𝟐𝟓
𝟎, 𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒋𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟖 pu𝒛𝟏𝟐 =
𝒁𝟏𝟐
𝒁𝒃𝟑
=
𝟎,𝟎𝟏𝟖𝟒+𝒋𝟎,𝟎𝟎𝟕𝟎
𝟎,𝟏𝟔𝟎𝟎
𝟎, 𝟏𝟏𝟓𝟎 + 𝒋0,0438 pu
LINHAS3 R (Ω) X (Ω)
𝒁𝟏𝟐 0,0184 0,0070
𝒁𝟑𝟒 2,5000 1,5400
▪ Desenvolvimento de um caso base – Representação das Linhas
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VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Desenvolvimento de um caso base – Representação das Linhas
𝒛𝟑𝟒 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒋𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟖 pu 𝒛𝟏𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟏𝟓𝟎 + 𝒋0,0438 pu
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VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Procedimento para representação e pu
Representação dos Transformadores – Mudança de base
Como as bases de representação do sistema não coincidem com as bases
nominais do transformador, deve-se fazer a mudança de base do
transformador
𝒙𝒏(𝒑𝒖) =
𝑺𝒏
𝑺𝒗
. 𝒙𝒗(𝒑𝒖)
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𝒀𝒏 - grandeza nova ou procurada
𝒀𝒗 - grandeza antiga ou velha (dada na questão)
Legenda: 
Dedução
VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Procedimento para representação e pu
Representação dos Transformadores 
Como as bases de representação do sistema não coincidem com as bases
nominais do transformador, deve-se fazer a mudança de base do
transformador
𝑥𝑡𝑟1 = 𝑗.
1𝑀𝑉𝐴
0,8 𝑀𝑉𝐴
. 0,05 = 𝑗. 0,0625 𝑝𝑢
TRAFO 𝑽𝒑 (kV) 𝑽𝒔 (kV)
T1 15 0,4
T2 60 15
𝑺𝒏 (MVA)
0,8
20
𝑥𝑡𝑟2 = 𝑗.
1𝑀𝑉𝐴
20 𝑀𝑉𝐴
. 0,10 = 𝑗. 0,0053 𝑝𝑢
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𝑿%
0,05
0,10
VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Procedimento para representação e pu
Representação dos Transformadores 
𝑥𝑡𝑟1 = 𝑗. 0,0625 𝑝𝑢𝑥𝑡𝑟2 = 𝑗. 0,0053 𝑝𝑢
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VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Procedimento para representação e pu
Representação das Cargas 
CARGA S (kVA) 𝒄𝒐𝒔 θ
𝑪𝟏 130 0,85
𝑪𝟐 500 0,9𝑪𝟒 10 000 0,9
𝑐2 =
𝐶2
𝑆𝑏
=
0,5𝑀𝑉𝐴
1𝑀𝑉𝐴
= 0,5 𝑝𝑢
𝑐1 =
𝐶1
𝑆𝑏
=
0,13𝑀𝑉𝐴
1𝑀𝑉𝐴
= 0,13 𝑝𝑢
𝑐4 =
𝐶4
𝑆𝑏
=
10𝑀𝑉𝐴
1𝑀𝑉𝐴
= 10 𝑝𝑢
Os ângulos de defasagem 
permanecem com os mesmos valores 
na representação pu
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VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Procedimento para representação e pu
Representação das Cargas 
CARGA S (kVA) 𝒄𝒐𝒔 θ
𝑪𝟏 130 0,85
𝑪𝟐 500 0,9
𝑪𝟒 10 000 0,9
𝜃4 = cos
−1 0,85 = 31,7°
𝜃2 = cos
−1 0,90 = 25,8°
𝜃1 = cos
−1 0,90 = 25,8°
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VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Procedimento para representação e pu
Representação das Cargas 
𝑐2 = 0,5 ∠25,8°𝑝𝑢 𝑐1 = 0,13∠25,8°𝑝𝑢𝑐4 = 10∠31,7°𝑝𝑢
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VALORES ABSOLUTOS E POR UNIDADE (PU) 
▪ Procedimento para representação e pu
𝑐2 = 0,5 ∠25,8°𝑝𝑢 𝑐1 = 0,13∠25,8°𝑝𝑢
𝑐4 = 10∠31,7°𝑝𝑢
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𝑥𝑡𝑟1 = 𝑗. 0,0625 𝑝𝑢𝑥𝑡𝑟2 = 𝑗. 0,0053 𝑝𝑢
𝒛𝟑𝟒 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒋𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟖 pu 𝒛𝟏𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟏𝟓𝟎 + 𝒋0,0438 pu
Exemplo 2
Exemplo 3 – Calcular o pu do sistema abaixo:
Dados: Base de referência:
Obrigado!
Diego Vila Nova