Notas de aulas Topografia I - Eng Civil - Rev 1

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1. Introdução..............................................................................................................
2. Estudo da Topografia................................................
2.1 Divisão da Topografia............................................................................
2.2 Goniologia ......................................................................................................
2.3 Bússola ........................................
2.4 Declinação Magnética ....................................................................................................
2.5 Método de determinação do norte verdadeiro ou geográfico da terra NV ....................................................
2.6 Teodolito .........................................................
2.7 Nível Óptico ............................................................................................................
2.8 Leituras de mira ........................................................................................................
2.9 Miras utilizadas em topografia ..
2.10 Irradiações e poligonais do levantamento topográfico 
2.11 Conceitos matemáticos fundamentais para topografia planimétrica, altimétrica e plani
2.12 Algarismos Significativos e técnicas de arredondamento 
2.13 Exercícios de levantamento topográfico plani
 
 
3. Referências Bibliográficas..........
 
Engenharia Civil – 3º e 4º Períodos 
Disciplina: Topografia I “Notas de aulas” 
Prof. Lucas de Paula F. Souza 
 
Sumário 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Introdução................................................................................................................................................................... 
.........................................................................................................................................................
Divisão da Topografia..........................................................................................................................
Goniologia .................................................................................................................................................................
2.3 Bússola .....................................................................................................................................................................
2.4 Declinação Magnética ......................................................................................................
2.5 Método de determinação do norte verdadeiro ou geográfico da terra NV ....................................................
2.6 Teodolito ...................................................................................................................................................................
2.7 Nível Óptico ................................................................................................................................
2.8 Leituras de mira .........................................................................................................................................................
.................................................................................................................................
Irradiações e poligonais do levantamento topográfico ..................................................................
Conceitos matemáticos fundamentais para topografia planimétrica, altimétrica e plani
Algarismos Significativos e técnicas de arredondamento .......................................................................................
de levantamento topográfico plani-altimétrico ...........................................
.......................................................................................
Fl.: 01/020 
 
..................................................... 2 
.........................................................................................................3 
.................................................................. 3 
........................................................... 3 
............................................................................................................................. 8 
........................................... 8 
2.5 Método de determinação do norte verdadeiro ou geográfico da terra NV ............................................................... 9 
.......................................................................................................... 10 
.......................................................10 
.................................................11 
..................................................................................................................... 11 
.........................................................................................14 
Conceitos matemáticos fundamentais para topografia planimétrica, altimétrica e plani-altimétrica .......................15 
.................................................... 16 
 
........................................ 17 
 
.......................................... 20 
 
 
 
1) Introdução: 
 
 A presente apostila, aborda os assuntos
magnético, método de determinação de norte verdadeiro através de teodolito, ângul
ângulos verticais “zenital e nadiral”, leituras de mira e ângulos, construção e cálculos da caderneta de campo, 
conhecimento dos aparelhos e instrumentos utilizados em topografia
levantamento topográfico planimétrico, desenhando a planta topográfica em determinada escala definida, e enfim, 
noções de introdução à altimetria (cotas e diferenças de níveis) para a disciplina de Topografia do 2º período ao qual se 
destina ao levantamento topográfico plani
 
A Topografia é a ciência que estuda a representação detalhada de parte da superfície terrestre, sen
considerada plana. A topografia abrange a planimetria, altimetria e em conjunto, ou seja, 
 
A planimetria é a parte da topografia que trata dos métodos e instrumentos empregados no
representação de uma determinada área.
ângulos horizontais a partir de um alinhamento e distâncias horizontais de um ponto ao outro.
finalidade determinar a distância horizontal
 
 O levantamento plani-altimétrico tem por finalidade determinar a área e cotas de altitude do te
fornecendo uma planta topográfica tanto no plano quanto na
período do curso, juntamente com o levantamento topográfico altimétrico.
 
O objetivo principal dessa a
levantamentos topográficos planimétricos
assunto para os estudantes. 
 
 Em geral, os equipamentos topográficos básicos utilizados para o desenv
descritos conforme a seguir: 
 
- Estação total; 
- Teodolito analógico ou digital, ou;
- Nível óptico com limbo horizontal graduado;
- Tripé; 
- Mira topográfica; 
- Bússola; 
- Demais acessórios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
aborda os assuntos de introdução à topografia, estudo da bússola na determinação do norte 
magnético, método de determinação de norte verdadeiro através de teodolito, ângulos horizontais “azimute x rumo”, 
ângulos verticais “zenital e nadiral”, leituras de mira e ângulos, construção e cálculos da caderneta de campo, 
conhecimento dos aparelhos e instrumentos utilizados em topografia e principalmente fornecer conceitos e método
étrico, desenhando a planta topográfica em determinada escala definida, e enfim, 
noções de introdução à altimetria (cotas e diferenças de níveis) para a disciplina de Topografia do 2º período ao qual se 
amento topográfico plani-altimétrico e altimétrico. 
a ciência que estuda a representação detalhada de parte da superfície terrestre, sen
A topografia abrange a planimetria, altimetria e em conjunto, ou seja, plani
imetria é a parte da topografia que trata dos métodos e instrumentos empregados no
representaçãode uma determinada área. O estudo da área de um determinado terreno consiste na
tir de um alinhamento e distâncias horizontais de um ponto ao outro.
horizontal entre diversos pontos. 
altimétrico tem por finalidade determinar a área e cotas de altitude do te
tanto no plano quanto nas alturas dos pontos determinados, o qual será estudo no 2º 
período do curso, juntamente com o levantamento topográfico altimétrico. 
dessa apostila é descrever conceitos e fundamentos para aplicação da topometria em 
planimétricos, fornecendo uma melhor capacidade de visualização e compreensão do 
Em geral, os equipamentos topográficos básicos utilizados para o desenvolvimento das atividades poderão
, ou; 
Nível óptico com limbo horizontal graduado; 
Fl.: 02/020 
 
, estudo da bússola na determinação do norte 
os horizontais “azimute x rumo”, 
ângulos verticais “zenital e nadiral”, leituras de mira e ângulos, construção e cálculos da caderneta de campo, 
principalmente fornecer conceitos e métodos de 
étrico, desenhando a planta topográfica em determinada escala definida, e enfim, 
noções de introdução à altimetria (cotas e diferenças de níveis) para a disciplina de Topografia do 2º período ao qual se 
a ciência que estuda a representação detalhada de parte da superfície terrestre, sendo esta terra 
plani-altimetria. 
imetria é a parte da topografia que trata dos métodos e instrumentos empregados no estudo para 
terreno consiste na determinação dos 
tir de um alinhamento e distâncias horizontais de um ponto ao outro. A planimetria tem por 
altimétrico tem por finalidade determinar a área e cotas de altitude do terreno, 
dos pontos determinados, o qual será estudo no 2º 
e fundamentos para aplicação da topometria em 
fornecendo uma melhor capacidade de visualização e compreensão do 
olvimento das atividades poderão ser 
 
 
 
2) Estudo da Topografia: 
 
A Topografia é a ciência que estuda a representação detalhada de parte da superfície terrestre, sen
considerada plana. A topografia abrange a planimetria, altimetria e em conjunto, ou seja, plani
descrito na introdução. 
 
 
2.1) Divisão da topografia: 
 
Topometria  dividida em topografia planimetria e topografia altimetria
 
Taqueometria  Parte da topografia em que as distâncias horizontais e verticais, são obtidas principalmente de 
resoluções trigonométricas. 
 
Fotogrametria  dividida em fotografia terrestre e aérea para áreas de difícil acesso.
 
 
Limites de medições de área na topografia: 50 km de raio ~ 785.000 ha
 
Medida em alqueire (alq.) 
 
1 alq. São Paulo  24.200 m² ~ 2,42 ha.
1 alq. Lavras  30.976 m² ~ 3,10 ha.
1 alq. Norte MG  48.400 m² ~ 4,84 ha.
 
 
2.2) Goniologia 
 É a parte da topografia que estuda tudo relacionado a ângulos. Os ângulos são horizontais e verticais.
 
 
Ângulo Horizontal (Conforme CEFET / SC)
 
Sendo o zero do limbo na direç
com limbo horizontal graduado, como por exemplo”
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a ciência que estuda a representação detalhada de parte da superfície terrestre, sen
considerada plana. A topografia abrange a planimetria, altimetria e em conjunto, ou seja, plani
dividida em topografia planimetria e topografia altimetria 
Parte da topografia em que as distâncias horizontais e verticais, são obtidas principalmente de 
dividida em fotografia terrestre e aérea para áreas de difícil acesso. 
a topografia: 50 km de raio ~ 785.000 ha 
24.200 m² ~ 2,42 ha. 
30.976 m² ~ 3,10 ha. 
48.400 m² ~ 4,84 ha. 
É a parte da topografia que estuda tudo relacionado a ângulos. Os ângulos são horizontais e verticais.
(Conforme CEFET / SC) 
Sendo o zero do limbo na direção do plano horizontal do lugar, o equipamento 
como por exemplo”, mede ângulos chamados horizontais, conforme figura 
 
Figura 1. Representação do ângulo horizontal 
Fl.: 03/020 
 
a ciência que estuda a representação detalhada de parte da superfície terrestre, sendo esta terra 
considerada plana. A topografia abrange a planimetria, altimetria e em conjunto, ou seja, plani-altimetria, conforme 
Parte da topografia em que as distâncias horizontais e verticais, são obtidas principalmente de 
É a parte da topografia que estuda tudo relacionado a ângulos. Os ângulos são horizontais e verticais. 
, o equipamento “Teodolito ou Nível Óptico 
mede ângulos chamados horizontais, conforme figura 1. 
 
 
 
Definição de ângulos horizontais “
 
Define-se como azimute magnético
“X” desejado, no sentido horário, podendo variar de 0 a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 
 
 
Define-se como rumo magnético
oeste até o segmento “X” desejado, podendo variar de 0 a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. Representaçã
 
 
Exercícios para transformação de AZM em RM e vice versa:
 
Transformar Azimute magnético “AZM” em Rumo magnético “RM” e vice e versa, acrescentando a
orientação quando se tratar de Rumo. 
sistema anterior de orientação. 
 
 
a) AZM = 36º 00’  RM = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NE 
SW 
NW 
W E 
NM 
SM 
SE 
os horizontais “Azimute x Rumo” 
azimute magnético, o ângulo horizontal medido a partir do norte magnético até o segmento 
“X” desejado, no sentido horário, podendo variar de 0 a 360º, conforme Figura 2. 
Figura 2. Representação do ângulo horizontal “azimute” 
rumo magnético, o ângulo horizontal medido a partir do norte ou sul magnético, para leste ou 
oeste até o segmento “X” desejado, podendo variar de 0 a 90º, conforme Figura 4. 
Figura 4. Representação do ângulo horizontal “rumo” 
para transformação de AZM em RM e vice versa: 
Transformar Azimute magnético “AZM” em Rumo magnético “RM” e vice e versa, acrescentando a
orientação quando se tratar de Rumo. Faça os desenhos de cada ângulo, representando rumo e azimute,
 b) RM 39º 30’ NE  AZM = ?
 
NE 
SW 
NW 
W E 
NM 
SM 
SE 
NW 
SW SE 
NE 
W E 
NM 
SM 
NE 
SW 
NW 
W E 
NM 
SM 
SE 
Cálculos: 
Fl.: 04/020 
 
, o ângulo horizontal medido a partir do norte magnético até o segmento 
, o ângulo horizontal medido a partir do norte ou sul magnético, para leste ou 
Transformar Azimute magnético “AZM” em Rumo magnético “RM” e vice e versa, acrescentando a 
sentando rumo e azimute, auxiliando no 
AZM = ? 
 
 
 
Cálculos: 
 
 
c) AZM = 131º 15’  RM = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) AZM = 228º 32’  RM = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) AZM = 311º 00’  RM = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) AZM = 321º 00’  RM = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NE 
SW 
NW 
W E 
NM 
SM 
SE 
NE 
SW 
NW 
W E 
NM 
SM 
SE 
NE 
SW 
NW 
W E 
NM 
SM 
SE 
NE 
SW 
NW 
W E 
NM 
SM 
SE 
 d) RM 44º 45’ SE  AZM = ?
 
 f) RM 45º 45’ SW  AZM = ?
 
 h) RM 49º 30’ NW  AZM = ?
 
 j) RM 89º 30’ NW  AZM = ?
 
NE 
SW 
NW 
W E 
NM 
SM 
SE 
Cálculos: 
NE 
SW 
NW 
W E 
NM 
SM 
SE 
Cálculos: 
NE 
SW 
NW 
W E 
NM 
SM 
SE 
Cálculos: 
NE 
SW 
NW 
W E 
NM 
SM 
SE 
Cálculos: 
Fl.: 05/020 
 
AZM = ? 
AZM = ? 
AZM = ? 
AZM = ? 
 
 
 
Cálculos: 
 
 
 
Cálculos: 
 
 
 
Cálculos: 
 
 
 
Cálculos: 
 
 
 
Ângulo Vertical (Conforme CEFET / SC)
 
Em um teodolito ou Estação Total, a origem da medida do 
equipamento), pode ocorrer nas seguintes situações, ilustradas na Figura 
Sendo o zero do limbo na direção da 
zenitais. Atualmente, este modelo é o mais utilizado pelos fabricantes.
 
 
 
Sendo o zero do limbo na direção do centro da Terra, o Nadir, este equipamento mede ângulos chamados 
nadirais. São raros os equipamentosdeste tipo, sendo este tipo de ângulo pouco utilizado. A Figura 6 representa o 
ângulo vertical do tipo nadiral. 
 
 
 
 
Ressalta-se que no caso das Estações Totais, a origem da medida do ângulo vertical p
no Zênite, quanto no Horizonte. 
 
 
Cálculos dos ângulos verticais “Zenital x Nadiral”
 
A partir de um ângulo Zenital “Z”, pode
aparelho topográfico em relação a uma linha horizontal
seguir para entendimento do assunto.
 
 
(Conforme CEFET / SC) 
u Estação Total, a origem da medida do ângulo vertical (0º00’00” do limbo vertical do 
equipamento), pode ocorrer nas seguintes situações, ilustradas na Figura 5. 
Sendo o zero do limbo na direção da vertical do lugar, do Zênite, este equipamento mede ângulo
zenitais. Atualmente, este modelo é o mais utilizado pelos fabricantes. 
 
Figura 5. Representação do ângulo zenital 
Sendo o zero do limbo na direção do centro da Terra, o Nadir, este equipamento mede ângulos chamados 
uipamentos deste tipo, sendo este tipo de ângulo pouco utilizado. A Figura 6 representa o 
 
Figura 6. Representação do ângulo nadiral 
se que no caso das Estações Totais, a origem da medida do ângulo vertical p
Cálculos dos ângulos verticais “Zenital x Nadiral” 
A partir de um ângulo Zenital “Z”, pode-se calcular o ângulo vertical alfa “”, que é a inclinação da luneta do 
uma linha horizontal “num plano”, utiliza-se a fórmula e o esquema em desenho a 
seguir para entendimento do assunto. 
Fl.: 06/020 
 
(0º00’00” do limbo vertical do 
, do Zênite, este equipamento mede ângulos chamados 
Sendo o zero do limbo na direção do centro da Terra, o Nadir, este equipamento mede ângulos chamados 
uipamentos deste tipo, sendo este tipo de ângulo pouco utilizado. A Figura 6 representa o 
se que no caso das Estações Totais, a origem da medida do ângulo vertical pode ser configurada, tanto 
”, que é a inclinação da luneta do 
se a fórmula e o esquema em desenho a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir de um ângulo Nadira
aparelho topográfico em relação a uma linha horizontal
seguir para entendimento do assunto.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício para cálculo dos ângulos verticais Z e N:
 
 
a) Calcular os ângulos verticais, Zenital “Z” e Nadiral “N”, a partir do ângulo 
desenhos a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmulas:  = 90º - Z 
 
 
b) Calcular os ângulos verticais, Zenital “Z” e Nadiral “N”, a partir do ângul
desenhos a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmulas:  = 90º - Z 
 
 
 
 
90º 
0º 
 
90º 
0º 
 
Fórmula:  = 90º - Z 
Nadiral “N”, pode-se calcular o ângulo vertical alfa “”, que é a inclinação da 
uma linha horizontal “num plano”, utiliza-se a fórmula e o esquema em desenho a 
seguir para entendimento do assunto. 
Fórmula:  = N - 90º 
para cálculo dos ângulos verticais Z e N: 
os ângulos verticais, Zenital “Z” e Nadiral “N”, a partir do ângulo  
  = N - 90º 
os ângulos verticais, Zenital “Z” e Nadiral “N”, a partir do ângulo  
  = N - 90º 
Z 
90º 
0º 
 
90º 
0º 
 
N 
0º 

0º 

Fl.: 07/020 
 
”, que é a inclinação da luneta do 
se a fórmula e o esquema em desenho a 
 = 37º 30’ e identifique-os nos 
 = -37º 30’ e identifique-os nos 
90º 
 
90º 
 
 
 
2.3) Bússola 
 
 Instrumento utilizado em topografia para medir ângulos horizontais e determinar a direção do norte magnético. 
Além dos erros, a leitura de ângulos com bússola 
imantados sobre o posicionamento da agulha da bússola. Evitar fazer leituras próximos a elementos metálicos (relógios, 
balizas, postes, alambrados, etc...). Outro
 
Deve-se fazer 3 leituras de um mesmo ponto da poligonal de apoio e usar o valor do azimute médio, 
calculando a partir deste, o valor dos azimutes dos demais pontos da poligonal.
 
Nota: Aulas práticas de utilização de bússola 
determinados alinhamentos, para identifica
para o norte verdadeiro “NV”. 
 
2.4) Declinação magnética 
 Declinação magnética é o ângulo formado entre o norte verdadeiro
em um determinado local da superfície terrestre
direção do Norte Verdadeiro. A Declinação Magnética varia em função de cada local da superfície terrestre, porque o 
magnetismo terrestre varia de um local para o outro. É por isso que el
Além disso, o seu valor em cada local tam
Ela pode ainda variar para leste (E) ou para oeste (W), em relação à direção do Norte Verdadeiro. 
A direção na qual a agulha da bússola aponta é conhecido como norte magnético e
magnético e a direção norte verdadeiro é 
horário em relação ao norte verdadeiro, a declinação é positiva ou EAST.
relação ao norte verdadeiro, a declinação é negativa ou WEST
Figura 7. Representação d
 
Portais para consultas da Declinação Magnética:
 
http://www.heliodon.com.br/calcular_declinacao_2.html
 
http://geomag.nrcan.gc.ca/apps/mdcal
1&Long=45&Min2=0&LongSign=-
Instrumento utilizado em topografia para medir ângulos horizontais e determinar a direção do norte magnético. 
itura de ângulos com bússola requer cuidados especiais referente à interferência de elementos 
imantados sobre o posicionamento da agulha da bússola. Evitar fazer leituras próximos a elementos metálicos (relógios, 
balizas, postes, alambrados, etc...). Outro problema específico é a baixa precisão quando comparado com o teodolito.
se fazer 3 leituras de um mesmo ponto da poligonal de apoio e usar o valor do azimute médio, 
calculando a partir deste, o valor dos azimutes dos demais pontos da poligonal. 
ulas práticas de utilização de bússola são utilizadas para determinação de ângulos horizontais a partir de 
identificação do norte magnético “NM” e posteriormente conversão deverá ser feita 
Declinação magnética é o ângulo formado entre o norte verdadeiro “geográfico da terra”
em um determinado local da superfície terrestre. Este ângulo é contado para leste (E) ou para oeste (W), a partir da 
A Declinação Magnética varia em função de cada local da superfície terrestre, porque o 
magnetismo terrestre varia de um local para o outro. É por isso que ela não tem sempre o mesmo valor.
Além disso, o seu valor em cada local também não é constante, apresentando variações de ano para ano. 
Ela pode ainda variar para leste (E) ou para oeste (W), em relação à direção do Norte Verdadeiro. 
A direção na qual a agulha da bússola aponta é conhecido como norte magnético e
orte verdadeiro é justamente chamado de declinação magnética. Se a bússola aponta no sentido 
horário em relação ao norte verdadeiro, a declinação é positiva ou EAST. Se a bússola aponta no sentido contrário em 
e verdadeiro, a declinação é negativa ou WEST, conforme Figuras 7 a seguir:
 
. Representação da declinação magnética positiva e negativa
Portais para consultas da Declinação Magnética: 
http://www.heliodon.com.br/calcular_declinacao_2.html 
http://geomag.nrcan.gc.ca/apps/mdcal-eng.php?Year=2001&Month=4&Day=01&Lat=21&Min=14.7&LatSign=
-1&Submit=............clique+aqui+para+calcular.............&CityIndex=0#Year
Fl.: 08/020 
 
Instrumento utilizado em topografia para medir ângulos horizontais e determinar a direção do norte magnético. 
requer cuidados especiais referente à interferência de elementos 
imantados sobre o posicionamento da agulha da bússola. Evitar fazer leituras próximos a elementos metálicos (relógios, 
ando comparado com o teodolito. 
se fazer 3 leituras de um mesmo ponto da poligonal de apoio e usar o valor do azimute médio, 
determinação de ângulos horizontais a partir de 
ético “NM” e posteriormente conversão deverá ser feita 
“geográfico da terra” e o norte magnético. 
ste ângulo é contado para leste (E) ou para oeste (W), a partir da 
A Declinação Magnética varia em função de cada local da superfície terrestre, porque o 
a não tem sempre o mesmo valor. 
bém não é constante,apresentando variações de ano para ano. 
Ela pode ainda variar para leste (E) ou para oeste (W), em relação à direção do Norte Verdadeiro. 
A direção na qual a agulha da bússola aponta é conhecido como norte magnético e o ângulo entre o norte 
Se a bússola aponta no sentido 
Se a bússola aponta no sentido contrário em 
a seguir: 
 
a declinação magnética positiva e negativa 
eng.php?Year=2001&Month=4&Day=01&Lat=21&Min=14.7&LatSign=-
1&Submit=............clique+aqui+para+calcular.............&CityIndex=0#Year 
 
 
 
Declinações magnéticas de alguns locais 
 
Lavras MG - ano 1660  13º E (leste)
Lavras MG - ano 1850  0º 
Lavras MG - ano 2001  21º W (oeste)
Lavras MG - 05/2010  21º 33’ W (oeste)
Brasil – ano 2001  (lado oeste)
Linha do equador  1º W (oeste)
 
 
2.5) Método de determinação do norte verdadeiro ou geográfico da terra NV
 
 Para determinação do norte verdadeiro ou geográfico da terra, torna
sol, a partir da utilização de um teodolito. É necessári
parte da manhã e 8 leitura na parte da tarde, para tornar a determinação mais exata. Uma planilha deve ser elaborada 
para registrar as informações de leitura, conforme modelo a seguir.
 
NASCENTE 
Horário Ângulo 
Horizontal 
8:00 180º 00’ 
 
 
Exercício para determinação do NV
 
Completar a tabela abaixo, 
 
 
 
 No desenho a seguir plote o NV
alinhamento V1  Ré a seguir. Faça também ao lado o desenho orientado na posição adequada pelo NV.
 
‘ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NASCENTE 
Horário Ângulo 
Horizontal 
8:30 169º 00’ 
9:00 Nuvem 
9:30 140º 00’ 
10:00 130º 00’ 
10:30 108º 00’ 
11:00 95º 10’ 
Rodovia BR...
V1 
Mineradora
uns locais na superfície terrestre (d) em datas diferentes 
13º E (leste) 
21º W (oeste) 
21º 33’ W (oeste) 
(lado oeste) 
1º W (oeste) 
étodo de determinação do norte verdadeiro ou geográfico da terra NV 
Para determinação do norte verdadeiro ou geográfico da terra, torna-se necessário a medição 
utilização de um teodolito. É necessário no mínimo um total de 8 médias de leituras
parte da manhã e 8 leitura na parte da tarde, para tornar a determinação mais exata. Uma planilha deve ser elaborada 
para registrar as informações de leitura, conforme modelo a seguir. 
POENTE 
Angulo 
Vertical 
Horário Angulo 
Horizontal 
Angulo 
Vertical
74º 00’ 16:00 90º 00’ 74º 00’
determinação do NV: 
 determinando o angulo horizontal (em graus e minutos
 “Média das médias” Ângulo Horizontal para o N.V. 
lote o NV, conforme a média das médias que direciona para o NV, a partir do 
é a seguir. Faça também ao lado o desenho orientado na posição adequada pelo NV.
POENTE 
Angulo 
Vertical 
Horário Angulo 
Horizontal 
Angulo 
Vertical
73º 00’ 101º 00’ 
Nuvem - 
66º 30’ 130º 00’ 
63º 15’ Chuva 
51º 15’ 162º 30’ 
45º 30’ 174º 20’ 
Rodovia BR... 
Ré 
Mineradora 
Fl.: 09/020 
 
se necessário a medição com visadas ao 
de leituras, sendo 8 leituras na 
parte da manhã e 8 leitura na parte da tarde, para tornar a determinação mais exata. Uma planilha deve ser elaborada 
 
Angulo 
Vertical 
 Médias dos 
 ângulos horizontais 
74º 00’ 135º 00’ 
graus e minutos) ao qual é direcionado N.V. 
ngulo Horizontal para o N.V. ____________________ 
a média das médias que direciona para o NV, a partir do 
é a seguir. Faça também ao lado o desenho orientado na posição adequada pelo NV. 
 
Angulo 
Vertical 
Médias dos 
ângulos horizontais 
 
 
 
 
 
 
N.V. 
 
 
2.6) Teodolito 
 
 Instrumento óptico de precisão (tem luneta e micro
qualquer) e ângulos verticais (zenital, de inclinação e nadiral); permitindo fazer levantamentos planimétricos e 
taqueometria (luneta com 3 fios paralelos e equidistantes = estadimetria).
Os fios estadimétricos são paralelos e eqüidistantes entre si ( 
permitem a execução de levantamentos utilizando
vertical (a mais utilizada). O princípio da estadimetria é usado em topografia para determinar, de forma indireta, a 
distância horizontal entre a estação topográfica (ponto onde está instalado o teodolito) e um ponto visado (ponto onde 
está a mira ou baliza). 
A seguir, apresenta-se na Figura 
também podendo ser de um nível óptico.
 
Figura 8. Luneta de um teodolito ou nível óptico com fios de leitura.
 
 
2.7) Nível óptico 
 
Os níveis são equipamentos que permi
definida pelo eixo principal do equipamento, conforme Figura a seguir:
 
 
 
 
 
 
 
 
Instrumento óptico de precisão (tem luneta e microscópio); lê ângulos horizontais, do tipo goniométrico (ou 
qualquer) e ângulos verticais (zenital, de inclinação e nadiral); permitindo fazer levantamentos planimétricos e 
taqueometria (luneta com 3 fios paralelos e equidistantes = estadimetria). 
tadimétricos são paralelos e eqüidistantes entre si ( fs - fm = fm – fi) . Os fios estadimétricos verticais 
permitem a execução de levantamentos utilizando-se mira horizontal, e os fios horizontais são para utilização de mira 
princípio da estadimetria é usado em topografia para determinar, de forma indireta, a 
distância horizontal entre a estação topográfica (ponto onde está instalado o teodolito) e um ponto visado (ponto onde 
Figura 8 a visualização na luneta de leitura dos fios estadimétricos de um teodolito, 
também podendo ser de um nível óptico. 
Luneta de um teodolito ou nível óptico com fios de leitura.
Os níveis são equipamentos que permitem definir com precisão um plano horizontal ortogonal à vertical 
o eixo principal do equipamento, conforme Figura a seguir: 
 
Fl.: 010/020 
 
scópio); lê ângulos horizontais, do tipo goniométrico (ou 
qualquer) e ângulos verticais (zenital, de inclinação e nadiral); permitindo fazer levantamentos planimétricos e 
. Os fios estadimétricos verticais 
se mira horizontal, e os fios horizontais são para utilização de mira 
princípio da estadimetria é usado em topografia para determinar, de forma indireta, a 
distância horizontal entre a estação topográfica (ponto onde está instalado o teodolito) e um ponto visado (ponto onde 
a visualização na luneta de leitura dos fios estadimétricos de um teodolito, 
 
Luneta de um teodolito ou nível óptico com fios de leitura. 
tem definir com precisão um plano horizontal ortogonal à vertical 
 
 
 
2.8) Leitura de mira 
 
Durante a leitura em uma mira convencional devem ser lidos quatro algarismos, que corr
valores do metro, decímetro, centímetro e milímetro, sendo que este último é obtido por uma estimativa e os demais por 
leitura direta dos valores indicados na mira. Abaixo são apresentados alguns exemplos de leituras para um modelo de 
mira bastante empregado nos trabalhos de Topografia. A mira apresentada está graduada em centímetros (traços claros e 
escuros). 
A leitura do valor do metro é obtida através dos algarismos em romano (I, II, III) e/ou da observação do 
símbolo acima dos números que indicam o decímetro. A convenção utilizada para estes símbolos, no caso da
exemplo, é apresentada na Figura 9. 
 
Figura 
 
A leitura do decímetro é realizada através dos algarismos arábicos
através da graduação existente na mira. Traços escuros correspondem a um valor de centímetro impar, e claros a um 
valor par. Finalmente a leitura do milímetro é estimada visualmente
 
 
 
2.9) Miras utilizadas em topografia
 
São réguas graduadas que servem para taqueometria e nivelamento geométrico. Existem no mercado diversos 
modelos de miras, conforme pode ser visualizado n
madeira, fibra de vidro, alumínio e ínvar. 
 
Mira de madeira: são fabricadas com madeira seca e de pouca dilatação linear. A graduação pode ser pintada 
diretamente na madeira ou através de adesiv
 
Mira de fibra de vidro: Estas miras não são fabricadas no Brasil, sendo importadas do Japão, e possuem poucadilatação linear. A gravação é feita diretamente sobre a mira, que é revestida por uma camada de PVC.
Durante a leitura em uma mira convencional devem ser lidos quatro algarismos, que corr
valores do metro, decímetro, centímetro e milímetro, sendo que este último é obtido por uma estimativa e os demais por 
leitura direta dos valores indicados na mira. Abaixo são apresentados alguns exemplos de leituras para um modelo de 
astante empregado nos trabalhos de Topografia. A mira apresentada está graduada em centímetros (traços claros e 
A leitura do valor do metro é obtida através dos algarismos em romano (I, II, III) e/ou da observação do 
indicam o decímetro. A convenção utilizada para estes símbolos, no caso da
. 
 
Figura 9. Convenção para leituras de números inteiros em metros.
A leitura do decímetro é realizada através dos algarismos arábicos (1,2,3, etc.). A leitura do centímetro é obtida 
através da graduação existente na mira. Traços escuros correspondem a um valor de centímetro impar, e claros a um 
valor par. Finalmente a leitura do milímetro é estimada visualmente, conforme Figura 10. 
 
 
Figura 10. Mira topográfica com leituras 
Miras utilizadas em topografia: (Conforme CEFET / SC) 
São réguas graduadas que servem para taqueometria e nivelamento geométrico. Existem no mercado diversos 
modelos de miras, conforme pode ser visualizado na figura anterior. Quanto ao material, as miras podem ser de 
madeira, fibra de vidro, alumínio e ínvar. 
: são fabricadas com madeira seca e de pouca dilatação linear. A graduação pode ser pintada 
diretamente na madeira ou através de adesivos especiais. 
: Estas miras não são fabricadas no Brasil, sendo importadas do Japão, e possuem pouca 
dilatação linear. A gravação é feita diretamente sobre a mira, que é revestida por uma camada de PVC.
Fl.: 011/020 
 
Durante a leitura em uma mira convencional devem ser lidos quatro algarismos, que corresponderão aos 
valores do metro, decímetro, centímetro e milímetro, sendo que este último é obtido por uma estimativa e os demais por 
leitura direta dos valores indicados na mira. Abaixo são apresentados alguns exemplos de leituras para um modelo de 
astante empregado nos trabalhos de Topografia. A mira apresentada está graduada em centímetros (traços claros e 
A leitura do valor do metro é obtida através dos algarismos em romano (I, II, III) e/ou da observação do 
indicam o decímetro. A convenção utilizada para estes símbolos, no caso da mira em 
Convenção para leituras de números inteiros em metros. 
(1,2,3, etc.). A leitura do centímetro é obtida 
através da graduação existente na mira. Traços escuros correspondem a um valor de centímetro impar, e claros a um 
 
São réguas graduadas que servem para taqueometria e nivelamento geométrico. Existem no mercado diversos 
a figura anterior. Quanto ao material, as miras podem ser de 
: são fabricadas com madeira seca e de pouca dilatação linear. A graduação pode ser pintada 
: Estas miras não são fabricadas no Brasil, sendo importadas do Japão, e possuem pouca 
dilatação linear. A gravação é feita diretamente sobre a mira, que é revestida por uma camada de PVC. 
 
 
 
 
 
Mira de alumínio: São fabricadas em alumínio, o qual possui um grande coeficiente de dilatação linear, que pode ser 
corrigido através de uma tabela de temperatura gravada na própria mira.
 
Mira de Ínvar: O ínvar é uma liga de aço e níquel numa proporção de 65% de aço e 35% de níquel
menor coeficiente de dilatação linear conhecido. As miras de ínvar são utilizadas apenas em nivelamento geométrico de 
primeira ordem. 
 
Quanto ao comprimento, as miras podem ser de 2 ou 4 m . Podem ser ainda de imagem inversa ou imagem 
direta, em função da imagem do equipamento a ser utilizado. Quanto ao modo de articulação, a mira pode se de encaixe 
(telescópica) ou mira de dobradiça. As miras de encaixe são mais leves e de fácil transporte. A mira de dobradiça resiste 
à trabalhos mais intensos e têm a graduação do mesmo tamanho em toda a sua extensão, facilitando a leitura.
na Figura 11, apresenta uma visualização de uma mira de código de barras utilizada para níveis digitais.
 
Figura 1
 
 
Exercícios de leituras de mira 
 
a) Na Figura 12, faça as leituras de mira dos fios superior e inferior na figura abaixo. Compare a soma das duas com o 
dobro da leitura do fio médio. 
 
 
 
 
 
 
 
cadas em alumínio, o qual possui um grande coeficiente de dilatação linear, que pode ser 
corrigido através de uma tabela de temperatura gravada na própria mira. 
: O ínvar é uma liga de aço e níquel numa proporção de 65% de aço e 35% de níquel
menor coeficiente de dilatação linear conhecido. As miras de ínvar são utilizadas apenas em nivelamento geométrico de 
Quanto ao comprimento, as miras podem ser de 2 ou 4 m . Podem ser ainda de imagem inversa ou imagem 
direta, em função da imagem do equipamento a ser utilizado. Quanto ao modo de articulação, a mira pode se de encaixe 
(telescópica) ou mira de dobradiça. As miras de encaixe são mais leves e de fácil transporte. A mira de dobradiça resiste 
intensos e têm a graduação do mesmo tamanho em toda a sua extensão, facilitando a leitura.
, apresenta uma visualização de uma mira de código de barras utilizada para níveis digitais.
 
Figura 11. Mira de código de barras para níveis digitais 
, faça as leituras de mira dos fios superior e inferior na figura abaixo. Compare a soma das duas com o 
Figura 12. Exercício de leitura de mira 
Fl.: 012/020 
 
cadas em alumínio, o qual possui um grande coeficiente de dilatação linear, que pode ser 
: O ínvar é uma liga de aço e níquel numa proporção de 65% de aço e 35% de níquel. É o material com o 
menor coeficiente de dilatação linear conhecido. As miras de ínvar são utilizadas apenas em nivelamento geométrico de 
Quanto ao comprimento, as miras podem ser de 2 ou 4 m . Podem ser ainda de imagem inversa ou imagem 
direta, em função da imagem do equipamento a ser utilizado. Quanto ao modo de articulação, a mira pode se de encaixe 
(telescópica) ou mira de dobradiça. As miras de encaixe são mais leves e de fácil transporte. A mira de dobradiça resiste 
intensos e têm a graduação do mesmo tamanho em toda a sua extensão, facilitando a leitura. A seguir 
, apresenta uma visualização de uma mira de código de barras utilizada para níveis digitais. 
, faça as leituras de mira dos fios superior e inferior na figura abaixo. Compare a soma das duas com o 
 
 
 
b) Na Figura 13, indicar nas miras, as seguintes leituras:
 
1,615m 1,705m 1,658m 1,600m 
1,725m 1,605m 1,713m 1,595m 
1,698m 1,635m 1,685m 
Figura 1
 
Obs: a mira da esquerda é chamada de mira em E, em função do tipo de marcação uti
 
 
Erros nas leituras de mira (Conforme CEFET / SC)
 
Erro de má focalização do instrumento
 
A má focalização do instrumento, isto é, a falta de coincidência dos planos de imagem e
estadimétricos é a mais temível fonte de erros na medida ind
 
Focalização do retículo: Girando o anel da ocular, consegue
mínima da visão distinta, que varia de operador para operador. Quando
focalizados, eles se apresentam nítidos e escuros.
Focalização da objetiva: Visando um objeto afastado e agindo no parafuso de focalização,
ocular até que a imagem do sinal apareça bem nítida, no pla
feita quando não há paralaxe, isto é, quando
permanecem na mesma posição relativa.
 
A focalização simultânea dos fios estad
quando a focalização do fio médio é cuidadosamente realizada, os
exercem influências sensíveis nas leituras da
 
 
Erro da refração e reverberação 
 
Em torno do meio-dia, a reverberação do ar dificulta ou mesmo impossibilita a leitura da
possível deve-se evitar medir distâncias com mira vertical entre 10 e 14 horas.
trabalho com mira. Nas visadas rasantes, as anomalias de refração acarretam desvios para os raios
correspondentes aos fios estadimétricos,resultando pequenos erros na leitura da mira.
distâncias devem ser medidas com o fio inferior a
A NBR 13.133 preconiza uma leitura mínima de
às vezes, discrepâncias nas leituras.
uso, a pintura vai desaparecendo, dificultando as leituras.
 
 
Erro da graduação da Mira 
 
Ao vender a mira, os fabricantes asseguram grande precisão na graduação. Os erros de
diretos na precisão da leitura da mira e são erros sistemáticos uma vez que
de miras, podemos rejeitar àquelas que apresentarem erros superiores a
um exame criterioso, antes do início dos trabalhos,
repintadas. 
indicar nas miras, as seguintes leituras: 
 
Figura 13. Exercício para indicar leituras de mira 
Obs: a mira da esquerda é chamada de mira em E, em função do tipo de marcação utilizada.
(Conforme CEFET / SC) 
Erro de má focalização do instrumento 
A má focalização do instrumento, isto é, a falta de coincidência dos planos de imagem e
estadimétricos é a mais temível fonte de erros na medida indireta de distâncias. A focalização dos instrumentos abrange:
: Girando o anel da ocular, consegue-se que a imagem do retículo
mínima da visão distinta, que varia de operador para operador. Quando os retículos (fios estadimétricos) estão bem 
focalizados, eles se apresentam nítidos e escuros. 
Visando um objeto afastado e agindo no parafuso de focalização,
ocular até que a imagem do sinal apareça bem nítida, no plano dos retículos. Reconhece-
feita quando não há paralaxe, isto é, quando deslocando a vista em frente à ocular, as imagens do retículo e dos objeto 
mesma posição relativa. 
A focalização simultânea dos fios estadimétricos é impossível de ser realizada 
quando a focalização do fio médio é cuidadosamente realizada, os resíduos de paralaxe, os fios superior e inferior não 
exercem influências sensíveis nas leituras da mira. 
dia, a reverberação do ar dificulta ou mesmo impossibilita a leitura da
se evitar medir distâncias com mira vertical entre 10 e 14 horas. Os dias nublados são os melhores para o 
Nas visadas rasantes, as anomalias de refração acarretam desvios para os raios
correspondentes aos fios estadimétricos, resultando pequenos erros na leitura da mira.
distâncias devem ser medidas com o fio inferior a um metro do solo, isto é, com o fio inferior na graduação 1,000.
A NBR 13.133 preconiza uma leitura mínima de 0,500. Quando a mira é observada com a face contra o sol, aparecem, 
nas leituras. Influi também na precisão das leituras, o estado de pintura da mira. Em função do 
pintura vai desaparecendo, dificultando as leituras. 
Ao vender a mira, os fabricantes asseguram grande precisão na graduação. Os erros de
precisão da leitura da mira e são erros sistemáticos uma vez que sempre atuam no mesmo sentido.
de miras, podemos rejeitar àquelas que apresentarem erros superiores a 0,3mm. Para um bom trabalho deve
cio dos trabalhos, na graduação das miras. Não é aconselhável a utilização de miras 
Fl.: 013/020 
 
lizada. 
A má focalização do instrumento, isto é, a falta de coincidência dos planos de imagem e dos fios 
focalização dos instrumentos abrange: 
se que a imagem do retículo se apresente na distância 
os (fios estadimétricos) estão bem 
Visando um objeto afastado e agindo no parafuso de focalização, desloca-se o conjunto 
-se que a focalização está bem 
deslocando a vista em frente à ocular, as imagens do retículo e dos objeto 
 exatamente. Em todo o caso, 
resíduos de paralaxe, os fios superior e inferior não 
dia, a reverberação do ar dificulta ou mesmo impossibilita a leitura da mira. Sempre que 
Os dias nublados são os melhores para o 
Nas visadas rasantes, as anomalias de refração acarretam desvios para os raios luminosos 
correspondentes aos fios estadimétricos, resultando pequenos erros na leitura da mira. Sempre que possível, as 
solo, isto é, com o fio inferior na graduação 1,000. 
Quando a mira é observada com a face contra o sol, aparecem, 
ituras, o estado de pintura da mira. Em função do 
Ao vender a mira, os fabricantes asseguram grande precisão na graduação. Os erros de graduação de reflexos 
sempre atuam no mesmo sentido. Na seleção 
Para um bom trabalho deve-se efetuar 
na graduação das miras. Não é aconselhável a utilização de miras 
 
 
 
Erro de inclinação da Mira 
 
Quando a inclinação da mira é no plano perpendicular a linha de visada do operador, ele
corrigi-la. Porém, quando a mira está inclinada no sentido da linha de visada, o
ocasionando uma leitura equivocada.
mira dentro de mais ou menos 2°. Com a utiliz
 
Outros Acessórios: 
 
Tripé: É utilizado para a sustentação do nível,
 
Prumo esférico de cantoneira: 
Conforme Figura 14, é utilizado para a verticalização da mira, com uma precisão
com encaixes próprios para prumos esféricos de encaixe.
 
 
Leitura de ângulos 
 
 A leitura de ângulos pode ser de maneira analógica ou digital. A seguir um exemplo de leitura an
que na escala inferior lê-se os ângulos de 0,5 em 0,5 graus ( º ), ou seja de 30 em 30 minutos ( ’ ) e a escala superior de 
1 em 1 minuto, quando o traço for coincidente. A leitura então será de 12º 30’ + 21’ 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.10) Irradiações e poligonais do levantamento topográfico
 No levantamento topográfico, são obtidas as irradiações a partir de suas poligonais, as quais são registradas na 
caderneta de campo, conforme modelo a seguir.
 
Vértice da 
poligonal 
Ponto 
visado 
NM 
inst
V1 Ré 90º 
 
Fórmulas: D.H. = (FS – FI) x 100 x cos
 
 
 
 
 
 
 
10 
0 
Quando a inclinação da mira é no plano perpendicular a linha de visada do operador, ele
a mira está inclinada no sentido da linha de visada, o operador não percebe esta inclinação, 
ocasionando uma leitura equivocada. Um auxiliar experiente, poderá, sem auxílio de um nível esférico, verticalizar a 
de mais ou menos 2°. Com a utilização do nível esférico, pode-se verticalizar a mira com erro
É utilizado para a sustentação do nível, 
, é utilizado para a verticalização da mira, com uma precisão melhor que 1º. Algumas miras já vêm 
com encaixes próprios para prumos esféricos de encaixe. 
 
Figura 14. Níveis esféricos de cantoneira 
A leitura de ângulos pode ser de maneira analógica ou digital. A seguir um exemplo de leitura an
se os ângulos de 0,5 em 0,5 graus ( º ), ou seja de 30 em 30 minutos ( ’ ) e a escala superior de 
1 em 1 minuto, quando o traço for coincidente. A leitura então será de 12º 30’ + 21’  12º 51’.
es e poligonais do levantamento topográfico 
No levantamento topográfico, são obtidas as irradiações a partir de suas poligonais, as quais são registradas na 
caderneta de campo, conforme modelo a seguir. 
Altura do 
instrumento 
Ângulo 
Horizontal 
Ângulo 
Vertical α 
FI 
1,60 0º 0º 1,00 
FI) x 100 x cos² α (ou sen² Z / N) FM = (FI + FS) / 2 
20 
1
0 
2
0 
Fl.: 014/020 
 
Quando a inclinação da mira é no plano perpendicular a linha de visada do operador, ele pode observá-la e 
operador não percebe esta inclinação, 
Um auxiliar experiente, poderá, sem auxílio de um nível esférico, verticalizar a 
se verticalizar a mira com erro inferior a 1°. 
melhor que 1º. Algumas miras já vêm 
A leitura de ângulos pode ser de maneira analógica ou digital. A seguir um exemplo de leitura analógica, em 
se os ângulos de 0,5 em 0,5 graus ( º ), ou seja de 30 em 30 minutos ( ’ ) e a escala superior de 
12º 51’. 
No levantamento topográfico, são obtidas as irradiações a partir de suas poligonais, as quais são registradas na 
FM FS D.H. 
(m) 
1,50 2,00 100 
3
0 
 
 
 
2.11) Conceitos matemáticos fundamentais
 
 Para melhor entendimento e aplicação dos cálculos em topografia, é necessário que o aluno 
conceitos matemáticos fundamentais a seguir.
km hc
1 
0,001 0,01
Obs.: A medida de distância linear utilizada em topografia é o metro commedida na resolução de centímetro para leitura de miras.
consequentemente maior precisão, utilizam
milímetros. 
 
Exemplos de medidas lineares: comprimento, largura, altura, profundidade, espessura, perímetro, diâmetro, etc...
 
Perímetro circular (Pe)  Pe = 2 . 
 
Diâmetro (Ø)  Ø = 2 . R ----------
 
 = 3,1415927... 
 
Nota: O perímetro também poderá ser calculado como exemplo, em uma área cercada por alambrado.
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso, o perímetro calculado é: 
 
O triângulo pitagórico é utilizado para melhor entendimento do cálculo da hipotenusa e também para alinhamento de 
um terreno no ângulo de 90º. 
 
km² hc² = ha
 1 
0,000001 0,0001
Obs: O metro quadrado é uma medida relativamente pequena para ser representado na topografia, utilizando
unidade em “ha” hectares (hectômetro quadrado)
 
 
Ex. Uma área quadrada de 10.000 m², têm suas medidas lineares 100m x 100m 
 
 
 
 
 
 
 
5 m 
3 
m
 
Área 
4 m 
Conceitos matemáticos fundamentais para topografia planimétrica, altimétrica e plani
Para melhor entendimento e aplicação dos cálculos em topografia, é necessário que o aluno 
conceitos matemáticos fundamentais a seguir. 
Medidas lineares (metro): 
c dc m dm cm 
 1.000 
0,01 0,1 1 10 100 
linear utilizada em topografia é o metro com duas casas após a vírgula, ou seja, obtêm
metro para leitura de miras. Técnicos que desejam trabalhar com maior resoluç
consequentemente maior precisão, utilizam-se uma aproximação de três casas após a vírgula, obtendo a leitura em 
Exemplos de medidas lineares: comprimento, largura, altura, profundidade, espessura, perímetro, diâmetro, etc...
 . R  Pe =  . Ø 
---------- R = Ø / 2 
Nota: O perímetro também poderá ser calculado como exemplo, em uma área cercada por alambrado.
Nesse caso, o perímetro calculado é: 12,04m + 12m + 3m + 4m = 31,04m 
O triângulo pitagórico é utilizado para melhor entendimento do cálculo da hipotenusa e também para alinhamento de 
 
Medidas de Área (metros quadrados): 
c² = ha dc² m² dm² cm² 
 10.000 
0,0001 0,01 1 100 10.000 
Obs: O metro quadrado é uma medida relativamente pequena para ser representado na topografia, utilizando
unidade em “ha” hectares (hectômetro quadrado) 
Ex. Uma área quadrada de 10.000 m², têm suas medidas lineares 100m x 100m  
R 
12 m 
12,04 m 
3 
m
 
4 
m
 
Área 
Cateto adjacente C
at
et
o 
op
os
to
 Hipotenusa 
Fl.: 015/020 
 
nimétrica, altimétrica e plani-altimétrica. 
Para melhor entendimento e aplicação dos cálculos em topografia, é necessário que o aluno compreenda os 
mm 
 
1.000 
após a vírgula, ou seja, obtêm-se a 
Técnicos que desejam trabalhar com maior resolução e 
se uma aproximação de três casas após a vírgula, obtendo a leitura em 
Exemplos de medidas lineares: comprimento, largura, altura, profundidade, espessura, perímetro, diâmetro, etc... 
Nota: O perímetro também poderá ser calculado como exemplo, em uma área cercada por alambrado. 
O triângulo pitagórico é utilizado para melhor entendimento do cálculo da hipotenusa e também para alinhamento de 
Pe = 3m + 4m + 5m = 12m 
 
Hipotenusa = √ 3² + 4² 
Hipotenusa = 5 
Área = (3m x 4m) / 2 = 6m² 
mm² 
 
 1.000.000 
Obs: O metro quadrado é uma medida relativamente pequena para ser representado na topografia, utilizando-se assim a 
100 m 
 
Área  
10000 m² 
10
0 
m
 
Ø 
 
 
 
 
Exemplos de áreas: retângulo, círculo, triângulo, trapézio.
 
Retangular: A = a . b 
 
Circular: A =  . R²   . ز 
 4 
Triangular: A = a . b (para triângulo retângulo)
 2 
 
Trapezoidal: A = (B maior + b menor) . altura h
 2 
 
 
km³ hc³ 
 
0,000000001 0,000001
 
Cubo: V = a . b . h 
 
Cilindro: V = Área x altura   . R² . h 
 
 
 
 
2.12) Algarismos Significativos e técnicas de arredondamento:
 
Exemplo: Desejamos medir uma barra metálica, com uma trena cujas divisõ
Cada divisão vale 1 cm. O comprimento AB tem 13 divisões completas. A fração entre 13 cm e 14 cm não pode ser 
medida, mas pode ser estimada. Vamos supor que 3 pessoas fazem a leitura e registram: 
- 1ª pessoa – 13,8 cm 
- 2ª pessoa – 13,6 cm 
- 3ª pessoa – 13, 7 cm 
 
Nas três leituras a dúvida está no algarismo da fração de centímetro (0,8, 0,6 e 0,7 cm). Este algarismo, 
portanto, é duvidoso. O resultado de uma medida é composto pelos algarismos corretos e também um, e ape
algarismo duvidoso. Os algarismos corretos e o algarismo duvidoso são os 
 
Exemplos: 
 13,1 cm 3 algarismos significativos 
 5 cm 1 algarismo significativo e ele próprio é duvidoso 
 9,0 cm 2 algarismos significativos 
 9,00 cm 3 algarismos significativos 
 0,006 cm 1 algarismo significativo
 
Técnicas de arredondamento 
 
Nos cálculos de Distâncias horizontais em Topografia, a partir de leitura de mira, deve
resultado com 3 casas após a vírgula, proceden
um número, deve verificar quantos algarismos deverão ficar no final numa única operação e proceder da seguinte 
maneira: 
Exemplos de áreas: retângulo, círculo, triângulo, trapézio. 
(para triângulo retângulo) 
(B maior + b menor) . altura h 
Unidades de Volume (metros cúbicos): 
 dc³ m³ litro = dm³ ml = cm³ 
 1 1.000 
0,000001 0,001 1 1.000 1.000.000 
. R² . h   . ز . h 
 4 
Algarismos Significativos e técnicas de arredondamento: 
Exemplo: Desejamos medir uma barra metálica, com uma trena cujas divisões da escala estão em centímetros.
Cada divisão vale 1 cm. O comprimento AB tem 13 divisões completas. A fração entre 13 cm e 14 cm não pode ser 
medida, mas pode ser estimada. Vamos supor que 3 pessoas fazem a leitura e registram: 
Nas três leituras a dúvida está no algarismo da fração de centímetro (0,8, 0,6 e 0,7 cm). Este algarismo, 
portanto, é duvidoso. O resultado de uma medida é composto pelos algarismos corretos e também um, e ape
algarismo duvidoso. Os algarismos corretos e o algarismo duvidoso são os algarismos significativos
13,1 cm 3 algarismos significativos 
5 cm 1 algarismo significativo e ele próprio é duvidoso 
9,0 cm 2 algarismos significativos 
9,00 cm 3 algarismos significativos 
0,006 cm 1 algarismo significativo 
Nos cálculos de Distâncias horizontais em Topografia, a partir de leitura de mira, deve
resultado com 3 casas após a vírgula, procedendo a forma correta de arredondamento na terceira casa. 
deve verificar quantos algarismos deverão ficar no final numa única operação e proceder da seguinte 
b 
h 
a
b 
a 
b 
 
Área 
a 
Área 
Fl.: 016/020 
 
mm³ 
 
1.000.000.000 
es da escala estão em centímetros. 
Cada divisão vale 1 cm. O comprimento AB tem 13 divisões completas. A fração entre 13 cm e 14 cm não pode ser 
Nas três leituras a dúvida está no algarismo da fração de centímetro (0,8, 0,6 e 0,7 cm). Este algarismo, 
portanto, é duvidoso. O resultado de uma medida é composto pelos algarismos corretos e também um, e apenas um, 
algarismos significativos. 
Nos cálculos de Distâncias horizontais em Topografia, a partir de leitura de mira, deve-se apresentar o 
do a forma correta de arredondamento na terceira casa. Para arredondar 
deve verificar quantos algarismos deverão ficar no final numa única operação e proceder da seguinte 
a 
b 
 
Área 
B 
h Área 
 
 
 
a) Se o algarismo à direita do último dígito que se pret
apenas desprezam-se as demais dígitos à direita.
Exemplos: 3,141592 com 3 A.S. 3,14 5,91338 com 3 A.S. 5,91 204, 91298 com 5 A.S. 204,91 
 
b) Se o algarismo à direita do último dígito que se pr
uma unidade ao último dígito representado e desprezam
Exemplos: 3,141592 com 5 A.S. 3,1416 5,91638 com 3 A.S. 5,92 204, 91298 com 3 A.S. 205
 
 
2.13) Exercícios de levantamento topográfico plani
 
1) Completar osdados da planilha do levantamento topográfico abaixo, calcula
diferenças de nível. 
 
Vértice da 
poligonal 
Ponto 
visado 
NM 
º 
Altura do 
instrumento
V1 Ré 90º 1,60
V1 1 1,60
V1 2 - 1,60
V1 3 1,60
V1 4 - 1,60
V1 V2 - 
V2 V1 - 1,58
Fórmulas: D.H. = (FS – FI) x 100 “Nível óptico”
 
1.1) Faça o croqui da planta topográfica abaixo em escala 1:100, conforme ângulos e distâncias horizontais calculadas 
na planilha da questão anterior. 
Obs.: Unir os pontos visados de leituras “Ré; 1; 2; 3 e 4” para delimitação da área e demarcar o vértice V2 e NM.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se o algarismo à direita do último dígito que se pretende representar for inferior a 5, 50, 5000, ..., 
se as demais dígitos à direita. 
Exemplos: 3,141592 com 3 A.S. 3,14 5,91338 com 3 A.S. 5,91 204, 91298 com 5 A.S. 204,91 
Se o algarismo à direita do último dígito que se pretende representar for maior que 5, 50, 500, ...., adiciona
uma unidade ao último dígito representado e desprezam-se os demais dígitos à direita.
Exemplos: 3,141592 com 5 A.S. 3,1416 5,91638 com 3 A.S. 5,92 204, 91298 com 3 A.S. 205
de levantamento topográfico plani-altimétrico: 
1) Completar os dados da planilha do levantamento topográfico abaixo, calculando as distâncias horizontais e 
Altura do 
instrumento (m) 
Ângulo 
Horizontal º 
FI 
(m) 
FM 
(m) 
FS 
(m) 
1,60 1,08 1,14 
1,60 60º 00’ 1,80 1,82 
1,60 150º 00’ 2,17 2,205 
1,60 210º 00’ 2,255 2,29 
1,60 300º 00’ 1,83 1,85 
 180º 00’ 1,98 2,02 
1,58 1,00 
“Nível óptico” ……. FM = (FS + FI) / 2 ........... DN = AI 
) Faça o croqui da planta topográfica abaixo em escala 1:100, conforme ângulos e distâncias horizontais calculadas 
Unir os pontos visados de leituras “Ré; 1; 2; 3 e 4” para delimitação da área e demarcar o vértice V2 e NM.
V1 
 
Direção da 
leitura de ré 
Fl.: 017/020 
 
ende representar for inferior a 5, 50, 5000, ..., 
Exemplos: 3,141592 com 3 A.S. 3,14 5,91338 com 3 A.S. 5,91 204, 91298 com 5 A.S. 204,91 
etende representar for maior que 5, 50, 500, ...., adiciona-se 
se os demais dígitos à direita. 
Exemplos: 3,141592 com 5 A.S. 3,1416 5,91638 com 3 A.S. 5,92 204, 91298 com 3 A.S. 205 
ndo as distâncias horizontais e 
D.H. 
(m) 
D.N. 
(m) 
 
 
 
 
 
 
 
........... DN = AI - FM 
) Faça o croqui da planta topográfica abaixo em escala 1:100, conforme ângulos e distâncias horizontais calculadas 
Unir os pontos visados de leituras “Ré; 1; 2; 3 e 4” para delimitação da área e demarcar o vértice V2 e NM. 
 
 
 
1.2) Utilizando a régua em escala 1:100, calcular a área (m
Obs.: Utilizar para cálculos de área (retângulo, triângulo e trapézio se necessário) e demonstrar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3) Calcular as diferenças de nível (m) entre o vértice 1 “V1” e os pontos visados “PV”, levando em consideração a 
altura instrumento”AI” em V1 e os fios médios de leitura dos pontos visados. Fórmula: DN
 
V1  Ré 
V1  1 
V1  2 
V1  3 
V1  4 
V1  V2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) Utilizando a régua em escala 1:100, calcular a área (m²) e perímetro (m) do terreno. 
Obs.: Utilizar para cálculos de área (retângulo, triângulo e trapézio se necessário) e demonstrar 
) Calcular as diferenças de nível (m) entre o vértice 1 “V1” e os pontos visados “PV”, levando em consideração a 
ltura instrumento”AI” em V1 e os fios médios de leitura dos pontos visados. Fórmula: DN
 Demonstrar todos os cálculos.
Fl.: 018/020 
 
Obs.: Utilizar para cálculos de área (retângulo, triângulo e trapézio se necessário) e demonstrar todos os cálculos. 
) Calcular as diferenças de nível (m) entre o vértice 1 “V1” e os pontos visados “PV”, levando em consideração a 
ltura instrumento”AI” em V1 e os fios médios de leitura dos pontos visados. Fórmula: DNV1PV = AIV1 - FMPV 
Demonstrar todos os cálculos. 
 
 
 
2) 
2.1) Preencher os dados da caderne
conceitos aprendidos em aula sobre ângulos, calculando os fios de leitura, distâncias horizontais e diferenças 
de níveis. Adotar como cota arbitrária, 20m do ponto visado de Ré.
 
2.2) Elaborar memorial de cálculo para todos os cálculos realizados da caderneta de campo, e escalas da planta 
topográfica, aprendidos em sala de aula.
 
2.3) Elaborar uma planta topográfica plani
milimetrado, no formato A3 e com escala calculada em função do referido formato. A planta deverá possuir 
escala, direção do norte magnético, o qual deverá ser corrigido com uma declinação magnética de 
legenda e selo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vértice da 
Poligonal
Ponto 
Visado NM
V1 Ré 80º horário
V1 1 -
V1 2 -
V1 3 -
V1 4 -
V1 5 -
V1 6 -
V1 7 -
V1 8 -
V1 9 -
V1 V2
V2 V1
V2 10 -
V2 11 -
V2 12 -
V2 13 -
V2 V3
V3 V2
Fórmulas: DH = (FS - FI) x 100 ....... FM = (FS + FI) / 2
Levantamento Topográfico Plani-altimétrico
Preencher os dados da caderneta de campo do levantamento topográfico plani
conceitos aprendidos em aula sobre ângulos, calculando os fios de leitura, distâncias horizontais e diferenças 
de níveis. Adotar como cota arbitrária, 20m do ponto visado de Ré. 
Elaborar memorial de cálculo para todos os cálculos realizados da caderneta de campo, e escalas da planta 
topográfica, aprendidos em sala de aula. 
Elaborar uma planta topográfica plani-altimétrica, com cotas nos pontos medidos, em folha de papel 
do, no formato A3 e com escala calculada em função do referido formato. A planta deverá possuir 
escala, direção do norte magnético, o qual deverá ser corrigido com uma declinação magnética de 
Altura do 
nível
Ângulo 
Horizontal FI FM FS
1,50 0,80 0,86 0,92
3º 20' 0,89 0,97 1,05
- 23º 20' 1,00 1,06 1,12
- 337º 50' 0,84 0,91 0,98
- 220º 30' 1,44 1,48 1,52
- 122º 20' 2,04 2,08 2,12
- 165º 40' 3,59 3,75 3,91
- 179º 30' 3,51 3,71 3,91
- 197º 10' 1,99 2,17
- 194º 20' 3,27 3,54 3,81
- 180º 10' 2,54 2,64 2,74
1,55 0,12 0,32
164º 30' 3,70 3,92 4,14
- 181º 30' 3,28 3,62
- 202º 10' 2,35 2,55 2,75
- 202º 07' 3,06 3,37 3,68
1,60 182º 40' 2,47 2,57 2,67
0,44 0,54 0,64
Fórmulas: DH = (FS - FI) x 100 ....... FM = (FS + FI) / 2
Levantamento Topográfico Plani-altimétrico
Fl.: 019/020 
 
ta de campo do levantamento topográfico plani-altimétrico, utilizando-se dos 
conceitos aprendidos em aula sobre ângulos, calculando os fios de leitura, distâncias horizontais e diferenças 
Elaborar memorial de cálculo para todos os cálculos realizados da caderneta de campo, e escalas da planta 
altimétrica, com cotas nos pontos medidos, em folha de papel 
do, no formato A3 e com escala calculada em função do referido formato. A planta deverá possuir 
escala, direção do norte magnético, o qual deverá ser corrigido com uma declinação magnética de 22º 30’ W., 
 
FS D.H. DN (Cotas)
0,92 12
1,05 16
1,12 12
0,98 14
1,52 8
2,12 8
3,91 32
3,91 40
2,17 18
3,81 54
2,74 20
0,32 20
4,14 44
3,62 34
2,75 40
3,68 62
2,67 20
0,64 20
 
 
 
3) Referências Bibliográficas: 
 
 
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. 
Janeiro, 1994. 
 
CEFET - Centro Federal de Educação Tecnológica. 
Construção Civil. SC. 21p. 
 
http://www.heliodon.com.br/calcular_declinacao_2.html
 
 
Bibliografias Sugeridas: 
 
COMASTRI, J. A. & GRIPP, J. Topografia Aplicada; med
 
COMASTRI, José A.; TULER, José C.. 
Universitária. 2ª Edição. Viçosa/MG, 1990.
 
LOCH, Carlos; CORDINI, Jucilei. Topografia contempo
 
Silva, Moacir Souza e. Manual de altimetria.
 
Pinto, Luiz Edmundo Kruscwsky; Universidade Federal da Bahia. Curso de topografia. 2. ed. Salvado
e Didaticao da UFBA, 1988 339 p.Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 13.133. Execução de Levantamento Topográfico. Rio de 
Centro Federal de Educação Tecnológica. Apostila de Topografia II Altimetria. 
http://www.heliodon.com.br/calcular_declinacao_2.html acessado em 18/05/2012 
COMASTRI, J. A. & GRIPP, J. Topografia Aplicada; medição divisão e demarcação – Viçosa UFV, 1998. 
COMASTRI, José A.; TULER, José C.. Topografia – Altimetria. Universidade Federal de
Universitária. 2ª Edição. Viçosa/MG, 1990. 
LOCH, Carlos; CORDINI, Jucilei. Topografia contemporânea: planimetria. Florianópolis: Ed. da UFSC, 1995 320p.
Silva, Moacir Souza e. Manual de altimetria. Textos Acadêmicos. Lavras, MG: Ed. UFLA, 2002 149 p.
Pinto, Luiz Edmundo Kruscwsky; Universidade Federal da Bahia. Curso de topografia. 2. ed. Salvado
Fl.: 020/020 
 
Levantamento Topográfico. Rio de 
Apostila de Topografia II Altimetria. Departamento Acadêmico da 
Viçosa UFV, 1998. 203p.: il. 
Universidade Federal de Viçosa. Imprensa 
rânea: planimetria. Florianópolis: Ed. da UFSC, 1995 320p. 
Lavras, MG: Ed. UFLA, 2002 149 p. 
Pinto, Luiz Edmundo Kruscwsky; Universidade Federal da Bahia. Curso de topografia. 2. ed. Salvador: Centro Editorial