Introdução ao Magnetismo e Campo Magnético

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Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 1 
 
 1
Campo Magnético 
 Introdução ao Magnetismo 
 
™ A que se deve o magnetismo? 
Os antigos gregos já sabiam que algumas 
rochas, procedentes de uma cidade da Ásia Menor 
chamada Magnésia, atraíam pedaços de ferro. Essas 
rochas eram formadas por um mineral de ferro 
chamado magnetita. Por extensão, diz-se dos corpos 
que apresentam essa propriedade que eles estão 
magnetizados, ou possuem propriedades magnéticas. 
Assim, magnetismo é a propriedade que algumas 
substâncias têm de atrair pedaços de ferro. 
 
Figura 1 – Imantação por contato (a) e por influência (b). Força 
de atração em ímãs (c) e entre ímãs e objetos que contém ferro (d). 
 
 (a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
™ Os ímãs: 
 
Ímã é um corpo formado de material 
magnético. Os ímãs podem ser naturais, como a 
magnetita, ou artificiais, como o ferro doce (gusa) ou o 
aço aos quais tenham sido conferidas as propriedades 
atrativas da magnetita. Costumam ter a forma reta, de 
ferradura ou de agulha metálica (bússola). Os corpos 
podem ser magnetizados por diferentes métodos. Ao 
atritar um objeto de aço, sempre no mesmo sentido e 
com a mesma extremidade de um ímã, obtém-se um 
ímã por atrito. Se aproximarmos um ímã de uma agulha 
de costura, o ímã a atrairá, e a agulha, em seguida, 
atrairá limalhas de ferro. Nesse caso, ela se comporta 
como um ímã, mesmo separada do ímã primitivo. É que 
a agulha foi imantada por contato. 
Os ímãs artificiais são permanentes ou 
temporários. Ímãs de aço são permanentes: mantêm a 
imantação mesmo depois de haver cessado a sua 
causa. Os ímãs de ferro são temporários, se 
desmagnetisa com o tempo. 
A atração de um ímã sobre outros corpos é 
máxima nas extremidades e nula em sua parte central. 
As extremidades do ímã são os pólos, e o centro 
chamamos de linha neutra. Cada um dos pólos _ norte 
(N) e sul (S) _ é distinto. A maneira mais prática de 
reconhecê-los é aproximar uma bússola, cuja parte mais 
escura coincide com o pólo norte: este apontará para o 
pólo sul do ímã, enquanto a outra ponta da bússola, o 
pólo sul, se orientará para o pólo norte do ímã. Se 
permitirmos que a agulha da bússola se alinhe com o 
campo magnético terrestre, veremos que a parte escura 
da bússola (pólo norte) se orienta aproximadamente 
com o norte geográfico. Isto porque o Pólo Norte 
geográfico está próximo ao pólo sul magnético e vice-
versa. 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 2 
 
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Campo Magnético 
Figura 2 – Orientação de uma bússula no campo 
magnético terrestre: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
™ Campo magnético 
 
Chama-se campo magnético de um ímã a 
região do espaço onde se manifestam forças de origem 
magnética.Um ímã cria ao redor de si um campo 
magnético que é mais intenso em pontos perto do ímã e 
se enfraquece à medida que dele se afasta como o 
campo gravitacional. 
Para representar graficamente um campo 
magnético, utilizam-se as linhas de força. Se 
colocarmos sobre um ímã, como o da figura a seguir, 
uma folha de papel com limalhas de ferro, estas se 
orientarão de acordo com o campo magnético. Na 
representação acima, por exemplo, as linhas de força 
são linhas imaginárias que reproduzem a forma como 
se alinharam as limalhas. O sentido das linhas, 
mostrado por uma ponta de seta, é escolhido de 
maneira arbitrária: saem do pólo norte e entram pelo 
pólo sul. 
 
™ Eletromagnetismo 
 
Os fenômenos elétricos e magnéticos possuem 
aspectos semelhantes. Em 1820, o físico dinamarquês 
Hans C. Oersted (1777-1851) demonstrou a relação 
existente entre eles. Aproximou uma bússola de um 
circuito de corrente contínua (ao que parece, 
acidentalmente) e observou como a agulha da bússola 
se desviava, colocando-se numa posição perpendicular 
à direção da corrente. Ao conectar os pólos do gerador 
ao contrário para mudar o sentido da corrente, a agulha 
também se desviava em sentido contrário. Dessa 
experiência, concluiu que: um condutor pelo qual 
circula uma corrente elétrica gera um campo 
magnético. 
Determinar o sentido das linhas de campo 
assim formadas, utiliza-se uma regra conhecida como 
regra da mão direita. Colocando-se a mão direita sobre 
o fio condutor, de modo que o polegar aponte no 
sentido da corrente convencional, os outros dedos 
dobrados fornecerão o sentido das linhas do campo 
magnético. 
 
Figura 3 – Ilustração das linhas de campo magnético de 
um ímã (a) e ímã em forma de U (b). 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Ilustração da experiência de Öersted. Em (a) 
não há corrente. Em (b) e (c) as correntes causam deflexões na 
bússula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 3 
 
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Campo Magnético 
Para visualizar o campo magnético gerado por 
um fio condutor retilíneo, a experiência é a seguinte: 
atravessa-se uma cartolina com um fio condutor ligado 
aos pólos de um gerador; espalham-se limalhas de ferro 
ao redor do fio e elas se orientam formando círculos 
concêntricos de acordo com as linhas de força. A 
mesma regra da mão direita, também conhecida como 
regra do saca-rolhas, é usada para determinar o sentido 
das linhas de força.. Imagine um saca-rolhas 
avançando. Para tanto, ele é girado num sentido. Se o 
sentido do avanço coincide com o sentido da corrente 
elétrica, então o sentido das linhas de força coincide 
com o sentido de giro do saca-rolhas. Disso se conclui: 
1) Uma carga elétrica gera um campo elétrico; 2) Uma 
carga elétrica em movimento cria também um campo 
magnético; 3) Para expressar a existência dos dois 
campos, diz-se que a corrente elétrica gera um campo 
eletromagnético. O eletromagnetismo estuda as 
relações entre correntes elétricas e fenômenos 
magnéticos. 
A fonte do campo magnético estacionário pode 
ser um imã permanente, um campo elétrico variando 
linearmente com o tempo ou uma corrente contínua. 
Vamos ignorar o imã permanente e deixar o campo 
elétrico variante no tempo para uma discussão 
posterior. Nossas relações atuais dizem respeito ao 
campo magnético produzido por um elemento 
diferencial de corrente contínua no espaço livre. 
Podemos imaginar este elemento diferencial de 
corrente como uma seção diminuta de um condutor 
filamentar, onde um condutor filamentar é o caso limite 
de um condutor cilíndrico de seção reta circular com o 
raio tendendo a zero. Consideramos uma corrente I 
fluindo em um vetor de comprimento diferencial dL do 
filamento. A lei de Biot-Savart' afirma que, em 
qualquer ponto P, a magnitude da intensidade do 
campo magnético produzido pelo elemento diferencial 
é proporcional ao produto da corrente pela magnitude 
do comprimento diferencial e pelo seno do ângulo entre 
o filamento e a linha que une o filamento ao ponto P 
onde se deseja conhecer o campo; ainda, a magnitude 
da intensidade de campo magnético é inversamente 
proporcional ao quadrado da distância do elemento 
diferencial ao ponto P. 
A direção da intensidade do campo magnético 
é normal ao plano que contém o filamento diferencial e 
a linha desenhada a partir do filamento ao ponto P. Das 
duas normais possíveis, a escolhida deve ser aquela que 
está no sentido de progresso de um parafuso direito ao 
giramos a partir de áL através do menor ângulo até a 
linha do filamento a P. Usando as unidades do sistema 
mks, a constante de proporcionalidade é 1/4π. 
A lei de Biot-Savart, descrita acima com cerca 
de 150 palavras, pode ser escrita concisamente usandoa notação vetorial como: 
32 44
ˆ
R
RlId
R
alIdHd R ππ
GGGG ×=×= 
Figura 5 – Ilustração da geometria para calcular o campo 
devido a um elemento de corrente. 
 
 
 
 Raˆ
 
 
 
 
 
 
As unidades da intensidade do campo magnético 
H são evidentemente ampéres por metro (A/m). A 
geometria está ilustrada na Figura 4. Índices podem ser 
usados para indicar o ponto ao qual cada uma das 
grandezas em (l) se refere. Se localizarmos o elemento 
de corrente no ponto l e descrevermos o ponto 2 como 
o ponto P no qual o campo deve ser determinado, 
então: 
2
12
''
2 4
ˆ
12
R
aldI
Hd Rπ
×=
GG
 
 
 Indução Magnética B: 
Definimos o vetor indução por: 
 HB
GG
0µ= 
Aqui, µ0 é chamado de permeabilidade magnética do 
vácuo. 
2
7
0 1044 A
N
mk
−⋅== ππµ
 
Unidade: Tesla T 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nikola Tesla: Nascido em 07/10, 1856 em Smiljan, 
Lika (Áustria-Hungria) - janeiro em 7, 1943 em New York City, 
(EUA) 
Treinando para uma carreira da engenharia, atendeu à 
universidade técnica em Graz, em Áustria, e na universidade de 
Praga. Em Graz que o viu primeiramente o dynamo do grama, que se 
operou como um gerador e, quando invertido, se transformou um 
motor elétrico, e conceived uma maneira usar a corrente alterna à 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 4 
 
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Campo Magnético 
vantagem. Mais tarde, em Budapest, visualizou o princípio do campo 
magnético girando e desenvolveu plantas para um motor de indução 
que se transformasse sua primeira etapa para a utilização bem 
sucedida da corrente alterna. Em 1882 Tesla foi trabalhar em Paris 
para os Continental Edison Companhia, e, quando na atribuição a 
Strassburg em 1883, construiu, em após-trabalhe horas, seu primeiro 
motor de indução. Tesla sailed para América em 1884, chegando em 
york novo, com quatro centavos em seu bolso, em alguns de seus 
próprios poemas, e em cálculos para uma máquina do vôo. Encontrou 
primeiramente o emprego com Thomas Edison, mas os dois 
inventores eram distantes distantes no fundo e nos métodos, e sua 
separação era inevitável. 
Em maio 1885, George Westinghouse, cabeça do Westinghouse 
Elétrico Companhia em Pittsburgh, comprou as direitas de patente ao 
sistema polifásico de Tesla de dynamos, de transformadores, e de 
motores da corrente alternada. A transação precipitated um esforço 
titanic do poder entre sistemas de Edison de corrente contínua e a 
aproximação da corrente alternada de Tesla-Tesla-Westinghouse, que 
ganhou eventualmente para fora. 
Tesla estabeleceu logo seu próprio laboratório, onde sua mente 
inventive poderia ser dada a rédea livre. Experimentou com os 
shadowgraphs similares àqueles que deviam mais tarde ser usadas por 
Wilhelm Röntgen quando descobriu raios X em 1895. As 
experiências incontáveis de Tesla incluíram o trabalho em uma 
lâmpada da tecla do carbono, no poder do resonance elétrico, e em 
vários tipos de lighting. 
Tesla deu exhibitions em seu laboratório em que iluminou lâmpadas 
sem fios permitindo que a eletricidade corra através de seu corpo, 
para allay medos da corrente alterna. Foi convidado frequentemente 
lecture no repouso e no exterior. A bobina de Tesla, que inventou em 
1891, é usada extensamente hoje em jogos do rádio e de televisão e 
no outro equipamento eletrônico. Que ano marcado também a data do 
citizenship unido dos estados de Tesla. 
Westinghouse usou o sistema de Tesla iluminar a exposição 
columbian do mundo em Chicago em 1893. Seu sucesso era um fator 
em ganhá-lo o contrato para instalar a primeira maquinaria do poder 
nas quedas de Niagara, que furam números do nome e da patente de 
Tesla. O projeto carregou o poder ao búfalo por 1896. 
Em Tesla 1898 anunciado sua invenção de um barco teleautomatic 
guiado pelo controle remoto. Quando o skepticism foi exprimido, 
Tesla provou suas reivindicações para ele antes de uma multidão no 
jardim quadrado de Madison. 
Em Colorado salta, Colo., onde permaneceu de maio 1899 até 1900 
adiantado, Tesla feito o que considerou como sua descoberta mais 
importante -- ondas estacionárias terrestrial. Por esta descoberta 
provou que a terra poderia ser usada como um condutor e seria tão 
responsiva quanto uma forquilha ajustando às vibrações elétricas de 
alguma freqüência. Também iluminou 200 lâmpadas sem fios de uma 
distância de 25 milhas (40 quilômetros) e criou o relâmpago sintético, 
produzindo os flashes que medem 135 pés (41 medidores). Em uma 
vez estava certo que tinha recebido sinais de um outro planeta em seu 
laboratório de Colorado, uma reivindicação que fosse encontrada com 
com o derision em alguns jornais científicos. 
Retornando a york novo em 1900, Tesla começou a construção no 
console longo de uma torre transmitindo do mundo wireless, com o 
capital $150.000 do financeiro americano J. Pierpont Morgan. Tesla 
reivindicou-ele do fixou o empréstimo atribuindo 51 por cento de 
suas direitas de patente o telephony e o telegraphy a Morgan. Esperou 
fornecer uma comunicação worldwide e fornecer facilidades para 
emitir retratos, mensagens, avisos do tempo, e os relatórios 
conservados em estoque. O projeto foi abandonado por causa de um 
pânico financeiro, de uns problemas labour, e de uma retirada de 
Morgan da sustentação. Era a derrota a mais grande de Tesla. 
O trabalho de Tesla deslocou então to as turbinas e os outros projetos. 
Por causa de uma falta dos fundos, suas idéias remanesceram em seus 
cadernos, que são examinados ainda por coordenadores para indícios 
unexploited. Em 1915 foi decepcionado severamente quando um 
relatório que e Edison deviam compartilhar do prêmio de Nobel 
provou errôneo. Tesla era o receptor da medalha em 1917, a honra a 
mais elevada de Edison que o instituto americano de coordenadores 
elétricos poderia bestow. 
Tesla permitiu-se somente alguns amigos próximos. Entre eles eram 
os escritores Robert Underwood Johnson, marca Twain, e Francis 
Marion Crawford. Era completamente pouco prático em matérias 
financeiras e em um excêntrico, dirigido por compulsions e por um 
phobia progressivo do germe. Mas teve uma maneira intuitively de 
detetar segredos científicos escondidos e de empregar seu talent 
inventive para provar suas hipóteses. Tesla era um godsend aos 
repórteres que procuraram a cópia do sensational mas um problema 
aos editores que eram incertos como seriamente seus prophecies 
futuristic devem ser considerados. O criticism cáustico cumprimentou 
seus speculations a respeito de uma comunicação com outros 
planetas, suas afirmações que poderia rachar a terra como uma maçã, 
e sua reivindicação de ter inventado um raio da morte capaz de 
destruir 10.000 aviões em uma distância de 250 milhas (400 
quilômetros). 
Após a morte de Tesla o curador da propriedade estrangeira 
impounded seus troncos, que prenderam seus papéis, seus diplomas e 
outras honras, suas letras, e suas notas do laboratório. Estes foram 
herdados eventualmente pelo nephew de Tesla, Sava Kosanovich, e 
abrigados mais tarde no museu de Nikola Tesla em Belgrado. As 
centenas arquivaram na catedral da cidade de york novo de St. John o 
divine para seus serviços funeral, e uma inundação das mensagens 
reconheceu a perda de um gênio grande. Três receptores premiados 
de Nobel dirigiram-se a seu tributo a "um dos intellects proeminentes 
do mundo que pavimentou a maneira para muitos dos 
desenvolvimentos technological de épocas modernas." (I.W.H.) 
Invenções: transformador um repetidor do 
telefone, um princípio girando do campo magnético, 
um sistema polifásico da corrente alternada, um motor 
de indução, uma transmissão de poder da corrente 
alternada, de uma bobina de Tesla, uma comunicação 
wireless, rádio, luzes fluorescentes, e mais de outras 
700 patentes. 
 
Hans ChristianOersted 
agosto nascido 14, 1777, Rudkøbing, 
Dinamarca - março 9, 1851, Copenhaga 
Hans Christian Oersted nasceu na Dinamarca, 
era filho de um farmacêutico e estudou Filosofia na 
Universidade de Copenhague. Depois de viajar pela 
Europa, retomou àquela universidade e ali trabalhou 
como professor e pesquisador, desenvolvendo várias 
pesquisas no campo da Física e da Química. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 5 
 
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Campo Magnético 
 Exemplo 1 - Dados os seguintes valores para 
P1, P2, e I1∆l1, calcular ∆H2 em: 
 (a) P1(0, 0, 2) e P2( 4, 2, 0) 2pazµA/m. 
 (b) P1(0, 2, 2) e P2( 4, 2, 3) 2pazµA/m. 
 (c) P1(1, 2, 3) e P2( 3, -1, 2) 
2p(-ax+ay+az )µA/m. 
 
(a) P1(0, 0, 2) e P2( 4, 2, 0) 2pazµA/m. 
 
 zyx aaaPPR ˆ2ˆ2ˆ41212 −+=−=
G
 ( ) 24224 2221212 =−++== RRG 
zyxR aaaR
Ra ˆ
24
2ˆ
24
2ˆ
24
4ˆ
12
12
12
−+==
G
 
2
12
''
2 4
ˆ
12
R
aldI
Hd Rπ
×=
GG
 
( )22 244
ˆ
24
2ˆ
24
2ˆ
24
4ˆ2
π
πµ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+×
=
zyxz aaaa
Hd
G
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= xy aaHd ˆ24
2ˆ
24
4
482
µG
 
( )mnAaaHd yx ˆ01,17ˆ05,82 +−=G 
 
 Exemplo 2 – Um filamento de corrente 
conduzindo 15A na direção z está situado ao longo do 
eixo z. Determine H em coordenadas cartesianas se: 
 
 (a) PA( 20 , 0, 4); 
(b) PB( 2, -4, 0). 
 32 44
ˆ
R
RlId
R
alIdHd R ππ
GGGG ×=×= 
 zazr ˆ′=′G
 zx aar ˆ4ˆ20 +=G 
 zx azarrR ˆ)4(ˆ20 ′−+=′−= GG
G
 
 ( ) 22 )4(20 zR ′−+= 
2)4(20 zR ′−+= 
zazdlId ˆ15 ′=
G
 
34 R
RlIdHd π
GGG ×= 
 
( )( )
( )( ) 2324204
ˆ4ˆ20ˆ15
z
azaazdHd zxz
′−+
′−+×′=
π
G
 
 ( )( ) yazzdHd ˆ4204 2015 232′−+ ′= π
G
 
 ( )( ) yazzdH ˆ4204 2015 232∫
+∞
∞− ′−+
′= π
G
 
ya
z
zdH ˆ
20
4120
4
2015
232
23
∫+∞
∞−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′−+
′= π
G
 
ya
z
zdH ˆ
20
41
20204
2015
232∫
+∞
∞−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′−+
′= π
G
 
 Chamando: 
 
 θθ tgzztg 204
20
4 −=′⇒′−= 
θθdzd 2sec20−=′ 
( ) yatg
dH ˆ
1
sec20
16
3
232
2∫+∞
∞− +
−= θ
θθ
π
G
 
( ) ya
dH ˆ
sec
sec
16
203
232
2∫+∞
∞−
−= θ
θθ
π
G
 
ya
dH ˆ
sec
sec
16
203
3
2∫+∞
∞−
−= θ
θθ
π
G
 
ya
dH ˆ
sec16
203 ∫+∞
∞−
−= θ
θ
π
G
 
yadH ˆcos16
203 ∫+∞
∞−
−= θθπ
G
 
y
z
z asenH ˆ16
203 +∞=′
−∞=′
−= θπ
G
 
 Como: 
 θθ 2cos1−=sen 
 θθ 21sec tg+= 
 θθ 21
1cos
tg+
= 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 6 
 
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Campo Magnético 
 θθ 21
11
tg
sen +−= 
 
θ
θθ
21 tg
tgsen
+
= 
20
4 ztg
′−=θ 
ya
z
z
H ˆ
20
41
20
4
16
203
2
+∞
∞−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′−+
′−
−= π
G
 
ya
z
zH ˆ
)4(20
4
16
203
2
+∞
∞−′−+
′−−= π
G
 
y
zz
a
z
z
z
zH ˆ
)4(20
4
)4(20
4
16
203
22 limlim ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
′−+
′−−′−+
′−−=
−∞→′+∞→′π
G
[ ] yaH ˆ1116
203 −−−= π
G
 
yaH ˆ16
206
π=
G
 
yaH ˆ4
53
π=
G
 
m
A
yaH ˆ53,0=
G
 
™ Campo magnético gerado por um condutor 
circular 
Um condutor de forma circular chama-se 
também espira. Pode-se comprovar experimentalmente 
que as linhas de força são como as descritas para o 
condutor reto em cada uma das interseções do condutor 
com o plano perpendicular ao eixo. 
Uma espira, figura ao lado, se comporta como 
um pequeno ímã 
 
 Figura 6 – Ilustração da regra da mão direita . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se observarmos sua face dianteira, 
comprovaremos que todas as linhas entram por ela. 
Como nos ímãs, diremos que é a face sul e a corrente 
circula no mesmo sentido que os ponteiros do relógio. 
A face posterior será a face norte. Dela saem as linhas 
de força e a corrente circula no sentido contrário aos 
ponteiros do relógio. 
Outra regra prática para reconhecer os pólos 
de uma espira consiste em desenhar um N ou um S; as 
pontas de seta das extremidades das letras indicam o 
sentido da corrente. 
 
™ Solenóides 
 
Se em vez de uma única espira pegarmos um 
fio condutor, de cobre, por exemplo, e o enrolarmos em 
espiral formando um conjunto de espiras iguais e 
paralelas e nele estabelecermos uma corrente elétrica, 
obteremos um solenóide ou bobina. 
 
 
Figura 7 – Solenóide. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O solenóide comporta-se, em seu exterior, 
como um ímã reto, com seus dois pólos. 
Do pólo norte saem as linhas de força que 
retornam ao solenóide por seu pólo sul e, em seu 
interior, elas se fecham deslocando-se de sul a norte. 
Diferentemente do que ocorre num ímã reto, somando-
se todos os efeitos das espiras gera-se, no interior da 
bobina, um campo magnético muito intenso e uniforme. 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 7 
 
 7
Campo Magnético 
Em seu interior, a agulha de uma bússola se orienta 
paralelamente ao eixo da bobina. 
Da mesma forma que um ímã, o solenóide 
atrairá objetos de ferro. Assim, se o pendurarmos para 
que possa girar livremente, ele se orientará no campo 
magnético da Terra como uma agulha magnética. 
Os solenóides exercem uns sobre os outros 
forças de atração e repulsão como as que existem entre 
os ímãs. 
™ Eletroímãs 
 
 Se colocarmos uma barra de ferro chamada 
núcleo no interior de um solenóide, teremos um 
eletroímã. Com a passagem da corrente, o conjunto age 
como um poderoso ímã. O aumento do campo 
magnético acontece porque o ferro doce imanta-se, por 
estar no campo magnético produzido pelo solenóide, e 
produz seu próprio campo magnético, que é somado ao 
do solenóide. Ao cessar a passagem da corrente, o 
campo magnético do solenóide desaparece. Daí por que 
o eletroímã é um ímã temporário. Os eletroímãs têm 
muitas aplicações no dia-a-dia como nas campainhas 
elétricas. 
 
 Figura 8 – Esquema de uma campainha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No esquema de uma campainha elétrica 
percebe-se seu funcionamento. Com o circuito aberto, 
não passa corrente e o eletroímã não atua. Ao fechar o 
circuito com um aperto do botão, a corrente passa a 
circular por ele, acionando o eletroímã que atrai a 
vareta metálica que golpeia a campainha. Assim, o 
circuito se abre, cessa a atração e a vareta metálica 
volta à sua posição inicial, fechando novamente o 
circuito. O processo se repetirá enquanto o interruptor 
estiver apertado. 
 
 
 
™ Correntes induzidas e correntes alternadas 
 
Uma corrente elétrica produz magnetismo. O 
efeito contrário é possível? O físico inglês Michael 
Faraday demonstrou que sim. Em determinadas 
condições, um campo magnético gera corrente elétrica: 
ele ligou uma bobina a um amperímetro e, ao introduzir 
rapidamente um ímã na bobina, o amperímetro 
assinalava passagem de corrente. É a indução 
eletromagnética. Um ímã em movimento gera uma 
corrente elétrica em um fio condutor: é a corrente 
induzida. Se em vez de introduzir o ímã o retirarmos, a 
corrente assume o sentido inverso. Se aproximarmos ou 
afastarmos a bobina em vez do ímã, o resultado será 
idêntico. A aplicação mais importante da indução é a 
produção de corrente elétrica. Se fizermos girar a espira 
no interior do campo magnético do ímã, produz-se uma 
corrente induzida. 
Conforme a figura, a cada meia-volta da 
espira, a corrente muda de sentido: é uma corrente 
alternada. Os alternadores, componentes do sistema 
elétrico dos carros, são geradores de corrente alternada. 
Funcionam com base na descoberta de Faraday. 
Modificações na montagem dos coletores e escovas 
(contatos entre a espiramóvel e o circuito no qual vai 
circular a corrente induzida) podem originar os 
geradores de corrente contínua, como são os dínamos 
de bicicletas. 
 
™ Linhas de Força do campo Magnético 
 
 A figura abaixo mostra a disposição de 
limalhas de ferro colocadas em um papel próximo a um 
ímã. As linhas de força estão mostradas na figura 
abaixo. Veja a situação em que há dois pólos iguais 
(repulsão) e dois pólos diferentes (atração). 
 
Figura 9 – Linhas de força do campo magnético de um 
ímã com pólos iguais (a) e pólos opostos (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 8 
 
 8
Campo Magnético 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 10 – Partículas espiralando (a) no campo 
magnético terrestre (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
™ O campo Magnético Terrestre: 
 
 Há no interior do Planeta, um movimento de 
magma complicado, constituído de diversos elementos 
derretidos a altas temperaturas, que atuam como se 
fossem um magneto, com o pólo norte magnético 
aproximadamente próximo ao pólo Sul geográfico e o 
pólo sul magnético aproximadamente próximo ao pólo 
Norte Geográfico. A figura ilustra o campo magnético 
Terrestre. 
 O momento de dipolo magnético terrestre, tem 
um valor aproximadamente de 8,0.1022 J/T. O eixo do 
dipolo faz um ângulo de aproximadamente 11,50 com o 
eixo de rotação Terrestre. Devido às aplicações em 
navegação, o campo magnético Terrestre tem sido 
estudado por vários anos. As quantidades de interesse, 
são a magnitude e direção do campo terrestre em 
diferentes localidades. 
 Estudos mostram que há reversão na 
polaridade aproximadamente a cada milhão de anos. 
 A interação com partículas provenientes do 
chamado vento solar (prótons, elétrons provenientes de 
explosões solares), com o campo magnético terrestre, 
provoca modificações espaciais na forma do campo 
magnético Terrestre. As partículas são armazenadas no 
campo magnético Terrestre, formando os chamados 
cinturões de radiação de Van Allen, que estão acima da 
atmosfera Terrestre, entre os pólos norte e sul 
magnéticos. As partículas são armadilhadas nesses 
cinturões, e nas regiões próximas aos pólos Norte e Sul 
Geográficos, como as linhas de campo são mais 
intensas, estando a uma altitude mais baixa, cerca de 
100 km, as partículas chocam-se com as moléculas de 
N2 e a átomos de O, gerando luz de cores rosa e verde, 
respectivamente. Tal fenômeno é chamado de aurora 
boreal. 
 
 Figura 11 – Componentes do campo magnético terrestre 
(a) e aurora boreal (b). 
 
 (a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (b) 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 9 
 
 9
Campo Magnético 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 – O vento Solar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Cinturões de radiação – 
Texto extraído de: 
www-spof.gsfc.nasa.gov/Education/Iradbelt.html
Radiation Belts 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 – Trajetória de partícula aprisionada pelo campo 
magnético terrestre. 
 
 
O movimento de íons energéticos e elétrons no 
espaço é regido fortemente pelo campo magnético 
local. O movimento básico é a rotação das linhas de 
campo magnético em fileira, enquanto deslizando ao 
mesmo tempo ao longo dessas linhas, dando para as 
partículas uma trajetória espiral. 
Em linhas de campo típicas, volta-se para a 
Terra até o final das linhas, e tal movimento conduz as 
partículas a seguir na atmosfera onde elas colidiriam e 
perderiam a energia. Porém, uma característica 
adicional de movimento apanhado normalmente 
impede isto de acontecer: o movimento corrediço reduz 
a velocidade como os movimentos de partícula em 
regiões onde o campo magnético é forte, pode parar e 
até mesmo inverter o movimento. É como se as 
partículas fossem repelidas de tais regiões, um 
contraste interessante com ferro para o qual é atraído 
onde o campo magnético é forte. 
A força magnética é muito mais forte perto da 
Terra que longe, e em qualquer linha de campo está 
maior nos fins onde a linha entra na atmosfera. Assim 
elétrons e íons podem permanecer apanhados por muito 
tempo e podem saltar de um lado para outro de um 
hemisfério para o outro (veja quadro acima, não escalar 
a espiral atual, que se encontra muito perto de Terra). 
Deste modo a Terra se agarra a seus cintos de 
radiação. 
Além de espiralar e saltar, as partículas 
apanhadas também lentamente vão de uma linha de 
campo para outra, indo todo o modo gradualmente ao 
redor de Terra. Íons acumulam um modo (à direita, do 
norte), elétrons o outro, e em qualquer movimento, a 
carga de elétricas é equivalente a uma corrente elétrica 
que circula a Terra à direita. 
Isso é a corrente de anel denominada cujo 
campo magnético debilita o campo ligeiramente 
observada em cima da maioria da superfície da Terra. 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 10 
 
 10
Campo Magnético 
Durante tempestades magnéticas a corrente de anel 
recebe muitos íons adicionais e elétrons do lado escuro 
" forma fileira " da magnetosfera e seu efeito aumenta, 
entretanto, à superfície da Terra, sempre é um efeito 
muito pequeno e raramente excede só 1% da 
intensidade de campo magnética total. 
 
• Descoberta do Cinto de Radiação 
 
Antes de 1958 os cientistas estavam bastante 
atentos em íons e elétrons que pudessem ser apanhados 
pelo campo magnético da Terra, mas não se comprovou 
de fato se tais partículas existiram. No máximo foi 
proposto que durante tempestades magnéticas uma 
população apanhada temporária criava um anel atual e 
se deteriora novamente com o final da tempestade. 
Os anos 1957-8 foram designados como o " 
Ano " Geofísico Internacional (IGY), e o EUA e a 
União Soviética (a Rússia) prepararam lançamentos de 
satélites artificiais. A Rússia prosperamente conseguiu 
colocar em órbita seu primeiro satélite Sputnik em 4 de 
outubro de 1957, mas o satélite dos EUA, Vanguard, 
falhou em seu lançamento, retardando assim a entrada 
oficial dos EUA. Os EUA construíram um foguete 
alternativo que levava um satélite diferente, o Explorer 
1, pequeno e construído por James Van Allen e o time 
dele na Universidade de Iowa. Rapidamente foi lançado 
31 janeiro, 1958. 
Lançamento do Explorer 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 – Lançamento do Explorer 1. 
 
O Explorer 1 levava um instrumento, um 
detector pequeno de partículas energéticas, um 
contador Geiger projetado para observar raios cósmicos 
(íons de energia muito alta e de origem desconhecida, 
chegando a Terra do espaço). A experiência se realizou 
muito bem a baixas altitudes, mas ao topo da órbita não 
foi contada nenhuma partícula. O Explorer 3 que seguiu 
dois meses depois gravou em fita um registro contínuo 
de dados que revelaram que as contas 0 na verdade 
representaram um nível muito alto de radiação. Tantas 
partículas energéticas bateram no contador às altitudes 
mais altas que seu modo de operação foi subjugado e 
nada registrou. Não só era estava presente o cinto de 
radiação a todo o momento, como era notavelmente 
intenso. 
 
• Os Cinturões de Radiação da Terra 
 
A Terra tem duas regiões de partículas rápidas 
apanhadas. O cinto de radiação interna descoberto por 
Van Allen é relativamente compacto e estende talvez 
um raio de Terra sobre o equador (1 RT = 6371 km ou 
aproximadamente 4000 milhas). Consiste de prótons 
muito energéticos, um subproduto de colisões por íons 
de raios cósmicos com átomos da atmosfera. O número 
de taisíons é relativamente pequeno, e o cinto interno 
acumula lentamente, mas porque apanhando perto de 
Terra são alcançadas intensidades muito estáveis, 
bastante altas, embora a formação deles possa ocupar 
anos. 
Mais para fora é a região grande do anel atual 
e contém íons e elétrons de muita mais baixa energia (o 
mais enérgico entre eles também conhecido como o " 
cinto " de radiação exterior). Distinto o cinto interno, 
esta população flutua amplamente e sobe quando 
tempestades magnéticas injetam partículas frescas do 
rabo do magnetosfera e caem gradualmente. O anel de 
energia atual é principalmente levado pelos íons, a 
muitos dos quais são prótons. 
Porém, há também no anel partículas alfa (que 
são núcleos de átomos de hélio, que perdeu os dois 
elétrons), um tipo de íon que é abundante na radiação 
proveniente do vento solar; uma certa porcentagem é a 
de íons de O+ (oxigênio), semelhante aos que existem 
na ionosfera da Terra, entretanto, muito mais 
energético. Esta mistura de íons sugere que as 
partículas do anel provavelmente vêm de mais de uma 
fonte. 
™ Energia e Partículas Energéticas 
Energia é a moeda corrente na quais processos 
naturais devem ser custeados: acelerar movimentos, 
virar uma máquina, para fazer o sol lustrar ou dirigir 
uma corrente elétrica por um arame, uma quantidade de 
energia é necessária. Uma lei fundamental de estados 
da natureza é a que diz que a energia nunca desaparece, 
só muda sua forma: por exemplo, pode ser convertida a 
energia de luz solar em eletricidade por uma célula 
solar, ou a energia do vento é convertida por um 
moinho de vento. 
Fenômenos do espaço envolvem energia em 
duas balanças muito diferentes. Uma balança envolve a 
energia de íons individuais e elétrons que 
freqüentemente movem a uma fração respeitável da 
velocidade de luz (um limite superior que eles nunca 
podem alcançar). Quanto mais rápido a partícula se 
move, mais alto sua energia e maior é a espessura de 
material necessário para detê-las. As Energias de 
partículas gostam estes são medidas em elétrons-volt 
(eV): elétrons da aurora têm 1000-15,000 eV, prótons 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 11 
 
 11
Campo Magnético 
no cinto interno talvez 50 milhões de eV, enquanto a 
energia de íons de raio cósmicos podem alcançar 
muitos bilhões. Em contraste, moléculas de ar na 
atmosfera só têm aproximadamente 0.03 eV, elevando 
o que poderia ser a pergunta mais fundamental em 
pesquisa de espaço: como algumas partículas adquirem 
tanta energia? 
A outra balança é um fenômeno espacial 
global: tempestades magnéticas, nas regiões boreais 
exibem correntes elétricas que unem Terra e espaço. 
Quem caminha a conta de energia ? A fonte principal 
de energia parece ser o vento solar, mas a maneira 
pelos quais esta energia é transportada e é distribuída 
na magnetosfera não são contudo completamente claro. 
 
• Órbita síncrona 
 
Provavelmente o maior número de satélites 
operacionais, mais que 200, habitam a órbita síncrona 
denominada, uma órbita circular sobre o equador da 
Terra com um rádio de 6.6 RT (raio de Terra), 
aproximadamente 42,000 km ou 26,000 milhas. 
A aceleração orbital de qualquer satélite 
depende de sua distância da Terra. Em uma órbita 
circular fora da atmosfera densa, um satélite precisa de 
só 90 minutos para uma órbita completa, mas satélites 
mais distantes movem mais lentamente, e a um rádio de 
6.6 RT o período está perto de 24 horas e emparelha o 
período de rotação da Terra. Um satélite a esta 
distância, sobre o equador, sempre fica sobre a mesma 
mancha na Terra, e quando se vê da Terra (diga-se, por 
uma TELEVISÃO) sempre está na mesma direção no 
céu. 
Isto faz a órbita síncrona o lugar perfeito para 
satélites dedicados a comunicações e para radiodifusão, 
e também é usado para monitorar o tempo no mundo 
inteiro, por exemplo, pelo VAI série de satélites de 
NOAA (Administração Oceânica e Atmosférica 
Nacional). A órbita síncrona também é útil para 
trabalhos científico, porque mapeia totalmente o anel 
da magnetosfera “noite da Terra”. 
 
 Lei de Lorentz e Movimento de uma 
partícula na região de um campo magnético 
Uniforme. 
 Uma carga em movimento quando em uma 
região onde atua um campo elétrico E e um campo 
magnético B está sujeita à chamada força de Lorentz: 
 
BvqEqF
GGGG ×+= 
 O sentido da força F é dado pela regra da mão 
esquerda (para carga q positiva): INDICADOR NO 
SENTIDO DE B, O DEDO MÉDIO NO SENTIDO DE 
v E O POLEGAR DARÁ O SENTIDO E DIREÇÃO 
DE F. Quando a carga q é negativa , o sentido é ao 
contrário. 
 Escreve-se a força magnética BvqFm
GGG ×= 
zyx
zyxm
BBB
vvv
kji
qF
ˆˆˆ
=G 
 Onde aqui, kvjvivv zyx ˆˆˆ ++=G e 
kBjBiBB zyx ˆˆˆ ++=
G
 
 θsenBvqF =G , onde θ é o ângulo entre 
vG e BG . 
Nos exemplos abaixo indicamos diversas 
situações onde uma partícula de carga q penetra na 
região de um campo magnético B, com velocidade v, 
dando a força F que aparece. 
 
Exemplo 3 – Campo entrando no campo do 
papel : jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ =⇔−== GGG 
 F
G
 B
G
 
 
 + + j 
 vG i 
 k 
Exemplo 4 – Campo entrando, carga negativa 
: jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ −=⇔−== GGG 
 F
G
 B
G
 
 
 - - j 
 vG i 
 k 
 
Exemplo 5 – Campo saindo,carga positiva : 
jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ −=⇔== GGG 
 F
G
 B
G
 
 
 + + j 
 vG i 
 k 
 
Exemplo 6 – Campo saindo,carga positiva : 
jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ =⇔== GGG 
 F
G
 B
G
 
 
 - - j 
 vG i 
 k 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 12 
 
 12
Campo Magnético 
Exemplo 7 – Campo saindo,carga positiva : 
jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ =⇔=−= GGG 
 F
G
 B
G
 
 
 + + j 
 i vG
 k 
 
Exemplo 8 – Campo saindo,carga negativa : 
jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ −=⇔=−= GGG 
 F
G
 B
G
 
 
 - - j 
 i vG
 k 
 
Exemplo 9 – Campo entrando no campo do 
papel : jqvBFkBBivv ˆˆ,ˆ =⇔−=−= GGG
 F
G
 B
G
 
 
 + + j 
 i vG
 k 
Exemplo 10 – Campo entrando, carga 
negativa : qvBiFkBBjvv =⇔−== GGG ˆ,ˆF
G
 B
G
 
 
 - - j 
 i vG
 k 
Exemplo 11 – Campo entrando no campo do 
papel, carga negativa: 
 iqvBFkBBjvv ˆˆ,ˆ =⇔−== GGG 
 B
G
 
 v G
 - j 
 F
G
 i 
 k 
Exemplo 12 – Campo entrando no campo do 
papel, carga positiva: 
 iqvBFkBBjvv ˆˆ,ˆ −=⇔−=−= GGG
 B
G
 
 v G
 - j 
 F
G
 k i 
 
Exemplo 13 –Partícula com carga positiva 
entrando no campo do papel: 
 jqvBFiBBkvv ˆˆ,ˆ −=⇔=−= GGG 
 
 B 
 F 
 
Exemplo 14 –Partícula com carga negativa 
entrando no campo do papel: 
 jqvBFiBBkvv ˆˆ,ˆ =⇔=−= GGG 
 
 F B 
 
 Quando a partícula penetra numa direção v 
qualquer, somente a componente perpendicular ao 
campo causará a força magnética. Então é necessário 
decompor a velocidade nas componentes perpendicular 
e paralela ao campo: 
//vvv
GGG += ⊥ 
 Observe que uma partícula carregada que entra 
numa região de campo magnético uniforme não sofre 
atuação de força magnética. Uma partícula neutra 
também não sofre atuação de força nenhuma. 
 A figura ilustra uma partícula entrando numa 
direção qualquer. 
 
Figura 15 – Componentes da velocidade (a) e movimento 
de uma partícula numa região onde há um campo eletromagnético (b) 
e (c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 13 
 
 13
Campo Magnético 
 Quando uma partícula carregada penetra na 
região de um campo magnético uniforme, ela descreve 
um movimento circular uniforme na região de campo 
magnético uniforme, como mostra a figura a seguir. 
Figura 16 – Movimento de uma partícula carregada numa 
região de campo magnético uniforme. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, a resultante centrípeta é a força 
magnética: 
qB
mvRqvB
R
vmFcp =⇒==
2
 
R é o raio da órbita. Se quisermos calcular o período: 
qB
mTqB
R
vm
T
Rv ππ 22 =⇒=⇒= 
A freqüência desse movimento é: 
m
qBf
T
f π2
1 =⇒= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 17– Dispositivo de Thomson para determinar a 
razão e/m de um raio catódico (a) mostrando os campos B e E 
cruzados; dispositivo original usado por Thomson (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18 – O espectrômetro de massa de Bainbridge 
utiliza um seletor de velocidades para produzir partículas com 
velocidade constante v. Na região de campo magnético, as partículas 
com maiores velocidade produzem trajetórias de raios maiores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existem aparelhos com aplicações em alta 
Tecnologia, como Cyclotrons e Sincrotrons. Tais 
aparelhos sofisticados produzem partículas a altas 
velocidades com objetivo de provocar radiação por 
meio da desaceleração dessas articulas. A interação 
dessa radiação com a matéria é de fundamental 
importância para estudar as propriedades físicas e 
químicas de novos materiais. 
 
Figura 19 – O Cyclotron (a) e o Cern (b). O Fermilab (c) 
e o LNLS (d) 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 14 
 
 14
Campo Magnético 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (c) O círculo maior mostra o Supercondicting Super 
Collider (SSC) em uma foto de satélite de Washington DC. O círculo 
intermediário é o acelerador europeu CERN na Suíça e o círculo 
menor corresponde às dimenões do acelerador Fermilab. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) O Laboratório Nacional de Luz Síncrotron (LNLS) 
oferece a cientistas condições excepcionais para realizarem pesquisas 
com nível de competitividade mundial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vimos que a corrente elétrica, na experiência 
de Oersted, provoca o aparecimento de um campo 
magnético que circula o fio, cujo sentido e direção e é 
dado pela regra da mão direita
 REGRA DA MÃO DIREITA: Polegar no 
sentido de I e vetor indução B saindo da palma da mão. 
Lembrando que cargas que atravessam um 
comprimento L de um fio num intervalo de tempo 
definem a corrente elétrica, na expressão 
BILB
t
LqqvBF =∆== . Podemos representar um 
elemento de força magnética em um elemento de fio dl 
dado por: 
BlIdFd
GGG ×= 
 Aqui, ld
G
aponta para o sentido convencional 
da corrente I (contrário ao real, do movimento dos 
elétrons). 
 Analisando o elemento de vetor indução 
magnética Bd
G
,devido a esse elemento de fio Idl, 
Ampére deduziu a seguinte equação, também chamada 
de Lei de Biot-Savart: 
2
0 ˆ
4 r
rlIdBd ×=
GG
π
µ
 
 Essa equação é análoga à Lei de Coulomb, 
para o caso da eletricidade. 
Aqui, µ0 é chamado de permeabilidade magnética do 
vácuo. 
2
7
0 1044 A
N
mk
−⋅== ππµ 
 Podemos escrevê-la também com a definição 
do vetor campo magnético H: 
2
ˆ1
4
RIdl adH
rπ
×=
GG
 
Onde: 
ˆR
r ra
r r
′−= ′−
G G
G G 
Aqui, os vetores: 
rG : é orientado do elemento de corrente Idl até 
o ponto P onde queremos calcular o campo H. 
r′G : é orientado da origem O do sistema de 
coordenadas ao elemento de corrente Idl. 
Combinando a Lei de Biot-Savart com a 
expressão da força sobre um elemento de corrente num 
campo magnético, podemos escrever uma equação da 
força exercida por uma corrente elementar sobre outra. 
A força sobre o elemento de corrente I2dl2 exercida 
pelo elemento I1 dl1 é dada por: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ××= 2112212
ˆ
r
rldIkldIFd m
GGG
 
Esta relação diz que: 
 A força exercida pela corrente elementar 1 
sobre o elemento 2 não é igual e oposta à força exercida 
pelo elemento 2 sobre o elemento 1. As forças não 
obedecem à Lei de Newton de Ação e Reação. Na 
maioria das situações as correntes elementares são 
partes de um circuito completo, existindo forças sobre 
eles de outros elementos do circuito. A análise da força 
total exercida sobre um circuito pelo outro mostra que 
esta força obedece à terceira Lei de Newton. 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 15 
 
 15
Campo Magnético 
Uma semana depois de ter ouvido falar da 
descoberta de Oersted sobre o efeito da corrente em 
uma agulha imantada, Ampére descobria que duas 
correntes paralelas se atraíam quando tinham a mesma 
direção e sentido e duas correntes opostas se repeliam. 
Podemos calcular a força de um condutor sobre outro 
por meio da equação: 
Escrevemos: 
2112112212 BlIFBlIF
GGGGGG ×=⇔×= . 
Assim: 
r
lIIk
BlIF m 22112212
2=×= GG 
r
IIk
l
F m 21
2
2 2= 
Figura 20 – Força sobre uma carga positiva se movendo 
em um condutor que transporta corrente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 21 – Força magnética F sobre um elemento de fio 
l que transporta uma corrente I, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura22– (a) Os três vetores indução magnética B, força 
magnética F e elemento l que transporta uma corrente. (b) Se o 
sentido de B se inverte, o mesmo ocorre com o sentido de F. (c) 
Invertendo o sentido da corrente, l se inverte e a força F retorna ao 
sentido de (a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 16 
 
 16
Campo Magnético 
Figura 22 – Componentes de um alto falante (a). O ímã 
permanente cria um campo magnético que exerce uma força sobre a 
bobina do alto falante; para a corrente I no sentido indicado, a força 
está indicada. Quando uma corrente elétrica oscilante percorre a 
bobina do alto falante, o cone ligado à bobina oscila com a mesma 
freqüência (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 23 – Força magnética entre dois fios percorridos 
por uma corrente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
™ Definição do Ampére: 
 
 Quando dois condutores retilíneos e 
paralelos, estão separados por uma distância de um 
metro, são percorridos por duas correntes iguais, a 
intensidade de cada uma é um ampére, quando a força 
por unidade de comprimento dos condutores é de 2 . 
10-7 Newtons por metro. 
Quando os fios são percorridos por correntes 
em sentidos opostos. 
 
™ A Lei de Ampére 
 
Observamos que as linhas de indução de 
campo de uma corrente retilínea eram circulares em 
torno de um condutor. Essas linhas são completamente 
diversas das de qualquer campo elétrico que 
encontramos. O campo elétrico é conservativo. O 
trabalho realizado por uma carga elétrica puntiforme de 
prova quando ela desloca um círculo no campo é nulo. 
Esse trabalho é igual, por unidade de carga, à E .dl ao 
longo da trajetória. A integral de linha do campo 
eletrostático sobre qualquer trajetória é nula, pois o 
campo é conservativo: 
∫ =⋅ 0ldE GG 
Porém a soma de B.dl ao longo da trajetória 
não é em geral nulo. Se fizermos essa soma ao longo de 
uma trajetória circular, em torno de uma corrente 
retilínea, o vetor indução magnética B é sempre 
tangente à trajetória. Então B.dl é sempre positivo se 
percorremos a trajetória no sentido de B. Sendo a 
indução paralela a dl e tendo grandeza constante, 
teremos: 
IldB
C
0µ=⋅∫ GG 
Essa relação é conhecida como Lei de 
Ampére: 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 17 
 
 17
Campo Magnético 
 
ILdH
C
=⋅∫ GG 
O eorema de Stokes é: t ( ) ∫∫∫ ⋅=⋅×∇
CS
ldHSdH
GGGGG
 
Como: ∫∫ ⋅=
S
SdJI
GG
 
HJ
GGG ×∇= 
Exemplo 15 - Para um fio condutor percorrido 
por uma corrente I, 
 o campo em um ponto P a uma distância r do 
fio é dado por: 
r
IB π
µ
2
0= 
O campo magnético de um fio infinito, 
localizado no centro do cubo e percorrido por uma 
corrente constante I de baixo para cima. O campo ;é 
dado por 
0 0
2 2 2 2
ˆ ˆ ˆ
2 2 x y
i i y xB a a
r x y x y
µ µθπ π
⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
G
, 
 
 Figura 24 – Representação do campo de um fio (a) e 
distribuição de campo magnético no espaço de um fio (b). 
 
 (a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
φ
π
πρφρ a
IHIdH ˆ
2
2
0
=⇒=∫ G 
 
 
 
 
Aqui ˆ ˆ(1,0,0); (0,1,0)x ya a= = representam os 
ais do plano Oxy. versores ortonorm
 
Exemplo 16 - Calcule o campo magnético de 
um fio longo e retilíneo percorrido por uma corrente I, 
usando a Lei de Biot-Savart, num ponto do eixo que 
cruza a metade do fio. 
Escolhendo o eixo x coincidente com a direção 
do condutor: 
 
Figura 25 – Campo de um fio de comprimento 2a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 18 
 
 18
ˆy
Campo Magnético 
 ˆyIdl Idya=
G
 
2
ˆ
4
RIdl adH
rπ
×=
GG
 
2
ˆ ˆ
4
y RIdya adH
rπ
×=G 
Observe que: 
ˆ ˆx yr xa ya= +G 
ˆyr ya′ =G 
ˆR
r ra
r r
′−= ′−
G G
G G 
( )
( )22
ˆ ˆ
ˆ x yR
xa y y a
a
x y y
′+ −=
′+ −
 
( )
( )
( )
22
2
22
ˆ ˆ
ˆ
4
x y
y
xa y y a
Idya
x y y
dH
x y yπ
⎛ ⎞′+ −⎜ ⎟×⎜ ⎟′+ −⎝ ⎠=
′+ −
G
 
( )( )3 222 ˆ4 z
I xdH dya
x y yπ
= −
′+ −
G
 
( )( )3 222 ˆ4
a
z
a
Ix xH d
x y yπ
ya
−
= −
′+ −∫
+G
 
( )
( )22 2 ˆ4
y a
z
y a
y yIxH
x x y yπ
′=
′=−
′− −= −
′+ −
G
a 
 
( )
( )
( )
( )2 22 2 ˆ4 z
y a y aIH a
x x y a x y aπ
⎡ ⎤− +⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦
G
 
 
( )
( )
( )
( )
0
2 22 2
ˆ
4 z
y a y aIB a
x x y a x y a
µ
π
⎡ ⎤− +⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦
G
 
 Observe que: 
( )
( )
( )
( )2 22 2 ˆlim lim4 za a
y a y aIH a
x x y a x y aπ→∞ →∞
⎡ ⎤− +⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦
G
 
[ ] ˆlim 1 1
4 za
IH a
xπ→∞ = − −
G
 
ˆ
2 z
IH a
xπ= −
G
 
0 ˆ
2 z
IB a
x
µ
π= −
G
 
Veja que deduzimos a partir da Lei de 
Ampére, muito mais simples!!! 
 
Exemplo17 – Cálcule o campo magnético de 
um fio de comprimento 2a percorrido por uma corrente 
elétrica I num ponto P( x, y, z) qualquer. 
 
Figura 26 – Campo de um fio de comprimento 2a num ponto P (x, y, 
z) qualquer. 
 
 
 
 z 
 
 P(x , y, z) 
 a 
 
 
 dl 
 
 
 x y 
 -a 
 
 
 
 
• Em coordenadas cartesianas: 
 zyx azayaxr ˆˆˆ ++=G 
 zazr ˆ′=′G 
 ˆzdl dz a′=
G
 
 
 ( )ˆ ˆx yr r xa ya z z aˆz′ ′− = + + −G G 
 ( )22 2R r r x y z z′ ′= − = + + −G G 
( )
2 2 2
1ˆ ˆ
( )
ˆ ˆR x y z
r ra xa y
r r x y z z
a z z a
′− ′⎡ ⎤= = + + −⎣ ⎦′− ′+ + −
G G
G G 
 24
RIdl adH
Rπ
×=
G GG
 
 
( )
3
2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
4 ( )
z x y zIdza xa ya z z adH
x y z zπ
′⎡ ⎤× + + −⎣ ⎦=
′+ + −
G
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 19 
 
 19
Campo Magnético 
3 22 2 2
ˆ ˆ
4 (
y xI xa ya dzdH
x y z zπ
′⎡ ⎤−⎣ ⎦= ′⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦
G
)
 
 
3 22 2 2
ˆ ˆ
4 ( )
a
y x
a
I xa ya dzH
x y z zπ
+
−
⎡ ⎤− ′⎣ ⎦= ′⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦
∫G 
3 2 3 22 2 2
2 2
ˆ ˆ 1
4
1
a
y x
a
I xa ya dzH
x y z z
x y
π
+
−
⎡ ⎤− ′⎣ ⎦= ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ⎛ ⎞⎣ ⎦ ′−⎢ ⎥⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦
∫G
 
 
Chamando de: 
2 2
z zu
x y
′−= + 
2 2z z u x y′ = − + 
2 2dz du x y′ = − + 
2 2
3 2 3 22 2 2
ˆ ˆ
4 1
a
y x
a
I xa ya x y duH
x y uπ
+
−
⎡ ⎤− − +⎣ ⎦= ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫G 
 Chamando de: 
2 2sec 1u tg tgθ θ θ= ⇔ = + 
21
tgsen
tg
θθ θ= + 
2secdu dθ θ= 
2
32 2
ˆ ˆ 1 sec
4 s
a
y x
a
I xa ya dH
x y ec
θ θ
π θ
+
−
⎡ ⎤− −⎣ ⎦= ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ∫
G
 
2 2
ˆ ˆ 1
4 s
a
y x
a
I xa ya dH
x y ec
θ
π θ
+
−
⎡ ⎤− −⎣ ⎦= ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ∫
G
 
2 2
ˆ ˆ 1 cos
4
a
y x
a
I xa ya
H d
x y
θ θπ
+
−
⎡ ⎤− −⎣ ⎦= ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ∫
G
 
2 2
ˆ ˆ 1
4
y xI xa yaH s
x y
enθπ
⎡ ⎤− −⎣ ⎦= ⎡ ⎤+⎣ ⎦
G
 
2 2 2
ˆ ˆ 1
4 1
y xI xa ya tgH
x y tg
θ
π θ
⎡ ⎤− −⎣ ⎦= ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦
G
 
2 2
2 2 2
2 2
ˆ ˆ 1
4
1
z a
y x
z a
z z
I xa ya x y
H
x y
z z
x y
π
′=
′=−
′−
⎡ ⎤− +−⎣ ⎦= ⎡ ⎤+ ⎛ ⎞⎣ ⎦ ′−⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+⎝⎠
G 
( )2 2 22 2
ˆ ˆ 1
4
z a
y x
z a
I xa ya z zH
x y x y z zπ
′=
′=−
⎡ ⎤− ′− −⎣ ⎦= ⎡ ⎤+ ′+ + −⎣ ⎦
G
( ) ( )2 2 2 22 2 2 2
ˆ ˆ 1
4
y xI xa ya z a z aH
x y x y z a x y z aπ
⎡ ⎤⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎡ ⎤+ + + − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
G
Se o fio for infinito: 
( ) ( )2 2 2 22 2 2 2
ˆ ˆ 1 lim
4
y x
a
I xa ya z a z aH
x y x y z a x y z aπ →∞
⎡ ⎤⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎡ ⎤+ + + − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
G
[ ]2 2ˆ ˆ 1 1 14y x
I xa ya
H
x yπ
⎡ ⎤− −⎣ ⎦= − −⎡ ⎤+⎣ ⎦
G 
2 2
ˆ ˆ 2
4
y xI xa yaH
x yπ
⎡ ⎤−⎣ ⎦= ⎡ ⎤+⎣ ⎦
G 
2 2
ˆ ˆ 1
2
y xI xa yaH
x yπ
⎡ ⎤−⎣ ⎦= ⎡ ⎤+⎣ ⎦
G 
• Passando de coordenadas cartesinanas para 
coordenadas cilíndricas: 
 Lembrando que em coordenadas cilíndricas: 
 
ˆ ˆcos
ˆ ˆ cos
x
y
a a sen
a sen a a
ˆ
ˆ
aρ φ
ρ φ
φ φ
φ φ
= −⎧⎨ = +⎩
 
ˆ ˆcos
ˆ ˆ cos
x y
x y
a a sen
a sen a a
ρ
φ
ˆ
ˆ
aφ φ
φ φ
= +⎧⎨ = − +⎩
 
2 2 2x yρ = + 
cosx
y sen
ρ φ
ρ φ
=⎧⎨ =⎩ 
2
ˆ ˆcos 1
2
y xI a sen aH
ρ φ ρ φ
π ρ
⎡ ⎤−⎣ ⎦=G 
2
ˆ ˆcos
2
y xI a sen aH
φ φ ρ
π ρ
⎡ ⎤−⎣ ⎦=G 
ˆ
2
IH aφπρ=
G
 
 Para qualquer ponto, em coordenadas 
cilíndricas: 
( ) ( )2 2 2 22 2 2 2
ˆ ˆ 1
4
y xI xa ya z a z aH
x y x y z a x y z aπ
⎡ ⎤⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎡ ⎤+ + + − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
G 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 20 
 
 20
Campo Magnético 
( ) ( )2 2 22 2
ˆ ˆcos 1
4
y xI a sen a z a z aH
z a z a
ρ φ ρ φ
π ρ ρ ρ
⎡ ⎤⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎡ ⎤ + − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
G 
( ) ( )2 22 2 ˆ4
I z a z aH a
z a z a
φπρ ρ ρ
⎡ ⎤− +⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦
G 
 
• Calculando em coordenadas cilíndricas 
 
ˆ ˆzr a zaρρ= +G 
 zazr ˆ′=′G
 ˆzdl dz a′=
G
 
Observe que: 
ˆ ˆx yr xa ya= +G 
ˆzr z a′ ′=G 
ˆR
r ra
r r
′−= ′−
G G
G G 
( )
( )22
ˆ ˆ
ˆ zR
a z z a
a
z z
ρρ
ρ
′+ −=
′+ −
 
( )
( )
( )
22
2
22
ˆ ˆ
ˆ
4
z
z
a z z a
Idza
z z
dH
z z
ρρ
ρ
π ρ
⎛ ⎞′+ −⎜ ⎟×⎜ ⎟′+ −⎝ ⎠=
′+ −
G
 
( )( )3 222 ˆ4
IdH dza
z z
φ
ρ
π ρ
= −
′+ −
G
 
3 23 2
1 ˆ
4
1
a
a
IH dz a
z z
φ
ρ
π ρ
ρ
+
−
′= − ⎛ ⎞′⎛ ⎞−+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∫G 
Chamando: 
z zu z z uρρ
′− ′= ⇔ = − 
dz duρ′ = − 
 
( )3 22 2
1 1 ˆ( )
4 1
a
a
IH du a
u
φρπ ρ
+
−
−
+∫
G = − 
( )3 22 ˆ4 1
a
a
I duH a
u
φπρ
+
−
=
+∫
G
 
Chamando agora: 
2 2sec 1u tg tgθ θ θ= ⇔ = + 
21
tgsen
tg
θθ θ= +
 
2secdu dθ θ= 
( )
2
3 22
sec ˆ
4 1
a
a
IH d
tg
aφ
θ θπρ θ
+
−
=
+∫
G
 
( )
2
3 22
sec ˆ
4 sec
a
a
IH d aφ
θ θπρ θ
+
−
= ∫G 
1 ˆ
4 sec
a
a
IH d aφθπρ θ
+
−
= ∫G 
ˆcos
4
a
a
IH d aφθ θπρ
+
−
= ∫G 
ˆ
4
IH sen aφθπρ=
G
 
2
ˆ
4 1
I tgH a
tg
φ
θ
πρ θ= +
G 
2
ˆ
4
1
z z
IH a
z z
φ
ρ
πρ
ρ
′−
=
′⎛ ⎞−+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
G 
( )22 ˆ4
z a
z a
I z zH a
z z
φπρ ρ
′=
′=−
⎤′− ⎥= ⎥′+ − ⎦
G
 
( ) ( )2 22 2 ˆ4
I z a z aH a
z a z a
φπρ ρ ρ
⎡ ⎤− +⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦
G
 
Exemplo 18 - Calcule a indução magnética no 
centro de uma espira quadrada de N voltas. 
 
Figura 26 – Campo de uma espira quadrada. 
 
 
 
 
l 
I 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 21 
 
 21
Campo Magnético 
 2
ˆ
4
RIdl adH
rπ
×=
GG
 
 Escolhendo a origem como indicado: 
x = l/2 e y = 0 e tomando a = l /2: 
 
0
2 2 2 2
0 0
2 2 ˆ4
4 0 02 2 2 2 2
z
l l
IB N al l l l l
µ
π
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠= −⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
G 
0
2 2
2 2 ˆ2
2 2
4 4
z
l l
IB N a
l l l
µ
π
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
G 
0 1 ˆ2 2
2 z
IB N a
l
µ
π
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
G 
0 ˆ2 2 z
IB N
l
aµπ= −
G 
 
Exemplo 19 - Calcule o campo magnético e a 
indução magnética no eixo de uma espira circular de 
raio a em: 
(a) um ponto P(x, y, z); 
(b) no eixo z. 
(c) no centro da espira. 
 
A geometria necessária para esse cálculo está 
na figura a seguir. Considere, inicialmente a corrente 
elementar no topo da espira, onde está na direção 
. 
lId
G
kˆ
 
Figura 27 – Campo de uma espira circular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ˆ ˆ zdl d a d a dz aρ φρ ρ φ′ ′ ′= + +
G
ˆ′ 
ˆdl ad aφφ′=
G
 
 
Observe que: 
ˆ ˆzr a zaρρ= +G 
ˆ ˆzr a zρ aρ′ ′ ′= +G 
ˆr aaρ′ =G 
ˆR
r ra
r r
′−= ′−
G G
G G 
( )
( )2 2
ˆ ˆ
ˆ zR
a a za
a
a z
ρρ
ρ
− +=
− +
 
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
ˆ ˆ
ˆ
4
za a zaIad a
a z
dH
a z
ρ
φ
ρφ
ρ
π ρ
⎛ ⎞− +⎜ ⎟×⎜ ⎟− +⎝ ⎠=
− +
G
 
( )
( )( )3 22 2
ˆ ˆ
ˆ
4
za a zaIadH d a
a z
ρ
φ
ρ φπ ρ
− − += −
− +
G
 
( )
( )( )
2 2
3 22 2 0 0
ˆ ˆ
4 z
aIaH d a
a z
π π
ρ
ρ
z a dφ φπ ρ
⎡ ⎤− −⎢ ⎥′ ′= − +⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫G
( )
( )( ) ( )
2
3 22 2 0
ˆ ˆ ˆ2 cos
4 z x y
aIaH a z a
a z
πρ
sen a dπ φ φπ ρ
φ
⎡ ⎤− −⎢ ⎥′= − + +⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫G
 
( )( )3 22 2 ˆ2 z
Ia aH a
a z
ρ
ρ
⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦
G
 
( )( )0 3 22 2 ˆ2 z
Ia aB a
a z
µ ρ
ρ
⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦
G
 
¾ Casos particulares: 
• Sobre o eixo Oz: 
ρ = 0 
( )
2
3 22 2
ˆ
2
z
IaH a
a z
=
+
G
 
( )
2
0
3 22 2
ˆ
2
z
IaB a
a z
µ=
+
G
 
 
• Sobre o plano da espira: 
z = 0 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 22 
 
 22
Campo Magnético 
( )2 ˆ2 z
IaH a
aρ= −
G
 
( )
0
2 ˆ2
z
IaB a
a
µ
ρ= −
G
 
• No centro da espira: 
ˆ
2 z
IH a
a
=G 
0 ˆ
2 z
IB a
a
µ=G 
 
Para cada elemento de corrente lId
G
, podemos 
decompor a g como: indução ma nética
zdB dB dB⊥= +
G G G
 
Observe que, ao fazer a integral sobre todos os 
componentes elementares de corrente, a componente ⊥ 
da indução magnética se anula. Veja 
que: e idBBd x ˆsenθ=
G
2
ˆ
r
rlId
kdBBd m
×==
G
G
. 
Então: 
ˆsenz zB dB dBaθ= =∫ ∫G G 
Como 2 2m
IdldB k
z a
= + 
2 2 ˆsen z
IdlB a
z R
θ= +∫
G
 
( )2 22 2 32 2
ˆ ˆm m
R Idl aI
zB k i kz aa z a z
= =++ +∫ ∫
G
dlav
 
 
( )
2
32 2
ˆ2 m z
a IB k a
a z
π=
+
G
ou 
( )
2
0
32 2
ˆ
2 z
IaB a
a z
µ=
+
G
 
Veja que no centro da espira, x = 0, o campo 
magnético será: 0 ˆ
2 z
IB a
a
µ=G 
 
Campo magnético no centro de uma espira 
circular 
 
Exemplo 20- Calcule a indução magnética no 
eixo de um solenóide. 
 
 Figura 28 – Vistas das linhas de campo de um solenóide. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nas figuras mostramos como é um solenóide, 
as linhas de de força do campo magnético em seu 
interior e a curva fechada retangular necessária para 
aplicar a lei de Ampére. 
O campo magnético no interior de um 
solenóide pode ser calculado usando a Lei de Ampére 
utilizando a curva fechada indicada na figura acima: 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 23 
 
 23
Campo Magnético 
I
l
NBI
l
NhlBhIldB 000 µµµ =⇒=⇒=⋅∫ GG
 Ou, chamando de n = N/l o número de espiras 
por unidade de comprimento: 
 
nIB 0µ= 
 
(B no interior de um solenóide) 
 
Figura 29 – Vistas das linhas do vetor indução magnética 
no interior de um solenóide. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 30 – Módulo da indução magnéticaao longo do 
eixo de um solenóide de comprimento 4a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 21 - Calcule a indução magnética no 
eixo de um toróide. 
 
A figura a seguir ilustra um corte de um 
toróide, percorrido por uma corrente i0, mostrando 
também a curva de Ampére para se calcular o campo 
magnético. 
Aplicando a Lei de Ampére para essa curva: 
00ildB
C
µ=⋅∫ GG 
0 0
0 02 2
NiB Ni B µπρ µ πρ= ⇒ = 
Veja que o B não é constante, contrastando 
com o campo no interior (eixo) do solenóide. 
 
• Equação paramétrica do torus: 
( ) ( )ˆ ˆ( , ) cos cos s cosx yr u v v R r u a env R r u a rsenua= + + + + ˆzG
 
Figura 31 – Superfície do toróide (a). Enrolamento 
toroidal (b). 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 24 
 
 24
Campo Magnético 
(b) Vistas (a), (b) e (c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O toróide é o aparelho central de um promissor 
dispositivo: um reator de fusão controlada, denominado 
tokamak. 
 
Figura 32 – Vistas de um tokamak. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Formação de plasma em um tokamak. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) Configuração do campo magnético num tokamak. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 22 - Calcule o campo na região 
interna e externa de um fio condutor cuja corrente que 
o atravessa é I0 e seu raio vale R. 
 
Nesse caso usamos duas curvas de Ampére 
para fazer o cálculo: uma de raio r menor que R e outra 
de raio r maior que R. Precisamos saber qual a corrente 
que atravessa a curva de Ampére. 
 
 
 
Figura 33 – Vetor indução de um fio (a) e curvas C (b) 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definimos densidade de corrente J como sendo 
a razão entre corrente que atravessa a área da seção 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 25 
 
 25
Campo Magnético 
transversal de um condutor, limitado pela curva C e a 
área limitada pela curva C. 
x 
A
IJ = (Uniade SI:A/m2) 
Assim, a definição mais geral para corrente 
elétrica é: ∫∫ ⋅=
s
dAnJI ˆ
G
 
 I (interior a C) 
Veja que se J é constante: 
Observe que: Se r < R ⇒ I=Ii e se r > R ⇒ I=If=I0 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⋅=
0
2
2
0
II
r
R
IAJI
f
ii ππ 
Assim, a Lei de Ampére fica: 
 
∫ ⎩⎨
⎧
>
<=⋅
C f
i
RrI
RrI
ldB
 se 
 se 
0
0
µ
µGG
 
∫ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
<=⋅=⋅
C RrI
Rr
R
rIrBldB
 se 
 se 2
00
2
2
00
µ
µπGG 
Assim, o campo ficará: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
<
=
RrI
Rr
R
rI
B
 se 
r2
 se
r2
1 
00
2
2
00
π
µ π
µ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
<
=⇒
Rr
I
Rr
R
rI
B
 se 
r2
 se 
2
00
200
π
µ π
µ
 
Veja que a intensidade de Campo magnético 
possui um comportamento linear no interior do fio. 
A figura a seguir mostra como o campo varia 
com r no interior e no exterior de um fio condutor de 
raio 1.5 mm. Veja que em r = R os campos interno e 
externo coincidem. 
 
Figura 34 – Variação do vetor indução de um fio (a) e (b) 
 (a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
™ Campo devido a uma lâmina de corrente: 
 
 z 
 
 
 3 3’ y 
 
 1 1’ 
 
 
 
 
 
 
 2 2’ 
 
 
Figura 35 – Lâmina de corrente. 
 
Aplicando a Lei de Ampére nos caminhos: 
'22'11: −−−aC 
'22'33: −−−bC 
( ) LKLHLHILdH yxx
Ca
=−+⇒=⋅∫ 21GG 
yxx KHH =−⇒ 21 
( ) LKLHLHILdH yxx
Cb
=−+⇒=⋅∫ 23GG 
yxx KHH =−⇒ 23 
13 xx
HH =⇒ 
yx KH 2
1= 
Logo, Hx é o mesmo para z > 0 e z < 
0. 
 Assim: 
NaKH ˆ2
1 ×= GG 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 26 
 
 26
Campo Magnético 
 Torque sobre uma espira colocada 
num campo Magnético 
 
 Quando um condutor percorrido por uma 
corrente I é colocado em um campo magnético, existem 
forças em cada segmento do condutor. Quando ele tem 
a forma de uma espira fechada, não há força resultante, 
pois a soma das forças nas diferentes partes somadas 
para todo o condutor se anulam (Admitindo a indução 
magnética constante). As forças magnéticas, porém, 
provocam um torque no condutor, que tendem a 
provocar a rotação da espira, até que sua área seja 
perpendicular à indução magnética B. 
 
 Figura 36 – Torque sobre uma espira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura mostra uma espira retangular com 
uma corrente I . A espira está numa região de campo 
magnético uniforme, paralelo ao seu plano. As forças 
em cada segmento aparecem indicadas na figura. Não 
há forças nas direções em que a corrente flui na direção 
do campo magnético. 
 Co o: m
t 
 BlIdFd
GGG ×= IaBFF ==⇒ 21
 Definimos como o torque da da força F em 
relação ao pon o P:
 Fl
GGG ×=τ
O módulo do torque da força F 1 em relação ao 
ponto P1 será dado por: 
IABIabBbF === 1τ 
Aqui A = ab é a área da espira, assim, o torque 
é o produto da corrente pela área da espira e pelo 
campo magnético. O torque tende a girar a espira de 
modo que seu plano seja perpendicular ao vetor B. 
O sentido do versor n normal à área é dado 
coincidente com o sentido da regra da mão direita. 
Quando a normal n faz um ângulo θ com o 
vetor indução magnética B o torque tende a girar a 
espira de modo que seu plano seja perpendicular a B. 
 Nesse caso, como Fl
GGG ×=τ , teremos: 
θτθτ sensen IABIabB =⇒= 
 Pode-se escrever esse torque em termos do 
produto vetorial de n e B, da seguinte forma: 
 
BnIA
GGG ×=τ 
 A grandeza da espira está associada ao 
chamado momento magnético de uma barra imantada, é 
o mesmo que acontece quando colocamos um ímã 
retilíneo sobre um campo magnético uniforme: surge 
um torque sobre o ímã tendendo-o a alinhar-se com a 
direção do campo. Esse torque é dado por: 
nIAG
 
BmBlq
GGGGGG ×=⇒×= ττ * 
 Onde lqm
GG *= é chamado de momento 
magnético do ímã (Unidades: Ampére metro quadrado: 
Am2). q* é definido como a grandeza de pólo , a razão 
entre a grandeza da força F sobre o pólo e o vetor 
indução B. 
 
Figura 37 – Campo paralelo ao plano da espira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 38 – Campo normal ao plano da espira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 27 
 
 27
Campo Magnético 
Outra aplicação importante são amperímetros 
e voltímetros analógicos, onde a leitura é feita 
observando a deflexão de um ponteiro sobre uma 
escala, utilizando o torque exercido pelo campo 
magnético sobre uma bobina. 
 
Figura 39 – Amperímetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 23 – Expresse o campo H em 
coordenadas cartesianas em P(0, 0,2, 0) no campo de: 
 (a) um filamento de corrente de 2,5 A na 
direção az em x = 0,1, y=0,3; 
 (b) um cabo coaxial centrado no eixo z, com a 
= 0,3, b =0,5, c = 0,6 e I = 2,5 A na direção az no 
condutor central; 
 (c) três lâminas de corrente, 2,7 ax A/m, em y 
= 0,1, -1,4 ax A/m, em y = 0,15 e -1,3 ax A/m, em y = 
0,25, 
 
 Solução: 
 
 (a) um filamento de corrente de 2,5 A na 
direção az em x = 0,1, y=0,3; 
 
 yar ˆ2,0=G 
 zyx azaar ˆˆ3,0ˆ1,0 ′++=′G 
 zyx azaarr ˆˆ1,0ˆ1,0′−−−=′− GG 
 ( ) ( ) 222 1,01,0 zrrR ′+−+−=′−= GG 
202,0 zrrR ′+=′−= GG 
( )zyxR azaa
zR
Ra ˆˆ1,0ˆ1,0
02,0
1ˆ
2
′−−−′+
==
G
 
zazdld ˆ′=
G
 
2
ˆ
4 R
aldIHd R×=
GG
π ( )
( ) 23202,0
ˆˆ1,0ˆ1,0ˆ
4 z
azaaadzIHd zyxz ′+
′−−−×= π
G
 
( ) 23202,0
)ˆ1,0ˆ1,0(
4 z
dzaaIHd xy ′+
+−= π
G
 
( )∫
+∞
∞− ′+
−= 23202,0)
ˆ1,0ˆ1,0(
4 z
dzaaIH yxπ
G
 
Chamando:
θθθ dzdtgz 2sec02,002,0 =′⇒=′ 
( )∫
+∞
∞− +
−= 232
2
02,002,0
sec02,0
)ˆ1,0ˆ1,0(
4 θ
θθ
π tg
daaIH yx
G
 
( ) ( )∫
+∞
∞−
−= 232
2
3 sec
sec
02,0
02,0
)ˆ1,0ˆ1,0(
4 θ
θθ
π
daaIH yx
G
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 28 
 
 28
Campo Magnético 
∫+∞
∞−
−= θ
θ
π sec02,0
1)ˆ1,0ˆ1,0(
4
daaIH yx
G
 
∫+∞
∞−
−= θθπ daa
IH yx cos02,0
1)ˆ1,0ˆ1,0(
4
G
 
θπ senaa
IH yx 02,0
1)ˆ1,0ˆ1,0(
4
−=G 
θπ 21
11
02,0
1)ˆ1,0ˆ1,0(
4 tg
aaIH yx +−−=
G
 
+∞
∞−
′+
−−=
02,0
1
11
02,0
1)ˆ1,0ˆ1,0(
4 2z
aaIH yxπ
G
 
+∞
∞−′+
−−= 202,0
02,01
02,0
1)ˆ1,0ˆ1,0(
4 z
aaIH yxπ
G
 
+∞
∞−′+
′−=
202,002,0
1)ˆ1,0ˆ1,0(
4 z
zaaIH yxπ
G
 
2
02,0
1)ˆ1,0ˆ1,0(
4 yx
aaIH −= π
G
 
01,0
1)ˆ1,0ˆ1,0(
4
5,2
yx aaH −= π
G
 
)ˆˆ(
01,04
1,05,2
yx aaH −⋅= π
G
 
m
AaaH yx )ˆˆ(989,1 −=
G
 
m
AaaH yx ˆ898,1ˆ989,1 −=
G
 
 (b) um cabo coaxial centrado no eixo z, com a 
= 0,3, b =0,5, c = 0,6 e I = 2,5 A na direção az no 
condutor central; 
 
Cálculo do Campo Magnético H: 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−+
<<+
<<+
<
=⋅∫
cII
cbII
baI
aI
LdH
c
c
C
ρ
ρ
ρ
ρ
 se 
 se 
 se 
 se 
2
1
GG
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−+
<<+
<<+
<
=⋅∫
cII
cbJAI
baI
aJA
LdH
C
C
C
ρ
ρ
ρ
ρ
 se 
 se 
 se 
 se 
2
1
GG
 
( ) ( )
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>
<<−−−
<<+
<
=
c
cbb
bc
II
baI
a
a
I
H
ρ
ρρππ
ρ
ρπρπ
πρφ
 se 0
 se 
 se 
 se 
2
22
22
2
2
( )( )
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
>
<<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−−
<<+
<
=
c
cba
bc
bI
baaI
aa
a
I
H
ρ
ρρπρ
ρπρ
ρρπ
φ
φ
φ
 se 0
 se ˆ1
2
 se ˆ
2
 se ˆ
2
22
22
2
G
G 
 
( )( )
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
>
<<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−−
<<+
<
=
c
cba
bc
bI
baa
I
aa
a
I
B
ρ
ρρπρ
µ
ρπρ
µ
ρρπ
µ
φ
φ
φ
 se 0
 se ˆ1
2
 se ˆ
2
 se ˆ
2
22
22
0
0
2
0
G
G 
2,02,00 2 =+=ρ 
 
 φρπ aa
IH ˆ
2 2
=G 
 φπ aH ˆ2,03,02
5,2
2=
G
 
 φaH ˆ884,0=
G
 
 2ˆcosˆˆ πφ φφφ =⇔+−= yx aasena 
 xaa ˆˆ −=φ 
xaH ˆ884,0−=
G
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 29 
 
 29
Campo Magnético 
(c) três lâminas de corrente, 2,7 ax A/m, em y 
= 0,1, -1,4 ax A/m, em y = 0,15 e -1,3 ax A/m, em y = 
0,25, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P(0,0,2,0) 
 C mpo de uma lâmina: a
 NaKH ˆ21 ×=
GG
 
 321 HHHH
GGGG ++=
 
321
ˆˆˆ 321221121 NNN aKaKaKH ×+×+×=
GGGG
 
)ˆ(ˆ3,1(ˆ)ˆ4,1(ˆˆ7,2)0,2,0,0( 212121 yxyxyx aaaaaaH ×−+×−+×=
G
zzz aaaH ˆˆˆ7,2)0,2,0,0( 2
3,1
2
4,1
2
1 +−=G 
)(ˆ3,1)0,2,0,0( mAzaH =
G
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 24 – (a) Calcule a integral de linha 
fechada de H em torno do caminho retangular 
 P1( 2, 3, 4) a P 2( 4, 3, 4) a P3( 4, 3, 1) a P4( 2, 3, 1) a 
P1, dado: ( )mAzx axazH ˆ2ˆ3 2−=G 
 (b) Determine o quociente da integral de linha 
fechada e a área envolvida pelo retângulo como uma 
aproximação para ( )yHGG ×∇ . 
 (c) Determine ( )yHGG ×∇ no centro da área. 
 z 
 Solução: 4 
 
 (a) P1(2,3,4) 
 
 
 
 P2(4,3,4) P4( 2, 3, 1) 
 
 3 
 2 y 
 
 
 P3(4 ,3, 1) 
 
 
 4 
 x 
 
 
∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅
4321 CCCCC
ldHldHldHldHldH
GGGGGGGGGG
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
≤≤
4
3
42
:1
z
y
x
C
; ; ; 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
≤≥
4
3
14
:2
x
y
z
C
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
≥≥
1
3
24
:3
z
y
x
C
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
≤≤
2
3
41
:4
x
y
z
C
( )∫∫ −=⋅ )4,3,4(
)4,3,2(
223 dzxzdxldH
C
GG
 
( )∫ −+ )1,3,4(
)4,3,4(
223 dzxzdx ( )∫ −+ )1,3,2(
)1,3,4(
223 dzxzdx 
( )∫ −+ )4,3,2(
)1,3,2(
223 dzxzdx 
( )∫∫ −⋅=⋅ )4,3,4(
)4,3,2(
2 0243 xdxldH
C
GG
 
( )∫ ⋅−+ )1,3,4(
)4,3,4(
24203 dzz ( )∫ −⋅+ )1,3,2(
)1,3,4(
2 0213 xdx 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 30 
 
 30
Campo Magnético 
( )∫ −+ )4,3,2(
)1,3,2(
223 dzxzdx 
4
1
22
4
1
4
4
2
2233212 zxzxldH
C
⋅−+−=⋅∫ GG 
)14(8)42(3)41(32)24(12 −−−+−−−=⋅∫
C
ldH
GG
AldH
C
902469624 =−−++=⋅∫ GG 
 
 (b) Determine o quociente da integral de linha 
fechada e a área envolvida pelo retângulo como uma 
aproximação para ( )yHGG ×∇ . 
 
 2156
90
m
AC
A
ldH
==
⋅∫ GG
 
 (c) 
( ) 215)34(3)4(3 mAzxy xxHzHH =⋅−−=−−=∂∂−∂∂=×∇ GG
 Observação: 
 ( ) dxdzxSdH
S
∫ ∫∫∫ −=⋅×∇
4
2
4
1
)43(
GGG
 
( ) ))86(3212(3)23( 42241 +−+⋅=+=⋅×∇∫∫ xxzSdH
S
GGG
 
( ) ASdH
S
90)1444(3 =−⋅=⋅×∇∫∫ GGG 
 
 Exemplo 25 –Calcule o valor da densidade de 
corrente : 
 (a) em coordenadas cartesianas em PA( 2, 3, 4) 
se zy azyazxH ˆˆ
22 −=G ; 
 (b) em coordenadas cilíndricas em 
 PB( 1,5, 90°, 0,5) se ρφρ aH ˆ2,0cos
2=G ; 
 (c) em coordenadas esféricas em 
PC( 2, 30°, 20°) se θθ asenH ˆ
1=G 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
 (a) PA( 2, 3, 4) se zy axyazxH ˆˆ
22 −=G 
HJ
GGG ×∇= 
 
z
xy
y
xx
x
yz a
y
H
x
H
a
x
H
z
Ha
z
H
y
HJ ˆˆˆ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=G 
zyx ayx
zxa
x
xy
z
a
z
zx
y
zyJ ˆ)0()(ˆ)()0(ˆ)()(
2222
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
−∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
−∂=G
 
( ) zyx axzayaxyzJ ˆ2ˆˆ)2( 22 ++−−=G 
( ) zyx aaaJ ˆ422ˆ3ˆ)2322()4,3,2( 22 ⋅⋅++−⋅⋅−=G ( )2ˆ16ˆ9ˆ16)4,3,2( mAzyx aaaJ ++−=G 
 
 (b) em coordenadas cilíndricas em 
 PB( 1,5, 90°, 0,5) se ρφρ aH ˆ2,0cos
2=G ; 
HJ
GGG ×∇= ( )
z
zz a
HH
a
H
z
H
a
z
HH
J ˆ1ˆˆ1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂= φρ
ρ
ρρφρ
ρφ
φ
ρ
ρ
φG 
( )
zaJ ˆ2,0cos
201 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂= φρφρ
ρ
ρ
G 
zasenJ ˆ2,0
4,0
2 φρ=
G
 
( ) zasenJ ˆ22,05,1
4,05,0,90,5,1 2
π⋅=°G 
( ) 2ˆ0549,05,0,90,5,1 mAzaJ =°G 
 (c) em coordenadas esféricas em 
PC( 2, 30°, 20°) se θθ asenH ˆ
1=G 
HJ
GGG ×∇= ( ) ( ) ( )
φ
θ
θ
φθφ
θφθφθ
θ
θ a
H
r
rH
r
a
r
rHH
senr
a
HsenH
rsen
J rrr ˆ
1ˆ11ˆ1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=G
 
φ
θ a
r
sen
r
r
J ˆ0
1
1
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−∂
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
=G
 
φθ arsenJ ˆ
1=G 
φasen
J ˆ
302
1)20,30,2( =°°G 
2ˆ1)20,30,2( m
AaJ φ=°°
G
 
 
 Exemplo 26 – Calcule ambos os lados do 
te rema de Stokes para o campo: o
m
A
yx ayaxyH ˆ3ˆ6
2−=G e para o caminho retangular 
EletromagnetismoI – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 31 
 
 31
Campo Magnético 
ao redor da região 2 § x § 5, -1 § y § 1, z = 0. 
Considere a direção positiva de dS sendo az. 
 
 
 
 
 P1(2, -1, 0) P4( 2, 1, 0) 
 
 
 y 
 P2(5 ,-1, 0) P3( 5, 1, 0) 
 
 
 
 x 
∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅
4321 CCCCC
ldHldHldHldHldH
GGGGGGGGGG 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=
≤≤
0
1
52
:1
z
y
x
C
; ; ; 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
≤≤−
0
5
11
:2
z
x
y
C
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
≥≥
0
1
25
:3
z
y
x
C
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
−≥≥
0
2
11
:4
z
x
y
C
 
dyydxxydyydxxyldH
C
∫∫∫∫∫ −
−
−++−+=⋅
1
1
2
2
5
1
1
2
5
2
3636
GG 
)1,2(
)1,2(
3
)1,2(
)1,5(
2)1,5(
)1,5(
3)1,5(
)1,2(
2
2
6
3
3
2
6 −
−
−
−
−+−=⋅∫ yyxyyxldH
C
GG 
AldH
C
126263263 −=+−−−=⋅∫ GG 
 ( ) AxdxdySdH
S
1266
1
1
5
2
−=−=⋅×∇ ∫ ∫∫∫
−
GGG
 
Exemplo 27 – Um condutor sólido de seção 
transversa circular é feita de um material homogêneo 
não magnético. Se o raio a = 1mm, o eixo do condutor 
está situado no eixo z e a corrente total na direção az é 
20 A, determine: 
(a) Hφ em ρ = 0,5 mm; 
(b) Bφ em ρ = 0,8 mm; 
 (c) O fluxo magnético total por unidade de 
comprimento dentro do condutor; 
 (d) o fluxo total para ρ < 0,5 mm; 
 (e) o fluxo total fora do condutor. 
 
 Solução: 
(a) Hφ em ρ = 0,5 mm; 
C
H dL I⋅ =∫ G G> 
 se 
 se 
c
C
I a
H dL
I a
ρ
ρ
<⎧⋅ = ⎨ >⎩∫
G G> 
 se 
 se 
c
C
JA a
H dL
I a
ρ
ρ
<⎧⋅ = ⎨ >⎩∫
G G> 
 se 
 se 
c
C
I A a
H dL A
I a
ρ
ρ
⎧ <⎪⋅ = ⎨⎪ >⎩
∫ G G> 
2
2 se 
 se C
I aH dL a
I a
πρ ρπ
ρ
⎧ <⎪⋅ = ⎨⎪ >⎩
∫ G G> 
2
2 se 2
 se 
I aH a
I a
φ
ρ ρπρ
ρ
⎧ <⎪= ⎨⎪ >⎩
 
2 se 2
1 se 
2
I a
aH
I a
φ
ρ ρπ
ρπ ρ
⎧ <⎪⎪= ⎨⎪ >⎪⎩
 
2 ˆ se 2
1 ˆ se 
2
I a a
aH
I a a
φ
φ
ρ ρπ
ρπ ρ
⎧ <⎪⎪= ⎨⎪ >⎪⎩
G
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
3
23
20 ˆ( 0,5 ) 0,5 10
2 1 10
H mm aφρ π
−
−
= = ⋅
⋅
G
 
( )ˆ( 0,5 ) 1591.55 AmH mm aφρ = =G 
(b) Bφ em ρ = 0,8 mm; 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 32 
 
 32
Campo Magnético 
0
2
0
ˆ se 
2
1 ˆ se 
2
I a a
aB
I a a
φ
φ
µ ρ ρπ
µ ρπ ρ
⎧ <⎪⎪= ⎨⎪ >⎪⎩
G
 
( )
7
30
22 3
4 10 20ˆ ˆ( 0,8 ) 0,8 10
2 2 1 10
IB mm a
a
aφ φ
µ πρ ρπ π
−
−
−
⋅= = = ⋅
⋅
G 
ˆ( 0,8 ) 0,0032B mm aφρ = =
G
 
( )ˆ( 0,8 ) 3, 2B mm a mφρ = =G T 
 (c) O fluxo magnético total por unidade de 
comprimento dentro do condutor; 
 
 
 
 
 
 
S
B dSΦ = ⋅∫∫ GG 
 
2
20
ˆ
L
L
a
B d dzaφρ
+
−
Φ = ⋅∫ ∫ G 
2
2
0
2
0
ˆ ˆ
2
L
L
a I a d dza
a φ φ
µ ρ ρπ
+
−
Φ = ⋅∫ ∫ 
2
2
0
2
02
L
L
aI d d
a
µ ρ ρπ
+
−
Φ = ∫ ∫ z 
2
2
2
0
2
02 2
L
L
a
z
z
I z
a
ρ
ρ
µ ρ
π
=
=+
=−
=
Φ = 
0
4
ILµ
πΦ = 
74 10 20
4L
π
π
−Φ ⋅= 
( )2 WbmL µ
Φ = 
 
 (d) o fluxo total para ρ < 0,5 mm; 
3
2
2
0,5 10
0
2
02
L
L
I d d
a
µ ρ ρπ
− +⋅
−
Φ = ∫ ∫ z 
3
2
2
0,5 102
0
2
02 2
L
L
z
z
I z
a
ρ
ρ
µ ρ
π
−= ⋅
=+
=−
=
Φ = 
3
2
2
0,5 102
0
2
02 2
L
L
z
z
I z
a
ρ
ρ
µ ρ
π
−= ⋅
=+
=−
=
Φ = 
( )
( )237
23
0,5 104 10 20
22 1 10L
π
π
−−
−
⋅Φ ⋅=
⋅
 
( )0,5 WbmL µ
Φ = 
 
 (e) o fluxo total fora do condutor. 
 
2
2
ˆ
L
La
B d dzaφρ
+∞
−
Φ = ⋅∫ ∫ G 
 
2
2
0 1 ˆ ˆ 
2
L
La
I a d dzaφ φ
µ ρπ ρ
+∞
−
Φ = ⋅∫ ∫ 
2
2
0
2
L
La
I d dzµ ρπ ρ
+∞
−
Φ = ∫ ∫ 
0 ln
2 a
I Lρ
µ ρπ
∞
=Φ = 
Φ = ∞ 
 
 Fluxo magnético, Equações de Maxwell e o 
Potencial Vetor: 
 
Definimos como densidade de fluxo 
magnético como: 
0B Hµ=
G G
 
No espaço livre, onde B é medido em Tesla 
(T) ou Weber por metro quadrado (Wb/m2): 
21 1WbmT = 
A constante µ0 é a permeabilidade magnética 
do espaço livre e tem o valor definido nas unidades em 
Henry por metro: ( )70 4 10 Hmµ π −= ⋅ 
Observando que o fluxo magnético é definido 
por: 
S
B dSΦ = ⋅∫∫ GG 
Unidade: Weber 
Como nenhuma fonte para as linhas de fluxo 
magnético foi descoberto, como mostramos na figura a 
seguir: 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 33 
 
 33
Campo Magnético 
 
Figura 40 – Linhas de fluxo magnético B para: 
(a) ímã permanente; (b) bobina cilíndrica; (c) eletroímã 
com núcleo de ferro; (d) plano perpendicular a um fio infinito; (e) 
plano que contém o eixo central de uma espira; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Portando não há fontes descobertas para as linhas de fluxo 
magnético. Assim, se aplicarmos o teorema da divergência, a Lei de 
Gauss para o campo magnético é: 
 
0
S
B dS⋅ =∫∫ GGw 
 Ao aplicarmos o teorema da divergência ou teorema de 
Gauss: 
0 0
S V
B dS BdV B⋅ = ∇ ⋅ = ⇔ ∇⋅ =∫∫ ∫∫∫GG G G G Gw 
 Reunindo todas as equações vistas, mostramos as quatro 
equações de Maxwell que se aplicam a campos magnéticos 
estacionários e a campos elétricos estáticos: 
 
™ Forma diferencial das equações de Maxwell para campos 
estacionários: 
vD ρ∇ ⋅ =
G G
 
0E∇× = GG G 
H J∇× =G G G 
0B∇⋅ =G G 
™ Forma integral das equações de Maxwell para campos 
estacionários: 
v
S V
D dS Q dVρ⋅ = =∫∫ ∫∫∫GGw 
0
C
E dL⋅ =∫ G Gv 
C S
H dL I J dS⋅ = = ⋅∫ ∫∫ GG G Gv 
0
S
B dS⋅ =∫∫ GGw 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vam s le m tes: o mbrar algu as identidades vetoriais importan
 1. ( ) ( ) ( )u v w v w u w u v× ⋅ ≡ × ⋅ ≡ × ⋅G G G G G G G G G 
 2. ( ) ( ) ( )u v w u w v u v w× × = ⋅ − ⋅G G G G G G G G G 
 3. ( )u w u w∇⋅ + = ∇ ⋅ +∇ ⋅G G GG G G G 
 4. ( )f g f g∇ + = ∇ +∇G G G 
 5. ( )u w u w∇× + = ∇× +∇×G G GG G G G 
 6. ( )fu u f f u∇⋅ = ⋅∇ + ∇⋅G G GG G G 
7. ( )fg f g g f∇ = ∇ + ∇G G G 
8. ( )fu f u f u∇× = ∇ × + ∇×G G GG G G 
 9. ( )u v v u u v∇⋅ × = ⋅∇× − ⋅∇×G G GG G G G G G 
10. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u v u v v u u v v u∇ ⋅ = ⋅∇ + ⋅∇ + × ∇× + × ∇×G G G G GG G G G G G G G G G 
11. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u v u v v u v u u v∇× × = ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ⋅∇ − ⋅∇G G G G GG G G G G G G G G G 
12.
2f f∇⋅∇ = ∇G G 
13. 0f∇×∇ = GG G 
14. ( ) 0u∇⋅ ∇× =G G G
u
 
15. ( ) 2u u∇×∇× = ∇ ∇⋅ −∇G G G GG G G
A torial: 
 
 
nalizando a relação ve
( ) ( ) ( )u v v u u v∇⋅ × = ⋅ ∇× − ⋅ ∇×G G GG G G G G G 
Se fizermos: ( ) ( ) ( )v v v∇⋅ ∇× = ⋅ ∇×∇ −∇⋅ ∇×G G G G G GG G G 
( ) 0v∇⋅ ∇× =G G G 
Observe que o fato de , de acordo 
com a relação anterior, podemos expressar B como um 
campo vetorial. Chamamos então de 
0B∇⋅ =G G
potencial 
magnético vetorial A definido por: 
B A= ∇× GG G 
Ou 
0
1H Aµ= ∇×
GG G
 
Unidade: Weber por metro: Wb/m 
 
Observe que, se calcularmos a integral de linha 
do vetor potencial magnético A sobre uma curva 
fechada C e aplicarmos o teorema de Stokes, teremos: ( )
C S S
A dL A dS B dS⋅ = ∇× ⋅ = ⋅ = Φ∫ ∫∫ ∫∫G G G GG G Gv 
Ou: 
C
A dLΦ = ⋅∫ G Gv 
Veja que, da Lei de Biot e Savart: 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 34 
 
 34
Campo Magnético 
0
34C
IdL RB
R
µ
π
×= ∫
G GG v 
ou 
0
2
ˆ
4
R
C
IdL aB
R
µ
π
×= ∫
GG vSe a corrente I es´ta distribuída no espaço 
como uma densidade de corrente Jf podemos substituir 
I por Jfda. Logo, JfdadL torna-se Jf dV: 
0
2
ˆ
4
f R
V
J a
B dV
R
µ
π ′
× ′= ∫∫∫
GG
 
Ou 
0
2
ˆ
4
R
f
V
aB J d
R
Vµπ ′
′= ×∫∫∫G G 
Com V’ o volume do condutor. 
C mo: o
( ) ( ) ( )ˆ ˆx y ˆzR x x a y y a z z a′ ′= − + − + −G ′
)
 
( ) ( ) (2 2 2R x x y y z z′ ′= − + − + − ′ 
( ) ( ) ( )2 2
1 1
R x x y y z z
⎛⎛ ⎞ ⎜ ⎟∇ = ∇⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 2
⎞
′ ′ ′− + − + −⎝ ⎠
G G
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 22 2 2ˆ ˆ ˆ2 2 21
2
x y zx x a y y a z z a x x y y z z
R
−′ ′ ′− + − + −⎛ ⎞ ⎡ ′ ′ ′∇ = − − + − + −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
G ⎤
 
3 2
ˆ1 RaR
R R
⎛ ⎞∇ = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
GG
R
 
Logo podemos então escrever: 
( )0 1
4 fRV
B J dVµπ ′
′= ∇ ×∫∫∫G G G 
Usando a identidade vetorial: 
( )fu f u f∇× = ∇ × + ∇×G G GG G uG 
( )1 11 f fR RJ JR⎛ ⎞∇× = ∇ × + ∇×⎜ ⎟⎝ ⎠
G G G G G
fJ
G
 
( ) ( )1 1fJfR R RJ∇ × = ∇× − ∇×GG G G G fJG 
Como Jf é uma função de (x’, y’, z’): 0fJ∇× =
GG G
 
Então, podemos escrever: 
 
0
4
fJ
R
V
B dVµπ ′
′= ∇×∫∫∫ GG G 
Mudando a ordem da diferenciação e integração, obtemos: 
0
4
fJ
R
V
B dVµπ ′
⎡ ⎤′= ∇× ⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫∫
GG G
 
Comparando com: 
B A= ∇× GG G 
Teremos: 
0
4
fJ
R
V
A dVµπ ′
′= ∫∫∫ GG 
 
 Tomando a divergência de A 
0
4
fJ
R
V
A dVµπ ′
′∇ ⋅ = ∇ ⋅∫∫∫ GGG G 
 Usando a propriedade: 
( )fu u f f u∇⋅ = ⋅∇ + ∇⋅G G GG G G 
( ) ( )1 1fJ f fR R RJ J∇⋅ = ⋅∇ + ∇⋅GG G G G G 
( )0 1 1
4 f fR RV
A J J dVµπ ′
⎡ ⎤ ′∇ ⋅ = ⋅∇ + ∇ ⋅⎣ ⎦∫∫∫GG G G G G 
Como Jf é uma função de (x’, y’, z’): 0fJ∇⋅ =
G G
 
 Podemos mostrar que: 
3 2
ˆ1 RaR
R R R
⎛ ⎞′∇ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
GG
 
Portanto: 
1 1
R R
⎛ ⎞ ⎛ ⎞′∇ = −∇⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
G G
 
Então: ( )0 1
4 f RV
A J dVµπ ′
⎡ ⎤′ ′∇ ⋅ = − ⋅∇⎣ ⎦∫∫∫GG G G 
 Aplicando novamente: ( ) ( )1 1fJ f fR R RJ J′ ′ ′∇ ⋅ = ⋅∇ + ∇ ⋅GG G G G G ~ 
( ) ( )1 1 fJf fR R RJ J′ ′ ′− ⋅∇ = ∇ ⋅ −∇ ⋅ GG G G G G 
 Substituindo, vem: 
 ( )0 14 fJfR RVA J dVµπ ′ ⎡ ⎤′ ′∇ ⋅ = ∇ ⋅ −∇ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫∫ ′
GGG G G G
 
 Como estamos preocupados com campos 
estacionários, a equação da continuidade mostra que: 
0fJ′∇ ⋅ =
G G
 
Aplicando o teorema da divergência, ficaremos com: ( )0 04 4f fJ JR RV SA dV dSµ µπ π′ ′ ′∇ ⋅ = − ∇ ⋅ = − ⋅∫∫∫ ∫∫
G GG GG G w 
Aqui, a superfície S envolve todo o volume que 
estamos integrando, que por sua vez envolve toda a 
corrente.Fora desse volume não há corrente, e portanto, 
se integrarmos sobre um volume ligeiramente maior ou 
uma superfície ligeiramente maio sem modificar A, a 
densidade de corrente Jf deve ser zero. 
 Assim: 0A∇⋅ =GG 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 35 
 
 35
G
Campo Magnético 
Como , analisaremos agora a 
expressão: 
H J∇× =G G
0
1H Aµ∇× = ∇×∇×
GG G G G
 
Veja que: 
( ) ( )u v w u w v u v w× × = ⋅ − ⋅G G G G G G G G G 
( ) 2A A∇×∇× = ∇ ∇⋅ −∇G GG G G G AG 
( )0 21H Aµ ⎡ ⎤∇× = ∇ ∇⋅ −∇⎣ ⎦G GG G G G A 
Como deduzimos que: 0A∇⋅ =GG
0
21H Aµ ⎡ ⎤∇× = −∇⎣ ⎦
GG G
 
2
0 fA Jµ∇ = −
G G
 
Esse resultado é similar à equação de Poisson: 
2
0
vV ρε∇ = − 
Podemos escrever: 
2 2 2 2ˆ ˆx x y y z zA A a A a A∇ = ∇ +∇ +∇
G
aˆ 
Se a densidade de corrente for nula, e pelas 
relações de simetria que informam a equação 
0
4
fJ
R
V
A dVµπ ′
′= ∫∫∫ GG , considerando somente 
dependência de Az em ρ, teremos: 
2 2
2 2 2
1 1 0z zA A A
z
ρρ ρ ρ ρ φ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
z = 
1
1 0z zA A Cρ ρρ ρ ρ ρ
⎛ ⎞∂ ∂∂ = ⇔ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
 
1
1 2lnz z
A C A C Cρρ ρ
∂ = ⇔ = +∂ 
Como 0 ˆ ˆ
2
zI AB A a aφ φ
µ
πρ ρ
∂= ∇× ⇔ = − ∂
GG G
 
Logo: 
0 0
2ln2 2
d
z z
I IA Aρρ C
µ µ ρπ π= − ⇔ = − +∫ 
Comparando as relações, chega-se a: 
0
1 2
IC µπ= − 
Se escolhermos um zero de referência em: 
ρ = b, teremos: 
( ) 0 02 2ln 0 ln2 2z
I IA b b C C bµ µρ π π= = − + = ⇔ =
( ) 0 0ln ln
2 2z
I IA bµ µρ ρπ π= − + 
( ) 0 ˆln
2 z
I bA aµρ π ρ=
G
 
O potencial magnético vetorial A é 
extremamente útil no estudo de irradiação de antenas, 
de aberturas e fugas de irradiação de linhas de 
transmissão, de guias de ondas e de fornos de 
microondas, podendo ser usado em regiões onde a 
densidade de corrente é zero ou diferente de zero. 
 
Exemplo 28 – Uma lâmina de corrente 
ˆ2, 4 zK = a
G
(A/m) está presente na superfície ρ = 1,2 
no espaço livre. (a) Determine H para ρ > 1,2. 
 
2 2 1,2 2I K , 4πρ π= = i 
5,76I π= 
2 5,7
C
H dL I H 6πρ π⋅ = ⇔ =∫ G Gv 
2,88 ˆH aφρ=
G
 
Exemplo 29 – O valor de A no interior de um 
condutor sólido não magnético de raio a conduzindo 
uma corrente I na direção az pode ser encontrado 
facilmente. Usando o valor conhecido de H ou de B 
para ρ < a, então a equação 0
4
IdLA
R
µ
π= ∫
GG v pode 
serresolvida para A. Escolha ( )0 ln 5 / 2A Iµ π= em 
ρ = a e determine A em ρ: 
(a) 0; 
(b) 0,25a; 
(c) 0,75a; 
(d) a; 
 
Como B A= ∇× GG G : 
A∇× =GG ( )1 1ˆ ˆz z ˆzAA A AA Aa az z φφ ρ ρρ φ
ρ
ρ φ ρ ρ ρ φ
⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ⎜ ⎟− + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a
 
Se 0
4V
JA
R
µ
π= ∫∫∫
G
dV
G
e I está na direção de z, 
então A e J estão nessa direção: 
 
0
2
ˆ ˆ
2
zA IAB a a
z a
ρ
φ φ
µ ρρ π
∂⎛ ⎞∂= − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
G
 
0 0
2 22 2
z
z
I IA A d
a a
µ µρ ρ ρρ π π
∂− = ⇔ = −∂ ∫ 
2
0
22 2z
IA C
a
µ ρ
π= − + 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 36 
 
 36
Campo Magnético 
2
0 0
2
ln 5( )
2 2 2z
I IaA a C
a
µ µρ π π= = − + = 
( )0 12ln 52
IC µπ= + 
( )20 0 122 ˆln 52 2 2 z
I IA a
a
µ µρ
π π
⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
G
 
( )20 122 ˆln 52 2 z
IA a
a
µ ρ
π
⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
G
 
 
(a) ρ =0; 
( )20 1220 ˆln 52 2 z
IA a
a
µ
π
⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
G
 
( )ˆ0,4218 Wbz mA I aµ=G 
(b) 0,25a; 
( ) ( )
2
0 1
22
0, 25
ˆln 5
2 2 z
aIA a
a
µ
π
⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
G
 
( )ˆ0,4156 Wbz mA I aµ=G 
(c) 0,75a; 
( ) ( )
2
0 1
22
0,75
ˆln 5
2 2 z
aIA
a
µ
π
⎡= − + +⎢⎢⎣
G
a
⎤⎥⎥⎦
 
( )ˆ0,3656 Wbz mA I aµ=G 
(d) a; 
( ) ( )
2
0 1
22
ˆln 5
2 2 z
aIA
a
µ
π
⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
G
a 
( )ˆ0,322 Wbz mA aµ=G 
Exemplo 30 – Considere dois condutores, cada 
um com 1 cm de raio, paralelos ao eixo z com seus 
eixos situados no plano x = 0. 
Um condutor, cujo eixo está em: 
(0, 4 cm, z) e conduz 12 A na direção az; o 
outro eixo está em: 
(0, -4cm, z) e conduz -12 A na direção -az; 
Cada corrente tem seu zero de referência para 
A localizada a 4 cm do seu eixo. Determinar o campo A 
total em: 
(a) 0; 
(b) (0, 8cm, z); 
(c) (4, 4cm, z); 
(d) (2, 4cm, z); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 0; 
0 1 0 2
1 2
ˆln ln
2 2 z
I Ib bA aµ µπ ρ π ρ
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
G
 
0 0 212 4 4 ˆln ln
2 4 2 4 z
IA aµ µπ π
−⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
G
 
( )ˆ0 Wbz mA a=G 
(b) (0, 8cm, z); 
(c) (4, 4cm, z); 
(d) (2, 4cm, z); 
 
Exemplo 31 – Determine o campo das 
distribuições de corrente abaixo: 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
1
4
IdL RdH
Rπ
×=
G GG
 
( ) ˆ ˆzR r r a a zaρρ′= − = − +G G G 
( )2 2R a zρ= − +G 
ˆ ˆ zdL d a d a dzaρ φρ ρ φ= + + ˆ
G
 
ˆdL ad aφφ=
G
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 37 
 
 37
Campo Magnético 
( )
( ) 3 22 2
ˆ ˆ1
4
zˆIad a a a zadH
a z
φ ρφ ρ
π ρ
⎡ ⎤× − +⎣ ⎦= ⎡ ⎤− +⎣ ⎦
G
 
( )
( ) 3 22 2
ˆ ˆ1
4
zIad a a zadH
a z
ρφ ρ
π ρ
⎡ ⎤− − +⎣ ⎦= ⎡ ⎤− +⎣ ⎦
G
 
( )
( )
0 0
3 22 2
ˆ ˆ
4
za d a z d aIaH
a zπ π
ρρ φ φ
π ρ
⎡ ⎤− − +⎢ ⎥⎣ ⎦= ⎡ ⎤− +⎣ ⎦
∫ ∫G
 
Como z = 0 e ρ = 0 : 
( )
( )
0 0
3 22 2
ˆ ˆ0 0
4 0 0
za d a d aIaH
a
π π
ρφ φ
π
⎡ ⎤− − +⎢ ⎥⎣ ⎦= ⎡ ⎤− +⎣ ⎦
∫ ∫G
 
[ ]
3
ˆ
4
za aIaH
a
π
π=
G
 
ˆ
4 z
IH a
aπ=
G
; 0 ˆ
4 z
IB a
a
µ
π=
G
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso, teremos: 
2 1 ˆ
4 z
I IH a
aπ
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
G
 
2 1
0 ˆ4 z
I IB a
a
µ π
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
G
 
(c) Bobina de N voltas quadrada de lado L, no 
seu centro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 O Campo magnético da bobina será: 
4BH N=
G G
H 
 Para o trecho do fio: 
3
1
4
Idl RdH
Rπ
×=
G GG
 
R r r′= −G G G 
Na origem: ˆ ˆ0 0 0x yr a a a= + +G ˆz
2 ˆ ˆL x yr a y a′ ′= +G 
2 ˆ ˆL x yR a y a′= − −
G
 
( )2 22LR y′= + 
ˆydl dy a′=
G
 
( )
2
3 22 2
2
ˆ ˆ
4
L
y x
L
dy a a y aIdH
yπ
′ ′⎡ ⎤× − −⎣ ⎦= ⎡ ⎤′+⎣ ⎦
G ˆy
 
 
[ ]
( )
2
3 22 2
2
ˆ
4
L
z
L
dy aIdH
yπ
′= ⎡ ⎤′+⎣ ⎦
G
 
( )
2
2
3 22 2
2
ˆ
8
L
L
z
L
IL dyH a
yπ
+
−
′= ⎡ ⎤′+⎣ ⎦
∫G 
( ) ( )
2
2
3 223
2 2
ˆ
8 1
L
L
z
yL
L
IL dyH aπ
+
′−
′= ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦
∫G 
Chamando de: 22 2 sec
y L
Ltg dy dθ θ θ′ ′= ⇔ = 
( )
2
2
2
2
3 23 2
2
sec ˆ
8 1
L
L
L
z
L
dILH a
tg
θ θ
π θ
+
−
= ⎡ ⎤+⎣ ⎦
∫G 
2
2
2
3 22 2
4 sec ˆ
8 sec
L
L
z
IL dH a
L
θ θ
π θ
+
−
= ⎡ ⎤⎣ ⎦
∫G 
2
2
ˆcos
2
L
L
z
IH d
L
aθ θπ
+
−
= ∫G 
ˆ
2 z
IH sen
L
aθπ=
G
 
 
 Como: 
21
tgsen
tg
θθ θ= +
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 38 
 
 38
Campo Magnético 
 ( ) ( )
2
2 2 2
221
y
L
Ly
L
ysen
y
θ
′
′
′= =
′++
 
( )
2
2
2 2
2
ˆ
2
L
L
y
z
L
y
I yH a
L yπ
′=+
′=−
′=
′+
G
 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
ˆ
2
L L
z
L L L L
IH a
Lπ
⎡ ⎤−⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
G
 
( )
2
2
2
2 ˆ
2 2
L
z
L
IH a
Lπ
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎣ ⎦
G
 
 
2 ˆ
2 2 z
IH a
Lπ=
G
 
2 ˆ
2 z
IH a
Lπ=
G
 
2 ˆ4
2B z
IH N
Lπ=
G
a 
2 2 ˆB z
NIH a
Lπ=
G
 
02 2 ˆB z
N IB a
L
µ
π=
G
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 39 
 
 39
Campo Magnético 
Exercícios – Hayt – Capítulo 8 
 
1. (a) Determine H em coordenadas 
cartesianas em P(2, 3, 4) se há um filamento de 
corrente no eixo z conduzindo uma corrente de 8 mA 
na direção 
(b) Repita se o filamento está localizado em x 
= -1, y = 2. 
(c) Determine H se ambos os filamentos 
estiverem presentes. 
 
 Solução: 
32 44
ˆ
R
RlId
R
alIdHd R ππ
GGGG ×=×= 
 
 zadzld ˆ=
G
 
 ( )2413 zR −+=
( ) ( )[ ]zyxR azaaza ˆ4ˆ3ˆ2413
1ˆ
2
−++
−+
= 
( ) ( )[ ]zyxzR azaazadzald ˆ4ˆ3ˆ2413
1ˆˆ
2
−++
−+
×=×G
( ) ( ) xyR az
dza
z
dzald ˆ
413
3ˆ
413
2ˆ
22 −+
−
−+
=×G
( )( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
−
−+−+
= y
z
dza
z
dz
z
mHd
413
3ˆ
413
2
4134
8
222π
G
xaˆ
( )( ) ( )( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
−
−+
= ∫∫ ∞+
∞−
∞+
∞−
xy a
z
dza
z
dzmH ˆ
413
3ˆ
413
22 232232π
G
( )( ) ( )∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+
=
−+ 23223232
13
4113
413 z
dz
z
dz
∫+∞
∞−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
= 23223
13
41
13
1
z
dz
 
 Chamando de: 
 θθ tgzztg 134
13
4 −=⇒−= 
 θθddz 2sec13−= 
 
( )( ) ( )∫∫
+∞
∞−
+∞
∞− +
−=
−+ 232
2
23232 1
sec13
13
1
413 θ
θθ
tg
d
z
dz
 
( )∫
+∞
∞−
−= 232
2
23
21
sec
sec
13
13
θ
θθd
 
∫+∞
∞−
−−= θ
θθ
3
2
1
sec
sec13 d 
∫+∞
∞−
−= θ
θ
sec13
1 d
2
1
13
1cos
13
1 θ
θ
θθθ send −=−= ∫+∞
∞−
 
Como: θθθ 21sec
13
4 tgztg +=⇒−= 
 θθ 21
1cos
tg+
= 
 
θθθθ 222 cos11cos −=⇒=+ sensen 
 
θ
θθθθ 2
2
2 11
11
tg
tgsen
tg
sen +=⇒+−= 
2
2
13
41
13
4
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
=
z
z
senθ 
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−+
−=
2413
4
z
zsenθ 
 
( )( ) ( )
+∞→
−∞→
∞+
∞− −+
−−=
−+∫
z
z
z
z
z
dz
2232 413
4
13
1
413
 
( )( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
−−
−+
−−=
−+ −∞→+∞→
∞+
∞−
∫ 22232 413
4lim
413
4lim
13
1
413 z
z
z
z
z
dz
zz
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 40 
 
 40
Campo Magnético 
( )( ) [ ]11131413 232 −−−=−+∫
+∞
∞− z
dz 
( )( ) 132413 232 =−+∫
+∞
∞− z
dz 
Substituindo na expressão do campo, teremos: 
 
( )( ) ( )( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
−
−+
= ∫∫ ∞+
∞−
∞+
∞−
xy a
z
dza
z
dzmH ˆ
413
3ˆ
413
22 232232π
G
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅−⋅= xy aamH ˆ13
23ˆ
13
222π
G
 
xy a
mamH ˆ
13
12ˆ
13
8
ππ −=
G
 
xy aaH ˆ10938,2ˆ10954,1
44 −− ⋅−⋅=G 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−=
m
AaaH yx
µˆ8,195ˆ8,293G 
 
 (b) 32 44
ˆ
R
RlId
R
alIdHd R ππ
GGGG ×=×= 
 zadzld ˆ=
G
 
 ( ) zyx azaaR ˆ4ˆˆ3 −++=G 
 ( )2410 zR −+=
( ) ( )[ ]zyxR azaaza ˆ4ˆˆ3410
1ˆ
2
−++
−+
= 
( ) ( )[ ]zyxzR azaazadzald ˆ4ˆˆ3410
1ˆˆ
2
−++
−+
×=×G
( ) ( ) xyR az
dza
z
dzald ˆ
410
ˆ
410
3ˆ
22 −+
−
−+
=×G
( )( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
−
−+−+
= xy a
z
dza
z
dz
z
mHd ˆ
410
ˆ
410
3
4104
8
222π
G
( )( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −−+= ∫
+∞
∞−
xy a
mam
z
dzH ˆ2ˆ6
410
232 ππ
G
( )( ) ( )∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+
=
−+ 23223232
10
4110
410 z
dz
z
dz
∫+∞
∞−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
= 23223
10
41
10
1
z
dz
 
 Chamando de: 
 θθ tgzztg 104
10
4 −=⇒−= 
 θθddz 2sec10−= 
 
( )( ) ( )∫∫
+∞
∞−
+∞
∞− +
−=
−+ 232
2
23232 1
sec10
10
1
410 θ
θθ
tg
d
z
dz
 
( )∫
+∞
∞−
−= 232
2
23
21
sec
sec
10
10
θ
θθd
 
∫+∞
∞−
−−= θ
θθ
3
2
1
sec
sec10 d 
∫+∞
∞−
−= θ
θ
sec10
1 d
2
1
10
1cos
10
1 θ
θ
θθθ send −=−= ∫+∞
∞−
 
 Observação: 
( )( ) Czbaa zbzba dz +−+ −−=−+∫ 2232 )( 
 
θ
θθ 2
2
1 tg
tgsen += 
2
2
10
41
10
4
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
=
z
z
senθ 
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−+
−=
2410
4
z
zsenθ 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 41 
 
 41
Campo Magnético 
( )( ) ( )
+∞→
−∞→
∞+
∞− −+
−−=
−+∫
z
z
z
z
z
dz
2232 410
4
10
1
410
 
( )( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+
−−
−+
−−=
−+ −∞→+∞→
∞+
∞−
∫ 22232 410
4lim
410
4lim
10
1
410 z
z
z
z
z
dz
zz
( )( ) 102410 232 =−+∫
+∞
∞− z
dz 
( )( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −−+= ∫
+∞
∞−
xy a
mam
z
dzH ˆ2ˆ6
410
232 ππ
G
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= xy amamH ˆ2ˆ610
2
2 ππ
G
 
xy a
mamH ˆ
10
4ˆ
10
12
2 ππ −=
G
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−=
m
AaaH yx
µˆ97,381ˆ32,1272
G
 
 
(c) 21 HHH
GGG += 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−+−=
m
AaaaaH yxyx
µˆ97,381ˆ32,127ˆ8,195ˆ8,293G
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−=
m
AaaH yx
µˆ77,577ˆ12,421G 
2. Um filamento de corrente de 3 , A está 
situado ao longo do eixo x. Determine H em 
componentes cartesianas emP(-1, 3, 2). 
xaˆ
 
3. Dois filamentos semi-infinitos no eixo z 
estão situados nas regiões -∞ < z < -a e a < z < ∞. Cada 
um conduz uma corrente I na direção . zaˆ
(a) Calcule H como uma função de r e f em z 
= 0. 
(b) Que valor de a irá fazer a magnitude de H 
em r = l, z = O ser metade do valor obtido para um 
filamento infinito? 
Solução: 
(a) H como uma função de r e f em z = 0. 
 z 
 
 
 +a 
 
 x -a r=1 (z=0) y 
 
 
34 R
RlIdHd π
GGG ×= 
zazdld ˆ′=
G
 
 zazr ˆ′=′G 
 ρρar ˆ=G 
 rrR ′−= GGG 
zazaR ˆˆ ′−= ρρ
G
 
22 zR ′+= ρ 
34 R
RlIdHd π
GGG ×= 
( )( )3224 ˆˆˆ z azaazIdHd zz ′+ ′−×′= ρπ ρ ρG 
( ) φρ
ρ
π az
zdIHd ˆ
4 2322 ′+
′=G 
( ) φρπ
ρ a
z
zdIH ˆ
4 2322∫
+∞
∞− ′+
′=G 
φ
ρρ
π
ρ a
z
zdIH ˆ
1
4 23
2
2
2
∫+∞
∞−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′+
′=G 
φ
ρ
πρ az
zdIH ˆ
1
4 23
2
22 ∫
+∞
∞−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′+
′=G 
θθρθρ dzdtgz 2sec=′⇒=′ 
( ) φθ
θθρ
πρ atg
dIH ˆ
1
sec
4 232
2
2 ∫+∞
∞− +
=G 
( ) φθ
θθ
πρ a
dIH ˆ
sec
sec
4 232
2∫+∞
∞−
=G 
φθ
θ
πρ a
dIH ˆ
sec4 ∫
+∞
∞−
=G 
φθθπρ ad
IH ˆcos
4 ∫
+∞
∞−
=G 
φ
θ
θθπρ asen
IH ˆ
4
2
1
=G 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 42 
 
 42
Campo Magnético 
 
θ
θθ 2
2
1 tg
tgsen += 
ρθθρ
ztgtgz
′=⇒=′ 
( )
( ) 22
2
2
2
1 z
zsen
z
zsen ′+
′=⇒′+
′= ρθρ
ρθ 
22 z′+ρ
zsen
′=θ 
Substituindo, teremos: 
φρρπρ az
z
z
zIH
zaz
ˆlimlim
4 2222 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
′+
′−′+
′= −∞→′−→′
G
φρρπρ az
z
z
zI
azz
ˆlimlim
4 2222 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
′+
′−′+
′
+→′+∞→′
 
φρρπρ aa
a
a
aIH ˆ11
4 2222 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
−++
+
−=G 
φρπρ aa
aIH ˆ1
4
2
22 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
−=G 
φρa 22 ⎥⎦⎢⎣ +
(b) Valor de a magnitude de H em r = l, z = O
πρ a
aIH ˆ1
2
⎥⎤⎢⎡ −=G 
 
ser metade do valor obtido para um filamento infinito? 
φρπρ aa
aIH ˆ1
2 22 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
−=G 
( ) iHzH GG 2
10,1 ===ρ 
φπρ a
IHIldH i
C
i ˆ2
=⇒=⋅∫ GGG 
( ) φπρ aa
aIzH ˆ
1
1
12
0,1
2 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−⋅==
′=G 
φφ πρπ a
Ia
a
aI ˆ
22
1ˆ
1
1
12 2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−⋅
 
2
1
1
1
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+− a
a 
2
11
12
−=+a
a 
maaa
3
12 2 =⇒+= 
 
4. (a) Um filamento em f ma de um círculo 
de raio a
1
or
 está centrado na origem no plano z = 0. Ele 
conduz u
go
o paralelos aos eixos coordenados e uma 
orrente I flui na direção . Novamente, determine H 
 8.21 estão situados no espaço livre. 
Faça o gráfico de |H| versus y, 24 < y < 4, ao longo da 
linha x = 0, z = 2 
 
(a) H, em P(0, 0 ) se I flui na direção 
ma corrente I na direção φaˆ . Determine H na 
origem. 
(b) Um filamento de mesmo comprimento na 
forma de um quadrado é a ra colocado no plano z = 0. 
Os lados sã
c φ
na origem. 
 
5. Os condutores filamentares paralelos 
mostrados na Fig.
aˆ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, z φaˆ . 
34 R
RlIdHd π
GGG ×= 
3
11
1
14 R
RlIdHd π
GGG ×= 
zy aayR ˆ2ˆ)1(1 ++=
G
 
4)1( 21 ++= yR 
xadxld ˆ−=
G
 ( )( )321 4)1(4 ˆ2ˆ)1()ˆ( ++ ++×−= y aayadxIHd zyxπG 
 
( )
[ ] 2321 4)1(
ˆ2ˆ)1(
4 ++
−+−=
∫
−
y
aay
dxI
H yz
L
L
π
G
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 43 
 
 43
Campo Magnético 
[ ] [ ] ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++−++
+−= yz a
y
a
y
yILH ˆ
4)1(
2ˆ
4)1(
1
2 2322321 π
G
 3
2
22
2 4 R
RlIdHd π
GGG ×= 
zy aayR ˆ2ˆ)1(2 +−=
G
 
4)1( 22 +−= yR 
xadxIld ˆ22 =
G
 ( )( )3222 4)1(4 ˆ2ˆ)1(ˆ +− +−×= y aayadxIHd zyxπG 
( )
[ ] 2322 4)1(
ˆ2ˆ)1(
4 +−
−−=
∫
−
y
aay
dxI
H yz
L
L
π
G
 
[ ] [ ] ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−−+−
−= yz a
y
a
y
yILH ˆ
4)1(
2ˆ
4)1(
1
2 2322322 π
G
21 HHH
GGG += 
=HG [ ] [ ] ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++−++
+−
yz a
y
a
y
yIL ˆ
4)1(
2ˆ
4)1(
1
2 232232π 
[ ] [ ] ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−−+−
−+ yz a
y
a
y
yIL ˆ
4)1(
2ˆ
4)1(
1
2 232232π 
=HG [ ] [ ] zay yy yIL ˆ4)1( 14)1( 12 232232 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
+−+−
−
π 
[ ] [ ] yayyIL ˆ4)1( 24)1( 22 232232 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−−+++ π
 
=HG [ ] [ ] zayy yyy yIL ˆ52 152 12 232232 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
+−+−
+
π 
[ ] [ ] yayyyyIL ˆ5225222 232232 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−−+++ π
 
=HG
[ ] [ ] [ ] [ ]
2
232232
2
232232 52
2
52
2
52
1
52
1
2 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−−+++⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
+−+−
+
yyyyyy
y
yy
yIL
π
 
 
6. (a) Um filamento de corrente I na forma de 
um círculo, r = a, está localizado no plano z = z'. 
Determine H, em P(0, 0, z) se I flui na direção . φaˆ
(b) Determine H. em P causado por uma 
densidade superficial de corrente uniforme 
φaKK ˆ0=
G
, fluindo da superfície cilíndrica r = a, 0 < 
z < h. Os resultados do item (a) podem ajudar. 
 
7. Dados os pontos C(5, -2, 3) e P(4, -1,2), um 
elemento de corrente IdL=10-4(4, -3, l) A. m em C 
produz um campo dH em P. 
(a) Especifique a direção de H por um vetor 
unitário aH. 
(b) Determine |dH| 
(c) Que direção a, deve IdL ter em C de forma 
que dH = 0? 
 
 Solução: 
(a) Direção de H por um vetor unitário aH. 
 ( )zyx aaalId ˆˆ3ˆ410 4 +−= −G 
zyx aaaRCPCP ˆˆˆ −+−==−=
→ G
 
3)1()1()1( 222 =−++−==→ RCP 
zyxR aaaR
Ra ˆ
3
1ˆ
3
1ˆ
3
1ˆ −+−==
G
 
24
ˆ
R
alIdHd Rπ
×=
GG
 
( )
( )2
4
34
ˆ
3
1ˆ
3
1ˆ
3
1ˆˆ3ˆ410
π
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−×+−
=
−
zyxzyx aaaaaa
Hd
G
( )zyx aaaHd ˆˆ3ˆ231210
4
++=
−
π
G 
( )
14
312
10
ˆˆ3ˆ2
312
10
4
4−
π
π
−
++
=
zyx aaa
Hd
Hd G
G 
zyx aaaHd
Hd ˆ
14
1ˆ
14
3ˆ
14
2 ++=G
G
 
zyx aaaHd
Hd ˆ27,0ˆ80,0ˆ53,0 ++=G
G
 
(b) Determine |dH| 
14
312
10 4
π
−
=Hd G 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
m
AHd µ73,5G 
(c) Que direção aH, deve IdL ter em C de 
forma que dH = 0? 
 Deve ter a direção: 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 44 
 
 44
Campo Magnético 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−±=±== zyxRl aaaalIda ˆ3
1ˆ
3
1ˆ
3
1ˆˆ
G
 
 
8. Para o elemento de corrente de 
comprimento finito no eixo z, como mostrado na Fig. 
8.5, use a lei de Biot-Savart para obter a Eq. (9) da 
Seção 8. l. 
 
9. Uma lâmina de corrente K = 8az A/m flui na 
região - 2 < y < 1 no plano z = 0. Calcule H em: 
P(0, 0, 3). 
 
 Solução: 
 
 ∫
−
==⇒=
2
2
KdyKbIdSKlId
GG
 
 AdyI 328
2
2
== ∫
−
34 R
RlIdHd π
GGG ×= 
xaxdlId ˆ32 ′=
G
 
 xaxr ˆ′=′G 
 zar ˆ3=G
 rrR ′−= GGG 
zx aaxR ˆ3ˆ +′−=
G
 
223 xR ′+= ( )( ) 232234
ˆ3ˆˆ32
x
aaxaxdHd zxx ′+
+′−×′= π
G
 
( ) ( )yaxxdHd ˆ324 2322 −′+
′= π
G
 
( ) yaxxdH ˆ324 2322∫
+∞
∞− ′+
′−= π
G
 
y
x
x
a
x
xH ˆ
99
24
2
+∞→
−∞→+
−= π
G
 
y
xx
a
x
x
x
xH ˆ
9999
24
22 limlim ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−+−= −∞→+∞→π
G
[ ] yaH ˆ)1(19
24 −−+−= π
G
 
yaH ˆ9
48
π−=
G
 ( )mAyaH ˆ69,1−=G 
 
10. Considere uma corrente filamentar de 5 
mA direcionada do infinito para a origem no semi-eixo 
z positivo e depois de volta para o infinito no semi-eixo 
x positivo. Determine H em P(0, 1,0). 
 
11. Um filamento infinito no eixo z conduz 
20pmA na direção az. Três lâminas cilíndricas de 
corrente uniformes também estão presentes: 400 mA/m 
em r = l cm, -250 mA/m em r = 2 cm e -300 mA/m em 
r = 3 cm. Calcule Hf em r = 0,5, 1,5, 2,5 e 3,5. 
 
 Solução:310202 −⋅=⇒=⋅∫ ππρ φHIldH
C
GG
 
( ) ( )mAcmH 2105,02
1020
2
10205,0 2
33
=⋅
⋅=⋅== −
−−
π
π
πρ
πρφ
 
zt
C
ILKHIldH +=⇒=⋅∫ 12 φπρGG 
310204,02 −⋅+=⇒=⋅∫ ππρ φ LHIldH t
C
GG
 
πρ
ππρ
φ 2
102024,0 31
−⋅+⋅=H 
( ) 2
32
105,12
10201024,05,1 −
−−
⋅
⋅+⋅⋅== π
ππρφ cmH 
( ) ( )mAcmH 933,05,1 ==ρφ 
 
LH 4,02 =φπρ 
πρφ 2
4,0 LH = 
 
( ) LLcmH 24,4
105,12
4,05,1 2 =⋅== −πρφ 
12. Na Fig. 8.22, considere as regiões 0 < z < 
0,3 m e 0,7 < z < l,0 m sendo barras condutoras 
conduzindo densidades de corrente uniformes de 10 
A/m2 em direções opostas, como mostrado. Determine 
H em z =: 
(a) -0,2; 
(b) 0,2; 
(c) 0,4; 
(d) 0,75; 
(e) 1,2 m. 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 45 
 
 45
Campo Magnético 
13. Uma casca cilíndrica oca de raio a está 
centrada no eixo z e conduz uma densidade superficial 
de corrente uniforme de Kaaf. 
(a) Mostre que H não é uma função de f ou de 
z. 
(b) Mostre que Hf e Hr são zero em toda 
parte, 
(c) Mostre que Hz, = 0 para r > a. 
(d) Mostre que Hz = Ka para r < a. 
(e) Uma segunda casca, r = b, conduz uma 
corrente Kbaf. Determine H em toda parte. 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I 
 
 
 
 
(a) ˆz a
C
H dl I H La K L⋅ = ⇒ ⋅ =∫ GG Gv
 ( )Az a mH K= 
ˆa zH K a=
G
 
 (b) ˆ 0a zH K a H Hφ ρ= ⇔ = =
G
 (c) Hz, = 0 para r > a pois num caminho 
retangular não entra corrente, como indicado na 
figura. 
 (d) ˆ se a z z aH K a H K aρ= ⇔ = <
G
(e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )ˆ se 
C
z a b
H dl I
H La K K L aρ
⋅ =
⇒ ⋅ = + <
∫ GG
G
v
 
( ) se a bH K K ρ a= + < 
ˆ se 
C
z b
H dl I
H La K L a bρ
⋅ =
⇒ ⋅ = < <
∫ GG
G
v
 
 se bH K a bρ= < < 
0 se H bρ= > 
 
14. Um toróide de seção transversa de forma 
retangular é definido pelas seguintes superfícies: os 
cilindros r = 2 cm e r = 3 cm e os planos z = l cm e z = 
2,5 cm. O toróide conduz uma densidade superficial de 
corrente de -50az, A/m na superfície r = 3 cm. 
Determine H no ponto P(r, f, z): 
(a) PA(l,5 cm, 0, 2 cm); 
(b) PB(2,lcm, 0, 2 cm); 
(c) PC(2,7 cm, p/2, 2 cm); 
(d) PD(3,5 cm, p/2, 2 cm). 
 
15. Considere que há uma região com simetria 
cilíndrica na qual a condutividade é dada por: 
s = 1,5e-150r kS/m. Um campo elétrico de 30az 
V/m está presente, 
(a) Determine J. 
(b) Determine a corrente total que cruza a 
superfície r < r0, z = 0, para todo f. 
(c) Use a lei circuital de Ampére para 
determinar H. 
 
 Solução: 
(a) J. 
J Eσ=G G
a
 
150 ˆ1.5 30 zJ e k
ρ−=G 
( )2150 ˆ45 kAz mJ e aρ−=G 
(b) Corrente total que cruza a superfície r < r0, 
z = 0, para todo f. 
S
I J dS= ⋅∫∫ GG 
0 2
150
0 0
ˆ ˆ45 z zI e ka d d a
ρ π
ρ ρ φ ρ−= ⋅∫ ∫ 
0 2
150
0 0
45I k e d d
ρ π
ρρ ρ φ−= ∫ ∫ 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 46 
 
 46
Campo Magnético 
[ ]0 2150 0
0
145
22500 150
I k e
ρ
πρ ρ φ−⎡ ⎤⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
( )0150 01 1 15090
22500
e
I k
ρ ρπ
−⎡ ⎤− += ⎢ ⎥⎣ ⎦
 
( )0150 012.56 1 1 150 ( )I e Aρ ρ−⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ 
 
(c) Use a lei circuital de Ampére para 
determinar HG. > H dl I⋅ =∫ G
 ( )1502 12.56 1 1 150H e ρπρ ρ−⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ 
 ( )1502 1 1 150H e ρ ρρ −⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ 
 ( )1502 1 1 150H e ρ ρρ −⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ ( )A 
 
16. A casca cilíndrica, 2 mm < r < 3 mm, 
conduz uma corrente total uniformemente distribuída 
de 8 A na direção - az;. Determine H em toda parte. 
 
17. Um filamento de corrente no eixo z conduz 
uma corrente de 7 mA na direção az;, e lâminas de 
corrente de 0,5 az; e -0,2 az; estão localizadas em r = l 
cm e r = 0,5 cm, respectivamente. Calcule H em r =: 
(a) 0,5 cm; 
(b) 1,5 cm; 
(c) 4 cm; 
(d) que lâmina de corrente deve ser colocada 
em ρ = 4 cm de forma que H = 0 para todo r > 4 cm? 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 0,5 cm; 
 
0 se H dl I aρ⋅ = <∫ GG> 
2 0.00H 7πρ = 
0.007
2
H πρ= 
2
0.007
2 0.5 10
H π −= ⋅ 
( )12.228 10 AmH −= ⋅ 
1 0 se H dl I I aρ⋅ = + =∫ GG> 
12 2 0.007H K aπρ π= + 
12 0.007
2
K aH π πρ
+= 
1
0.007
2
aH K ρ πρ= + 
2
0.0070.2
2 0.5 10
H π −= − + ⋅ 
0.0228H = 
( )22.28 10 AmH −= ⋅ 
(b) 1,5 cm; 
2 1 0 se H dl I I I aρ⋅ = + + >∫ GG> 
2 12 2 2 0.007H K b K aπρ π π= + + 
2 1
0.007
2
b aH K Kρ ρ πρ= + + 
2 2
2 2
1 10 0.5 10 0.0070.5 0.2
1.5 10 1.5 10 2 1.5 10
H π
− −
2− − −
⋅ ⋅= − +⋅ ⋅ ⋅ 
( )13.409 10 AmH −= ⋅ 
(c) 4 cm; 
2 1
0.007
2
b aH K Kρ ρ πρ= + + 
2 2
2 2
1 10 0.5 10 0.0070.5 0.2
4 10 4 10 2 4 10
H 2π
− −
− −
⋅ ⋅= − + −⋅ ⋅ ⋅
 ( )11.278 10 AmH −= ⋅ 
(d) que lâmina de corrente deve ser colocada 
em ρ = 4 cm de forma que H = 0 para todo r > 4 cm? 
3 2 1 0 se 4H dl I I I I cmρ⋅ = + + + >∫ GG> 
3 2 1 0 0 se 4I I I I cmρ+ + + = > 
3 2 1 02 2 2K c K b K a I 0 π π π+ + + = 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 47 
 
 47
Campo Magnético 
0
3 2 1 2
Ib aK K K
c c cπ
⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
2 2
3 2 2
1 10 0.5 10 0.0070.5 0.2
4 10 4 10 2 4 10
K π
− −
− −
⎛ ⎞⋅ ⋅= − − 2−⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠
+
( )11.278 103 Am
 
 está distribuída 
como se
J = 8(2 - y)az ; A/m para l < y < 2 m, 
y)az ; A/m2 par <y< -l m. Use 
simetria pére para determinar H em toda 
parte. 
19. Calcul
K −= − ⋅ 
18. Uma densidade de corrente
 segue: 
J = 0 para |y| > 2 m, 
J = 8yaz ; A/m2 para |y| < l m, 
2
J = -8 (2 + a -2
 e a lei de Am
e ( )[ ]GGGGG ⋅∇∇×∇ se 
x ˆˆ2 22 −+= ( ) zyx azxayayzG 20ˆ2 −G 
 Solução: 
 
 
=⋅∇ GGG
z
G
y
G
x
G zyx
∂
∂+∂
∂+∂
∂ 
=⋅∇ GGG ( ) ( ) ( )
z
zx
y
y
x
yzx
∂
−∂+∂
−∂+∂
∂ 222 202
 
=⋅∇ GGG zxyz 2204 −− =⋅∇ GGG zxyz 2204 −− 
( )( ) ( ) ( ) ( )G zyx aGzaGyaGx ˆˆˆ GGGGGGGG ⋅∇∂∇∂+⋅∇∂∂=⋅∇∇ G ∂+⋅∂
( ) ( ) ( )
( ) z
y
xyz
x
az
z
azxyzaxyz
x
G
204
ˆ2204ˆ24
−−∂
∂+
−−+−∂
∂=⋅∇∇
y
z
ˆ2
20 ∂
∂−GGG
( ) zyx xyaxza ayzG ˆ24ˆ4 −++=⋅∇∇ )(ˆ4GGG 
( )[ ]
2444
ˆˆˆ
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂=⋅∇∇×∇
xyxzyz
zyx
aaa
G
zyxGGGG
 
 ( )[ ] ( ) ( ) ( ) zyx azzayyaxxG ˆ44ˆ44ˆ44 −+−+−=⋅∇∇×∇ GGGG ( )[ ] zyx aaaG ˆ0ˆ0ˆ0 ++=⋅∇∇×∇ GGGG 
 
20. A intensidade de campo magnético é dada 
em uma região quadrada x = 0, 0,5 < y < l, l <z< 1,5 
por: ( )mAzyx ayaxazH ˆˆˆ 422 ++=G
(a) Calcule ∫H ⋅
C
ld
GG
em rno do perímetro da 
regiã
ine 
 to
o quadrada, 
(b) Determ ( )xHGG ×∇ ( )xHGG ×∇ (c) Calcule no centro da região, 
(d) É ( )xHGG ×∇ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅∫ AldH
C
GG
área envolvida? 
21. Os pontos A, B, C, D, E e F estão, cada um, a 2 
mm da origem nos eixos coordenados indicados na Fig. 
8.23 valor de H em cada ponto é dado. Calcule um 
valo proximado para na origem. 
 
 
 
Po 
. O
r a
 
H
GG ×∇
ntos H (A/m)
A 11.34ax -13.78ay 14.21az
B 10.68ax -12.19ay 15.82az
C 10.49ax -12.19ay 15.69az
D 11.49ax -13.78ay 14.35az
E 11.11ax -13.88ay 15.10az
F 10.88ax -13.18ay 14.90az
 
 z 
) 
 C(0, 2, 0) 
 0 y 
,0,0) 
 x F(0, 0, -2) 
 
 
 
 
 
 
 E(0, 0 2) B(-2, 0, 0
 
 D(0, -2, 0) 
 
 
 
 A(2
 
 
( )
x
C
Sx S
ldH ⋅∫
H
x ∆=×∇ →∆
GG
GG
0
lim 
Sendo 
2623 1016104 mlSml −− ⋅=∆=∆⇔⋅=∆ 
( ) ( ) ( )2 ˆˆˆˆ l alHalHalHalHH yFzDyEzCx ∆ ∆⋅+−∆⋅+−∆⋅+∆⋅=×∇GGGGGG
( ) 3104 )10,13()1(35,14)1)(88,13(69,15 −⋅ −+−+−−+=×∇ xHGG ( ) 530=×∇ xHGG 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 48 
 
 48
Campo Magnético 
( )
y
C
Sy S
ldH
H
y ∆
⋅
=×∇
∫
→∆
GG
GG
0
lim 
S 
( ) ( ) ( )2 ˆˆˆˆ l alHalHalHalHH zBxFzAxEy ∆ ∆⋅+−∆⋅+−∆⋅+∆⋅=×∇
GGGGGG
( ) 3104 82,15)1(88,10)1(21,1411,11 −⋅ +−+−+=×∇ yHGG ( ) 460=×∇ yHGG 
( )
z
C
Sz S
ldH
H
z ∆
⋅
=×∇
∫
→∆
GG
GG
0
lim 
S 
( ) ( ) ( ) ( )2 ˆˆˆˆ l alHalHalHalHH yBxCyAxDz ∆ −∆⋅+−∆⋅+∆⋅+∆⋅=×∇
GGGGGG
( ) 3104 19,1249,10)78,13(49,11 −⋅ +−−+=×∇ zHGG ( ) 5,147−=×∇ zHGG 
x aa ˆˆ460ˆ530 += zy aH 5,147−×∇
GG
 
 
22. Na região cilíndrica:
r
 
 = 0,6 mm, ( )m2 AH
2 ρ
ρφ ,en+= quanto 
( )mAH 2
2 ρ
ρφ += para r > 0,6 mm. 
(a) Determine J para r < 0,6 mm. 
(b) Determine J para r > 0,6 mm. 
te filamentar em r = 0? Caso 
haja, qual
 
(c) Há uma corren
 é o seu valor? 
(d) Qual é J em r = 0? 
23. Dado o campo mAaH φρ ˆ20 2=
G
: 
(a) determine a densidade de corrente J; 
(b) integre J sobre a superfície circular 
r = l, O < f < 2p, z = 0 para determinar a corrente 
total e passa através dessa superfície na direção az
ine a corrente total mais uma vez, mas 
desta vez pela integral de linha em tomo do caminho 
circular l, O < f < 2p, z = 0. 
 
(a) J; 
Em coordenadas cilíndricas: 
qu
(c) determ
r =
Solução: 
 
HJ
GGG ×∇= 
( )
z
zz a
HH
aH
z
H
a
z
HHH ˆ1ˆˆ1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=×∇ φρ
ρ
ρρφρ
ρφ
φ
ρ
ρ
φGG
( )
zaaz
a
z
H ˆ0201ˆ00ˆ)20(01
22
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=×∇ φρ
ρρ
ρρ
ρ
φρ φρ
GG
( ) ( ) ( ) zaaaHJ ˆ3201ˆ0ˆ0 2ρρφρ ⋅++−=×∇=
GGG
 
( )2ˆ60 mAzaHJ ρ=×∇= GGG 
 
(b) integre J sobre a superfície circular 
r = l, O < f < 2p, z = 0 
∫ ∫∫∫ ⋅=⋅= π φρρρ2
0
1
0
ˆˆ60 zz
S
addaSdJI
GG
 
∫∫ ∫∫ == 1
0
2
2
0
2
0
1
0
2 6060 ρρφφρρ
π π
ddddI 
AI ππρπ 40
3
120
3
260
1
0
3
==⋅⋅= 
(c) determine a corrente total mais uma vez, mas 
desta vez pela integral de linha em tomo do caminho 
circular r = l, O < f < 2p, z = 0. 
 
∫∫ ⋅=⋅=
CC
adaldHI φφ φρρ ˆˆ20 2
GG
 
πφρφρ 21202020 333 ⋅⋅=== ∫∫
CC
ddI 
AdI ππφ
π
40220120
2
0
3 =⋅=⋅= ∫ 
24. Calcule ambos os lados do teorema de Stokes 
para o campo φθasenG ˆ10=
G
, e para a 
superfície r = 3, 0 § q § 90°, 0 § f § 90°. 
Considere a superfície tendo uma direção ar ? 
 
25. Dado o campo: 
( )mAasenaH φρ φφ ˆ2ˆ2cos2
1 −=G 
calcule ambos os lados do teorema de Stokes para 
o caminho formado pela interseção do cilindro 
r = 3 e do plano z = 2 e para a superfície definida 
por r = 3, 0 § z § 2 e z = 0, 0 § r § 3. 
 
Solu ão: ç( ) ∫∫∫ ⋅=⋅×∇
CS
ldHSdH
GGGGG
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 49 
 
 49
Campo Magnético 
( )
z
zz a
HH
aH
z
H
a
z
HHH ˆ1ˆˆ1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=×∇ φρ
ρ
ρρφρ
ρφ
φ
ρ
ρ
φGG
( ) ( ) ( )( ) ( )
za
sena
z
a
z
senH ˆcos1ˆ0cosˆ01 22
1
222
1
2 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
−∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
−∂−∂
∂=×∇ φρ
ρ
ρρφρ
φφ
φ
φ
ρ
φGG
( ) ( ) ( ) ZasensenaaH ˆ1ˆ0ˆ0 2412 φφφρ ρ +−++=×∇
GG
 
ZasenH ˆ4
3
2
φ
ρ−=×∇
GG
 
( ) zz
SS
addasenSdH ˆˆ
4
3
2 φρρρ
φ ⋅−=⋅×∇ ∫∫∫∫ GGG 
( ) ∫∫∫∫ −=⋅×∇ π φφρ 2
0
3
0 24
3 dsendSdH
S
GGG
 
( ) πφρ 2
0
3
0 2
cos2
4
3
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=⋅×∇∫∫
S
SdH
GGG
 
( ) ]0cos[cos
2
9
2
cos
2
9 2
0
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅×∇∫∫ πφ
π
S
SdH
GGG
 
( ) ASdH
S
9−=⋅×∇∫∫ GGG 
zadzadadld ˆˆˆ ++= φρ φρρ
G
 
( ) ( )φρφφ φρρ adadasenldH
CC
ˆˆˆ2 +⋅−=⋅ ∫∫ GG 
φρ φdsenldH
CC
∫∫ −=⋅
11
2
GG
 
φφ
π
dsenldH
C
∫∫ −=⋅ 2
0 2
3
1
GG 
πφ 2
02
cos23
1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=⋅∫
C
ldH
GG
 
[ ])0cos(cos23
1
−−−=⋅∫ π
C
ldH
GG
 
12
1
−=⋅∫
C
ldH
GG
 
26. Seja φarG ˆ15=
G
. 
(a) Determine ∫ ⋅
C
ldG
GG
 para o caminho circular 
r = 5, q = 25°, 0 <f < 2 . p
Calcule ( )∫∫ ⋅×∇
s
SdG
GGG
 sobre a calota esférica 
r = 5,0 ; q = 25°, 0 <f < 2p. 
 
27. A intensidade de campo, magnético é dada em 
uma y certa região do espaço como 
( )mAzy azaz
yxH ˆ2ˆ22 ++=
G
 
(a) Determine H
GG ×∇ . 
(b) Determine J. 
(c) Use J para determinar a corrente total que passa 
através da superfície z = 4, 1 § x § 2, 3 § z § 5 na 
direção az . 
(d) Mostre que o mesmo resultado é obtido usando 
o outro lado do teorema de Stokes. 
 
Solução: 
 
(a) 
H
GG ×∇ =
z
xy
y
xx
x
yz a
y
H
x
H
a
x
H
z
Ha
z
H
y
H ˆˆˆ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂ 
( )mAzy azaz
yxH ˆ2ˆ22 ++=
G
 
02 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂=∂
∂
zxx
H z 
2
22
zzzz
H z −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂=∂
∂
 
02 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂=∂
∂
zyy
H z 
22
12
zz
yx
xx
H y =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
∂
∂=∂
∂
 
22
22
zz
yx
yy
H y =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
∂
∂=∂
∂
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
∂
∂=∂
∂
32
222
z
yx
z
yx
zz
H y 
( )2ˆ1ˆ22 23 mAzx azaz yxH +⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +−=×∇
GG
 
(b) Determine J. 
( )2ˆ1ˆ22 23 mAzx azaz yxHJ +⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +−=×∇=
GGG
 
(c) Corrente que atravessa a superfície: 
z = 4, 1 § x § 2, 3 § y § 5 na direção az 
 
∫∫∫∫ ⋅=⋅=
S
z
S
adxdyJSdJI ˆ
GGG
 
∫∫∫ ∫ == 5
3
2
1
2
2
1
5
3
2
11 dydx
z
dydx
z
I 
( ) ( ) AyxI
8
13512
16
1
4
1 5
3
2
12
=−⋅−⋅== 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 50 
 
 50
Campo Magnético 
(d) Mostre que o mesmo resultado é obtido usando 
o outro lado o teorema de Stokes. d ( )∫∫ ++⋅=⋅=
C
zyx
C
adzadyadxHldHI ˆˆˆ
GGG
 
∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +
+=
C
dz
z
dy
z
yxI 222 
dy
z
yxI
C
∫ += 22 
dy
z
yxdy
z
yxdy
z
yxdy
z
yxI
C CCC
∫ ∫∫∫ +++++++=
3 421
2222
2222 
 z (1,3) C1 (1,5) 
 
 z =4 
 C2 C4 
 (2,3) C3 (2,5) 
 y 
 x 
 
Olhando a figura,podemos separar a curva fechada 
C em: 
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
≥≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≤≤
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
≤≤
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≥≥
=
dydy
y
x
C
dydy
y
x
C
dy
y
x
C
dydy
y
x
C
C
5
12
:
53
2
:
0
3
21
:
35
1
:
:
4
2
1
3
 
dy
z
yxdy
z
yxdy
z
yxdy
z
yxI
C CCC
∫ ∫∫∫ +++++++=
3 421
2222
2222
∫∫ +++= 5
3
2
3
5
2 4
22
4
21 dyydyyI 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +++= ∫∫ 5
3
3
5
)22()21(
16
1 dyydyyI 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++= ==
=
=
5
3
23
5
2 2
16
1 y
y
y
y
yyyyI 
( )2222 332(552)55(33
16
1 +⋅−+⋅++−+=I
( )15353012
16
1 −+−=I 
( )2018
16
1 +−=I 
AI
8
1
16
2 == 
 
28 Dado .
 ( )mAarasenrH φθ θθ ˆcos54ˆ)3( 2 +=G no 
espaço livre: 
(a) determine a corrente total na direção aq através 
da superfície cônica q = 20°, 0 § f § 2p, 0 § r § 5 pelo 
lado do teorema de Stokes que você julgar melhor, 
(b) Verifique o resultado usando o outro lado do 
teorema de Stokes. 
 
29. Um longo condutor retilíneo não-magnéticode 0,2 mm de raio conduz uma corrente uniformemente 
distribuída de 2 A. 
(a) Determine J dentro do condutor, 
(b) Use a lei circuital de Ampére para determinar 
H e B dentro do condutor, 
(c) Mostre que dentro do condutor, JH
GGG =×∇
(d) Determine H e B dentr do condutor. o
J
(e) Mostre que fora do condutor. JH
GGG =×∇
 
Solução: 
 
(a) dentro do condutor: r < R 
IldH
C
=⋅∫ GG 
2
2
2 πρππρ R
IJldH
C
==⋅∫ GG 
2
2 ρR
IldH
C
=⋅∫ GG 
( ) 224102
2 ρφρ −⋅=∫c dH 
2
8104
22 ρπρ −⋅=H 
ρπ 8104
1
−⋅=H 
φρaH ˆ109,7 6⋅=
G
 
HJ
GGG ×∇= 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 51 
 
 51
Campo Magnético 
( )
z
zz a
HH
aH
z
H
a
z
HHJ ˆ1ˆˆ1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂= φρ
ρ
ρρφρ
ρφ
φ
ρ
ρ
φG
( )
za
H
J ˆ1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂= ρ
ρ
ρ
φG 
( )
zaJ ˆ
1109,7 6 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂⋅= ρ
ρρ
ρ
G 
( )
zaJ ˆ
1109,7
2
6 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂⋅= ρ
ρ
ρ
G 
zaJ ˆ2
1109,7 6 ρρ⋅=
G
 
( )2ˆ10591,1 7 mAzaJ ⋅=G 
(b) Use a lei circu al de Ampére para determinar 
H e B
it
 dentro do condutor, 
φρaH ˆ109,7 6⋅=
G
 
HB
GG
0µ= 
φρµ aB ˆ109,7 60 ⋅=
G
 
φρaB ˆ927,9=
G
 
(c) Mostre qu dentro do condutor, 
(d) Determine H e B fora do condutor. 
e JH
GGG =×∇
HJ
GGG ×∇= 
 
IldH
C
=⋅∫ GG 
IdH
C
=∫ φρ 
IH =πρ2 
φπρ a
IH ˆ
2
=G 
φπρ aH ˆ2
2=G 
( )mAaH φπρ ˆ
1=G 
HB
GG
0µ= 
φπρ
µ aB ˆ0=G 
( )2ˆ104 7 mWbaB φρ
−⋅=G 
(e) Mostre qu fora do condutor. 
 
 
0. Um condutor sólido não-magnético de seção 
transv
 dentro do condutor. 
 
31. A casca cilíndrica definida por l cm < r < l,4 
cm co
uza o 
plano 
drica: 1cm < r < l,4 cm 
) 0 < r < l,2cm; 
 z = 0, 0 < f < l: 
álculo de B para dentro da casca cilíndrica: 
e JH
GGG =×∇
0
GGGG ==×∇ JH
3
ersa circular tem um raio de 2 mm. O condutor é 
não-homogêneo, com s =106(1+ 106r2) S/m. Se o 
condutor tem l m de comprimento e uma tensão de l 
mV entre suas extremidades, determine: 
(a) H dentro do condutor; 
(b) o fluxo magnético total
nsiste em um material condutor não-magnético e 
conduz uma corrente total de 50 A na direção az.. 
Determine o fluxo magnético total que cr
f = 0, 0 < z < l: 
Solução: 
Casca cilín
Disco 1cm < r < l,4 cm e casca. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a
f = 0, 0 < z < l: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C
 
IldH
C
=⋅∫ GG 
( ) ( )2222 rrR IdH C −−=∫ ρππφρ 
( ) ( )22222 rrR IH −−= ρπππρ 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 52 
 
 52
Campo Magnético 
( ) ( )
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>
<<−−
<
=
RaI
Rrar
rR
I
cm
H
ρπρ
ρρ
ρ
π
ρ
φ
φ
 se ˆ
2
 se ˆ
2
1 se 0
22
22
G
G
 
HB
GG
0µ= 
( ) ( )
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>
<<−−
<
=
RaI
Rrar
rR
I
cm
B
ρπρ
µ
ρρ
ρ
π
µ
ρ
φ
φ
 se ˆ
2
 se ˆ
2
1 se 0
0
22
22
0
G
G
 
( )( ) ( ) ( )
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>
<<−−
<
= − 2
 se ˆ
2
50
 se ˆ
1014,12
50
1 se 0
0
22
2222
0
m
Wb
Ra
Rrar
cm
B
ρπρ
µ
ρρ
ρ
π
µ
ρ
φ
φ
G
G
( ) ( )
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>
<<−
<
=
−
2
 se ˆ10
4,11 se ˆ1104.0
1 se 0
5
2
m
Wb
Ra
cma
cm
B
ρρ
ρρ
ρ
ρ
φ
φ
G
G 
∫∫ ⋅=Φ
S
SdB
GG
 
∫∫ ⋅=Φ
S
adzdB φρ ˆ
G
 
dzdρρ
ρ∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=Φ
2.1
0.1
1
0
2 1104.0 
[ ] 410
2.1
1
2
10ln
2
104.0 −⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⋅=Φ zρρ 
[ ] 42 1001
1
2,1ln
2
12.1104.0 −⋅−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−⋅=Φ 
µ0376.04.10 ⋅=Φ 
Wbµ3918.0=Φ 
 
(b) l,2cm< r < 1,4 cm; 
∫∫ ⋅=Φ
S
SdB
GG
 
∫∫ ⋅=Φ
S
adzdB φρ ˆ
G
 
dzdρρ
ρ∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=Φ
4.1
2.1
1
0
2 1042.1 
[ ]104
4.1
2,1
2
10ln
2
104.0 z−⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⋅=Φ ρρ 
[ ]0110
2.1
4.1ln
2
2,14.1104.0 4
22
−⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−⋅=Φ −
 
µ1058.04.10 ⋅=Φ 
Wbµ1.1=Φ 
(c) 1,4 cm < r < 20 cm. 
∫∫ ⋅=Φ
S
SdB
GG
 
∫∫ ⋅=Φ
S
adzdB φρ ˆ
G
 
dzdρρ∫ ∫
−
=Φ
20
4.1
1
0
510
 
[ ] [ ]10204,15 ln10 zρ⋅=Φ − [ ][ ]01ln10 4.1205 −⋅=Φ − 
µ59.26=Φ 
Wbµ59.26=Φ 
 
32. A região do espaço livre definida por l < z < 
4 cm e 2 < r < 3 cm é um toróide de seção transversa 
retangular. Considere a superfície em p = 3 cm 
conduzindo uma corrente superficial K = 2az kA/m. 
(a) Especifique as densidades de corrente nas 
superfícies em r = 2 cm, z = Icm e z = 4 cm. 
(b) Determine H em toda parte, 
(c) Calcule o fluxo total dentro do toróide. 
 
33. Use uma expansão em coordenadas 
cartesianas para mostrar que o rotacional do gradiente 
de qualquer campo escalar G é identicamente igual a 
zero. 
 
 Solução: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂×∇=∇×∇ zyx az
Ga
y
Ga
x
GG ˆˆˆ
GGG
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 53 
 
 53
Campo Magnético 
z
G
y
G
x
G
zyx
aaa
G
zyx
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂=∇×∇
ˆˆˆ
GG
 
zyx axy
G
yx
Ga
zx
G
xz
Ga
yz
G
zy
GG ˆˆˆ
222222
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂−∂∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂−∂∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂−∂∂
∂=∇×∇ GG
Para funções G contínuas: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂=∂∂
∂⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂=∂∂
∂⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂=∂∂
∂
xy
G
yx
G
zx
G
xz
G
yz
G
zy
G 222222 
Logo: 0
GGG =∇×∇ G 
 
34. Um condutor filamentar no eixo z conduz 
uma corrente de 16 A na direção az, uma casca 
condutora em r = 6 conduz uma corrente de 12 A na 
direção az, e outra casca em r = l O conduz uma 
corrente total de 4 A na direção –az; 
(a) Determine H para O < r < 12. 
(b) Faça o gráfico de H versus r. 
(c) Determine o fluxo total Φ que cruza a 
superfície l < r <7, 0< z < l. 
 
35. Uma lâmina de corrente, K = 20az- A/m, 
está localizada em r = 2 e uma segunda lâmina, K = - 
10 az, A/m, está localizada em r = 4. 
(a) Seja V= 0 em P(r = 3, f= 0, z = 5) e 
coloque uma barreira em f = p Determine V(r, f, z) 
para - p< f < p. 
(b) Seja A = 0 em P e determine A(r, f, z) 
para 2 < r < 4. 
 
Solução: 
(a) V= 0 em P(r = 3, f= 0, z = 5) 
f = p 
V(r, f, z) para - p< f < p. 
O potencial magnético vetorial A é dado por: 
 
∫=
C R
LIdA π
µ
4
0
GG
ou ∫=
S R
dSKA π
µ
4
0
GG
 
∫= RdLV L 04πε
ρ
 
∫ ⋅−= a
b
abm LdHV
GG
, 
 Potencial magnético devido à 
primeira lâmina de corrente: 
∫=
C R
LdIA
1
110
1 4π
µ GG
 
∫ ×=
C
R
R
aLdI
H 2
1
11
1 4
ˆ
1
π
GK
 
( ) φπρρ a
IH ˆ
2
42 1=<<G 
φφρ a
VVH mm ˆ
1
∂
∂−=∇−= GG 
∫=⇒∂∂−=
φ
φπφρπρ 3
11
2
1
2
dIVVI mm 
∫−=⇒∂∂−=
φ
φπφρπρ 3
11
2
1
2
dIVVI mm 
φπ2
1IVm −= 
 Como 
πππρ 80240220 111 =⋅=⋅== bKI 
( ) AVV mm φρφπ
π 4042
2
80 −=<<⇒−=
 Para r > 4: ( )φπ2 21
IIVm
+−= 
πππρ 80420210 222 −=⋅−=⋅−== bKI
 
( ) 0
2
8080 =−−= φπ
ππ
mV 
( ) AVm 04 =>⇒ ρ 
(b) Seja A = 0 em P e determine A(r, f, z) 
para 2 < r < 4. 
R
LdIAd π
µ
4
10
GG = 
rrR GGG ′−= 
zazar ˆˆ += ρρG 
ρar ˆ2=′G 
( ) zazarr ˆˆ2 +−=′− ρρGG 
( ) 222 zR +−= ρ 
zadzLd ˆ=
G
 
( ) zaz
dzIAd ˆ
24 22
10
+−
= ρπ
µG
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 54 
 
 54
Campo Magnético 
( ) zaz
dzIA ˆ
24 22
10∫ +−= ρπ
µG
 
( ) zaz
dzIA ˆ
24 22
10 ∫ +−= ρπ
µG
 
( ) zaz
dzIA ˆ
2
1
21
4 2
10 ∫
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
−=
ρ
ρπ
µG
 
( ) ( ) θθρθρ ddztgz 2sec22 −=⇒−= 
( )
( )
za
tg
dIA ˆ
1
sec2
2
1
4 2
2
10 ∫ +
−
−= θ
θθρ
ρπ
µG
 
zad
IA ˆsec
4
10 θθπ
µ ∫=G 
zatg
IA ˆsecln
4
10 θθπ
µ +=G 
( )
za
zzIA ˆ
2
2
2
ln
4
22
10
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−++−= ρ
ρ
ρπ
µG
 
( )
za
zzIA ˆ
2
2
ln
4
22
10
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−++= ρ
ρ
π
µG
 
( )
za
zzA ˆ
2
2
ln
4
80 220
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−++= ρ
ρ
π
πµG
 
( ) ( )mWbzazzA ˆ2
2
ln20
22
0 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−++= ρ
ρµG 
36. Seja ( )mWbyx axzazyA ˆ2ˆ)3( +−=G 
numa certa região do espaço livre. Mostre que 
. 0
GGG =×∇ A
(b) Em P(2, -1,3), determine A, B, H e J. 
 
37. Seja N = 1000, I = 0,8 A, r0 = 2 cm e a = 
0,8 cm para o toróide mostrado na Fig. S.l2b. 
Determine Vm no interior do toróide se Vm = 0 em r = 
2,5 cm, f > = 0,3p. Mantenha f dentro do intervalo 0 < 
<f < 2p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 a r0
 
 
 
 
 
 
 
 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+>
+<<−
−<<−
+>
=
a se 0
 se ˆ
2
0 se ˆ
 a se 0
0
00
0
0
0
ρρ
ρρρπρ
ρρρ
ρ
ρρ
φ
φ
G
G
G
aaaNI
aaaK
H
a
 
mVH ∇−=
GG
 
z
mmm
m az
VaVaVV ˆˆ1ˆ ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ φρ φρρ
G 
φρρ
ρ daKV am ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−= 0 
( )φρ aKV am −−= 0 ( ) 00 VabNIVm +−−= φρ ( ) 00 008,002,08,010002 VVm +−⋅−= φπρ ( ) 0008,002,08,0100002,02 VVm +−⋅⋅−= φπ ( ) 0008,002,0320 VVm +−−= φπ 
 
φρπρ
µ dNIVm ∫−= 20 
0
0
2
VNIVm +−= φπ
µ
 
0
0
2
8,01000 VVm +⋅−= φπ
µ
 
0
0400 VVm +−= φπ
µ
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 55 
 
 55
Campo Magnético 
( ) 0000 12003,04003,0 µππ
µπ =⇒=+−= VVVm
0
0 120400 µφπ
µ +−=mV 
)(4001200 AVm ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= φπµ 
 
38. O solenóide mostrado na Fig.11b contém 
400 espiras, conduz uma corrente I = 5 A, tem um 
comprimento de 8 cm e um raio a = l ,2 cm. 
(a) Determine H dentro do solenóide, 
(b) Se V = 0 na origem, especifique V(r, f, z) 
dentro do solenóide, 
(c) Seja A = 0 na origem e especifique 
A(r, f, z) dentro do solenóide se o meio é o 
espaço livre. 
 
39. Lâminas de correntes planas de K = 30az; A/m 
e -30az; A/m estão localizadas no espaço livre em x = 
0,2 e x = -0,2, respectivamente. Para a região 
-0,2 < x< 0,2: 
(a) determine H; 
(b) Obtenha uma expressão para Vm se Vm = 0 em 
P(0,l; 0,2; 0,3); 
(c) Determine B; 
(d) obtenha uma expressão para A se A = 0 em P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 
2
ˆNa
 
 - 
1
ˆNa
 
 zaK ˆ302 +=
G
 
 
 
 
 Solução: 
 
(a) H; 
2,0ˆ302 =⇒+= xaK z
G
 
2,0ˆ301 −=⇒−= xaK z
G
 
AbKI 124,03011 =⋅== 
AbKI 124,03022 −=⋅−== 
1
ˆ1211 NaKH ×=
GG
 
( ) yxz aaaH ˆ15ˆˆ30211 −=−×=G 
2
ˆ2212 NaKH ×=
GG
 
( ) ( ) yxz aaaH ˆ15ˆˆ30212 −=×−=G 
yy aaHHH ˆ15ˆ1521 −−=+=
GGG
 
( )mAyaH ˆ30−=G 
(b) Obtenha uma expressão para Vm se Vm = 0 em 
P(0,l; 0,2; 0,3); 
yy
m
m aay
VVH ˆ30ˆ −=∂
∂−=∇−= GG 
 03030 VydyVm +== ∫ 
 
602,030)2,0( 00 −=⇒=+⋅== VVyVm 
)(630 AyVm −= 
(c) Determine B; ( )2ˆ30 00 mWbyaHB µµ −== GG 
(d) obtenha uma e pressão para A se A = 0 em P. x
AB
GGG ×∇= 
030µ−=∂
∂−∂
∂
x
A
z
A zx 
R
LIdAd π
µ
4
0
GG = 
Como 0ˆ// =⇒ xz AaLd
G
0000 303030 AxdxAx
A
z
z +==⇒−=∂
∂− ∫ µµµ
0000 301,030)1,0( µµ −=⇒=+== AAxA 
)110(3 0 −= xAz µ ( )mWbzaxA ˆ)330(0 −= µG 
 
40. Seja ( ) ( ) mWbzyx ayxazxazxA ˆ2ˆ223 22 ++−−= �G 
no espaço livre .
Determine A
GGG ×∇×∇ em P(2, 3, -l). 
 
41. Suponha que A = 50r2az , Wb/m em uma certa 
região do espaço livre, 
(a) Determine H e B. 
(b) Determine J. 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 56 
 
 56
Campo Magnético 
(c) Use J para determinar a corrente total que 
cruza a superfície 0 § r § 1, 0 § f § 2p, z = 0. 
(d) Use o valor de Hf em r = l para calcular 
∫ ⋅
C
LdH
GG
 para r = l,z=0. 
Solução: 
 
(a) H B. e
AB
GGG ×∇= ( )
z
zz a
AA
aA
z
A
a
z
AAB ˆ1ˆˆ1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂= φρ
ρ
ρρφρ
ρφ
φ
ρ
ρ
φG 
050 2 ==⇔= φρρ AAAz 
( )
zaaz
a
z
B ˆ001ˆ)50(0ˆ0)50(1
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂= φρ
ρ
ρρ
ρ
φ
ρ
ρ φρ
G 
( ) ( )2ˆ100 mWbaB φρ−=G 
( )mAaHBH φµ µ
ρ ˆ100
0
1
0
−=⇒= GGG 
(b) Determine J. 
HJ
GGG ×∇= ( )
z
zz a
HH
aH
z
H
a
z
HHJ ˆ1ˆˆ1 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂= φρ
ρ
ρρφρ
ρφ
φ
ρ
ρ
φG 
0100
0
==⇔−= zHHH ρφ µ
ρ
 
( )( ) ( )2ˆ200ˆ1001
00
m
A
zz aJaJ µρ
ρρ
ρµ −=⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
−∂= GG 
(c) I na superfície 0 § r § 1, 0 § f § 2p, z = 0. 
 
( )∫ ∫∫∫ ⋅−=⋅= π φρρµ
2
0
1
0 0
ˆˆ200 zz
S
addaSdJI
GG
 
[ ] ππ φρµφρρµ 20
1
0
2
0
2
0
1
00 2
200200 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−= ∫ ∫ ddI 
( )AI
0
200
µ
π−= 
( )AI 610500 ⋅−= 
 
(d) Use o valor de Hf em r = l para calcular 
∫ ⋅
C
LdH
GG
 para r = l,z=0. 
 )(200100
0
2
0 0
AdLdH
C µ
πφρµ
ρπ −=−=⋅ ∫∫ GG 
42. Mostre que 
( ) ( ) 31212121122 11 RRRR GGG =∇=∇ . 
 
43. Calcule o potencial magnético vetorial dentro 
do condutor externo para uma linha coaxial cujo 
potencial magnético vetorial é mostrado na Fig. 8.20 se 
o raio externo do condutor externo é 7a. Escolha um 
zero de referência apropriado e esboce os resultados na 
figura. 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 C1
 
 a 
 b C2 
 
 c 
 I 
 
 I 
 
Cálculo do Campo Magnético H: 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−+
<<+
<<+
<
=⋅∫
cII
cbII
baI
aI
LdH
c
c
C
ρ
ρ
ρ
ρ
 se 
 se 
 se 
 se 
2
1
GG
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−+
<<+
<<+
<
=⋅∫
cII
cbJAI
baI
aJA
LdH
C
C
C
ρ
ρ
ρ
ρ
 se 
 se 
 se 
 se 
2
1
GG
 
( ) ( )
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
>
<<−−−
<<+
<
=
c
cbb
bc
II
baI
a
a
I
H
ρ
ρρππ
ρ
ρπρπ
πρφ
 se 0
 se 
 se 
 se 
2
22
22
2
2
( )( )
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
>
<<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−−
<<+
<
=
c
cba
bc
bI
baaI
aa
a
I
H
ρ
ρρπρ
ρπρ
ρρπ
φ
φ
φ
 se 0
 se ˆ1
2
 se ˆ
2
 se ˆ
2
22
22
2
G
G 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 57 
 
 57
Campo Magnético 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
>
<<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−
<<+
<
=
c
cba
bc
cI
baaI
aa
a
I
H
ρ
ρρπρ
ρπρ
ρρπ
φ
φ
φ
 se 0
 se ˆ
2
 se ˆ
2
 se ˆ
2
22
22
2
G
G 
 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
>
<<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−
<<+
<
=
c
cba
bc
cI
baa
I
aa
a
I
B
ρ
ρρπρ
µ
ρπρ
µ
ρρπ
µ
φ
φ
φ
 se 0
 se ˆ
2
 se ˆ
2
 se ˆ
2
22
22
0
0
2
0
G
G 
AB
GGG ×∇= 
 Como A//Jñ Ar= Af = 0 
AB
GGG ×∇= 
( ) ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ ∂∂−∂
∂=×∇= ρ
ρ
φφ
zA
z
A
AB
GG
 
( )( )
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
>
<<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−−
<<+
<
=∂
∂−
c
cb
bc
bI
baI
a
a
I
Az
ρ
ρρπ
ρµ
ρπρ
µ
ρρπ
µ
ρ
 se 0
 se 
21
 se 
2
 se 
2
22
22
0
0
2
0
 
( )( )
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
>
<<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−−−
<<−
<−
=
∫
∫
∫
cA
cbd
bc
bI
badI
ad
a
I
Az
ρ
ρρρπ
ρµ
ρρπρ
µ
ρρρπ
µ
 se 
 se 
2
1
 se 
2
 se 
2
c
22
22
0
0
2
0
( )
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
>
<<+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−−−
<<+−
<+−
=
cA
cbAb
bc
ρI
baAI
aA
a
I
A
cb
b
a
z
ρ
ρρρπµ
ρρπ
µ
ρρπ
µ
 se 
 se ln
24
1
 se ln
2
 se 
22
c
2
2
220
0
2
2
0
 
44. Expandindo a Eq. (58), Seção 8.7, em 
coordenadas cartesianas, mostre que (59) está 
correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 58 
 
 58
Campo Magnético 
 Apêndice – Efeitos 
 
Adaptado de: 
http://www.feiradeciencias.com.br/sala19/texto72.asp 
 
1. Efeito de magnetoestricção 
 
Quando metais, como o níquel, o ferro ou o 
cobalto, são magnetizados pela presença de um campo 
magnético, eles sofrem uma variação no seu 
comprimento. Em freqüências ultra-sônicas, esse efeito 
é útil para aplicações de limpezas ou como transdutor 
para sonar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você pode constatar isso experimentalmente, 
utilizando-se de um tubo de aço ou de ferro, conforme a 
montagem que ilustramos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Efeito Brigite Bardot 
 
 Assim é como os técnicos norte-americanos e 
brasileiros, denominam um bizarro defeito nas TVs. 
 Ele se caracteriza por "ondulações sinuosas" 
nas linhas verticais da imagem. O defeito é provocado 
por um sinal parasita que modula o sincronismo 
horizontal. Para sanar tal defeito recomendamos: 
verificação dos componentes em paralelo com o yoke; 
verificação do transistor (ou válvula) do estágio de 
saída horizontal e, finalmente, verificação do 
comparador de fase, particularmente o circuito de 
constante de tempo na linha de tensão de controle 
fornecida pelo comparador de fase. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3. Efeito Kerr 
 
É um efeito eletro-óptico, segundo o qual 
certas substâncias transparentes tornam-se 
birrefringentes, quando submetidas a um campo 
elétrico. 
Esse campo é aplicado em direção 
perpendicular ao estreito feixe de luz que se deseja 
modular em intensidade. Tem sido usado atualmente 
(célula Kerr) para modular feixes de luz de laser. 
 
4. Efeito Stark 
 
 Surge quando associamos campos elétricos e 
luz. 
Stark descobriu que os campos elétricos 
intensos "dissecam" as linhas espectrais de vários 
elementos, em numerosas linhas mais finas, 
relacionando-se esse efeito com a polarização do 
material. 
 
5. Efeito Hallwachs 
 
 Também é relacionado com a luz. É graças a 
esse efeito que um corpo eletrizado negativamente, no 
vácuo, se descarrega quando banhado com luz 
ultravioleta. 
 Isso pode ser constatado, conforme 
ilustramos, colocando-se uma esfera eletrizada 
negativamente dentro de uma campânula da máquina 
pneumática. 
Um eletroscópio de folhas, interligado à 
esfera, mantém suas folhas abertas, indicando a 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 59 
 
 59
Campo Magnético 
eletrização. Após a incidência de luz ultravioleta, as 
delgadas lâminas do eletroscópio fecham-se, 
indicando a neutralidade da esfera. 
 
6. Efeito Barkhausen 
 
 É o efeito de orientação da força magnetizante 
imposta por uma corrente elétrica, sobre os elementos 
cristalinos num corpo ferromagnético. O efeito 
Barkhausen explica a elevação abrupta da curva de 
magnetização até a saturação. É originado pela 
repentina reordenação dos mesmos domínios 
magnéticos, que são facilmente girados. 
Barkhausen é geralmente mais conhecido devido à sua 
descoberta da auto-oscilação em válvulas termiônicas, 
quando uma grade (eletrodo de controle) está a um 
potencial maior que aquele da placa. 
O efeito Barkhausen, do ferromagnetismo, 
resultado do salto espontâneo dos eixos dos dipolos 
dos recintos de Weiss, pode ser posto em destaque de 
um modo muito simples: uma haste de ferro (virgem), 
que se pretende imantar pela primeira vez, é 
introduzida no interior de uma bobina de carretel 
isolante; ao aproximarmos a haste de um pólo 
magnético, cada um dos saltos dos recintos 
magnéticos produz um aumento instantâneo do campo 
de indução na bobina, o que origina um pulso de 
tensão induzida na mesma. Essa, por sua vez, num 
circuito fechado, estimula um circulação de um pulso 
de corrente elétrica. Essas correntes são recebidas pelo 
amplificador de áudio e, os golpes de indução são 
ouvidos corno um crepitar no alto-falante. 
Se a imantação se efetuar com lentidão suficiente, 
podemos mesmo ouvir distintamente cada golpe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Efeito Seebeck 
 
 É o efeito que permite a utilização dos termos 
elementos (par termelétrico). 
Seebeck foi o primeiro a constatar que um 
circuito formado pela conexão de dois metais 
diferentes, passa a ser fonte de força eletromotriz (e 
conseqüentemente a causa da corrente elétrica num 
circuito fechado), quando as junções desses metais 
estiverem a temperaturas diferentes. 
Você pode verificar isso facilmente e até utilizar desse 
efeito para, por exemplo, examinar as diferentes 
temperaturas nas típicas regiões da chama de um bico 
de Bunsen. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Efeito Doppler 
 
Consiste no aparente desvio de freqüência que 
ocorre quando existe movimento relativo entre uma 
fonte de ondas (sonoras ou eletromagnéticas) e o 
receptor (adequado a cada caso). 
Esse efeito explica, por exemplo, a aparente 
modificação do tom do apito de uma locomotiva 
(sirene de ambulância, ruído dos motores de carros de 
corrida etc) aproximando-se ou afastando-se, a grande 
velocidade, do observador. 
Ele explica, também, o "desvio para o vermelho" das 
estrelas que se afastam da Terra. Quando o efeito é 
relativo às ondas eletromagnéticas, ele também é 
conhecido por Doppler-Fizeau. 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 60 
 
 60
Campo Magnético 
9. Efeito Meissner 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Manifesta-se quando um condutor é resfriado 
num campo magnético. 
Ao atingir a temperatura de 
supercondutividade, o campo magnético é expelido 
para fora da massa do condutor, o qual passa a agir 
como um verdadeiro "isolante magnético". 
 
10. Efeito Luxemburgo 
 
Denomina-se assim, por ter sido observado, 
pela primeira vez, com relação às transmissões da 
Rádio Luxemburgo. Manifesta-se quando as ondas 
irradiadas por uma emissora poderosa atravessam a 
mesma região da ionosfera que são também 
atravessadas por ondas de outras freqüências, de 
outras emissoras. 
Corno resultado, o programa da estação mais potente 
poderá ser distintamente ouvido durante a recepção 
das emissoras mais fracas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Efeito Ettinghausen 
 
Pertence à família dos efeitos termelétricos. 
Manifesta-se em condutores planos situados 
perpendicularmente a campos magnéticos. 
 
Quando circula corrente elétrica por esses condutores, 
observa-se um gradiente de temperatura na direção 
perpendicular ao fluxo dos elétrons participantes da 
corrente elétrica. 
 
12. Efeito Siemens 
 
Consiste no aquecimento da massa dielétrica 
de um capacitor "percorrido" porcorrente alternada de 
alta freqüência. Esse efeito é muito empregado 
atualmente nos equipamentos de aquecimento 
dielétricos industriais, de plásticos, madeiras, 
secagens etc. 
 
13. Efeito Bequerel 
 
Bequerel descobriu que, emergindo-se duas 
lâminas do mesmo metal numa solução condutora 
(eletrólito), aparecerá uma diferença de potencial 
entre ambas, caso uma seja iluminada mais 
intensamente do que a outra. 
 
14. Efeito Barnett 
 
Consiste na magnetização de um cilindro de 
aço, na ausência de campos magnéticos (a menos do 
campo magnético terrestre), bastando para tanto, girar 
velozmente o cilindro em torno de seu eixo. 
 
15. Efeito Hall 
 
É o fenômeno segundo o qual um condutor num 
campo magnético apresentará uma diferença de 
potencial de lado a lado, na direção do campo. Na 
realidade o efeito surge com virtualmente quase 
nenhum campo magnético, em alguns semicondutores 
ou em uma coluna de gás (naturalmente, sempre há 
algum campo magnético proveniente do próprio 
planeta). 
 
16. Efeito Thomson 
 
 Consiste no fato de que um gradiente de 
temperatura num metal sempre se faz acompanhar por 
um pequeno gradiente de potencial elétrico, segundo 
direção que depende do metal. O resultado disso é que, 
num condutor atravessado por uma corrente elétrica, o 
calor devido aos efeitos resistivos (efeito Joule) é 
ligeiramente maior ou menor que aquele que se pode 
explicar. 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 61 
 
 61
Campo Magnético 
No cobre, isto é mais notável, quando a corrente flui 
de partes quentes para partes frias. No ferro ocorre o 
oposto. 
A pequena diferença que fugia às explicações é 
devida, exatamente, ao efeito Thomson. 
 
17. Efeito Peltier 
 
Comumente é confundido com o efeito de 
termo-elemento, porque de fato está presente na ação 
de um par-termelétrico. Na realidade, é um estorvo 
nessa explicação. O efeito Peltier ocorre quando 
passamos uma corrente elétrica pela junção de dois 
metais diferentes; na junção ocorrerá aquecimento ou 
um resfriamento, dependendo do sentido da corrente 
elétrica. 
Encontra atual aplicação prática, no 
aquecimento ou resfriamento de pequenos objetos por 
elementos semicondutores e na termopilha. 
A revista Química Nova, vol. 16, no. 1, 
janeiro/fevereiro de 1993 trás excelente artigo de 
Pedro L. O. Volpe, da UNICAMP, na página 49, com 
título: "O que são termopilhas, como funcionam e 
como os químicos podem utilizar estes componentes". 
Química Nova é uma publicação da Sociedade 
Brasileira de Química. 
 
18. Efeito Volta 
 
 Consiste na tensão elétrica gerada quando 
metais diferentes são postos em contato. 
Assim, uma lâmina de cobre superposta a uma 
lâmina de zinco geram uma d.d.p., com cobre positivo 
e zinco negativo. 
 
19. Efeito Joule 
 
 Quando portadores de carga elétrica 
atravessam um meio condutor, haverá choques 
(interações) entre esses portadores e partículas do 
próprio condutor. Dessas interações, parte da energia 
elétrica associada aos portadores transfere-se para as 
partículas do meio condutor, as quais passam a vibrar 
mais intensamente - o que caracteriza o aquecimento 
do condutor. 
A lei de Joule permite equacionar quanto de energia 
elétrica é convertida em térmica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Num resistor, a rapidez com que se efetua 
essa conversão, é grandeza conhecida como "potência 
dissipada pelo resistor". 
O valor dessa grandeza vem expresso por: 
P = R.i2 ou P = U.i ou P = U2/R 
Se indicarmos por E a quantidade de energia 
elétrica que é convertida em térmica durante o 
intervalo de tempo (delta)t, teremos: 
E = P. Dt = R.i2. Dt 
que é exatamente a lei de Joule. 
 
20. Efeito Miller 
 
Encontra aplicação na linearização da 
varredura dos geradores de sinais dente de serra. 
O efeito reside no fato de que a capacitância 
intereletródica, grade-placa, nas válvulas termiônicas, 
em particular do triodo, modifica a capacitância 
efetiva do circulo gerador, variando em eficácia 
segundo a freqüência e assim, contribui para a 
linearidade de subida do dente de serra gerado. 
 
21. Efeito Edison 
 
Edison observou que uma lâmpada 
incandescente (de sua época, quando então o 
filamento era de carbono), após certo tempo de uso, 
ficava com a superfície interna do bulbo evacuado 
revestida de uma fina e escura camada (A). 
Ele concluiu que isso era devido às 
minúsculas partículas de carvão que se destacavam do 
filamento, quando o mesmo era levado à 
incandescência, pela corrente elétrica. 
Experimentando achar um modo de evitar esse 
escurecimento, Edison colocou uma placa de metal 
(P) entre o vidro e o filamento (F). Isso resolveu o 
problema do escurecimento do bulbo porém, nosso 
ilustre observador verificou que tal placa ficava 
carregada (eletrizada). Um sensível galvanômetro (G) 
ligado entre a tal placa e o filamento acusava uma 
corrente elétrica unidirecional (retificada, como 
diríamos hoje!). 
Corno explicar a origem dessa corrente 
elétrica? 
Edison não foi capaz de resolver essa questão, 
aliás, ninguém o faria pois, o elétron ainda não tinha 
nascido. 
A válvula termiônica nasceu dessa observação 
de gênio. 
Se o elétron fosse conhecido na época, sem 
dúvida Edison enunciaria o efeito, que hoje leva o seu 
nome, assim: 
"Todo metal aquecido emite elétrons" 
A primeira válvula foi a retificadora; depois 
De Forest inventou a grade e dai para a frente você 
sabe no que deu isso tudo. Boa parte das válvulas, já 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 62 
 
 62
Campo Magnético 
há bom tempo, foram substituídas pelos transistores 
que, por curiosidade, baseiam-se num efeito 
conhecido mesmo antes de Edison --- o efeito galena. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22. Efeito magnetotrópico 
 
A ação do magnetismo sobre substâncias orgânicas já 
havia sido notado por Pasteur, há um século atrás. 
Experiências mais recentes, levadas a efeito por 
diversas Universidades, permitiram verificar que após 
11 dias de exposição de tomates verdes ao intenso 
campo magnético de um pólo Sul, os tornaram 
praticamente vermelhos, enquanto que outros, isentos 
do "tratamento", apresentaram-se apenas meramente 
rosados. 
Mais recentemente, conseguiu-se, com a aplicação do 
magnetismo, acelerar a germinação de sementes. O 
efeito foi batizado de "magnetotropismo". 
Uma causa sugerida é a de que o campo magnético 
excita os sistemas enzimáticos e assim estimula a 
respiração. 
 
23. Efeito Compton 
 
Arthur Compton ao estudar o espalhamento 
de raios X, utilizando como meio espalhador um 
bloco de carbono (isso acorre com certas substâncias 
cujos átomos são relativamente leves, como o 
carbono, o boro, o oxigênio e outros), observou que as 
freqüências dos raios X espalhados diminuíam em 
certos ângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Experiência de Compton 
 
Para explicar a modificação da freqüência dos 
raios espalhados, Compton utilizou a teoria quântica 
da luz. O físico norte-americano propôs que a 
interação entre um fóton ou quantum de luz e um 
elétron de um átomo podia ser considerada sob certas 
condições como a colisão entre duas partículas em 
mecânica Clássica. 
Os elétrons, ligados ao núcleo do átomo por forças 
eletrostáticas, podiam comportar-se como elétrons 
livres se a energia (hn) e a quantidade de movimento 
(hn/c) dos fótons incidentes fosse suficientemente 
grande. Utilizando as leis da conservação da energia: 
hn = hn’ + (1/2) mv2 , 
onde h.n = energia do fóton incidente, hn’ = energia 
do fóton espalhado e (1/2)mv2 = energia cinética do 
chamado “elétron de recuo”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Efeito Compton. 
 
Como o valor da velocidade do “elétron derecuo” está próximo da velocidade da luz, em muitos 
casos deve-se utilizar a correção relativística para a 
massa (ver relatividade, na Sala 23). 
Compton também aplicou a conservação da 
quantidade de movimento (como no caso de duas 
esferas elásticas), obtendo finalmente a equação: 
l' - l = (h/mo.c)(1 - cosq) 
onde: l' - l = aumento do comprimento de onda para o 
fóton espalhado; ( h/mo.c) = ' comprimento de onda' 
de Compton, onde h é a constante de Planck, mo a 
massa em repouso do elétron e c a velocidade da luz e, 
q = ângulo de espalhamento do fóton de comprimento 
de onda l'. 
O elétron de recuo do efeito Compton foi 
descoberto simultaneamente por Wilson e por Bothe e 
Becker. 
O efeito Compton ocorre principalmente com 
elétrons livres ou fracamente ligados e pode ser 
explicado como uma absorção do fóton incidente pelo 
elétron livre. A energia deste fóton aparece repartida 
entre o elétron de recuo e um outro fóton de menor 
energia. Na explicação deste fenômeno, utiliza-se a 
idéia de “fótons virtuais”, mas não podemos neste 
resumo sobre os efeitos da Física estender-nos em sua 
explicação. 
 
 
 
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO VII – 63 
 
 63
Campo Magnético 
24. Efeito Selbt 
 
Relativo às ondas eletromagnéticas (de rádio) 
estacionárias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O transmissor tem freqüência fixada em 85 
MHz e é alimentado por um transformador (primário 
para a rede local e secundário com tensões adequadas 
para os filamentos das válvulas osciladoras e suas 
placas). 
O tubo de Selbt demonstra ondas de rádio 
estacionárias para as quais a velocidade de 
propagação é inferior à velocidade da luz no vácuo 
(c). 
O tubo de Selbt é de vidro e tem sobre si um 
fio de cobre enrolado em forma de espiral. Essa espiral 
é projetada de modo a ter freqüência natural de 
oscilação igual a do transmissor. O tubo é acoplado ao 
transmissor apenas mantendo uma de suas 
extremidades próxima á bobina de transmissão. 
À medida que deslocamos uma limpada 
(fluorescente, de néon ou incandescente) ao longo do 
tubo, podemos visualizar os ventres (lâmpada acesa) e 
os nós (lâmpada apagada) da onda estacionária. Para a 
freqüência da transmissão especificada (85MHz), a 
distância entre ventres consecutivos ou nós 
consecutiva está em torno de 11 cm, o que 
corresponde a meio comprimento da onda. 
É necessário que a pessoa que segura a 
lâmpada esteja em contato com a terra para que, em 
regiões de ventre, a lâmpada seja percorrida por 
corrente elétrica. O melhor afeito se obtém com 
lâmpadas fluorescentes ou de néon. 
 
25. Efeito... (envie sua colaboração) 
Eis aqui nossas sugestões para trabalhos 
escolares envolvendo Efeitos Físicos. O aluno pode 
acrescentar mais outro tanto deles, apresentando um 
trabalho mais extenso, eventualmente incluindo algum 
histórico dos personagens citados. Mais sugestões 
para continuar esse trabalho: 
Efeito Barkhausen (das oscilações), efeito 
Einstein-de Haas, efeito de eletrostricção, efeito 
fotoelétrico, Efeito Hall (das linhas equipotenciais), 
efeito Zeeman, efeito Zeeman (inverso), efeito Voigt, 
efeito Cotton-Mouton, efeito Faraday etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	Radiation Belts
	Descoberta do Cinto de Radiação