Slides Cálculo Numérico

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01_Introducao_v2_Folheto.pdf
06/08/2019
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Cálculo Numérico
Aula Inicial
Prof. Marconi de Arruda Pereira
marconi@ufsj.edu.br
Dados Gerais
 Professor: Marconi de Arruda Pereira
marconi@ufsj.edu.br
Sala 101 - Bloco 3
 Horário de atendimento: Terças das 13:15 às 16:15
Dados Gerais
 Objetivo
Introduzir o aluno na área do Cálculo Numérico e da 
Análise Numérica, tornando-o capaz de analisar e 
aplicar algoritmos numéricos em problemas reais, 
codificando-os em uma linguagem de alto nível a fim de 
resolver problemas de pequeno e médio porte em 
Ciência e Tecnologia.
Dados Gerais
 Ementa
Teoria de erros. Zeros de funções e zeros reais de 
polinômios. Solução de sistemas lineares: métodos 
diretos e iterativos. Ajuste de curvas. Interpolação. 
Integração numérica. Resolução numérica de equações 
diferenciais ordinárias. Exemplos de aplicações do 
Cálculo Numérico na Engenharia. Aulas práticas em 
laboratório.
Dados Gerais
 Conteúdo
1. Introdução 
2. Teoria de erros 
 Representação de números
 Erros absolutos e relativos
 Erros de arredondamento e truncamento
 Análise de erros
Dados Gerais
 Conteúdo
3. Zeros de Funções 
 Isolamento das raízes
 Critério de parada
 Métodos iterativos de cálculo de raízes (Bisseção, 
Posição Falsa, Ponto Fixo, Newton e Secante)
 Comparação entre os métodos 
4. Solução de sistemas lineares
 Métodos Diretos (Eliminação de Gauss e 
Decomposição LU)
 Métodos Iterativos (Gauss-Jacobi e Gauss-Siedel)
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Dados Gerais
 Conteúdo
5. Interpolação 
 Métodos de Interpolação (Linear , Quadrática , 
Lagrange, Newton, Gregory-Newton)
 Estudo do Erro
6. Ajuste de Curvas
 Método dos Quadrados Mínimos (Caso Linear e Não-
Linear)
Dados Gerais
 Conteúdo
7. Integração numérica 
 Integração simples (Regra dos Trapézios, Primeira 
Regra de Simpson, Segunda Regra de Simpson)
 Integração dupla
8. Resolução numérica de equações diferenciais ordinárias 
 Problemas de Valor Inicial
 Método de Euler
Dados Gerais
 Bibliografia Básica
1. RUGGIERO, Márcia A. G., LOPES, Vera L. R. Cálculo 
Numérico - Aspectos teóricos e computacionais. 2a Ed. 
Pearson, 1996; 
2. FRANCO, Neide Bertoldi. Cálculo Numérico. 1a Ed. 
Prentice Hall, 2006; 
3. CHAPRA, Steven C., CANALE, Raymond P. Métodos 
Numéricos para a Engenharia. 5ª Ed. MCGRAW-HILL 
BRASIL, 2008. 
Dados Gerais
 Bibliografia Complementar
1. CAMPOS, filho, Frederico F. Algoritmos Numéricos, 
2.ed., Rio de Janeiro: LTC, 2007;
2. BARROSO, Leônidas, BARROSO, Magali Maria de 
Araújo, CAMPOS FILHO, Frederico Ferreira. Cálculo 
Numérico com Aplicações. 2a Ed. Harbra, 1987; 
3. SPERANDIO, Décio, MENDES, João T., SILVA, Luiz H. 
M. Cálculo numérico - características matemáticas e 
computacionais dos métodos numéricos. 1a Ed. Prentice 
Hall. 2003.
O que é combinado...
 Chamada
 Serão realizadas em todas as aulas
 A presença e principalmente a participação do aluno é 
fundamental
 Exercícios práticos
 Acontecerão, idealmente, todas as semanas nas quais 
houver conteúdo expositivo
 Listas são verificadas
 Penalidade de 20% por atraso de até 7 dias (máximo 2 
semanas de atraso)
 Atividade Extra: Clube de leitura
 http://petdpcfc.wixsite.com/ufsj/grupo-de-leitura
O que é combinado...
 Exercícios
 Não copie, Não compre
 Compra  Nota zero
 Cópia  Origem e Cópia recebem a mesma nota, zero
 As normas acadêmicas prevêem reprovação e 
advertência
 Provas
 Uso de calculadora científica é permitido. HP, não.
 Estude agora para não precisar depois.
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Avaliações
 Exercícios Semanais (2,5 total)
 Resultado final em 04/12
 4 Provas (2,5 pontos)
 18/09
 23/10
 20/11
 04/12 -> Substitutiva (substitui prova ou exercícios)
 Segunda chamada (em acordo com os Procedimentos 
Acadêmicos)
 11/12
Matlab/Octave
 Poderosas ferramentas matemáticas que nos 
auxiliarão no aprendizado do Cálculo Numérico
 Laboratórios
 Trabalhos Práticos
 Disponibiliza funções numéricas
 Possibilita a programação de novas funções
Cálculo Numérico
Introdução
Prof. Marconi de Arruda Pereira
marconi@ufsj.edu.br
material produzido pelo prof. Wellington Passos
O que é Cálculo Numérico?
 O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de 
ferramentas ou métodos usados para se obter a 
solução de problemas matemáticos de forma 
aproximada, mas com um grau crescente de exatidão
 Esses métodos se aplicam principalmente a problemas 
que não apresentam uma solução exata, portanto 
precisam ser resolvidos numericamente
Por que utilizar?
 Um problema de Matemática pode ser resolvido 
analiticamente, mas esse método pode se tornar 
impraticável com o aumento do tamanho do problema
 Exemplo: solução de sistemas de equações lineares 
(soluções químicas, redes elétricas etc.)
Por que utilizar?
 O problema não tem solução analítica
 Exemplos:
a) não tem primitiva em forma simples;
b) Equações diferenciais parciais não lineares podem
ser resolvidas analiticamente só em casos particulares.
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Solucionar problemas técnicos através
de métodos numéricos, usando um 
modelo matemático
Função do Calculo Numérico na Engenharia Exemplo de aplicação
 Calcular tensões dos nós do circuito elétrico
 No nó 1, pela lei de Kirchhoff
Exemplo de aplicação
 O problema é resolvido a partir de um sistema linear de 
quatro equações e quatro variáveis V1, V2, V3 e V4.










































0
254
0
0
4
3
2
1
3201
61323
0143
1126
V
V
V
V
Resolução de problemas
No exemplo anterior
 Problema real: determinar tensões nos nós dos circuitos
 Levantamento de dados: valores das resistências e tensões 
nos pontos A e B
 Construir modelo matemático: montar equações e criar as 
matrizes a partir delas
 Escolher método numérico: Decomposição LU, 
Decomposição de Cholesky, Fatoração LDLT, Método de 
Jacobi, etc
 Implementar Método: criar e processar programa
 Analisar resultados e verificar se o modelo matemático ou o 
método numérico precisam ser alterados.
Influência dos erros nas soluções
Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis
(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot)
Limitação na representação numérica
(24 bits)
Erro de 0,34 s no cálculo do tempo
de lançamento
Resultado: 28 mortos e aprox. 100 feridos
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Influência dos Erros nas Soluções
Exemplo 2: Explosão de foguetes
(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5)
Limitação na representação numérica
(64 bits/ 16 bits)
Erro de trajetória levou a explosão 36,7 s
após o lançamento
Prejuízo = US$ 500 milhões em equipamentos
Outros exemplos
 Desastres Causados por erros de cálculo numérico
http://www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/
02_Erros_Folheto.pdf
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Cálculo Numérico
Teoria dos Erros
Autor: Prof. Wellington Passos de Paula
Adptado por: Marconi de Arruda Pereira
Programa
1. Conceitos Básicos
a) Representação de números
b) Conversão de números
c) Aritmética de ponto flutuante
2. Erros
a) Erros absolutos e relativos
b) Erros de arredondamento e truncamento
c) Análise de erros
Cálculo Numérico
Teoria dos Erros – Conceitos Básicos
Autor: Prof. Wellington Passos de Paula
Adptado por: Marconi de Arruda Pereira
Representação de números
 Sistema Decimal (10)
 10 dígitos disponíveis [0,1,2, ... ,9]
 “Posição” indica potência positiva de 10
 5432 = 5x103 + 4x102 + 3x101 + 2x100
 Sistema Binário (2)
 2 “bits” disponíveis [0,1]
 “Posição” indica potência positiva de 2
 1011 na base 2 = 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20
 8+0+2+1 = 11 na base decimal
Representação de números
 Fórmula Geral
 Base 
: 
 Logo, a decomposição polinomial do número 
é dada por: 
 Exemplo: Dado , temos que:
,
k  j,..., 0
,)...( 0121 aaaaa jj - )1(0 - ka
0
0
1
1
2
2
1
1 ...  ´´´´´
-
- aaaaa
j
j
j
j
,)...( 0121 aaaaa jj -
0123 1091041081066849 ´´´´
10
Representação de números
 Representação Números Fracionários
 Base Decimal (10)
 “Posição” da parte inteira indica potência positiva de 10
 Potência negativa de 10 para parte fracionária
 54,32 = 5x101 + 4x100 + 3x10-1 + 2x10-2
 Base Binária (2)
 “Posição” da parte inteira indica potência positiva de 2
 Potência negativa de 2 para parte fracionária
 10,11 na base 2 = 1x21 + 0x20 + 1x2-1 + 1x2-2
 2+0+1/2+1/4 = 2,75 na base decimal
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Outros sistemas de numeração
 Maior interesse em decimal (10)
 Nossa anatomia e cultura 
 Binário (2) – uso nos computadores
 Outros Sistemas
 Octal (8), {0,1,2, ... , 7}
 Hexadecimal (16), {0,1,2, ... , 9, A,B,C,D,E,F}
 Dodecimal (relógio, calendário)
Alguns sistemas numéricos
Conversão de números - inteiros
 Binário para decimal
 Já visto
 (1011)2 = 1x2
3 + 0x22 + 1x21 + 1x20 = (11)10
 Inteiro decimal para binário
 Divisão inteira (do quociente) sucessiva por 2, até que 
este seja = 0 ou 1
 Binário = composição do último quociente (Bit Mais 
Significativo – BMS) com os restos das divisões (primeiro 
resto é bit menos significativo – bms)
Em inglês, Most Significant Bit – MSB e least significat bit – lsb, 
respectivamente.
Conversão de números - inteiros
 Exemplo: Converter 30 decimal para binário
Binário = BMS ... bms = 1 1 1 1 0
1 1 1 1 0 = 1x24 + 1x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 = 
16 + 8 + 4 + 2 + 0 = 30 decimal
Conversão de inteiros entre sistemas
 Procedimentos Básicos
 Decimal  Binário - Divisões sucessivas pela base do 
sistema para o qual se deseja converter o número
 Binário  Decimal - Decomposição polinomial do número a 
ser convertido
Conversão de inteiros entre sistemas
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Conversão de fração
 Base 2 para Base 10
 Já visto (Decomposição Polinomial)
 (10,101)2 = 1x2
1 + 0x20 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 = 
= 2 + 0 + 1/2 + 0 + 1/8 = (2,625)10
Conversão de fração
 Base 10 para Base 2
 Deve-se multiplicar parte fracionária por 2 até que parte 
fracionária do resultado seja 0 (zero)
X,XXX
 Bits da parte fracionária do número binário são obtidos das 
partes inteiras geradas após as multiplicações do número 
fracionário na base 10
X,XXX
 Bit imediatamente à direita da vírgula = Parte inteira da 
primeira multiplicação
 Não há inversão na ordem dos bits encontrados
Conversão de fração
 Exemplo: converter 0,625 decimal para binário
0,625 x 2 = 1,25, logo a primeira casa fracionária do 
número binário é 1; 
nova fração (resto) é 0,25 (agregamos o bit 1 ao 
número na base 2)
0,25 x 2 = 0,5 segunda casa do número binário é 0; 
nova fração (resto) é 0,5 (pois já agregamos o bit 0 ao 
numero na base 2)
0,5 x 2 = 1,0 terceira casa é 1; 
nova fração (resto) é 0,0 (pois já agregamos o bit 1 ao 
numero na base 2)
Resultado: 0,62510 = 0,1012
Conversão partes inteira e fracionária 
juntas
 Para converter um número com parte inteira e parte 
fracionária, faça a conversão de cada parte 
separadamente
Conversão partes inteira e fracionária 
juntas
 (8,375)10 = ( ? )2
Exercícios
 Transforme em binário:
 5,8
 Resposta: 5,8 = 101,11001100... , uma dízima.
 11,6 
 Resposta: 11,6 = 1011,10011001100...
 a vírgula foi deslocada uma casa para a direita, 
pois 11,6 = 2 x 5,8 
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Aritmética de ponto flutuante
 Representação pode variar (“flutuar”) a posição da 
vírgula, ajustando potência da base.
 54,32 = 54,32 x 100 = 5,432 x 101 = 0,5432 x 102 = 5432,0 
x 10-2
 Forma normalizada utiliza um único dígito antes da 
vírgula ( 0 ), e garante que o primeiro dígito depois da 
vírgula seja diferente de 0 
 Exemplo: 0,5432 x 102
Aritmética de ponto flutuante
 No sistema binário:
 11010 = 11,010 x 23 = 0,11010 x 25 = 0,0011010 x 27
 No caso dos números serem armazenados em um 
computador, os expoentes serão também gravados na base 
dois
 11,010 x (2)11 = 0,11010 x (2)101 = 0,0011010 x (2)111
 Na representação normalizada, há apenas um dígito 
antes da vírgula ( 0 )
 Exemplo: 0,11010 x (2)101
Aritmética de ponto flutuante
 Algumas definições
 No número 0,11010 x (2)101 , tomado como referência:
 0,11010 = significando (ou “mantissa”)
 101 = expoente
 Observações
 A base binária não precisa ser explicitada (o computador usa 
sempre a mesma) 
 O “0” antes da vírgula, na representação normalizada – se 
esta for adotada, também pode ficar implícito, economizando 
um bit (“bit escondido”).
Representação aritmética de ponto 
flutuante no computador
onde:
é a base em que o computador opera;
é o número de dígitos na mantissa
é o expoente (inteiro com sinal)
e
tddd ´ )...(. 21

t
;01 d,,...,1),1(0 tjd j - 
e
Representação aritmética de ponto 
flutuante no computador
 O número de bits disponíveis para representar os 
números no computador não é infinito
 O padrão IEEE 754 para ponto (vírgula) flutuante é a 
representação mais comum para números reais em 
computadores de hoje, incluindo PC's compatíveis com 
Intel, Macintosh, e a maioria das plataformas Unix/Linux.
 O padrão (ou norma) IEEE 754 define dois formatos 
básicos para os números em ponto flutuante:
 O formato ou precisão simples, com 32 bits; e,
 O duplo com 64 bits
 Sinal: 0 = + e 1 = -
 Combinações: Sinal + Expoente + Mantissa
Padrão IEEE 754 para floats
Sinal Expoente(+/-) Mantissa
Simples (32bits) 1 [bit31] 8 [bits30-23] 23 [bits22-00]
Dupla (64 bits) 1 [bit63] 11 [bits62-52] 52 [bits51-00]
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Limitações na representação de floats
 A quantidade finita de bits na representação pode 
implicar nos seguintes erros:
 Truncamento ou Arredondamento
 Overflow
 Underflow
Limitações na representação de floats
 Exemplo: Máquina no seguinte sistema:
Logo o formato dos números nesse sistema:
Menor valor representado em módulo:
Maior valor representado em módulo: 
 .5,5;3;10 - et
 5,5,0,90,10.0 1321 -´ eddddd j
e
65 1010100.0 -- ´m
9990010999.0 5 ´M
Limitações na representação de floats
 Situações possíveis:
a) .
 Número contém 5 dígitos na mantissa
 Possíveis Soluções:
 Truncamento:
 Arredondamento:
 Assunto do próximo tópico 
31023589.089.235 ´x
310235.0 ´
310236.0 ´
Limitações na representação de floats
 Situações possíveis:
b) .
 Expoente não pode ser representado na máquina pois é 
menor que o mínimo (-5)
 Erro de underflow
c) .
 Expoente não pode ser representado na máquina pois é 
maior que o máximo (5)
 Erro de overflow
710345.0 -´x
910875.0 ´x
Limitações na representação de floats
 Considere ]4,4[;3;10 - et
x arredondamento truncamento
1.25
10.053
-253.15
2.71828
0.000002 Underflow Expoente<-4
817235.89 Overflow Expoente>+4
110125.0 ´ 110125.0 ´
210100.0 ´210101.0 ´
310253.0 ´- 310253.0 ´-
110272.0 ´ 110271.0 ´
Exercícios
 Considere uma máquina com sistema de representação 
de números definido por: base 10, precisão de 4 dígitos 
na mantissa e expoente no intervalo: [-6; 6]. Pede-se:
a) Qual o menor e o maior número em módulo 
representado nesta máquina?
Menor: 0.1000x10-6 = 10-7, Maior: 0.9999x106 = 999900
b) Como será representado o número 189,27 nesta 
máquina se for usado o arredondamento? E se for usado o 
truncamento?
Trunc.: 0.1892x103, Arred.: 0.1893x103
c) Se a = 2578 e b = 0,6 qual o resultado de a + b se for 
usado o arredondamento? E se for usado o truncamento?
Trunc.: 0.2578x104, Arred.: 0.2579x104
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Cálculo Numérico
Teoria dos Erros – Erros
Autor: Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por: Marconi de Arruda Pereira
Erros - Tipos
 Precisão
 Absoluto
 Relativo
 Representação
 Arredondamento
 Truncamento
Erro Absoluto
 Diferença entre o valor exato de um número e o seu
valor aproximado (em módulo)
|x|xEAx -
 EAx só poderá ser determinado se x for conhecido 
com exatidão
 Na prática, costuma-se trabalhar com um limitante 
superior para o erro, ao invés do próprio erro ( |E | 
< ε, sendo ε é o limitante)
Ex: Para   (3,14; 3,15)
 = 3,1415926535897932384626433832795028841971693…
EAπ = π- π < 0,01
Erro Absoluto - Considerações
Erro Absoluto - Considerações
Ex.: Sejam a = 3876,373 e e = 1,373
Considerando-se a parte inteira de a como ā o erro 
absoluto será:
e a parte inteira de e, ē, o erro absoluto será:
0,373aaEAa -
0,373eeEAe -
Erro Absoluto - Considerações
 Obviamente, o resultado do erro absoluto é o mesmo 
nos dois casos
 Podemos então dizer que a e e estão representados 
com a mesma precisão? 
 Não, pois o peso da aproximação em e é maior do que 
em a
 Erro absoluto não é suficiente para descrever a precisão 
de um cálculo
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Erro Relativo
 Razão entre o erro absoluto e o valor aproximado do 
número considerado (em módulo)
|x|
EA
|x|
|x|x
ER xx 
-

 O erro relativo pode ser considerada como uma 
estimativa da precisão do número:
 ERx x 100 = Erro Percentual
 O valor exato da precisão = |Erro absoluto|/|valor exato|
59 -´ 100,000096
3876
0,373
ERa
140 -´ 10,373
1
0,373
ERe
Erro Relativo - Considerações
Ex. : Cálculo do erro relativo na representação dos
números ā = 2112,9 e ē = 5,3, sendo |EA| < 0,1
Conclusão: a é representado com maior precisão do que e
Erro Relativo - Considerações
5107,4
9,2112
1,0 -´
-

a
aa
ERa
02,0
3,5
1,0

-

e
ee
ERe
Erros de Arredondamento
 Ex. Cálculo de utilizando uma calculadora digital:
Valor apresentado: 1,4142136
Valor real: 1,41421356...
 Não há forma de representação digital (por máquinas) 
de números irracionais com uma quantidade finita de 
algarismos.
 A calculadora apresenta uma aproximação do número.
 Erro de Arredondamento.
2
Erros de Truncamento
 É o descarte dos dígitos finais de uma representação 
exata por limitações de representação em vírgula 
flutuante:
Ex.: Representação truncada de em vírgula
flutuante com 7 dígitos
Valor apresentado: 1,4142135
Valor real: 1,41421356...
2
Representação aritmética de ponto 
flutuante no computador – Relembrando...
onde:
é a base em que o computador opera;
é o número de dígitos na mantissa
é o expoente (inteiro com sinal)
e
tddd ´ )...(. 21

t
;01 d,,...,1),1(0 tjd j - 
e
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 Para t = 4, e = 3 e x = 234,57:
x = 0,2345 x 103 + 0,7 x 10-1
fx = 0,2345
gx = 0,7
 Erros de Truncamento e Arredondamento em um 
sistema de aritmética de ponto flutuante:
 Em um sistema que opera em ponto flutuante de t dígitos 
na base 10, e seja x:
x = fx x 10
e + gx x 10
e-t (0,1 fx  1 e 0,1 gx 1)
Erros de Arredondamento e Truncamento
 Para t = 5, e = 4 e x = 1234,568
x = 0,12345 x 104 + 0,68 x 10-1
fx = 0,12345
gx = 0,68
Erros - Truncamento
 No truncamento, gx x 10
e-t é desprezado e 
e
, visto que |gx| < 1
pois 0,1 é o menor valor possível para fx
1t
e
te
e
te
e
x
te
xx
x 10
1010
10
100,1
10
10f
10g
x
EA
ER -
-
---

´´

´

´
´

10,1
e
x 10fx ´
tete
xx 1010gEA
-- ´
te
x
e
x 10g10fx
-´´
e
x
te
x
e
xx f10gfxxEA 1010 ´-´´-
-
 No arredondamento simétrico (forma mais utilizada):
, se (gx é desprezado)
, se (soma 1 ao último
dígito de fx)
Erros – Arredondamento





´
´

-tee
x
e
x
1010f
10f
x
2
1
g x 
2
1
g x 
Erros - Arredondamento
Se , então:
, visto que |gx| < 1/2
1t
e
te
e
te
e
x
te
xx
x 10
2
1
10
10
100,1
100,5
10f
10g
x
EA
ER -
-
---
´
´´
´

´
´

´
´

1100,1
2/1
tete
xx 10
2
1
10gEA -- ´´
2
1
g x 
e
x
te
x
e
xx f10gfxxEA 1010 ´-´´-
-
Erros – Arredondamento
Se , então:
e
e
x
te
tee
x
te
x
x
10f
101/2
1010f
101/2
x
EA
ER
´
´

´
´

-
-
-
  tetex
tete
xx 10
2
1
101g1010gEA ---- ´´--´
2
1
g x 
   teextexexx 1010f10g10fxxEA -- ´-´´-
 Erros de Truncamento e Arredondamento em um 
sistema de aritmética de ponto flutuante:
 Sistema operando em ponto flutuante - Base 10
 Erro de Truncamento 
e
 Erro de Arredondamento
e
 Arredondamento gera erros menores, mas aumenta o 
tempo de execução uso do Truncamento 
te
x 10EA
-
1t
x 10ER
-
Arredondamento e Truncamento
18/02/2019
9
 Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, 
precisão dupla
 Ex.: Seja x = 0,937 x104 e y = 0,1272 x102. 
Calcular x+y.
 Alinhamento dos pontos decimais antes da soma ( Alinhar 
sempre para o maior expoente dentre os operadores )
x = 0,937 x 104 e y = 0,001272 x 104, 
x+y = 0,937 x 104 + 0,001272 x 104, 
x+y = 0,938272 x 104
 Resultado com 4 dígitos
Arredondamento: x+y = 0,9383 x 104
Truncamento: x+y = 0,9382 x 104
Análise de Erros
 Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, 
precisão dupla
 Ex. : Seja x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x102. Calcular a 
multiplicação x*y
x*y = (0,937 x 104)
x (0,1272 x 102)
x*y = (0,937 x 0,1272) x 106  x*y = 0,1191864 x 106
 Resultado com 4 dígitos
Arredondamento: x*y = 0,1192 x 106
Truncamento: x*y = 0,1191 x 106
Análise de Erros
Análise de Erros
 Considerações
 Ainda que as parcelas ou fatores de uma operação 
possam ser representados exatamente no sistema, não se 
pode esperar que o resultado armazenado seja exato.
 x e y tinham representação exata, mas os resultados x+y
e x.y tiveram representação aproximada.
 Durante as operações aritméticas de um método, os erros 
dos operandos produzem um erro no resultado da 
operação
 Propagação ao longo do processo
Análise de Erros – Propagação
 Ex. : Sejam as operações a seguir processadas em 
uma máquina com 4 dígitos significativos e, sendo a = 
0,3491 x 104 e b = 0,2345 x 100, qual o valor da 
expressão:
(b + a) − a = b + (a − a) ?
(b + a) − a = (0,2345 x100+0,3491x104) − 0,3491x104 = 
(0,00002345 x104+0,3491x104) − 0,3491x104 
(0,34912345 x104) − 0,3491x104 (arredodamento)
0,3491 x 104 − 0,3491 x104 = 0,0000
b + (a − a) = 0,2345x100 + (0,3491 x 104 −0,3491x104)=
0,2345 x 100 +(0,0000 x 104)= 0,2345 x 100
Análise de Erros – Propagação
 Os dois resultados são diferentes, quando não 
deveriam ser.
(b + a) − a = 0,0000 e b + (a − a) = 0,2345 x 100
 Causa
 Arredondamento da adição (b + a), a qual tem 8 dígitos 
 A máquina só armazena 4 dígitos (desprezando os 
menos significativos)
Análise de Erros – Propagação
 É preciso atenção na resolução numérica de um 
problema.
 É Importante o conhecimento dos efeitos da propagação 
de erros.
 Determinação do erro final de uma operação;
 Conhecimento da sensibilidade de um determinado 
problema ou método numérico.
18/02/2019
10
Análise de Erros – Propagação
 Análise dos Erros Absoluto e Relativo.
Existem expressões para o determinação dos erros 
nas operações aritméticas.
Erros podem ocorrer na representação das parcelas 
ou fatores, assim como no resultado da operação.
 Supondo um erro final arredondado, sendo x e y, tais que:
yx EAy yEAxx  e
Análise de Erros – Propagação
 Adição
 Erro Absoluto
 Erro Relativo





























yx
y
ER
yx
x
ER
yx
y
y
EA
yx
x
x
EA
ER yx
yx
yx
)EA(EA)yx(
)EAy() EAx(yx
yx
yx


yxyx EAEAEA 









 
yx
EA
yx
EA
yx
EAEA
yx
EA
ER yxyxyxyx
Análise de Erros – Propagação
 Subtração
 Erro Absoluto
 Erro Relativo
)EA(EA)yx(
)EAy()EAx(yx
yx
yx
--
--
yxyx EAEAEA --






-
-





-






-
-





-
-
yx
y
ER
yx
x
ER
yx
y
y
EA
yx
x
x
EA
ER yx
yx
yx

-
-
-

-
-

-

-
-
yx
EA
yx
EA
yx
EAEA
yx
EA
ER
yxyxyx
yx
Análise de Erros – Propagação
 Multiplicação
 Erro Absoluto
 Erro Relativo
muito pequeno
     yxxyyx EAEAEAyEAxyxEAyEAxx.y ´´´´´
    xyyx EAyEAxyxEAyEAxx.y ´´´´
yxx.y ERERER 
xyx.y EAyEAxEA 
y
EA
x
EA
xy
EAy
xy
EAx
xy
EAyEAx
xy
EA
ER
yxxyxyyx
x.y 


.
Análise de Erros – Propagação
 Divisão
 Erro Absoluto
 
 
 













´





y
EA
1
1
y
EAx
EAy
EAx
y
x
y
x
y
x
yyy EAy
y
y
y
EAyy
y
EA
1
1
y 
´

´













´
1111
Simplificação::
(desprezam-se os termos de potência >1)
 
 
 













´





y
EA
1
1
y
EAx
EAy
EAx
y
x
y
x
y
x
...
y
EA
y
EA
y
EA
1
y
EA
1
1
3
y
2
yy
y






-





-

 






-´











-´


y
EA
y
EA
y
x
y
EA
y
EAx
y
x yxyx 11
Análise de Erros – Propagação
 Divisão
 Erro Absoluto
 






-´











-´


y
EA
y
EA
y
x
y
EA
y
EAx
y
x yxyx 11
2
yx
y
EAx
y
EA
y
x
y
x
-
2y
EAEA
y
EA
y
EAx
y
x
y
x yxx
2
y ´
--
muito pequeno
2
yx
yx
y
EAxEAy
EA
-
/
18/02/2019
11
Análise de Erros – Propagação
 Divisão
 Erro Relativo





 -
´
x
y
y
EAxEAy
x
y
EA
y
x
EA
ER
2
yx
yx
yx
x/y /
/
yx
yx
x/y ERER
y
EA
x
EA
ER --
Análise de Erros - Propagação
 Erro Relativo da Adição  É a soma dos erros relativos 
de cada parcela, ponderados pela participação de cada 
parcela no total da soma.
 Erro Relativo da Subtração  É a diferença entre os 
erros relativos do minuendo e do subtraendo, 
ponderados pela participação de cada parcela no 
resultado da subtração.















yx
y
ER
yx
x
ERER yxyx






-
-





-
-
yx
y
ER
yx
x
ERER yxyx
Análise de Erros - Propagação
 Erro Relativo da Multiplicação  Soma dos erros 
relativos dos fatores.
 Erro Relativo da Divisão  Diferença entre os erros 
relativos do dividendo e do divisor
yxx.y ERERER 
yxx/y ERERER -
Análise de Erros - Propagação
 Nos erros anteriormente formulados, ainda 
consideramos o erro de arredondamento ou 
truncamento no resultado final
 A análise completa da propagação do erro se faz 
considerando os erros nas parcelas ou fatores e no 
resultado de cada operação efetuada
Ex.: Dada a soma x+y (x e y representados exatamente), 
faça o cálculo de ER(x+y)
Como x e y são exatamente representados, ERx+y se 
resume ao Erro Relativo de Arredondamento (RA) no 
resultado da soma.
EAx= EAy = 0,
 EAx+y = 0
1t
yx 10
2
1
RAER - ´
RA
yx
EA
ER
yx
yx 




Análise de Erros - Propagação
RAER yx 
Análise de Erros - Propagação
 Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, 
precisão dupla
 Ex.: Seja x = 0,937 x104, y = 0,1272 x102 e 
z = 0,231 x101, calcular x+y+z e ER(x+y+z), sabendo 
que x, y e z estão exatamente representados.
Solução:
Alinhando as vírgulas decimais ( Alinhar sempre 
para o maior expoente dentre os operadores ) :
x = 0,937000 x104
y = 0,001272 x104 e
z = 0,000231 x104
18/02/2019
12
Análise de Erros - Propagação
 Ex.: Seja x = 0,937 x104, y = 0,1272 x102 e 
z = 0,231 x 101, calcular x+y+z e ER(x+y+z), sabendo 
que x, y e z estão exatamente representados.
Solução:
A soma é feita por partes: (x+y)+z
x+y = 0,937000 x104 + 0,001272 x104
x+y = 0,938272 x104 (arredondamento)
x+y = 0,9383 x 104 = s
s+z = 0,9383 x 104 + 0,000231 x 104
s+z = 0,938531 x 104 (arredondamento)
x+y+z = 0,9385 x 104
Análise de Erros - Propagação
Solução:
s = x+y = então s = x + y = 0,9383 x 104
Cálculo do Erro Relativo:
EAx=EAy=0,
 ERx+y=0syxs RAyx
y
ER
yx
x
ERER 


















ss RAER 
Análise de Erros - Propagação
Solução:
EAz=0,
 ERz=0
RA
zyx
z
ER
zyx
yx
ERER zszyx 



















RA
zyx
yx
ERER szyx 





















1
zyx
yx
RA
RA
zs
z
ER
zs
s
ERER zszyx 




























 RA
zyx
yx
RAER szyx
Análise de Erros - Propagação
Solução:
3
zyx 0,9998.10ER
-
 
1t
zyx 10
2
1
1
zyx
yx
ER - ´











3
4
4
109385,0
109383,0 -
 ´






´
´
 10
2
1
1ER zyx





















 1
zyx
yx
RARA
zyx
yx
RAER szyx
Análise de Erros - Propagação
 Ex. : Supondo que u é representado em um 
computador por ū, que é obtido por arredondamento. 
Obter os limites superiores para os erros relativos de 
v = 2ū e w = ū + ū.
Análise de Erros - Propagação
 Ex. :
Solução:
1t
u
10ER -
2
uv 2
 RAERERER
uu 22
1
2
10
2
1
2 -´´ t
u
ER
RARARA 2
18/02/2019
13
 Ex. :
Solução:
Análise de Erros - Propagação
1t
vw 10ERER
-
uuw 
RA
uu
u
ER
uu
u
ERER
uuw



















11 1010
2
1
22 -- ´´´ ttw RAER
RA
uu
u
RAERw 








´ 2








´ RA
u
u
RAERw
2
2 RA´2
Exercício
Considere uma máquina cujo sistema de 
representação de números é definido por 
. Tal máquina utiliza o arredondamento para os 
dígitos na mantissa. Os números x = 8543 e y = 2477 
foram utilizados em algumas operações nesta máquina. 
Assim, faça o que se pede: 
a) Calcule os erros absolutos (EA) e erros relativos 
(ER) envolvidos no processo de utilização da máquina 
para cada número x e y. 
Resposta:
et 3,10 
]5,5[-e
x  0,854´104 EAx  0, 0003´10
4 ERx  3, 513´10
-4
y  0,248´104 EAy  0, 0007´10
4 ERy 1, 210´10
-3
Exercício
Considere uma máquina cujo sistema de 
representação de números é definido por 
. Tal máquina utiliza o arredondamento para os 
dígitos na mantissa. Os números x = 8543 e y = 2477 
foram utilizados em algumas operações nesta máquina. 
Assim, faça o que se pede: 
b) Após a realização das operações x+y e x*y, foi 
percebido que uma das duas operações resultava no erro 
relativo maior. Qual foi?
Resposta:
Erro da multiplicação é maior
et 3,10 
]5,5[-e
RAER yx ´
-

410445,5 RAER yx ´
-
´
410613,15
02_Erros_OBS-NumerosDiscretos.pdf
210 31
2
3
4
3
8
1
4
3
2
03_Raizes_Folheto.pdf
18/02/2019
1
Zeros Reais de Funções
Reais
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Programa
1. Introdução
2. Isolamento das raízes
3. Refinamento
a) Critério de parada
b) Métodos iterativos
c) Comparação entre os métodos
Zeros Reais de Funções
Reais – Introdução
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Zeros de funções reais - Objetivos
 Estudar métodos numéricos para a resolução de 
equações não lineares (determinar a(s) raiz(es) de uma 
função f(x), ou seja, encontrar o(s) valor(es) de x tal 
que f(x) = 0)
 Fundamentar a necessidade de uso de métodos 
numéricos para a resolução de equações não lineares
 Discutir o princípio básico que rege os métodos numéricos 
para a resolução de equações não lineares
 Apresentar e discutir uma série de métodos destinados à 
resolução de equações não lineares
Zeros de funções reais - Introdução
 Necessidade de resolução de equações do tipo f(x) = 0
+FV
-FV
+FH-FH
Em cada nó 
:
 FH = 0
 FV = 0
FEstruturas
(Lei de Kirchhoff)
R
E
i
v = g(i)
+
-
E - Ri – g(i) = 0
Circuitos
Zeros de funções reais - Introdução
 xÎ é um zero da função f(x) ou raiz da equação 
f(x) = 0 se f(x) = 0.
 Raízes podem ser números reais ou complexos.
 Trataremos somente de raízes reais de f(x).
 Abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo x
x2x2x1x1
f(x)
x
18/02/2019
2
Zeros de funções reais - Introdução
 Para uma equação de segundo grau na forma:
 Determinação das raízes em função de a, b e c:
 Polinômios de grau mais elevado e funções com maior 
grau de complexidade
 Impossibilidade de determinação exata dos zeros
 Uso de soluções aproximadas
02 =++ cbxax
a
acbbx
2
42 --=
Zeros de funções reais - Introdução
 Etapas para a determinação de raízes a partir de 
métodos numéricos
 FASE 1: Determinação de um intervalo (o menor possível) 
que contenha apenas uma raiz
 FASE 2: Melhoramento do valor da raiz aproximada 
(refinamento até que a raiz esteja dentro uma precisão ε
prefixada)
Zeros Reais de Funções
Reais – Isolamento de Raízes
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Isolamento de raízes
 Realiza-se uma análise teórica e gráfica da função f(x).
 A precisão das análises é relevante para o sucesso da 
fase posterior.
 Teorema 1:
Sendo f(x) contínua em um intervalo [a, b], se f(a)f(b) < 0 
então existe pelo menos um ponto x = x entre a e b que é 
zero de f(x).
Isolamento de raízes – Análise Gráfica
xx11 xx22
f(x)
xxx33
aa bb
xx bb
f(x)
x
aa
aa
xx11
f(x)
xxx22
bb
Isolamento de raízes – Tabelamento
 Exemplo: 
f(x) é contínua para
I1 = [-5, -3]
I2 = [0, 1]
I3 = [2, 3]
Cada um dos intervalos acima contém pelo menos um 
zero de f(x). 
Î x
39)( 3 +-= xxxf
18/02/2019
3
Isolamento de raízes – Tabelamento
 Exemplo:
f(x) admite pelo menos um zero no intervalo [1,2] 
Mas esse zero é único? 
 Análise do sinal de f’(x)
f(x) admite um único zero em todo seu domínio 
de definição, localizado no intervalo [1,2] 
xexxf --= 5)(
0,05
2
1
)(' >>+= - xe
x
xf x
Isolamento de raízes
 A partir do Teorema 1, se f’(x) existir e preservar o sinal 
em (a,b), então esse intervalo
contém um único zero de 
f(x)
Isolamento de raízes
 Se f(a)f(b) > 0, então se pode ter diversas situações no 
intervalo [a, b].
Isolamento de raízes
 A análise gráfica é fundamental para se obter boas 
aproximações para a raiz.
 Suficiente utilizar um dos seguintes passos:
 Esboçar o gráfico de f(x).
 Localizar as abscissas dos pontos onde a curva intercepta o 
eixo x.
 Obtenção da equação equivalente g(x) = h(x) a partir da 
equação f(x) = 0.
 Construção dos gráficos de g(x) e h(x) no mesmo sistema 
cartesiano e localização dos pontos x nos quais g(x) e h(x)
se interceptam (f(x) = 0  g(x) = h(x)).
 Pode-se (deve-se) usar programas para traçar gráficos 
de funções dentro do intervalo de interesse.
Isolamento de raízes
 O esboço do gráfico de uma função requer um estudo 
detalhado de seu comportamento, no qual devem ser 
considerados os itens abaixo:
 Domínio da função
 Pontos de descontinuidade
 Intervalos de crescimento e decrescimento
 Pontos de máximo e mínimo
 Concavidade
 Pontos de inflexão, etc
Isolamento de raízes
 Exemplo:
Solução utilizando o método 1:
39)( 3 +-= xxxf
30)('
93)('
39)(
2
3
==
-=
+-=
xxf
xxf
xxxf
)3,4(1 --Îx
)1,0(2 Îx
)3,2(3 Îx
33
-72
-7,3923 3
-51
30
11-1
13,3923-  3
3-3
-25-4
f(x)x
x3x3
f(x)
x-4 1-3 -2 -1 2 3 4
x2x2x1x1
18/02/2019
4
Isolamento de raízes
 Exemplo:
Solução utilizando o método 2:
Dada:
Equação Equivalente:
039)( 3 =+-= xxxf
0393 =+- xx
3)( xxg =
39)( -= xxh
)3,4(1 --Îx
)1,0(2 Îx
)3,2(3Îx
x3x3
g(x)
x-4 1-3 -2 -1 2 3 4x2x2
x1x1
h(x)
y
Isolamento de raízes
 Exemplo:
Solução utilizando o método 2:
Dada:
Equação Equivalente:
05)( =-= - xexxf
xex -= 5
xxg =)(
xexh -= 5)(
)2,1(Îx
xx
g(x)
x1 2 3 4
h(x) y
5 6
Isolamento de raízes
 Exemplo:
Solução utilizando o método 2:
Dada:
Equação Equivalente:
01)log()( =-= xxxf
x
x
1
)log( =
)log()( xxg =
x
xh
1
)( =
)3,2(Îx
xx
g(x)
x1 2 3 4
h(x)
y
5 6
Zeros Reais de Funções
Reais – Refinamento de Raízes
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Refinamento de raízes
 Aplicação de métodos numéricos destinados ao 
refinamento de raízes:
I. Método da Bisseção
II. Método da Posição Falsa
III. Método do Ponto Fixo
IV. Método de Newton-Raphson
V. Método da Secante
 Diferenciação dos métodos  Modo de refinamento.
 Método Iterativo  Caracterizado por uma série de 
instruções executáveis seqüencialmente, algumas das 
quais repetidas em ciclos (iterações).
Refinamento de raízes
Sequência de passos:
18/02/2019
5
Critérios de Parada
 Teste: xk suficientemente próximo da raiz exata?
 Como verificar tal questionamento?
 Interpretações para raiz aproximada
 x é raiz aproximada com precisão e se:
ou
 Como proceder se não se conhece x ?
ex <-x e<)(xf
Critérios de Parada
 Reduz-se o intervalo que contém a raiz a cada iteração.
 Obtém um intervalo [a,b] tal que:
 . então 
 Logo pode ser tomado como 
 
ï
þ
ï
ý
ü
<-
Î
e
x
ab
e
ba,
  ex <-Î xbax ,,
 bax ,Î x
Critérios de Parada
 Nem sempre é possível satisfazer ambos os critérios
Critérios de Parada
 Métodos numéricos devem satisfazer a pelo menos um dos 
critérios
 Quando da utilização de programas computacionais, 
devemos utilizar:
 Teste de Parada
 Estipular o número máximo de iterações
 Prevenção de loops por:
 Erro no programa
 Escolha de método inadequado
Zeros Reais de Funções
Reais – Método da Bisseção
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Método da Bisseção
 Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde 
existe uma raiz única, é possível determinar tal raiz 
subdividindo sucessivas vezes o intervalo que a 
contém pelo ponto médio de a e b.
 Em outras palavras, o objetivo deste método é reduzir 
a amplitude do intervalo que contém a raiz até atingir 
precisão requerida, ou , usando 
para isto a sucessiva divisão de [a,b] ao meio
e<- kk ab e<)(xf
18/02/2019
6
Método da Bisseção
 Definição do intervalo inicial
 Atribui-se [a,b] como intervalo inicial
 a0 = a
 b0 = b
 Condições de Aplicação
 f(a) x f(b) < 0
 Sinal da derivada constante
Método da Bisseção
 Definição de novos intervalos
 Calcula-se o ponto médio entre a e b, chamado de x0
 Determina-se qual o subintervalo – [a , x0] ou [x0 , b] –
contém a raiz
 Calcula-se o produto f(a) * f(x0)
 Verifica-se f(a) * f(x0) < 0
 Se verdadeiro
 Logo a = a e b = x0
 Caso contrario
 Logo a = x0 e b = b
 Repete-se o processo até que o valor de x atenda 
às condições de parada.
),( 0xaÎx
),( 0 bxÎx
Método da Bisseção - Resumo
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
>
>
<
+
=
0)(
0)(
0)(
2
0
0
0
00
0
xf
bf
af
ba
x
ï
î
ï
í
ì
=
=
Î
Þ
01
01
00 ),(
xb
aa
xax
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
<
>
<
+
=
0)(
0)(
0)(
2
1
1
1
11
1
xf
bf
af
ba
x
ï
î
ï
í
ì
=
=
Î
Þ
12
12
11 ),(
bb
xa
bxx
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
<
>
<
+
=
0)(
0)(
0)(
2
2
2
2
22
2
xf
bf
af
ba
x
ï
î
ï
í
ì
=
=
Î
Þ
23
23
22 ),(
bb
xa
bxx
 
Método da Bisseção - Graficamente
ba x0||
a1
x1 
||
a3
a2
||
b1
||
x2 
||
b3
x
y
b2=
Método da Bisseção
 Exemplo:
Utilizando o método de Equações Equivalentes para 
Isolamento de Raízes:
Equação Equivalente:
01)log()( =-= xxxf
x
x
1
)log( =
)log()( xxg =
x
xh
1
)( =
)3,2(Îx
h(x)
y
xx
g(x)
x1 2 3 4 5 6
Método da Bisseção
 Exemplo: 01)log()( =-= xxxf
x0 =
2+3
2
= 2.5
f (2) = -0.3979 < 0
f (3)= 0.4314 > 0
f (2.5) = -5.1510-3 < 0
ì
í
ï
î
ï
ü
ý
ï
þ
ï
Þ
x Î (2.5, 3)
a1 = x0 = 2.5
b1 = b0 = 3
ì
í
ï
î
ï
x1 =
2.5+3
2
= 2.75
f (2.5) < 0
f (3) > 0
f (2.75)= 0.2082 > 0
ì
í
ï
î
ï
ü
ý
ï
þ
ï
Þ
x Î (2.5, 2.75)
a2 = a1 = 2.5
b2 = x1 = 2.75
ì
í
ï
î
ï
 
18/02/2019
7
Método da Bisseção - Algoritmo
k = 0; 
a0 = a; b0 = b; 
xk = (ak + bk)/2;
while and
if f(ak)f(xk) < 0 then /*raiz em [ak , xk] */
ak+1 = ak; 
bk+1 = xk;
else /* raiz em [xk, bk] */
ak+1 = xk; 
bk+1 = bk ;
end if
xk+1 = (ak+1 + bk+1)/2;
k = k +1; 
end while
bk - ak >=e f (xk ) >= e
Método da Bisseção - Algoritmo
 Ao final da execução do algoritmo, teremos
um intervalo 
[ak, bk] que contém a raiz e uma aproximação para a 
raiz exata (tal que ou ) 
 A convergência do método é intuitiva
e<- kk ab
x
e<)(xf
Método da Bisseção – Estimativa do 
número de iterações
 Após n iterações, a raiz estará contida no intervalo:
 Deve-se obter o valor de k, tal que , ou seja: 
2
11 -- -=- kkkk
ab
ab
e<- kk ab
e<
-
k
ab
2
00
)2log(
)log()log( 00 e-->
ab
k
k
ab
2
00 -=
e
002
abk -> )log()log()2log( 00 e--> abk
 Exemplo: Considerando um intervalo [2,3] e ε=10-2, 
calcular o numero mínimo de iterações para que 
tenhamos (Critério de Parada).e<- kk ab
)2log(
)log()log( 00 e-->
ab
k
)2log(
)10log()23log( 2---
>k
64,6
3010,0
2
)2log(
)10log(2)1log(
=
+
>k
7=k
Método da Bisseção – Estimativa do 
número de iterações
Método da Bisseção
 Exemplo:
Utilizando o método de Equações Equivalentes para 
Isolamento de Raízes
Equação Equivalente
039)( 3 =+-= xxxf
0393 =-= xx
3)( xxg =
39)( -= xxh
)3,4(1 --Îx
)1,0(2 Îx
)3,2(3 Îx
Método da Bisseção
 Exemplo:
Cálculo da 1ª aproximação
 x0 = (a0+b0)/2 = (0+1)/2 = x0 = 0,5
 f(x0) = 0,5
3 – 9x0,5 + 3 = -1,375
Teste de Parada
 |b-a| = |1| > 10-3 e |f(x0)| = |-1,375| = 1,375 > 10
-3 
Escolha do Novo Intervalo
 f(a0) = 0
3 – 9x0 + 3 = 3, logo f(a0) > 0
 f(b0) = 1
3 – 9x1 + 3 = -5, logo f(b0) < 0
 f(x0) = 0,5
3 – 9x0,5 + 3 = -1,375, logo f(x0) < 0
 logo: a1=a0=0 e b1=x0=0,5
039)( 3 =+-= xxxf  1,0=I 3103 -=e
18/02/2019
8
Método da Bisseção
 Exemplo:
 Então em 9 iterações
 . foi atendida, enquanto , não foie<- kk abe<)(xf
039)( 3 =+-= xxxf  1,0=I 3103 -=e
337890625.0=x
Método da Bisseção
 Vantagens:
 Facilidade de implementação;
 Estabilidade e convergência para a solução procurada;
 Desempenho regular e previsível.
 Desvantagens
 Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo 
de f(x) em um elevado número de iterações);
 Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se 
encontra a raiz de interesse (nem sempre é possível);
 Complexidade da extensão do método para 
problemas multivariáveis.
258.24
10
3
7
00
=ÞÞ
þ
ý
ü
=
=-
-
kk
ab
e
Método da Bisseção – Exercício
a) Analise a função abaixo. Identifique um intervalo onde 
existe raiz real. Explique porque essa raiz é única. 
Execute as primeiras 7 iterações do Método da Bisseção 
para a função , tal que 
b) Caso a condição de 
erro não tenha sido 
satisfeita, calcule quantas 
iterações ainda seriam 
necessárias.
1)( 3 --= xxxf 3102 -<e
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
Método da Bisseção – Exercício
a) Execute as primeiras 5 iterações do Método da 
Bisseção para a função , tal que
Para a iteração 5 temos: 
e
1)( 3 --= xxxf
3102 -<e
Iter. a b f(a) f(b) x f(x )
1 1,000000 2,000000 -1,000000 5,000000 1,500000 0,875000
2 1,000000 1,500000 -1,000000 0,875000 1,250000 -0,296875
3 1,250000 1,500000 -0,296875 0,875000 1,375000 0,224609
4 1,250000 1,375000 -0,296875 0,224609 1,312500 -0,051514
5 1,312500 1,375000 -0,051514 0,224609 1,343750 0,082611
31020,06253125,1375,1 -=-=- ab
31020,082611)( -=xf
Método da Bisseção – Exercício
b) Caso a condição de erro não tenha sido satisfeita, 
calcule quantas iterações ainda seriam necessárias.
)2log(
)log()log( 00 e-->
ab
k
)2log(
)102log()12log( 3---
>k
)2log(
)10log32(log)1log( --
>k
9658,8
30103,0
2,69897
30103,0
)330103,0(0
)2log(
)10log32(log)1log(
==
--
=
--
>k
9=k
Zeros Reais de Funções
Reais – Método da Posição Falsa
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
18/02/2019
9
Método da Posição Falsa
 Método da Bisseção
 Calcula a média aritmética dos limites do intervalo que 
contém a raiz ([a, b])
 Método da Posição Falsa
 Calcula a média ponderada dos limites do intervalo que 
contém a raiz ([a, b])
Método da Posição Falsa
 Dada a função e, sendo o intervalo 
inicial , temos que 
 está mais próximo de zero que 
 Logo é provável que a raiz esteja mais próxima de x = 0 
que de x = 1 ( isso é sempre verdade quando f(x) é linear 
em )
 Assim, ao invés de tomar a média aritmética, o método 
da posição falsa toma a média ponderada, com pesos 
de e 
039)( 3 =+-= xxxf
   1,0, =ba )0(305)1( ff =<<-=
)0(f )1(f
 ba,
)(af )(bf
)()(
)()(
)()(
)()(
afbf
abfbaf
afbf
afbbfa
x
-
-
=
+
+
=
Método da Posição Falsa - Graficamente
 Graficamente x é a interseção entre o eixo x e a reta 
que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)): 
Método da Posição Falsa - Graficamente
x
a = a0
xx
f(x)
b = b0x0
x0 = a0f(b0) - b0f(a0)
f(b0) - f(a0) 
x
a = a1
xx
f(x)
b1 = x1
x1 = a1f(b1) – b1f(a1)
f(b1) - f(a1) 
x1
Método da Posição Falsa
 Definição do intervalo inicial
 Atribui-se [a,b] como intervalo inicial
 a0 = a
 b0 = b
 Condições de Aplicação
 f(a) x f(b) < 0
 Sinal da derivada constante
Método da Posição Falsa
 Definição dos Subintervalos
 Subdivide-se o intervalo pelo ponto de interseção da reta 
que liga f(a) a f(b) e o eixo das abscissas
Verifica-se se, através do teste de parada, se x0 é uma 
aproximação da raiz da equação (x)  pelo tamanho do 
intervalo [a, b] ou o valor f(x0)
 Se verdadeiro  x0 é a raiz procurada
 Caso contrário  define-se um novo intervalo
18/02/2019
10
Método da Posição Falsa
 Definição do novo intervalo
 Determina-se qual o subintervalo – [a , x0] ou [x0 , b] –
contém a raiz
 Calcula-se o produto f(a) * f(x0)
 Verifica-se f(a) * f(x0) < 0
 Se verdadeiro
 Logo a = a e b = x0
 Caso contrario
 Logo a = x0 e b = b
 Repete-se o processo até que o valor de x atenda 
às condições de parada.
),( 0xaÎx
),( 0 bxÎx
Método da Posição Falsa
 Exemplo:
logo, existe ao menos 1 raiz no 
intervalo dado
. Como têm o mesmo sinal,
]3,2[,1)log()( =-= Ixxxf
þ
ý
ü
>=
<-=
04314,0)(
03979,0)(
0
0
bf
af
)()(
)()(
0
afbf
abfbaf
x
-
-
=
)3979,0(4314,0
)3979,0(34314,02
--
--
=
8293,0
0565,2
= 4798,2=
00219,0)( 0 <-=xf )()( 00 xfeaf
þ
ý
ü
î
í
ì
>==
<==
0)(3
0)(4798,2
101
101
bfbb
afxa
 Exemplo:
Como , temos:
Método da Posição Falsa
]3,2[,1)log()( =-= Ixxxf
þ
ý
ü
î
í
ì
>=
<==
0)(3
0)(4798,2
11
101
bfb
afxa
)0219,0(4314,0
)0219,0(34314,04798,2
--
--
=
0,4533
1354,1
=
5049,21 =x
00011,0)( 1 <-=xf
þ
ý
ü
î
í
ì
>==
<==
0)(3
0)(5049,2
112
112
bfbb
afxa

Método da Posição Falsa - Algoritmo
k = 0; 
ak = a; bk = b; 
FAk = f(ak); GBk = f(bk);
xk = (akGBk - bkFAk) / (GBk - FAk); 
while and
if f(ak)f(xk) ≤ 0 then /* raiz em [ak , xk] */
bk = xk;
else /* raiz em [xk, bk] */
ak = xk;
end if
FAk = f(ak); GBk = f(bk);
xk = (akGBk - bkFAk) / (GBk - FAk); 
k = k +1;
end while
e>=- kk ab e>=)( kxf
Método da Posição Falsa
 Exemplo:
Cálculo da 1ª aproximação
Teste de Parada
 |b-a| = |1| > 10-3 e |f(x0)| = |-0,322265625| > 10
-3
Escolha do Novo Intervalo
 f(a0) = 0
3 – 9x0 + 3 = 3, logo f(a0) > 0
 f(b0) = 1
3 – 9x1 + 3 = -5, logo f(b0) < 0
 f(x0) = 0,375
3 – 9x0,375 + 3 = -0,32..., logo f(x0) < 0
 logo: a1=a0=0 e b1=x0=0,375
039)( 3 =+-= xxxf  1,0=I 3102 -=e
)()(
)()(
0
afbf
abfbaf
x
-
-
=
)3(5
)3(1)5(0
--
--
=
8
3
-
-
=
Método da Posição Falsa
 Exemplo:
Então em 3 iterações
. foi atendida, enquanto , não foi
No método da Bisseção, o valor foi 
encontrado depois de 9 iterações
e<- kk abe<)(xf
039)( 3 =+-= xxxf  1,0=I 3103 -=e
337890625.0=x
337635046.0=x
18/02/2019
11
Método da Posição Falsa
 Vantagens:
 Estabilidade e convergência para a solução procurada;
 Desempenho regular e previsível;
 Cálculos mais simples que o método de Newton.
 Desvantagens:
 Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo 
de f(x) em um elevado número de iterações);
 Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se 
encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é 
possível).
Método da Posição Falsa– Exercício
a) Analise a função abaixo. Identifique um intervalo onde 
existe raiz real. Execute as iterações do Método da 
Posição Falsa para a função , tal que 1)( 3 --= xxxf
3102 -<e
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
Recordando...
 O que é o Cálculo Numérico?
 O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de 
ferramentas ou métodos usados para se obter a solução 
de problemas matemáticos de forma aproximada, mas 
com um grau crescente de exatidão
 Qual o papel (ou função) do Cálculo Numérico na 
Engenharia?
 Solucionar problemas técnicos através de métodos 
numéricos, usando um modelo matemático
Recordando...
 Em que consiste obter a raiz de uma função?
 Quais foram os métodos estudados até o momento para 
obtenção de raiz?
 Os métodos são capazes de obter todas as raízes da 
função em estudo?
 Existe alguma condição para a aplicação dos métodos 
estudados até o momento?
Zeros Reais de Funções
Reais – Método do Ponto Fixo
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Método do Ponto Fixo
 Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde 
existe uma raiz única, f(x) = 0, é possível transformar tal 
equação em uma equação equivalente x = φ(x) e, a 
partir de uma aproximação inicial x0, gerar uma 
sequência {xk} de aproximações para x pela relação xk+1
= φ(xk), uma vez que φ(x) é tal que f(x) = 0 se e 
somente se φ(x) = x.
 Transformamos o problema de encontrar zero de f(x) no 
problema de encontrar um ponto fixo de φ(x)
 A função φ(x) é chamada de função de iteração 
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Método do Ponto Fixo
 Exemplo: Dada a função
São funções de iteração possíveis:
 A forma geral das funções de iteração φ(x) é dada por
com a condição de que 
A(x)  0 em x, ponto fixo de φ(x)
06)( 2 =-+= xxxf
1
6
)(
1
6
)(
6)(
6)(
4
3
2
2
1
+
=
-=
-=
-=
x
x
x
x
xx
xx




)()()( xfxAxx +=
Método do Ponto Fixo
 A partir da definição da forma de φ(x), , 
podemos então mostrar que
 Existem infinitas equações de iteração φ(x) para a 
equação f(x) = 0
xxx == )(0)(f
  0)( =Þ xx fquetalseja
)()()( xxxx fA+= )0)(()( ==Þ xxx fporque
  xx = )(se
xxxx =+Þ )()( fA 0)()( =Þ xx fA
)0)((0)( =Þ xx Aporquef
)()()( xfxAxx +=
Método do Ponto Fixo - Graficamente
 Uma raiz da equação φ(x)=x é a abscissa do ponto de 
interseção da reta y=x com a curva y=φ(x)
Método do Ponto Fixo - Graficamente
 Todavia, para algumas escolhas de φ(x) o Método do 
Ponto Fixo pode divergir do valor x procurado
Método do Ponto Fixo
 Exemplo: Dada a equação :
 As raízes são x1 = -3 e x2 = 2 (Não há necessidade de uso 
de métodos numéricos para o calculo)
 Objetivo: Mostrar a convergência ou divergência do processo 
iterativo
 Seja a raiz x2 = 2 e φ1 (x) = 6 - x
2,Tomando x0= 1,5 e φ (x) 
= φ1 (x) 
 Seja a raiz x2 = 2 e ,Tomando x0= 1,5 e φ (x) 
= φ2 (x) 
06)( 2 =-+= xxxf
xx -= 6)(2
Método do Ponto Fixo
 Exemplo: Dada a equação , com raiz 
x2 = 2 , φ1 (x) = 6 - x
2 e x0 = 1,5
x1 = φ(x0) = 6 – 1,5
2 = 3,75
x2 = φ(x1) = 6 – 3,75
2 = -8,0625
x3 = φ(x2) = 6 – (-8,0625)
2 = -59,003906
x4 = φ(x3) = 6 – (-59,003906)
2 = -3475,4609
Conclui-se que {xk} não convergirá para x2 = 2
06)( 2 =-+= xxxf
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Método do Ponto Fixo
06)( 2 =-+= xxxf Exemplo: Dada a equação , com raiz 
x2 = 2 , φ1 (x) = 6 - x
2 e x0 = 1,5
Análise Gráfica:
y
xx2x2
x1
φ(x)
xx00
y = x
x2
x
1
x
1
{xk}  x
Método do Ponto Fixo
 Exemplo: Dada a equação , com raiz 
x2 = 2 , e x0 = 1,5
x1 = φ(x0) =
x2 = φ(x1) =
x3 = φ(x2) =
x4 = φ(x3) =
x5 = φ(x4) =
Conclui-se que {xk} tende a convergir para x2 = 2
06)( 2 =-+= xxxf
xx -= 6)(2
121320343,25,16 =-
969436380,1121320343,26 =-
007626364,2969436380,16 =-
998092499,1007626364,26 =-
000476818,2998092499,16 =-
Método do Ponto Fixo
 Exemplo: Dada a equação , com raiz 
x2 = 2 , e x0 = 1,5
Análise Gráfica:
06)( 2 =-+= xxxf
xx -= 6)(2
{xk}  x2 quando k  inf
φ(x)
x
y
y = x
x
2
x
2
x1
x0
x2
Método do Ponto Fixo
Teorema 2:
Sendo x uma raiz de f(x) = 0, isolada em um intervalo I
centrado em x e φ(x) uma função de iteração para 
f(x) = 0. Se
1. φ(x) e φ’(x) são contínuas em I
2. |φ’(x)| < 1,  x Î I e
3. x0 Î I
então a sequencia {xk} gerada pelo processo iterativo xk+1
= φ(xk) convergirá para x . Além disso quanto menor for 
o valor de |φ’(x)|, mais rápido o Método do Ponto Fixo 
convergirá.
Método do Ponto Fixo
 Resgatando os exemplos anteriores, para a função 
temos que:
 φ1(x) ( )  geração de uma sequencia 
divergente de x2 = 2
 φ2(x) ( )  geração de uma sequencia 
convergente para x2 = 2
06)( 2 =-+= xxxf
2
1 6)( xx -=
xx -= 6)(2
Método do Ponto Fixo
 Avaliando a divergência de φ1(x)
 φ1(x) = 6 - x
2 e φ’1(x) = - 2x  contínuas em I
 |φ’1 (x)| < 1  |-2x| < 1  -½ < x < ½
 Não existe um intervalo I centrado em x2=2, tal que
|φ’(x)| < 1,  x Î I  φ1 (x) não satisfaz a
condição 2 do Teorema 2 com relação a x2=2.
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Método do Ponto Fixo
 Avaliando a convergência de φ2(x)
 e
 φ2 (x) é contínua em S = {x Î R | x  6}
 φ’2 (x) é contínua em S’ = {x Î R | x < 6}
 .
 É possível obter um intervalo I centrado em x2=2, tal que 
todas as condições do Teorema 2 sejam satisfeitas.
xx -= 6)(2 )62/1()('2 xx --=
75,5162/11)('2 <<-< xxx
Método do Ponto Fixo - Algoritmo
 Critérios de Parada
 |f(xk)|  e
 |xk – xk-1|  e
k = 0; 
Xk+1 = φ(xk);
while and
k = k +1;
xk = xk+1;
xk+1 = φ(xk);
end while
e>=-+ kk xx 1 e>=+ )( 1kxf
Método do Ponto Fixo – Verificando a 
Convergência
 Exemplo: Dada a função , cujas raízes 
são 2 e -3, vamos avaliar a convergência da função 
equivalente , dados x1 = -3 e x0= -2,5
06)( 2 =-+= xxxf
1
6
)(3 -=
x
x
0,,0
6
)('
2
Î<
-
= xx
x
x
0,,
66
)('
22
Î=
-
= xx
xx
x
6661
6
1)(' 2
2
>-<><< xouxx
x
x
0,,1
6
)( Î-= xx
x
x
Método do Ponto Fixo – Verificando a 
Convergência
 Exemplo: Dada a função , cujas raízes 
são 2 e -3, vamos avaliar a convergência da função 
equivalente , dados x1 = -3 e x0= -2,5
Como o objetivo é obter a raiz negativa, temos:
Podemos então definir o intervalo que o 
processo convergirá visto que o intervalo está 
centrado na raiz x = -3
)6;(:,,1)(' 111 --=Î< IseráIxxquetalI 
)4497897,26( -=-
)5.2,5.3( --=I
1II 
06)( 2 =-+= xxxf
1
6
)(3 -=
x
x
Método do Ponto Fixo – Verificando a 
Convergência
 Exemplo: Dada a função , cujas raízes 
são 2 e -3, vamos avaliar a convergência da função 
equivalente , dados x1 = -3 e x0= -2,5
Tomando x0= -2,5, temos: 
 Quando não se conhece a raiz, escolhe-se o intervalo I 
aproximadamente centrado em x
 Quanto mais preciso isolamento de x, maior exatidão na 
escolha de I
892617,2
170213,3
764706,2
5,2
4
3
2
1
-=
-=
-=
-=
x
x
x
x
06)( 2 =-+= xxxf
1
6
)(3 -=
x
x
Método do Ponto Fixo
 Exemplo: Dados:
, calcule a raiz de f(x) 
utilizando o MPF:
Assim, e
Importante lembrar: Iteramos de modo que , 
todavia avaliamos, a cada iteração se 
Desafio: Provar que satisfaz a condição 2 do 
Teorema 2 no intervalo (0, 1)
;
3
1
9
)(;039)(
3
3 +==+-=
x
xxxxf 
)1,0(;105;5,0 20 Î==
- xex
3376233,0=x 31012,0)( --=xf
)(1 kk xx =+
e<)( kxf
)(x
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Método do Ponto Fixo
 Vantagens
 Rapidez processo de convergência;
 Desempenho regular e previsível.
 Desvantagens
 Um inconveniente é a necessidade da obtenção de uma 
função de iteração φ(x);
 Difícil sua implementação.
Método do Ponto Fixo – Exercício Resolvido
1) Tente encontrar a raiz da função 
utilizando a função de iteração e , sendo
. Analise sua resposta. 
1)( 3 --= xxxf
3102 -<e
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
2
11
)(
xx
x += 10 =x
Método do Ponto Fixo – Exercício Resolvido
1) Tente encontrar a raiz da função 
utilizando a função de iteração e , sendo 
x1 = φ(x0) = x2 = φ(x1) =
x3 = φ(x2) = 
x4 = φ(x3) =
x5 = φ(x4) =
1)( 3 --= xxxf
3102 -<e
2
11
)(
xx
x += 10 =x
2
1
1
1
1
2
=+ 75,0
2
1
2
1
2
=+
...1111,3
75,0
1
75,0
1
2
=+
...4247,0
1111,3
1
1111,3
1
2
=+
...8973,7
4247,0
1
4247,0
1
2
=+
Método do Ponto Fixo – Exercício Resolvido
1) Tente encontrar a raiz da função 
utilizando a função de iteração e , sendo 
x6 = φ(x5) =
x7 = φ(x6) = 
Conclui-se que {xk} tende a divergir da raiz da equação f(x).
1)( 3 --= xxxf
3102 -<e
2
11
)(
xx
x += 10 =x
...1427,0
8973,7
1
8973,7
1
2
=+
...1461,56
1427,0
1
1427,0
1
2
=+
Método do Ponto Fixo – Exercício Resolvido
1) Tente encontrar a raiz da função 
utilizando a função de iteração e , sendo
Justificando a resposta: 
Como a condição deve ser satisfeita, onde I 
é o intervalo centrado em x , é fácil perceber que isso 
não acontece, uma vez que 
1)( 3 --= xxxf
3102 -<e
2
11
)(
xx
x += 10 =x
0,
11
)(
2
Î+= xx
xx
x 0,
21
)('
32
Î-
-
= xx
xx
x
1
2
1
2
1
21
1)('
33332
<
--
<-
-
<-
-
<
x
x
xx
x
xx
x
Ixx Î<1)('
03)1(')(' 00 >==Î  xeIx
Método do Ponto Fixo – Exercício
1) Tente encontrar a raiz da função 
utilizando a função de iteração e , 
sendo .Justifique sua resposta. 
1)( 3 --= xxxf
3102 -<e
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
13
1
)(
2
3
-
--
-=
x
xx
xx 10 =x
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Zeros Reais de Funções
Reais – Método de Newton Raphson
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Método de Newton-Raphson
 Método do Ponto Fixo (MPF)
 Uma das condições de convergência é que |φ’(x)|  M < 
1,  x Î I , onde I é um intervalo centrado na raiz 
 A convergência será tanto mais rápida quanto menor for 
|φ’(x)| 
 O método de Newton busca garantir e acelerar a 
convergência do MPF
 Escolha de φ(x), tal que φ’(x) = 0, como função de 
iteração
Método de Newton-Raphson
 Dada a equação f(x) = 0 e partindo da forma geral para 
φ(x)
φ(x) = x + A(x)f(x)
 Busca-se obter a função A(x) tal que φ’(x) = 0
φ(x) = x + A(x)f(x) Þ
φ’(x) = 1 + A’(x)f(x) + A(x)f’(x) Þ
φ’(x) = 1 + A’(x)f(x) + A(x)f’(x) Þ
φ’(x) = 1 + A(x)f’(x) 
Método de Newton-Raphson
 Assim
 donde se toma
 Como φ(x) = x + A(x)f(x)
 Logo:
)(
)('
1
)( xf
xf
xx 




 -
+=






-=
)('
)(
)(
xf
xf
xx
0)(' =x 0)(')(1 =+ xx fA
)('
1
)(
x
x
f
A
-
=
)('
1
)(
xf
xA
-
=
Método de Newton-Raphson
 Então, dada f(x), a função de iteração φ(x) = x -
f(x)/f’(x) será tal que φ’(x) = 0, posto que 
e, como f(x) = 0, φ’(x) = 0 ( desde que f’(x)  0 ) 





 -
-=
2
2
)]('[
)('')()]('[
1)('
xf
xfxfxf
x
2
2
2
2
)]('[
)('')()]('[
)]('[
)]('[
)('
xf
xfxfxf
xf
xf
x
-
-=
2)]('[
)('')(
)('
xf
xfxf
x =
Método de Newton-Raphson
 Deste modo, escolhido x0, a sequência {xk} será 
determinada por 
onde k = 0, 1, 2, ... 
)('
)(
1
k
k
kk
xf
xf
xx -=+
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Método de Newton-Raphson - Convergência
 Teorema 3:
Sendo f(x), f’(x) e f”(x) contínuas em um intervalo I que
contém uma raiz x = x de f(x) = 0 e supondo f’(x)  0,
existirá um intervalo Ī  I contendo a raiz x, tal que se
x0 Î Ī, a seqüência {xk} gerada pela fórmula recursiva
convergirá para a raiz.
)('
)(
1
k
k
kk
xf
xf
xx -=+
Método de Newton-Raphson –
Graficamente
 Dado o ponto ( xk , f(xk) )
 Traçamos a reta Lk(x) tangente à curva neste ponto:
Lk(x) = f(xk) + f’(xk)(x-xk)
 Determinanos o zero de Lk(x), que é um modelo linear 
que aproxima f(x) em uma vizinhança xk
 Faz-se xk +1 = x
0)( =xLk )('
)(
k
k
k
xf
xf
xx -=
Método de Newton-Raphson –
Graficamente
 Análise Gráfica
Repete-se o processo até que o valor de x
atenda às condições de parada.
x
xxxx
f(x)
x1xx00
x2
x3
1a iteração
2a iteração
3a iteração
4a iteração
Método de Newton-Raphson - Algoritmo
 Teste de parada:
 |f(xk)|  ε
 |xk – xk-1|  ε
 Algoritmo:
x0 := x;
k := 0;
while |f(xk)| > ε and |xk – xk-1| > ε
xk+1 := xk – f(xk)/f’(xk)
k := k +1;
end while
Método de Newton-Raphson
 Exemplo: Dado f(x) = x2 + x – 6 , x2 = 2 e x0 = 1,5
Fórmula recursiva:
12
6
)('
)(
)(
2
+
-+
-=-=
x
xx
x
xf
xf
xx
 
 
0625,2
15,12
65,15,1
5,1)(
2
01 =
+
-+
-== xx 
 
 
000762195,2
10625,22
60625,20625,2
0625,2)(
2
12 =
+
-+
-== xx 
000000116,2)( 23 == xx 
Método de Newton-Raphson
 Exemplo: Dado f(x) = x2 + x – 6 , x2 = 2 e x0 = 1,51,5
 Comentários:
 A parada poderá ocorrer na 3a iteração (x = 2,000000116), 
caso a precisão do cálculo com 6 casas decimais seja 
satisfatória para o contexto do trabalho
 Observe que, no Método do Ponto Fixo, com
o valor x = 2,000476818 foi encontrado 
somente na 5a iteração
xx -= 6)(
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18
Método de Newton-Raphson
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
x1 Î I1 = (-1, 0), x2 Î I2 = (1, 2)
Seja: 
x0 = 1
)('
)(
1
k
k
kk
xf
xf
xx -=+
13
1
)(
2
3
-
--
-=
x
xx
xx
Método de Newton-Raphson
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
x1 Î I1 = (-1, 0), x2 Î I2 = (1, 2)
 Cálculo da 1ª aproximação
φ(x0) = 1 – [ (1)³ – 1 – 1 ] = 1,5 = x1
[ 3x(1)² – 1 ]
 Teste de Parada
|f(x1)| = | (1,5)³ – 1,5 – 1 | = 0,875 > e
|x1-x0| =| 1,5 - 1 | = 0,5 > e
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
x1 Î I1 = (-1, 0), x2 Î I2 = (1, 2)
 Cálculo da 2ª aproximação
φ(x1) = 1,5 – [ (1,5)³ – 1,5 – 1 ] = 1,3478261 = x2
[ 3x(1,5)² – 1 ]
 Teste de Parada
|f(x2)| = | 0,100682 | = 0,100682 > e
|x2-x1| =| 1,3478261 - 1,5 | = 0,1521739 > e
Método de Newton-Raphson
 Cálculo da 3ª aproximação
φ(x2) = 1,3478261 - [ (1,3478261)³ - 1,3478261 - 1 ]
[ 3x(1,3478261)² - 1 ]
φ(x2) = 1,3252004 = x3
 Teste de Parada
|f(x3)| =| 0,0020584 | = 0,0020584 > e
|x3-x2| =| 1,3252004 – 1,3478261 | = 0,0226257 > e
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
x1 Î I1 = (-1, 0), x2 Î I2 = (1, 2)
Método de Newton-Raphson
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
x1 Î I1 = (-1, 0), x2 Î I2 = (1, 2)
A sequência {xk} gerada pelo método de Newton 
será:
Método de Newton-Raphson
Iteração x |xk-xk-1| F(x)
1 1,5 0,5 0,875
2 1,3478261 0,1521739 0,1006822
3 1,3252004 0,0226257 0,0020584
4 1,3247182 0,0004822 1,0352x10-6
e = 0,002
 Comprovando o impacto de uma boa escolha de x0
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 – 9x + 3, que 
possui três zeros: x1 Î I1 = (-4, -3), x2 Î I2 = (0, 1) e 
x3 Î I3 = (2, 3). Seja x0 = 1,5:
Método de Newton-Raphson
18/02/2019
19
 Comprovando o impacto de uma boa escolha de x0
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 – 9x + 3, que 
possui três zeros: x1 Î I1 = (-4, -3), x2 Î I2 = (0, 1) e 
x3 Î I3 = (2, 3). Seja x0 = 1,5:
 No início há um divergência da região onde estão as 
raízes, mas depois de x7 os valores se aproximam cada 
vez mais de x3
 Causa:
 x0 (1,5) é próximo de , que é raiz de f´(x)
 Da mesma forma, x1 (-1,6666667) está próximo
de , outra raiz de f’(x)
Método de Newton-Raphson
3
3-
 Vantagens:
 Rapidez processo de convergência
 Desempenho elevado
 Desvantagens:
 Necessidade da obtenção de f’(x) , o que pode ser 
impossível em determinados casos
 O cálculo do valor numérico de f’(x) a cada iteração
Método de Newton-Raphson
Exercício
 Encontre uma raiz da função f(x) = x3-2x utilizando o 
método Newton-Raphson.
 Considere o gráfico a seguir:
Zeros Reais de Funções
Reais – Método da Secante
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Método da Secante
 Método de Newton-Raphson
 Um grande inconveniente é a necessidade da obtenção de 
f’(x) e o cálculo de seu valor numérico a cada iteração
 Forma de desvio do inconveniente
 Substituição da derivada f’(xk) pelo quociente das 
diferenças
1
1)()()('
-
-
-
-

kk
kk
k
xx
xfxf
xf
Método da Secante
 A função de iteração será:
1
1)()(
)(
)(
-
-
-
-
-=
kk
kk
k
k
xx
xfxf
xf
xx
 1
1)()(
)(
)( -
-
-
-
-= kk
kk
k
k xx
xfxf
xf
xx
)()(
)()(
)()(
)()(
)(
1
1
1
1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
=
kk
kkkk
kk
kkkk
xfxf
xfxxfx
xfxf
xfxxfx
x
)()(
)()(
)(
1
11
-
--
-
-
=
kk
kkkk
xfxf
xfxxfx
x
18/02/2019
20
Método da Secante - Geometricamente
 A partir de duas aproximações xk-1 e xk obtém-se o 
ponto xk+1 como sendo a abscissa do ponto de 
intersecção do eixo x e da reta que passa pelos pontos 
( xk-1 , f(xk-1) ) e ( xk , f(xk) ) (secante à curva da função) 
x
1a iteração
2a iteração
3a iteração
4a iteração
xx
f(x)
x1xx00 x2
x3 x4
x5
Repete-se o processo até
que o valor de x atenda às
condições de parada.
Método da Secante - Convergência
 Como o Método da Secante é uma aproximação do 
método de Newton, as condições de convergência são 
praticamente as mesmas, ou seja basta que o 
Teorema 3 seja satisfeito
 Todavia, o Método da Secante pode divergir para o 
seguinte caso )()( 1- kk xfxf
)()(
)()(
)(
1
11
-
--
-
-
=
kk
kkkk
xfxf
xfxxfx
x
Método da Secante - Algoritmo
 Testes de Parada
 |f(xk)|  ε
 |xk – xk-1|  ε
 Algoritmo
x0 := x;
x1 := x1;
k := 1;
x2 := (x0*f(x1) – x1*f(x0)) / (f(x1) - f(x0));
while |f(xk+1)| > ε and |xk+1 – xk| > ε
xk+1 := (xk-1*f(xk) - xk*f(xk-1)) / (f(xk) - f(xk-1));
k := k +1;
end