CP_04_CARGA_AXIAL

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RESISTÊNCIA I
CP 05 – CARGA AXIAL
Prof. Eng. MSc Fabiano Moreira
jfam.91@outlook.com
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OBJETIVOS
• Discutiremos como determinar a deformação de elementos
carregados axialmente;
• Desenvolveremos um método para determinar as reações
nos apoios quando tais reações não poderem ser
determinadas estritamente pelas equações de equilíbrio;
• Também discutiremos uma análise dos efeitos da tensão
térmica e concentração de tensão.
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CONTEUDO:
1. Princípio de Saint-Venant;
2. Deformação elástica de um elemento submetido a
carga axial;
3. Princípio da superposição;
4. Elemento com carga axial estaticamente
indeterminado;
5. Método de análise de forças para elementos carregados
axialmente;
6. Tensão térmica;
7. Concentração de tensão.
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PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT
Nas aulas anteriores desenvolvemos:
Conceito de tensão  meio para medir a distribuição
de força no interior de um corpo.
Conceito de deformação  meio para medir a
deformação geométrica de um corpo.
Mostrou-se que a relação entre tensão e deformação
depende do tipo de material.
Se o material se comportar de maneira linear elástica, a
lei de Hooke será aplicável.
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PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT
Como a deformação está relacionada com a tensão, podemos
afirmar, no caso da barra, que a tensão será distribuida mais
uniformemente por toda a área da seção transversal se um
corte for feito em uma seção distante do ponto onde a carga
externa é aplicada:
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PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT
Em outras palavras a seção c-c, está longe o suficiente
do ponto de aplicação de P, de tal modo que a deformação
localizada provocada por P seja desprezível.
Como regra geral, a distância mínima da seção c-c em
relação à extremidade da barra é igual à maior dimensão da
seção transversal carregada.
Neste caso, a seção c-c deve está
localizada a uma distância no mínimo
igual à largura.
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 1,02 𝜎𝑚𝑒𝑑
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PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT
Elemetos que não se comportam dessa maneira, ou
seja, que não seguem essa regra geral:
• Elementos estruturais de paredes finas submetidos a
carregamentos que provocam grandes deflexões podem
criar tensões e deformações localizadas que têm influência a
uma distância considerável do ponto de aplicação de carga.
• Vigas-Paredes.
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PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT
Agora observe como o apoio impede redução da
largura da barra, consequência do efeito de Poisson:
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PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT
Neste caso, a distribuição de tensão no apoio também
se nivelará e se tornará uniforme em toda a seção transversal a
uma curta distância do apoio; e mais, a amplitude da força
resultante criada por essa distribuição de tensão deve ser
também igual a P.
O fato de a tensão e a deformação comportarem-se
dessa maneira é denominado princípio de Saint-Venant, visto
que foi observado pela primeira vez pelo cientista francês
Barré de Saint-Venant, em 1855.
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PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT
Definição: a tensão e a deformação produzidas em
pontos de um corpo suficientemente distantes da região de
aplicação da carga serão iguais à tensão e à deformação
produzidas por quaisquer carregamentos aplicados que
tenham a mesma resultante estaticamente equivalente e sejam
aplicadas ao corpo dentro da mesma região.
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DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM 
ELEMENTO SUBMETIDO A CARGA AXIAL
Usando a lei de Hooke e as definições de tensão e deformação,
desenvolve-se uma equação qeu pode ser usada para
determinar a deformação elástica de um elemento submetido a
cargas axiais:
𝛿 = 
0
𝐿 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝐴 𝑥 𝐸
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DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM 
ELEMENTO SUBMETIDO A CARGA AXIAL
Usando o método das seções, isolamos um elemento
diferencial da barra de comprimento arbitrário dx e área de
seção transversal A(x) em uma posição arbitrária x:
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DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM 
ELEMENTO SUBMETIDO A CARGA AXIAL
Carga e área de seção transversal contante:
𝛿 =
𝑃𝐿
𝐴𝐸
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DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM 
ELEMENTO SUBMETIDO A CARGA AXIAL
Se a barra for submetida a várias forças axiais diferentes, ou se
a área da seção transversal ou o módulo de elasticidade mudar
repentinamente de uma região para outra, a equação poderá ser
aplicada a cada seguimento da barra onde todas essas
quantidades são constantes:
𝛿 = 
𝑃𝐿
𝐴𝐸
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DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM 
ELEMENTO SUBMETIDO A CARGA AXIAL
Conversão de sinais: para aplicar a equação anterior, temos de
desenvolver uma convensão de sinal para a força axial interna
e o deslocamento de uma extremidade da barra em relação à
outra extremidade:
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DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM 
ELEMENTO SUBMETIDO A CARGA AXIAL
Exemplo:
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EXERCÍCIO 1
A barra de aço A-36 ( 𝐸𝑎ç𝑜 = 210 𝐺𝑃𝑎 )
mostrado na figura é composto por dois
seguimentos, AB e BD, com áreas de seção
transversal 𝐴𝐴𝐵 = 600 𝑚𝑚² e 𝐴𝐵𝐷 =
1200 𝑚𝑚² , respectivamente. Determine o
deslocamento vertical da extremindade A e o
deslocamento de B em relação a C.
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EXERCÍCIO 2
O conjunto mostrado na figura abaixo é composto por um tubo
de alumínio AB com área de seção transversal de 400 mm².
Uma barra de aço com 10 mm de diâmetro está acoplada a um
colar rígido e passa pelo tubo. Se uma carga de tração de 80
kN for aplicada à barra, determine o deslocamento da
extremidade C da barra. Considere 𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝑎𝑙 =
70 𝐺𝑃𝑎.
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EXERCÍCIO 3
A barra tem ára de seção transversal de 1800 mm² e E =
250GPa. Determine o deslocamento da extremindade A da
barra quando submetida ao carregamento distribuido.
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EXERCÍCIO 4
Um elemento é feito com peso específico
𝛾 e módulo de elasticidade E. Se esse
elemento tiver a forma de um cone com as
dimensões mostradas na figura, determine
até que distância sua extremidade se
deslocará sob a força da gravidade,
quando suspenso na posição vertical.
Dado: 𝑉 =
𝜋
3
𝑦𝑥²
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PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
É usado para determinar a tensão ou o deslocamento
em um ponto de um elemento quando este estiver sujeito a um
carregamento complicado.
A tensão ou o deslocamento resultante no ponto pode
ser determinado se antes se determinar a tensão ou o
deslocamento causado por cada componente de carga agindo
separadamente sobre o elemento.
A tensão ou deslocamento resultante é, então, a soma
algébrica das contribuições causadas por cada uma das
componentes das cargas.
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PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
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PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
Para aplicar o princípio da superposição as duas
condições a seguir devem ser válidas:
1. A carga deve estar relacionada linearmente com a tensão
ou o deslocamento a ser determinado.
𝜎 =
𝑃
𝐴
e 𝛿 =
𝑃𝐿
𝐴𝐸
2. A carga não deve provocar mudanças significativas na
geometria ou configuração original do elemento.
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ELEMENTO COM CARGA AXIAL 
ESTATICAMENTE INDETERMINADO
Quando uma barra está presa somente em uma
extremidade e é submetida a uma força axial, aquação de
equilíbrio da força aplicada ao longo do eixo da barra é
suficiente para determinar a reação no suporte fixo.
Problema estaticamente determinado
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ELEMENTO COM CARGA AXIAL 
ESTATICAMENTE INDETERMINADO
Se a barra estiver em ambas as extremidades, então
aparecem duas reações axiais desconhecidas:
Problema estaticamente indeterminado.
Número de reações maior que o número de 
equações de equilibrio.
Uma equação adcional deve ser estabecida.
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ELEMENTO COM CARGA AXIAL 
ESTATICAMENTE INDETERMINADO
Condição de compatibilidade ou condição 
cinemática:
𝐹𝐴𝐿𝐴𝐶
𝐴𝐸
−
𝐹𝐵𝐿𝐶𝐵
𝐴𝐸
= 0
𝐹𝐴 = 𝑃
𝐿𝐶𝐵
𝐿
𝐹𝐵 = 𝑃
𝐿𝐴𝐶
𝐿
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ELEMENTO COM CARGAAXIAL 
ESTATICAMENTE INDETERMINADO
Exemplo de aplicação na engenharia estrutural:
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EXERCÍCIO 4
A haste de aço mostrada na figura tem diâmetro de 5 mm e
está presa à parede fixa em A. Antes de ser carregada, há uma
folga de 1 mm entre a parede em B’ e a haste. Determine as
reações em A e B’ se a haste for submetida a uma força axial P
= 20 kN como mostra a figura. Despreze o tamanho do colar
em C. Considere 𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎.
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EXERCÍCIO 5
O poste de alumínio mostrado na figura é reforçado com um
núcleo de latão. Se esse conjunto suportar uma carga de
compressão axial resultante P=45 kN, aplicada na tampa
rígida, determine a tensão normal média no alumínio e no
latão. Considere 𝐸𝑎𝑙 = 70 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝑙𝑎𝑡 = 105 𝐺𝑃𝑎
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EXERCÍCIO 6
As três barras de aço A-36 
(𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎) 
mostradas na figura estão 
conectadas por pinos a um 
elemento rígido. Se a carga 
aplicada ao elemento for 15 
kN, determine a força 
desenvolvida em cada barra. 
Cada uma das barras AB e 
EF tem área de seção 
transversal de 25 mm² e a 
barra CD tem área de seção 
transversal de 15 mm² .
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MÉTODO DE ANÁLISE DE FORÇA PARA 
ELEMENTOS CARREGADOS AXIALMENTE
Também se pode resolver problemas estaticamente
indeterminado escrevendo a equação de compatibilidade
levando em consideração a superposição das forças que agem
no diagrama de corpo livre (método também conhecido como
método de análise de flexibilidade)
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MÉTODO DE ANÁLISE DE FORÇA PARA 
ELEMENTOS CARREGADOS AXIALMENTE
𝑃𝐿𝐴𝐶
𝐴𝐸
−
𝐹𝐵𝐿
𝐴𝐸
= 0 𝐹𝐴 = 𝑃
𝐿𝐶𝐵
𝐿
𝐹𝐵 = 𝑃
𝐿𝐴𝐶
𝐿
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EXERCÍCIO 7
A haste de aço mostrada na figura tem diâmetro de 5 mm e
está presa à parede fixa em A. Antes de ser carregada, há uma
folga de 1 mm entre a parede em B’ e a haste. Determine as
reações em A e B’. Considere 𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎.
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TENSÃO TÉRMICA
Uma mudança na temperatura pode provocar alterações
nas dimensões de uma material.
Se T aumenta, então δ também aumenta e vice-versa
Essa relação normalmente é linear.
Para materiais homogênio e isotrópico, estudos
experimentais demonstram que:
𝛿𝑇 = 𝛼∆𝑇𝐿
onde:
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TENSÃO TÉRMICA
• 𝛼 = coeficiente linear de expansão térmica.
Unidade: [1/°C(Celsius) ou [1/°K(Kelvin) no SI].
• ∆𝑇 = Variação de temperatura do elemento.
• 𝐿 = comprimento inicial do elemento.
• 𝛿𝑇 = variação no comprimento do elemento
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TENSÃO TÉRMICA
Se a mudança na temperatura ocorrer em todo o comprimento
do elemento, isto é ∆𝑇 = ∆𝑇(x), ou se 𝛿 mudar ao longo do
comprimento, a mudança no comprimento do elemento será:
𝛿𝑇 = 
0
𝐿
𝛼∆𝑇 𝑥 𝑑𝑥
Elementos estaticamente inderterminados podem ser
restringidos por apoios, o que produz tensões térmicas que
devem ser consideradas no projeto.
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EXERCÍCIO 8
A barra de aço (𝐸𝑎ç𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎) mostrada na figura está
restringida para caber exatamente entre os dois suportes fixos
quando 𝑇𝑖 = 30°𝐶. Se a temperatura aumentar até 𝑇𝑓 = 60°𝐶,
determine a tensão térmica normal média desenvolvida na
barra.
1 𝑚
10 𝑚𝑚
10 𝑚𝑚
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EXERCÍCIO 9
A barra rígida mostrada na figura está presa à parte superior
dos três postes feitos de aço e alumínio. Cada um dos postes
tem comprimento de 250 mm quando não há nenhuma carga
aplicada à barra e a temperatura é 𝑇𝑖 = 20°𝐶. Determine a
força suportada por cada poste se a barra for submetida a um
carregamento distribuido uniformemente de 150 kN/m e a
temperatura aumentar ate 𝑇𝑓 = 80°𝐶.
Dados:
𝛼𝑎ç𝑜 = 12(10
−6/°𝐶)
𝛼𝑎𝑙𝑢 = 23(10
−6/°𝐶)
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CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO
As distribuições de tensão complexas também aparecem em
seções nas quais a área da seção transversal do elemento muda.
A tensão normal máxima 
ocorre na seção a-a.
Para comportamento linear 
elástico, a distribuição de 
tensão pode ser determinada 
por análise matemática ou 
experimental
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CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO
Independente do método utilizado para o calculo da tensão, a
forma geral da distribuição de tensão será como a mostrada na
figura abaixo:
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CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO
De maneira semelhante, se a seção transversal sofrer redução
com a utilização, por exemplo, de fletes de rebaixo, a tensão
normal máxima ocorrera na menor area da seção transversal.
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CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO
Em ambos os casos, o equilíbrio de forças exige que:
𝑃 = 
𝐴
𝜎𝑑𝐴
Representa o volume sob cada 
diagrama de distribuição de 
tensão.
Distribuição simétrica, com P 
passando pelo centroide
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CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO
Na prática da engenharia, a distribuição de tensão real não
precisa ser determinada. Basta saber qual a ternsão máxima
nessas seções e, então, o elemento é projetadopara resistir a
essa tensão. Para isso usa-se o fator de intensidade de tensão
(K):
𝐾 =
𝜎𝑚á𝑥
𝜎𝑚é𝑑
com 𝜎𝑚é𝑑 = 𝑃/𝐴, onde A é a menor área de seção transversal.
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CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO
Valores específicos de K são apresentados em gráficos em
manuais relacionados à análise de tensão, como os exemplos
que seguem para carregamento estático, considerando que a
tensão no material não ultrapasse o limite de
proporcionalidade:
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EXERCÍCIO 10
As dimensões da barra de aço são mostradas na figura. Se a
tensão admissível for 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 115 𝑀𝑃𝑎, determine a maior
força axial P que a barra pode suportar.
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EXERCÍCIO 11
O poste é feito abaixo tem diâmetro de 60 mm. Se estiver
sujeito a uma carga de 20 kN e o solo proporcionar resistência
ao atrito w = 4 kN/m uniformemente distribuída ao longo de
seus lados, determine a força F na parte inferior do poste
necessária para haver equilíbrio. Calcule também qual é o
deslocamento da parte superior do poste, A, em relação à sua
parte inferior, B. Despreze o peso do poste.
Dados:
E = 13,1 GPa
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EXERCÍCIO 12
A coluna é de concreto de alta resistência e reforçada com
quatro hastes de aço A36 (E = 200 GPa) Se for submetida a
uma força axial de 800 kN, determine o diâmetro exigido para
cada haste de modo que 1/4 da carga seja suportada pelo aço e
3/4, pelo concreto (E=25 GPa).
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EXERCÍCIO 13
Duas barras feitas de material diferentes são acopladas e
instaladas entre duas paredes quando a temperatura é T1 =
150°C. Determine a força exercida nos apoios (rígidos) quando
a temperatura for T2 = 20°C.