APOSTILA DE TOPOGRAFIA

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Prof. Sérgio Kitamura 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 6 
1.1 A ORIGEM DA TOPOGRAFIA .................................................................................................................... 6 
1.2 A TOPOGRAFIA COMO INSTRUMENTO NA ENGENHARIA ........................................................................ 6 
1.3 DEFINIÇÃO DE TOPOGRAFIA ................................................................................................................... 6 
1.4 GEODÉSIA .............................................................................................................................................. 7 
1.5 DIVISÕES DA TOPOGRAFIA...................................................................................................................... 7 
1.5.1 Topometria .................................................................................................................................... 8 
1.5.2 Topologia........................................................................................................................................ 8 
1.5.3 Fototopografia ................................................................................................................................ 9 
1.6 PLANO TOPOGRÁFICO ............................................................................................................................ 9 
1.6.1 Definição ........................................................................................................................................ 9 
1.6.2 Maior área do plano topográfico ..................................................................................................... 9 
1.6.3 Maior extensão do plano topográfico .............................................................................................10 
1.6.4 Conclusão prática ..........................................................................................................................10 
2 MÉTODOS GERAIS DE LEVANTAMENTOS ................. ...................................... 11 
2.1INTRODUÇÃO .........................................................................................................................................11 
2.2 COORDENADAS GEOGRÁFICAS ..............................................................................................................12 
2.2.1 Longitude de um ponto ..................................................................................................................12 
2.2.2 Latitude de um ponto ....................................................................................................................12 
2.3 MÉTODOS GERAIS DE LEVANTAMENTOS................................................................................................13 
2.3.1 Métodos planimétricos ..................................................................................................................13 
2.3.1.1 Método das coordenadas .......................................................................................................13 
2.3.1.2 Método dos caminhamentos ..................................................................................................18 
2.3.2 Métodos altimétricos .....................................................................................................................19 
2.3.2.1 Nivelamento direto ou geométrico .........................................................................................19 
2.3.2.2 Nivelamento indireto..............................................................................................................19 
3 PLANIMETRIA ..................................... .................................................................. 20 
3.1 CONCEITO .............................................................................................................................................20 
3.2 PROCESSO DE MEDIÇÃO DIRETA DAS DISTÂNCIAS ..................................................................................20 
3.2.1 Definições ......................................................................................................................................20 
3.2.1.1 Ponto topográfico ..................................................................................................................20 
3.2.1.2 Reta topográfica .....................................................................................................................20 
3.2.1.3 Alinhamento ..........................................................................................................................20 
3.2.1.4 Caminhamento .......................................................................................................................21 
3.2.1.5 Piquete ..................................................................................................................................21
3.2.1.6 Balisa .....................................................................................................................................21 
3.2.1.7 Estacas ou testemunhas .........................................................................................................21 
3.2.2 Diastimetria ...................................................................................................................................21 
3.2.3 Principais diastímetros ...................................................................................................................22 
3.2.3.1 Cadeia ou corrente do agrimensor ..........................................................................................22 
3.2.3.2 Fita de aço ..............................................................................................................................22 
3.2.3.3 Fio ínvar .................................................................................................................................22 
3.2.3.4 Trena .....................................................................................................................................22 
3.2.3.5 Basímetro ...............................................................................................................................22 
3.2.3.6 Passômetro ............................................................................................................................22 
3.2.3.7 Podômetro .............................................................................................................................22 
3.2.3.8 Velocidade de marcha ............................................................................................................22 
3.2.3.9 Odômetro ..............................................................................................................................23 
3.3 PROCESSO DE MEDIÇÃO INDIRETA DAS DISTÂNCIAS ..............................................................................23 
4 ERROS NAS MEDIDAS ............................... .......................................................... 24 
4.1 ERRO REAL DE UMA MEDIDA .................................................................................................................24 
4.2 ERRO APARENTE ...................................................................................................................................24 
4.3 ERRO RELATIVO .....................................................................................................................................24 
4.4 PRECISÃO DE UMA MEDIDA ..................................................................................................................24 
4.5 ERROS COMETIDOS NA TOPOGRAFIA .....................................................................................................25 
4.5.1 Erros lineares .................................................................................................................................254.5.1.1 Erros lineares cometidos ........................................................................................................25 
4.5.1.2 Observação ............................................................................................................................26 
4.5.1.3 Erros lineares calculados.........................................................................................................26 
4.5.2 Erros angulares ..............................................................................................................................27 
4.6 ERROS COMETIDOS NAS MEDIDAS À TRENA ..........................................................................................28 
4.6.1 Erro devido à variação da temperatura ..........................................................................................28 
4.6.2 Erro devido ao peso próprio da trena (erro devido à catenária) ......................................................28 
4.6.3 Erro devido à falta de alinhamento ................................................................................................29 
4.6.4 Erro devido à falta de horizontalidade da trena ..............................................................................29 
4.6.5 Erro devido à falta de verticabilidade da balisa ...............................................................................30 
4.7 EXERCÍCIOS ...........................................................................................................................................30 
5 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS MEDIDAS ............... ..................................... 32 
5.1 ESCALAS ................................................................................................................................................32 
5.2 ESCALA NUMÉRICA OU TITULAR ............................................................................................................32 
5.3 ESCALAS GRÁFICAS ................................................................................................................................32 
5.4 SINAIS CONVENCIONAIS – CONVENÇÕES: ..............................................................................................33 
5.5 EXERCÍCIOS ...........................................................................................................................................34 
6 ALTIMETRIA ...................................... .................................................................... 35 
6.1 DEFINIÇÕES ...........................................................................................................................................35 
6.1.1 Altimetria ou Hipsometria ..............................................................................................................35 
6.1.2 Altitude .........................................................................................................................................35 
6.1.3 Cota ...............................................................................................................................................35 
6.1.4 Superfície de nível verdadeiro ........................................................................................................36 
6.1.5 Superfície de nível óptico ...............................................................................................................36 
6.1.6 Superfície de nível aparente ...........................................................................................................36
6.2 MÉTODOS GERAIS PARA NIVELAMENTO ................................................................................................36 
6.2.1 Com referência à superfície de nível verdadeiro .............................................................................36 
6.2.2 Com referência à superfície de nível aparente ................................................................................37 
6.3 ERRO COMETIDO NOS NIVELAMENTOS ..................................................................................................37 
6.4 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO ................................................................................................................37 
6.4.1 Nível de bolha ou de pedreiro ........................................................................................................37 
6.4.2 Nível de água .................................................................................................................................37 
6.4.3 Nível de luneta...............................................................................................................................38 
6.5 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COM NÍVEL DE LUNETA............................................................................38 
6.5.1 Mira...............................................................................................................................................38 
6.5.2 Retículo .........................................................................................................................................38 
6.5.3 Leitura de mira ..............................................................................................................................39 
6.5.4 Plano de referência ........................................................................................................................39 
6.5.5 Ponto de mudança .........................................................................................................................39 
6.5.6 Nivelamento ..................................................................................................................................39 
6.5.7 Contra-nivelamento .......................................................................................................................39 
6.5.8 Erro de fechamento .......................................................................................................................39 
6.5.9 Referência de nível (RN) .................................................................................................................40 
6.5.10 Tipos de nivelamento geométrico com níveis de luneta ........................................................40 
6.5.11 Norma Técnica ABNT NBR 13133 .................................................................................................42 
6.5.12 Erros de nivelamento ...................................................................................................................42 
6.5.13 Dados que devem ser anotados na caderneta de campo ..............................................................42 
6.6 NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO ........................................................................................................42 
6.7 PERFIL DE UM TERRENO ........................................................................................................................43 
6.7.1 Perfil longitudinal...........................................................................................................................43 
6.7.2 Grade (greide) ...............................................................................................................................43 
6.7.3 Gradiente ou declividade de um grade (G) .....................................................................................44 
6.7.4 Perfil transversal ou seção transversal ............................................................................................44 
6.8 EXERCÍCIOS ...........................................................................................................................................45 
7 GONIOLOGIA ...................................... .................................................................. 50 
7.1 DEFINIÇÃO ............................................................................................................................................507.2 INFORMAÇÕES PRELIMINARES ..............................................................................................................50 
7.3 MERIDIANO VERDADEIRO OU GEOGRÁFICO ..........................................................................................51 
7.4 MERIDIANO MAGNÉTICO ......................................................................................................................51 
7.5 INCLINAÇÃO MAGNÉTICA ......................................................................................................................51 
7.6 DECLINAÇÃO MAGNÉTICA .....................................................................................................................51 
7.7 LINHA ISOGÔNICA .................................................................................................................................52 
7.8 LINHA ISOPÓRICA ..................................................................................................................................52 
7.9 LINHA AGÔNICA ....................................................................................................................................52 
7.10 ORIENTAÇÃO DAS PLANTAS .................................................................................................................52 
7.11 GONIÔMETRO .....................................................................................................................................53 
7.12 ÂNGULO HORIZONTAL .........................................................................................................................53 
7.12.1 Ângulos azimutais ........................................................................................................................54 
7.12.1.1 Azimute de uma direção .......................................................................................................54 
7.12.1.2 Rumo de uma direção...........................................................................................................55 
7.12.1.3 Conversão de azimute em rumo ...........................................................................................55
7.12.2 Ângulos goniométricos.................................................................................................................56 
7.12.2.1 Ângulos horários internos e externos ....................................................................................56 
7.12.2.2 Ângulo de deflexão ...............................................................................................................57 
7.13 ÂNGULOS DE INCLINAÇÃO ...................................................................................................................57 
7.13.1 Ângulo vertical .............................................................................................................................57 
7.13.2 Ângulo zenital ..............................................................................................................................58 
8 LANÇAMENTO DE POLIGONAIS......................... ................................................ 59 
8.1 POLIGONAL TOPOGRÁFICA ....................................................................................................................59 
8.2 TIPOS DE POLIGONAIS ...........................................................................................................................59 
8.2.1 Aberta ...........................................................................................................................................59 
8.2.2 Fechada .........................................................................................................................................60 
8.2.3 Apoiada ou amarrada ....................................................................................................................60 
8.2.4 Estaqueamento da poligonal ..........................................................................................................61 
8.2.5 Levantamentos à bússola ...............................................................................................................61 
8.2.6 Regra geral dos azimutes ...............................................................................................................61 
8.2.7 Regra para cálculo de rumos ..........................................................................................................62 
8.2.8 Cálculo do erro de fechamento de uma poligonal fechada ..............................................................63 
8.3 EXEMPLOS DE CÁLCULO DE CADERNETAS ..............................................................................................64 
8.4 DESENHO DA POLIGONAL ......................................................................................................................66 
8.5 ETAPAS PARA CÁLCULO DAS COORDENADAS ABSOLUTAS DOS VÉRTICES DA POLIGONAL .......................67 
8.5.1 Cálculo do erro de fechamento angular ..........................................................................................67 
8.5.2 Correção angular – distribuição do erro .........................................................................................67 
8.5.3 Cálculo dos azimutes de todos os lados ..........................................................................................68 
8.5.4 Cálculo das coordenadas relativas não corrigidas ...........................................................................68 
8.5.5 Cálculo do erro de fechamento linear (fechamento dos lados) .......................................................69 
8.5.6 Calculo das coordenadas relativas corrigidas ..................................................................................70 
8.5.7 Cálculo das coordenadas absolutas ................................................................................................71 
8.6 EXERCÍCIOS ...........................................................................................................................................71 
9 BIBLIOGRAFIA .................................... ................................................................. 74 
 
1 INTRODUÇÃO 
1.1 A ORIGEM DA TOPOGRAFIA 
O nome “topografia” é originário da fusão de dois vocábulos gregos: “topos” 
que quer dizer lugar e “graphein” que significa gravar ou descrever. Então, 
etimologicamente, a palavra topografia significa descrição do lugar. 
 A topografia já era instintivamente utilizada desde a época primitiva pois a 
própria necessidade de habitar fazia com que o homem conhecesse o local mais 
apropriado para construir a sua moradia. A necessidade do homem de demarcar 
suas reservas de caça ou seus mananciais de água e florestas fez com que o 
mesmo desenvolvesse plantas topográficas rudimentares. Isto pode ser comprovado 
pelos desenhos que os homens das cavernas fizeram nas paredes, dando idéia de 
orientação e medição. As cartas topográficas rudimentares eram feitas também, com 
cipós, conchas, peles de animais, etc. As primeiras cartas topográficas, com 
características modernas, foram atribuídas ao sábio Aneximandro que viveu entre os 
anos 610 e 547 AC. 
1.2 A TOPOGRAFIA COMO INSTRUMENTO NA ENGENHARIA 
É fundamental que o engenheiro tenha conhecimento da representação do 
relevo do solo, para que possa encontrar soluções para os problemas e desenvolver 
os projetos necessários ao melhoramento das condições locais. Por meio da 
Topografia, as peculiaridades do terreno são estudadas, medidas e levadas para a 
prancheta do engenheiro para estudo de detalhes e soluções. Após conclusão do 
projeto definitivo, usa-se novamente a Topografia para transportar os dados desse 
projeto para o campo. Podemos dizer que sem a Topografia, seria impossível a 
realização de qualquer obra de engenharia pois ela é a base sobre a qual se 
assentam todos os demais ramos da Engenharia. 
1.3 DEFINIÇÃO DE TOPOGRAFIA 
Existemvárias definições para Topografia, como por exemplo: 
 
“É a parte da engenharia civil que trata de princípios e métodos para 
determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma porção limitada da 
superfície terrestre, inclusive os fundos dos mares e interior das minas.” 
 
“É a ciência/arte que estuda a representação detalhada de um trecho da 
superfície terrestre considerada plana.” 
7 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
 
A Topografia além de ser uma ciência, é também considerada uma arte, pois 
cabe a ela alinhar os dados obtidos, utilizando métodos matemáticos e o sentimento 
artístico ao desenho para que o mesmo possa representar, o mais fielmente 
possível, a porção da superfície representada. 
1.4 GEODÉSIA 
É a ciência que estuda a Terra como um todo, levando em consideração a 
esfericidade da Terra, ou seja, considera grandes porções da superfície terrestre. A 
Topografia estuda uma porção limitada da superfície terrestre, considerando-a plana 
(não leva em conta a curvatura terrestre). 
A Geografia e a Geodésia estão intimamente ligadas à Topografia, utilizando, 
a primeira, observações astronômicas para a determinação dos pontos de suas 
cartas, enquanto que os levantamentos geodésicos exigem processos rigorosos nas 
medidas, especialmente se abrangem grandes extensões, quando obrigam a se 
tomar em consideração a curvatura da Terra e a relação atmosférica. 
1.5 DIVISÕES DA TOPOGRAFIA 
Para o nosso curso, adotaremos a divisão abaixo, embora várias outras 
divisões possam ser encontradas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TOPOGRAFIA 
TOPOMETRIA TOPOLOGIA FOTOTOPOGRAFIA 
Planimetria Altimetria 
Aérea Terrestre 
8 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
1.5.1 Topometria 
 Estuda as medidas entre os acidentes do terreno, para transposição e 
representação gráfica no papel ou no computador. 
 
* Planimetria: estuda as medidas de distâncias e ângulos projetados sobre um plano 
horizontal de referência (distâncias horizontais e ângulos horizontais ou azimutais). 
Às operações realizadas na planimetria, dá-se o nome de levantamento. 
 
* Altimetria: estuda as medidas de distâncias e ângulos projetados sobre um plano 
vertical de referência (distâncias verticais ou diferenças de nível e ângulos verticais 
ou zenitais). Às operações realizadas na planimetria, dá-se o nome de nivelamento. 
 
 De modo geral, diz-se que fazer um levantamento ou uma medição, é 
proceder a todas as operações necessárias para alcançar os objetivos da topografia, 
isto é, a medição de ângulos e distâncias e a execução dos cálculos e desenhos 
para representar, o mais fielmente possível, os elementos colhidos no trabalho de 
campo. 
1.5.2 Topologia 
 Estuda as formas exteriores da superfície terrestre, bem como as leis 
que regem o seu modelado (leis que estudam a formação da superfície da Terra). As 
leis mais importantes são: 
• Lei dos cursos dágua ou lei dos talvegues (talwegs). 
• Lei das vertentes. 
• Lei das linhas de fêsto ou lei dos divisores de água. 
Essas leis são estudadas mais aprofundadamente na Hidrologia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vertente 
Talvegue
e 
Fêsto Vertente 
Talvegue 
9 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
1.5.3 Fototopografia 
 É mais comumente chamada de Fotogrametria. Estuda os pontos 
topográficos, tanto em plano horizontal quanto em plano vertical, por meio do auxilio 
de equipamentos fotográficos e aviões. 
 
* Fototopografia terrestre: realizada com a utilização dos fototeodolitos montados em 
tripés, que obtém fotografias do terreno sob ângulos diferentes. 
 
 * Fototopografia aérea: também chamada de Aerofotogrametria. O estudo do 
terreno é feito por meio de câmeras fotográficas especiais, colocadas em aviões, 
possibilitando com isto a obtenção de detalhes de grandes extensões da superfície 
terrestre. 
1.6 PLANO TOPOGRÁFICO 
1.6.1 Definição 
 É um plano horizontal e tangente à Terra num ponto central da área estudada 
e no qual se supõe estarem projetados todos os pontos da área a representar. 
Esses pontos são chamados de “pontos topográficos”. 
1.6.2 Maior área do plano topográfico 
 É obtida, com o auxilio da geometria, fazendo com que o erro angular 
máximo permitido seja de 0,1 segundo (melhor aproximação obtida com os 
instrumentos topográficos). Com este raciocínio, é como se substituíssemos um 
triângulo curvilíneo demarcado sobre a superfície terrestre, por um triângulo plano 
sem que o erro seja maior do que 0,1 segundo. Por meio de deduções matemáticas, 
conclui-se que um triângulo esférico de área menor ou igual a 19,673 km2, pode ser 
substituído por um triângulo plano sem que o erro extrapole o limite máximo. Esta 
área é equivalente à de um triângulo equilátero de lados aproximadamente iguais a 
6,78 km ou a de um círculo de raio aproximadamente igual a 2,5 km. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Raio 
10 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6.3 Maior extensão do plano topográfico 
 No ítem anterior ficou estabelecido que a máxima área do plano 
topográfico deverá ser de 19,673 km2, mas não sabemos ainda qual deverá ser o 
maior comprimento dos lados do triângulo qualquer. O raciocinio para o cálculo 
deste comprimento é feito partindo do princípio que uma tangente terá um 
comprimento máximo de tal forma que possa ser confundido com o arco. Este valor 
deduzido, matemáticamente, considerando um erro relativo desprezível de 1 / 
43430, será de aproximadamente 100 km (teóricamente). 
1.6.4 Conclusão prática 
 Na prática, para realizarmos um trabalho de Topografia, devemos 
dividir o terreno em triângulos de lados até 10 (dez) km e área máxima de 20 km2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19,673 km2 
19,673 km2 
6,78 km 
6,78 km 
6,78 km 
Raio = 2,5 km 
2 MÉTODOS GERAIS DE LEVANTAMENTOS 
2.1INTRODUÇÃO 
 Inicialmente os filósofos gregos (276 A.C.) afirmaram que a Terra era 
uma esfera; porém somente em 1522 ficou confirmada esta forma, após a famosa 
viagem de circunavegação de Fernão de Magalhães. Posteriormente, vários 
estudiosos como Isaac Newton e Clairault estabeleceram teorias de que a Terra 
seria achatada e não esférica, como se pensava, aproximando-se de um elipsóide 
de revolução. Estas teorias foram provadas, na prática, por vários estudiosos tais 
como Lagrange, Laplace, Gauss, Clarke, etc. Em 1866, Clarke deduziu alguns 
parâmetros que são usados como auxiliares até os dias de hoje: 
a = semi-eixo maior da Terra = 6.378.206,4 m 
b = semi-eixo menor da Terra = 6.356.583,8 m 
Comprimento do Equador = 40.076.593,0 m 
Superfície = 510.000.934,0 km2 
 
 
 
 
 Em 1924 o sábio Hayford, corrigiu vários desvios apresentando os 
valores abaixo para o elipsóide terrestre que foram aprovados pela União Geodésica 
e Geofísica Internacional: 
 
a = semi-eixo maior da Terra = 6.378.388 ± 35 m 
b = semi-eixo menor da Terra = 6.356.912 m 
 
 Até hoje, inúmeras outras medidas estão sendo feitas para determinar 
com maior precisão os valores encontrados, por meio do auxílio de satélites 
artificiais, raios laser, triangulações com base na Lua, etc. Devido a várias anomalias 
existentes na superfície terrestre, tais como a conformação geológica do solo, 
atrações magnéticas de várias naturezas, ação da gravidade sobre as medidas, 
resolveu-se chamar a superfície exterior do planeta, de Geóide, que é um sólido 
impossível de ser definido matemáticamente. Pelo fato da existência de mares 
profundos e altas montanhas, foi adotada como superfície de referência altimétrica, a 
superfície do nível médio dos mares, determinada com instrumentos chamados 
marégrafos, durante anos e anos de observações. Esta superfície também não 
satisfazia as condições matemáticas; portanto foram adotadas duas superfícies: o 
Geóide para representação das medidas de alturas e o Elipsóide para representação 
das medidas planimétricas. 
b 
a 
12 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
2.2 COORDENADAS GEOGRÁFICASUm ponto qualquer da Terra pode ser localizado pelas coordenadas 
geográficas que são definidas pelo cruzamento da linha do meridiano e da linha do 
paralelo que contém o ponto considerado. As coordenadas geográficas são a 
longitude e a latitude. 
2.2.1 Longitude de um ponto 
 É o segmento de arco equatorial contado do meridiano de origem até o 
meridiano que passa pelo ponto considerado. Pode variar de zero graus a 180 graus 
para Leste ou Oeste. O meridiano de origem foi convencionado como o que passa 
pelo Observatório de Greenwich próximo de Londres. 
2.2.2 Latitude de um ponto 
 É o arco de meridiano contado da linha do Equador até o ponto 
considerado. Pode variar de zero graus a 90 graus para Norte ou Sul. 
 
 
 
 
 
 
 
As coordenadas geográficas de Juiz de Fora, são: 
Longitude: 43º30´50” Oeste de Greenwich 
Latitude : 21º 45´35” Sul 
 
 
 
P 
N 
S 
O 
E 
Equador 
Meridiano de origem 
LONGITUDE 
LATITUDE 
13 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
2.3 MÉTODOS GERAIS DE LEVANTAMENTOS 
2.3.1 Métodos planimétricos 
 São utilizados quando se deseja levantar as projeções dos pontos que 
compõe o contorno do levantamento a ser realizado. Os pontos são projetados 
sobre um plano horizontal de referência . O levantamento planimétrico pode ser feito 
pelo método das coordenadas ou pelo método dos caminhamentos. 
2.3.1.1 Método das coordenadas 
 Utilizado quando os pontos do terreno já estão definidos no terreno. O método 
das coordenadas pode ser feito por: 
 
a) Coordenadas retangulares: consideram-se dois eixos ortogonais e as distâncias 
do ponto a ser levantado, até esses eixos. 
Exemplo: 
 
A
B
CONSTRUÇÃO
C
D E
F
Y
X
0
 
A (15,0 m ; 20,0 m) D (12,5 m ; 10,0 m) 
B (15,0 m ; 17,5 m) E (15,0 m ; 10,0 m) 
C (12,5 m ; 17,5 m) F (15,0 m ; 7,5 m) 
 
 
b) Coordenadas oblíquas: consiste em se considerar um par de eixos não ortogonais 
e as distâncias dos pontos a serem levantados, até esses eixos. 
Exemplo: 
 
14 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
A
B
CONSTRUÇÃO
C
D
E
F
Y
Xâ
 
 
 
C (16,20 m ; 62,44 m) 
D (24,84 m ; 31,22 m) 
E (34,84 m ; 31,22 m) 
 F (37,73 m ; 20,81 m) 
 
Os pontos A e B estão inacessíveis. 
 
c) Coordenadas polares ou irradiações: consiste em se considerar uma reta de 
referência e, no mínimo, um pólo sobre a mesma a partir do qual marcam-se a 
distância e o ângulo formado em relação à reta considerada. 
Exemplo: 
 
A
B
CONSTRUÇÃO
C
D
E
F
P1
P2
P3
 
â = 70º 
15 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
A (34,04 m ; 88º25´) D (37,13 m ; 98º18´) 2P1P = 27,15 m 
B (37,96 m ; 97º34´) E (51,12 m ; 75º45´) 3P2P = 31,37 m 
C (32,87 m ; 72º30´) F (50,15 m ; 86º14´) 
 
d) Interseção de ângulos: consiste em se considerar uma reta de referência, marcar 
no mínimo dois pontos sobre a mesma, e medir os ângulos formados entre os 
segmentos que unem o ponto a ser levantado aos pontos marcados sobre a reta de 
referência. 
Exemplo: 
A
B
CONSTRUÇÃO
C
D E
F
P1
P2
P3
 
 
A ( 88º25´ ; 65º27´) 2P1P = 27,15 m 
C (100º17´ , 58º47´) 3P2P = 31,37 m 
D ( 98º05´ ; 59º28´) 
 
e) Método de Photenot: neste método fixa-se, no mínimo, três pontos no terreno, 
medindo-se a distância entre eles, o ângulo formado pelas direções definidas entre o 
ponto a ser levantado e os três pontos marcados. A característica deste método é 
que a visada é feita a partir do ponto a ser levantado. 
Exemplo: 
16 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
A
B
C
P (Ponto a ser levantado)
â
b
ĉ
^
 
 
 
â = 80º35´15” b = 91º28´45” c = 120º56´30” 
 
 
f) Interseção de retas ou das triangulações: consiste em se considerar uma reta de 
referência, marcar, no mínimo, dois pontos sobre a mesma, e medir as distâncias do 
ponto a ser levantado até esses dois pontos. 
Exemplo: 
 
CONSTRUÇÃO
0
0+10
1
1+10
2
2+10
3
3+6,34
3+10
4 4+10
5
5+10
6
6+10 7 7+10
8 8+10
9 9+10
10
10+10
11
11+10
12
12+10
13
13+10
14
J
K
L
M
N
P
A
B
C
D E
F G H I
 
 
 
 
^ ^ 
17 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
VISADA DISTÂNCIA (m) OBSERVAÇÕES 
A - 0 20,10 
A - 0+10 21,13 
B - 0 25,10 
B - 0+10 21,82 
C - 0 18,66 
C - 0+10 12,62 
D - 1 29,47 
D - 2 17,61 
E - 2+10 28,11 
E - 3 32,35 
F - 4+10 15,20 
F - 5 15,12 
G - 6+10 21,88 
G - 7 22,12 
H - 8+10 27,41 
H - 9 31,20 
I - 8+10 28,62 
I - 9 30,94 
J - 9 32,36 
J - 10 28,66 
K - 10+10 23,26 
K - 11 18,48 
L - 11 19,74 
L - 11+10 17,93 
M - 12+10 24,41 
M - 13 23,30 
N - 13 27,68 
N - 13+10 27,95 
P - 13+10 34,23 
P - 14 37,53 
 
OBSERVAÇÃO: para se traçar linhas perpendiculares, no campo, pode-se usar 
triângulos retângulos com lados múltiplos de 3, 4 e 5, como por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.1.2 Método dos caminhamentos 
 Em geral é usado quando não existem pontos definidos no terreno. Os 
caminhamentos são uma série de alinhamentos nos quais são conhecidos os 
comprimentos dos lados e os ãngulos formados entre eles. Obtém-se uma linha 
chamada poligonal que pode ser fechada, aberta ou apoiada. 
 
a) Poligonal fechada: quando o início do caminhamento coincide com o seu final, 
formando um polígono fechado. 
 
b) Poligonal aberta: quando parte de um ponto conhecido ou não, e não se liga a 
nenhum outro ponto. Deve-se evitar o seu uso pois não pode ser conferida. A 
poligonal aberta pode ser chamada de braço. Apesar dos erros que podem 
aparecer, elas são muito usadas em lançamento de diretrizes de ensaio de 
alinhamento de eixos de estradas ou para auxiliar no levantamento à trena e 
bússola. 
A denominação braço é utilizada quando a poligonal aberta tiver pequeno número de 
lados. 
 
c) Poligonal apoiada ou amarrada: quando parte de um ponto conhecido e chega a 
outro ponto também conhecido. 
 
6 m 
8 m 
10 m 
19 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
 
Poligonal ABCDEFGA = fechada 
Poligonal CKLMN = aberta = braço 
Poligonal BHIJE = apoiada 
2.3.2 Métodos altimétricos 
 São utilizados quando se quer determinar as alturas dos pontos levando-se 
em conta um plano horizontal tomado como base (nivelamento). O nivelamento pode 
ser feito pelos seguintes processos: 
2.3.2.1 Nivelamento direto ou geométrico 
 É feito medindo-se diretamente a diferença de nível entre os pontos por 
meio do uso de réguas, níveis de água, níveis de luneta, níveis de pedreiro, etc. 
2.3.2.2 Nivelamento indireto 
 Quando for utilizado, por exemplo, resolução de triângulos para a 
determinação das diferenças de níveis entre os pontos. Pode ser: 
 
a) Nivelamento trigonométrico: quando for utilizado resolução de triângulos que 
estão localizados em planos verticais que passam pelos pontos que se quer 
determinar a diferença de nível. 
 
b) Nivelamento estadimétrico: quando for utilizado resolução de triângulos e réguas 
graduadas especiais chamadas estádias. 
 
c) Nivelamento barométrico: quando for utilizada diferenças de pressões 
atmosféricas entre os pontos que se quer determinar os desníveis. 
 
 
3 PLANIMETRIA 
3.1 CONCEITO 
 É a parte da Topometria que trata da representação dos detalhes do terreno, 
em projeção horizontal, considerando apenas as medidas de distâncias horizontais e 
ângulos horizontais ou azimutais. 
Para se medir distância pode-se usar processo direto ou indireto. 
3.2 PROCESSO DE MEDIÇÃO DIRETA DAS DISTÂNCIAS 
3.2.1 Definições 
3.2.1.1 Ponto topográfico 
 É todo ponto, no terreno, projetado sobre o plano topográfico. 
3.2.1.2 Reta topográfica 
 È a reta que une dois ou mais pontos topográficos.3.2.1.3 Alinhamento 
 É a interseção de um plano vertical que passa por dois ou mais pontos 
topográficos, com o plano topográfico. 
 
21 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
 
3.2.1.4 Caminhamento 
 É formado por uma série de alinhamentos sucessivos nos quais se conhecem 
os comprimentos e os ângulos formados entre eles. 
3.2.1.5 Piquete 
 É uma peça de madeira, com comprimento de aproximadamente 15 cm, de 
seção quadrada ou circular, com uma das extremidades terminando em ponta para 
cravar no terreno. Na face superior pode levar uma tachinha para materializar o 
ponto topográfico. 
3.2.1.6 Balisa 
 É uma haste que pode ser cilíndrica, sextavada ou oitavada, de aço ou de 
madeira, com aproximadamente 2 metros de comprimento e 2,5 mm de diâmetro. 
São, normalmente, pintadas de branco e vermelho que são as cores que se 
destacam no campo. 
3.2.1.7 Estacas ou testemunhas 
 São peças de madeira, de seção quadrada ou circular, com aproximadamente 
30 cm ou 40 cm de comprimento. São chanfradas na parte superior para facilitar a 
sua numeração e colocadas ao lado de piquetes para facilitar a sua localização e 
identificação. 
3.2.2 Diastimetria 
 É a parte da planimetria que cuida das medidas direta das distâncias. O nome 
é derivado da palavra grega diastema que significa intervalo. 
 
 
22 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
3.2.3 Principais diastímetros 
3.2.3.1 Cadeia ou corrente do agrimensor 
 Pouco usada hoje em dia. É formada por vários elos metálicos com 
aproximadamente 20 cm cada um. O conjunto todo mede 20 m ou 30 m. 
3.2.3.2 Fita de aço 
 Pouco usada hoje em dia por ser grande e pouco cômoda. É semelhante às 
trenas de aço e dotada de punhos metálicos nas extremidades. 
3.2.3.3 Fio ínvar 
 Consta de um fio composto de uma liga de aço e níquel. É quase invariável, 
de comprimento absolutamente certo sob determinada temperatura e tensão, daí o 
nome ínvar. São dotadas, em cada extremidade, de uma escala milimétrica para 
medidas de precisão. 
3.2.3.4 Trena 
 Podem ser feitas de aço, lona ou fibra de vidro. As mais comuns tem 
comprimento de 10 m, 20 m ou 30 m e são enroladas em uma caixa com o auxilio de 
uma manivela. Atualmente existem trenas que utilizam raios laser para medir 
distâncias. 
3.2.3.5 Basímetro 
 É uma fita de aço muito bem aferida e graduada em metros ou em polegadas. 
Serve para medir com grande precisão, bases de onde partirão outras medidas 
menos precisas. 
3.2.3.6 Passômetro 
 É um instrumento para medir distâncias, contando e registrando o número de 
passos do operador. Para isto é necessário que o operador tenha seus passos 
aferidos para terrenos planos e ondulados, para o cálculo das distâncias. Tem o 
formato de um relógio de bolso e é de fácil manuseio. 
3.2.3.7 Podômetro 
Registra o número de passos e o transforma em metros por meio da 
regulagem da amplitude do passo médio do operador. Tem formato de relógio de 
bolso. 
3.2.3.8 Velocidade de marcha 
É o processo em que se utiliza a velocidade ou o tempo de marcha do 
operador ou do veículo. 
 
 
 
23 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
 
3.2.3.9 Odômetro 
 É adaptado às rodas do veículo e mede o comprimento percorrido pelo 
registro do número de voltas das rodas. 
Exemplo: odômetro dos automóveis. 
3.3 PROCESSO DE MEDIÇÃO INDIRETA DAS DISTÂNCIAS 
 As medidas indiretas das distâncias são obtidas por cálculos trigonométricos 
ou por outros processos e serão estudados em capítulos posteriores. 
4 ERROS NAS MEDIDAS 
4.1 ERRO REAL DE UMA MEDIDA 
 É a diferença entre o valor real da medida e o valor da medida achada. Como, 
normalmente, o valor real da medida é desconhecido, não podemos determinar o 
erro real. Portanto, temos que recorrer ao erro aparente. 
4.2 ERRO APARENTE 
 É também chamado de resíduo, desvio, afastamento ou discrepância. É a 
diferença entre o valor mais provável da medida e o valor achado da medida. O erro 
aparente de uma medida, considerado em valor absoluto, é comumente chamado 
erro absoluto de uma medida. 
4.3 ERRO RELATIVO 
 É a razão entre o erro absoluto da medida e o valor mais provável da medida. 
É um número adimensional. 
4.4 PRECISÃO DE UMA MEDIDA 
 É o inverso do erro relativo e é usada para se avaliar a qualidade de uma 
medida. 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo: Ao se efetuar duas medidas diferentes, encontrou-se 99 cm para a 
primeira e 999 cm para a segunda. Considerando que o valor mais provável da 
primeira seja de 100 cm e o da segunda medida seja 1000 cm, qual das duas foi 
efetuada com maior precisão? 
 
* O erro absoluto vale: 
Para primeira medida: Ea1 = 100 – 99 = 1 cm 
Para segunda medida: Ea2 = 1000 – 999 = 1 cm 
 
* O erro relativo vale: 
Er
1
p = 
25 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
Para a primeira medida: 
 
 
Para a segunda medida: 
 
 
* A precisão vale: 
 
Para a primeira medida: 
 
 
 
Para a segunda medida: 
 
 
 
Portanto a segunda medida foi efetuada com maior precisão. 
4.5 ERROS COMETIDOS NA TOPOGRAFIA 
 Na Topografia podem ser cometidos erros lineares e erros angulares. 
4.5.1 Erros lineares 
 São aqueles que podem aparecer nas medidas de distâncias. Podem ser 
cometidos ou calculados. 
4.5.1.1 Erros lineares cometidos 
a) Erros grosseiros ou faltas 
 
 São normalmente de valor exagerado e perigosos. Dependem exclusivamente 
do operador e seus auxiliares. 
Exemplos: Anotar uma medida errada na caderneta. 
 Erro de leitura de mira ou de ângulos. 
 Erro de calagem do instrumento. 
 
b) Erros sistemáticos 
 
 São erros que acontecem devido a uma causa permanente conhecida ou não. 
Podem ser de dois tipos: 
 
* De coeficientes constantes: 
Exemplo: Medir com trena faltando pedaço. 
 Trabalhar com aparelho que não esteja ratificado. 
 
 
* De coeficientes variáveis: 
Exemplo: Medir com trena em local bem inclinado provoca erros, devido à catenária, 
diferentes pois as tensões de esticamento tendem a ser diferentes. 
 
0,01
cm100
cm1
Er1 == 
0,001
cm1000
cm1
Er2 == 
100
0,01
1
Er1
1
p1 === 
1000
0,001
1
Er2
1
p2 === 
26 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
c) Erros acidentais 
 
 São erros que não dependem propriamente do operador e podem se repetir 
ora num sentido ora noutro sentido. 
Exemplo: Erro devido à temperatura. 
 Erro devido à falta de verticalidade da balisa. 
4.5.1.2 Observação 
 Os erros grosseiros e sistemáticos podem ser controlados e eliminados. Os 
erros acidentais só podem ser corrigidos pela Estatística e pelas Leis da 
Probabilidade; daí o aparecimento dos erros lineares calculados. 
4.5.1.3 Erros lineares calculados 
 São estudados experimentalmente e geralmente tabelados ou expressos por 
fórmulas matemáticas. Podem ser: 
 
a) Erro médio aritmético: é a média aritmética dos erros acidentais cometidos, em 
valor absoluto. 
 
 
 
 
b) Erro médio quadrático: é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos 
erros acidentais. 
 
 
 
 
 
c) Erro provável: é aquele que tem o mesmo número de probabilidades de acontecer 
num sentido ou no outro, tal que o erro fique dentro dos limites do erro pré-
estabelecido. Vale dois terços do erro médio quadrático. 
 
 
 
 
 
 
d) Erro tolerável: é aquele que se pode cometer, de acordo com a precisão requerida 
pelo trabalho. 
 
Exemplo: Para se desenhar um terreno na escala 1/500, com pena 0,2 mm de 
espessura, qual o erro máximo que se pode cometer nas medidas do terreno, sem 
que este erro influencie no desenho? 
 
 
 
 
 
n
e
Ema
∑
= 
n
e
Eq
2∑
= 
Eq.
3
2
Ep = 
27 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
1/500 1 mm 500 mm 
 0,2 mm X 
 
X = 100 mm = 10 cm 
 
e) Erro máximo admissível: são aqueles que podem ser cometidos de acordo com a 
precisão exigida ou com as condições do terreno. No caso de levantamento à trena, 
os erros máximos, segundo Jordan, são: 
 
* Terrenospouco acidentados: 
 
 
 
* Terrenos mais ou menos acidentados: 
 
 
 
 
* Terrenos muito acidentados: 
 
 
 
 
Exemplo: Para uma medida de 20 metros, podemos errar em cada caso: 
 
* Terrenos pouco acidentados: 
 
 
 
* Terrenos mais ou menos acidentados: 
 
 
 
 
* Terrenos muito acidentados: 
 
 
 
 
 
 Para o nosso curso adotaremos um erro máximo de 1/1000; ou seja, a cada 
1000 metros de perímetro, podemos cometer um erro máximo de 1 metro. 
4.5.2 Erros angulares 
 São cometidos quando se fazem leituras de ângulos. Serão estudados mais 
detalhadamente no capítulo de Goniometria. 
 
 
 
 
metros)05,0.0004,0.010,0(Emáx ++= ll 
metros)05,0.0005,0.012,0(Emáx ++= ll 
cm2,9m092,0)05,020.0003,020.008,0(Emáx ==++= 
cm3,10m103,0)05,020.0004,020.010,0(Emáx ==++= 
cm4,11m114,0)05,020.0005,020.012,0(Emáx ==++= 
metros)05,0.0003,0.008,0(Emáx ++= ll 
28 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
4.6 ERROS COMETIDOS NAS MEDIDAS À TRENA 
4.6.1 Erro devido à variação da temperatura 
Poderá acontecer a dilatação ou a contração do material da trena alterando o valor 
real da medida. 
 
Sendo: llll0 = comprimento de aferição da trena a t0 graus. 
 llll = comprimento feito à temperatura de t graus. 
 α = coeficiente de dilatação do material da trena. 
 
 
 
 
 
Obs.: Este erro normalmente é pequeno e quase sempre pode ser desprezado. 
4.6.2 Erro devido ao peso próprio da trena (erro de vido à catenária) 
Sendo f = flecha e llll = comprimento medido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde: 
 
p = peso por metro linear do material da trena. 
llll = comprimento medido. 
t = tensão empregada no tracionamento. 
 
Obs.: Tomando-se os devidos cuidados, este erro normalmente é pequeno e quase 
sempre pode ser desprezado. 
 
Et = llll . α . (t – t0) 
f 
llll 
l.3
f.4
E
2
c = 
OU 
2
32
c t.24
.p
E
l
= 
29 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
4.6.3 Erro devido à falta de alinhamento 
Sendo: d = desvio cometido 
 llll = comprimento medido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Normalmente o desvio é no máximo igual ao diâmetro da balisa ( 3 cm ), o que 
ocasiona um erro desprezível. 
4.6.4 Erro devido à falta de horizontalidade da tren a 
Sendo: llll = comprimento medido. 
 α = ângulo formado entre a trena e a linha horizontal. 
 llll0 = medida correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
llll llll 
Vista 
superior 
d 
l.2
d
E
2
fa = 
α 
llll 
llll0 
)αcos1(.αcos.E 0fh −=−=−= lllll 
30 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
Obs.: Para um pequeno desvio em relação à horizontal, teremos um erro 
representativo que não pode ser desprezado. Portanto devemos tomar o cuidado de 
colocar a trena o mais possível na horizontal. 
4.6.5 Erro devido à falta de verticabilidade da bal isa 
Sendo: h = distância do solo até a trena, medida sobre a balisa inclinada. 
 α = ângulo formado entre a direção vertical e a balisa inclinada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Podemos perceber pela fórmula anterior que quanto mais alto for colocada a 
trena, maior será o erro cometido, se a balisa não estiver perfeitamente na posição 
vertical. Este erro é bastante representativo se a balisa não estiver na posição 
correta. 
4.7 EXERCÍCIOS 
a) Aferiu-se uma trena a 20º C e a mesma foi utilizada para medir uma distância a 
40º C. A distância medida com a trena dilatada foi de 200 m. Qual seria o valor 
correto da distância se a mesma fosse medida a 20º C ? Considere α = 11x10-6 
/ºC.m 
Resposta: 200,044 m 
 
b) Com uma trena de aço, de 15 m de comprimento, que sofreu uma dilatação e 
mede 15,037 m, deseja-se marcar um prédio retangular de 7,50 m por 30,70 m. Que 
medidas devemos marcar no terreno, com esta trena dilatada, para que o prédio 
fique com as dimensões dadas ? 
Resposta: 7,481 m e 30,624 m 
llll0 
α 
Efv 
h 
α= sen.hEfv 
31 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
c) Foi medido um alinhamento com uma trena de aço, encontrando-se 175,961 m. 
Mais tarde verificou-se que a trena tinha o comprimento de 20,004 m ao invés dos 
20 m marcados. Qual a medida real do alinhamento ? 
Resposta: 175,996 m 
 
d) Qual o erro devido à catenária, para uma trenada de 20 m, sendo a flecha máxima 
de 20 cm ? 
Resposta: 2,7 mm. 
 
e) Qual o erro devido à catenária, para uma trenada de 20 m, sabendo-se que foi 
utilizada uma trena de aço que pesa 16,7 g/m e foi distendida com uma força de 10 
kgf. 
Resposta: 0,93 mm. 
 
f) Ao se medir um alinhamento, foram tomadas 20 trenadas de 20,0 m, sendo que 
em uma das intermediárias, cometeu-se um desvio de alinhamento de 0,75 m. Qual 
a medida real do alinhamento ? 
Resposta: 399,972 m 
 
g) Calcular o comprimento correto de uma distância, sabendo-se que o comprimento 
medido de 15 m sofreu um desvio de 2º em relação à horizontal. Considere sen 2º = 
0,0348995 e cos 2º = 0,9993908 
Resposta: 14,991 m 
 
h) Ao medir um terreno inclinado, o topógrafo tomou a trena com um desvio de 0,5 m 
em relação à horizontal. Qual a medida real do alinhamento, se o valor medido foi de 
20 m ? 
Resposta: 19,994 m 
 
i) Calcular o erro em uma medida com trena, a 1,20 m do solo, e com a balisa 
inclinada de 1º . Considere sen 1º = 0,0174524 e cos 1º = 0,9998477. 
Resposta: 0,021 m 
 
 
 
 
5 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS MEDIDAS 
5.1 ESCALAS 
 São as relações matemáticas entre os valores gráficos representados em 
planta e as verdadeiras extensões do terreno. Podem ser numérica ou titular e 
gráfica. 
5.2 ESCALA NUMÉRICA OU TITULAR 
 São indicadas sob forma de fração, com numerador 1 (um) e com 
denominador M que indica o número de vezes que o desenho foi reduzido. No caso 
de ampliação, geralmente o denominador é 1 (um) e o numerador indica o número 
de vezes que o desenho foi ampliado. 
A relação 1/M é chamada de módulo ou título da escala. 
 
Exemplos de escalas comumente usadas: 
 
* de 1/50 a 1/250: detalhes e plantas de prédios. 
* de 1/250 a 1/500: pequenos levantamentos de fazendas e áreas pequenas. 
* de 1/500 a 1/1.000: plantas de fazendas, vilas, propriedades, bairros. 
* de 1/1.000 a 1/2.500: plantas cadastrais. 
* de 1/2.500 a 1/10.000: cidades pequenas ou grandes propriedades. 
* de 1/10.000 a 1/50.000: carta de estados ou pequenos países. 
* de 1/50.000 a 1/100.000: cartas de grandes estados ou países. 
* de 1/100.000 a 1/500.000: cartas de países ou continentes. 
* de 1/1.000.000 em diante: cartas de grandes países ou cartas do mundo 
(chamadas de cartas ao milionésimo) 
5.3 ESCALAS GRÁFICAS 
 São normalmente utilizadas em levantamentos expeditos e colocadas às 
margens das plantas. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
33 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
 
 
 
 
 
5.4 SINAIS CONVENCIONAIS – CONVENÇÕES: 
 São símbolos criados para caracterizar os diversos detalhes existentes no 
terreno tais como edifícios, igrejas, rios, lagos, etc. Os símbolos cartográficos podem 
ser usados de forma arbitrária ou de forma oficial devendo dar-se preferência aos 
oficiais quando existirem. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escola 
Linha para 
limite + + + + + + + + + + + + + 
Linha para 
limite 
Linha para 
limite 
Ponte 
Casa 
comum 
0 5 10 10 20 30 40 50 
TALÃO E S C A L A 
km 
Igreja e capela 
ou ou 
34 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
5.5 EXERCÍCIOS 
a) Quantos centímetros devemos traçar, no papel, se desejamos desenhar na escala 
1/20.000, uma divisa de 1500 metros ? 
 
b) Determinar o comprimento, no terreno, de uma cerca, sabendo-se que no 
desenho a mesma mede 5,3 cm quando desenhada na escala 1/10.000 ? 
 
c) Determinar em que escala foi feito um desenho, sabendo-se que uma distância de 
2,14 km foi desenhada com um segmento de 107 cm ? 
 
d) Determinar em que escala devemos desenhar um pavilhão retangular que mede 
50 m de comprimento por 10 m de largura, devendo a maior dimensão ficar paralela 
à maior dimensão do formato A1 ? 
O formato A1 tem 574 mm x821 mm (já descontadas as margens) 
Escalas possíveis: 1/20; 1/25; 1/50; 1/75; 1/100; 1/200. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Determinar em que escala devemos desenhar um pavilhão retangular que mede 
75 m de comprimento por 10 m de largura, devendo a maior dimensão ficar paralela 
à maior dimensão do formato A2 ? 
O formato A2 tem 400 mm x 574 mm (já descontadas as margens) 
Escalas possíveis: 1/20; 1/25; 1/50; 1/75; 1/100; 1/200. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PAVILHÃO 
50 m 
10 m 
821 mm 
574 mm 
6 ALTIMETRIA 
6.1 DEFINIÇÕES 
6.1.1 Altimetria ou Hipsometria 
 É a parte da Topografia (Topometria) que cuida da medição das distâncias 
verticais (diferenças de níveis) entre os pontos. 
6.1.2 Altitude 
 É a distância vertical em relação à superfície do nível médio dos mares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.1.3 Cota 
É a distância vertical em relação a uma superfície qualquer de comparação. É 
usada quando se trabalha em lugares afastados dos mares ou em local de altitude 
desconhecida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nível médio dos mares 
Altitude 
Nível médio dos mares 
Altitude Superfície qualquer Cot
36 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
6.1.4 Superfície de nível verdadeiro 
 É a superfície perpendicular às verticais dos diversos pontos da Terra. 
Coincide com a superfície do nível médio dos mares. 
6.1.5 Superfície de nível óptico 
 É aquela descrita pela visada dos instrumentos ópticos. A visada para um 
ponto afastado não é um plano perfeitamente horizontal devido ao fenômeno da 
refração atmosférica, que causa um desvio para baixo. 
6.1.6 Superfície de nível aparente 
 É aquela do plano topográfico, tangente ao geóide. É horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2 MÉTODOS GERAIS PARA NIVELAMENTO 
 Na Altimetria podem ser usados dois métodos para se determinar as 
diferenças de níveis entre os pontos: 
• Com referência à superfície de nível verdadeiro. 
• Com referência à superfície de nível aparente. 
6.2.1 Com referência à superfície de nível verdadei ro 
 Utiliza-se o nivelamento barométrico, executado com instrumentos chamados 
barômetros, tais como: 
 
• Barômetro de mercúrio. 
• Barômetros metálicos (aneróides) 
• Termobarômetros ou hipsômetros. 
 
 O nivelamento barométrico é, normalmente utilizado em trabalhos rápidos que 
não exigem muita precisão, pois baseia-se nas variações das temperaturas e das 
pressões durante o decorrer do trabalho. 
 
 
 
 
SNV 
SNA 
SNO 
37 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
6.2.2 Com referência à superfície de nível aparente 
 É o mais utilizado, e pode ser executado por: 
 
• Método geométrico. 
• Método estadimétrico. 
• Método trigonométrico. 
6.3 ERRO COMETIDO NOS NIVELAMENTOS 
 Demonstra-se, matematicamente, que podemos fazer visadas até 120 m, sem 
levarmos em consideração o erro devido à esfericidade e à refração atmosférica (ou 
erro de nível aparente) pois até esta distância, o erro cometido será menor do que 1 
mm que é a menor leitura que podemos avaliar na mira. Não devemos também fazer 
leituras à mira, com distância inferior a 1 m, pois a mesma ficará dificultada. 
6.4 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
 São executados com instrumentos chamados níveis que podem ser dos 
seguintes tipos: 
6.4.1 Nível de bolha ou de pedreiro 
 Peça de madeira ou de metal, com aproximadamente 25 cm de comprimento 
por 4 a 5 cm de altura e 1,5 cm de espessura. É dotado com um tubo semi-cheio de 
éter ou álcool colocados sob vácuo. É largamente utilizado nas construções. 
 
 
 
 
 
 
6.4.2 Nível de água 
 Tubo de metal, borracha ou de plástico, transparente, sendo a sua utilização 
baseada no princípio dos vasos comunicantes da Física. É largamente utilizado nas 
construções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Linha horizontal Nível 
da água 
Nível da 
água 
38 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
6.4.3 Nível de luneta 
 Pode ser de dois tipos: 
 
• Nível de charneira: quando a luneta for apoiada somente no centro. 
• Nível tipo americano: quando a luneta for apoiada nas extremidades. 
 
 No nível tipo americano, o eixo de colimação quando girado, descreve um 
plano horizontal. No nível de charneira é necessário se verificar a horizontalidade do 
aparelho a cada visada. 
6.5 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COM NÍVEL DE LUNETA 
 Para executar um nivelamento geométrico com nível de luneta, é necessário 
se conhecer algumas definições: 
6.5.1 Mira 
 É uma régua de madeira ou de alumínio, graduada, com comprimentos 
variáveis, dotadas de alça e de nível de bolha. Sobre a mesma podemos fazer 
leituras com precisões avaliadas em milímetros, sendo por isto chamadas de miras 
falantes. As graduações são normalmente pintadas de preto e branco ou branco e 
vermelho, que são as cores que mais se destacam no campo. As miras podem ser 
diretas ou invertidas conforme sua graduação esteja na posição crescente ou 
decrescente, de baixo para cima. 
6.5.2 Retículo 
 É formado por dois eixos gravados na lente da luneta sendo um deles 
horizontal (HH´) chamado de traço horizontal ou fio nivelador ou fio médio. O fio 
vertical é chamado de traço vertical ou de prumo. Normalmente existem mais dois 
traços chamados de fio superior (FS) e fio inferior (FI). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H H´ 
V 
V´ 
FS 
FI 
39 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
6.5.3 Leitura de mira 
 Pode ser à ré se a mira estiver antes do instrumento nivelador ou à vante se 
a mira estiver depois do instrumento nivelador. A leitura será “bis” , se já foi feita 
alguma outra leitura com o instrumento nivelador colocado em outra posição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.5.4 Plano de referência 
 É o plano coincidente com o que passa pelo eixo de colimação do instrumento 
nivelador. É horizontal e paralelo ao nível médio dos mares. 
6.5.5 Ponto de mudança 
É aquele em que se instala o instrumento e se faz pelo menos uma visada à 
re e pelo menos uma à vante . Sempre que houver ponto de mudança haverá uma 
visada bis. 
6.5.6 Nivelamento 
 É a operação de transporte da cota de um ponto para compará-la com a cota 
de outros pontos. A cota de partida deve ser conhecida ou arbitrada. 
6.5.7 Contra-nivelamento 
 É a operação inversa do nivelamento. É normalmente realizado para se fazer 
a conferência do trabalho de nivelamento. 
6.5.8 Erro de fechamento 
 É a diferença de cotas nas operações de nivelamento e contra-nivelamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sentido do caminhamento 
Ré 
Vante 
Eixo de colimação 
40 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
6.5.9 Referência de nível (RN) 
 É um ponto perfeitamente definido no terreno, com cota bem determinada e 
serve de base para futuras conferências dos trabalhos de nivelamento. As RNs 
podem ser por exemplo: 
Pé de uma árvore frondosa que se tenha certeza que não será removida. 
Soleira de portão. 
Sinal feito em uma pedreira. 
Marco artificial feito de concreto ou de alvenaria, que normalmente leva uma placa 
de identificação. 
Existem RNs que são oficiais e não podem ser modificadas ou destruídas. A 
modificação ou destruição desses tipos de RNs constituem crime previsto no Código 
Penal Brasileiro. 
6.5.10 Tipos de nivelamento geométrico com níveis d e luneta 
* Nivelamento simples: quando se deseja nivelar apenas dois pontos. Neste caso 
basta apenas uma instalação do instrumento nivelador sendo a diferença de nível 
entre dois pontos obtida pela simples diferença de leituras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
* Nivelamento composto: quando o instrumento nivelador é instalado mais de uma 
vez, gerando mais de um plano de referência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∆h = l1 - l2 
∆h 
l1 
l2 
41 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V i s t a e m p e r f i l 
A 
B 
C 
D 
Nível Nível 
Nível 
Mira 
Mira 
Mira 
Mira 
V i s t a e m p l a n t a 
42 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
6.5.11 Norma Técnica ABNT NBR 13133 
 A ABNT por meio do documento “Execução de Levantamento Topográfico”classifica os níveis quanto à precisão, nas seguintes categorias: 
 
Classes dos níveis Desvio padrão 
1 – Precisão baixa > ± 10 mm/km 
2 – Precisão média ≤ ± 10 mm/km 
3 – Precisão alta ≤ ± 3 mm/km 
4 – Precisão muito alta ≤ ± 1 mm/km 
6.5.12 Erros de nivelamento 
 Dependem do tipo de terreno, número de estações de mudança do 
instrumento, das condições do tempo, da precisão e aferição do instrumento. De 
acordo com a ABNT, para extensão máxima de 10 km, o erro máximo admissível 
será: 
 
 
 
 
onde: 
 
k - perímetro do caminhamento. 
6.5.13 Dados que devem ser anotados na caderneta de campo 
• Tipo de trabalho executado: nivelamento, contra-nivelamento. 
• Topografia do local: acidentado, muito acidentado, plano, etc. 
• Local do trabalho: 
• Data dos serviços. 
• Variação do tempo: bom, chuva, nublado, etc. 
• Operadores: nomes. 
• Instrumentos usados: marca, modelo, características. 
• Croquis dos serviços e das RNs. 
• Verificação exata das RNs. 
• Observações gerais. 
6.6 NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO 
 É feito lendo-se ângulos verticais com posteriores cálculos matemáticos por 
meio de resolução de triângulos. O nivelamento trigonométrico é menos preciso que 
o nivelamento geométrico. 
 
 
 
 
 
 
 
mmk.12Eadm ±= 
43 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
6.7 PERFIL DE UM TERRENO 
 É a interseção de um plano vertical com a superfície do solo. É a 
representação gráfica do alinhamento. Pode ser longitudinal ou transversal. 
6.7.1 Perfil longitudinal 
 É o perfil do terreno, feito na direção do eixo longitudinal do caminhamento. 
Para desenhá-lo, traça-se uma linha horizontal a partir da qual marcam-se as 
distâncias horizontais e as cotas. 
Exemplo: 
 
Ponto Cota (m) Distãncia (m) 
A 158,432 
B 157,528 20,396 
C 154,239 22,482 
D 159,125 23,036 
E 156,388 21,528 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.7.2 Grade (greide) 
 É a linha que une, dois a dois, um certo número de pontos de um perfil 
longitudinal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
C 
 D 
E 
A´ B´ C´ D´ E´ 
8,432 7,528 
4,239 9,125 6,388 
20,396 22,482 23,036 21,528 150,000 
A 
B 
C 
 D 
E 
A´ B´ C´ D´ E´ 
Grade AC 
Grade CE 
Plano 
horizontal 
α 
158,432 154,239 
20,396 22,482 
156,388 
23,036 21,528 
44 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
6.7.3 Gradiente ou declividade de um grade (G) 
 É a tangente trigonométrica do ângulo formado entre o grade e o plano 
horizontal.. Pode ser expressa em porcentagem. No desenho anterior temos: 
 
 
 
 
6.7.4 Perfil transversal ou seção transversal 
 É o perfil do terreno feito na direção transversal (perpendicular ao eixo do 
caminhamento). Para desenhá-lo, usa-se o mesmo processo do perfil longitudinal. 
Exemplo: 
 
Ponto Cota (m) Distãncia (m) 
a 53,432 
b 51,938 2,80 
c 2,00 
d 51,735 0,10 
e 51,885 4,00 
f 51,730 4,00 
g 0,10 
h 51,950 2,00 
i 48,876 3,85 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
%8,9098,0
878,42
193,4
482,22396,20
239,154432,158
Ć´A
CCotaACota
tgG ===
+
−
=
−
=α= 
a 
 b 
 c 
d 
e 
f 
 g 
 h 
i 
a´ b´ c´ 
d´ 
e´ f´ 
 g´ 
 h´ i´ 
53,432 51,938 51,735 51,885 51,730 51,950 
48,876 
4,00 4,00 2,00 2,00 2,80 3,85 
45 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
6.8 EXERCÍCIOS 
a) Dada a caderneta abaixo, fazer o desenho do caminhamento e calculá-la. 
 
 
Ponto 
visado Fio médio (mm) 
Plano de 
referência (m) Cota (m) Observações 
RN1 3000 704,500 RN1 está na 
so- 
A 0600 leira do portão 
bis A 2800 da casa nº100 
B 1000 na rua “A” 
bis B 2790 
C 0500 
 
 
b) Dada a caderneta abaixo, determinar a cota de B e o erro máximo admissível. 
 
 
Ponto 
visado Fio médio (mm) 
Plano de 
referência (m) Cota (m) Observações 
RN1 3437 200,00 Perímetro = 
A 2621 451 m 
B 0563 
 
 
c) Dada a caderneta abaixo, calculá-la e distribuir o erro encontrado. 
 
 
Ponto 
visado Fio médio (mm) 
Plano de 
referência (m) Cota (m) Observações 
RN1 3437 200,00 Perímetro = 
A 2621 451 m 
B 0563 RN1 = pino do 
bis B 3826 portão de ferro 
C 2749 na entrada 
D 0502 
bis D 0694 
E 0388 
F 3892 
bis F 0842 
RN1 3850 
 
 
 
A B 
C 
D E 
F 
RN
46 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
d) Dada a caderneta abaixo, calcular a diferença de nível entre o RN1 e o RN2 pela 
diferença entre a somatória das leituras de ré e de vante e pela diferença de cotas. 
 
 
Ponto 
visado Fio médio (mm) 
Plano de 
referência (m) Cota (m) Observações 
RN1 0064 672,174 
A 1128 
B 2625 
bis A 3674 
C 2281 
D 1035 
bis D 3987 
E 1461 
bis C 2874 
F 0516 
RN2 0835 
 
 
e) Dada as cadernetas de nivelamento, 1º contra-nivelamento e 2º contra-
nivelamento, abaixo, encontrar os erros e se possível, calcular as cotas a serem 
adotadas. 
Perímetro entre o RN115 e o RN1 = 210,5 m 
Perímetro entre o RN1 e o RN2 = 240,8 m 
Perímetro entre o RN2 e o RN3 = 350,2 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
CADERNETA DE NIVELAMENTO 
 
Ponto 
visado Fio médio 
(mm) 
Plano de 
referência (m) Cota (m) Observações 
RN1115 1400 678,888 RN115 está na 
Estação Mariano 
Procópio 
RN1 = pé do 
poste de con- 
creto na Rua Y, 
em frente ao nº 
125 
RN2 = centro do 
tampão de ferro 
na rua Y em 
frente ao nº 
424 
RN3 = marco de 
concreto na rua 
“C” 
1 1500 
2 0990 
Bis 2 3535 
3 0318 
bis 3 3341 
RN1 0471 
bis RN1 1947 
4 0090 
bis 4 3238 
5 1448 
bis 5 0028 
RN2 3943 
bis RN2 0120 
6 3619 
bis 6 0124 
RN3 2532 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
CADERNETA DO 1º CONTRA-NIVELAMENTO 
 
 
Ponto 
visado Fio médio 
(mm) 
Plano de 
referência (m) Cota (m) Observações 
RN3 2586 
A 0663 
bis A 2207 
B 0329 
bis B 2290 
RN2 0205 
bis RN2 2335 
C 0240 
bis C 2100 
D 0056 
bis D 1300 
E 2428 
bis E 0968 
F 2663 
bis F 0860 
RN1 1898 
bis RN1 0365 
G 3385 
bis G 0583 
H 3697 
bis H 1025 
RN115 1387 
 
 
 
 1º QUADRO DE COTAS: 
 
RN Cota 
nivelam. 
Cota 
contra 
Desnível 
nivelam 
Desnível 
contra 
Erro Desnível 
adotado 
Cota 
adotada 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
CADERNETA DO 2º CONTRA-NIVELAMENTO 
 
 
Ponto 
visado Fio médio (mm) 
Plano de 
referência (m) Cota (m) Observações 
RN2 1660 
a 3266 
bis a 0308 
b 2586 
bis b 0204 
RN3 2204 
 
 
2º QUADRO DE COTAS 
 
 
 
RN 
Cota 
nivelam 
Cota 1º 
contra 
Cota 2º 
contra 
Desniv
el 
nivela
m 
Desniv
el 1º 
contra 
Desniv
el 2º 
contra 
Erro - 
nivel c/ 
1ºcontr
a 
Erro - 
nivel c/ 
2ºcontr
a 
Erro 1º 
contra 
c/ 2º 
contra 
Desnív
el 
adotad
o 
Cota 
adotad
a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 GONIOLOGIA 
7.1 DEFINIÇÃO 
 É a parte da Topografia que estuda os processos e instrumentos necessários 
para se avaliar um ângulo. Alguns autores a dividem em: 
Goniografia: estuda os processos de representação gráfica dos ângulos. 
Goniometria: estuda os processos e instrumentos necessários à medida do ângulo 
em campo. 
7.2 INFORMAÇÕES PRELIMINARES 
 Desde os tempos mais remotos, o homem já se preocupava com a sua 
orientação, baseando-se na posição do Sol e das estrelas, tais como na posição da 
Estrela Polar e na posição da Constelação do Cruzeiro do Sul. 
 Há quase dois mil anos atrás, os chineses observaram a atração da Terra 
sobre um minério denominado por eles de pedra-imam ou pedra-guia (óxido salino 
de ferro ou tetróxido de triferro) e por meio dele construíram uma agulha suspensa 
pelo seu centro de gravidade e que apontava sempre para uma mesma direção. 
Esta descoberta serviu para a construção dos primeiros instrumentos artificiais de 
orientação. 
 Mais de mil anos depois, os cientistas Coulomb e Gilbert provaram que sobre 
a agulha magnética, apareciamduas componentes do magnetismo terrestre: uma 
componente horizontal que dava a direção norte-sul e outra componente, vertical, 
que provocava uma inclinação em relação ao plano horizontal. Estes mesmos sábios 
provaram que a Terra se comporta como uma esfera de ferro igualmente imantada 
que atrai a agulha magnética. A atração magnética da Terra sofre fenômenos 
perturbadores devido a inúmeros fatores. 
 O pólo sul do material da agulha é chamado de PONTA NORTE, porque é 
atraído pelo Norte magnético da Terra. 
 O pólo norte de material da agulha é chamado de PONTA SUL. 
 A palavra magnético originou-se do nome da cidade grega chamada 
Magnésia onde existiam jazidas do mineral que fornecia a pedra-guia. 
 De acordo com várias experiências realizadas, com agulhas magnéticas, ficou 
provado que para cada ponto da superfície terrestre, passam dois meridianos: 
meridiano verdadeiro ou geográfico e meridiano magnético. 
 
 
 
 
51 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
7.3 MERIDIANO VERDADEIRO OU GEOGRÁFICO 
 É aquele que passa pelos pólos geográficos da Terra. 
7.4 MERIDIANO MAGNÉTICO 
 É aquele que passa pelos pólos magnéticos da Terra (pela ponta da agulha 
magnética). 
7.5 INCLINAÇÃO MAGNÉTICA 
 É o ângulo diedro formado entre a agulha imantada da bússola e o plano 
horizontal. A inclinação magnética varia de acordo com o tempo e o local, sendo 
nula no equador e crescente à medida que se aproxima dos pólos, onde tem o seu 
valor máximo. 
 A ponta que indica a direção norte fica mais baixa quando a bússola estiver 
no hemisfério norte, e a ponta que indica o sul fica mais baixa quando estiver no 
hemisfério sul. Para se resolver este problema, usa-se colocar um pequeno contra-
peso na ponta que estiver mais alta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.6 DECLINAÇÃO MAGNÉTICA 
 É o ângulo diedro que o meridiano verdadeiro forma com o meridiano 
magnético. A declinação magnética varia de acordo com o tempo e com as 
coordenadas geográficas do local, pois o meridiano magnético é variável. As 
variações da declinação podem ser diárias, mensais, anuais ou seculares, além das 
acidentais. A declinação magnética pode ser: 
Ocidental ou Oeste: quando o meridiano magnético estiver à esquerda do meridiano 
verdadeiro. 
Oriental ou Leste: quando o meridiano magnético estiver à direita do meridiano 
verdadeiro. 
Nula: quando o houver coincidência dos dois meridianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NM 
No equador 
NM 
No hemisfério sul 
NM 
No hemisfério norte 
52 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atualmente, no Brasil, a declinação é Ocidental. 
 
 A determinação da declinação magnética pode ser realizada por métodos da 
Astronomia de Campo; por magnetômetros e pelos mapas isogônicos e isopóricos 
que são publicados, anualmente pelos Observatórios Nacionais de diversos países. 
7.7 LINHA ISOGÔNICA 
 É o lugar geométrico dos pontos de mesma declinação magnética. 
7.8 LINHA ISOPÓRICA 
 É o lugar geométrico dos pontos de mesma variação da declinação 
magnética. 
7.9 LINHA AGÔNICA 
 É o lugar geométrico dos pontos de declinação nula. 
7.10 ORIENTAÇÃO DAS PLANTAS 
 Para se orientar uma planta, pode-se indicar a direção do norte-sul magnético 
ou do norte-sul verdadeiro ou se possuirmos o valor da declinação magnética do 
local. Pode-se também, caso queira, indicar as direções de ambos. A planta deve 
conter a indicação da data em que foi feita a orientação. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
NM 
Declinação 
magnética 
Leste ou Oriental 
NV 
DE 
NV 
NM 
Declinação 
magnética 
Nula 
Declinação 
magnética 
Oeste ou Ocidental 
NV 
NM 
DO 
53 
 
Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.11 GONIÔMETRO 
 É todo instrumento utilizado para se medir ângulos, tais como o esquadro de 
agrimensor, grafômetro, pantômetro, bússola, trânsito, teodolito, sextante, estação 
total, etc. 
7.12 ÂNGULO HORIZONTAL 
 É definido como o ângulo formado pelo afastamento de 2 planos verticais, que 
passam pelos pontos, considerados, do levantamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os ângulos horizontais, de acordo com a direção ou alinhamento que serve 
de origem para sua medida, podem ser azimutais ou goniométricos. 
 
 Os ângulos horizontais azimutais têm por origem a direção norte-sul, sendo 
denominados de azimutes e rumos. 
 
Declinação magnética = 30º25´40” à direita 
 
Abril de 2005 
NV 
DE 
NM 
A 
P 
B 
 α 
α = ângulo horizontal 
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Topografia – Prof. Sérgio Kitamura 
 Os ângulos horizontais goniométricos são medidos em relação a um 
alinhamento qualquer, sendo denominados de ângulos entre alinhamentos (interno 
ou externo) e deflexões. 
7.12.1 Ângulos azimutais 
7.12.1.1 Azimute de uma direção 
 É o ângulo horizontal formado entre a direção norte-sul, tendo por origem a 
direção do norte, e a direção considerada. O azimute pode variar de 0º a 360º. No 
nosso curso o azimute será contado do norte para a direção considerada, no sentido 
horário. 
Exemplo: 
 
 Instala-se, por exemplo, o goniômetro no ponto O, determina-se o norte-sul 
magnético e a seguir faz-se a visada aos pontos desejados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Por meio da figura acima observa-se que para obter o azimute recíproco 
( AOAz ), é necessário se instalar o goniômetro em A. 
Conclui-se que: AOAzOAAz ≠ 
 
 
 
 
O 
A 
B 
NM 
OAAz 
OBAz 
AOAz 
NM 
Azimute de uma 
direção 
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7.12.1.2 Rumo de uma direção 
 É o menor ângulo formado entre a direção considerada e a ponta norte ou sul. 
Deve sempre vir acompanhado do quadrante em que a direção estiver (NE ou NO 
ou SE ou SO), e pode variar de 0º a 90º. 
Exemplo: 
 
 Para se obter o rumo AB , instala-se o goniômetro no ponto A, procura-se a 
direção norte-sul e verifica-se o menor ângulo formado (com o norte ou com o sul). A 
seguir coloca-se o quadrante em que está a direção AB . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para se obter o rumo recíproco (Rumo BA ) é necessário se instalar o 
goniômetro no ponto B. Seu valor será: Rumo BA = 50º15´45” NO 
7.12.1.3 Conversão de azimute em rumo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
N 
S 
O E 
 NE NO 
 SO 
50º15´45” SE 
Rumo AB = 50º15´45” SE 
N 
E 
S 
O 
A 
B 
C 
D 
F 
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Por meio da figura anterior observa-se que: 
 
No quadrante NE: Rumo = azimute 
No quadrante SE: Rumo = 180º - azimute 
No quadrante SO: Rumo = azimute – 180º 
No quadrante NO: Rumo = 360º - azimute 
7.12.2 Ângulos goniométricos 
7.12.2.1 Ângulos horários internos e externos 
 Os ângulos a serem medidos serão sempre aqueles formados entre um 
alinhamento e o seguinte, obedecendo-se o sentido horário. 
 Os ângulos a serem medidos serão externos, se o caminhamento for efetuado 
no sentido horário. 
 Os ângulos a serem medidos serão internos, se o caminhamento for efetuado 
no sentido anti-horário. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se os caminhamentos formarem uma poligonal fechada, a conferência da 
exatidão das leituras dos ângulos da mesma pode ser feita utilizando-se as fórmulas 
da Geometria: 
 
 
 
onde: 
 
n = número de lados ou de vértices da poligonal. 
 
 O erro cometido será calculado pela diferença entre a soma das leituras 
efetuadas no campo e o valor calculado pela fórmula acima. 
 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
Caminhamento horário 
Ângulos externos 
M 
N 
O 
P 
Q 
Caminhamento anti-horário 
Ângulos internos 
Σ ângulos externos = 180º (n + 2) Σ ângulos internos = 180º (n - 2) 
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 Se os caminhamentos formarem uma poligonal aberta, a conferência da 
exatidão das leituras dos ângulos da mesma pode ser feita da seguinte maneira: 
* Conhecer o azimute (ou rumo) inicial que pode ser “arbitrado” ou determinado no 
campo. 
* Calcular os azimutes (ou rumos) de todos os lados seguintes da poligonal. 
* Comparar o último azimute calculado com o último determinado no campo. 
O erro