Aula 10 - Fluxo Magnético e Indutância

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Eletromagnetismo I
Fluxo Magnético
Prof. Dr. Hugo Vasconcelos
Densidade de Fluxo Magnético
A densidade de fluxo magnético 𝐵, a qual está relacionada à intensidade de
campo magnético no espaço livre por
𝐵 = 𝜇𝑜𝐻
onde 𝜇𝑜 é a permeabilidade do espaço livre e vale 4𝜋 × 10
−7 𝐻/𝑚 (Henry por
metro).
As unidades de 𝐵 são
𝐻∙𝐴
𝑚2
=
𝑊𝑏
𝑚2
(Webers por metro quadrado)= 𝑇(Tesla)=
10.000 𝐺(Gauss).
Densidade de Fluxo Magnético
A quantidade de fluxo magnético 𝜙, em webers, de um campo magnético que
passa por uma superfície é determinado por
𝜙 = 𝐵 ∙ 𝑑 𝑆
Considere uma corrente filamentar de 2,50 𝐴 ao longo do eixo 𝑧,
no sentido + 𝑎𝑧. Calcule o fluxo, devido a esta corrente, que atravessa a porção
do plano 𝜙 = 𝜋/4 definida por 0,01 < 𝑟 < 0,05 𝑚 e 0 < 𝑧 < 2 𝑚.
Exemplo
𝜙 = 𝐵 ∙ 𝑑 𝑆
𝐵 = 𝜇𝑜𝐻 = 𝜇0
𝐼
2𝜋𝜌
 𝑎𝜙
𝐻 =
𝐼
2𝜋𝜌
 𝑎𝜙
𝑑 𝑆 = 𝑑𝑟𝑑𝑧 𝑎𝜙
𝜙 = 
0
2
 
0,01
0,05 𝜇0𝐼
2𝜋𝑟
 𝑎𝜙 ∙ 𝑑𝑟𝑑𝑧 𝑎𝜙
𝜙 = 2
𝜇0𝐼
2𝜋𝑟
ln
0,05
0,01
= 1,61 × 10−6 𝑊𝑏
Uma corrente de 3,0 𝐴 se estende ao longo de 𝑎𝑧.Determine o
fluxo magnético que atravessa uma superfície definida por 1,0 𝑚 < 𝜌 < 4,0 𝑚,
0 < 𝑧 < 3,0 𝑚. 𝜙 = 90𝑜.
Exemplo
Densidade de Fluxo Magnético
Uma característica fundamental dos campos magnéticos que os distinguem
dos campos elétricos consiste no fato das linhas de campo magnético
formarem laços fechados.
Não é possível isolar os polos norte e sul de um ímã.
Densidade de Fluxo Magnético
O fluxo magnético líquido através de uma superfície gaussiana tem que ser zero.
 𝐵 ∙ 𝑑 𝑆 = 0
Também conhecida como a lei de
conservação do fluxo magnético.
Pelo teorema da divergência, temos
𝛻 ∙ 𝐵 = 0
Equações de Maxwell
Com a adição da lei de Gauss para campos magnéticos estáticos, podemos
agora apresentar as quatro equações de Maxwell:
Forma Integral
 𝐷 ∙ 𝑑 𝑆 = 𝑄𝑒𝑛𝑣
 𝐵 ∙ 𝑑 𝑆 = 0
 𝐸 ∙ 𝑑𝐿 = 0
 𝐻 ∙ 𝑑𝐿 = 𝐼𝑒𝑛𝑣
Forma Diferencial
𝛻 ∙ 𝐷 = 𝜌𝑣
𝛻 ∙ 𝐵 = 0
𝛻 × 𝐸 = 0
𝛻 × 𝐻 = 𝐽
Materiais Magnéticos
Do mesmo modo que descrevemos a polarização 𝑃 e a suscetibilidade elétrica
𝜒𝑒 , os materiais magnéticos possuem uma magnetização 𝑀 e uma
suscetibilidade magnética 𝜒𝑚.
𝐵 = 𝜇𝑜𝐻 + 𝜇𝑜𝑀
A magnetização 𝑀 é a soma vetorial de todos os momentos dipolos
magnéticos em um volume unitário do material. E está relacionada à
intensidade de campo magnético pela suscetibilidade magnética do material.
𝑀 = 𝜒𝑚𝐻
Materiais Magnéticos
A permeabilidade 𝜇 e a permeabilidade relativa 𝜇𝑟 de um material são então
definidas em termos de 𝜒𝑚
𝐵 = 𝜇𝐻 = 𝜇𝑟𝜇𝑜𝐻 = 𝜇𝑜 1 + 𝜒𝑚
Momento magnético
𝐻 = 0 𝐻
Ferromagnético
Condições de Fronteira
Utilizaremos uma abordagem similar a trabalhada em eletrostática para
determinar a variação de 𝐵 e 𝐻 através de uma fronteira.
As condições de fronteira magnetostáticas são obtidas pela aplicação da lei
circuital de Ampère
 𝐻 ∙ 𝑑𝐿 = 𝐼𝑒𝑛𝑐
e lei de Gauss para campos magnetostáticos
 𝐵 ∙ 𝑑 𝑆 = 0
Condições de Fronteira
Começando pela lei circuital de Ampère, consideramos um par de meios
magnéticos separados por uma densidade de corrente superficial 𝐾.
O caminho é escolhido de modo que a corrente superficial seja normal à
superfície encerrada pelo caminho.
𝐼𝑒𝑛𝑐 = 𝐾𝑑𝑊 = 𝐾Δ𝑤
 𝐻 ∙ 𝑑𝐿 = 𝐾Δ𝑤
Condições de Fronteira
Uma expressão mais geral para a primeira condição de fronteira
magnetostática pode ser escrita como
 𝑎21 × 𝐻1 − 𝐻2 = 𝐾
 𝐵 ∙ 𝑑 𝑆 = 0
 𝑎21 é um vetor unitário normal
indo do meio 2 para o meio 1.
𝐵𝑁1 = 𝐵𝑁2
A intensidade de campo magnético é dada com 𝐻1 = 6 𝑎𝑥 +
2 𝑎𝑦 + 3 𝑎𝑧 𝐴/𝑚 em um meio com 𝜇𝑟1 = 6000 para 𝑧 < 0 . Queremos
determinar 𝐻2 em um meio com 𝜇𝑟2 = 3000 para 𝑧 > 0.
Exemplo
𝐻1 = 6 𝑎𝑥 + 2 𝑎𝑦 + 3 𝑎𝑧 𝐴/𝑚
𝐻𝑁1 = 3 𝑎𝑧 𝐴/𝑚
𝐻𝑇1 = 6 𝑎𝑥 + 2 𝑎𝑦 𝐴/𝑚 = 𝐻𝑇2
𝐵𝑁1 = 𝐵𝑁2
𝐵𝑁1 = 𝜇𝑟1𝜇0𝐻𝑁1 = 18000𝜇0 𝑎𝑧
𝐻𝑁2 =
𝐵𝑁2
𝜇𝑟2𝜇0
= 6 𝑎𝑧
𝐻2 = 6 𝑎𝑥 + 2 𝑎𝑦 + 6 𝑎𝑧 𝐴/𝑚
Fluxo Concatenado
Para 1 espira
Fluxo Concatenado (enlace de fluxo)
𝜙1 = 
𝑆1
𝐵 ∙ 𝑑 𝑆
O fluxo 𝜙1 que passa pela área 𝑆1 limitada pela espira é
O fluxo concatenado 𝜆 como o fluxo total que passa
através da superfície limitada pelo contorno do circuito
que conduz a corrente.
𝜆 = 𝜙1
Para um solenoide firmemente envolvido, o
fluxo concatenado é igual ao número de espiras
multiplicado pelo fluxo total que as concatena.
Solenoide com 𝑁 espiras 𝜆 = 𝑁𝜙𝑡𝑜𝑡 = 𝑁
2𝜙1
Indutância
A indutância 𝐿 é a razão entre o fluxo concatenado pela corrente 𝐼 que gera o
fluxo.
𝐿 =
𝜆
𝐼
=
𝑁𝜙𝑡𝑜𝑡
𝐼
Essa grandeza tem a unidade de henrys (𝐻), igual a weber por ampère.
Os indutores são dispositivos utilizados para armazenar energia no campo
magnético.
𝜇 = 𝜇0𝜇𝑟
No interior de um solenoide
Vamos calcular a indutância para um solenoide com 𝑁 espiras
firmemente envolvidas em torno de um núcleo 𝜇𝑟.
Exemplo
𝐻 =
𝑁𝐼
ℎ
 𝑎𝑧
No interior do núcleo 𝐵 =
𝜇𝑁𝐼
ℎ
 𝑎𝑧
𝜙𝑡𝑜𝑡 = 𝐵 ∙ 𝑑 𝑆 = 𝐵 𝜋𝑎
2 =
𝜇𝑁𝐼𝜋𝑎2
ℎ
O fluxo concatenado é 𝜆 = 𝑁𝜙𝑡𝑜𝑡 =
𝜇𝑁2𝐼𝜋𝑎2
ℎ
A indutância é 𝐿 =
𝜆
𝐼
=
𝜇𝑁2𝜋𝑎2
ℎ
𝜇 = 𝜇0𝜇𝑟
No interior de um solenoide
Determine a indutância de um solenoide ideal com 300 espiras,
ℎ = 0,50 𝑚 e seção reta circular de raio 0,02 𝑚.
Exemplo
𝐻 =
𝑁𝐼
ℎ
 𝑎𝑧
No interior do núcleo 𝐵 =
𝜇𝑁𝐼
ℎ
 𝑎𝑧
𝜙𝑡𝑜𝑡 = 𝐵 ∙ 𝑑 𝑆 = 𝐵 𝜋𝑎
2 =
𝜇𝑁𝐼𝜋𝑎2
ℎ
O fluxo concatenado é 𝜆 = 𝑁𝜙𝑡𝑜𝑡 =
𝜇𝑁2𝐼𝜋𝑎2
ℎ
A indutância é 𝐿 =
𝜆
𝐼
=
𝜇𝑁2𝜋𝑎2
ℎ
Indutância mútua
Tendo o circuito 1, com 𝑁1 espiras, como sendo nossa bobina excitadora, e o
circuito 2, com 𝑁2 espiras, como sendo nossa bobina receptora do efeito.
Quando a corrente 𝑰𝟏 se propaga pelo
circuito 1, esta produz fluxo.
Parte desse fluxo concatena as 𝑵𝟐 espiras
do circuito 2.
𝜙12 = 𝐵1 ∙ 𝑑 𝑆2
Onde 𝜙12 é o fluxo de 𝐵1 que concatena o
circuito 2.
Indutância mútua
O fluxo concatenado 𝜆12 é então o número de vezes que 𝜙12 se concatena ao
circuito 2
𝜆12 = 𝑁2𝜙12
A indutância mútua 𝑀12 é
𝑀12 =
𝜆12
𝐼1
=
𝑁2
𝐼1
 𝐵1 ∙ 𝑑 𝑆2
Vamos calcular a indutância para um solenoide com 𝑁 espiras
firmemente envolvidas em torno de um núcleo 𝜇𝑟.
Exemplo
𝐵1 =
𝜇𝑁1𝐼1
ℎ
 𝑎𝑧
𝜙12 = 𝐵1 ∙ 𝑑 𝑆2 =
𝜇𝑁1𝐼1𝜋𝑎
2
ℎ
𝜆12 = 𝑁2𝜙12 =
𝜇𝑁1𝑁2𝐼1𝜋𝑎
2
ℎ
𝑀12 =
𝜇𝑁1𝑁2𝜋𝑎
2
ℎ
Um solenoide com 𝑁1 = 1000 espiras, 𝑟1 = 1,0 𝑐𝑚 e ℎ1 = 50 𝑐𝑚
está posicionado concentricamente no interior de um solenoide, com 𝑁2 =
2000 espiras, 𝑟2 = 2,0 𝑐𝑚 e ℎ2 = 50 cm. Calcule a indutância mútua entre os
solenoides, assumindo que o vácuo preenche o espaço entre eles.
Exemplo
𝐵1 =
𝜇𝑁1𝐼1
ℎ
 𝑎𝑧𝜙1 = 𝐵1 ∙ 𝑑 𝑆1 =
𝜇𝑁1𝐼1𝜋𝑟1
2
ℎ
𝜆12 = 𝑁2𝜙1 =
𝜇𝑁1𝑁2𝐼1𝜋𝑟1
2
ℎ
𝑀12 =
𝜇𝑁1𝑁2𝜋𝑟1
2
ℎ
=
𝜇0𝜇𝑟𝑁1𝑁2𝜋𝑟1
2
ℎ
=
4𝜋2 × 10−7 × 1000 × 2000 × 0,012
0,50
𝑀12 =
𝜆12
𝐼1
𝑀12 = 1,58 × 10
−3𝐻
Pois o fluxo concatenado está somente
atuando na região interna!
Bibliografia
HAYT JR, William H; BUCK, John A. Eletromagnetismo.
8.ed. Porto Alegre: AMGH, 2003.