12_SerieFourier

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Sinais e Sistemas 
Série de Fourier 
Renato Dourado Maia 
Universidade Estadual de Montes Claros 
Engenharia de Sistemas 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
 Lembremos da resposta de um sistema LTI dis-
creto a uma exponencial complexa: 
 
 
[ ] , , [ ] n j j nx n é um número complexo z e xz z n e    
Assim: 
[ ] ( ) ny n H z zTomando ( ) [ ] k
k
z zH h k



 
[ ] [ ] ( )n n
k k
k
k k
k
k
x n a y n a Hz z z   
14/04/2014 2/25 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n k n k
k k k
zy n h k x n k h k h kz z
  
 
  
     
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
 Quando um sinal discreto é periódico? 
 
 Um sinal é discreto é periódico se existe uma constante 
positiva N, tal que: 
 
 
[ ] [ ], x n x n N n  
O MENOR VALOR PARA N QUE SATISFAÇA À EQUAÇÃO É CHAMADO DE PERÍODO 
FUNDAMENTAL – N0 . 
0
0
2
 [ ] é a frequência fundamental de x n em radianos
N
 
14/04/2014 3/25 
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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
 Lembrando do conjunto de harmônicas para o ca-
so discreto: 
(2 )
[ ] , 0, 1, 2,...
jk n
k
N
n e k
    
( )(2 ) (2 ) 2[ ] [ ]
j k nN N Njk n n
k kN
jn e e e n
      
HÁ N HARMÔNICAS DISTINTAS!!! 
14/04/2014 4/25 
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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
 Analogamente ao caso contínuo: 
 
 0
0
[ ] , jk n
k
k N
x n a e é um sinal periódico com período N
 
 
Representação em Série de Fourier para um 
sinal discreto periódico: Forma Exponencial 
O somatório é feito num intervalo de “tamanho” N em função de 
haver N harmônicas distintas... O somatório pode ir de 0 até N-1, 
de 3 até N+2, e assim sucessivamente. 
k k N
a a periodicidade 
14/04/2014 5/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
DTFS de um Sinal Discreto Periódico 
0
0
0
[ ]
1
[ ]
jk n
k
k N
jk n
k
n N
x n a e
a x
N
n e


 

 




Equação de Síntese 
Equação de Análise 
  ka coeficientes da Série de Fourier ou coeficientes espectrais
Quantificam a contribuição de cada uma das N 
harmônicas. 
14/04/2014 6/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exemplo 
 
0
[ ] ( )x n sen n
0 0
0
1 1
[ ] ( )
2 2
j n j nx n sen n e e
j j
    Relação de Euler: 
1
1
1
2
1
2
0, 
k
a
j
a
j
a para os demais coeficientes considerados no somatório


 

Para sinais discretos periódicos reais: ∗ −=k ka a
14/04/2014 7/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exercício 1: 
 
1 3
[ ] 1
12 8
x n sen n

       
Aplicando-se a 
Relação de Euler: 
3 3
8 8
8
1
2
0
3 3
8 8
8
1
2
1 1
2 2 2
1
1 1
2 2 2
0, 11 12
j j
j j
j
j j
j
j
k
e e e
a e
j
e
a
e e
a e
j
e
a k
 


 


                

                
   

  
   
14/04/2014 8/25 
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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exercício 1 
 
0 5 10 15 20 25
0
1
2
x[n]=x=1+sin(πn/12 + 3π/8)
x[
n]
n
-15 -10 -5 0 5 10 15
0
0.5
1
|a
k|
k
-15 -10 -5 0 5 10 15
-0.5
0
0.5
∠
(a
k)
k
14/04/2014 9/25 
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Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exercício 1 
 
14/04/2014 10/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exercício 2 
 
14/04/2014 11/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exercício 2 
 
0
0
3 1
3
2 1
3 3
3 3
6
3
1 1
[ ] [ ]
6 6
1 2 2 1 2
6 6 6 6 3 2
1 2
6 3 3
jk njk n
k
n n
jk jk
jk jk
k
k
N
a x n e x n e
e e
a e e
a cos k


 





 


  
 
    
       
 
14/04/2014 12/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exercício 2 
 
14/04/2014 13/25 
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Propriedades da DTFS 
 As propriedades da DTFS são similares às da FS, 
e estão resumidas na tabela 3.2 (página 221 do 
livro Signals and Systems). 
 
 As propriedades são interessantes para facilitar a 
determinação dos coeficientes da DTFS de um 
sinal, evitando a realização de contas desneces-
sárias. 
 
 Leiam sobre as propriedades, pois o livro apre-
senta comentários interessantes. 
14/04/2014 14/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Série de Fourier e Sistemas LTI 
 Lembrando da resposta de sistemas LTI a expo-
nenciais complexas: 
 
 
( ) , ( ) ( )s tstx t e é um número complexs y t H eso  
[ ] , [ ] ( )n nx n é um número complexo y nz zHz z  
Contínuo: 
Discreto: 
( ) ( ) ( ) ( )s jH h e d H j h e ds     
  
 
   
( ) [ ] ( ) [ ]k j j k
k k
zH h zk H e h k e 
 
 
 
   
Resposta em 
Frequência, se s 
e z são conside-
rados comple- 
xos puros. 
14/04/2014 15/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Série de Fourier e Sistemas LTI 
0 0 0
0
( ) ( ) ( )jk t jk t jk t
k k k
k k k
x t a e y t a H jk e b e  
  
  
     
0 0 0 0[ ] y[ ] ( )jk n jk n jk n jk n
k k k
k N k N k N
x n a e n a H e e b e   
     
     
Para entradas periódicas, pode-se determinar a saída de um 
sistema LTI por meio da resposta em frequência ao invés da 
convolução... Posteriormente, essa análise será adaptada para 
permitir a análise com sinais aperiódicos – Transformada de Fourier. 
(.) -
 . !
H modifica as amplitudes e fases das exponeciais com
plexas da entrada E já sabemos que a frequência não muda
14/04/2014 16/25 
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Série de Fourier e Sistemas LTI 
Exemplo – Parte 1 
 
11
( ) ( )
t
RCh t e u t
RC


Resposta ao Impulso? 
Determinar a resposta em frequência. 
14/04/2014 17/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Série de Fourier e Sistemas LTI 
Exemplo 
 1
0
1
0
1
( ) ( )
1
1 1
1 1
j
RCj
j
RC
H j h e d e d
RC
RCe
RC
j j
RC RC
 

 
   
 
        


      
 
 
 
 
2 2 2
1 1 1
1 ( )
1 1 1 1
j
RC H j j
j
 
   
      
   
Normalmente, a resposta em frequência é apresentada em módulo 
e fase... 
14/04/2014 18/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exemplo – Parte 2 
 
 Para RC = 0.1, determinar a saída do circuito pa-
ra o sinal de entrada apresentado a seguir: 
0 0 0
0
2 2 sen( ) 1
sinc sinc( ) 1, , 2
4k
T T Tu
a k u T
T T u T
 

        
14/04/2014 19/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exemplo – Parte 2 
 
0 0 0
0
( ) ( ) ( )jk t jk t jk t
k k k
k k k
x t a e y t a H jk e b e  
  
  
     
0 00 0 0
0 0
0 0
2 ( )
( ) ( ) ( )jk t jk t
k
k k
T sen k T
y t a H jk e H jk e
T k T
  

  
  
0
0
1 1
( ) ( )
1 1
RC RC
H j H jk
j RC jk RC
 
 
  
 
14/04/2014 20/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Discretos Periódicos (DTFS) 
Exemplo – Parte 2 
 
0
0
1 1
( ) ( )
1 1
RC RC
H j H jk
j RC jk RC
 
 
  
 
0
0,1 , 2RC   
10
( 2 )
2 10
H j k
j k




0
( 2)210
( )
2 10k
sen kT
y t
j k T k

 




14/04/2014 21/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Boa Notícia! 
VOCÊS JÁ PODEM FAZER A QUINTA LISTA 
DE EXERCÍCIOS SUGERIDOS... 
14/04/2014 22/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Exercícios 
Exercício 3.19 – Signals and Systems 
  Considere um sistema causal LIT implementado 
como o circuito RL mostrado a seguir: 
a. Encontre a equação diferencial relacionando x(t) e y(t). 
b. Considerando , determine a resposta em frequência. 
c. Determine a saída para . 
( ) j tx t e 
( ) cos( )x t t
14/04/2014 23/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Exercícios 
Exercício 3.20 – Signals and Systems 
  Considere um sistema causal LIT implementado 
como o circuito RLC mostrado a seguir: 
a. Encontre a equação diferencial relacionando x(t) e y(t). 
b. Considerando , determine a resposta em frequência. 
c. Determine a saída para . 
( ) j tx t e 
( ) sen( )x t t
14/04/2014 24/25 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Exercícios 
Exercício 3.14 – Signals and Systems 
  Quando o trem de impulsos 
 
 
 é a entrada de um sistema LTI com resposta em 
frequência , a saída é: 
 
 
 Determine os valores de para k = 0, 1, 2 e 3. 
[ ] [ 4 ]
k
x n n k


 
( )jH e 
5
[ ] .
2 4
y n cos n
       
2
( )
jk
H e

14/04/2014 25/25 
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