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Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 1 1 Campo Magnético Introdução ao Magnetismo A que se deve o magnetismo? Os antigos gregos já sabiam que algumas rochas, procedentes de uma cidade da Ásia Menor chamada Magnésia, atraíam pedaços de ferro. Essas rochas eram formadas por um mineral de ferro chamado magnetita. Por extensão, diz-se dos corpos que apresentam essa propriedade que eles estão magnetizados, ou possuem propriedades magnéticas. Assim, magnetismo é a propriedade que algumas substâncias têm de atrair pedaços de ferro. Figura 1 – Imantação por contato (a) e por influência (b). Força de atração em ímãs (c) e entre ímãs e objetos que contém ferro (d). (a) (b) (c) (d) Os ímãs: Ímã é um corpo formado de material magnético. Os ímãs podem ser naturais, como a magnetita, ou artificiais, como o ferro doce (gusa) ou o aço aos quais tenham sido conferidas as propriedades atrativas da magnetita. Costumam ter a forma reta, de ferradura ou de agulha metálica (bússola). Os corpos podem ser magnetizados por diferentes métodos. Ao atritar um objeto de aço, sempre no mesmo sentido e com a mesma extremidade de um ímã, obtém-se um ímã por atrito. Se aproximarmos um ímã de uma agulha de costura, o ímã a atrairá, e a agulha, em seguida, atrairá limalhas de ferro. Nesse caso, ela se comporta como um ímã, mesmo separada do ímã primitivo. É que a agulha foi imantada por contato. Os ímãs artificiais são permanentes ou temporários. Ímãs de aço são permanentes: mantêm a imantação mesmo depois de haver cessado a sua causa. Os ímãs de ferro são temporários, se desmagnetisa com o tempo. A atração de um ímã sobre outros corpos é máxima nas extremidades e nula em sua parte central. As extremidades do ímã são os pólos, e o centro chamamos de linha neutra. Cada um dos pólos _ norte (N) e sul (S) _ é distinto. A maneira mais prática de reconhecê-los é aproximar uma bússola, cuja parte mais escura coincide com o pólo norte: este apontará para o pólo sul do ímã, enquanto a outra ponta da bússola, o pólo sul, se orientará para o pólo norte do ímã. Se permitirmos que a agulha da bússola se alinhe com o campo magnético terrestre, veremos que a parte escura da bússola (pólo norte) se orienta aproximadamente com o norte geográfico. Isto porque o Pólo Norte geográfico está próximo ao pólo sul magnético e vice- versa. Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 2 2 Campo Magnético Figura 2 – Orientação de uma bússula no campo magnético terrestre: Campo magnético Chama-se campo magnético de um ímã a região do espaço onde se manifestam forças de origem magnética.Um ímã cria ao redor de si um campo magnético que é mais intenso em pontos perto do ímã e se enfraquece à medida que dele se afasta como o campo gravitacional. Para representar graficamente um campo magnético, utilizam-se as linhas de força. Se colocarmos sobre um ímã, como o da figura a seguir, uma folha de papel com limalhas de ferro, estas se orientarão de acordo com o campo magnético. Na representação acima, por exemplo, as linhas de força são linhas imaginárias que reproduzem a forma como se alinharam as limalhas. O sentido das linhas, mostrado por uma ponta de seta, é escolhido de maneira arbitrária: saem do pólo norte e entram pelo pólo sul. Eletromagnetismo Os fenômenos elétricos e magnéticos possuem aspectos semelhantes. Em 1820, o físico dinamarquês Hans C. Oersted (1777-1851) demonstrou a relação existente entre eles. Aproximou uma bússola de um circuito de corrente contínua (ao que parece, acidentalmente) e observou como a agulha da bússola se desviava, colocando-se numa posição perpendicular à direção da corrente. Ao conectar os pólos do gerador ao contrário para mudar o sentido da corrente, a agulha também se desviava em sentido contrário. Dessa experiência, concluiu que: um condutor pelo qual circula uma corrente elétrica gera um campo magnético. Determinar o sentido das linhas de campo assim formadas, utiliza-se uma regra conhecida como regra da mão direita. Colocando-se a mão direita sobre o fio condutor, de modo que o polegar aponte no sentido da corrente convencional, os outros dedos dobrados fornecerão o sentido das linhas do campo magnético. Figura 3 – Ilustração das linhas de campo magnético de um ímã (a) e ímã em forma de U (b). (a) (b) Figura 4 – Ilustração da experiência de Öersted. Em (a) não há corrente. Em (b) e (c) as correntes causam deflexões na bússula. Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 3 3 Campo Magnético Para visualizar o campo magnético gerado por um fio condutor retilíneo, a experiência é a seguinte: atravessa-se uma cartolina com um fio condutor ligado aos pólos de um gerador; espalham-se limalhas de ferro ao redor do fio e elas se orientam formando círculos concêntricos de acordo com as linhas de força. A mesma regra da mão direita, também conhecida como regra do saca-rolhas, é usada para determinar o sentido das linhas de força.. Imagine um saca-rolhas avançando. Para tanto, ele é girado num sentido. Se o sentido do avanço coincide com o sentido da corrente elétrica, então o sentido das linhas de força coincide com o sentido de giro do saca-rolhas. Disso se conclui: 1) Uma carga elétrica gera um campo elétrico; 2) Uma carga elétrica em movimento cria também um campo magnético; 3) Para expressar a existência dos dois campos, diz-se que a corrente elétrica gera um campo eletromagnético. O eletromagnetismo estuda as relações entre correntes elétricas e fenômenos magnéticos. A fonte do campo magnético estacionário pode ser um imã permanente, um campo elétrico variando linearmente com o tempo ou uma corrente contínua. Vamos ignorar o imã permanente e deixar o campo elétrico variante no tempo para uma discussão posterior. Nossas relações atuais dizem respeito ao campo magnético produzido por um elemento diferencial de corrente contínua no espaço livre. Podemos imaginar este elemento diferencial de corrente como uma seção diminuta de um condutor filamentar, onde um condutor filamentar é o caso limite de um condutor cilíndrico de seção reta circular com o raio tendendo a zero. Consideramos uma corrente I fluindo em um vetor de comprimento diferencial dL do filamento. A lei de Biot-Savart' afirma que, em qualquer ponto P, a magnitude da intensidade do campo magnético produzido pelo elemento diferencial é proporcional ao produto da corrente pela magnitude do comprimento diferencial e pelo seno do ângulo entre o filamento e a linha que une o filamento ao ponto P onde se deseja conhecer o campo; ainda, a magnitude da intensidade de campo magnético é inversamente proporcional ao quadrado da distância do elemento diferencial ao ponto P. A direção da intensidade do campo magnético é normal ao plano que contém o filamento diferencial e a linha desenhada a partir do filamento ao ponto P. Das duas normais possíveis, a escolhida deve ser aquela que está no sentido de progresso de um parafuso direito ao giramos a partir de áL através do menor ângulo até a linha do filamento a P. Usando as unidades do sistema mks, a constante de proporcionalidade é 1/4π. A lei de Biot-Savart, descrita acima com cerca de 150 palavras, pode ser escrita concisamente usandoa notação vetorial como: 32 44 ˆ R RlId R alIdHd R ππ GGGG ×=×= Figura 5 – Ilustração da geometria para calcular o campo devido a um elemento de corrente. Raˆ As unidades da intensidade do campo magnético H são evidentemente ampéres por metro (A/m). A geometria está ilustrada na Figura 4. Índices podem ser usados para indicar o ponto ao qual cada uma das grandezas em (l) se refere. Se localizarmos o elemento de corrente no ponto l e descrevermos o ponto 2 como o ponto P no qual o campo deve ser determinado, então: 2 12 '' 2 4 ˆ 12 R aldI Hd Rπ ×= GG Indução Magnética B: Definimos o vetor indução por: HB GG 0µ= Aqui, µ0 é chamado de permeabilidade magnética do vácuo. 2 7 0 1044 A N mk −⋅== ππµ Unidade: Tesla T Nikola Tesla: Nascido em 07/10, 1856 em Smiljan, Lika (Áustria-Hungria) - janeiro em 7, 1943 em New York City, (EUA) Treinando para uma carreira da engenharia, atendeu à universidade técnica em Graz, em Áustria, e na universidade de Praga. Em Graz que o viu primeiramente o dynamo do grama, que se operou como um gerador e, quando invertido, se transformou um motor elétrico, e conceived uma maneira usar a corrente alterna à Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 4 4 Campo Magnético vantagem. Mais tarde, em Budapest, visualizou o princípio do campo magnético girando e desenvolveu plantas para um motor de indução que se transformasse sua primeira etapa para a utilização bem sucedida da corrente alterna. Em 1882 Tesla foi trabalhar em Paris para os Continental Edison Companhia, e, quando na atribuição a Strassburg em 1883, construiu, em após-trabalhe horas, seu primeiro motor de indução. Tesla sailed para América em 1884, chegando em york novo, com quatro centavos em seu bolso, em alguns de seus próprios poemas, e em cálculos para uma máquina do vôo. Encontrou primeiramente o emprego com Thomas Edison, mas os dois inventores eram distantes distantes no fundo e nos métodos, e sua separação era inevitável. Em maio 1885, George Westinghouse, cabeça do Westinghouse Elétrico Companhia em Pittsburgh, comprou as direitas de patente ao sistema polifásico de Tesla de dynamos, de transformadores, e de motores da corrente alternada. A transação precipitated um esforço titanic do poder entre sistemas de Edison de corrente contínua e a aproximação da corrente alternada de Tesla-Tesla-Westinghouse, que ganhou eventualmente para fora. Tesla estabeleceu logo seu próprio laboratório, onde sua mente inventive poderia ser dada a rédea livre. Experimentou com os shadowgraphs similares àqueles que deviam mais tarde ser usadas por Wilhelm Röntgen quando descobriu raios X em 1895. As experiências incontáveis de Tesla incluíram o trabalho em uma lâmpada da tecla do carbono, no poder do resonance elétrico, e em vários tipos de lighting. Tesla deu exhibitions em seu laboratório em que iluminou lâmpadas sem fios permitindo que a eletricidade corra através de seu corpo, para allay medos da corrente alterna. Foi convidado frequentemente lecture no repouso e no exterior. A bobina de Tesla, que inventou em 1891, é usada extensamente hoje em jogos do rádio e de televisão e no outro equipamento eletrônico. Que ano marcado também a data do citizenship unido dos estados de Tesla. Westinghouse usou o sistema de Tesla iluminar a exposição columbian do mundo em Chicago em 1893. Seu sucesso era um fator em ganhá-lo o contrato para instalar a primeira maquinaria do poder nas quedas de Niagara, que furam números do nome e da patente de Tesla. O projeto carregou o poder ao búfalo por 1896. Em Tesla 1898 anunciado sua invenção de um barco teleautomatic guiado pelo controle remoto. Quando o skepticism foi exprimido, Tesla provou suas reivindicações para ele antes de uma multidão no jardim quadrado de Madison. Em Colorado salta, Colo., onde permaneceu de maio 1899 até 1900 adiantado, Tesla feito o que considerou como sua descoberta mais importante -- ondas estacionárias terrestrial. Por esta descoberta provou que a terra poderia ser usada como um condutor e seria tão responsiva quanto uma forquilha ajustando às vibrações elétricas de alguma freqüência. Também iluminou 200 lâmpadas sem fios de uma distância de 25 milhas (40 quilômetros) e criou o relâmpago sintético, produzindo os flashes que medem 135 pés (41 medidores). Em uma vez estava certo que tinha recebido sinais de um outro planeta em seu laboratório de Colorado, uma reivindicação que fosse encontrada com com o derision em alguns jornais científicos. Retornando a york novo em 1900, Tesla começou a construção no console longo de uma torre transmitindo do mundo wireless, com o capital $150.000 do financeiro americano J. Pierpont Morgan. Tesla reivindicou-ele do fixou o empréstimo atribuindo 51 por cento de suas direitas de patente o telephony e o telegraphy a Morgan. Esperou fornecer uma comunicação worldwide e fornecer facilidades para emitir retratos, mensagens, avisos do tempo, e os relatórios conservados em estoque. O projeto foi abandonado por causa de um pânico financeiro, de uns problemas labour, e de uma retirada de Morgan da sustentação. Era a derrota a mais grande de Tesla. O trabalho de Tesla deslocou então to as turbinas e os outros projetos. Por causa de uma falta dos fundos, suas idéias remanesceram em seus cadernos, que são examinados ainda por coordenadores para indícios unexploited. Em 1915 foi decepcionado severamente quando um relatório que e Edison deviam compartilhar do prêmio de Nobel provou errôneo. Tesla era o receptor da medalha em 1917, a honra a mais elevada de Edison que o instituto americano de coordenadores elétricos poderia bestow. Tesla permitiu-se somente alguns amigos próximos. Entre eles eram os escritores Robert Underwood Johnson, marca Twain, e Francis Marion Crawford. Era completamente pouco prático em matérias financeiras e em um excêntrico, dirigido por compulsions e por um phobia progressivo do germe. Mas teve uma maneira intuitively de detetar segredos científicos escondidos e de empregar seu talent inventive para provar suas hipóteses. Tesla era um godsend aos repórteres que procuraram a cópia do sensational mas um problema aos editores que eram incertos como seriamente seus prophecies futuristic devem ser considerados. O criticism cáustico cumprimentou seus speculations a respeito de uma comunicação com outros planetas, suas afirmações que poderia rachar a terra como uma maçã, e sua reivindicação de ter inventado um raio da morte capaz de destruir 10.000 aviões em uma distância de 250 milhas (400 quilômetros). Após a morte de Tesla o curador da propriedade estrangeira impounded seus troncos, que prenderam seus papéis, seus diplomas e outras honras, suas letras, e suas notas do laboratório. Estes foram herdados eventualmente pelo nephew de Tesla, Sava Kosanovich, e abrigados mais tarde no museu de Nikola Tesla em Belgrado. As centenas arquivaram na catedral da cidade de york novo de St. John o divine para seus serviços funeral, e uma inundação das mensagens reconheceu a perda de um gênio grande. Três receptores premiados de Nobel dirigiram-se a seu tributo a "um dos intellects proeminentes do mundo que pavimentou a maneira para muitos dos desenvolvimentos technological de épocas modernas." (I.W.H.) Invenções: transformador um repetidor do telefone, um princípio girando do campo magnético, um sistema polifásico da corrente alternada, um motor de indução, uma transmissão de poder da corrente alternada, de uma bobina de Tesla, uma comunicação wireless, rádio, luzes fluorescentes, e mais de outras 700 patentes. Hans ChristianOersted agosto nascido 14, 1777, Rudkøbing, Dinamarca - março 9, 1851, Copenhaga Hans Christian Oersted nasceu na Dinamarca, era filho de um farmacêutico e estudou Filosofia na Universidade de Copenhague. Depois de viajar pela Europa, retomou àquela universidade e ali trabalhou como professor e pesquisador, desenvolvendo várias pesquisas no campo da Física e da Química. Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 5 5 Campo Magnético Exemplo 1 - Dados os seguintes valores para P1, P2, e I1∆l1, calcular ∆H2 em: (a) P1(0, 0, 2) e P2( 4, 2, 0) 2pazµA/m. (b) P1(0, 2, 2) e P2( 4, 2, 3) 2pazµA/m. (c) P1(1, 2, 3) e P2( 3, -1, 2) 2p(-ax+ay+az )µA/m. (a) P1(0, 0, 2) e P2( 4, 2, 0) 2pazµA/m. zyx aaaPPR ˆ2ˆ2ˆ41212 −+=−= G ( ) 24224 2221212 =−++== RRG zyxR aaaR Ra ˆ 24 2ˆ 24 2ˆ 24 4ˆ 12 12 12 −+== G 2 12 '' 2 4 ˆ 12 R aldI Hd Rπ ×= GG ( )22 244 ˆ 24 2ˆ 24 2ˆ 24 4ˆ2 π πµ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+× = zyxz aaaa Hd G ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= xy aaHd ˆ24 2ˆ 24 4 482 µG ( )mnAaaHd yx ˆ01,17ˆ05,82 +−=G Exemplo 2 – Um filamento de corrente conduzindo 15A na direção z está situado ao longo do eixo z. Determine H em coordenadas cartesianas se: (a) PA( 20 , 0, 4); (b) PB( 2, -4, 0). 32 44 ˆ R RlId R alIdHd R ππ GGGG ×=×= zazr ˆ′=′G zx aar ˆ4ˆ20 +=G zx azarrR ˆ)4(ˆ20 ′−+=′−= GG G ( ) 22 )4(20 zR ′−+= 2)4(20 zR ′−+= zazdlId ˆ15 ′= G 34 R RlIdHd π GGG ×= ( )( ) ( )( ) 2324204 ˆ4ˆ20ˆ15 z azaazdHd zxz ′−+ ′−+×′= π G ( )( ) yazzdHd ˆ4204 2015 232′−+ ′= π G ( )( ) yazzdH ˆ4204 2015 232∫ +∞ ∞− ′−+ ′= π G ya z zdH ˆ 20 4120 4 2015 232 23 ∫+∞ ∞− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ′−+ ′= π G ya z zdH ˆ 20 41 20204 2015 232∫ +∞ ∞− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ′−+ ′= π G Chamando: θθ tgzztg 204 20 4 −=′⇒′−= θθdzd 2sec20−=′ ( ) yatg dH ˆ 1 sec20 16 3 232 2∫+∞ ∞− + −= θ θθ π G ( ) ya dH ˆ sec sec 16 203 232 2∫+∞ ∞− −= θ θθ π G ya dH ˆ sec sec 16 203 3 2∫+∞ ∞− −= θ θθ π G ya dH ˆ sec16 203 ∫+∞ ∞− −= θ θ π G yadH ˆcos16 203 ∫+∞ ∞− −= θθπ G y z z asenH ˆ16 203 +∞=′ −∞=′ −= θπ G Como: θθ 2cos1−=sen θθ 21sec tg+= θθ 21 1cos tg+ = Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 6 6 Campo Magnético θθ 21 11 tg sen +−= θ θθ 21 tg tgsen + = 20 4 ztg ′−=θ ya z z H ˆ 20 41 20 4 16 203 2 +∞ ∞− ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ′−+ ′− −= π G ya z zH ˆ )4(20 4 16 203 2 +∞ ∞−′−+ ′−−= π G y zz a z z z zH ˆ )4(20 4 )4(20 4 16 203 22 limlim ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ′−+ ′−−′−+ ′−−= −∞→′+∞→′π G [ ] yaH ˆ1116 203 −−−= π G yaH ˆ16 206 π= G yaH ˆ4 53 π= G m A yaH ˆ53,0= G Campo magnético gerado por um condutor circular Um condutor de forma circular chama-se também espira. Pode-se comprovar experimentalmente que as linhas de força são como as descritas para o condutor reto em cada uma das interseções do condutor com o plano perpendicular ao eixo. Uma espira, figura ao lado, se comporta como um pequeno ímã Figura 6 – Ilustração da regra da mão direita . Se observarmos sua face dianteira, comprovaremos que todas as linhas entram por ela. Como nos ímãs, diremos que é a face sul e a corrente circula no mesmo sentido que os ponteiros do relógio. A face posterior será a face norte. Dela saem as linhas de força e a corrente circula no sentido contrário aos ponteiros do relógio. Outra regra prática para reconhecer os pólos de uma espira consiste em desenhar um N ou um S; as pontas de seta das extremidades das letras indicam o sentido da corrente. Solenóides Se em vez de uma única espira pegarmos um fio condutor, de cobre, por exemplo, e o enrolarmos em espiral formando um conjunto de espiras iguais e paralelas e nele estabelecermos uma corrente elétrica, obteremos um solenóide ou bobina. Figura 7 – Solenóide. O solenóide comporta-se, em seu exterior, como um ímã reto, com seus dois pólos. Do pólo norte saem as linhas de força que retornam ao solenóide por seu pólo sul e, em seu interior, elas se fecham deslocando-se de sul a norte. Diferentemente do que ocorre num ímã reto, somando- se todos os efeitos das espiras gera-se, no interior da bobina, um campo magnético muito intenso e uniforme. Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 7 7 Campo Magnético Em seu interior, a agulha de uma bússola se orienta paralelamente ao eixo da bobina. Da mesma forma que um ímã, o solenóide atrairá objetos de ferro. Assim, se o pendurarmos para que possa girar livremente, ele se orientará no campo magnético da Terra como uma agulha magnética. Os solenóides exercem uns sobre os outros forças de atração e repulsão como as que existem entre os ímãs. Eletroímãs Se colocarmos uma barra de ferro chamada núcleo no interior de um solenóide, teremos um eletroímã. Com a passagem da corrente, o conjunto age como um poderoso ímã. O aumento do campo magnético acontece porque o ferro doce imanta-se, por estar no campo magnético produzido pelo solenóide, e produz seu próprio campo magnético, que é somado ao do solenóide. Ao cessar a passagem da corrente, o campo magnético do solenóide desaparece. Daí por que o eletroímã é um ímã temporário. Os eletroímãs têm muitas aplicações no dia-a-dia como nas campainhas elétricas. Figura 8 – Esquema de uma campainha. No esquema de uma campainha elétrica percebe-se seu funcionamento. Com o circuito aberto, não passa corrente e o eletroímã não atua. Ao fechar o circuito com um aperto do botão, a corrente passa a circular por ele, acionando o eletroímã que atrai a vareta metálica que golpeia a campainha. Assim, o circuito se abre, cessa a atração e a vareta metálica volta à sua posição inicial, fechando novamente o circuito. O processo se repetirá enquanto o interruptor estiver apertado. Correntes induzidas e correntes alternadas Uma corrente elétrica produz magnetismo. O efeito contrário é possível? O físico inglês Michael Faraday demonstrou que sim. Em determinadas condições, um campo magnético gera corrente elétrica: ele ligou uma bobina a um amperímetro e, ao introduzir rapidamente um ímã na bobina, o amperímetro assinalava passagem de corrente. É a indução eletromagnética. Um ímã em movimento gera uma corrente elétrica em um fio condutor: é a corrente induzida. Se em vez de introduzir o ímã o retirarmos, a corrente assume o sentido inverso. Se aproximarmos ou afastarmos a bobina em vez do ímã, o resultado será idêntico. A aplicação mais importante da indução é a produção de corrente elétrica. Se fizermos girar a espira no interior do campo magnético do ímã, produz-se uma corrente induzida. Conforme a figura, a cada meia-volta da espira, a corrente muda de sentido: é uma corrente alternada. Os alternadores, componentes do sistema elétrico dos carros, são geradores de corrente alternada. Funcionam com base na descoberta de Faraday. Modificações na montagem dos coletores e escovas (contatos entre a espiramóvel e o circuito no qual vai circular a corrente induzida) podem originar os geradores de corrente contínua, como são os dínamos de bicicletas. Linhas de Força do campo Magnético A figura abaixo mostra a disposição de limalhas de ferro colocadas em um papel próximo a um ímã. As linhas de força estão mostradas na figura abaixo. Veja a situação em que há dois pólos iguais (repulsão) e dois pólos diferentes (atração). Figura 9 – Linhas de força do campo magnético de um ímã com pólos iguais (a) e pólos opostos (b). (b) Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 8 8 Campo Magnético (a) (b) Figura 10 – Partículas espiralando (a) no campo magnético terrestre (b). O campo Magnético Terrestre: Há no interior do Planeta, um movimento de magma complicado, constituído de diversos elementos derretidos a altas temperaturas, que atuam como se fossem um magneto, com o pólo norte magnético aproximadamente próximo ao pólo Sul geográfico e o pólo sul magnético aproximadamente próximo ao pólo Norte Geográfico. A figura ilustra o campo magnético Terrestre. O momento de dipolo magnético terrestre, tem um valor aproximadamente de 8,0.1022 J/T. O eixo do dipolo faz um ângulo de aproximadamente 11,50 com o eixo de rotação Terrestre. Devido às aplicações em navegação, o campo magnético Terrestre tem sido estudado por vários anos. As quantidades de interesse, são a magnitude e direção do campo terrestre em diferentes localidades. Estudos mostram que há reversão na polaridade aproximadamente a cada milhão de anos. A interação com partículas provenientes do chamado vento solar (prótons, elétrons provenientes de explosões solares), com o campo magnético terrestre, provoca modificações espaciais na forma do campo magnético Terrestre. As partículas são armazenadas no campo magnético Terrestre, formando os chamados cinturões de radiação de Van Allen, que estão acima da atmosfera Terrestre, entre os pólos norte e sul magnéticos. As partículas são armadilhadas nesses cinturões, e nas regiões próximas aos pólos Norte e Sul Geográficos, como as linhas de campo são mais intensas, estando a uma altitude mais baixa, cerca de 100 km, as partículas chocam-se com as moléculas de N2 e a átomos de O, gerando luz de cores rosa e verde, respectivamente. Tal fenômeno é chamado de aurora boreal. Figura 11 – Componentes do campo magnético terrestre (a) e aurora boreal (b). (a) (b) Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 9 9 Campo Magnético Figura 12 – O vento Solar. • Cinturões de radiação – Texto extraído de: www-spof.gsfc.nasa.gov/Education/Iradbelt.html Radiation Belts Figura 13 – Trajetória de partícula aprisionada pelo campo magnético terrestre. O movimento de íons energéticos e elétrons no espaço é regido fortemente pelo campo magnético local. O movimento básico é a rotação das linhas de campo magnético em fileira, enquanto deslizando ao mesmo tempo ao longo dessas linhas, dando para as partículas uma trajetória espiral. Em linhas de campo típicas, volta-se para a Terra até o final das linhas, e tal movimento conduz as partículas a seguir na atmosfera onde elas colidiriam e perderiam a energia. Porém, uma característica adicional de movimento apanhado normalmente impede isto de acontecer: o movimento corrediço reduz a velocidade como os movimentos de partícula em regiões onde o campo magnético é forte, pode parar e até mesmo inverter o movimento. É como se as partículas fossem repelidas de tais regiões, um contraste interessante com ferro para o qual é atraído onde o campo magnético é forte. A força magnética é muito mais forte perto da Terra que longe, e em qualquer linha de campo está maior nos fins onde a linha entra na atmosfera. Assim elétrons e íons podem permanecer apanhados por muito tempo e podem saltar de um lado para outro de um hemisfério para o outro (veja quadro acima, não escalar a espiral atual, que se encontra muito perto de Terra). Deste modo a Terra se agarra a seus cintos de radiação. Além de espiralar e saltar, as partículas apanhadas também lentamente vão de uma linha de campo para outra, indo todo o modo gradualmente ao redor de Terra. Íons acumulam um modo (à direita, do norte), elétrons o outro, e em qualquer movimento, a carga de elétricas é equivalente a uma corrente elétrica que circula a Terra à direita. Isso é a corrente de anel denominada cujo campo magnético debilita o campo ligeiramente observada em cima da maioria da superfície da Terra. Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 10 10 Campo Magnético Durante tempestades magnéticas a corrente de anel recebe muitos íons adicionais e elétrons do lado escuro " forma fileira " da magnetosfera e seu efeito aumenta, entretanto, à superfície da Terra, sempre é um efeito muito pequeno e raramente excede só 1% da intensidade de campo magnética total. • Descoberta do Cinto de Radiação Antes de 1958 os cientistas estavam bastante atentos em íons e elétrons que pudessem ser apanhados pelo campo magnético da Terra, mas não se comprovou de fato se tais partículas existiram. No máximo foi proposto que durante tempestades magnéticas uma população apanhada temporária criava um anel atual e se deteriora novamente com o final da tempestade. Os anos 1957-8 foram designados como o " Ano " Geofísico Internacional (IGY), e o EUA e a União Soviética (a Rússia) prepararam lançamentos de satélites artificiais. A Rússia prosperamente conseguiu colocar em órbita seu primeiro satélite Sputnik em 4 de outubro de 1957, mas o satélite dos EUA, Vanguard, falhou em seu lançamento, retardando assim a entrada oficial dos EUA. Os EUA construíram um foguete alternativo que levava um satélite diferente, o Explorer 1, pequeno e construído por James Van Allen e o time dele na Universidade de Iowa. Rapidamente foi lançado 31 janeiro, 1958. Lançamento do Explorer 1 Figura 14 – Lançamento do Explorer 1. O Explorer 1 levava um instrumento, um detector pequeno de partículas energéticas, um contador Geiger projetado para observar raios cósmicos (íons de energia muito alta e de origem desconhecida, chegando a Terra do espaço). A experiência se realizou muito bem a baixas altitudes, mas ao topo da órbita não foi contada nenhuma partícula. O Explorer 3 que seguiu dois meses depois gravou em fita um registro contínuo de dados que revelaram que as contas 0 na verdade representaram um nível muito alto de radiação. Tantas partículas energéticas bateram no contador às altitudes mais altas que seu modo de operação foi subjugado e nada registrou. Não só era estava presente o cinto de radiação a todo o momento, como era notavelmente intenso. • Os Cinturões de Radiação da Terra A Terra tem duas regiões de partículas rápidas apanhadas. O cinto de radiação interna descoberto por Van Allen é relativamente compacto e estende talvez um raio de Terra sobre o equador (1 RT = 6371 km ou aproximadamente 4000 milhas). Consiste de prótons muito energéticos, um subproduto de colisões por íons de raios cósmicos com átomos da atmosfera. O número de taisíons é relativamente pequeno, e o cinto interno acumula lentamente, mas porque apanhando perto de Terra são alcançadas intensidades muito estáveis, bastante altas, embora a formação deles possa ocupar anos. Mais para fora é a região grande do anel atual e contém íons e elétrons de muita mais baixa energia (o mais enérgico entre eles também conhecido como o " cinto " de radiação exterior). Distinto o cinto interno, esta população flutua amplamente e sobe quando tempestades magnéticas injetam partículas frescas do rabo do magnetosfera e caem gradualmente. O anel de energia atual é principalmente levado pelos íons, a muitos dos quais são prótons. Porém, há também no anel partículas alfa (que são núcleos de átomos de hélio, que perdeu os dois elétrons), um tipo de íon que é abundante na radiação proveniente do vento solar; uma certa porcentagem é a de íons de O+ (oxigênio), semelhante aos que existem na ionosfera da Terra, entretanto, muito mais energético. Esta mistura de íons sugere que as partículas do anel provavelmente vêm de mais de uma fonte. Energia e Partículas Energéticas Energia é a moeda corrente na quais processos naturais devem ser custeados: acelerar movimentos, virar uma máquina, para fazer o sol lustrar ou dirigir uma corrente elétrica por um arame, uma quantidade de energia é necessária. Uma lei fundamental de estados da natureza é a que diz que a energia nunca desaparece, só muda sua forma: por exemplo, pode ser convertida a energia de luz solar em eletricidade por uma célula solar, ou a energia do vento é convertida por um moinho de vento. Fenômenos do espaço envolvem energia em duas balanças muito diferentes. Uma balança envolve a energia de íons individuais e elétrons que freqüentemente movem a uma fração respeitável da velocidade de luz (um limite superior que eles nunca podem alcançar). Quanto mais rápido a partícula se move, mais alto sua energia e maior é a espessura de material necessário para detê-las. As Energias de partículas gostam estes são medidas em elétrons-volt (eV): elétrons da aurora têm 1000-15,000 eV, prótons Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 11 11 Campo Magnético no cinto interno talvez 50 milhões de eV, enquanto a energia de íons de raio cósmicos podem alcançar muitos bilhões. Em contraste, moléculas de ar na atmosfera só têm aproximadamente 0.03 eV, elevando o que poderia ser a pergunta mais fundamental em pesquisa de espaço: como algumas partículas adquirem tanta energia? A outra balança é um fenômeno espacial global: tempestades magnéticas, nas regiões boreais exibem correntes elétricas que unem Terra e espaço. Quem caminha a conta de energia ? A fonte principal de energia parece ser o vento solar, mas a maneira pelos quais esta energia é transportada e é distribuída na magnetosfera não são contudo completamente claro. • Órbita síncrona Provavelmente o maior número de satélites operacionais, mais que 200, habitam a órbita síncrona denominada, uma órbita circular sobre o equador da Terra com um rádio de 6.6 RT (raio de Terra), aproximadamente 42,000 km ou 26,000 milhas. A aceleração orbital de qualquer satélite depende de sua distância da Terra. Em uma órbita circular fora da atmosfera densa, um satélite precisa de só 90 minutos para uma órbita completa, mas satélites mais distantes movem mais lentamente, e a um rádio de 6.6 RT o período está perto de 24 horas e emparelha o período de rotação da Terra. Um satélite a esta distância, sobre o equador, sempre fica sobre a mesma mancha na Terra, e quando se vê da Terra (diga-se, por uma TELEVISÃO) sempre está na mesma direção no céu. Isto faz a órbita síncrona o lugar perfeito para satélites dedicados a comunicações e para radiodifusão, e também é usado para monitorar o tempo no mundo inteiro, por exemplo, pelo VAI série de satélites de NOAA (Administração Oceânica e Atmosférica Nacional). A órbita síncrona também é útil para trabalhos científico, porque mapeia totalmente o anel da magnetosfera “noite da Terra”. Lei de Lorentz e Movimento de uma partícula na região de um campo magnético Uniforme. Uma carga em movimento quando em uma região onde atua um campo elétrico E e um campo magnético B está sujeita à chamada força de Lorentz: BvqEqF GGGG ×+= O sentido da força F é dado pela regra da mão esquerda (para carga q positiva): INDICADOR NO SENTIDO DE B, O DEDO MÉDIO NO SENTIDO DE v E O POLEGAR DARÁ O SENTIDO E DIREÇÃO DE F. Quando a carga q é negativa , o sentido é ao contrário. Escreve-se a força magnética BvqFm GGG ×= zyx zyxm BBB vvv kji qF ˆˆˆ =G Onde aqui, kvjvivv zyx ˆˆˆ ++=G e kBjBiBB zyx ˆˆˆ ++= G θsenBvqF =G , onde θ é o ângulo entre vG e BG . Nos exemplos abaixo indicamos diversas situações onde uma partícula de carga q penetra na região de um campo magnético B, com velocidade v, dando a força F que aparece. Exemplo 3 – Campo entrando no campo do papel : jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ =⇔−== GGG F G B G + + j vG i k Exemplo 4 – Campo entrando, carga negativa : jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ −=⇔−== GGG F G B G - - j vG i k Exemplo 5 – Campo saindo,carga positiva : jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ −=⇔== GGG F G B G + + j vG i k Exemplo 6 – Campo saindo,carga positiva : jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ =⇔== GGG F G B G - - j vG i k Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 12 12 Campo Magnético Exemplo 7 – Campo saindo,carga positiva : jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ =⇔=−= GGG F G B G + + j i vG k Exemplo 8 – Campo saindo,carga negativa : jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ −=⇔=−= GGG F G B G - - j i vG k Exemplo 9 – Campo entrando no campo do papel : jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ =⇔−=−= GGG F G B G + + j i vG k Exemplo 10 – Campo entrando, carga negativa : qvBiFkBBjvv =⇔−== GGG ˆ,ˆF G B G - - j i vG k Exemplo 11 – Campo entrando no campo do papel, carga negativa: iqvBFkBBjvv ˆˆ,ˆ =⇔−== GGG B G v G - j F G i k Exemplo 12 – Campo entrando no campo do papel, carga positiva: iqvBFkBBjvv ˆˆ,ˆ −=⇔−=−= GGG B G v G - j F G k i Exemplo 13 –Partícula com carga positiva entrando no campo do papel: jqvBFiBBkvv ˆˆ,ˆ −=⇔=−= GGG B F Exemplo 14 –Partícula com carga negativa entrando no campo do papel: jqvBFiBBkvv ˆˆ,ˆ =⇔=−= GGG F B Quando a partícula penetra numa direção v qualquer, somente a componente perpendicular ao campo causará a força magnética. Então é necessário decompor a velocidade nas componentes perpendicular e paralela ao campo: //vvv GGG += ⊥ Observe que uma partícula carregada que entra numa região de campo magnético uniforme não sofre atuação de força magnética. Uma partícula neutra também não sofre atuação de força nenhuma. A figura ilustra uma partícula entrando numa direção qualquer. Figura 15 – Componentes da velocidade (a) e movimento de uma partícula numa região onde há um campo eletromagnético (b) e (c). Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 13 13 Campo Magnético Quando uma partícula carregada penetra na região de um campo magnético uniforme, ela descreve um movimento circular uniforme na região de campo magnético uniforme, como mostra a figura a seguir. Figura 16 – Movimento de uma partícula carregada numa região de campo magnético uniforme. Assim, a resultante centrípeta é a força magnética: qB mvRqvB R vmFcp =⇒== 2 R é o raio da órbita. Se quisermos calcular o período: qB mTqB R vm T Rv ππ 22 =⇒=⇒= A freqüência desse movimento é: m qBf T f π2 1 =⇒= Figura 17– Dispositivo de Thomson para determinar a razão e/m de um raio catódico (a) mostrando os campos B e E cruzados; dispositivo original usado por Thomson (b). Figura 18 – O espectrômetro de massa de Bainbridge utiliza um seletor de velocidades para produzir partículas com velocidade constante v. Na região de campo magnético, as partículas com maiores velocidade produzem trajetórias de raios maiores. Existem aparelhos com aplicações em alta Tecnologia, como Cyclotrons e Sincrotrons. Tais aparelhos sofisticados produzem partículas a altas velocidades com objetivo de provocar radiação por meio da desaceleração dessas articulas. A interação dessa radiação com a matéria é de fundamental importância para estudar as propriedades físicas e químicas de novos materiais. Figura 19 – O Cyclotron (a) e o Cern (b). O Fermilab (c) e o LNLS (d) (a) Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 14 14 Campo Magnético (b) (c) O círculo maior mostra o Supercondicting Super Collider (SSC) em uma foto de satélite de Washington DC. O círculo intermediário é o acelerador europeu CERN na Suíça e o círculo menor corresponde às dimenões do acelerador Fermilab. (d) O Laboratório Nacional de Luz Síncrotron (LNLS) oferece a cientistas condições excepcionais para realizarem pesquisas com nível de competitividade mundial. Vimos que a corrente elétrica, na experiência de Oersted, provoca o aparecimento de um campo magnético que circula o fio, cujo sentido e direção e é dado pela regra da mão direita REGRA DA MÃO DIREITA: Polegar no sentido de I e vetor indução B saindo da palma da mão. Lembrando que cargas que atravessam um comprimento L de um fio num intervalo de tempo definem a corrente elétrica, na expressão BILB t LqqvBF =∆== . Podemos representar um elemento de força magnética em um elemento de fio dl dado por: BlIdFd GGG ×= Aqui, ld G aponta para o sentido convencional da corrente I (contrário ao real, do movimento dos elétrons). Analisando o elemento de vetor indução magnética Bd G ,devido a esse elemento de fio Idl, Ampére deduziu a seguinte equação, também chamada de Lei de Biot-Savart: 2 0 ˆ 4 r rlIdBd ×= GG π µ Essa equação é análoga à Lei de Coulomb, para o caso da eletricidade. Aqui, µ0 é chamado de permeabilidade magnética do vácuo. 2 7 0 1044 A N mk −⋅== ππµ Podemos escrevê-la também com a definição do vetor campo magnético H: 2 ˆ1 4 RIdl adH rπ ×= GG Onde: ˆR r ra r r ′−= ′− G G G G Aqui, os vetores: rG : é orientado do elemento de corrente Idl até o ponto P onde queremos calcular o campo H. r′G : é orientado da origem O do sistema de coordenadas ao elemento de corrente Idl. Combinando a Lei de Biot-Savart com a expressão da força sobre um elemento de corrente num campo magnético, podemos escrever uma equação da força exercida por uma corrente elementar sobre outra. A força sobre o elemento de corrente I2dl2 exercida pelo elemento I1 dl1 é dada por: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ××= 2112212 ˆ r rldIkldIFd m GGG Esta relação diz que: A força exercida pela corrente elementar 1 sobre o elemento 2 não é igual e oposta à força exercida pelo elemento 2 sobre o elemento 1. As forças não obedecem à Lei de Newton de Ação e Reação. Na maioria das situações as correntes elementares são partes de um circuito completo, existindo forças sobre eles de outros elementos do circuito. A análise da força total exercida sobre um circuito pelo outro mostra que esta força obedece à terceira Lei de Newton. Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 15 15 Campo Magnético Uma semana depois de ter ouvido falar da descoberta de Oersted sobre o efeito da corrente em uma agulha imantada, Ampére descobria que duas correntes paralelas se atraíam quando tinham a mesma direção e sentido e duas correntes opostas se repeliam. Podemos calcular a força de um condutor sobre outro por meio da equação: Escrevemos: 2112112212 BlIFBlIF GGGGGG ×=⇔×= . Assim: r lIIk BlIF m 22112212 2=×= GG r IIk l F m 21 2 2 2= Figura 20 – Força sobre uma carga positiva se movendo em um condutor que transporta corrente. Figura 21 – Força magnética F sobre um elemento de fio l que transporta uma corrente I, Figura22– (a) Os três vetores indução magnética B, força magnética F e elemento l que transporta uma corrente. (b) Se o sentido de B se inverte, o mesmo ocorre com o sentido de F. (c) Invertendo o sentido da corrente, l se inverte e a força F retorna ao sentido de (a). Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 16 16 Campo Magnético Figura 22 – Componentes de um alto falante (a). O ímã permanente cria um campo magnético que exerce uma força sobre a bobina do alto falante; para a corrente I no sentido indicado, a força está indicada. Quando uma corrente elétrica oscilante percorre a bobina do alto falante, o cone ligado à bobina oscila com a mesma freqüência (b). Figura 23 – Força magnética entre dois fios percorridos por uma corrente. Definição do Ampére: Quando dois condutores retilíneos e paralelos, estão separados por uma distância de um metro, são percorridos por duas correntes iguais, a intensidade de cada uma é um ampére, quando a força por unidade de comprimento dos condutores é de 2 . 10-7 Newtons por metro. Quando os fios são percorridos por correntes em sentidos opostos. A Lei de Ampére Observamos que as linhas de indução de campo de uma corrente retilínea eram circulares em torno de um condutor. Essas linhas são completamente diversas das de qualquer campo elétrico que encontramos. O campo elétrico é conservativo. O trabalho realizado por uma carga elétrica puntiforme de prova quando ela desloca um círculo no campo é nulo. Esse trabalho é igual, por unidade de carga, à E .dl ao longo da trajetória. A integral de linha do campo eletrostático sobre qualquer trajetória é nula, pois o campo é conservativo: ∫ =⋅ 0ldE GG Porém a soma de B.dl ao longo da trajetória não é em geral nulo. Se fizermos essa soma ao longo de uma trajetória circular, em torno de uma corrente retilínea, o vetor indução magnética B é sempre tangente à trajetória. Então B.dl é sempre positivo se percorremos a trajetória no sentido de B. Sendo a indução paralela a dl e tendo grandeza constante, teremos: IldB C 0µ=⋅∫ GG Essa relação é conhecida como Lei de Ampére: Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 17 17 Campo Magnético ILdH C =⋅∫ GG O eorema de Stokes é: t ( ) ∫∫∫ ⋅=⋅×∇ CS ldHSdH GGGGG Como: ∫∫ ⋅= S SdJI GG HJ GGG ×∇= Exemplo 15 - Para um fio condutor percorrido por uma corrente I, o campo em um ponto P a uma distância r do fio é dado por: r IB π µ 2 0= O campo magnético de um fio infinito, localizado no centro do cubo e percorrido por uma corrente constante I de baixo para cima. O campo ;é dado por 0 0 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ 2 2 x y i i y xB a a r x y x y µ µθπ π ⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ G , Figura 24 – Representação do campo de um fio (a) e distribuição de campo magnético no espaço de um fio (b). (a) (b) φ π πρφρ a IHIdH ˆ 2 2 0 =⇒=∫ G Aqui ˆ ˆ(1,0,0); (0,1,0)x ya a= = representam os ais do plano Oxy. versores ortonorm Exemplo 16 - Calcule o campo magnético de um fio longo e retilíneo percorrido por uma corrente I, usando a Lei de Biot-Savart, num ponto do eixo que cruza a metade do fio. Escolhendo o eixo x coincidente com a direção do condutor: Figura 25 – Campo de um fio de comprimento 2a. Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 18 18 ˆy Campo Magnético ˆyIdl Idya= G 2 ˆ 4 RIdl adH rπ ×= GG 2 ˆ ˆ 4 y RIdya adH rπ ×=G Observe que: ˆ ˆx yr xa ya= +G ˆyr ya′ =G ˆR r ra r r ′−= ′− G G G G ( ) ( )22 ˆ ˆ ˆ x yR xa y y a a x y y ′+ −= ′+ − ( ) ( ) ( ) 22 2 22 ˆ ˆ ˆ 4 x y y xa y y a Idya x y y dH x y yπ ⎛ ⎞′+ −⎜ ⎟×⎜ ⎟′+ −⎝ ⎠= ′+ − G ( )( )3 222 ˆ4 z I xdH dya x y yπ = − ′+ − G ( )( )3 222 ˆ4 a z a Ix xH d x y yπ ya − = − ′+ −∫ +G ( ) ( )22 2 ˆ4 y a z y a y yIxH x x y yπ ′= ′=− ′− −= − ′+ − G a ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 ˆ4 z y a y aIH a x x y a x y aπ ⎡ ⎤− +⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦ G ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 22 2 ˆ 4 z y a y aIB a x x y a x y a µ π ⎡ ⎤− +⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦ G Observe que: ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 ˆlim lim4 za a y a y aIH a x x y a x y aπ→∞ →∞ ⎡ ⎤− +⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦ G [ ] ˆlim 1 1 4 za IH a xπ→∞ = − − G ˆ 2 z IH a xπ= − G 0 ˆ 2 z IB a x µ π= − G Veja que deduzimos a partir da Lei de Ampére, muito mais simples!!! Exemplo17 – Cálcule o campo magnético de um fio de comprimento 2a percorrido por uma corrente elétrica I num ponto P( x, y, z) qualquer. Figura 26 – Campo de um fio de comprimento 2a num ponto P (x, y, z) qualquer. z P(x , y, z) a dl x y -a • Em coordenadas cartesianas: zyx azayaxr ˆˆˆ ++=G zazr ˆ′=′G ˆzdl dz a′= G ( )ˆ ˆx yr r xa ya z z aˆz′ ′− = + + −G G ( )22 2R r r x y z z′ ′= − = + + −G G ( ) 2 2 2 1ˆ ˆ ( ) ˆ ˆR x y z r ra xa y r r x y z z a z z a ′− ′⎡ ⎤= = + + −⎣ ⎦′− ′+ + − G G G G 24 RIdl adH Rπ ×= G GG ( ) 3 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 4 ( ) z x y zIdza xa ya z z adH x y z zπ ′⎡ ⎤× + + −⎣ ⎦= ′+ + − G Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 19 19 Campo Magnético 3 22 2 2 ˆ ˆ 4 ( y xI xa ya dzdH x y z zπ ′⎡ ⎤−⎣ ⎦= ′⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦ G ) 3 22 2 2 ˆ ˆ 4 ( ) a y x a I xa ya dzH x y z zπ + − ⎡ ⎤− ′⎣ ⎦= ′⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦ ∫G 3 2 3 22 2 2 2 2 ˆ ˆ 1 4 1 a y x a I xa ya dzH x y z z x y π + − ⎡ ⎤− ′⎣ ⎦= ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ⎛ ⎞⎣ ⎦ ′−⎢ ⎥⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦ ∫G Chamando de: 2 2 z zu x y ′−= + 2 2z z u x y′ = − + 2 2dz du x y′ = − + 2 2 3 2 3 22 2 2 ˆ ˆ 4 1 a y x a I xa ya x y duH x y uπ + − ⎡ ⎤− − +⎣ ⎦= ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫G Chamando de: 2 2sec 1u tg tgθ θ θ= ⇔ = + 21 tgsen tg θθ θ= + 2secdu dθ θ= 2 32 2 ˆ ˆ 1 sec 4 s a y x a I xa ya dH x y ec θ θ π θ + − ⎡ ⎤− −⎣ ⎦= ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ∫ G 2 2 ˆ ˆ 1 4 s a y x a I xa ya dH x y ec θ π θ + − ⎡ ⎤− −⎣ ⎦= ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ∫ G 2 2 ˆ ˆ 1 cos 4 a y x a I xa ya H d x y θ θπ + − ⎡ ⎤− −⎣ ⎦= ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ∫ G 2 2 ˆ ˆ 1 4 y xI xa yaH s x y enθπ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦= ⎡ ⎤+⎣ ⎦ G 2 2 2 ˆ ˆ 1 4 1 y xI xa ya tgH x y tg θ π θ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦= ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ G 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ 1 4 1 z a y x z a z z I xa ya x y H x y z z x y π ′= ′=− ′− ⎡ ⎤− +−⎣ ⎦= ⎡ ⎤+ ⎛ ⎞⎣ ⎦ ′−⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+⎝⎠ G ( )2 2 22 2 ˆ ˆ 1 4 z a y x z a I xa ya z zH x y x y z zπ ′= ′=− ⎡ ⎤− ′− −⎣ ⎦= ⎡ ⎤+ ′+ + −⎣ ⎦ G ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 ˆ ˆ 1 4 y xI xa ya z a z aH x y x y z a x y z aπ ⎡ ⎤⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎡ ⎤+ + + − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ G Se o fio for infinito: ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 ˆ ˆ 1 lim 4 y x a I xa ya z a z aH x y x y z a x y z aπ →∞ ⎡ ⎤⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎡ ⎤+ + + − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ G [ ]2 2ˆ ˆ 1 1 14y x I xa ya H x yπ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦= − −⎡ ⎤+⎣ ⎦ G 2 2 ˆ ˆ 2 4 y xI xa yaH x yπ ⎡ ⎤−⎣ ⎦= ⎡ ⎤+⎣ ⎦ G 2 2 ˆ ˆ 1 2 y xI xa yaH x yπ ⎡ ⎤−⎣ ⎦= ⎡ ⎤+⎣ ⎦ G • Passando de coordenadas cartesinanas para coordenadas cilíndricas: Lembrando que em coordenadas cilíndricas: ˆ ˆcos ˆ ˆ cos x y a a sen a sen a a ˆ ˆ aρ φ ρ φ φ φ φ φ = −⎧⎨ = +⎩ ˆ ˆcos ˆ ˆ cos x y x y a a sen a sen a a ρ φ ˆ ˆ aφ φ φ φ = +⎧⎨ = − +⎩ 2 2 2x yρ = + cosx y sen ρ φ ρ φ =⎧⎨ =⎩ 2 ˆ ˆcos 1 2 y xI a sen aH ρ φ ρ φ π ρ ⎡ ⎤−⎣ ⎦=G 2 ˆ ˆcos 2 y xI a sen aH φ φ ρ π ρ ⎡ ⎤−⎣ ⎦=G ˆ 2 IH aφπρ= G Para qualquer ponto, em coordenadas cilíndricas: ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 ˆ ˆ 1 4 y xI xa ya z a z aH x y x y z a x y z aπ ⎡ ⎤⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎡ ⎤+ + + − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ G Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 20 20 Campo Magnético ( ) ( )2 2 22 2 ˆ ˆcos 1 4 y xI a sen a z a z aH z a z a ρ φ ρ φ π ρ ρ ρ ⎡ ⎤⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎡ ⎤ + − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ G ( ) ( )2 22 2 ˆ4 I z a z aH a z a z a φπρ ρ ρ ⎡ ⎤− +⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦ G • Calculando em coordenadas cilíndricas ˆ ˆzr a zaρρ= +G zazr ˆ′=′G ˆzdl dz a′= G Observe que: ˆ ˆx yr xa ya= +G ˆzr z a′ ′=G ˆR r ra r r ′−= ′− G G G G ( ) ( )22 ˆ ˆ ˆ zR a z z a a z z ρρ ρ ′+ −= ′+ − ( ) ( ) ( ) 22 2 22 ˆ ˆ ˆ 4 z z a z z a Idza z z dH z z ρρ ρ π ρ ⎛ ⎞′+ −⎜ ⎟×⎜ ⎟′+ −⎝ ⎠= ′+ − G ( )( )3 222 ˆ4 IdH dza z z φ ρ π ρ = − ′+ − G 3 23 2 1 ˆ 4 1 a a IH dz a z z φ ρ π ρ ρ + − ′= − ⎛ ⎞′⎛ ⎞−+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ∫G Chamando: z zu z z uρρ ′− ′= ⇔ = − dz duρ′ = − ( )3 22 2 1 1 ˆ( ) 4 1 a a IH du a u φρπ ρ + − − +∫ G = − ( )3 22 ˆ4 1 a a I duH a u φπρ + − = +∫ G Chamando agora: 2 2sec 1u tg tgθ θ θ= ⇔ = + 21 tgsen tg θθ θ= + 2secdu dθ θ= ( ) 2 3 22 sec ˆ 4 1 a a IH d tg aφ θ θπρ θ + − = +∫ G ( ) 2 3 22 sec ˆ 4 sec a a IH d aφ θ θπρ θ + − = ∫G 1 ˆ 4 sec a a IH d aφθπρ θ + − = ∫G ˆcos 4 a a IH d aφθ θπρ + − = ∫G ˆ 4 IH sen aφθπρ= G 2 ˆ 4 1 I tgH a tg φ θ πρ θ= + G 2 ˆ 4 1 z z IH a z z φ ρ πρ ρ ′− = ′⎛ ⎞−+ ⎜ ⎟⎝ ⎠ G ( )22 ˆ4 z a z a I z zH a z z φπρ ρ ′= ′=− ⎤′− ⎥= ⎥′+ − ⎦ G ( ) ( )2 22 2 ˆ4 I z a z aH a z a z a φπρ ρ ρ ⎡ ⎤− +⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦ G Exemplo 18 - Calcule a indução magnética no centro de uma espira quadrada de N voltas. Figura 26 – Campo de uma espira quadrada. l I Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 21 21 Campo Magnético 2 ˆ 4 RIdl adH rπ ×= GG Escolhendo a origem como indicado: x = l/2 e y = 0 e tomando a = l /2: 0 2 2 2 2 0 0 2 2 ˆ4 4 0 02 2 2 2 2 z l l IB N al l l l l µ π ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠= −⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ G 0 2 2 2 2 ˆ2 2 2 4 4 z l l IB N a l l l µ π ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ G 0 1 ˆ2 2 2 z IB N a l µ π ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ G 0 ˆ2 2 z IB N l aµπ= − G Exemplo 19 - Calcule o campo magnético e a indução magnética no eixo de uma espira circular de raio a em: (a) um ponto P(x, y, z); (b) no eixo z. (c) no centro da espira. A geometria necessária para esse cálculo está na figura a seguir. Considere, inicialmente a corrente elementar no topo da espira, onde está na direção . lId G kˆ Figura 27 – Campo de uma espira circular. ˆ ˆ zdl d a d a dz aρ φρ ρ φ′ ′ ′= + + G ˆ′ ˆdl ad aφφ′= G Observe que: ˆ ˆzr a zaρρ= +G ˆ ˆzr a zρ aρ′ ′ ′= +G ˆr aaρ′ =G ˆR r ra r r ′−= ′− G G G G ( ) ( )2 2 ˆ ˆ ˆ zR a a za a a z ρρ ρ − += − + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ 4 za a zaIad a a z dH a z ρ φ ρφ ρ π ρ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟×⎜ ⎟− +⎝ ⎠= − + G ( ) ( )( )3 22 2 ˆ ˆ ˆ 4 za a zaIadH d a a z ρ φ ρ φπ ρ − − += − − + G ( ) ( )( ) 2 2 3 22 2 0 0 ˆ ˆ 4 z aIaH d a a z π π ρ ρ z a dφ φπ ρ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥′ ′= − +⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫G ( ) ( )( ) ( ) 2 3 22 2 0 ˆ ˆ ˆ2 cos 4 z x y aIaH a z a a z πρ sen a dπ φ φπ ρ φ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥′= − + +⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫G ( )( )3 22 2 ˆ2 z Ia aH a a z ρ ρ ⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦ G ( )( )0 3 22 2 ˆ2 z Ia aB a a z µ ρ ρ ⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦ G ¾ Casos particulares: • Sobre o eixo Oz: ρ = 0 ( ) 2 3 22 2 ˆ 2 z IaH a a z = + G ( ) 2 0 3 22 2 ˆ 2 z IaB a a z µ= + G • Sobre o plano da espira: z = 0 Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 22 22 Campo Magnético ( )2 ˆ2 z IaH a aρ= − G ( ) 0 2 ˆ2 z IaB a a µ ρ= − G • No centro da espira: ˆ 2 z IH a a =G 0 ˆ 2 z IB a a µ=G Para cada elemento de corrente lId G , podemos decompor a g como: indução ma nética zdB dB dB⊥= + G G G Observe que, ao fazer a integral sobre todos os componentes elementares de corrente, a componente ⊥ da indução magnética se anula. Veja que: e idBBd x ˆsenθ= G 2 ˆ r rlId kdBBd m ×== G G . Então: ˆsenz zB dB dBaθ= =∫ ∫G G Como 2 2m IdldB k z a = + 2 2 ˆsen z IdlB a z R θ= +∫ G ( )2 22 2 32 2 ˆ ˆm m R Idl aI zB k i kz aa z a z = =++ +∫ ∫ G dlav ( ) 2 32 2 ˆ2 m z a IB k a a z π= + G ou ( ) 2 0 32 2 ˆ 2 z IaB a a z µ= + G Veja que no centro da espira, x = 0, o campo magnético será: 0 ˆ 2 z IB a a µ=G Campo magnético no centro de uma espira circular Exemplo 20- Calcule a indução magnética no eixo de um solenóide. Figura 28 – Vistas das linhas de campo de um solenóide. Nas figuras mostramos como é um solenóide, as linhas de de força do campo magnético em seu interior e a curva fechada retangular necessária para aplicar a lei de Ampére. O campo magnético no interior de um solenóide pode ser calculado usando a Lei de Ampére utilizando a curva fechada indicada na figura acima: Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 23 23 Campo Magnético I l NBI l NhlBhIldB 000 µµµ =⇒=⇒=⋅∫ GG Ou, chamando de n = N/l o número de espiras por unidade de comprimento: nIB 0µ= (B no interior de um solenóide) Figura 29 – Vistas das linhas do vetor indução magnética no interior de um solenóide. Figura 30 – Módulo da indução magnéticaao longo do eixo de um solenóide de comprimento 4a. Exemplo 21 - Calcule a indução magnética no eixo de um toróide. A figura a seguir ilustra um corte de um toróide, percorrido por uma corrente i0, mostrando também a curva de Ampére para se calcular o campo magnético. Aplicando a Lei de Ampére para essa curva: 00ildB C µ=⋅∫ GG 0 0 0 02 2 NiB Ni B µπρ µ πρ= ⇒ = Veja que o B não é constante, contrastando com o campo no interior (eixo) do solenóide. • Equação paramétrica do torus: ( ) ( )ˆ ˆ( , ) cos cos s cosx yr u v v R r u a env R r u a rsenua= + + + + ˆzG Figura 31 – Superfície do toróide (a). Enrolamento toroidal (b). (a) v Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 24 24 Campo Magnético (b) Vistas (a), (b) e (c). (c) O toróide é o aparelho central de um promissor dispositivo: um reator de fusão controlada, denominado tokamak. Figura 32 – Vistas de um tokamak. (c) Formação de plasma em um tokamak. (d) Configuração do campo magnético num tokamak. Exemplo 22 - Calcule o campo na região interna e externa de um fio condutor cuja corrente que o atravessa é I0 e seu raio vale R. Nesse caso usamos duas curvas de Ampére para fazer o cálculo: uma de raio r menor que R e outra de raio r maior que R. Precisamos saber qual a corrente que atravessa a curva de Ampére. Figura 33 – Vetor indução de um fio (a) e curvas C (b) (a) (b) Definimos densidade de corrente J como sendo a razão entre corrente que atravessa a área da seção Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 25 25 Campo Magnético transversal de um condutor, limitado pela curva C e a área limitada pela curva C. x A IJ = (Uniade SI:A/m2) Assim, a definição mais geral para corrente elétrica é: ∫∫ ⋅= s dAnJI ˆ G I (interior a C) Veja que se J é constante: Observe que: Se r < R ⇒ I=Ii e se r > R ⇒ I=If=I0 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =⋅= 0 2 2 0 II r R IAJI f ii ππ Assim, a Lei de Ampére fica: ∫ ⎩⎨ ⎧ > <=⋅ C f i RrI RrI ldB se se 0 0 µ µGG ∫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > <=⋅=⋅ C RrI Rr R rIrBldB se se 2 00 2 2 00 µ µπGG Assim, o campo ficará: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ > < = RrI Rr R rI B se r2 se r2 1 00 2 2 00 π µ π µ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > < =⇒ Rr I Rr R rI B se r2 se 2 00 200 π µ π µ Veja que a intensidade de Campo magnético possui um comportamento linear no interior do fio. A figura a seguir mostra como o campo varia com r no interior e no exterior de um fio condutor de raio 1.5 mm. Veja que em r = R os campos interno e externo coincidem. Figura 34 – Variação do vetor indução de um fio (a) e (b) (a) (b) Campo devido a uma lâmina de corrente: z 3 3’ y 1 1’ 2 2’ Figura 35 – Lâmina de corrente. Aplicando a Lei de Ampére nos caminhos: '22'11: −−−aC '22'33: −−−bC ( ) LKLHLHILdH yxx Ca =−+⇒=⋅∫ 21GG yxx KHH =−⇒ 21 ( ) LKLHLHILdH yxx Cb =−+⇒=⋅∫ 23GG yxx KHH =−⇒ 23 13 xx HH =⇒ yx KH 2 1= Logo, Hx é o mesmo para z > 0 e z < 0. Assim: NaKH ˆ2 1 ×= GG Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 26 26 Campo Magnético Torque sobre uma espira colocada num campo Magnético Quando um condutor percorrido por uma corrente I é colocado em um campo magnético, existem forças em cada segmento do condutor. Quando ele tem a forma de uma espira fechada, não há força resultante, pois a soma das forças nas diferentes partes somadas para todo o condutor se anulam (Admitindo a indução magnética constante). As forças magnéticas, porém, provocam um torque no condutor, que tendem a provocar a rotação da espira, até que sua área seja perpendicular à indução magnética B. Figura 36 – Torque sobre uma espira. A figura mostra uma espira retangular com uma corrente I . A espira está numa região de campo magnético uniforme, paralelo ao seu plano. As forças em cada segmento aparecem indicadas na figura. Não há forças nas direções em que a corrente flui na direção do campo magnético. Co o: m t BlIdFd GGG ×= IaBFF ==⇒ 21 Definimos como o torque da da força F em relação ao pon o P: Fl GGG ×=τ O módulo do torque da força F 1 em relação ao ponto P1 será dado por: IABIabBbF === 1τ Aqui A = ab é a área da espira, assim, o torque é o produto da corrente pela área da espira e pelo campo magnético. O torque tende a girar a espira de modo que seu plano seja perpendicular ao vetor B. O sentido do versor n normal à área é dado coincidente com o sentido da regra da mão direita. Quando a normal n faz um ângulo θ com o vetor indução magnética B o torque tende a girar a espira de modo que seu plano seja perpendicular a B. Nesse caso, como Fl GGG ×=τ , teremos: θτθτ sensen IABIabB =⇒= Pode-se escrever esse torque em termos do produto vetorial de n e B, da seguinte forma: BnIA GGG ×=τ A grandeza da espira está associada ao chamado momento magnético de uma barra imantada, é o mesmo que acontece quando colocamos um ímã retilíneo sobre um campo magnético uniforme: surge um torque sobre o ímã tendendo-o a alinhar-se com a direção do campo. Esse torque é dado por: nIAG BmBlq GGGGGG ×=⇒×= ττ * Onde lqm GG *= é chamado de momento magnético do ímã (Unidades: Ampére metro quadrado: Am2). q* é definido como a grandeza de pólo , a razão entre a grandeza da força F sobre o pólo e o vetor indução B. Figura 37 – Campo paralelo ao plano da espira. Figura 38 – Campo normal ao plano da espira. Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 27 27 Campo Magnético Outra aplicação importante são amperímetros e voltímetros analógicos, onde a leitura é feita observando a deflexão de um ponteiro sobre uma escala, utilizando o torque exercido pelo campo magnético sobre uma bobina. Figura 39 – Amperímetro. Exemplo 23 – Expresse o campo H em coordenadas cartesianas em P(0, 0,2, 0) no campo de: (a) um filamento de corrente de 2,5 A na direção az em x = 0,1, y=0,3; (b) um cabo coaxial centrado no eixo z, com a = 0,3, b =0,5, c = 0,6 e I = 2,5 A na direção az no condutor central; (c) três lâminas de corrente, 2,7 ax A/m, em y = 0,1, -1,4 ax A/m, em y = 0,15 e -1,3 ax A/m, em y = 0,25, Solução: (a) um filamento de corrente de 2,5 A na direção az em x = 0,1, y=0,3; yar ˆ2,0=G zyx azaar ˆˆ3,0ˆ1,0 ′++=′G zyx azaarr ˆˆ1,0ˆ1,0′−−−=′− GG ( ) ( ) 222 1,01,0 zrrR ′+−+−=′−= GG 202,0 zrrR ′+=′−= GG ( )zyxR azaa zR Ra ˆˆ1,0ˆ1,0 02,0 1ˆ 2 ′−−−′+ == G zazdld ˆ′= G 2 ˆ 4 R aldIHd R×= GG π ( ) ( ) 23202,0 ˆˆ1,0ˆ1,0ˆ 4 z azaaadzIHd zyxz ′+ ′−−−×= π G ( ) 23202,0 )ˆ1,0ˆ1,0( 4 z dzaaIHd xy ′+ +−= π G ( )∫ +∞ ∞− ′+ −= 23202,0) ˆ1,0ˆ1,0( 4 z dzaaIH yxπ G Chamando: θθθ dzdtgz 2sec02,002,0 =′⇒=′ ( )∫ +∞ ∞− + −= 232 2 02,002,0 sec02,0 )ˆ1,0ˆ1,0( 4 θ θθ π tg daaIH yx G ( ) ( )∫ +∞ ∞− −= 232 2 3 sec sec 02,0 02,0 )ˆ1,0ˆ1,0( 4 θ θθ π daaIH yx G Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 28 28 Campo Magnético ∫+∞ ∞− −= θ θ π sec02,0 1)ˆ1,0ˆ1,0( 4 daaIH yx G ∫+∞ ∞− −= θθπ daa IH yx cos02,0 1)ˆ1,0ˆ1,0( 4 G θπ senaa IH yx 02,0 1)ˆ1,0ˆ1,0( 4 −=G θπ 21 11 02,0 1)ˆ1,0ˆ1,0( 4 tg aaIH yx +−−= G +∞ ∞− ′+ −−= 02,0 1 11 02,0 1)ˆ1,0ˆ1,0( 4 2z aaIH yxπ G +∞ ∞−′+ −−= 202,0 02,01 02,0 1)ˆ1,0ˆ1,0( 4 z aaIH yxπ G +∞ ∞−′+ ′−= 202,002,0 1)ˆ1,0ˆ1,0( 4 z zaaIH yxπ G 2 02,0 1)ˆ1,0ˆ1,0( 4 yx aaIH −= π G 01,0 1)ˆ1,0ˆ1,0( 4 5,2 yx aaH −= π G )ˆˆ( 01,04 1,05,2 yx aaH −⋅= π G m AaaH yx )ˆˆ(989,1 −= G m AaaH yx ˆ898,1ˆ989,1 −= G (b) um cabo coaxial centrado no eixo z, com a = 0,3, b =0,5, c = 0,6 e I = 2,5 A na direção az no condutor central; Cálculo do Campo Magnético H: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ >−+ <<+ <<+ < =⋅∫ cII cbII baI aI LdH c c C ρ ρ ρ ρ se se se se 2 1 GG ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ >−+ <<+ <<+ < =⋅∫ cII cbJAI baI aJA LdH C C C ρ ρ ρ ρ se se se se 2 1 GG ( ) ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > <<−−− <<+ < = c cbb bc II baI a a I H ρ ρρππ ρ ρπρπ πρφ se 0 se se se 2 22 22 2 2 ( )( ) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ > <<⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −− <<+ < = c cba bc bI baaI aa a I H ρ ρρπρ ρπρ ρρπ φ φ φ se 0 se ˆ1 2 se ˆ 2 se ˆ 2 22 22 2 G G ( )( ) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ > <<⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −− <<+ < = c cba bc bI baa I aa a I B ρ ρρπρ µ ρπρ µ ρρπ µ φ φ φ se 0 se ˆ1 2 se ˆ 2 se ˆ 2 22 22 0 0 2 0 G G 2,02,00 2 =+=ρ φρπ aa IH ˆ 2 2 =G φπ aH ˆ2,03,02 5,2 2= G φaH ˆ884,0= G 2ˆcosˆˆ πφ φφφ =⇔+−= yx aasena xaa ˆˆ −=φ xaH ˆ884,0−= G Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 29 29 Campo Magnético (c) três lâminas de corrente, 2,7 ax A/m, em y = 0,1, -1,4 ax A/m, em y = 0,15 e -1,3 ax A/m, em y = 0,25, P(0,0,2,0) C mpo de uma lâmina: a NaKH ˆ21 ×= GG 321 HHHH GGGG ++= 321 ˆˆˆ 321221121 NNN aKaKaKH ×+×+×= GGGG )ˆ(ˆ3,1(ˆ)ˆ4,1(ˆˆ7,2)0,2,0,0( 212121 yxyxyx aaaaaaH ×−+×−+×= G zzz aaaH ˆˆˆ7,2)0,2,0,0( 2 3,1 2 4,1 2 1 +−=G )(ˆ3,1)0,2,0,0( mAzaH = G Exemplo 24 – (a) Calcule a integral de linha fechada de H em torno do caminho retangular P1( 2, 3, 4) a P 2( 4, 3, 4) a P3( 4, 3, 1) a P4( 2, 3, 1) a P1, dado: ( )mAzx axazH ˆ2ˆ3 2−=G (b) Determine o quociente da integral de linha fechada e a área envolvida pelo retângulo como uma aproximação para ( )yHGG ×∇ . (c) Determine ( )yHGG ×∇ no centro da área. z Solução: 4 (a) P1(2,3,4) P2(4,3,4) P4( 2, 3, 1) 3 2 y P3(4 ,3, 1) 4 x ∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅ 4321 CCCCC ldHldHldHldHldH GGGGGGGGGG ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = ≤≤ 4 3 42 :1 z y x C ; ; ; ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = ≤≥ 4 3 14 :2 x y z C ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = ≥≥ 1 3 24 :3 z y x C ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = ≤≤ 2 3 41 :4 x y z C ( )∫∫ −=⋅ )4,3,4( )4,3,2( 223 dzxzdxldH C GG ( )∫ −+ )1,3,4( )4,3,4( 223 dzxzdx ( )∫ −+ )1,3,2( )1,3,4( 223 dzxzdx ( )∫ −+ )4,3,2( )1,3,2( 223 dzxzdx ( )∫∫ −⋅=⋅ )4,3,4( )4,3,2( 2 0243 xdxldH C GG ( )∫ ⋅−+ )1,3,4( )4,3,4( 24203 dzz ( )∫ −⋅+ )1,3,2( )1,3,4( 2 0213 xdx Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 30 30 Campo Magnético ( )∫ −+ )4,3,2( )1,3,2( 223 dzxzdx 4 1 22 4 1 4 4 2 2233212 zxzxldH C ⋅−+−=⋅∫ GG )14(8)42(3)41(32)24(12 −−−+−−−=⋅∫ C ldH GG AldH C 902469624 =−−++=⋅∫ GG (b) Determine o quociente da integral de linha fechada e a área envolvida pelo retângulo como uma aproximação para ( )yHGG ×∇ . 2156 90 m AC A ldH == ⋅∫ GG (c) ( ) 215)34(3)4(3 mAzxy xxHzHH =⋅−−=−−=∂∂−∂∂=×∇ GG Observação: ( ) dxdzxSdH S ∫ ∫∫∫ −=⋅×∇ 4 2 4 1 )43( GGG ( ) ))86(3212(3)23( 42241 +−+⋅=+=⋅×∇∫∫ xxzSdH S GGG ( ) ASdH S 90)1444(3 =−⋅=⋅×∇∫∫ GGG Exemplo 25 –Calcule o valor da densidade de corrente : (a) em coordenadas cartesianas em PA( 2, 3, 4) se zy azyazxH ˆˆ 22 −=G ; (b) em coordenadas cilíndricas em PB( 1,5, 90°, 0,5) se ρφρ aH ˆ2,0cos 2=G ; (c) em coordenadas esféricas em PC( 2, 30°, 20°) se θθ asenH ˆ 1=G Solução: (a) PA( 2, 3, 4) se zy axyazxH ˆˆ 22 −=G HJ GGG ×∇= z xy y xx x yz a y H x H a x H z Ha z H y HJ ˆˆˆ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂=G zyx ayx zxa x xy z a z zx y zyJ ˆ)0()(ˆ)()0(ˆ)()( 2222 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ −∂−∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ −∂=G ( ) zyx axzayaxyzJ ˆ2ˆˆ)2( 22 ++−−=G ( ) zyx aaaJ ˆ422ˆ3ˆ)2322()4,3,2( 22 ⋅⋅++−⋅⋅−=G ( )2ˆ16ˆ9ˆ16)4,3,2( mAzyx aaaJ ++−=G (b) em coordenadas cilíndricas em PB( 1,5, 90°, 0,5) se ρφρ aH ˆ2,0cos 2=G ; HJ GGG ×∇= ( ) z zz a HH a H z H a z HH J ˆ1ˆˆ1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= φρ ρ ρρφρ ρφ φ ρ ρ φG ( ) zaJ ˆ2,0cos 201 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= φρφρ ρ ρ G zasenJ ˆ2,0 4,0 2 φρ= G ( ) zasenJ ˆ22,05,1 4,05,0,90,5,1 2 π⋅=°G ( ) 2ˆ0549,05,0,90,5,1 mAzaJ =°G (c) em coordenadas esféricas em PC( 2, 30°, 20°) se θθ asenH ˆ 1=G HJ GGG ×∇= ( ) ( ) ( ) φ θ θ φθφ θφθφθ θ θ a H r rH r a r rHH senr a HsenH rsen J rrr ˆ 1ˆ11ˆ1 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂=G φ θ a r sen r r J ˆ0 1 1 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −∂ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛∂ =G φθ arsenJ ˆ 1=G φasen J ˆ 302 1)20,30,2( =°°G 2ˆ1)20,30,2( m AaJ φ=°° G Exemplo 26 – Calcule ambos os lados do te rema de Stokes para o campo: o m A yx ayaxyH ˆ3ˆ6 2−=G e para o caminho retangular Eletromagnetismo
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