Flambagem de colunas

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Resistência dos 
Materiais II
Material Teórico
Flambagem em Colunas
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Me. Lincoln Ribeiro Nascimento
Revisão Técnica:
Prof. Me. Victor Barbosa Felix
Revisão Textual:
Prof.ª Me. Natalia Conti
• Flambagem em Colunas.
 · Apresentar ao aluno o conceito de flambagem e quais são as situações 
de projetos de engenharia onde ocorre o fenômeno da flambagem e 
a determinação de parâmetros que permitem avaliar a possibilidade 
de ocorrer a flambagem em uma coluna.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Flambagem em Colunas
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você 
também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão 
sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e 
de aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Flambagem em Colunas
Flambagem em Colunas
As colunas e pilares de estruturas de engenharia, na maioria das vezes, estão 
sujeitos a esforços de compressão na sua direção longitudinal.
Na figura 1 é possível visualizar um exemplo onde pilares de sustentação de uma 
viga estão sujeitos a esforços de compressão.
Figura 1 – Exemplo de pilares de sustentação sujeitos a esforços de compressão
Fonte: iStock/Getty Images
O que pode acontecer caso os pilares ou colunas sejam muito compridos?
Ex
pl
or
Porém, existem situações onde a coluna ou pilar pode ser muito comprido em 
relação a sua área de seção transversal. Esses pilares ou colunas são chamados 
de esbeltos.
Quando uma coluna possui um comprimento muito maior em relação a sua área 
de seção transversal (coluna esbelta), e a mesma é submetida a esforços de com-
pressão, ao invés de ocorrer a redução no comprimento da coluna (efeito esperado 
em uma estrutura sujeita a compressão), pode ocorrer a flambagem dessa coluna, 
ou seja, a coluna pode vir a entortar devido a esse esforço de compressão. 
Sendo assim, a flambagem pode ser considerada, na verdade, um caso especial 
de compressão. Quando uma coluna de uma estrutura possui o seu comprimento 
muito maior do que a sua área resistente (L>>A), no caso, a área da seção transversal 
da coluna, e está sujeita a esforços de compressão também é uma típica situação 
onde a força atuante é perpendicular à área resistente do corpo. Porém, nesse 
caso, a força tende a “entortar” o corpo, ou seja, tende a flambar.
8
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Sendo assim, a tensão atuante nesse corpo, resultado desse esforço de compres-
são, que causa flambagem na barra, também será uma Tensão Normal (σ).
Na figura 2 é possível visualizar uma coluna que possui o seu comprimento 
muito maior do que a sua área da seção transversal (L>>A) e que está sujeita a um 
esforço de compressão que provocou a flambagem da barra.
Fn
A
Fn
A
L
L>>A
Figura 2 – Coluna esbelta submetida à ação de uma Força Normal provocando a Flambagem dessa coluna
Os tipos de apoios das colunas infl uenciam no fenômeno da fl ambagem?
Ex
pl
or
Comprimento Efetivo de Flambagem
Quando se aplica um esforço de compressão em uma coluna esbelta, dependen-
do dos tipos de apoios dessa coluna, haverá uma maior ou menor possibilidade de 
que se ocorra o fenômeno de flambagem.
De acordo com o tipo de apoio de uma coluna, é possível determinar-se o 
chamado Comprimento Efetivo de Flambagem (Lf). O Comprimento Efetivo de 
Flambagem é o comprimento da coluna que está sujeito a realmente entortar ou 
flambar. Em outras palavras, quanto melhor estiver apoiada uma coluna, menor 
será o seu Comprimento Efetivo de Flambagem (Lf).
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UNIDADE Flambagem em Colunas
O valor do comprimento efetivo de flambagem pode ser determinado através 
da Equação 1.
 Lf = k ∙ l (Equação 1)
Onde:
• l → Comprimento real da coluna
• Lf → Comprimento Efetivo de Flambagem
• k → Fator de correção do comprimento
Unidades de Medida (SI):
[l] = m
[Lf] = m
[k] = adimensional
O fator de correção do comprimento da coluna k pode ser determinado de 
acordo com os tipos de apoio da coluna, conforme ilustrado na figura 3.
Engastada
e livre
k = 2
Biarticulada
k = 1
Biengastada
k = 0,5
Articulada
e engastada
k = 0,7
Figura 3 – Fatores de correção k do comprimento da coluna de acordo com os tipos de apoios da coluna
Qual tipo de apoio oferece a maior possibilidade de ocorrência de flambagem?
Ex
pl
or
Como é possível observar na figura 3, a situação onde existe a maior possibilida-
de de ocorrência de flambagem ocorre quando a coluna está com uma extremidade 
livre e a outra extremidade engastada, pois, nesse caso, seu comprimento real deve 
ser multiplicado por 2.
Caso uma coluna seja biarticulada, ou seja, com dois apoios fixos, o compri- 
mento real e o comprimento de flambagem serão os mesmos.
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Quando uma coluna possui um apoio engastado e um apoio fixo (articulação), 
seu comprimento real deve ser multiplicado por 0,7.
Qual tipo de apoio oferece a menor possibilidade de ocorrência de fl ambagem?
Ex
pl
or
Finalmente, caso uma coluna possua 2 apoios do tipo engastado, a mobilidade 
dessa coluna será extremamente reduzida. Dessa forma, a possibilidade de ocor-
rência de flambagem será, consequentemente, também reduzida. Nesses casos, o 
comprimento real de flambagem deverá ser multiplicado por 0,5.
Índice de Esbeltez
O Índice de Esbeltez (λ) é um índice que serve para se verificar a possibilidade de 
ocorrência da flambagem de uma coluna.
O cálculo do índice de esbeltez relaciona o comprimento efetivo de flambagem, 
a área da seção transversal e o formato da seção transversal de uma coluna.
O formato da seção transversal, nesse caso, é representado pelo chamado Mo-
mento de Inércia da geometria. Quanto maior for o valor do momento de inércia 
da seção transversal de uma coluna, maior será a rigidez dessa coluna.
O Índice de Esbeltez de uma coluna pode ser determinado através da equação 2.
 
λ =
Lf
I
A
 (Equação 2)
Onde:
• λ → Índice de Esbeltez
• Lf → Comprimento Efetivo de Flambagem
• I → Momento de Inércia da Seção Transversal da Coluna
• A → Área da Seção Transversal da Coluna
Unidades de Medida (SI):
[λ] = Adimensional
[Lf] = m
[I] = m4
[A] = m2
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UNIDADE Flambagem em ColunasNa tabela 1 podem ser visualizados os valores do Momento de Inércia para al-
guns formatos de seção transversal.
Tabela 1 – Valores de Momento de Inércia para alguns formatos de seção transversal
Geometria Ix Iy
D
pi ⋅D4
64
pi ⋅D4
64
a
a a4
12
a4
12
b
x
y
h b h⋅
3
12
b h⋅ 3
12
Ao analisar-se a tabela 1, é possível observar que, em alguns casos (seções 
formadas por polígonos não regulares), o momento de inércia varia de acordo com 
a direção onde atua a força que causa a flambagem. Nesses casos, deve-se calcular 
o índice de Esbeltez duas vezes, ou seja, considerando-se o momento de inércia 
nas duas direções (x e y). O índice de Esbeltez a ser considerado será aquele que 
possuir o maior valor.
Quanto maior for o Índice de Esbeltez de uma coluna, maior será a possibilidade 
de ocorrer sua flambagem. Dessa forma, devem-se evitar colunas muito esbeltas, 
ou seja, com índice de Esbeltez muito elevado.
Para se determinar qual seria o valor do índice de esbeltez máximo adequado, 
para cada situação, normas técnicas devem ser consultadas, respeitando-se cada 
aplicação de engenharia.
Carga Crítica de Flambagem
Outro parâmetro a ser considerado na flambagem é o cálculo proposto pelo Suí- 
ço Leonard Euler (1707-1783). Trata-se da chamada Carga Crítica de Flambagem 
ou ainda, Carga Crítica de Euler.
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A carga crítica de flambagem é o valor da carga máxima que uma coluna deve 
suportar, na direção axial, para que não ocorra o fenômeno de flambagem.
O cálculo da Carga Crítica de Flambagem proposto por Euler é válido para situ-
ações onde a Tensão atuante na coluna esteja dentro do chamado Limite Elástico 
do Material. O cálculo da Carga Crítica de Flambagem pode ser realizado através 
da Equação 3.
 P
E I
Lcrit f
=
⋅ ⋅pi2
2 (Equação 3)
Onde:
• Pcrit → Carga Crítica de Flambagem
• Lf → Comprimento Efetivo de Flambagem
• E → Módulo de Elasticidade do material
• I → Momento de Inércia
• π → 3,1415926...
Unidades de Medida (SI):
[Pcrit] = N
[Lf] = m
[E ] = N
m2
 = Pa
[I] = m4
[π] = Adimensional
Sendo assim, além de se avaliar se uma coluna é esbelta, utilizando-se o cálculo 
do Índice de Esbeltez, deve-se verificar também se a carga axial de compressão 
aplicada à coluna não ultrapassa o valor da Carga Crítica de Flambagem. Caso 
exista a possibilidade de ocorrer a flambagem, a coluna deve ser reforçada.
Exemplos de Aplicação
Exemplo 1
Uma coluna tem seção circular com diâmetro de 80cm e comprimento de 4m e 
está engastada em apenas uma das extremidades (k=2). Sabendo-se que o material 
do pilar é o aço ABNT 1045 (E=210GPa), determinar:
• O Índice de Esbeltez;
• A Carga crítica de flambagem.
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UNIDADE Flambagem em Colunas
Item a) – Índice de Esbeltez (λ)
1º Passo: Calculando-se o Comprimento Efetivo de Flambagem (Lf)
Lf = k ∙ l
Lf = 2 ∙ 4m
Lf = 8m
2º Passo: Calculando-se o Momento de Inércia (I)
Para seção circular maciça, têm-se:
D = 80cm = 0,8m
I
D
=
⋅pi 4
64
I
m
=
⋅ ( )3 14 0 8
64
4
, ,
I = 0,020096 m4
3º Passo: Calculando-se a área da Seção Transversal (A)
Para seção circular maciça, têm-se:
A
D
=
⋅pi 2
4
A
m
=
⋅ ( )3 14 0 8
4
2
, ,
A = 0,5024 m2
4º Passo: Calculando-se o Índice de Esbeltez (λ)
λ =
L
I
A
f
λ =
8
0 020096
0 5024
4
2
m
m
m
, �
, �
λ = 40
14
15
Item b) – Carga Crítica de Flambagem (Pcrit)
 1º Passo: Módulo de Elasticidade do Material – Conversão de Unidade 
de Medida
Como a unidade de medida do valor do Módulo de Elasticidade do material não 
está no Sistema Internacional de Unidades (Si), deve-se fazer a devida conversão 
de unidades:
Sabe-se que:
1GPa = 109 Pa
Logo:
210 GPa = 210 ∙ 109 Pa
2º Passo: Cálculo da Carga Crítica de Flambagem (Pcrit)
P
E I
Lcrit f
=
⋅ ⋅pi2
2
P
Pa m
m
crit =
⋅ ⋅ ⋅
( )
3 14 210 10 0 020096
8
2 9 4
2
, , �
Pcrit = 650142024 N
Exemplo 2
Uma coluna tem seção quadrada com lado de 80 cm e comprimento de 5m 
e está engastada nas duas extremidades (k = 0,5). Sabendo-se que o material da 
coluna é o Alumínio (E = 70GPa), determinar:
• O Índice de Esbeltez;
• A Carga crítica de flambagem.
Item a) – Índice de Esbeltez (λ)
1º Passo: Calculando-se o Comprimento Efetivo de Flambagem (Lf)
Lf = k ∙ l
Lf = 0,5 ∙ 5m
Lf = 2,5m
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UNIDADE Flambagem em Colunas
2º Passo: Calculando-se o Momento de Inércia (I)
Para seção quadrada maciça, têm-se:
a = 80cm = 0,8m
I
a
=
4
12
I
m
=
( )0 8
12
4
,
I = 0,0341333 m4
3º Passo: Calculando-se a área da Seção Transversal (A)
Para seção quadrada maciça, têm-se:
A = a2
A = (0,8m)2
A = 0,64 m2
4º Passo: Calculando-se o Índice de Esbeltez (λ)
λ =
L
I
A
f
λ =
2 5
0 0341333
0 64
4
2
,
, �
, �
m
m
m
λ = 10,825
Item b) – Carga Crítica de Flambagem (Pcrit)
 1º Passo: Módulo de Elasticidade do Material – Conversão de Unidade 
de Medida
Como a unidade de medida do valor do Módulo de Elasticidade do material não 
está no Sistema Internacional de Unidades (Si), deve-se fazer a devida conversão 
de unidades:
Sabe-se que:
1GPa = 109 Pa
Logo:
70 GPa = 70 ∙ 109 Pa
16
17
2º Passo: Cálculo da Carga Crítica de Flambagem (Pcrit)
P
E I
Lcrit f
=
⋅ ⋅pi2
2
P
Pa m
m
crit =
⋅ ⋅ ⋅
( )
3 14 70 10 0 0341333
2 5
2 9 4
2
, , �
,
Pcrit = 3769255668 N
Exemplo 3
Uma coluna tem seção retangular com b= 60cm x h = 40cm e comprimento de 
3m e está biarticulada (k = 1). Sabendo-se que o material da coluna é o Aço ABNT 
1045 (E = 210GPa), determinar:
• O Índice de Esbeltez;
• A Carga crítica de flambagem.
Item a) – Índice de Esbeltez (λ)
1º Passo: Calculando-se o Comprimento Efetivo de Flambagem (Lf)
Lf = k ∙ l
Lf = 1 ∙ 3m
Lf = 3m
2º Passo: Calculando-se o Momento de Inércia (I)
Para seção retangular maciça, têm-se:
b = 60cm = 0,6m
h = 40cm = 0,4m
Na direção x, têm-se:
I
b h
x =
⋅ 3
12
I
m m
x =
⋅ ( )0 6 0 4
12
3
, ,
Ix = 0,0032 m
4
Na direção y, têm-se:
I
b h
y =
⋅3
12
I
m m
y =
( ) ⋅0 6 0 4
12
3
, ,
Iy = 0,0072 m
4
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UNIDADE Flambagem em Colunas
3º Passo: Calculando-se a área da Seção Transversal (A)
Para seção retangular maciça, têm-se:
A = b ∙ h
A = 0,6m ∙ 0,4m
A = 0,24 m2
4º Passo: Calculando-se o Índice de Esbeltez (λ)
Na direção x, têm-se:
λ =
L
I
A
f
λ =
3
0 0032
0 24
4
2
m
m
m
, �
, �
λx = 25,981
Na direção y, têm-se:
λ =
L
I
A
f
λ =
3
0 0072
0 24
4
2
m
m
m
, �
, �
λy = 17,32
Logo, o índice de esbeltez a ser considerado será sempre o maior valor, ou seja:
λ = λx = 25,981
Item b) – Carga Crítica de Flambagem (Pcrit)
 1º Passo: Módulo de Elasticidade do Material – Conversão de Unidade 
de Medida
Como a unidade de medida do valor do Módulo de Elasticidade do material não 
está no Sistema Internacional de Unidades (Si), deve-se fazer a devida conversão 
de unidades:
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Sabe-se que:
1GPa = 109 Pa
Logo:
210 GPa = 210 ∙ 109 Pa
2º Passo: Cálculo da Carga Crítica de Flambagem (Pcrit)
Na direção x, têm-se:
P
E I
Lcrit
x
f
=
⋅ ⋅pi2
2
P
Pa m
m
crit =
⋅ ⋅ ⋅
( )
3 14 210 10 0 0032
3
2 9 4
2
, , �
Pcrit x = 736183466,7 N
Na direção y, têm-se:
P
E I
Lcrit
y
f
=
⋅ ⋅pi2
2
P
Pa m
m
crit =
⋅ ⋅ ⋅
( )
3 14 210 10 0 0072
3
2 9 4
2
, , �
Pcrit y = 1656412800 N
Nesse caso, deve-se considerar a pior situação, ou seja, a direção onde a coluna 
suporta menor carga, ou seja:
Pcrit = Pcrit x = 736183466,7 N
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UNIDADE Flambagemem Colunas
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais
Como material complementar, leia o capítulo 13 (pp 312-324) da obra de Sarkis 
Melconiam, intitulada “Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais”, disponível na 
Biblioteca Virtual da Universidade, no item “E-books – Minha Biblioteca”. Nesse texto 
será apresentada uma abordagem complementar sobre o fenômeno da flambagem e 
serão citados alguns parâmetros de referência para o Índice de Esbeltez.
Fundamentos de Resistência dos Materiais
Ainda como material complementar, leia também o capítulo 7 (pág 147 a 154) da 
obra de Antonio Carlos da Fonseca Bragança Pinheiro e Marcos Crivelaro, intitulada 
“Fundamentos de Resistência dos materiais”, disponível na Biblioteca Virtual da 
Universidade, no item “E-books – Minha Biblioteca”. Nesse texto serão apresentadas 
as deformações causadas por barras sumetidas a formas axiais.
Para acessar essas obras, percorra o seguinte caminho:
Após entrar em sua “área do aluno”, no menu à esquerda da tela, clique em “Serviços”, 
depois em “Biblioteca” e, no centro da tela, clique em “E-books – Minha Biblioteca”. 
No topo da tela que abrirá, haverá um campo de busca para autor, título, assunto etc. 
Nesse espaço, digite “Resistência dos Materiais” e clique na obra indicada, que apare-
cerá como resultado.
 Vídeos
Flambagem - Resistência dos Materiais - Esbeltez- Aula 2
Nesse link, está disponível um vídeo bem interessante que trata de Flambagem e o 
Índice de Esbeltez.
https://youtu.be/trXDKx5y8Gc
Carga Crítica (P) - CONTINUAÇÃO DE FLAMBAGEM
Nesse link, também está disponível um vídeo que trata de Flambagem e do cálculo de 
Carga Crítica de flambagem.
https://youtu.be/ad-vvteTRrE
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Referências
HIBBELER, Russell C. Resistência dos materiais. 7ª Edição - Pearson Prentice 
Hall, São Paulo, 2010.
MELCONIAN, Sarkis. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 19ª Edição - 
Ed. Érica, São Paulo, 2013.
PEREIRA, Celso Pinto Morais. Mecânica dos materiais avançada. 1ª Edição - 
Ed. Interciência, Rio de Janeiro, 2014.
PINHEIRO, Antonio Carlos da Fonseca Bragança Pinheiro e CRIVELARO, 
Marcos. Fundamentos de Resistência dos Materiais. 1ª Edição - Ed. LTC, Rio 
de Janeiro, 2016.
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