Mecânica dos Sólidos AULA 01

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Disciplina: Mecânica dos Sólidos
Aula 1: Sistema de Forças
Apresentação
No estudo da Mecânica, é fundamental o entendimento de muitos conceitos, como, por exemplo, o de força, muito comum
em nosso dia a dia. Quando puxamos o cordel de uma persiana, o efeito é o movimento, de subida ou descida, ilustrando o
conceito mecânico de força, que estudaremos nesta aula.
Obviamente, o conceito de força mantém-se o mesmo, ainda que tenhamos situações complexas. O que podemos pensar é
que a quantidade de forças envolvidas é maior, ou seja, há um sistema de forças. A cobertura de um estádio de futebol, por
exemplo, envolve certo número de forças.
Atrelado ao conceito de força, iremos aprender ainda acerca do momento provocado por ela. Igualmente, existem muitas
situações do cotidiano em que o conceito de momento de uma força é aplicado. Ao sair de sua casa para ir à faculdade,
certamente você abriu a porta atuando na maçaneta. O efeito provocado é o da rotação da mesma, ou seja, a força aplicada
exerceu momento sobre a porta, como vamos conferir aqui.
Objetivos
Identi�car os conceitos de força e resultante de forças;
Descrever o conceito de momento de uma força;
Explicar os vetores força e momento em componentes retangulares.
Força
Inicialmente, podemos imaginar dois grandes grupos de forças:
1
De contato
Surge pela interação direta entre dois ou mais corpos.
2
De campo
Surge pela presença de um campo (gravitacional, elétrico, etc).
Suponha um corpo em repouso sobre
uma mesa:
✔ Neste caso, existe uma força de contato que atua no corpo e
na mesa, denominada força normal (N).
✔ Nesse mesmo corpo, atua a força com que a Terra o atrai
para seu centro, denominada peso (P), força de campo.
 Figura 1 - Corpo em equilíbrio sob ação de duas forças: de contato e de campo.
Em termos dinâmicos, a segunda lei de Newton (equação 1) a�rma que, para sistemas com massa constante, a resultante das
forças é o produto da massa do corpo pela aceleração adquirida.
Essa óptica de percepção da força é útil para de�nirmos a unidade utilizada no Sistema Internacional (S.I.).
(Equação 1)
  =  m.R
⃗ 
a
⃗ 
Da equação 1, é possível inferir que 1 newton (1N) é a força capaz de imprimir a um
corpo de massa 1 quilograma (Kg) a aceleração de 1m/s .2
Atenção
1kN = 1000 N
Comentário
Cuidado com outras unidades de força: kgf (quilograma-força) e dyn (dina).
Outro aspecto importante no estudo das forças é reconhecê-la como uma grandeza vetorial,
isto é, para que esteja perfeitamente de�nida os seguintes atributos devem ser
apresentados conjuntamente à unidade: intensidade (módulo ou valor), direção e sentido.
 Figura 2 – Força e suas características vetoriais.
Forças concentradas ou distribuídas
Dica
As forças por vezes são denominadas cargas.
Na engenharia, uma classi�cação é particularmente útil.
1
Forças concentradas
A força atua em um ponto do corpo. Quando a carga é
concentrada, a unidade é de força.
2
Forças distribuídas
A atuação da força se dá ao longo de uma linha, por exemplo.
No caso de cargas distribuídas, a unidade é de força por
unidade de comprimento.
Observe a �gura 3 em que uma carga concentrada F atua na extremidade direita do corpo e uma carga distribuída de 100kN/m ao
longo do comprimento AB.
 Figura 3 – Força concentrada F e carga distribuída de
100kN/m.
Atividade
1. Assinale verdadeiro ou falso para cada a�rmação a seguir:
a) Peso e massa são grandezas vetoriais.
b) Uma grandeza vetorial é caracterizada pela sua intensidade, direção e sentido.
c) Duas forças e têm intensidades iguais a 100 N. Logo, são iguais.
d) A linha de ação de uma força caracteriza o seu sentido.
e) Para uma dada direção, existem sempre dois possíveis sentidos.
F
⃗ 
f
⃗ 
Força escrita em função de suas componentes retangulares
Forças bidimensionais
Como foi visto no início da aula, força é uma grandeza vetorial. Sendo assim, pode ser apresentada em função das suas
componentes retangulares x, y e z.
Iniciaremos o estudo a partir de um modelo bidimensional e, depois, ampliaremos para o caso geral: o modelo tridimensional.
Considere um corpo sob a ação de uma força de módulo F, que forma um ângulo com a horizontal, conforme mostrado na
�gura 4.
θ
O vetor mostrado na �gura 4 pode ser escrito a partir das suas
componentes retangulares, ou seja tomando-se como
referência o par de eixos coordenados e seus vetores unitários
em x e y, isto é, i e j.
 Figura 4 – Força atuando em um corpo.
Matematicamente, podemos escrever qualquer vetor como descrito anteriormente.
No caso do vetor que representa a força F, podemos escrevê-lo conforme a equação 2, onde F e F são os módulos das
componentes de F nas direções x e y, respectivamente.
x y
(Equação 2)
  =    .  i  +    .  jF
⃗ 
F
x
F
y
A �gura 5 mostra as situações da força F antes e depois da decomposição em suas componentes retangulares.
Note que essas componentes dependem apenas do módulo da força F e do ângulo que esta forma com a horizontal (ou com a
vertical). Ademais, algumas relações matemáticas podem ser escritas, como nas equações 3 e 4.
 Figura 5 – Decomposição da força F em componentes retangulares.
A partir das equações trigonométricas, é possível escrever as seguintes relações matemáticas:
(Equação 3)
  =  F  .   cos θ     e        =  F  .  senθ F
x
F
y
(Equação 4)
tgθ  =   →  θ  =  arctg  ( )
F
y
F
x
F
y
F
x
Utilizando as equações (2) e (3), podemos reescrever a força F em função de suas componentes retangulares de acordo com a
equação 5.
(Equação 5)
  =  F  .   cos θ .  i  +  F  .  senθ .  jF
⃗ 
Na �gura 5, é fácil perceber a existência de um triângulo retângulo em que os catetos são os módulos das componentes F e F e
a hipotenusa é o módulo de F.
A partir da relação de Pitágoras, podemos escrever a equação 6, relacionando os módulos anteriormente citados.
x y
(Equação 6)
   +      =  F
2
x
F
2
y
F
2
Exemplo 1
Considere uma viga homogênea, de peso P = 200 N, presa a uma parede e a um cabo de aço. A tração T no cabo tem módulo
1000 N.
Determine, em termos de componentes retangulares, as forças P e T.
Atividade
2. Considere um corpo que desliza sobre a ação de uma força externa, que forma um ângulo com a horizontal, tal que =
0,8. O módulo da força F é 240 N.
Escreva F em função dos vetores unitários i e j. Veja a �gura.
θ cosθ
Forças tridimensionais
Vimos no início desta aula que força é uma grandeza vetorial. Sendo assim, pode ser apresentada em função das suas
componentes retangulares x, y e z.
Inicialmente, foi apresentado um caso particular em que as forças que atuavam em um sistema eram coplanares, ou seja, todas
pertenciam a um mesmo plano, por exemplo xy.
Dessa forma, as forças foram escritas apenas em função das componentes retangulares em x e em y.
Com o conceito bem entendido, agora é possível prosseguir no estudo das forças, generalizando a conceituação inicial e a
considerando como um vetor no R , ou seja, a partir deste instante, teremos F escrita como função das coordenadas
retangulares x, y e z.
3
Dessa forma, o caso bidimensional passa a ser um caso particular do tridimensional em que
a coordenada retangular em z é nula.
Observe a �gura 6 em que são mostradas uma força F e suas componentes F , F e F . Além disso, são mostrados os ângulos , 
 e , que a força F forma com as respectivas projeções em x, y e z.
x y z θx
θy θz
 Figura 6 – Força F tridimensional e suas componentes retangulares.
A partir de uma análise matemática da �gura 6, é possível escrever diretamente as relações descritas nas equações 7, 8 e 9.
(Equação 7)
cos   =     →     =  F  .   cosθ
x
F
x
F
F
x
θ
x
(Equação 8)
cos   =→     =  F  .   cosθ
y
F
y
F
F
y
θ
y
(Equação 9)
cos   =     →     =  F  .   cosθ
z
F
z
F
F
z
θ
z
Nas equações 6, 7 e 8, os cossenos são denominados diretores.
Podemos escrevê-los da seguinte maneira:
  =  (cos )
θ
x
2
( )
F
x
F
2
  =  (cos )
θ
y
2
( )
F
y
F
2
  =  (cos )
θ
z
2
( )
F
z
F
2
  +      +      =     +      +   (cos )θ
x
2
(cos )θ
y
2
(cos )θ
z
2
( )
F
x
F
2
( )
F
y
F
2
( )
F
z
F
2
Mas
(diagonal do paralelepípedo da �gura 6)
  +      +      =  ( )F
x
2
( )F
y
2
( )F
z
2
F
2
(Equação 10)
Assim,
  +      +      =  1(cos )θ
x
2
(cos )θ
y
2
(cos )θ
z
2
Dessa forma, o vetor F pode ser escrito, em termos das coordenadas retangulares, conforme a equação 11:
(Equação 11)
  =  F  .   cos  .  i  +  F  .   cos  .  j  +  F  .   cos  .  kF
⃗ 
θ
x
θ
y
θ
z
NOTA 1
Escrever um vetor em função de dois pontos de sua linha de ação.
Considere os pontos A (x , y , z ) e B (x , y , z ) tais que pertençam à linha de ação da força. Observe a �gura 7:A A A B B B
 Figura 7 – Força F e sua linha de ação com os pontos A e B.
Determinação do vetor unitário na direção :AB
−→−
(Equação 12)
  =   =λ
AB
−→−
B−A
∣
∣
∣AB
−→−
∣
∣
∣
(  −   ;   −   ;   −  )x
B
x
A
y
B
y
A
z
B
z
A
∣
∣
∣AB
−→−
∣
∣
∣
Assim, a força F poderá ser escrita conforme a equação 13:
(Equação 13)
  =    .  FF
⃗ 
λ
AB
−→−
NOTA 2
A metodologia apresentada na NOTA 1 pode ser particularizada para o caso em que as forças são bidimensionais.
Nesse caso, basta tomarmos z = z = 0. Assim, a equação 12 pode ser reescrita como a equação 14, a seguir:A B
(Equação 14)
  =     =  λ
AB
−→−
B−A
∣
∣
∣AB
−→−
∣
∣
∣
(  −  ;   −  )x
B
x
A
y
B
y
A
∣
∣
∣AB
−→−
∣
∣
∣
Suponha uma placa presa na sua base e disposta verticalmente. Dois cabos são utilizados no ancoramento dessa placa.
As intensidades das forças que agem nos cabos (trações) são T = 100 N e T = 260N.
Escreva estas duas forças em termos de suas coordenadas retangulares.
BA CD
Ponto D (5, 0); ponto C (0,12)
Pitágoras: DC = 5 + 12 → DC = 13 m
T → paralelo a x com sentido oposto ao de i, logo: 
T → vetor unitário de CD
2 2 2
BA   = −100 .  iT ⃗ BA
CD
  =     =   = ( ,   )λ
CD
−→−
D−C
∣
∣
∣CD
−→−
∣
∣
∣
(5 − 0; 0 − 12)
13
5
13
−12
13
Assim,
  =  .     →   = ( ,   ) .  260  =  100 .  i  −  240 .  jT
⃗ 
CD
CD
−→−
T
CD
T
⃗ 
CD
5
13
−12
13
 (Fonte: iurii / Shutterstock).
Resultante de forças
Suponha um conjunto de “n” forças F , F , ...F atuando sobre um corpo. Este conjunto de forças pode ser substituído por uma
única força, cujo efeito físico sobre o corpo é equivalente.
Neste caso, essa força única é denominada resultante das forças ou, simplesmente, resultante. A �gura 8 ilustra a situação.
1 2 n
 Figura 8 – Sistema de forças que agem sobre um corpo e a resultante equivalente.
Métodos analítico e geométrico
Existem algumas maneiras de determinar a resultante das forças que atuam em corpo.
A resultante das forças que agem sobre um corpo é a soma vetorial destas forças.
Adotaremos dois métodos: o analítico e o geométrico.
Método analítico
Neste método, devemos ter todas as forças que agem sobre o corpo escritas na forma retangular e, posteriormente, somarmos
algebricamente as coordenadas semelhantes.
Matematicamente, temos:
(Equação 15)
=∑   →   = (∑ ) .  i  +   (∑ ) .  j  +   (∑ ) .  kR 
→
F
i
→
R 
→
F
x
F
y
F
z
Exemplo
Suponha três forças concorrentes que atuam sobre uma viga, tais que:
Da equação 15, temos:
F = 3 . i + 4 . j + 5 . k1 F = - 6 . i + 1 . j + 4 . k2 F = 9 . i - 3 . j - 8 . k3
= (∑ ) .  i  +   (∑ ) .  j  +   (∑ ) kR 
→
F
x
F
y
F
z
=   (3 − 6 + 9) .  i  +   (4 + 1 − 3) .  j  +   (5 + 4 − 8) .  kR 
→
=  6 .  i  +  2 .  j  +  1 .  k
R 
→
Atividade
3. Seja um corpo suportado por duas forças perpendiculares, cujos módulos valem, respectivamente, 18 N e 24 N, conforme a
�gura a seguir.
Determine:
a) A resultante das forças, na foma vetorial;
b) O módulo da resultante;
c) O valor do ângulo que a resultante forma com a horizontal.
Método geométrico
A forma geométrica para o cálculo da força resultante é denominada “regra do polígono”.
Neste caso, cada vetor será “encadeado” na seguinte ordem: origem - extremidade.
A linha poligonal formada será fechada utilizando-se um vetor, a partir da extremidade do último vetor e da origem do primeiro
vetor.
No caso da linha poligonal ser um polígono (linha poligonal fechada), a resultante das
forças é zero e o sistema estará em equilíbrio.
Observe a �gura 9 que ilustra o descrito anteriormente.
 Figura 9 – Cálculo da resultante – método dos polígonos.
Escrevendo cada força em suas componentes retangulares
Outra possibilidade de se determinar a resultante é escrever cada força em suas componentes retangulares. Depois, somam-se
todas que estão em uma dada direção (x, y e z). Ao �nal, teremos um vetor (a resultante) com suas componentes.
A �gura 10 apresenta a situação citada para o caso de forças coplanares. O método supracitado pode ser aplicado para as
situações tridimensionais.
 Figura 10 – Cálculo da resultante utilizando as coordenadas retangulares.
NOTA 3
Situação particular para determinação da resultante de duas forças e coplanares que formam um ângulo .R⃗  F ⃗  Q⃗  θ
R = F + Q + 2 . F . Q . cos( )2 2 2 θ
NOTA 4
Se = 90º, as forças são ditas retangulares. Como cos 90º = 0, a expressão resume-se ao teorema de Pitágoras, isto é,
θ
R = F + Q2 2 2
Momento de uma força em relação a um ponto
Seja uma força atuando sobre um corpo rígido no ponto de aplicação A. Considerando um ponto O, pertencente ou não ao
corpo, é possível de�nir o vetor posição do ponto de aplicação A da força F como , conforme a �gura 11.
F
⃗ 
  =  r
⃗ 
OA
−→−
É fácil notar que os vetores e são colanares, ou seja, formam um plano. O efeito desta
força sobre o corpo rígido depende do vetor posição de�nido.
r ⃗  F
⃗ 
 Figura 11 – Momento de uma força F em relação ao ponto
O.
De�ne-se momento ( ) de uma força em relação a um ponto O como o produto vetorial apresentado na equação 16.
Qualitativamente, o momento é a rotação ou a sua tendência, por ação de uma força.
M
⃗ 
F
⃗ 
(Equação 16)
  =     ×  M
⃗ 
r
⃗ 
F
⃗ 
A partir dos conhecimentos de Matemática, é possível escrever que o módulo do momento é dado por .
Mas, da �gura, é fácil escrever que:
F  .  r.  senθ
onde d é a distância do ponto O à linha de ação da força .
d  =  r .  senθ
F
⃗ 
Então, o módulo do momento pode ser dado pela expressão:
M = F . d
A direção é perpendicular ao plano formado pelo vetor posição e pela força (ou sua linha de ação) e o sentido dado pela “regra da
mão direita”.
Observe a �gura 12.
 Figura 12 - Módulo de um momento de F em relação ao ponto O.
Conhecendo-se os vetores posição (r , r , r ) e força (F , F , F ), podemos determinar o vetor momento da seguinte
maneira:
r
⃗  x y z F ⃗  x y z M⃗ 
  =M
⃗ 
∣
∣
∣
∣
∣
i
r
x
F
x
j
r
y
F
y
k
r
z
F
z
∣
∣
∣
∣
∣
A partir do determinante anterior, teremos o momento da força escrito em função de suas componentes retangulares.
Exemplo 2
Considere uma força aplicada aum corpo rígido, no ponto A (5, 2, 1). Suponha que a força F seja dada por 
.
Determine o momento da força F em relação ao ponto O (0, 0, 0).
  =  2 .  i  +  3j  −  4kF
⃗ 
Atenção
Duas observações devem ser reforçadas: momento de uma força é uma grandeza vetorial e, como se trata de um produto vetorial,
será um vetor perpendicular ao plano formado pelos vetores e .
r
⃗ 
F
⃗ 
Atividade
4. A respeito do momento de uma força F em relação a um ponto A, assinale verdadeiro ou falso:
a) O momento de uma força tende fazer o corpo rígido transladar.
b) O momento de uma força é um vetor perpendicular ao plano formado pela força e o vetor posição do ponto de aplicação dessa.
c) O momento vetor independe do ponto A.
d) O momento de uma força é nulo quando a linha de ação dessa passa pelo ponto A.
e) O momento de uma força em relação a um ponto só pode ser nulo, quando a força é zero.
f) Se os vetores e são proporcionais, o momento sempre será nulo.r ⃗  F ⃗ 
5. Uma pessoa deve soltar um parafuso de uma máquina utilizando uma “chave de boca” de 30 cm de comprimento.
Se, para deixar o parafuso na iminência de girar, é necessário um torque de 18 kgf . m, determine a menor força que esta pessoa
deve fazer para conseguir seu intuito.
6. Considere uma placa OABC de dimensões 20 x 50 cm, conforme a �gura. Ela encontra-se presa no ponto O, por um pino.
No ponto B uma força F de módulo 500 N é feita, formando um ângulo com a horizontal, tal que: sen = 7/24 e cos = 24/25.
Determine o módulo do momento de F em relação aos pontos A, B, C e O:
θ θ θ
Referências
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Jr.; EISENBERG, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática. Vol. I. 7. ed. São Paulo:
McGraw Hill - Artmed, 2006.
HIBELLER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia – Estática. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
Próxima aula
Introdução ao estudo do equilíbrio de um corpo;
Equilíbrio de um corpo em duas dimensões;
Equilíbrio de um corpo em três dimensões.
Explore mais
Assista aos vídeos:
Determinação da resultante das forças pelo método analítico <https://www.youtube.com/watch?v=3Jdd2H6nDcM> ;
Determinação e aplicações no dia a dia do momento de uma força <https://www.youtube.com/watch?v=JIRGtM34apM> .
Faça também os exercícios sobre resultante e momento de um sistema de forças do livro de Hibbeler, Estática – Mecânica para
Engenharia, da Ed. Pearson. Na 12ª edição, está no capítulo 4 (páginas 85 a 133).