AULA_PRESENCIAL_03_-_DEFORMAO_ELSTICA_EM_ELEMENTOS_SUBMETIDOS_A_CARGAS_AXIAIS

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<p>Aula Presencial 03</p><p>Deformação Elástica em</p><p>Elementos Submetidos a</p><p>Cargas Axiais</p><p>UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO</p><p>DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL</p><p>MECÂNICA DOS SÓLIDOS I</p><p>Ta n g a r á d a S e r r a – M T</p><p>Prof. Me. Fernando Rodrigues Pillon</p><p>Anteriormente assumimos que em um componente carregado</p><p>axialmente, a tensão normal tem uma distribuição que poderia ser</p><p>considerada uniformemente distribuída em uma seção perpendicular ao</p><p>eixo do elemento. Mas essa consideração pode estar errada nas</p><p>vizinhanças imediatas dos pontos de aplicação das forças.</p><p>Princípio de Saint-Venant</p><p>2</p><p>Ao utilizarmos duas placas rígidas</p><p>para transmitir as forças a um</p><p>componente feito de material</p><p>homogêneo e isotrópico, é razoável</p><p>supor que o componente permanecerá</p><p>reto e que as seções planas</p><p>permanecerão planas, e que todos os</p><p>elementos se deformarão da mesma</p><p>maneira, ou seja, a distribuição de</p><p>deformação específica deve ser</p><p>uniforme. Dentro do limite de</p><p>proporcionalidade, aplicando a lei de</p><p>Hooke temos que a tensão normal</p><p>também é constante e igual a tensão</p><p>média 𝑃/𝐴</p><p>Princípio de Saint-Venant</p><p>3</p><p>Mas se aplicarmos forças axiais</p><p>concentradas diretamente ao elemento,</p><p>notamos grandes deformações e, portanto,</p><p>grandes deformações específicas e grandes</p><p>tensões nas proximidades dos pontos de</p><p>aplicação das forças, enquanto nos cantos não</p><p>há deformações. No entanto, à medida que</p><p>consideramos elementos cada vez mais</p><p>distantes das extremidades, notamos uma</p><p>equalização progressiva das deformações</p><p>envolvidas e, portanto, uma distribuição mais</p><p>uniforme das deformações específicas e das</p><p>tensões.</p><p>Princípio de Saint-Venant</p><p>4</p><p>O resultado dos cálculos, por métodos de matemática avançada,</p><p>para a distribuição de tensões através de várias seções transversais é</p><p>apresentada na figura.</p><p>Princípio de Saint-Venant</p><p>5</p><p>Notamos que a uma</p><p>distância 𝑏 de qualquer</p><p>extremidade, em que 𝑏 é a maior</p><p>dimensão transversal, a</p><p>distribuição de tensões é</p><p>aproximadamente uniforme</p><p>através da seção transversal e o</p><p>valor da tensão em qualquer</p><p>ponto da seção pode ser</p><p>considerado igual ao valor médio</p><p>𝑃/𝐴.</p><p>Princípio de Saint-Venant</p><p>6</p><p>Exceto nas vizinhanças imediatas dos pontos de aplicação das</p><p>forças, a distribuição de tensão pode ser considerada independente do</p><p>modo real de aplicação das forças. Essa definição não se aplica</p><p>somente a carregamentos axiais, mas a todo tipo de carregamento e é</p><p>conhecida como Princípio de Saint-Venant, em homenagem ao</p><p>matemático e engenheiro francês Adhémar Barré de Saint-Venant.</p><p>Princípio de Saint-Venant</p><p>7</p><p>O princípio de Saint-Venant torna possível substituir um</p><p>carregamento por outro mais simples, mas devemos ter em mente</p><p>dois pontos importantes:</p><p>1. O carregamento real e o utilizado para o cálculo devem ser</p><p>estaticamente equivalentes</p><p>2. As tensões não podem ser calculadas dessa maneiras nas</p><p>vizinhanças imediatas dos pontos de aplicação das forças.</p><p>Princípio de Saint-Venant</p><p>8</p><p>Usando a Lei de Hooke e as definições de tensão e deformação</p><p>vistas anteriormente, desenvolveremos uma equação que pode ser</p><p>usada para determinar a deformação elástica de um elemento</p><p>submetido a cargas axiais.</p><p>Considere a barra submetida a cargas axiais mostrada na figura,</p><p>cuja área da seção transversal varia gradativamente ao longo do seu</p><p>comprimento.</p><p>Deformação sob Carga Axial</p><p>9</p><p>A barra está sujeita a cargas concentradas em suas extremidades</p><p>e uma carga externa variável distribuída ao longo do comprimento.</p><p>Essa carga poderia representar o peso de uma barra vertical ou a</p><p>força de atrito que age na superfície da barra. Queremos aqui</p><p>determinar o deslocamento relativo 𝛿 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 de uma extremidade</p><p>em relação a outra causada por esse carregamento.</p><p>Desprezaremos as deformações localizadas que ocorrem nos</p><p>pontos de aplicação das cargas.</p><p>Deformação sob Carga Axial</p><p>10</p><p>Usando o método das seções, isolamos um elemento diferencias</p><p>da barra de comprimento 𝑑𝑥 e área de seção transversal 𝐴(𝑥) em</p><p>uma posição arbitrária 𝑥. O diagrama de corpo livre é mostrado na</p><p>figura. A força Axial interna é representada por 𝑃(𝑥) já que ela</p><p>varia com o comprimento. Essa carga 𝑃(𝑥) deformará o elemento</p><p>até a posição indicada pela linha tracejada.</p><p>Deformação sob Carga Axial</p><p>11</p><p>O deslocamento de uma das extremidades do elemento em</p><p>relação a outra é 𝑑𝛿. A tensão e a deformação no elemento são:</p><p>Contando que a tensão e deformação não ultrapassem o limite</p><p>de proporcionalidade, temos da lei de Hooke a relação</p><p>Deformação sob Carga Axial</p><p>12</p><p>𝜎 =</p><p>𝑃(𝑥)</p><p>𝐴(𝑥)</p><p>𝜖 =</p><p>𝑑𝛿</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝜎 = 𝐸𝜖</p><p>𝑃(𝑥)</p><p>𝐴(𝑥)</p><p>= 𝐸</p><p>𝑑𝛿</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑𝛿 =</p><p>𝑃 𝑥 𝑑𝑥</p><p>𝐴 𝑥 𝐸</p><p>Para o comprimento total da barra, L, devemos integrar a expressão</p><p>para determinar o deslocamento da extremidade</p><p>onde</p><p>𝛿 = deslocamento de um ponto da barra relativo a outro ponto</p><p>𝐿 = 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠</p><p>𝑃 𝑥 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑛𝑎 𝑠𝑒çã𝑜, 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑢𝑚𝑎</p><p>𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑥 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒</p><p>𝐴 𝑥 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑒𝑚</p><p>𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑥</p><p>𝐸 = 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙</p><p>Deformação sob Carga Axial</p><p>13</p><p>𝛿 = න</p><p>0</p><p>𝐿 𝑃 𝑥</p><p>𝐴 𝑥 𝐸</p><p>𝑑𝑥</p><p>Em muitos casos, a barra terá uma área de seção transversal</p><p>constante, 𝐴; e o material será homogêneo de modo que o módulo</p><p>de elasticidade é constante. Além do mais, se uma força externa</p><p>constante for aplicada a cada uma das extremidades, então a força 𝑃</p><p>também será constante. A equação anterior pode então ser integrada</p><p>e nos dará</p><p>Carga e seção transversal constante</p><p>14</p><p>𝛿 =</p><p>𝑃𝐿</p><p>𝐴𝐸</p><p>Se uma barra for submetida a várias forças axiais diferentes, ou</p><p>se a área da seção transversal ou o módulo de elasticidade mudar</p><p>repentinamente de uma região para outra, a equação anterior poderá</p><p>ser aplicada a cada segmento da barra onde todas as quantidades são</p><p>constantes e se fica</p><p>Carga e seção transversal constante</p><p>15</p><p>𝛿 = ෍</p><p>𝑃𝐿</p><p>𝐴𝐸</p><p>Para aplicar a equação anterior temos que desenvolver uma</p><p>convenção de sinal para a força axial interna e o deslocamento de</p><p>uma extremidade. Consideraremos que ambos, força e</p><p>deslocamento, são positivos se provocarem tração e alongamento</p><p>respectivamente; ao contrário, força e deslocamento negativo</p><p>causarão compressão e contração, respectivamente.</p><p>Convenção de Sinais</p><p>16</p><p>Determine o deslocamento relativo entre as extremidades A e D</p><p>da barra submetida ao carregamento externo conforme mostrado na</p><p>Figura abaixo.</p><p>Exemplo 1</p><p>17</p><p>Inicialmente é preciso determinar os esforços internos</p><p>desenvolvidos na barra, que podem ser obtidos pelo método das</p><p>seções.</p><p>Exemplo 1</p><p>18</p><p>O diagrama de esforços normal é:</p><p>Exemplo 1</p><p>19</p><p>O deslocamento relativo do ponto A em relação a D é então dado</p><p>pela expressão abaixo:</p><p>Exemplo 1</p><p>20</p><p>O conjunto mostrado na figura é composto por um tubo de</p><p>alumínio AB com área de seção transversal de 400 𝑚𝑚². Uma barra</p><p>de aço de 10𝑚𝑚 de diâmetro está acoplada a um colar rígido e passa</p><p>pelo tubo. Se uma carga de tração de 80kN for aplicado à barra,</p><p>determine o deslocamento da extremidade C da barra.</p><p>𝑬𝒂ç𝒐 = 𝟐𝟎𝟎𝑮𝑷𝒂 𝑬𝒂𝒍 = 𝟕𝟎𝑮𝑷𝒂</p><p>Exemplo 2</p><p>21</p><p>Determinação dos esforços internos nas barras</p><p>Exemplo 2</p><p>22</p><p>Vamos primeiro determinar o deslocamento da extremidade C em</p><p>relação à extremidade B.</p><p>O sinal positivo indica que a extremidade C se move para a</p><p>direita em relação à extremidade B, uma vez que a barra se alonga.</p><p>Exemplo 2</p><p>23</p><p>O deslocamento da extremidade 𝐵 em relação à extremidade fixa</p><p>𝐴 é:</p><p>Aqui, o sinal negativo indica que o tubo encurta, e assim 𝐵 move-</p><p>se para a direita em relação a 𝐴.</p><p>Exemplo 2</p><p>24</p><p>Uma vez que ambos os deslocamentos são para a direita, o</p><p>deslocamento de C em relação à extremidade fixa A é, portanto,</p><p>Exemplo 2</p><p>25</p><p>A barra tem</p><p>comprimento 𝐿 e área</p><p>transversal 𝐴 . Determine seu alongamento</p><p>devido à força 𝑃 e seu próprio peso. O</p><p>material tem um peso específico 𝛾 e um</p><p>módulo de elasticidade 𝐸.</p><p>Exemplo 3</p><p>26</p><p>𝛿 =</p><p>𝛾 𝐿2</p><p>2 𝐸</p><p>+</p><p>𝑃 𝐿</p><p>𝐸 𝐴</p><p>No exemplo 3, nota-se que a solução para o deslocamento da</p><p>extremidade livre da barra devido ao peso próprio e a aplicação da</p><p>carga P é na verdade a soma dos deslocamentos devido a cada um dos</p><p>efeitos atuando separadamente.</p><p>Princípio da Superposição</p><p>27</p><p>𝛿 =</p><p>𝑃 𝐿</p><p>𝐸 𝐴</p><p>𝛿 =</p><p>𝛾 𝐿2</p><p>2 𝐸</p><p>𝑊(𝑥) 𝑊(𝑥)</p><p>𝛿 =</p><p>𝛾 𝐿2</p><p>2 𝐸</p><p>+</p><p>𝑃 𝐿</p><p>𝐸 𝐴</p><p>O princípio da superposição é frequentemente usado para</p><p>determinar a tensão ou o deslocamento em um ponto de um elemento</p><p>quando este estiver sujeito a um carregamento complicado.</p><p>Subdividindo o carregamento em componentes, o princípio da</p><p>superposição afirma que a tensão ou o deslocamento resultante no</p><p>ponto pode ser determinado se antes se determinar a tensão ou o</p><p>deslocamento causado por cada componente da carga agindo</p><p>separadamente sobre o elemento. Então, a tensão ou deslocamento</p><p>resultante é determinado pela soma algébrica das contribuições</p><p>causadas por cada uma das componentes das cargas.</p><p>Princípio da Superposição</p><p>28</p><p>Para aplicar o princípio da superposição, as duas condições a</p><p>seguir devem ser válidas.</p><p>1. A carga deve estar relacionada linearmente com a tensão ou o</p><p>deslocamento a ser determinado. Por exemplo, as equações</p><p>𝜎 = Τ𝑃</p><p>𝐴 e 𝛿 = Τ𝑃 𝐿</p><p>𝐸 𝐴 envolvem uma relação linear entre 𝑃 e 𝜎</p><p>ou 𝛿.</p><p>2. A carga não deve provocar mudanças significativas na</p><p>geometria ou configuração original do elemento. Se ocorrerem</p><p>mudanças significativas, a direção e a localização das forças</p><p>aplicadas e seus momentos mudarão e, por consequência, a</p><p>aplicação das equações de equilíbrio darão resultados diferentes.</p><p>Princípio da Superposição</p><p>29</p><p>Como exemplo da segunda condição apresentada, considere a</p><p>Figura abaixo. Na Figura, 𝑷 é substituída por duas de suas</p><p>componentes, 𝑷 = 𝑷𝟏 + 𝑷𝟐. Se 𝑷 provocar uma grande deflexão na</p><p>haste, como mostra a figura, o momento da carga em torno de seu</p><p>apoio, 𝑷𝒅, não será igual à soma dos momentos das componentes das</p><p>cargas, 𝑷𝒅 ≠ 𝑷𝟏𝒅𝟏 + 𝑷𝟐𝒅𝟐, porque 𝒅 ≠ 𝒅𝟏 ≠ 𝒅𝟐.</p><p>Princípio da Superposição</p><p>30</p><p>Estes tipos de problemas são aqueles cujas equações de equilíbrio</p><p>da estática são necessárias porém não suficientes para determinação</p><p>das reações e esforços internos. O sistema de equações de equilíbrio</p><p>estático deve ser completado com equações que envolvam as</p><p>deformações dos elementos estruturais, equações de compatibilidade</p><p>de deslocamentos.</p><p>Problemas Estaticamente</p><p>Indeterminados</p><p>31</p><p>Considere a barra mostrada na Figura (a) abaixo que é engastada</p><p>em ambas as suas extremidades. A partir do diagrama de corpo livre,</p><p>Figura (b), o equilíbrio requer:</p><p>Exemplo 4</p><p>32</p><p>Nesse caso, a condição de compatibilidade exige que o</p><p>deslocamento de uma extremidade da barra em relação à outra</p><p>extremidade seja igual a zero, uma vez que os apoios das</p><p>extremidades são fixos. Portanto, a condição de compatibilidade</p><p>torna-se:</p><p>ou ainda</p><p>Exemplo 4</p><p>33</p><p>𝛿𝐴/𝐵 = 0</p><p>𝛿𝐴/𝐶 + 𝛿𝐶/𝐵 = 0</p><p>A condição de compatibilidade pode ser</p><p>expressa em termos das cargas aplicadas usando</p><p>uma relação carga-deslocamento, que depende do</p><p>comportamento do material.</p><p>Onde os esforços normais desenvolvidos nos</p><p>trechos da barra são:</p><p>Exemplo 4</p><p>34</p><p>𝑁𝐴𝐶 = +𝐹𝐴 𝑁𝐶𝐵 = −𝐹𝐵</p><p>𝑁𝐴𝐶 𝐿𝐴𝐶</p><p>𝐸𝐴</p><p>+</p><p>𝑁𝐶𝐵 𝐿𝐶𝐵</p><p>𝐸𝐴</p><p>= 0</p><p>A equação anterior pode ser escrita como:</p><p>Assumindo que EA seja constante, chega-se a:</p><p>Exemplo 4</p><p>35</p><p>𝐹𝐴 𝐿𝐴𝐶</p><p>𝐸𝐴</p><p>−</p><p>𝐹𝐵 𝐿𝐶𝐵</p><p>𝐸𝐴</p><p>= 0</p><p>𝐹𝐴 𝐿𝐴𝐶</p><p>𝐸𝐴</p><p>=</p><p>𝐹𝐵 𝐿𝐶𝐵</p><p>𝐸𝐴</p><p>𝐹𝐴 = 𝐹𝐵</p><p>𝐿𝐶𝐵</p><p>𝐿𝐴𝐶</p><p>Usando a equação de equilíbrio, as equações para as reações</p><p>tornam-se:</p><p>Substituindo 𝐹𝐴 pela expressão obtida da equação de</p><p>compatibilidade de deslocamentos, tem-se:</p><p>Exemplo 4</p><p>36</p><p>𝐹𝐴 + 𝐹𝐵 − 𝑃 = 0</p><p>𝐹𝐵</p><p>𝐿𝐶𝐵</p><p>𝐿𝐴𝐶</p><p>+ 𝐹𝐵 = 𝑃</p><p>𝐹𝐴 + 𝐹𝐵 = 𝑃</p><p>𝐹𝐴 = 𝐹𝐵</p><p>𝐿𝐶𝐵</p><p>𝐿𝐴𝐶</p><p>𝐹𝐴 + 𝐹𝐵 = 𝑃</p><p>Colocando 𝐹𝐵 em evidência e substituindo o 1 por ൗ𝐿𝐴𝐶</p><p>𝐿𝐴𝐶</p><p>tem-se:</p><p>Reescrevendo a expressão e lembrando que 𝐿𝐴𝐶 + 𝐿𝐶𝐵 = 𝐿</p><p>Exemplo 4</p><p>37</p><p>𝐹𝐵</p><p>𝐿𝐶𝐵</p><p>𝐿𝐴𝐶</p><p>+ 1 = 𝑃 𝐹𝐵</p><p>𝐿𝐶𝐵</p><p>𝐿𝐴𝐶</p><p>+</p><p>𝐿𝐴𝐶</p><p>𝐿𝐴𝐶</p><p>= 𝑃</p><p>𝐹𝐵</p><p>𝐿𝐶𝐵 + 𝐿𝐴𝐶</p><p>𝐿𝐴𝐶</p><p>= 𝑃 𝐹𝐵</p><p>𝐿</p><p>𝐿𝐴𝐶</p><p>= 𝑃</p><p>Então, chega-se a expressão de 𝐹𝐵:</p><p>Substituindo na equação de equilíbrio chega-se a expressão:</p><p>Exemplo 4</p><p>38</p><p>𝐹𝐵 = 𝑃</p><p>𝐿𝐴𝐶</p><p>𝐿</p><p>𝐹𝐴 + 𝑃</p><p>𝐿𝐴𝐶</p><p>𝐿</p><p>= 𝑃 𝐹𝐴 = 𝑃</p><p>𝐿𝐶𝐵</p><p>𝐿</p><p>O poste de alumínio mostrado na Figura é reforçado com um</p><p>núcleo de latão. Se o conjunto suportar uma carga de compressão de</p><p>45 kN, aplicada na tampo rígida, determine a tensão normal média no</p><p>alumínio e no latão. Considere 𝐸𝑎𝑙 = 70 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝑙𝑎𝑡 = 105 𝐺𝑃𝑎.</p><p>Exemplo 5</p><p>39</p><p>𝑃 = 45 𝑘𝑁</p><p>25 𝑚𝑚50 𝑚𝑚</p><p>0,5 𝑚</p><p>O diagrama de corpo livre do poste é</p><p>mostrado na Figura. Aqui, a força axial</p><p>resultante na base é representada pelas</p><p>componentes desconhecidas suportadas pelo</p><p>alumínio, 𝐹𝑎𝑙 e pelo latão, 𝐹𝑙𝑎𝑡. O problema é</p><p>estaticamente indeterminado. Por quê?</p><p>O equilíbrio da força vertical exige:</p><p>Exemplo 5</p><p>40</p><p>𝑃 = 45 𝑘𝑁</p><p>𝐹𝑎𝑙</p><p>𝐹𝑙𝑎𝑡</p><p>+↑ Σ𝐹𝑦 = 0</p><p>𝐹𝑎𝑙 + 𝐹𝑙𝑎𝑡 − 45 𝑘𝑁 = 0</p><p>Resposta</p><p>Exemplo 5</p><p>41</p><p>𝜎𝑎𝑙 = 5,093 𝑀𝑃𝑎</p><p>𝜎𝑙𝑎𝑡 = 7,64 𝑀𝑃𝑎</p><p>Livro Resistência dos Materiais do HIBBELER, 7º Ed.</p><p>Exercícios: 4.1, 4.2, 4.3, 4.5, 4.6, 4.10, 4.22, 4.23, 4.31,</p><p>4.32, 4.33 e 4.36.</p><p>Livro Mecânica dos Materiais do BEER, 5º Ed.</p><p>Exercícios: 2.17, 2.19, 2.20, 2.36 e 2.37.</p><p>Os exercícios se encontram nas Bibliografias de referência e</p><p>que podem ser acessados através do link disponibilizado</p><p>(último slide).</p><p>Lista de Exercícios</p><p>42</p><p>BEER, P et all. Mecânica dos Materiais. 5. ed. Porto Alegre:</p><p>AMGH, 2011.</p><p>▪ Capítulo 2, seção 2.8, 2.9 e 2.17</p><p>HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. São Paulo:</p><p>Pearson Prentice Hall, 2010.</p><p>• Capítulo 4, seção 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4</p><p>Referências</p><p>43</p><p>1- O presente texto é baseado nas referências citadas.</p><p>2- Todas as figuras se encontram nas referências citadas ou são de</p><p>autoria própria.</p><p>3- A bibliografia de referência poderá ser consultada pelo do link:</p><p>https://www.dropbox.com/sh/u6laf07vz9fhvv7/AABdlH4VJFBABbZ-UfNSyBVJa?dl=0</p><p>Observações</p><p>44</p><p>https://www.dropbox.com/sh/u6laf07vz9fhvv7/AABdlH4VJFBABbZ-UfNSyBVJa?dl=0</p><p>Slide 1: Aula Presencial 03 Deformação Elástica em Elementos Submetidos a Cargas Axiais</p><p>Slide 2: Princípio de Saint-Venant</p><p>Slide 3: Princípio de Saint-Venant</p><p>Slide 4: Princípio de Saint-Venant</p><p>Slide 5: Princípio de Saint-Venant</p><p>Slide 6: Princípio de Saint-Venant</p><p>Slide 7: Princípio de Saint-Venant</p><p>Slide 8: Princípio de Saint-Venant</p><p>Slide 9: Deformação sob Carga Axial</p><p>Slide 10: Deformação sob Carga Axial</p><p>Slide 11: Deformação sob Carga Axial</p><p>Slide 12: Deformação sob Carga Axial</p><p>Slide 13: Deformação sob Carga Axial</p><p>Slide 14: Carga e seção transversal constante</p><p>Slide 15: Carga e seção transversal constante</p><p>Slide 16: Convenção de Sinais</p><p>Slide 17: Exemplo 1</p><p>Slide 18: Exemplo 1</p><p>Slide 19: Exemplo 1</p><p>Slide 20: Exemplo 1</p><p>Slide 21: Exemplo 2</p><p>Slide 22: Exemplo 2</p><p>Slide 23: Exemplo 2</p><p>Slide 24: Exemplo 2</p><p>Slide 25: Exemplo 2</p><p>Slide 26: Exemplo 3</p><p>Slide 27: Princípio da Superposição</p><p>Slide 28: Princípio da Superposição</p><p>Slide 29: Princípio da Superposição</p><p>Slide 30: Princípio da Superposição</p><p>Slide 31: Problemas Estaticamente Indeterminados</p><p>Slide 32: Exemplo 4</p><p>Slide 33: Exemplo 4</p><p>Slide 34: Exemplo 4</p><p>Slide 35: Exemplo 4</p><p>Slide 36: Exemplo 4</p><p>Slide 37: Exemplo 4</p><p>Slide 38: Exemplo 4</p><p>Slide 39: Exemplo 5</p><p>Slide 40: Exemplo 5</p><p>Slide 41: Exemplo 5</p><p>Slide 42: Lista de Exercícios</p><p>Slide 43: Referências</p><p>Slide 44: Observações</p>