APOSTILA MECÂNICA GERAL 2017-1

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MECÂNICA GERAL 
CCE1041 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Civil 
2017/1 
Paulo Cesar Martins Penteado 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 2 
 
MECÂNICA GERAL − CCE1041 
 
Índice 
 
1. Apresentação da disciplina .............................................................................................................. 4 
1.1 Contextualização ........................................................................................................... 4 
1.2 Ementa ................................................................................................................................ 4 
1.3 Bibliografia ......................................................................................................................... 4 
1.4 Horário das aulas ................................................................................................................ 5 
1.5 Datas das Avaliações (2016-2) ........................................................................................... 5 
1.6 Cronograma das aulas ........................................................................................................ 5 
2. Introdução à Mecânica Geral ........................................................................................................... 6 
2.1 Definição de Mecânica ........................................................................................................ 6 
2.2 Mecânica dos corpos rígidos ................................................................................................ 6 
2.3 O Sistema Internacional de Unidades – Prefixos .................................................................. 6 
2.4 Grandezas físicas fundamentais presentes na Mecânica ...................................................... 7 
2.5 Grandezas escalares ............................................................................................................ 8 
2.6 Grandezas vetoriais ............................................................................................................. 8 
3. Vetores ............................................................................................................................................ 8 
3.1 Operações com vetores ....................................................................................................... 8 
3.2 Produto de um número real por um vetor ........................................................................... 8 
3.3 Soma de vetores .................................................................................................................. 8 
3.4 Lei dos senos ....................................................................................................................... 9 
3.5 Lei dos cossenos .................................................................................................................. 9 
3.6 Componentes ortogonais de um vetor ................................................................................. 10 
3.7 Notação vetorial cartesiana ................................................................................................. 10 
3.8 Produto escalar e produto vetorial ...................................................................................... 10 
4. Força e força resultante ................................................................................................................... 11 
Exercícios ............................................................................................................................................. 12 
5. Diagrama do corpo livre ................................................................................................................... 18 
6. Condição de equilíbrio do ponto material ........................................................................................ 18 
Exercícios ............................................................................................................................................. 18 
7. Momento de uma força ................................................................................................................... 21 
7.1 Definição ............................................................................................................................. 21 
7.2 Momento – Formulação escalar .......................................................................................... 21 
7.3 Momento – Formulação vetorial ......................................................................................... 21 
7.4 Teorema de Varignon .......................................................................................................... 22 
7.5 Binário ‒ Momento de um binário ....................................................................................... 22 
7.6 Sistema força-binário .......................................................................................................... 23 
Exercícios ............................................................................................................................................. 23 
8. Equilíbrio dos corpos extensos rígidos .............................................................................................. 29 
8.1 Tipos de apoios e suas reações ............................................................................................ 29 
8.2 Condições para o equilíbrio do corpo extenso rígido ........................................................... 30 
Exercícios ............................................................................................................................................. 30 
9. Treliças planas isostáticas ................................................................................................................ 33 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 3 
 
9.1 Projeto de treliças ............................................................................................................... 33 
9.2 Elemento de duas forças ..................................................................................................... 33 
9.3 Estaticidade das treliças ...................................................................................................... 34 
9.4 Método dos nós .................................................................................................................. 34 
Exercícios ............................................................................................................................................. 35 
9.5 Método das seções ou método de Ritter ............................................................................. 38 
Exercícios ............................................................................................................................................. 38 
10. Sistema de forças distribuídas ........................................................................................................ 41 
10.1 Intensidade da força resultante ......................................................................................... 41 
10.2 Localização da força resultante .......................................................................................... 41 
Exercícios ............................................................................................................................................. 42 
11. Reações dos apoios em vigas ......................................................................................................... 44 
Exercícios ............................................................................................................................................. 45 
12.Esforços internos em vigas ............................................................................................................ 46 
12.1 Esforços internos ............................................................................................................... 46 
12.2 Convenção de sinais dos esforços internos ........................................................................ 47 
Exercícios ............................................................................................................................................. 47 
13. Centro de gravidade e centroide de área plana .............................................................................. 49 
13.1 Introdução ......................................................................................................................... 49 
13.2 Baricentro de uma superfície plana ................................................................................... 49 
13.3 Centroide da superfície ............................................................................................... 49 
13.3 Superfícies compostas ...................................................................................................... 50 
Exercícios ............................................................................................................................................. 51 
Respostas ........................................................................................................................................... 53 
Referências bibliográficas .................................................................................................................... 59 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 4 
 
1. APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA 
 
1.1 CONTEXTUALIZAÇÂO 
Esta disciplina pertence ao núcleo básico dos cursos de Engenharia. 
As forças e os momentos em relação a um determinado ponto determinam os movimentos dos 
componentes de máquinas e equipamentos, estando diretamente ligados ao dimensionamento destas peças. Na 
construção civil, o conhecimento dos esforços atuantes é fundamental para o dimensionamento de vigas e vãos 
de construções, como casas e prédios. 
A disciplina, em seu contexto, se propõe a apresentar aos alunos conceitos, técnicas e ferramentas 
importantes para a compreensão de problemas cotidianos da área, ajudando a desenvolver o raciocínio lógico. É 
base para outras disciplinas, como Resistência dos Materiais I, Resistência dos Materiais II, Teoria das Estruturas I, 
e Teoria das Estruturas II, dentre outras. 
Visa também dar a base física e matemática para o crescimento do discente durante o curso, possibilitando 
ao mesmo o desenvolvimento de competências e habilidades para aplicar conhecimentos físicos, 
matemáticos, tecnológicos e instrumentais à engenharia. 
1.2 EMENTA 
Unidade I Conceitos de Vetores Força 
● Componentes cartesianas de uma força no espaço. 
● Vetores posição. 
● Vetor força orientado ao longo de uma reta. 
● Força definida por seu modulo e dois pontos de 
sua linha de ação. 
● Adição de forças concorrentes no espaço. 
Unidade II Equilíbrio de um ponto material 
● Equilíbrio de um ponto material. 
● Diagrama do corpo livre. 
● Sistema de forças coplanares. 
● Sistema de forças tridimensional. 
Unidade III Resultantes de sistemas de forças 
● Forças internas e externas. 
● Princípio da transmissibilidade. 
● Momento de uma força (formulação escalar). 
● Momento de uma força (formulação vetorial). 
● Princípio dos momentos (teorema de Varignon). 
● Momento de uma força em relação a um eixo 
específico. 
● Momento de um Binário. 
● Resultantes de um Sistema de Forças e Momentos 
de Binários (redução de um sistema de forças a uma 
força e um binário). 
Unidade IV Equilíbrio dos Corpos Rígidos 
● Condições de equilíbrio para um corpo rígido. 
● Diagramas de corpo livre. 
● Reações nos vínculos de uma estrutura 
bidimensional. 
Unidade V Análise Estrutural 
● Treliças simples. 
● Método dos Nós. 
● Método das Seções. 
Unidade VI Forças em Vigas 
● Tipos de carregamentos e de Vínculos externos. 
● Força cortante e Momento Fletor em uma viga. 
Unidade VII Centro de Gravidade e Centroide 
● Centro de Gravidade e centro de massa de um 
sistema de pontos materiais e de um corpo. 
 
1.3 BIBLIOGRAFIA 
Bibliografia Básica 
1. MACIEL, Carla Isabel dos Santos. Mecânica Geral. Rio de Janeiro: SESES, 2015 
2. HIBBELER, R.C. Estática, Mecânica para Engenharia. 12ª ed. São Paulo, Prentice Hall, 2004. 
3. BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON Jr., E. Russel, Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática, Volume I, Makron 
Books, 5ª ed. São Paulo, 1991. 
Bibliografia Complementar 
1. FONSECA, Adhemar. Curso de Mecânica - Vol. 2, 2ª ed. Rio de Janeiro, LTC - Livros Técnicos e Científicos, 1974. 
2. MERIAM, James L. Estática, Rio de Janeiro, LTC - Livros Técnicos e Científicos, 1999. 
3. FRANÇA, Luis Novaes Ferreira e MATSUMURA, Amadeu Z., Mecânica Geral, São Paulo, Edgard Blücher, 2001 
4. SHAMES, Irving H. Estática: Mecânica para engenheiros. 4ª ed. São Paulo, Pearson Education do Brasil, 2002. 
5. MELCONIAN, Sarkis. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. 19 ed. São Paulo: Érica, 2014 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 5 
 
1.4 Horário das aulas 
Aulas às sextas-feiras, das 19:00 às 20:40 
 
1.5 Data das avaliações 
 
AV1 em 28/ABR AV2 em 09/JUN AV3 em 23/JUN 
 
1.6 Cronograma das aulas 
 
Semana Data Atividade 
01 10/FEV Aula 1 INTRODUÇÃO À MECÂNICA GERAL 
02 17/FEV Aula 2 VETOR FORÇA E VETOR POSIÇÃO 
03 24/FEV Aula 3 OPERAÇÕES COM VETORES 
04 03/MAR Aula 4 EQUILÍBRIO DO PONTO MATERIAL (BIDIMENSIONAL) 
05 10/MAR Aula 5 EQUILÍBRIO DO PONTO MATERIAL (TRIDIMENSIONAL) 
06 17/MAR Aula 6 MOMENTODE UMA FORÇA – FORMULAÇÃO ESCALAR 
07 24/MAR Aula 7 MOMENTO DE UMA FORÇA – FORMULAÇÃO VETORIAL 
08 31/MAR Aula 8 MOMENTO DE UM BINÁRIO 
09 07/ABR Aula 9 RESULTANTE DE FORÇAS E MOMENTOS DE BINÁRIOS 
10 14/ABR FERIADO – SEXTA-FEIRA SANTA 
11 21/ABR FERIADO – TIRADENTES 
12 28/ABR AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV1 
13 05/MAI Aula 10 CARGAS DISTRIBUÍDAS 
14 12/MAI Aula 11 EQUILÍBRIO DO CORPO EXTENSO RÍGIDO I 
15 19/MAI Aula 12 EQUILÍBRIO DO CORPO EXTENSO RÍGIDO II 
16 26/MAI Aula 13 ANÁLISE ESTRUTURAL (MÉTODO DOS NÓS) 
17 02/JUN Aula 14 ANÁLISE ESTRTUTURAL (MÉTODO DAS SEÇÕES) 
18 09/JUN AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV2 
19 16/JUN Aula 15 ESFORÇOS INTERNOS 
20 23/JUN AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV3 
21 30/JUN Aula 16 CENTROIDE DE ÁREAS PLANAS 
 
Neste semestre, 2016/2, devido à ocorrência dos três feriados faltou espaço para as 3 últimas aulas do programa: 
⦁ Aula prática sobre o programa FTOOL; 
⦁ Esforços internos em vigas biapoiadas; 
⦁ Centro de gravidade e centroide um corpo. 
O cronograma acima, portanto, poderá ser alterado e as aulas de reposição (provavelmente em sábados a serem 
previamente definidos) seguirão a programação original de aulas da disciplina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 6 
 
2. INTRODUÇÃO 
A mãe natureza é tão rigorosa que, na medida em que conhecemos suas regras, podemos fazer previsões 
confiáveis sobre o comportamento de seus filhos, o mundo dos objetos físicos. Em particular, para praticamente 
todos os fins práticos, todos os objetos que os engenheiros estudam segue estritamente as leis da mecânica 
newtoniana. Então, se você aprender as leis da mecânica, isto poderá ajudá-lo a ser capaz de fazer os cálculos 
quantitativos para prever como as coisas se comportam. Você também vai desenvolver a intuição de como o 
mundo físico funciona. 
Os futuros engenheiros muitas vezes iniciamum curso como este pensando a mecânica como algo vago e 
complicado. O nosso objetivo é mudar este pensamento e mostrar que a mecânica é algo concreto e simples. 
Este breve trabalho tem por objetivo expor aos estudantes de engenharia os conceitos básicos da 
Mecânica, ciência física que explora os efeitos de forças atuantes sobre objetos. 
 
2.1 Definição de Mecânica 
A mecânica pode ser definida como o ramo das ciências físicas dedicado ao estudo do estado de repouso 
ou movimento de corpos sujeitos à ação de forças. Normalmente o estudo da mecânica é dividido em três partes: 
a mecânica dos corpos rígidos, a mecânica dos corpos deformáveis e a mecânica dos fluidos. 
 
2.2 Mecânica dos corpos rígidos 
A mecânica dos corpos rígidos pode ser dividida em estática (equilíbrio de um corpo rígido) e dinâmica 
(movimento de um corpo rígido). 
 A estática tem por finalidade o estudo do equilíbrio de um corpo em repouso ou em movimento com 
velocidade constante. 
A dinâmica, por sua vez, pode ser caracterizada como a parte da mecânica dos corpos rígidos dedicada ao 
estudo do movimento de corpos sob a ação de forças, ou seja, movimentos de corpos acelerados. 
 
2.3 O Sistema Internacional de Unidades - Prefixos 
O sistema de unidades utilizado hoje em dia no Brasil e na maioria dos países é o denominado Sistema 
Internacional de Unidades, abreviadamente SI, derivado do antigo Sistema Métrico Decimal. 
O SI é composto de sete unidades de base, de duas unidades suplementares, de unidades derivadas e de 
múltiplos e submúltiplos de todas elas. Qualquer grandeza física pode ser definida como uma relação entre as 
sete fundamentais e tais grandezas são chamadas de grandezas derivadas. 
O diagrama a seguir mostra as unidades de base e as suplementares com suas respectivas grandezas 
associadas, unidades de medidas e o símbolos correspondentes. 
 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 7 
 
A linguagem utilizada pela Física e por muitas outras ciências exatas é a linguagem dos números. A 
diversidade dos números que aparecem no mundo físico é enorme. Para se ter uma ideia, a massa da Terra, por 
exemplo, é de cerca de 5.980.000.000.000.000.000.000.000 quilogramas (kg), enquanto o diâmetro de um próton 
é de cerca de 0,000 000 000 000 001 metro (m). 
A grande quantidade de zeros torna a representação desses números bastante inconveniente e, por esse 
motivo, usamos uma maneira mais prática para escrever valores muito grandes ou muito pequenos. Usando 
potência de dez, podemos escrever a massa da Terra como 5,98·1024 kg, e o diâmetro do próton como 10‒15 m. 
Visando facilitar ainda mais a notação das grandezas, é bastante comum a utilização de prefixos 
representando as potências de dez. A tabela a seguir traz a denominação dos principais prefixos de acordo com 
regulamentação do Instituto Nacional de Metrologia, Qualidade e Tecnologia (Inmetro). Os prefixos mais usados 
foram colocados em negrito. 
 
 
2.4 Grandezas físicas fundamentais presentes na Mecânica 
● Comprimento: Grandeza essencial que localiza a posição de um ponto no espaço. A partir do 
comprimento é possível descrever com exatidão a dimensão de um sistema físico. No sistema internacional de 
unidades (SI), a unidade básica de comprimento é o metro (m). 
● Massa: A massa de um corpo representa uma quantidade absoluta que independe da posição do corpo e 
do local no qual o mesmo é colocado. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade básica de massa é o 
quilograma (kg). A massa representa uma propriedade da matéria que permite comparar a ação de um corpo em 
relação a outro e de um modo geral pode ser interpretada com a resistência que um corpo oferece a mudanças 
em seu movimento de translação. 
● Tempo: Pode ser definido como o intervalo entre dois eventos consecutivos. Medições desse intervalo 
podem ser realizadas por comparações, como por exemplo, eventos repetitivos tal como a rotação da Terra ao 
redor de seu próprio eixo. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade básica de tempo é o segundo (s). 
Como o presente curso trata apenas dos problemas de estática, a quantidade tempo não possui influência 
significativa na solução dos problemas, porém em problemas de dinâmica, o tempo é uma grandeza muito 
importante para descrever as variações de posição, velocidade, aceleração e forças em um corpo. 
● Força: Pode ser definida como a ação de um corpo em outro corpo. Como um corpo não pode exercer 
uma força em um segundo corpo a menos que este ofereça uma resistência, pode-se concluir que uma força 
nunca existe só, ou seja, as forças sempre ocorrem aos pares, e as duas forças possuem a mesma intensidade e 
sentidos contrários. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade básica de força é o newton (N), que é 
representado a partir da seguinte relação: 1 N = 1 kgm/s². 
 
 
 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 8 
 
2.5 Grandezas Escalares 
Uma grandeza escalar é caracterizada por um número real e sua respectiva unidade de medida. Como 
exemplo de escalares podem se citar: o tempo, a massa, o comprimento, a área, o volume, etc. 
 
2.6 Grandezas Vetoriais 
Uma grandeza vetorial é caracterizada pela dependência de três elementos fundamentais, ou seja, 
representa um ente matemático que possui intensidade (ou módulo), direção e sentido. Em problemas de 
estática é muito comum a utilização de grandezas vetoriais como posição, força e momento. 
A grandeza física vetorial é representada graficamente por um ente geométrico denominado vetor. 
3. VETORES 
Um vetor pode ser representado por um segmento de reta (indicando a direção da grandeza) dotado de 
uma seta, indicativa de seu sentido e trazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (indicação de seu 
módulo ou intensidade). 
Geralmente a grandeza vetorial é indicada por uma letra encimada por uma setinha, por exemplo, �⃗� ou em 
negrito sem a setinha, v. O módulo ou intensidade do vetor �⃗� é representado por |�⃗�| ou, mais resumidamente, 
por v (sem a setinha). 
Graficamente o módulo de um vetor é 
proporcional ao comprimento do segmento de reta 
orientado; a direção é definida através do ângulo 
formado entre um eixo de referência e a linha de ação do 
vetor (reta suporte do vetor); o sentido é indicado pela 
extremidade da seta. 
A figura mostra a representação gráfica de dois 
vetores força atuando ao longo dos cabos de fixação de 
um poste, o ponto O é chamado de origem do vetor e os 
pontos P1 e P2 representam suas extremidades. 
 
Dizemos que dois vetores, �⃗�1 e �⃗�2, são iguais, ou seja, �⃗�1 = �⃗�2, se e somente se �⃗�1 e �⃗�2 tiverem a mesma 
direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo. 
 
3.1 Operações com vetores 
A Matemática permite efetuar um grande número de operações com vetores, mas para suprir nossas 
necessidades imediatas para o estudo da Mecânica, vamos nos limitar a explorar, por enquanto, apenas duas 
dessas operações: o produto de um número real por um vetor e a soma de vetores. 
 
3.2 Produto de um número real por um vetor 
Seja  um número real qualquer e �⃗� um vetor, também qualquer. 
O produto  · �⃗� tem como resultado um vetor �⃗⃗�, sempre com a mesma direção de �⃗� e módulo u = |  |·v. 
O sentido do vetor �⃗⃗� é determinado pelo sinal do número real :: 
● Se  for positivo ( > 0), então �⃗⃗� terá o mesmo sentido que �⃗�; 
● Se  for negativo ( < 0), então �⃗⃗� terá sentido oposto ao de �⃗�. 
 
3.3 Soma de vetores 
Apesar de estarmos familiarizados com a soma de números reais, a soma de vetores segue regras 
diferentes. 
Existem diferentes métodos para efetuarmos a soma de vetores e todos, obviamente, devem conduzir a 
um mesmo resultado final. 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar MartinsPenteado 9 
 
Dentre os diferentes métodos, o mais geral deles é, provavelmente, o método do polígono. 
Podemos obter graficamente o vetor soma pelo método do polígono de maneira relativamente simples. 
Inicialmente devemos deslocar e representar sequencialmente todos os vetores que serão somados. Por 
sequencialmente queremos dizer que, a partir de um primeiro vetor, a origem do próximo deverá coincidir com a 
extremidade do anterior. A ordem em que os vetores são dispostos não altera o resultado final. 
O vetor soma, resultado da soma dos vetores, é o vetor que fecha o polígono, com sua origem na origem 
do primeiro vetor da sequência e extremidade na extremidade do último vetor da sequência. A figura a seguir 
mostra o vetor V obtido pela soma dos vetores v1, v2, v3, v4 e v5. 
 
O método do polígono pode ser aplicado a um número qualquer de vetores. 
A soma de dois vetores com direções diferentes pode ser feita pelo método do paralelogramo, um caso 
particular do método do polígono. 
A figura a seguir mostra os vetores �⃗�1 e �⃗�2, que serão somados usando-se o método do paralelogramo (a). 
Os vetores, �⃗�1 e �⃗�2, que serão somados, devem ser posicionados de maneira que suas origens coincidam. A seguir, 
pela extremidade de cada um dos vetores, traça-se uma reta paralela ao outro vetor, obtendo-se, assim, um 
paralelogramo (b). O vetor soma �⃗⃗� é o vetor com origem na origem comum dos vetores �⃗�1 e �⃗�2 e extremidade no 
vértice oposto do paralelogramo (c). 
v1
v1 v1
v2 v2 v2
V
a) b) c)
 
3.4 Lei dos senos 
A lei dos senos estabelece a relação entre a medida de um lado de um 
triângulo e o seno do ângulo oposto a esse lado. Considere um triângulo 
ABC, com lados a,b, c e ângulos internos α, β e ϒ, como mostrado na figura 
ao lado. A lei dos senos estabelece que: 
 
𝑎
sen 𝛼
=
𝑏
sen 𝛽
=
𝑐
sen 𝛾
 A B
C
ab
c
 b
g
 
 
3.5 Lei dos cossenos 
A partir do mesmo triângulo ABC e seus ângulos internos α, β e ϒ, a lei dos cossenos estabelece que o 
quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do 
produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado. 
Matematicamente: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos 𝛾 
 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 10 
 
3.6 Componentes ortogonais de um vetor 
Dado um vetor �⃗� qualquer, sempre existirão dois vetores �⃗�x e �⃗�y, perpendiculares entre si, tais que: 
�⃗� = �⃗�x + �⃗�y 
Os vetores �⃗�x e �⃗�y são as componentes ortogonais do vetor �⃗�. 
A partir da regra do paralelogramo, podemos obter graficamente as componentes ortogonais do vetor �⃗�, 
isto é, �⃗�x e �⃗�y, nas direções dos eixos x e y. 
A figura a seguir mostra-nos um vetor �⃗� e um sistema de eixos ortogonais x, y. Note que o vetor �⃗� forma 
com o eixo das abscissas, o eixo x, um dado ângulo . 
Quais são as componentes ortogonais �⃗�x e �⃗�y do vetor �⃗�? 
Da trigonometria, aplicada ao triângulo retângulo destacado na figura, podemos obter os módulos vx e vy 
das componentes ortogonais do vetor �⃗�: 
sen 𝜃 = 
cateto oposto
hipotenusa
 ⟹ sen 𝜃 = 
𝑣𝑦
𝑣
 ⟹ 𝑣𝑦 = 𝑣 ∙ sen 𝜃 
 
cos 𝜃 = 
cateto adjacente
hipotenusa
 ⟹ cos 𝜃 = 
𝑣𝑥
𝑣
 ⟹ 𝑣𝑥 = 𝑣 ∙ cos 𝜃 
 
Note que se conhecermos os módulos vx e vy das 
componentes ortogonais podemos, com o teorema de Pitágoras, 
obter o módulo v do vetor �⃗�: 
𝑣2 = 𝑣𝑥
2 + 𝑣𝑦
2 
x
y
0
v
vx
vy

 
 
3.7 Notação vetorial cartesiana 
Além de suas componentes ortogonais �⃗�x, �⃗�y e �⃗�z, um vetor 
�⃗� também pode ser representado em função dos vetores 
cartesianos unitários 𝑖, 𝑗 e �⃗⃗�. Os vetores unitários costumam ser 
representados por 𝑖,̂ 𝑗̂ e �̂�. 
Cada um desses vetores possui módulo igual a 1 e, portanto, 
pode ser usado para designar as direções e sentidos, 
respectivamente, dos eixos x, y e z, como mostrado na figura ao 
lado. 
x
k
j
i
z
y
0
 
Dessa maneira, um vetor �⃗�, cujas componentes ortogonais têm intensidades vx, vy e vz, pode ser 
representado por: �⃗� = ±𝑣𝑥 ∙ 𝑖̂ ± 𝑣𝑦 ∙ 𝑗̂ ± 𝑣𝑧 ∙ �̂� . O sinal positivo (+) é usado se a componente estiver no mesmo 
sentido do eixo correspondente; caso contrário, utiliza-se o sinal negativo (‒). 
O módulo de �⃗� é dado por: 𝑣 = |�⃗�| = √𝑣𝑥
2 + 𝑣𝑦
2 + 𝑣𝑧2 
 
3.8 Produto escalar e produto vetorial 
Já estudamos duas operações que podem ser efetuadas com vetores: o produto de um número real por um 
vetor e a soma de vetores. Veremos agora mais duas operações: o produto escalar e o produto vetorial. 
 
 Produto escalar 
Vamos considerar dois vetores, �⃗� e �⃗⃗� que formam entre si um ângulo θ. 
Esses vetores, em notação cartesiana são representados como: 
�⃗� = 𝑎𝑥 ∙ 𝑖̂ + 𝑎𝑦 ∙ 𝑗̂ + 𝑎𝑧 ∙ �̂� e �⃗⃗� = 𝑏𝑥 ∙ 𝑖̂ + 𝑏𝑦 ∙ 𝑗̂ + 𝑏𝑧 ∙ �̂� 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 11 
 
O produto escalar entre os vetores �⃗� e �⃗⃗� será representado por �⃗� ⦁ �⃗⃗� e o resultado dessa operação é uma 
grandeza escalar c, tal que: 
 𝑐 = �⃗� ⦁ �⃗⃗� = 𝑎𝑥 ∙ 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 ∙ 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 ∙ 𝑏𝑧 
 
Pode-se demonstrar que: 𝑐 = |�⃗�| ∙ |�⃗⃗�| ∙ cos θ 
 
 Produto vetorial 
Vamos considerar dois vetores, �⃗� e �⃗⃗� que formam entre si um ângulo θ. 
Esses vetores, em notação cartesiana são representados como: 
�⃗� = 𝑎𝑥 ∙ 𝑖̂ + 𝑎𝑦 ∙ 𝑗̂ + 𝑎𝑧 ∙ �̂� e �⃗⃗� = 𝑏𝑥 ∙ 𝑖̂ + 𝑏𝑦 ∙ 𝑗̂ + 𝑏𝑧 ∙ �̂� 
O produto vetorial entre os vetores �⃗� e �⃗⃗� será representado por �⃗� × �⃗⃗� e o resultado dessa operação é uma 
grandeza vetorial 𝑐, tal que: 
 𝑐 = �⃗� × �⃗⃗� = |
𝑖̂ 𝑗̂ �̂�
𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧
𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧
| 
O vetor 𝑐 tem direção perpendicular ao plano definido pelos vetores �⃗� e �⃗⃗�, sentido dado pela regra da mão 
direita, de �⃗� para �⃗⃗�, como na a figura a seguir. 
c b
a

 
Demonstra-se que: 
 |𝑐| = |�⃗�| ∙ |�⃗⃗�| ∙ sen θ 
 
4. FORÇA E FORÇA RESULTANTE 
Força é uma grandeza física vetorial. Assim, para caracterizar uma força devemos conhecer sua direção, seu 
sentido e sua intensidade, também denominado módulo ou magnitude. 
No SI, a intensidade de uma força é medida em newton, cujo símbolo é o N. Note que: 1 N = 1 kg·m/s2. 
Consideremos um corpo sujeito a um sistema de forças F1, F2, F3, ..., Fn. Denomina-se força resultante FR à 
força tal que: FR = F1 + F2 + F3 + ... + Fn. 
Seja, por exemplo, as forças F1, F2, agindo sobre o pino da figura a seguir (a). Essas forças podem ser 
somadas para se obter a força resultante FR que atua sobre o pino. Essa força resultante pode ser obtida pelo 
método do paralelogramo (b) ou pelo método do polígono (c). 
 
 (a) (b) (c) 
 
 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 12 
 
Exercícios 
 
1. As forças F1, F2 e F3, todas atuando no ponto A do suporte, são especificadas de três modos diferentes. 
Determine os componentes escalares em x e em y de cada uma destas três forças. 
 
 
2. Combine em uma única força resultante R as duas forças P e T que atuam no ponto B da estrutura fixa. 
 
 
3. A figura ao lado mostra as forças F1, F2, F3 e F4, todas atuando em um 
mesmo ponto. 
a) Escreva cada uma das forças usando os vetores unitários i e j. 
b) Obtenha a força resultante no ponto A, isto é, FR = F1 + F2 + F3 + F4 
c) Determine o valor do produto escalar G = F1 ∙ F2 
d) Determine o vetor H dado pelo produto vetorial F3 × F4, isto é, 
H = F3 × F4 e seu módulo H. 
 
4. O gancho mostrado na figura está sujeito a 
duas forças F1 e F2. Determine o módulo e a direção 
da força resultante. 
 
 
Mecânica GeralPaulo Cesar Martins Penteado 13 
 
5. Determine a intensidade da força resultante 
que atua sobre a argola e sua direção, medida no 
sentido horário a partir do eixo x. 
 
6. Duas forças atuam sobre o gancho. 
Determine a intensidade da força resultante. 
 
7. O parafuso tipo gancho mostrado na figura 
está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine o módulo 
e a direção da força resultante. 
 
8. Determine a intensidade da força resultante 
e sua direção, medida no sentido anti-horário a partir 
do eixo x positivo. 
 
9. Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com problemas em seus motores. 
Sabendo-se que a força resultante é igual a 30 kN, encontre suas componentes nas direções AC e BC. 
 
 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 14 
 
10. A força F = 900 N atua sobre a estrutura. Decomponha essa força nas componentes que atuam ao longo 
dos membros AB e AC, e determine a intensidade de cada componente. 
 
11. Os dois elementos estruturais, um sob 
tração e o outro sob compressão, exercem as 
forças indicadas no nó O. Determine o módulo da 
resultante R das duas forças e o ângulo θ que R faz 
com o eixo x positivo. 
 
12. Determine a intensidade da força resultante 
e indique sua direção, medida no sentido anti-horário, 
em relação ao eixo x positivo. 
 
 
13. A chapa está submetida a duas forças FA e FB 
como mostra a figura. Se θ = 60°, determine a 
intensidade da força resultante e sua intensidade em 
relação ao eixo horizontal. 
 
14. Para satisfazer limitações de projeto é 
necessário determinar o efeito da força trativa de 2 kN 
atuando no cabo, sobre o cisalhamento, a tração e a 
flexão da viga em I engastada. Com este objetivo, 
substitua esta força por outra equivalente em A, 
formada por duas forças Ft, paralela, e Fn, 
perpendicular à viga. Determine Ft e Fn. 
 
60°30°
O
3 kN
2 kN
x
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 15 
 
15. Duas forças são aplicadas ao olhal a fim de 
remover a estaca mostrada. Determine o ângulo θ e o 
valor da força F de modo que a força resultante seja 
orientada verticalmente para cima no eixo y e tenha 
uma intensidade de 750 N. 
 
16. A caminhonete mostrada é rebocada por 
duas cordas. Determine os valores de FA e FB de modo 
a produzir uma força resultante de 950 N orientada no 
eixo x positivo, considere θ = 50°. 
 
17. A tora de madeira é rebocada pelos dois 
tratores mostrados, sabendo-se que a força resultante 
é igual a 10 kN e está orientada ao longo do eixo x 
positivo, determine a intensidade das forças FA e FB. 
Considere θ = 15°. 
 
18. Os cabos de sustentação AB e AC estão 
presos no topo da torre de transmissão. A força 
trativa no cabo AC vale 8 kN. Determinar a força 
trativa T necessária no cabo AB, tal que o efeito 
resultante das duas forças trativas nos cabos seja 
uma força direcionada verticalmente para baixo no 
ponto A. Determine o módulo R desta força. 
 
19. A inclinação da força F de 4,8 kN está 
especificada como mostrado na figura. Expresse F 
como um vetor, em termos dos vetores unitários i e j. 
 
A
B
C
40 m50 m
20 m
40 m
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 16 
 
20. A força F de 1800 N é aplicada à extremidade 
da viga em I. Expresse F como um vetor, usando os 
vetores unitários i e j. 
 
21. As duas forças mostradas atuam no ponto A 
da barra dobrada. Determine a resultante R das duas 
forças. 
 
22. Uma corda é tracionada por uma força F = 100 N, 
conforme mostrado na figura ao lado. Determine �⃗�. 
 
 
23. O homem mostrado na figura ao lado puxa a corda 
com uma força de intensidade 700 N. Represente esta força, 
que atua no suporte A, como um vetor cartesiano. 
 
 
 
24. Determine a resultante do sistema de forças, 
indicado na figura ao lado. 
São dados: F1 = 1 N; F2 = F3 = √18 N 
OA = OB = OC = 3 m. 
 
x
y
z
A
B
C
O
F1
F2
F3
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 17 
 
25. A cobertura, mostrada na figura ao lado, é 
suportada por cabos. Se os cabos exercem forças FAB = 100 N 
e FAC = 120 N no gancho da parede em A, determine a força 
resultante que atua em A. Expresse o resultado como um 
vetor cartesiano. 
 
 
 
26. Usando produto escalar, determine o ângulo θ entre os vetores �⃗⃗� = 𝑖 + 𝑗 + 4�⃗⃗� e �⃗� = −2𝑖 + 4𝑗 + 4�⃗⃗�. 
 
27. Usando produto vetorial, determine o valor de sen θ, em que θ é o ângulo entre os vetores �⃗⃗� = 𝑖 +
2𝑗 + 3�⃗⃗� e �⃗� = 3𝑖 + 2𝑗 + 1�⃗⃗�. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 18 
 
5. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
Nesta disciplina lidaremos, principalmente, com a descrição das condições necessárias e suficientes para 
manter o equilíbrio de forças e momentos em estruturas de Engenharia. 
O passo mais importante ao se estabelecer as condições necessárias e suficientes para manter o equilíbrio 
de qualquer estrutura é o diagrama de corpo livre. 
O diagrama de corpo livre é um esquema simplificado do corpo, livre de vínculos físicos, no qual se 
representam todos os esforços (forças e/ou momentos) que atuam sobre o corpo. 
 
6. CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO DO PONTO MATERIAL 
Um ponto material encontra-se em equilíbrio estático desde que esteja em repouso ou então possua 
velocidade constante. 
Para que essa condição ocorra, a soma de todas as forças que atuam sobre o ponto material deve ser nula, 
portanto: 
 ∑ �⃗� = 0 ⟹ ∑ 𝐹𝑥𝑖̂ + ∑ 𝐹𝑦𝑗̂ + ∑ 𝐹𝑧�̂� = 0 
 
Essa condição pode ser imposta de forma escalar: 
 ∑ 𝐹𝑥 = 0, ∑ 𝐹𝑦 = 0 e ∑ 𝐹𝑧 = 0 
A solução é obtida por um sistema de três equações e três incógnitas. Logicamente, se o sistema for plano 
teremos um sistema de duas equações e duas incógnitas. 
 
Exercícios 
28. Determine a tensão nos cabos AB e AD para 
o equilíbrio do motor de peso 2500 N mostrado na 
figura ao lado. 
 
29. Na figura abaixo, os fios são ideais e o corpo 
C tem peso 100 N. Determine a intensidade das 
trações nos fios 1, 2 e 3. 
Dados: sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8. 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 19 
 
30. O sistema mostrado na figura abaixo está em 
equilíbrio. Os fios são ideais e o corpo suspenso tem 
peso 200 N. Determine as intensidades das forças de 
trações nos fios 1, 2 e 3. 
 
31. Determine a tração nos cabos AB e BC 
necessária para sustentar o cilindro de peso 600 N. 
 
32. Na figura os fios são ideais e o corpo C tem 
peso 10 N. Determine a tração no fio AB e a 
intensidade da força �⃗� que mantém o sistema em 
equilíbrio. 
 
 
33. A caixa de massa 200 kg da figura a seguir é 
suspensa usando as cordas AB e AC. Cada corda pode 
suportar uma força máxima de 10 kN antes de se 
romper. Se AB sempre permanece horizontal, 
determine o menor ângulo θ para o qual a caixa pode 
ser suspensa antes que uma das cordas se rompa. 
Adote g = 9,81 m/s2. 
 
 
34. Determine o ângulo θ e a intensidade de F de modo que o ponto material esteja em equilíbrio estático. 
 
 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 20 
 
35. Determine a força necessária nos cabos AB e AC para suportar o semáforo de peso 120 N. 
 
 
36. Determine as forças necessárias nos cabos AB e AC da figura para manter a esfera D de peso 200 N em 
equilíbrio. Considere F = 300N. 
 
37. Os três cabos são usados para suportar a luminária de peso 800 N. Determine a força desenvolvida em 
cadacabo para a condição de equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 21 
 
7. MOMENTO DE UMA FORÇA 
7.1 Definição 
O momento de uma força em relação a um ponto, ou a um eixo, é uma grandeza vetorial que fornece uma 
medida da tendência dessa força provocar a rotação de um corpo em torno do ponto ou do eixo. A tendência de 
rotação também é chamada de torque, momento de uma força ou simplesmente momento. 
Para problemas em duas dimensões é mais conveniente utilizar uma formulação escalar e para problemas 
em três dimensões a formulação vetorial é a mais indicada. 
 
7.2 Momento – Formulação escalar 
A figura ao lado mostra um corpo bidimensional 
submetido a uma força F, atuando em seu plano. O módulo M do 
momento, ou a tendência da força de girar o corpo em torno do 
eixo O-O perpendicular ao plano do corpo, é proporcional tanto 
ao módulo da força, F, quanto ao braço de alavanca d, que é a 
distância perpendicular do eixo até a linha de ação da força. 
Dessa maneira, o módulo do momento M é definido 
como: 
 𝑀 = 𝐹 ∙ 𝑑 
Quanto maior a força ou a distância (braço de momento), maior é o efeito da rotação. 
O momento é um vetor M perpendicular ao plano do 
corpo. O sentido de M depende da direção na qual F tende a 
girar o corpo. A regra da mão direita é usada para identificar 
este sentido. De acordo com esta regra, representamos o vetor 
momento M apontando no sentido indicado pelo polegar da 
mão direita, quando os dedos são curvados no sentido da 
tendência da rotação. A figura ao lado, mostra o vetor M 
orientado de acordo com esta regra. 
Quando lidarmos com forças que atuam todas em um 
mesmo plano, falaremos em momento em relação a um ponto. 
Com isto queremos dizer, momento em relação a um eixo 
normal ao plano e que passa pelo ponto. No caso da figura ao 
lado, o momento de F em relação ao ponto A tem módulo 
M = F·d e é anti-horário (que indicaremos por ). Caso o 
momento fosse horário, indicaríamos por . 
 
No Sistema Internacional, o momento de uma força é medido em N·m. 
 
7.3 Momento – Formulação vetorial 
Em sua formulação vetorial, o momento M da força F, em relação ao ponto O pode ser obtido com o 
produto vetorial: 
 M = r × F 
O produto vetorial anterior pode ser obtido fazendo-se: 
 �⃗⃗⃗� = 𝑟 × �⃗� = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧
𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧
| 
Nessa expressão r é um vetor posição que vai do ponto de referência do momento, A, para qualquer ponto 
da linha de ação da força F. O módulo deste produto vetorial é: 
 𝑀 = 𝐹 ∙ 𝑟 ∙ sen 𝛼 = 𝐹 ∙ 𝑑 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 22 
 
7.4 Teorema de Varignon 
Uma ferramenta bastante usada na Mecânica é o princípio dos momentos, que, algumas vezes, é referido 
como o teorema de Varignon, estabelecido originalmente pelo matemático francês Pierre Varignon (1654-1722). 
Tal princípio estabelece que: 
“O momento de uma força, em relação a qualquer ponto, é igual à soma dos momentos dos componentes 
desta força em relação ao mesmo ponto.” 
 
A demonstração de tal princípio é imediata: 
 M = r × F = r × (F1 + F2) = r × F1 + r × F2 
 
7.5 Binário ‒ Momento de um binário 
Denomina-se binário o sistema constituído por duas forças de mesma direção, mesma intensidade F e 
sentidos opostos e separadas por uma distância perpendicular d. 
 
Como a força resultante é nula, o único efeito de um binário é produzir uma rotação ou tendência de 
rotação em torno de uma direção específica. Podemos determinar o momento do binário encontrando a soma 
dos momentos das duas forças que compõem o binário em relação a qualquer ponto arbitrário. 
Na figura ao lado, os vetores posição rA e rB 
estão direcionados do ponto O para os pontos A e B 
situados na linha de ação de –F e F. Portanto, o 
momento do binário, em relação a O é: 
M = rB × F + rA × –F = (rB – rA) × F 
Entretanto, rA + r = rB ou r = rB – rA 
Portanto: 
M = r × F 
Este resultado indica que o momento de um 
binário é um vetor livre, ou seja, ele pode agir em 
qualquer ponto, visto que M depende apenas do vetor 
posição r. 
 
 
Em sua formulação escalar, o momento M de um binário M é dado por: M = F · d , em que F é a 
intensidade de uma das forças e d a distância perpendicular, ou braço do momento, entre as forças. 
Mudar os valores de F e d não altera um binário, desde que o produto F · d permaneça constante. Do 
mesmo modo, um binário não é alterado se as forças atuarem em um plano diferente, porém paralelo. A figura a 
seguir mostra quatro diferentes configurações de um mesmo binário M. Em cada um dos quatro casos, os 
binários são equivalentes e são descritos pelo mesmo vetor livre, que representa as tendências idênticas de 
rotação dos corpos. 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 23 
 
7.6 Sistema força-binário 
O efeito de uma força agindo sobre um corpo é a tendência de empurrar ou puxar o corpo na direção da 
força, e de girar o corpo em relação a qualquer eixo fixo que não intercepte a linha de ação da força. Podemos 
representar este efeito dual mais facilmente substituindo a força dada por uma força igual e paralela e por um 
binário que compense a mudança no momento devido à força. 
A substituição de uma força por uma força e um binário está ilustrado na figura seguinte, na qual a força 
dada F, atuando no ponto A, é substituída por uma força igual F em um ponto B qualquer e pelo binário anti-
horário M = F · d. A modificação está ilustrada na figura do meio, em que forças iguais e opostas, F e ‒F são 
adicionadas no ponto B, sem introduzir qualquer efeito externo sobre o corpo. Vemos agora que a força original 
em A e a força igual e oposta em B formam um binário M = F · d, que é anti-horário para o exemplo escolhido, 
como mostrado na figura da direita. 
 
 
 
Assim, substituímos a força original em A pela mesma força atuando em um ponto diferente B e por um 
binário, sem alterar os efeitos externos da força original sobre o corpo. 
A combinação da força com o binário, na parte à direita da figura anterior, é denominada sistema força-
binário. 
 
Exercícios 
 
38. Determine o momento da força em relação ao ponto O em cada uma das barras mostradas. 
 
39. Determine os momentos da força de 800 N em 
relação aos pontos A, B, C e D. 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 24 
 
40. Determine o momento das forças que atuam na 
estrutura mostrada em relação ao ponto O. 
 
41. Determine o momento da força de 200 N em 
relação ao ponto A. 
 
 
42. Uma força de 800 N atua sobre um suporte, 
conforme mostra a ilustração ao lado. Determine o módulo do 
momento da força em relação ao ponto B. 
 
43. Calcule o módulo do momento da força F, 
de intensidade 600 N, em relação ao ponto O da base. 
4 m
2 m
40°
A
O
F
 
 
44. Determine o momento da força em relação ao ponto O. 
 
 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 25 
 
45. Para levantar o mastro OC, uma armação leve OAB é presa ao mastro e uma força de tração de 3,2 kN é 
aplicada ao cabo de sustentação pelo guincho em D. 
 
 
Calcule o momento desta força de tração em relação à dobradiça no ponto O. 
 
46. Ao se levantar o poste a partir da posição mostrada, a força de tração T no cabo deve gerar um 
momento de 72 kN·m em torno de O. Determine T. 
 
 
47. Determine o momento da força F em relação ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor 
cartesiano. 
 
48. A força F = (600·i + 300·j – 600·k) N, atua 
na extremidade da viga. Determine o momento 
dessa força em relação ao ponto A. 
 
 
MecânicaGeral Paulo Cesar Martins Penteado 26 
 
49. O poste mostrado está sujeito a uma força 
de 60 N na direção de C para B. Determine a 
intensidade do momento criado por essa força em 
relação ao suporte no ponto A. 
 
 
50. Determine o momento da força F em 
relação ao ponto O. Expresse o resultado como um 
vetor cartesiano. 
 
51. O conjunto roda-suporte está submetido 
ao par de forças de 400 N mostrado. Determine o 
momento associado a essas forças. 
 
52. Como parte de um teste, os dois motores 
de um avião são acelerados e as inclinações das 
hélices são ajustadas de modo a resultar em um 
empuxo para frente e para trás, como mostrado. 
Que força F deve ser exercida pelo chão em cada 
uma das duas rodas principais freadas em A e B, 
para se opor ao efeito giratório dos empuxos das 
duas hélices? Despreze quaisquer efeitos da roda do 
nariz, C, que está girada de 90° e não está freada. 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 27 
 
53. Os efeitos do atrito do ar sobre as pás do 
ventilador criam um momento de binário MO = 6 
N·m sobre as mesmas. Determine a intensidade das 
forças de binário na base do ventilador de modo que 
o momento de binário resultante no ventilador seja 
nulo. 
 
54. Cada hélice de um navio de duas hélices 
desenvolve um empuxo de 300 kN na velocidade 
máxima. Ao manobrar o navio, uma hélice está 
girando a toda velocidade para frente e a outra a 
toda velocidade no sentido reverso. Que empuxo P 
cada rebocador deve exercer no navio para 
contrabalançar o efeito das hélices? 
 
55. Uma chave de roda é usada para 
apertar um parafuso de cabeça quadrada. 
Se forças de 250 N forem aplicadas à chave 
como mostrado, determine o módulo F das 
forças iguais exercidas nos quatro pontos 
de contato na cabeça de 25 mm do 
parafuso, de modo que seu efeito externo 
sobre o parafuso seja equivalente ao das 
duas forças de 250 N. Considere que as 
forças são perpendiculares aos lados planos 
da cabeça do parafuso. 
 
 
56. Determine o momento de binário 
resultante que age sobre a viga. 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 28 
 
57. Determine o momento de binário 
resultante que age sobre a chapa triangular. 
 
58. Determine a intensidade da força F de 
modo que o momento de binário resultante que age 
sobre a viga seja 1,5 kN·m no sentido horário. 
 
59. O sistema força-binário indicado está 
aplicado a um pequeno eixo localizado no centro da 
placa. Substitua esse sistema por uma única força e 
especifique a coordenada do ponto sobre o eixo x 
através do qual passa a linha de ação dessa força 
resultante. 
 
60. O suporte está soldado a ponto à 
extremidade do eixo no ponto O. Para mostrar o 
efeito da força de 900 N sobre a solda, substitua a 
força por seu equivalente formado por uma força e 
seu binário M em O. Expresse M em notação vetorial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 29 
 
8. EQUILÍBRIO DOS CORPOS EXTENSOS RÍGIDOS 
 
Em nosso curso de Mecânica Geral analisaremos estruturas, na maior parte dos casos, bidimensionais, ou 
seja, estruturas planas com carregamento neste mesmo plano. Para o equilíbrio deste tipo de estrutura, existem 
três movimentos a restringir. 
Supondo uma estrutura situada no plano x-y, os movimentos a restringir são as translações nas direções Ox 
e Oy e a rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano, no caso a direção Oz. 
A seguir descreveremos os apoios utilizáveis para impedir estes movimentos: 
 
8.1 Tipos de apoios e suas reações 
 Apoio de 1º gênero (Rolete ou Apoio Móvel) 
Este tipo de apoio é, basicamente, um suporte sobre o 
qual se assenta a estrutura (podendo ou não ter roletes) e 
que impede o movimento em uma única direção e nesta 
direção aparecerá uma reação de apoio R. No caso do apoio 
da foto ao lado, ele impede o movimento da estrutura na 
direção vertical. 
A representação esquemática deste apoio é mostrada 
abaixo. 
 
 
 
 Apoio de 2º gênero (Articulação ou Pino) 
Se no apoio do 1º gênero substituirmos os roletes por 
uma chapa presa completamente ao plano suporte, 
estaremos impedindo todas as translações possíveis, 
permanecendo livre apenas a rotação, assegurada pelo pino. 
Na direção das translações impedidas aparecerão as reações 
H e V, indicadas no esquema abaixo, e cuja composição 
vetorial nos dará a reação de apoio resultante no apoio do 2º 
gênero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 30 
 
 Apoio de 3º gênero (Apoio fixo ou Engastamento) 
Se ancorarmos a estrutura em um bloco de 
dimensões que possam ser consideradas infinitas em 
comparação com as dimensões da estrutura, na seção de 
contato ente ambos o bloco estará impedindo, por sua 
enorme rigidez, todos os movimentos possíveis da estrutura 
e dizemos, então, que ele engasta a estrutura. Um engaste 
será representado esquematicamente da forma indicada 
abaixo, aparecendo na direção de cada movimento 
impedido (2 translações e 1 rotação) as reações de apoio H, 
V e M. 
 
 
 
8.2 Condições para o equilíbrio do corpo extenso rígido 
Um corpo extenso e rígido encontra-se em equilíbrio estático desde que esteja em repouso e que não 
esteja sofrendo nenhuma rotação. 
Para que essas condições sejam satisfeitas, a soma de todas as forças que atuam sobre o ponto material 
deve ser nula (∑ �⃗� = 0) e o momento resultante de todas as forças atuantes, em relação a qualquer ponto, deve 
ser nulo (∑ �⃗⃗⃗� = 0). 
Essas condições podem ser impostas de forma escalar: 
 
 ∑ 𝐹𝑥 = 0, ∑ 𝐹𝑦 = 0 e ∑ 𝐹𝑧 = 0 (impede a translação do corpo) 
 
 ∑ 𝑀𝑥 = 0, ∑ 𝑀𝑦 = 0 e ∑ 𝑀𝑧 = 0 (impede a rotação do corpo) 
 
A solução, em um sistema tridimensional, é obtida por um sistema de seis equações e seis incógnitas. Se o 
sistema for plano teremos um sistema de três equações, sendo duas relativas às forças e uma dos momentos, e 
três incógnitas. 
 
Exercícios 
61. Um carpinteiro carrega uma tábua 
uniforme com peso igual a 90 N, como mostrado. 
Qual é o valor da força direcionada para baixo que ele 
sente em seu ombro em A? 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 31 
 
62. A plataforma uniforme, que tem uma 
massa por unidade de comprimento de 28 kg/m, 
está simplesmente apoiada sobre barras de apoio 
em A e em B. Um trabalhador da construção civil 
com 90 kg sai do ponto B e anda para a direita. 
Qual é a distância máxima s que ele poderá andar 
sobre a plataforma sem que ela gire em torno do 
ponto B? 
 
63. Determine as componentes horizontal e 
vertical da reação no pino A e a reação da viga em C. 
 
64. Para a estrutura mostrada na figura ao lado 
determine as reações nos apoios A e B. 
 
65. Para a estrutura mostrada na figura ao lado 
determine as reações nos apoios A e B. 
 
66. Determine as componentes horizontal e 
vertical da reação no pino A e a tração desenvolvida 
no cabo BC usado para sustentar a estrutura de aço. 
 
67. Determine as componentes 
horizontal e vertical das reações no ponto A e 
no ponto B para a viga mostrada na figura ao 
lado. 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 32 
 
68. Uma estrutura em arco treliçado é 
fixa ao suporte articulado no ponto A, e sobre 
roletes em B num plano de 30° com a 
horizontal. O vão AB mede 20 m. O peso 
próprio da estrutura é de 100 kN. A força 
resultante dos ventos é de 40 kN, e situa-se a 
4 m acima de A, horizontalmente, da direita 
para a esquerda. Determine as reações dos 
apoiosA e B. 
69. A viga da figura ao lado tem peso 
1000 N e está submetida à carga concentrada de 
1200 N, como representado. Determine as 
reações no engaste A. 
 
 
70. A haste mostrada na figura é 
conectada por um pino em A e sua 
extremidade B tem o movimento limitado 
pelo apoio liso em B. Calcule os 
componentes horizontal e vertical da reação 
no pino A. 
 
71. A chave de boca mostrada na 
figura é utilizada para apertar o parafuso em 
A. Se a chave não gira quando a carga é 
aplicada ao seu cabo, determine o momento 
e a força da chave aplicados ao parafuso. 
 
72. A barra lisa e uniforme mostrada na 
figura está sujeita a uma força e um momento. Se 
a barra é apoiada em A por uma parede lisa e em 
B e C, na parte superior e inferior, é apoiada por 
roletes, determine as reações nesses apoios. 
Despreze o peso da barra. 
 
73. Para a viga mostrada ao lado, 
determine as reações no engaste. Despreze o 
peso próprio da viga. 
 
 
 
A
CG
B
20 m
30°
40 kN
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 33 
 
9. TRELIÇAS PLANAS ISOSTÁTICAS 
A treliça é uma estrutura de elementos delgados ligados entre si pelas extremidades. 
Geralmente os elementos de uma treliça são de madeira ou de aço e em geral são unidos por uma placa de 
reforço com mostrado nas figuras abaixo. A ligação entre os elementos recebe o nome de nó. 
 
As treliças planas são aquelas que se distribuem em um plano e geralmente são utilizadas em estruturas de 
telhados e pontes. 
 
 
 
 
9.1 Projeto de treliças 
Hipóteses: 
 Todas as cargas são aplicadas aos nós. 
 Normalmente o peso próprio é desprezado, pois a carga suportada é bem maior que o peso do elemento. 
Se o peso P de cada elemento for levado em conta, podemos considerar P/2 atuando em cada extremidade do 
elemento. 
 Os elementos são ligados entre si por superfícies lisas. 
 
9.2 Elemento de duas forças 
Devido às hipóteses simplificadoras, os elementos de uma treliça atuam como barras de duas forças. 
Se uma força tende a alongar o elemento, é chamada de força de tração. 
Se uma força tende a encurtar o elemento, é chamada de força de compressão. 
 
 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 34 
 
Em um elemento de duas forças em equilíbrio, as forças atuantes devem, necessariamente, ter mesma 
intensidade, mesma direção, mesma linha de ação e sentidos opostos. Dessa maneira, a força resultante sobre o 
elemento é nula e o momento resultante também é nulo. A figura a seguir mostra um elemento de duas forças, 
de formato curvo. Em (a), qualquer que sejam os valores de FA e FB, o elemento não se equilibra. Em (b), apesar 
de FA = FB = F, não existe equilíbrio, pois o momento não é nulo. Em (c), o elemento se encontra em equilíbrio. 
 
 
 
9.3 Estaticidade das treliças 
Dada uma treliça, substituir o apoio móvel por uma barra e o apoio fixo por duas barras. Seja b o número 
total de barras e n o número de nós na treliça resultante. 
 
Se b < 2·n, a treliça é hipostática (não estável quando sob carga). 
Se b = 2·n, a treliça é isostática e pode ser analisada apenas com as equações da estática. Este tipo de 
treliça é conhecida como treliça simples. 
Se b > 2·n, a treliça é hiperestática e o número de incógnitas é maior do que o número de equações que 
podem ser obtidas. Sua análise não pode ser feita apenas com as equações de equilíbrio, exige também o uso de 
equações da Resistência dos Materiais. 
Nesta disciplina, Mecânica, analisaremos apenas as treliças isostáticas. 
 
9.4 Método dos nós 
Após a determinação das reações dos apoios, considerando a treliça toda como um corpo extenso, a 
análise é realizada a partir do diagrama de corpo livre de cada nó que compõe a treliça. 
São válidas as equações de equilíbrio estático do ponto material. 
  00 yx FF
 
Observação: Toda treliça isostática pode ser analisada apenas pelo método dos nós. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 35 
 
Exercícios 
74. Determine as forças que atuam em todos 
os elementos da treliça mostrada na figura e indique 
se os elementos estão sob tração ou compressão. 
 
75. Determine a força em cada elemento da 
treliça carregada e indique se os elementos estão sob 
tração ou compressão. Explique porque não é 
necessário conhecer o comprimento dos elementos. 
 
76. Determine a força em cada membro da 
treliça. Indique se os membros estão sob tração ou 
compressão. 
 
77. Determine a força em cada membro da 
treliça. Indique se os membros estão sob tração ou 
compressão. 
 
78. Determine as forças que atuam em todos 
os elementos da treliça mostrada na figura e indique 
se os elementos estão sob tração ou compressão. 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 36 
 
79. Determine a força em cada elemento da 
treliça carregada e indique se os elementos estão sob 
tração ou compressão. 
 
80. Determine a força em cada elemento da 
treliça carregada e indique se os elementos estão sob 
tração ou compressão. 
 
 
81. Determine a força em cada elemento da 
treliça carregada e indique se os elementos estão sob 
tração ou compressão. 
 
82. Determine a força em cada elemento da 
treliça carregada e indique se os elementos estão sob 
tração ou compressão. Todos os triângulos são 
isósceles. 
 
83. Determine as forças que atuam em todos os 
elementos da treliça mostrada na figura e indique se os 
elementos estão sob tração ou compressão. 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 37 
 
84. Determine as forças que atuam em todos os 
elementos da treliça mostrada na figura e indique se os 
elementos estão sob tração ou compressão. 
 
85. Determine as forças que atuam em todos os 
elementos da treliça mostrada na figura e indique se os 
elementos estão sob tração ou compressão. 
Dados: P1 = 2 kN e P2 = 1,5 kN. 
 
86. Determine as forças que atuam em todos os 
elementos da treliça mostrada na figura e indique se os 
elementos estão sob tração ou compressão. 
Dado: P = 8 kN. 
 
87. Determine a força em cada elemento da 
treliça carregada e indique se os elementos estão 
sob tração ou compressão. Utilize a simetria da 
treliça e do carregamento. 
 
88. Cada elemento da treliça é uma barra 
uniforme de 8 m e peso 4000 N. Calcule a tração ou 
compressão média em cada elemento, devida aos 
pesos dos elementos. 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 38 
 
89. Determine as forças nos elementos BC e BG 
da treliça carregada e indique se estão sob tração ou 
compressão. 
 
 
9.5 Método das seções ou método de Ritter 
O método das seções, também conhecido como método de Ritter, é utilizado para se determinar as forças 
atuantes dentro de um elemento da treliça. Esse método baseia-se no princípio de que se um corpo está em 
equilíbrio, qualquer parte dele também está. 
O método consiste em seccionar a treliça e o elemento que se deseja analisar na treliça por um plano e 
aplicar as equações de equilíbrio estático do corpo extenso na região seccionada para uma das partes da treliça: 
  000 MFF yx
 
 
Exercícios 
 
90. Determine as forças que atuam nos 
elementos GE, GC e BC da treliça mostrada na figura e 
indique se os elementos estão sob tração ou 
compressão. 
 
91. Determine as forças nos elementos 
CG e GH e indique se estão sob tração ou 
compressão. 
 
92. Determine as forças nos membros 
BC, CF e FE. Indique se os membros estão sob 
tração ou compressão. 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado39 
 
93. Determine a força no elemento AE da treliça 
carregada e indique se está sob tração ou compressão. 
 
94. Determine a força no elemento BE da 
treliça carregada e estabeleça se está sob tração 
ou compressão. 
 
95. Calcule as forças nos elementos BC, BE e EF e 
indique se está sob tração ou compressão. 
 
96. Na treliça a seguir, submetida à carga W, 
determine, usando o método das seções, a força nas 
barras CG e GH e diga-se se estas barras estão 
comprimidas (C) ou se estão tracionadas (T). 
60ºW
4 m 4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
A
B C
F
D
E
GHJ
 
97. Calcule as forças nos elementos DE e DL e 
indique se está sob tração ou compressão. 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 40 
 
98. A treliça de ponte Howe está sujeita ao 
carregamento mostrado. Determine as forças nos 
membros HD, CD e GD e indique se os membros 
estão sob tração ou compressão. 
 
99. A treliça de ponte Howe está sujeita ao 
carregamento mostrado. Determine as forças nos 
membros HI, HB e BC e indique se os membros estão 
sob tração ou compressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 41 
 
10. SISTEMA DE FORÇAS DISTRIBUÍDAS 
Uma força é distribuída quando sua aplicação em um corpo é feita em mais do que um ponto. 
Com relação à distribuição, as forças distribuídas podem ser classificadas em: 
 Forças distribuídas volumetricamente: que são aquelas distribuídas pelo volume de um corpo. Por 
exemplo, temos a força peso. No Sistema Internacional de Unidades, a intensidade de uma força distribuída 
volumetricamente é medida em N/m3. 
 Forças distribuídas superficialmente: que são aquelas distribuídas pela superfície de um corpo. Por 
exemplo, temos a pressão. No Sistema Internacional de Unidades, a intensidade de uma força distribuída 
superficialmente é medida em N/m2. 
 Forças distribuídas linearmente: que são aquelas distribuídas ao longo de uma linha. Embora, da mesma 
maneira que a força concentrada, este tipo de força é uma aproximação. No Sistema Internacional de Unidades, a 
intensidade de uma força distribuída linearmente é medida em N/m. 
Se considerarmos, por exemplo, uma força distribuída aplicada na parte superior de uma viga retangular, 
como mostrado a seguir, e se levarmos em conta que a largura onde está aplicada a carga é muito pequena, 
quando comparada com o comprimento da viga, podemos considerar que a carga está distribuída apenas ao 
longo do comprimento da viga. 
 
Nesta disciplina trataremos, quase que exclusivamente, deste tipo de distribuição de força. 
Seja uma força linearmente distribuída ao longo de um comprimento L e w(x) a função de distribuição da 
força, como mostrado a seguir. 
 
 
10.1 Intensidade da força resultante 
A intensidade da força resultante é equivalente à soma de todas as forças atuantes no sistema e em muitos 
casos deve ser calculada por integração, uma vez que existem infinitas forças atuando sobre o sistema. 
● A força resultante é igual à área total sob o diagrama de carga. 
 𝐹𝑅 = ∫ 𝑤(𝑥) ∙ 𝑑𝑥
𝐿
= ∫ 𝑑𝐴
𝐴
= 𝐴 
 
10.2 Localização da força resultante 
● A localização da linha de ação da força resultante em relação ao eixo x pode ser determinada pela 
equação de momentos da força resultante e da distribuição de forças em relação ao ponto O. 
● A força resultante tem uma linha de ação que passa pelo centroide da área definida pelo diagrama de 
carregamento. 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 42 
 
 �̅� =
∫ 𝑥 ∙ 𝑤(𝑥) ∙ 𝑑𝑥𝐿
∫ 𝑤(𝑥) ∙ 𝑑𝑥𝐿
=
∫ 𝑥 ∙ 𝑑𝐴𝐴
∫ 𝑑𝐴𝐴
 
 
Abaixo mostramos os casos mais corriqueiros de cargas q, distribuídas linearmente, assim como a força 
resultante equivalente F e seu ponto de aplicação. 
 
 
 
 
 
Exercícios 
100. Determine a intensidade e a 
localização da força resultante equivalente 
que atua no eixo mostrado na figura. 
 
 
101. Um carregamento distribuído com 
w = 160 · x N/m atua no topo de uma superfície de uma 
viga como mostra a figura. Determine a intensidade e a 
localização da força resultante equivalente. 
 
102. Determine, para a viga mostrada ao lado, a 
intensidade da força resultante e seu ponto de aplicação, 
medido a partir do ponto A. 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 43 
 
103. O suporte de alvenaria gera a 
distribuição de cargas atuando nas extremidades 
da viga. Simplifique essas cargas a uma única 
força resultante e especifique sua localização em 
relação ao ponto O. 
 
104. Substitua as cargas atuantes 
por uma única força resultante e 
especifique sua localização sobre a viga 
em relação ao ponto O. 
 
105. Substitua as cargas atuantes 
por uma única força resultante e 
especifique sua localização sobre a viga 
em relação ao ponto A. 
 
106. Substitua as cargas atuantes 
por uma única força resultante e 
especifique sua localização sobre a viga 
em relação ao ponto A. 
 
107. Substitua as cargas atuantes 
por uma única força resultante e 
especifique sua localização sobre a viga 
em relação ao ponto O. 
 
108. Substitua as cargas atuantes 
por uma única força resultante e 
especifique sua localização sobre a viga 
em relação ao ponto O. 
 
109. Substitua as cargas atuantes 
por uma única força resultante e 
especifique sua localização sobre a viga 
em relação ao ponto A. 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 44 
 
11. REAÇÕES DOS APOIOS EM VIGAS 
As vigas são elementos estruturais projetados para suportar cargas externas aplicadas perpendicularmente 
a seu eixo. Geralmente, as vigas têm área de seção transversal constante e são longas e retas. 
As vigas mais utilizadas em projetos estruturais são a viga simplesmente apoiada, com uma extremidade 
apoiada com pino e com um rolete na outra, e a viga em balanço, com uma extremidade engastada e a outra 
livre. A seguir mostramos a classificação dos tipos mais comuns de vigas. 
 
a) Simplesmente apoiada 
 
b) Bi-engastada (fixa) 
 
c) Engastada- Apoiada 
 
d) Em balanço 
 
e) Em balanço nas extremidades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 45 
 
Exercícios 
110. Para a estrutura mostrada na figura 
determine as reações nos apoios. 
 
111. Para a estrutura mostrada na figura 
determine as reações nos apoios A e C. 
 
112. Para a estrutura mostrada na figura 
determine as reações nos apoios A e B. 
 
113. Para a estrutura mostrada na figura 
determine as reações nos apoios A e B. 
 
114. Calcule as reações dos apoios A e B 
para a viga submetida às duas cargas 
distribuídas com variação linear. 
 
115. Para a estrutura mostrada na figura 
determine as reações nos apoios A e B. 
 
116. Para a estrutura mostrada na figura 
determine as reações nos apoios A e B. 
 
117. Para a estrutura mostrada na figura 
determine as reações nos apoios A e B. 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 46 
 
118. Para a estrutura mostrada na figura 
determine as reações nos apoios A e B. 
 
119. Para a estrutura mostrada na figura 
determine as reações nos apoios A e D. 
 
 
12. ESFORÇOS INTERNOS EM VIGAS 
12.1 Esforços internos 
Para projetar e dimensionar um elemento estrutural ou mecânico é necessário conhecer as cargas ‒forças 
e momentos‒ que atuam dentro do elemento, a fim de garantir que o material possa resistir a essascargas. 
Consideremos a viga em balanço engastada em 
A, mostrada na figura ao lado,sujeita às cargas F1 e F2 e 
um ponto B, ao longo de seu comprimento. 
Os esforços internos que atuam na seção 
transversal da viga que passa pelo ponto B podem ser 
determinadas usando o método das seções. 
A
B
F1
F2
 
O método das seções, também conhecido como método de Ritter, é utilizado para se determinar as forças 
atuantes dentro de um elemento estrutural. Esse método baseia-se no princípio de que se um corpo está em 
equilíbrio, qualquer parte dele também está. 
O método consiste em seccionar o elemento estrutural no ponto que se deseja determinar os esforços e 
aplicar as equações de equilíbrio estático do corpo extenso e rígido na região seccionada. 
Para a viga que estamos considerando, teremos: 
A
B
F1
F2
MA
Ax
Ay
BB
F1 F2VB
NB
MB
MB
NB
VB
 
A componente de força NB, que atua perpendicularmente à seção transversal, é chamada de esforço 
normal. A componente de força VB, que é tangente à seção transversal é chamada de esforço cortante. O 
momento de binário MB é denominado momento fletor. 
As componentes de força NB e VB impedem a translação relativa entre as duas partes da estrutura e o 
momento de binário MB impede a rotação relativa entre elas. De acordo com o princípio da ação e da reação ou 
terceira lei de Newton esses esforços devem atuar em sentidos opostos em cada segmento, como mostrado na 
figura anterior. 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 47 
 
Os esforços NB e VB e o momento MB podem agora ser determinados aplicando as equações de equilíbrio 
do corpo extenso e rígido a qualquer um dos dois segmentos. No caso exemplificado, a escolha do segmento da 
direita é mais adequada, visto não envolver as reações do engate em A. 
 
12.2 Convenção de sinais dos esforços internos 
Para os sinais dos esforços internos, adotaremos aqui a convenção estabelecida em HIBBELER, R. C. 
Estática: Mecânica para Engenharia. 10ª edição. Editora Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2004. 
O esforço normal N é considerado positivo se criar tração. 
O esforço cortante V é positivo se fizer com que o segmento da viga sobre o qual atua gire no sentido 
horário. 
O momento fletor M será postivo quando tender a curvar o segmento no qual ele atua de uma maneira 
côncava para cima. 
Os esforços que são opostos a estes são considerados negativos. 
A tabela a seguir ilustra essa convenção de sinais para os esforços internos em uma seção transversal S. 
 
 
 
Se o segmento sob análise estiver sujeito a uma carga tridimensional externa, então os esforços internos 
geralmente são expressos como positivos ou negativos, de acordo com um sistema de coordenadas x, y e z 
adotado. 
 
Exercícios 
 
120. Determine o esforço normal, o esforço 
cortante e o momento fletor que atuam à esquerda, ponto 
B, e à direita, ponto C, da força de 6 kN sobre a viga da 
figura ao lado. 
 
121. Determine o esforço normal, o esforço 
cortante e o momento fletor que atuam no ponto C da 
viga da figura ao lado. 
 
122. Determine o esforço normal, o esforço 
cortante e o momento fletor que atuam no ponto C da 
viga da figura ao lado. 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 48 
 
123. Determine o esforço normal, o esforço 
cortante e o momento fletor que atuam no ponto C da 
viga da figura ao lado. 
 
124. Determine o esforço normal, o esforço 
cortante e o momento fletor que atuam no ponto C da 
viga da figura ao lado. 
 
125. Determine o esforço normal, o esforço 
cortante e o momento fletor que atuam no ponto C da 
viga da figura ao lado. 
 
126. Determine o esforço normal, o esforço 
cortante e o momento fletor que atuam no ponto C da 
viga da figura ao lado. 
 
127. Determine o esforço normal, o esforço 
cortante e o momento fletor que atuam nos pontos C e D 
da viga da figura ao lado. Assuma que o apoio em B seja 
um rolete. O ponto C está localizado logo à direita da carga 
de 40 kN. 
 
128. Determine o esforço normal, o esforço 
cortante e o momento fletor que atuam no ponto B da 
estrutura de dois membros mostrada na figura ao lado. 
 
129. Determine o esforço normal, o esforço 
cortante e o momento fletor que atuam no ponto E da 
estrutura carregada conforme mostra a figura ao lado. 
 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 49 
 
13. CENTRO DE GRAVIDADE E CENTROIDE DE ÁREA PLANA 
13.1 Introdução 
Até este ponto de nossos estudos, assumimos que a atração exercida pela Terra sobre um corpo rígido 
poderia ser representada por uma única força P. Essa força, chamada peso do corpo, deve ser aplicada, como 
veremos a seguir, no baricentro do corpo. 
Vamos considerar apenas corpos bidimensionais, contidos em um dado plano, e apresentaremos um 
conceito associado à determinação do baricentro de uma placa: o conceito de centroide de uma superfície. 
 
13.2 Baricentro de uma superfície plana 
Vamos considerar inicialmente uma placa horizontal. 
Podemos dividir essa placa em n pequenos elementos. As 
coordenadas do primeiro elemento são x1, y1, as do segundo 
elemento x2, y2 e assim por diante. As forças exercidas pela 
Terra sobre os elementos da placa são denominadas ΔP1, ΔP2, 
..., ΔPn, respectivamente. 
 
Essas forças ou pesos estão orientadas em direção ao 
centro da Terra; porém, para todas as finalidades práticas, elas 
podem ser consideradas paralelas. Sua resultante é, portanto, 
uma única força P na mesma direção. 
∑𝐹𝑧: 𝑃 = ∆𝑃1 + ∆𝑃2 + ⋯ + ∆𝑃𝑛 
 
Para obter as coordenadas �̅� e �̅� do ponto G, onde a resultante P deve ser aplicada, escrevemos que os 
momentos de P em relação aos eixos x e y são iguais à soma dos momentos correspondentes dos pesos 
elementares: 
∑𝑀𝑦: �̅� ∙ 𝑃 = 𝑥1 ∙ ∆𝑃1 + 𝑥2 ∙ ∆𝑃2 + ⋯ + 𝑥𝑛 ∙ ∆𝑃𝑛 ⟹ ∑ 𝑀𝑦 = �̅� ∙ 𝑃 = ∑ 𝑥 ∙ ∆𝑃 
 
∑𝑀𝑥: �̅� ∙ 𝑃 = 𝑦1 ∙ ∆𝑃1 + 𝑦2 ∙ ∆𝑃2 + ⋯ + 𝑦𝑛 ∙ ∆𝑃𝑛 ⟹ ∑ 𝑀𝑥 = �̅� ∙ 𝑃 = ∑ 𝑦 ∙ ∆𝑃 
 
Se, agora, aumentarmos o número de elementos em que a placa é dividida e diminuirmos o tamanho de 
cada elemento, teremos, no limite, as seguintes expressões: 
 𝑃 = ∫ 𝑑𝑃 �̅� ∙ 𝑃 = ∫ 𝑥 ∙ 𝑑𝑃 �̅� ∙ 𝑃 = ∫ 𝑦 ∙ 𝑑𝑃 
Essas expressões definem o peso P e as coordenadas �̅� e �̅� do baricentro G da placa plana. 
 
13.3 Centroide da superfície 
Voltemos à placa anterior e, agora, vamos considerá-la homogênea, com peso específico ϒ (peso por 
unidade de volume, em N/m3) e espessura t. 
Nesse caso, o módulo ΔP do peso de um elemento da placa pode ser expresso como ΔP = ϒ·t∙ΔA. 
Analogamente, podemos expressar o módulo P do peso da placa inteira como P = ϒ·t·A. 
Substituindo ΔP e P nas equações anteriores de momentos e dividindo por ϒ·t, obtemos: 
 
∑𝑀𝑦: �̅�𝐴 = 𝑥1 ∙ ∆𝐴1 + 𝑥2 ∙ ∆𝐴2 + ⋯ + 𝑥𝑛 ∙ ∆𝐴𝑛 ⟹ ∑ 𝑀𝑦 = �̅� ∙ 𝐴 = ∑ 𝑥 ∙ ∆𝐴 
 
 
Mecânica Geral Paulo Cesar Martins Penteado 50 
 
∑𝑀𝑥: �̅�𝐴 = 𝑦1 ∙ ∆𝐴1 + 𝑦2 ∙ ∆𝐴2 + ⋯ + 𝑦𝑛 ∙ ∆𝐴𝑛 ⟹ ∑ 𝑀𝑥 = �̅� ∙ 𝐴 = ∑ 𝑦 ∙ ∆𝐴 
 
Mais uma vez, se aumentarmos o número de elementos em que a placa é dividida e diminuirmos o 
tamanho de cada elemento, teremos, no limite: 
 
 �̅� ∙ 𝐴 = ∫ 𝑥 ∙ 𝑑𝐴 �̅� ∙ 𝐴 = ∫ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 
 
Essas equações definem as coordenadas �̅� e �̅� do baricentro de uma placa homogênea. O ponto de 
coordenadas �̅� e �̅� é também conhecido como centroide C da superfície A da placa. 
É importante ressaltar que, se a placa não for homogênea as equações não podem ser usadas para 
determinar o baricentro; porém, ainda