Mecanica Relativista

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Mecânica relativística 
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Mais informações: Massa em relatividade especial e Conservação de energia 
 Na física, a mecânica relativística refere-se à mecânica compatível com a relatividade especial (SR) 
e a relatividade geral (GR). Ele fornece uma descrição mecânica não quântica de um sistema de 
partículas, ou de um fluido, nos casos em que as velocidades dos objetos em movimento são 
comparáveis à velocidade da luz ( c ) . Como resultado, a mecânica clássica é estendida corretamente a 
partículas que viajam em altas velocidades e energias e fornece uma inclusão consistente 
do eletromagnetismo com a mecânica das partículas. Isso não era possível na relatividade galileana, 
onde era permitido que partículas e luz viajassem a qualquer velocidade, inclusive mais rápido que a 
luz,erroneamente. Os fundamentos da mecânica relativística são os postulados da relatividade especial e 
da relatividade geral. A unificação do SR com a mecânica quântica é a mecânica quântica relativística , 
enquanto as tentativas para o GR são a gravidade quântica , um problema não resolvido na física . 
 Como na mecânica clássica, o assunto pode ser dividido em " cinemática "; a descrição do movimento 
especificando posições , velocidades e acelerações e " dinâmica "; uma descrição completa, 
considerando energias , momentos e momentos angulares e suas leis de conservação e as 
forças atuando sobre as partículas ou exercida por partículas. Existe, porém, uma sutileza; o que parece 
estar "em movimento" e o que está "em repouso" - que é denominado por " estática ". 
 Embora algumas definições e conceitos da mecânica clássica sejam transferidos para o SR, como a 
força como derivada temporal do momento ( segunda lei de Newton ), o trabalho realizado por uma 
partícula como a linha integral da força exercida na partícula ao longo de um caminho, e potenciar como 
derivada temporal do trabalho realizado, há várias modificações significativas nas demais definições e 
fórmulas. O SR afirma que o movimento é relativo e as leis da física são as mesmas para todos os 
experimentadores, independentemente de seus referenciais inerciais . Além de modificar noções 
de espaço e tempo , o SR obriga a reconsiderar os conceitos de massa, momento e energia, todos eles 
importantes construções na mecânica newtoniana . O SR mostra que esses conceitos são todos aspectos 
diferentes da mesma quantidade física, da mesma maneira que mostra espaço e tempo a serem inter-
elacionados.Conseqüentemente, outra modificação é o conceito de centro de massa de um sistema, que 
é fácil de definir na mecânica clássica, mas muito menos óbvio na relatividade - veja detalhes no centro 
de massa relativista . 
 As equações tornam-se mais complicadas no formalismo de cálculo vetorial tridimensional mais 
familiar , devido à não - linearidade no fator de Lorentz , que explica com precisão a dependência da 
velocidade relativística e o limite de velocidade de todas as partículas e campos. No entanto, elas têm 
uma forma simples e elegante em quatro -dimensional espaço-tempo , que inclui plana espaço 
Minkowski (SR) e o espaço-tempo curvo (GR), porque vetores tridimensionais derivados de espaço e 
escalares derivada de tempos pode ser recolhida em quatro vetores , ou tensores quadridimensionais. No 
entanto, o tensor de momento angular de seis componentes às vezes é chamado de bivetor porque, no 
ponto de vista 3D, são dois vetores (um deles, o momento angular convencional, sendo um vetor axial ). 
Conteúdo 
 1Cinemática relativística 
 2Dinâmica relativística 
o 2.1Energia e momento relativísticos 
o 2.2Massa em repouso e massa relativística 
o 2.3Equivalência massa-energia 
o 2.4A massa dos sistemas e a conservação da massa invariável 
o 2.5Sistemas fechados (isolados) 
 2.5.1Reações químicas e nucleares 
 2.5.2Quadro do centro do momento 
o 2.6Momento angular 
o 2.7Força 
o 2,8Torque 
o 2.9Energia cinética 
o 2.10Limite newtoniano 
 3Veja também 
 4Referências 
o 4.1Notas 
o 4.2Leitura adicional 
Cinemática relativista 
 
Artigo principal: Quatro velocidades 
 A quatro velocidades relativísticas, ou seja, o vetor resultante de quatro vetores que representa a 
velocidade na relatividade, é definido da seguinte forma: 
𝑈 = ௗ௑
ௗ௥
= ( ௖ௗ௧
ௗ௥
, ௗ௑
ௗ௥ 
 ) 
 Acima, 𝑟 é o tempo adequado do caminho no espaço - tempo, chamado de linha do mundo, seguido 
pela velocidade do objeto e 𝑋 = (𝑐𝑡, 𝑥) é a quarta posição ; as coordenadas de um evento.Devido 
à dilatação do tempo, o tempo apropriado é o tempo entre dois eventos ,em um quadro de referência em 
que ocorrem no mesmo local. O tempo adequado está relacionado ao tempo de coordenadas t dado por: 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
1
𝛾(𝑉)
 
 Onde 𝛾(𝒗)é o fator de Lorentz: 
𝛾(𝑉) = ଵ
ඥଵି𝒗.𝒗/௖మ
↔ 𝛾(𝑉) = ଵ
ඥଵି(𝒗.௖)మ
 
 
(qualquer versão pode ser citada), da seguinte forma: 
𝑈 = 𝛾(𝑉)(𝑐, 𝒗) 
 Os três primeiros termos, com exceção do fator de 𝛾(𝒗) , é a velocidade vista pelo observador em seu 
próprio quadro de referência. O 𝛾(𝒗)é determinado pela velocidade 𝒗 entre o quadro de referência do 
observador e o quadro do objeto, que é o quadro no qual seu tempo apropriado é medido. Essa 
quantidade é invariante na transformação de Lorentz; portanto, para verificar o que um observador em um 
referencial diferente vê, basta multiplicar o vetor de velocidade quatro pela matriz de transformação de 
Lorentz entre os dois referenciais. 
Dinâmica relativística 
 
Energia relativista e impulso 
 Existem algumas maneiras (equivalentes) de definir momento e energia no Sistema Relativista(SR).Um 
método usa leis de conservação.Para que essas leis permaneçam válidas no SR, elas devem ser 
verdadeiras em todos os referenciais possíveis. No entanto, se alguém faz algumas experiências simples 
de pensamento usando as definições newtonianas de momento e energia, vê-se que essas quantidades 
não são conservadas no SR. Pode-se resgatar a idéia de conservação fazendo algumas pequenas 
modificações nas definições para explicar as velocidades relativísticas . São essas novas definições que 
são tomadas como corretas para o momento e a energia no SR. 
 O momento quatro de um objeto é direto, idêntico na forma ao momento clássico, mas substituindo 3 
vetores por 4 vetores: 
𝑷 = 𝑚଴𝑼 = (
𝐸
𝑐
, 𝒑) 
 
 A energia e o momento de um objeto com massa invariante m0 (também chamada de massa em 
repouso), movendo-se com a velocidade v em relação a um determinado quadro de referência, são dados 
respectivamente por: 
 
𝑬 = 𝛾(𝒗)𝑚଴ 𝑐ଶ 
𝑷 = 𝛾(𝒗)𝑚଴ 𝒗ଶ 
 
 
 
 O fator de γ (v) deriva da definição das quatro velocidades descritas acima. O fator γ tem uma maneira 
alternativa de ser explicada, feita na próxima seção. 
 A energia cinética, K , é definida como 
 
𝒌 = (𝛾 − 1)𝑚଴𝑐ଶ = 𝐸 − 𝑚଴𝑐ଶ 
 
E a velocidade em função da energia cinética é dada por 
𝑣 =
𝑐ඥ𝑘(𝑘 + 2𝑚଴𝑐ଶ)
𝑘 + 𝑚଴𝑐ଶ
= 𝑐ඥ(𝐸 − 𝑚଴𝑐ଶ) + (𝐸 ∓ 𝑐ଶ) =
𝑝𝑐ଶ
𝐸
 
 
Massa de repouso e massa relativista 
 A expressão 𝑚 = 𝛾(𝒗)𝑚଴ é frequentemente chamada de massa relativística do objeto no quadro de 
referência fornecido. [1] 
 Isso faz com que a relação relativística entre a velocidade espacial e o momento espacial pareça 
idêntica. No entanto, isso pode ser enganador, uma vez que é não apropriado na relatividade especial 
em todas as circunstâncias. Por exemplo, a energia cinética e a força na relatividade especial não podem 
ser escritas exatamente como seus análogos clássicos apenas substituindo a massa pela massa 
relativista. Além disso, nas transformações de Lorentz, essa massa relativística não é invariável, enquanto 
a massa restante é. Por esse motivo, muitas pessoas acham mais fácil usar a massa restante 
(introduzindo γ através do tempo de 4 coordenadas) e descartando o conceito de massarelativística. 
 Lev B. Okun sugeriu que "essa terminologia...não tem justificativa racional hoje" e não deve mais ser 
ensinada. [2]Outros físicos, incluindo Wolfgang Rindler e TR Sandin, argumentaram que a massa relativista 
é um conceito útil e há poucas razões para parar de usá-lo. [3] Veja a massa na relatividade especial para 
obter mais informações sobre este debate.Alguns autores usam m para massa relativística e m 0 para 
massa em repouso, [4] outros simplesmente usam m para massa em repouso. Este artigo usa a convenção 
anterior para maior clareza. 
 A energia e o momento de um objeto com massa invariante m 0 são relacionados pelas fórmulas 
𝐸ଶ − (𝑝𝑐)ଶ = (𝑚଴𝑐ଶ)ଶ 
(𝒑𝑐)ଶ = 𝐸𝒗 
 
 O primeiro é referido como a relação energia-momento relativística. Pode-se derivar considerando que 
௩మ
௖మ
 pode ser escrito como ௣
మ
ఊమ௠బమ௖మ
 onde o denominador pode ser escrito como ா
మ
௖మ
. Agora, gama pode ser 
substituída na expressão de energia. Enquanto a energia E e o momento p dependem do quadro de 
referência em que são medidos, a quantidade E 2 - ( pc )2 é invariante e surge como - c 2 vezes a 
magnitude ao quadrado do vetor de 4 momentos que é -( m 0 c ) 2 . 
 A massa invariável de um sistema 
𝑚଴ ௧௢௧ = 
ටாమ೟೚೟ି(௣మ೟೚೟௖
మ
௖మ
 
é diferente da soma das massas restantes das partículas das quais é composta devido à energia cinética 
e energia de ligação. A massa em repouso não é uma quantidade conservada na relatividade especial, 
diferentemente da situação na física newtoniana. No entanto, mesmo que um objeto esteja mudando 
internamente, desde que não troque energia com o ambiente, sua massa restante não será alterada e 
poderá ser calculada com o mesmo resultado em qualquer quadro de referência. 
Uma partícula cuja massa de repouso é zero é chamada “sem massa”. Pensa-se que fótons e gravitons 
não têm massa; e neutrinos são “quase isso”. 
Equivalência massa-energia [ 
Artigo principal: Equivalência massa-energia 
A equação relativística energia-momento é válida para todas as partículas, mesmo para partículas sem 
massa, para as quais m 0 = 0. Nesse caso: 
𝐸ଶ − 𝑝. 𝑝𝑐ଶ = (𝑚଴𝑐ଶ)ଶ 
 
Quando substituído em E.v = c 2 p , isso da v = c : partículas sem massa (como fótons ) sempre viajam 
na velocidade da luz. 
Observe que a massa restante de um sistema composto geralmente será ligeiramente diferente da soma 
das massas restantes de suas partes, pois, em sua estrutura de descanso, sua energia cinética 
aumentará sua massa e sua energia de ligação (negativa) diminuirá sua massa. Em particular, uma 
hipotética "caixa de luz" teria massa de repouso, mesmo sendo feita de partículas que não são removidas 
desde o momento em que sua fonte desaparecesse. 
Observando a fórmula acima para massa invariável de um sistema, percebe-se que, quando um único 
objeto maciço está em repouso ( v = 0 , p = 0 ), existe uma massa diferente de zero 
restante: m 0 = E / c 2. A energia correspondente, que também é a energia total quando uma única 
partícula está em repouso, é chamada de "energia em repouso". Nos sistemas de partículas vistas de 
uma estrutura inercial em movimento, a energia total aumenta e o momento também. No entanto, para 
partículas únicas, a massa restante permanece constante e, para sistemas de partículas, a massa 
invariante permanece constante, porque em ambos os casos, a energia e o momento aumentam 
subtraem um do outro e cancelam. Assim, a massa invariável dos sistemas de partículas é uma constante 
calculada para todos os observadores, assim como a massa restante de partículas únicas. 
A massa de sistemas e conservação de massa invariável 
Veja também: Centro de massa (relativístico) 
Para sistemas de partículas, a equação energia-momento requer a soma dos vetores de momento das 
partículas: 
𝐸ଶ − 𝑝. 𝑝𝑐ଶ = (𝑚଴𝑐ଶ)ଶ 
A estrutura inercial na qual o momento de todas as partículas é igual a zero é chamada de centro da 
estrutura do momento . Nesse quadro especial, a equação energia-momento relativística tem p = 0 e, 
portanto, fornece a massa invariante do sistema como meramente a energia total de todas as partes do 
sistema, dividida por c 2 . 
𝑚଴,௦௜௦௧ = ෍ 𝐸௡/𝑐2
௡
 
 
Essa é a massa invariável de qualquer sistema que é medido em uma estrutura em que ele possui zero 
momento total, como uma garrafa de gás quente em uma balança. Nesse sistema, a massa que a 
balança pesa é a massa invariável e depende da energia total do sistema. Portanto, é mais do que a 
soma das massas restantes das moléculas, mas também inclui todas as energias totais no sistema. Como 
energia e momento, a massa invariável de sistemas isolados não pode ser alterada enquanto o sistema 
permanecer totalmente fechado (nenhuma massa ou energia é permitida entrar ou sair), porque a energia 
relativística total do sistema permanece constante enquanto nada puder entrar ou sair. 
Um aumento na energia de um sistema desse tipo causado pela conversão do sistema em uma estrutura 
inercial que não é o centro da estrutura de momento, causa um aumento de energia e momento sem um 
aumento na massa invariante. E = m 0 c 2 , no entanto, aplica-se apenas a sistemas isolados em sua 
estrutura de centro de momento em que o momento é igual a zero. 
Tomando essa fórmula pelo valor de face, vemos que na relatividade, massa é simplesmente energia com 
outro nome (e medida em unidades diferentes). Em 1927, Einstein comentou sobre a relatividade 
especial: "Segundo essa teoria, a massa não é uma magnitude inalterável, mas uma magnitude 
dependente (e, de fato, idêntica à) da quantidade de energia". [5] 
Sistemas fechados (isolados) 
Em um sistema "totalmente fechado" (isto é, sistema isolado), a energia total, o momento total e, portanto, 
a massa invariante total são conservados. A fórmula de Einstein para mudança de massa se traduz em 
sua mais simples forma Δ E = Δ mc 2, no entanto, apenas em sistemas não fechados nos quais a energia 
é permitida escapar (por exemplo, como calor e luz) e, portanto, a massa invariante é reduzida. A 
equação de Einstein mostra que tais sistemas devem perder massa, de acordo com a fórmula acima, 
proporcionalmente à energia que perdem para o ambiente. Por outro lado, se alguém pode medir as 
diferenças de massa entre um sistema antes de sofrer uma reação que libera calor e luz e o sistema após 
a reação quando o calor e a luz escapam, pode-se estimar a quantidade de energia que escapa ao 
sistema. 
 
 
Química e reações nucleares 
Nas reações nucleares e químicas, essa energia representa a diferença nas energias de ligação dos 
elétrons nos átomos (para a química) ou entre os núcleons nos núcleos (nas reações atômicas). Nos dois 
casos, a diferença de massa entre os reagentes e os produtos (resfriados) mede a massa de calor e luz 
que escapará da reação e, assim, (usando a equação) fornece a energia equivalente de calor e luz que 
pode ser emitida se a reação prosseguir. 
Na química, as diferenças de massa associadas à energia emitida com grandeza de cerca de 10 9 da 
massa molecular. [6] No entanto, nas reações nucleares, as energias são tão grandes que estão 
associadas a diferenças de massa, que podem ser estimadas com antecedência, se os produtos e 
reagentes tiverem sido pesados (os átomos podem ser pesados indiretamente usando massas atômicas, 
que são sempre o mesmo para cada nuclídeo ). Assim, a fórmula de Einstein se torna importante quando 
se mede as massas de diferentes núcleos atômicos. Observando a diferença de massas, pode-se prever 
quais núcleos armazenaram energia que pode ser liberada por certas reações nucleares, fornecendo 
informações importantes que foram úteis no desenvolvimento da energia nuclear e, consequentemente, 
da bomba nuclear . Historicamente, por exemplo, Lise Meitner foi capaz de usar as diferenças de massa 
nos núcleos para estimar que havia energia suficiente disponívelpara tornar a fissão nuclear um processo 
favorável. As implicações dessa forma especial da fórmula de Einstein a tornaram uma das equações 
mais famosas de toda a ciência. 
Centro de momento do quadro 
A equação E = m 0 c 2 aplica-se apenas a sistemas isolados no centro de momento do quadro . Foi 
popularmente entendido mal como significando que a massa pode ser convertida em energia, após o que 
a massa desaparece. No entanto, explicações populares da equação aplicada a sistemas que incluem 
sistemas abertos (não isolados) para os quais é permitido o calor e a luz escaparem, quando de outra 
forma teriam contribuído para a massa ( massa invariável ) do sistema. 
Historicamente, a confusão sobre a massa ser "convertida" em energia tem sido auxiliada pela confusão 
entre massa e "matéria", onde a matéria é definida como partículas de férmion. Nessa definição, radiação 
eletromagnética e energia cinética (ou calor) não são consideradas "matéria". Em algumas situações, a 
matéria pode realmente ser convertida em formas de energia não-matéria ,mas em todas essas 
situações, as formas de energia matéria e não-matéria ainda mantêm sua massa original. 
Para sistemas isolados (fechados a todas as trocas de massa e energia), a massa nunca desaparece no 
centro do quadro de momento, porque a energia não pode desaparecer. Em vez disso, essa equação, no 
contexto, significa apenas que quando qualquer energia é adicionada ou escapa de um sistema no 
quadro do centro de momento, o sistema será medido como tendo ganhado ou perdido massa, 
proporcionalmente à energia adicionada ou removida. Assim, em teoria, se uma bomba atômica fosse 
colocada em uma caixa forte o suficiente para conter sua explosão e detonada em uma escala, a massa 
desse sistema fechado não mudaria e a escala não se moveria. Somente quando uma "janela" 
transparente era aberta na caixa super-forte cheia de plasma, e a luz e o calor podiam escapar em um 
feixe e os componentes da bomba esfriavam, o sistema perdia a massa associada à energia da 
explosão. Em uma bomba de 21 quilotons, por exemplo, cerca de um grama de luz e calor é criado. Se 
fosse permitido que esse calor e luz escapassem, os restos da bomba perderiam um grama de massa 
quando esfriasse. Nesse experimento mental, a luz e o calor transportam o grama de massa e, portanto, 
depositam esse grama de massa nos objetos que os absorvem. [7] 
O momento angular 
Artigo principal: Momento angular relativístico 
Na mecânica relativística, o momento de massa variável no tempo 
 
𝑵 = 𝑚(𝒙 − 𝑡𝒗) 
 
e momento orbital 3-angular 
𝑳 = 𝒙 × 𝒑 
 
de uma partícula em forma de ponto são combinados em um bivetor quadridimensional em termos da 4-
posição X e do 4-momento P da partícula: [8] [9] 
 
𝑴 = 𝑿 ∧ 𝐩 
Onde ∧ indica o produto externo. Esse tensor é aditivo: o momento angular total de um sistema é a soma 
dos tensores de momento angular de cada constituinte do sistema. Assim, para um conjunto de partículas 
discretas soma-se os tensores de momento angular sobre as partículas ou integra-se a densidade do 
momento angular ao longo de uma distribuição de massa contínua. 
Cada um dos seis componentes forma uma quantidade conservada quando agregado aos componentes 
correspondentes para outros objetos e campos. 
Força 
Na relatividade especial, a segunda lei de Newton não se sustenta na forma F = m.a , mas ele faz se ela é 
expressa como 
𝐹 =
𝑑𝑃
𝑑𝑡
 
 
onde p = γ ( v ) m 0 v é o momento definido acima e m 0 é a massa invariante . Assim, a força é dada por 
 
𝐹 = γ(𝒗)ଷm଴a|| + γ(𝒗)m଴a┴ 
 
Consequentemente, em alguns textos antigos, γ(v)3 m 0 é chamado de massa longitudinal e γ ( v ) m 0 é 
chamado de massa transversal , numericamente o mesmo que a massa relativista . Veja a massa na 
relatividade especial . 
Se alguém inverter isso para calcular a aceleração da força, obtém-se 
 
𝑎 =
1
γ(𝒗)m଴
 
A força descrita nesta seção é a força tridimensional clássica que não é um vetor de quatro 
componentes . Essa força tridimensional é o conceito apropriado de força, pois é a força que obedece à 
terceira lei do movimento de Newton . Não deve ser confundida com a chamada força quádrupla, que é 
meramente a força tridimensional na estrutura de movimento do objeto transformado como se fosse um 
vetor de quatro vetores. No entanto, a densidade da força tridimensional (momento linear transferido por 
unidade de quatro volumes) é um vetor de quatro componentes (densidade de peso +1) quando 
combinado com o negativo da densidade de potência transferida. 
Torque 
O torque que atua sobre uma partícula do tipo ponto é definido como a derivada do tensor de momento 
angular dado acima em relação ao tempo adequado: [10] [11] 
 
𝜏 =
𝑑𝑀
𝑑𝑟
= 𝑋 ∧ 𝐹 
 
ou em componentes tensores: 
 
𝑟ఈఉ = 𝑋ఈ𝐹ఉ − 𝑋ఉ𝐹ఈ 
 
onde F é a força que atua sobre o 4d partícula no evento X. Assim como no momento angular, o torque é 
aditivo, portanto, para um objeto estendido, soma-se ou integra-se sobre a distribuição de massa. 
Energia cinética 
O teorema da energia do trabalho diz [12] que a mudança na energia cinética é igual ao trabalho realizado no 
corpo. Em relatividade especial: 
 
𝐾 = 𝑊 = [𝛾(𝑣) − 1]𝑚଴𝑐ଶ 
 
Se no estado inicial o corpo estava em repouso, então v 0 = 0 e γ0(v0) = 1, e no estado final ele possui 
velocidade v 1 = v , configurando γ 1(v 1) = γ (v), a energia cinética é então um resultado que pode ser 
obtido diretamente subtraindo a energia restante m 0 c 2 da energia relativística total γ(v)m 0 c 2 . 
Limite newtoniano 
O fator de Lorentz γ ( v ) pode ser expandido para uma série de Taylor ou binomial para ( v / c ) 2 <1, 
obtendo: 
𝛾 = ଵ
ටଵି𝒗. 𝒗೎మ
= ∑ ቀ௩
௖
ቁ
ଶ௡
ஶ
௡ୀ଴ ∏ ቀ
ଶ௞ିଵ
ଶ௞
ቁ௡௞ୀଵ = 1 +
ଵ
ଶ
ቀ௩
௖
ቁ
ଶ
+ ଷ
଼
ቀ௩
௖
ቁ
ସ
+ ହ
ଵ଺
ቀ௩
௖
ቁ
଺
+ ... 
 
e consequentemente 
𝐸 − 𝑚଴𝑐ଶ =
1
2 𝑚଴(𝑣)
2 + 38 ൭
𝑚଴𝑣4
𝑐2
൱ + 516 ൭
𝑚଴𝑣6
𝑐4
൱ + … ; 
𝑝 = 𝑚଴ 𝑣 + 
1
2
𝑚଴(𝑣)2 
𝑐ଶ
+ 38 ൭
𝑚଴𝑣4
𝑐4
൱ + 516 ൭
𝑚଴𝑣6
𝑐6
൱ + ⋯. 
 
Para velocidades muito menores que as da luz, pode-se negligenciar os termos com c 2 e superiores no 
denominador. Essas fórmulas reduzem-se então às definições padrão de energia cinética newtoniana e 
momento. É assim que deve ser, pois a relatividade especial deve concordar com a mecânica newtoniana 
em baixas velocidades. 
Veja também 
 Introdução à relatividade especial 
 Paradoxo gêmeo 
 Equações relativísticas 
 Condução de calor relativista 
 Eletromagnetismo clássico e relatividade especial 
 Sistema relativístico (matemática) 
 Mecânica Lagrangiana Relativística 
Referências 
Notas 
 
^ Philip Gibbs, Jim Carr e Don Koks (2008). "O que é massa relativista?" . Perguntas frequentes sobre a Usenet 
Physics . Página visitada em 2008-09-19 .Observe que em 2008 o último editor, Don Koks, reescreveu uma parte 
significativa da página, mudando-a de uma visão extremamente desprezível da utilidade da massa relativista para uma 
que dificilmente a questiona. A versão anterior era: Philip Gibbs e Jim Carr (1998). "A massa muda com a 
velocidade?" . Perguntas frequentes sobre a Usenet Physics . Arquivado a partir do original em 30/06/2007. 
1. ^ Lev B. Okun (julho de 1989). "O conceito de massa" (assinatura necessária) . Física hoje . 42 (6): 31–
36. Bibcode : 1989PhT .... 42f..31O . doi : 10.1063 / 1.881171 . 
2. ^ TR Sandin (novembro de 1991). "Em defesa da massa relativística"(requer assinatura) . American Journal of 
Physics . 59 (11): 1032. bibcode : 1991AmJPh..59.1032S . doi : 10.1119 / 1.16642 . 
3. ^ Veja, por exemplo: Feynman, Richard (1998). "A teoria especial da relatividade". Seis peças não tão 
fáceis . Cambridge, Massachusetts: Perseus Books. ISBN 0-201-32842-9. 
4. ^ Einstein em Newton 
5. ↑ Randy Harris(2008). Física moderna: segunda edição . Pearson Addison-Welsey. p. 38. ISBN 0-8053-0308-1. 
6. ^ EF Taylor e JA Wheeler, física do espaço-tempo , WH Freeman and Co., Nova York. 1992. ISBN 0-7167-2327-1 , 
ver pp. 248–9 para discussão sobre a massa que permanece constante após a detonação de bombas nucleares, até 
que o calor possa escapar. 
7. ^ R. Penrose (2005). O caminho para a realidade . Livros antigos. 437-438, 566-569. ISBN 978-0-09-944068-
0. Nota: Alguns autores, incluindo Penrose, usam letras latinas nesta definição, embora seja convencional o uso de 
índices gregos para vetores e tensores no espaço-tempo. 
8. ^ M. Fayngold (2008). Relatividade especial e como funciona . John Wiley & Sons. 137–139. ISBN 3-527-40607-7. 
9. ^ S. Aranoff (1969). "Torque e momento angular em um sistema em equilíbrio em relatividade especial" . American 
Journal of Physics . 37 . Bibcode : 1969AmJPh..37..453A . doi : 10.1119 / 1.1975612.Este autor usa T para torque, aqui 
usamos capital Gamma Γ, pois Té mais frequentemente reservado para o tensor energia-estresse . 
10. ^ S. Aranoff (1972). "Equilíbrio na relatividade especial" (PDF) . Nuovo Cimento . 10 : 159. 
11. ^ RCTolman "termodinâmica e cosmologia da relatividade" pp 47-48 
 C. Chryssomalakos; H. Hernandez-Coronado; E. Okon (2009). "Centro de massa na relatividade 
especial e geral e seu papel na descrição eficaz do espaço-tempo". J. Phys. Conf. Ser . México. 174 : 
012026. arXiv : 0901.3349 . doi : 10.1088 / 1742-6596 / 174/1/012026 . 
 
Leitura adicional 
Escopo geral e relatividade especial / geral 
 PM Whelan; MJ Hodgeson (1978). Princípios Essenciais da Física (2ª ed.). John Murray. ISBN 0-7195-
3382-1. 
 G. Woan (2010). O Manual de Cambridge de fórmulas de física . Cambridge University 
Press. ISBN 978-0-521-57507-2. 
 Tipler PA; G. Mosca (2008). Física para cientistas e engenheiros: com física moderna (6ª ed.). ISBN 
da Freeman and Co. da WH 978-1-4292-0265-7. 
 RG Lerner; GL Trigg (2005). Encyclopaedia of Physics (2ª ed.). Editora VHC, Hans Warlimont, 
Springer. ISBN 978-0-07-025734-4. 
 Conceitos de Física Moderna (4ª Edição), A. Beiser, Física, McGraw-Hill (Internacional), 1987, ISBN 0-
07-100144-1 
 CB Parker (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2ª ed.). McGraw Hill. ISBN 0-07-051400-3. 
 T. Frankel (2012). A Geometria da Física (3ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-60260-
1. 
 LH Greenberg (1978). Física com aplicações modernas . Holt-Saunders Internacional WB Saunders e 
Co. ISBN 0-7216-4247-0. 
 A. Halpern (1988). 3000 problemas resolvidos em física, série Schaum . Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-
025734-4. 
Eletromagnetismo e relatividade especial 
 GAG Bennet (1974). Eletricidade e Física Moderna (2ª ed.). Edward Arnold (Reino Unido). ISBN 0-7131-
2459-8. 
 IS Grant; WR Phillips; Manchester Physics (2008). Eletromagnetismo (2ª ed.). John Wiley & 
Sons. ISBN 978-0-471-92712-9. 
 DJ Griffiths (2007). Introdução à Eletrodinâmica (3ª ed.). Educação Pearson, Dorling 
Kindersley. ISBN 81-7758-293-3. 
 
Mecânica clássica e relatividade especial 
 JR Forshaw; AG Smith (2009). Dinâmica e Relatividade . Wiley. ISBN 978-0-470-01460-8. 
 D. Kleppner; RJ Kolenkow (2010). Uma introdução à mecânica . Cambridge University Press. ISBN 978-
0-521-19821-9. 
 LN Hand; JD Finch (2008). Mecânica Analítica . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57572-0. 
 PJ O'Donnell (2015). Dinâmica essencial e relatividade . CRC Pressione. ISBN 978-1-4665-8839-4. 
 
Relatividade geral 
 D. McMahon (2006). Relatividade desmistificada . Mc Graw Hill. ISBN 0-07-145545-0. 
 JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitação . ISBN da Freeman & Co. da WH 0-7167-0344-0. 
 JA Wheeler; I. Ciufolini (1995). Gravidade e inércia . Imprensa da Universidade de Princeton. ISBN 978-
0-691-03323-5. 
 RJA Lambourne (2010). Relatividade, Gravitação e Cosmologia . Cambridge University 
Press. ISBN 978-0-521-13138-4.