Slides Cálculo Numérico

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01_Introducao_v2_Folheto.pdf
06/08/2019
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Cálculo Numérico
Aula Inicial
Prof. Marconi de Arruda Pereira
marconi@ufsj.edu.br
Dados Gerais
 Professor: Marconi de Arruda Pereira
marconi@ufsj.edu.br
Sala 101 - Bloco 3
 Horário de atendimento: Terças das 13:15 às 16:15
Dados Gerais
 Objetivo
Introduzir o aluno na área do Cálculo Numérico e da 
Análise Numérica, tornando-o capaz de analisar e 
aplicar algoritmos numéricos em problemas reais, 
codificando-os em uma linguagem de alto nível a fim de 
resolver problemas de pequeno e médio porte em 
Ciência e Tecnologia.
Dados Gerais
 Ementa
Teoria de erros. Zeros de funções e zeros reais de 
polinômios. Solução de sistemas lineares: métodos 
diretos e iterativos. Ajuste de curvas. Interpolação. 
Integração numérica. Resolução numérica de equações 
diferenciais ordinárias. Exemplos de aplicações do 
Cálculo Numérico na Engenharia. Aulas práticas em 
laboratório.
Dados Gerais
 Conteúdo
1. Introdução 
2. Teoria de erros 
 Representação de números
 Erros absolutos e relativos
 Erros de arredondamento e truncamento
 Análise de erros
Dados Gerais
 Conteúdo
3. Zeros de Funções 
 Isolamento das raízes
 Critério de parada
 Métodos iterativos de cálculo de raízes (Bisseção, 
Posição Falsa, Ponto Fixo, Newton e Secante)
 Comparação entre os métodos 
4. Solução de sistemas lineares
 Métodos Diretos (Eliminação de Gauss e 
Decomposição LU)
 Métodos Iterativos (Gauss-Jacobi e Gauss-Siedel)
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Dados Gerais
 Conteúdo
5. Interpolação 
 Métodos de Interpolação (Linear , Quadrática , 
Lagrange, Newton, Gregory-Newton)
 Estudo do Erro
6. Ajuste de Curvas
 Método dos Quadrados Mínimos (Caso Linear e Não-
Linear)
Dados Gerais
 Conteúdo
7. Integração numérica 
 Integração simples (Regra dos Trapézios, Primeira 
Regra de Simpson, Segunda Regra de Simpson)
 Integração dupla
8. Resolução numérica de equações diferenciais ordinárias 
 Problemas de Valor Inicial
 Método de Euler
Dados Gerais
 Bibliografia Básica
1. RUGGIERO, Márcia A. G., LOPES, Vera L. R. Cálculo 
Numérico - Aspectos teóricos e computacionais. 2a Ed. 
Pearson, 1996; 
2. FRANCO, Neide Bertoldi. Cálculo Numérico. 1a Ed. 
Prentice Hall, 2006; 
3. CHAPRA, Steven C., CANALE, Raymond P. Métodos 
Numéricos para a Engenharia. 5ª Ed. MCGRAW-HILL 
BRASIL, 2008. 
Dados Gerais
 Bibliografia Complementar
1. CAMPOS, filho, Frederico F. Algoritmos Numéricos, 
2.ed., Rio de Janeiro: LTC, 2007;
2. BARROSO, Leônidas, BARROSO, Magali Maria de 
Araújo, CAMPOS FILHO, Frederico Ferreira. Cálculo 
Numérico com Aplicações. 2a Ed. Harbra, 1987; 
3. SPERANDIO, Décio, MENDES, João T., SILVA, Luiz H. 
M. Cálculo numérico - características matemáticas e 
computacionais dos métodos numéricos. 1a Ed. Prentice 
Hall. 2003.
O que é combinado...
 Chamada
 Serão realizadas em todas as aulas
 A presença e principalmente a participação do aluno é 
fundamental
 Exercícios práticos
 Acontecerão, idealmente, todas as semanas nas quais 
houver conteúdo expositivo
 Listas são verificadas
 Penalidade de 20% por atraso de até 7 dias (máximo 2 
semanas de atraso)
 Atividade Extra: Clube de leitura
 http://petdpcfc.wixsite.com/ufsj/grupo-de-leitura
O que é combinado...
 Exercícios
 Não copie, Não compre
 Compra  Nota zero
 Cópia  Origem e Cópia recebem a mesma nota, zero
 As normas acadêmicas prevêem reprovação e 
advertência
 Provas
 Uso de calculadora científica é permitido. HP, não.
 Estude agora para não precisar depois.
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Avaliações
 Exercícios Semanais (2,5 total)
 Resultado final em 04/12
 4 Provas (2,5 pontos)
 18/09
 23/10
 20/11
 04/12 -> Substitutiva (substitui prova ou exercícios)
 Segunda chamada (em acordo com os Procedimentos 
Acadêmicos)
 11/12
Matlab/Octave
 Poderosas ferramentas matemáticas que nos 
auxiliarão no aprendizado do Cálculo Numérico
 Laboratórios
 Trabalhos Práticos
 Disponibiliza funções numéricas
 Possibilita a programação de novas funções
Cálculo Numérico
Introdução
Prof. Marconi de Arruda Pereira
marconi@ufsj.edu.br
material produzido pelo prof. Wellington Passos
O que é Cálculo Numérico?
 O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de 
ferramentas ou métodos usados para se obter a 
solução de problemas matemáticos de forma 
aproximada, mas com um grau crescente de exatidão
 Esses métodos se aplicam principalmente a problemas 
que não apresentam uma solução exata, portanto 
precisam ser resolvidos numericamente
Por que utilizar?
 Um problema de Matemática pode ser resolvido 
analiticamente, mas esse método pode se tornar 
impraticável com o aumento do tamanho do problema
 Exemplo: solução de sistemas de equações lineares 
(soluções químicas, redes elétricas etc.)
Por que utilizar?
 O problema não tem solução analítica
 Exemplos:
a) não tem primitiva em forma simples;
b) Equações diferenciais parciais não lineares podem
ser resolvidas analiticamente só em casos particulares.
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Solucionar problemas técnicos através
de métodos numéricos, usando um 
modelo matemático
Função do Calculo Numérico na Engenharia Exemplo de aplicação
 Calcular tensões dos nós do circuito elétrico
 No nó 1, pela lei de Kirchhoff
Exemplo de aplicação
 O problema é resolvido a partir de um sistema linear de 
quatro equações e quatro variáveis V1, V2, V3 e V4.










































0
254
0
0
4
3
2
1
3201
61323
0143
1126
V
V
V
V
Resolução de problemas
No exemplo anterior
 Problema real: determinar tensões nos nós dos circuitos
 Levantamento de dados: valores das resistências e tensões 
nos pontos A e B
 Construir modelo matemático: montar equações e criar as 
matrizes a partir delas
 Escolher método numérico: Decomposição LU, 
Decomposição de Cholesky, Fatoração LDLT, Método de 
Jacobi, etc
 Implementar Método: criar e processar programa
 Analisar resultados e verificar se o modelo matemático ou o 
método numérico precisam ser alterados.
Influência dos erros nas soluções
Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis
(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot)
Limitação na representação numérica
(24 bits)
Erro de 0,34 s no cálculo do tempo
de lançamento
Resultado: 28 mortos e aprox. 100 feridos
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Influência dos Erros nas Soluções
Exemplo 2: Explosão de foguetes
(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5)
Limitação na representação numérica
(64 bits/ 16 bits)
Erro de trajetória levou a explosão 36,7 s
após o lançamento
Prejuízo = US$ 500 milhões em equipamentos
Outros exemplos
 Desastres Causados por erros de cálculo numérico
http://www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/
02_Erros_Folheto.pdf
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Cálculo Numérico
Teoria dos Erros
Autor: Prof. Wellington Passos de Paula
Adptado por: Marconi de Arruda Pereira
Programa
1. Conceitos Básicos
a) Representação de números
b) Conversão de números
c) Aritmética de ponto flutuante
2. Erros
a) Erros absolutos e relativos
b) Erros de arredondamento e truncamento
c) Análise de erros
Cálculo Numérico
Teoria dos Erros – Conceitos Básicos
Autor: Prof. Wellington Passos de Paula
Adptado por: Marconi de Arruda Pereira
Representação de números
 Sistema Decimal (10)
 10 dígitos disponíveis [0,1,2, ... ,9]
 “Posição” indica potência positiva de 10
 5432 = 5x103 + 4x102 + 3x101 + 2x100
 Sistema Binário (2)
 2 “bits” disponíveis [0,1]
 “Posição” indica potência positiva de 2
 1011 na base 2 = 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20
 8+0+2+1 = 11 na base decimal
Representação de números
 Fórmula Geral
 Base 
: 
 Logo, a decomposição polinomial do número 
é dada por: 
 Exemplo: Dado , temos que:
,
k  j,..., 0
,)...( 0121 aaaaa jj - )1(0 - ka
0
0
1
1
2
2
1
1 ...  ´´´´´
-
- aaaaa
j
j
j
j
,)...( 0121 aaaaa jj -
0123 1091041081066849 ´´´´
10
Representação de números
 Representação Números Fracionários
 Base Decimal (10)
 “Posição” da parte inteira indica potência positiva de 10
 Potência negativa de 10 para parte fracionária
 54,32 = 5x101 + 4x100 + 3x10-1 + 2x10-2
 Base Binária (2)
 “Posição” da parte inteira indica potência positiva de 2
 Potência negativa de 2 para parte fracionária
 10,11 na base 2 = 1x21 + 0x20 + 1x2-1 + 1x2-2
 2+0+1/2+1/4 = 2,75 na base decimal
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Outros sistemas de numeração
 Maior interesse em decimal (10)
 Nossa anatomia e cultura 
 Binário (2) – uso nos computadores
 Outros Sistemas
 Octal (8), {0,1,2, ... , 7}
 Hexadecimal (16), {0,1,2, ... , 9, A,B,C,D,E,F}
 Dodecimal (relógio, calendário)
Alguns sistemas numéricos
Conversão de números - inteiros
 Binário para decimal
 Já visto
 (1011)2 = 1x2
3 + 0x22 + 1x21 + 1x20 = (11)10
 Inteiro decimal para binário
 Divisão inteira (do quociente) sucessiva por 2, até que 
este seja = 0 ou 1
 Binário = composição do último quociente (Bit Mais 
Significativo – BMS) com os restos das divisões (primeiro 
resto é bit menos significativo – bms)
Em inglês, Most Significant Bit – MSB e least significat bit – lsb, 
respectivamente.
Conversão de números - inteiros
 Exemplo: Converter 30 decimal para binário
Binário = BMS ... bms = 1 1 1 1 0
1 1 1 1 0 = 1x24 + 1x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 = 
16 + 8 + 4 + 2 + 0 = 30 decimal
Conversão de inteiros entre sistemas
 Procedimentos Básicos
 Decimal  Binário - Divisões sucessivas pela base do 
sistema para o qual se deseja converter o número
 Binário  Decimal - Decomposição polinomial do número a 
ser convertido
Conversão de inteiros entre sistemas
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Conversão de fração
 Base 2 para Base 10
 Já visto (Decomposição Polinomial)
 (10,101)2 = 1x2
1 + 0x20 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 = 
= 2 + 0 + 1/2 + 0 + 1/8 = (2,625)10
Conversão de fração
 Base 10 para Base 2
 Deve-se multiplicar parte fracionária por 2 até que parte 
fracionária do resultado seja 0 (zero)
X,XXX
 Bits da parte fracionária do número binário são obtidos das 
partes inteiras geradas após as multiplicações do número 
fracionário na base 10
X,XXX
 Bit imediatamente à direita da vírgula = Parte inteira da 
primeira multiplicação
 Não há inversão na ordem dos bits encontrados
Conversão de fração
 Exemplo: converter 0,625 decimal para binário
0,625 x 2 = 1,25, logo a primeira casa fracionária do 
número binário é 1; 
nova fração (resto) é 0,25 (agregamos o bit 1 ao 
número na base 2)
0,25 x 2 = 0,5 segunda casa do número binário é 0; 
nova fração (resto) é 0,5 (pois já agregamos o bit 0 ao 
numero na base 2)
0,5 x 2 = 1,0 terceira casa é 1; 
nova fração (resto) é 0,0 (pois já agregamos o bit 1 ao 
numero na base 2)
Resultado: 0,62510 = 0,1012
Conversão partes inteira e fracionária 
juntas
 Para converter um número com parte inteira e parte 
fracionária, faça a conversão de cada parte 
separadamente
Conversão partes inteira e fracionária 
juntas
 (8,375)10 = ( ? )2
Exercícios
 Transforme em binário:
 5,8
 Resposta: 5,8 = 101,11001100... , uma dízima.
 11,6 
 Resposta: 11,6 = 1011,10011001100...
 a vírgula foi deslocada uma casa para a direita, 
pois 11,6 = 2 x 5,8 
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Aritmética de ponto flutuante
 Representação pode variar (“flutuar”) a posição da 
vírgula, ajustando potência da base.
 54,32 = 54,32 x 100 = 5,432 x 101 = 0,5432 x 102 = 5432,0 
x 10-2
 Forma normalizada utiliza um único dígito antes da 
vírgula ( 0 ), e garante que o primeiro dígito depois da 
vírgula seja diferente de 0 
 Exemplo: 0,5432 x 102
Aritmética de ponto flutuante
 No sistema binário:
 11010 = 11,010 x 23 = 0,11010 x 25 = 0,0011010 x 27
 No caso dos números serem armazenados em um 
computador, os expoentes serão também gravados na base 
dois
 11,010 x (2)11 = 0,11010 x (2)101 = 0,0011010 x (2)111
 Na representação normalizada, há apenas um dígito 
antes da vírgula ( 0 )
 Exemplo: 0,11010 x (2)101
Aritmética de ponto flutuante
 Algumas definições
 No número 0,11010 x (2)101 , tomado como referência:
 0,11010 = significando (ou “mantissa”)
 101 = expoente
 Observações
 A base binária não precisa ser explicitada (o computador usa 
sempre a mesma) 
 O “0” antes da vírgula, na representação normalizada – se 
esta for adotada, também pode ficar implícito, economizando 
um bit (“bit escondido”).
Representação aritmética de ponto 
flutuante no computador
onde:
é a base em que o computador opera;
é o número de dígitos na mantissa
é o expoente (inteiro com sinal)
e
tddd ´ )...(. 21

t
;01 d,,...,1),1(0 tjd j - 
e
Representação aritmética de ponto 
flutuante no computador
 O número de bits disponíveis para representar os 
números no computador não é infinito
 O padrão IEEE 754 para ponto (vírgula) flutuante é a 
representação mais comum para números reais em 
computadores de hoje, incluindo PC's compatíveis com 
Intel, Macintosh, e a maioria das plataformas Unix/Linux.
 O padrão (ou norma) IEEE 754 define dois formatos 
básicos para os números em ponto flutuante:
 O formato ou precisão simples, com 32 bits; e,
 O duplo com 64 bits
 Sinal: 0 = + e 1 = -
 Combinações: Sinal + Expoente + Mantissa
Padrão IEEE 754 para floats
Sinal Expoente(+/-) Mantissa
Simples (32bits) 1 [bit31] 8 [bits30-23] 23 [bits22-00]
Dupla (64 bits) 1 [bit63] 11 [bits62-52] 52 [bits51-00]
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Limitações na representação de floats
 A quantidade finita de bits na representação pode 
implicar nos seguintes erros:
 Truncamento ou Arredondamento
 Overflow
 Underflow
Limitações na representação de floats
 Exemplo: Máquina no seguinte sistema:
Logo o formato dos números nesse sistema:
Menor valor representado em módulo:
Maior valor representado em módulo: 
 .5,5;3;10 - et
 5,5,0,90,10.0 1321 -´ eddddd j
e
65 1010100.0 -- ´m
9990010999.0 5 ´M
Limitações na representação de floats
 Situações possíveis:
a) .
 Número contém 5 dígitos na mantissa
 Possíveis Soluções:
 Truncamento:
 Arredondamento:
 Assunto do próximo tópico 
31023589.089.235 ´x
310235.0 ´
310236.0 ´
Limitações na representação de floats
 Situações possíveis:
b) .
 Expoente não pode ser representado na máquina pois é 
menor que o mínimo (-5)
 Erro de underflow
c) .
 Expoente não pode ser representado na máquina pois é 
maior que o máximo (5)
 Erro de overflow
710345.0 -´x
910875.0 ´x
Limitações na representação de floats
 Considere ]4,4[;3;10 - et
x arredondamento truncamento
1.25
10.053
-253.15
2.71828
0.000002 Underflow Expoente<-4
817235.89 Overflow Expoente>+4
110125.0 ´ 110125.0 ´
210100.0 ´210101.0 ´
310253.0 ´- 310253.0 ´-
110272.0 ´ 110271.0 ´
Exercícios
 Considere uma máquina com sistema de representação 
de números definido por: base 10, precisão de 4 dígitos 
na mantissa e expoente no intervalo: [-6; 6]. Pede-se:
a) Qual o menor e o maior número em módulo 
representado nesta máquina?
Menor: 0.1000x10-6 = 10-7, Maior: 0.9999x106 = 999900
b) Como será representado o número 189,27 nesta 
máquina se for usado o arredondamento? E se for usado o 
truncamento?
Trunc.: 0.1892x103, Arred.: 0.1893x103
c) Se a = 2578 e b = 0,6 qual o resultado de a + b se for 
usado o arredondamento? E se for usado o truncamento?
Trunc.: 0.2578x104, Arred.: 0.2579x104
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Cálculo Numérico
Teoria dos Erros – Erros
Autor: Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por: Marconi de Arruda Pereira
Erros - Tipos
 Precisão
 Absoluto
 Relativo
 Representação
 Arredondamento
 Truncamento
Erro Absoluto
 Diferença entre o valor exato de um número e o seu
valor aproximado (em módulo)
|x|xEAx -
 EAx só poderá ser determinado se x for conhecido 
com exatidão
 Na prática, costuma-se trabalhar com um limitante 
superior para o erro, ao invés do próprio erro ( |E | 
< ε, sendo ε é o limitante)
Ex: Para   (3,14; 3,15)
 = 3,1415926535897932384626433832795028841971693…
EAπ = π- π < 0,01
Erro Absoluto - Considerações
Erro Absoluto - Considerações
Ex.: Sejam a = 3876,373 e e = 1,373
Considerando-se a parte inteira de a como ā o erro 
absoluto será:
e a parte inteira de e, ē, o erro absoluto será:
0,373aaEAa -
0,373eeEAe -
Erro Absoluto - Considerações
 Obviamente, o resultado do erro absoluto é o mesmo 
nos dois casos
 Podemos então dizer que a e e estão representados 
com a mesma precisão? 
 Não, pois o peso da aproximação em e é maior do que 
em a
 Erro absoluto não é suficiente para descrever a precisão 
de um cálculo
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Erro Relativo
 Razão entre o erro absoluto e o valor aproximado do 
número considerado (em módulo)
|x|
EA
|x|
|x|x
ER xx 
-

 O erro relativo pode ser considerada como uma 
estimativa da precisão do número:
 ERx x 100 = Erro Percentual
 O valor exato da precisão = |Erro absoluto|/|valor exato|
59 -´ 100,000096
3876
0,373
ERa
140 -´ 10,373
1
0,373
ERe
Erro Relativo - Considerações
Ex. : Cálculo do erro relativo na representação dos
números ā = 2112,9 e ē = 5,3, sendo |EA| < 0,1
Conclusão: a é representado com maior precisão do que e
Erro Relativo - Considerações
5107,4
9,2112
1,0 -´
-

a
aa
ERa
02,0
3,5
1,0

-

e
ee
ERe
Erros de Arredondamento
 Ex. Cálculo de utilizando uma calculadora digital:
Valor apresentado: 1,4142136
Valor real: 1,41421356...
 Não há forma de representação digital (por máquinas) 
de números irracionais com uma quantidade finita de 
algarismos.
 A calculadora apresenta uma aproximação do número.
 Erro de Arredondamento.
2
Erros de Truncamento
 É o descarte dos dígitos finais de uma representação 
exata por limitações de representação em vírgula 
flutuante:
Ex.: Representação truncada de em vírgula
flutuante com 7 dígitos
Valor apresentado: 1,4142135
Valor real: 1,41421356...
2
Representação aritmética de ponto 
flutuante no computador – Relembrando...
onde:
é a base em que o computador opera;
é o número de dígitos na mantissa
é o expoente (inteiro com sinal)
e
tddd ´ )...(. 21

t
;01 d,,...,1),1(0 tjd j - 
e
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 Para t = 4, e = 3 e x = 234,57:
x = 0,2345 x 103 + 0,7 x 10-1
fx = 0,2345
gx = 0,7
 Erros de Truncamento e Arredondamento em um 
sistema de aritmética de ponto flutuante:
 Em um sistema que opera em ponto flutuante de t dígitos 
na base 10, e seja x:
x = fx x 10
e + gx x 10
e-t (0,1 fx  1 e 0,1 gx 1)
Erros de Arredondamento e Truncamento
 Para t = 5, e = 4 e x = 1234,568
x = 0,12345 x 104 + 0,68 x 10-1
fx = 0,12345
gx = 0,68
Erros - Truncamento
 No truncamento, gx x 10
e-t é desprezado e 
e
, visto que |gx| < 1
pois 0,1 é o menor valor possível para fx
1t
e
te
e
te
e
x
te
xx
x 10
1010
10
100,1
10
10f
10g
x
EA
ER -
-
---

´´

´

´
´

10,1
e
x 10fx ´
tete
xx 1010gEA
-- ´
te
x
e
x 10g10fx
-´´
e
x
te
x
e
xx f10gfxxEA 1010 ´-´´-
-
 No arredondamento simétrico (forma mais utilizada):
, se (gx é desprezado)
, se (soma 1 ao último
dígito de fx)
Erros – Arredondamento





´
´

-tee
x
e
x
1010f
10f
x
2
1
g x 
2
1
g x 
Erros - Arredondamento
Se , então:
, visto que |gx| < 1/2
1t
e
te
e
te
e
x
te
xx
x 10
2
1
10
10
100,1
100,5
10f
10g
x
EA
ER -
-
---
´
´´
´

´
´

´
´

1100,1
2/1
tete
xx 10
2
1
10gEA -- ´´
2
1
g x 
e
x
te
x
e
xx f10gfxxEA 1010 ´-´´-
-
Erros – Arredondamento
Se , então:
e
e
x
te
tee
x
te
x
x
10f
101/2
1010f
101/2
x
EA
ER
´
´

´
´

-
-
-
  tetex
tete
xx 10
2
1
101g1010gEA ---- ´´--´
2
1
g x 
   teextexexx 1010f10g10fxxEA -- ´-´´-
 Erros de Truncamento e Arredondamento em um 
sistema de aritmética de ponto flutuante:
 Sistema operando em ponto flutuante - Base 10
 Erro de Truncamento 
e
 Erro de Arredondamento
e
 Arredondamento gera erros menores, mas aumenta o 
tempo de execução uso do Truncamento 
te
x 10EA
-
1t
x 10ER
-
Arredondamento e Truncamento
18/02/2019
9
 Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, 
precisão dupla
 Ex.: Seja x = 0,937 x104 e y = 0,1272 x102. 
Calcular x+y.
 Alinhamento dos pontos decimais antes da soma ( Alinhar 
sempre para o maior expoente dentre os operadores )
x = 0,937 x 104 e y = 0,001272 x 104, 
x+y = 0,937 x 104 + 0,001272 x 104, 
x+y = 0,938272 x 104
 Resultado com 4 dígitos
Arredondamento: x+y = 0,9383 x 104
Truncamento: x+y = 0,9382 x 104
Análise de Erros
 Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, 
precisão dupla
 Ex. : Seja x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x102. Calcular a 
multiplicação x*y
x*y = (0,937 x 104)
x (0,1272 x 102)
x*y = (0,937 x 0,1272) x 106  x*y = 0,1191864 x 106
 Resultado com 4 dígitos
Arredondamento: x*y = 0,1192 x 106
Truncamento: x*y = 0,1191 x 106
Análise de Erros
Análise de Erros
 Considerações
 Ainda que as parcelas ou fatores de uma operação 
possam ser representados exatamente no sistema, não se 
pode esperar que o resultado armazenado seja exato.
 x e y tinham representação exata, mas os resultados x+y
e x.y tiveram representação aproximada.
 Durante as operações aritméticas de um método, os erros 
dos operandos produzem um erro no resultado da 
operação
 Propagação ao longo do processo
Análise de Erros – Propagação
 Ex. : Sejam as operações a seguir processadas em 
uma máquina com 4 dígitos significativos e, sendo a = 
0,3491 x 104 e b = 0,2345 x 100, qual o valor da 
expressão:
(b + a) − a = b + (a − a) ?
(b + a) − a = (0,2345 x100+0,3491x104) − 0,3491x104 = 
(0,00002345 x104+0,3491x104) − 0,3491x104 
(0,34912345 x104) − 0,3491x104 (arredodamento)
0,3491 x 104 − 0,3491 x104 = 0,0000
b + (a − a) = 0,2345x100 + (0,3491 x 104 −0,3491x104)=
0,2345 x 100 +(0,0000 x 104)= 0,2345 x 100
Análise de Erros – Propagação
 Os dois resultados são diferentes, quando não 
deveriam ser.
(b + a) − a = 0,0000 e b + (a − a) = 0,2345 x 100
 Causa
 Arredondamento da adição (b + a), a qual tem 8 dígitos 
 A máquina só armazena 4 dígitos (desprezando os 
menos significativos)
Análise de Erros – Propagação
 É preciso atenção na resolução numérica de um 
problema.
 É Importante o conhecimento dos efeitos da propagação 
de erros.
 Determinação do erro final de uma operação;
 Conhecimento da sensibilidade de um determinado 
problema ou método numérico.
18/02/2019
10
Análise de Erros – Propagação
 Análise dos Erros Absoluto e Relativo.
Existem expressões para o determinação dos erros 
nas operações aritméticas.
Erros podem ocorrer na representação das parcelas 
ou fatores, assim como no resultado da operação.
 Supondo um erro final arredondado, sendo x e y, tais que:
yx EAy yEAxx  e
Análise de Erros – Propagação
 Adição
 Erro Absoluto
 Erro Relativo





























yx
y
ER
yx
x
ER
yx
y
y
EA
yx
x
x
EA
ER yx
yx
yx
)EA(EA)yx(
)EAy() EAx(yx
yx
yx


yxyx EAEAEA 









 
yx
EA
yx
EA
yx
EAEA
yx
EA
ER yxyxyxyx
Análise de Erros – Propagação
 Subtração
 Erro Absoluto
 Erro Relativo
)EA(EA)yx(
)EAy()EAx(yx
yx
yx
--
--
yxyx EAEAEA --






-
-





-






-
-





-
-
yx
y
ER
yx
x
ER
yx
y
y
EA
yx
x
x
EA
ER yx
yx
yx

-
-
-

-
-

-

-
-
yx
EA
yx
EA
yx
EAEA
yx
EA
ER
yxyxyx
yx
Análise de Erros – Propagação
 Multiplicação
 Erro Absoluto
 Erro Relativo
muito pequeno
     yxxyyx EAEAEAyEAxyxEAyEAxx.y ´´´´´
    xyyx EAyEAxyxEAyEAxx.y ´´´´
yxx.y ERERER 
xyx.y EAyEAxEA 
y
EA
x
EA
xy
EAy
xy
EAx
xy
EAyEAx
xy
EA
ER
yxxyxyyx
x.y 


.
Análise de Erros – Propagação
 Divisão
 Erro Absoluto
 
 
 













´





y
EA
1
1
y
EAx
EAy
EAx
y
x
y
x
y
x
yyy EAy
y
y
y
EAyy
y
EA
1
1
y 
´

´













´
1111
Simplificação::
(desprezam-se os termos de potência >1)
 
 
 













´





y
EA
1
1
y
EAx
EAy
EAx
y
x
y
x
y
x
...
y
EA
y
EA
y
EA
1
y
EA
1
1
3
y
2
yy
y






-





-

 






-´











-´


y
EA
y
EA
y
x
y
EA
y
EAx
y
x yxyx 11
Análise de Erros – Propagação
 Divisão
 Erro Absoluto
 






-´











-´


y
EA
y
EA
y
x
y
EA
y
EAx
y
x yxyx 11
2
yx
y
EAx
y
EA
y
x
y
x
-
2y
EAEA
y
EA
y
EAx
y
x
y
x yxx
2
y ´
--
muito pequeno
2
yx
yx
y
EAxEAy
EA
-
/
18/02/2019
11
Análise de Erros – Propagação
 Divisão
 Erro Relativo





 -
´
x
y
y
EAxEAy
x
y
EA
y
x
EA
ER
2
yx
yx
yx
x/y /
/
yx
yx
x/y ERER
y
EA
x
EA
ER --
Análise de Erros - Propagação
 Erro Relativo da Adição  É a soma dos erros relativos 
de cada parcela, ponderados pela participação de cada 
parcela no total da soma.
 Erro Relativo da Subtração  É a diferença entre os 
erros relativos do minuendo e do subtraendo, 
ponderados pela participação de cada parcela no 
resultado da subtração.















yx
y
ER
yx
x
ERER yxyx






-
-





-
-
yx
y
ER
yx
x
ERER yxyx
Análise de Erros - Propagação
 Erro Relativo da Multiplicação  Soma dos erros 
relativos dos fatores.
 Erro Relativo da Divisão  Diferença entre os erros 
relativos do dividendo e do divisor
yxx.y ERERER 
yxx/y ERERER -
Análise de Erros - Propagação
 Nos erros anteriormente formulados, ainda 
consideramos o erro de arredondamento ou 
truncamento no resultado final
 A análise completa da propagação do erro se faz 
considerando os erros nas parcelas ou fatores e no 
resultado de cada operação efetuada
Ex.: Dada a soma x+y (x e y representados exatamente), 
faça o cálculo de ER(x+y)
Como x e y são exatamente representados, ERx+y se 
resume ao Erro Relativo de Arredondamento (RA) no 
resultado da soma.
EAx= EAy = 0,
 EAx+y = 0
1t
yx 10
2
1
RAER - ´
RA
yx
EA
ER
yx
yx 




Análise de Erros - Propagação
RAER yx 
Análise de Erros - Propagação
 Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, 
precisão dupla
 Ex.: Seja x = 0,937 x104, y = 0,1272 x102 e 
z = 0,231 x101, calcular x+y+z e ER(x+y+z), sabendo 
que x, y e z estão exatamente representados.
Solução:
Alinhando as vírgulas decimais ( Alinhar sempre 
para o maior expoente dentre os operadores ) :
x = 0,937000 x104
y = 0,001272 x104 e
z = 0,000231 x104
18/02/2019
12
Análise de Erros - Propagação
 Ex.: Seja x = 0,937 x104, y = 0,1272 x102 e 
z = 0,231 x 101, calcular x+y+z e ER(x+y+z), sabendo 
que x, y e z estão exatamente representados.
Solução:
A soma é feita por partes: (x+y)+z
x+y = 0,937000 x104 + 0,001272 x104
x+y = 0,938272 x104 (arredondamento)
x+y = 0,9383 x 104 = s
s+z = 0,9383 x 104 + 0,000231 x 104
s+z = 0,938531 x 104 (arredondamento)
x+y+z = 0,9385 x 104
Análise de Erros - Propagação
Solução:
s = x+y = então s = x + y = 0,9383 x 104
Cálculo do Erro Relativo:
EAx=EAy=0,
 ERx+y=0syxs RAyx
y
ER
yx
x
ERER 


















ss RAER 
Análise de Erros - Propagação
Solução:
EAz=0,
 ERz=0
RA
zyx
z
ER
zyx
yx
ERER zszyx 



















RA
zyx
yx
ERER szyx 





















1
zyx
yx
RA
RA
zs
z
ER
zs
s
ERER zszyx 




























 RA
zyx
yx
RAER szyx
Análise de Erros - Propagação
Solução:
3
zyx 0,9998.10ER
-
 
1t
zyx 10
2
1
1
zyx
yx
ER - ´











3
4
4
109385,0
109383,0 -
 ´






´
´
 10
2
1
1ER zyx





















 1
zyx
yx
RARA
zyx
yx
RAER szyx
Análise de Erros - Propagação
 Ex. : Supondo que u é representado em um 
computador por ū, que é obtido por arredondamento. 
Obter os limites superiores para os erros relativos de 
v = 2ū e w = ū + ū.
Análise de Erros - Propagação
 Ex. :
Solução:
1t
u
10ER -
2
uv 2
 RAERERER
uu 22
1
2
10
2
1
2 -´´ t
u
ER
RARARA 2
18/02/2019
13
 Ex. :
Solução:
Análise de Erros - Propagação
1t
vw 10ERER
-
uuw 
RA
uu
u
ER
uu
u
ERER
uuw



















11 1010
2
1
22 -- ´´´ ttw RAER
RA
uu
u
RAERw 








´ 2








´ RA
u
u
RAERw
2
2 RA´2
Exercício
Considere uma máquina cujo sistema de 
representação de números é definido por 
. Tal máquina utiliza o arredondamento para os 
dígitos na mantissa. Os números x = 8543 e y = 2477 
foram utilizados em algumas operações nesta máquina. 
Assim, faça o que se pede: 
a) Calcule os erros absolutos (EA) e erros relativos 
(ER) envolvidos no processo de utilização da máquina 
para cada número x e y. 
Resposta:
et 3,10 
]5,5[-e
x  0,854´104 EAx  0, 0003´10
4 ERx  3, 513´10
-4
y  0,248´104 EAy  0, 0007´10
4 ERy 1, 210´10
-3
Exercício
Considere uma máquina cujo sistema de 
representação de números é definido por 
. Tal máquina utiliza o arredondamento para os 
dígitos na mantissa. Os números x = 8543 e y = 2477 
foram utilizados em algumas operações nesta máquina. 
Assim, faça o que se pede: 
b) Após a realização das operações x+y e x*y, foi 
percebido que uma das duas operações resultava no erro 
relativo maior. Qual foi?
Resposta:
Erro da multiplicação é maior
et 3,10 
]5,5[-e
RAER yx ´
-

410445,5 RAER yx ´
-
´
410613,15
02_Erros_OBS-NumerosDiscretos.pdf
210 31
2
3
4
3
8
1
4
3
2
03_Raizes_Folheto.pdf
18/02/2019
1
Zeros Reais de Funções
Reais
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Programa
1. Introdução
2. Isolamento das raízes
3. Refinamento
a) Critério de parada
b) Métodos iterativos
c) Comparação entre os métodos
Zeros Reais de Funções
Reais – Introdução
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Zeros de funções reais - Objetivos
 Estudar métodos numéricos para a resolução de 
equações não lineares (determinar a(s) raiz(es) de uma 
função f(x), ou seja, encontrar o(s) valor(es) de x tal 
que f(x) = 0)
 Fundamentar a necessidade de uso de métodos 
numéricos para a resolução de equações não lineares
 Discutir o princípio básico que rege os métodos numéricos 
para a resolução de equações não lineares
 Apresentar e discutir uma série de métodos destinados à 
resolução de equações não lineares
Zeros de funções reais - Introdução
 Necessidade de resolução de equações do tipo f(x) = 0
+FV
-FV
+FH-FH
Em cada nó 
:
 FH = 0
 FV = 0
FEstruturas
(Lei de Kirchhoff)
R
E
i
v = g(i)
+
-
E - Ri – g(i) = 0
Circuitos
Zeros de funções reais - Introdução
 xÎ é um zero da função f(x) ou raiz da equação 
f(x) = 0 se f(x) = 0.
 Raízes podem ser números reais ou complexos.
 Trataremos somente de raízes reais de f(x).
 Abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo x
x2x2x1x1
f(x)
x
18/02/2019
2
Zeros de funções reais - Introdução
 Para uma equação de segundo grau na forma:
 Determinação das raízes em função de a, b e c:
 Polinômios de grau mais elevado e funções com maior 
grau de complexidade
 Impossibilidade de determinação exata dos zeros
 Uso de soluções aproximadas
02 =++ cbxax
a
acbbx
2
42 --=
Zeros de funções reais - Introdução
 Etapas para a determinação de raízes a partir de 
métodos numéricos
 FASE 1: Determinação de um intervalo (o menor possível) 
que contenha apenas uma raiz
 FASE 2: Melhoramento do valor da raiz aproximada 
(refinamento até que a raiz esteja dentro uma precisão ε
prefixada)
Zeros Reais de Funções
Reais – Isolamento de Raízes
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Isolamento de raízes
 Realiza-se uma análise teórica e gráfica da função f(x).
 A precisão das análises é relevante para o sucesso da 
fase posterior.
 Teorema 1:
Sendo f(x) contínua em um intervalo [a, b], se f(a)f(b) < 0 
então existe pelo menos um ponto x = x entre a e b que é 
zero de f(x).
Isolamento de raízes – Análise Gráfica
xx11 xx22
f(x)
xxx33
aa bb
xx bb
f(x)
x
aa
aa
xx11
f(x)
xxx22
bb
Isolamento de raízes – Tabelamento
 Exemplo: 
f(x) é contínua para
I1 = [-5, -3]
I2 = [0, 1]
I3 = [2, 3]
Cada um dos intervalos acima contém pelo menos um 
zero de f(x). 
Î x
39)( 3 +-= xxxf
18/02/2019
3
Isolamento de raízes – Tabelamento
 Exemplo:
f(x) admite pelo menos um zero no intervalo [1,2] 
Mas esse zero é único? 
 Análise do sinal de f’(x)
f(x) admite um único zero em todo seu domínio 
de definição, localizado no intervalo [1,2] 
xexxf --= 5)(
0,05
2
1
)(' >>+= - xe
x
xf x
Isolamento de raízes
 A partir do Teorema 1, se f’(x) existir e preservar o sinal 
em (a,b), então esse intervalo
contém um único zero de 
f(x)
Isolamento de raízes
 Se f(a)f(b) > 0, então se pode ter diversas situações no 
intervalo [a, b].
Isolamento de raízes
 A análise gráfica é fundamental para se obter boas 
aproximações para a raiz.
 Suficiente utilizar um dos seguintes passos:
 Esboçar o gráfico de f(x).
 Localizar as abscissas dos pontos onde a curva intercepta o 
eixo x.
 Obtenção da equação equivalente g(x) = h(x) a partir da 
equação f(x) = 0.
 Construção dos gráficos de g(x) e h(x) no mesmo sistema 
cartesiano e localização dos pontos x nos quais g(x) e h(x)
se interceptam (f(x) = 0  g(x) = h(x)).
 Pode-se (deve-se) usar programas para traçar gráficos 
de funções dentro do intervalo de interesse.
Isolamento de raízes
 O esboço do gráfico de uma função requer um estudo 
detalhado de seu comportamento, no qual devem ser 
considerados os itens abaixo:
 Domínio da função
 Pontos de descontinuidade
 Intervalos de crescimento e decrescimento
 Pontos de máximo e mínimo
 Concavidade
 Pontos de inflexão, etc
Isolamento de raízes
 Exemplo:
Solução utilizando o método 1:
39)( 3 +-= xxxf
30)('
93)('
39)(
2
3
==
-=
+-=
xxf
xxf
xxxf
)3,4(1 --Îx
)1,0(2 Îx
)3,2(3 Îx
33
-72
-7,3923 3
-51
30
11-1
13,3923-  3
3-3
-25-4
f(x)x
x3x3
f(x)
x-4 1-3 -2 -1 2 3 4
x2x2x1x1
18/02/2019
4
Isolamento de raízes
 Exemplo:
Solução utilizando o método 2:
Dada:
Equação Equivalente:
039)( 3 =+-= xxxf
0393 =+- xx
3)( xxg =
39)( -= xxh
)3,4(1 --Îx
)1,0(2 Îx
)3,2(3Îx
x3x3
g(x)
x-4 1-3 -2 -1 2 3 4x2x2
x1x1
h(x)
y
Isolamento de raízes
 Exemplo:
Solução utilizando o método 2:
Dada:
Equação Equivalente:
05)( =-= - xexxf
xex -= 5
xxg =)(
xexh -= 5)(
)2,1(Îx
xx
g(x)
x1 2 3 4
h(x) y
5 6
Isolamento de raízes
 Exemplo:
Solução utilizando o método 2:
Dada:
Equação Equivalente:
01)log()( =-= xxxf
x
x
1
)log( =
)log()( xxg =
x
xh
1
)( =
)3,2(Îx
xx
g(x)
x1 2 3 4
h(x)
y
5 6
Zeros Reais de Funções
Reais – Refinamento de Raízes
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Refinamento de raízes
 Aplicação de métodos numéricos destinados ao 
refinamento de raízes:
I. Método da Bisseção
II. Método da Posição Falsa
III. Método do Ponto Fixo
IV. Método de Newton-Raphson
V. Método da Secante
 Diferenciação dos métodos  Modo de refinamento.
 Método Iterativo  Caracterizado por uma série de 
instruções executáveis seqüencialmente, algumas das 
quais repetidas em ciclos (iterações).
Refinamento de raízes
Sequência de passos:
18/02/2019
5
Critérios de Parada
 Teste: xk suficientemente próximo da raiz exata?
 Como verificar tal questionamento?
 Interpretações para raiz aproximada
 x é raiz aproximada com precisão e se:
ou
 Como proceder se não se conhece x ?
ex <-x e<)(xf
Critérios de Parada
 Reduz-se o intervalo que contém a raiz a cada iteração.
 Obtém um intervalo [a,b] tal que:
 . então 
 Logo pode ser tomado como 
 
ï
þ
ï
ý
ü
<-
Î
e
x
ab
e
ba,
  ex <-Î xbax ,,
 bax ,Î x
Critérios de Parada
 Nem sempre é possível satisfazer ambos os critérios
Critérios de Parada
 Métodos numéricos devem satisfazer a pelo menos um dos 
critérios
 Quando da utilização de programas computacionais, 
devemos utilizar:
 Teste de Parada
 Estipular o número máximo de iterações
 Prevenção de loops por:
 Erro no programa
 Escolha de método inadequado
Zeros Reais de Funções
Reais – Método da Bisseção
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Método da Bisseção
 Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde 
existe uma raiz única, é possível determinar tal raiz 
subdividindo sucessivas vezes o intervalo que a 
contém pelo ponto médio de a e b.
 Em outras palavras, o objetivo deste método é reduzir 
a amplitude do intervalo que contém a raiz até atingir 
precisão requerida, ou , usando 
para isto a sucessiva divisão de [a,b] ao meio
e<- kk ab e<)(xf
18/02/2019
6
Método da Bisseção
 Definição do intervalo inicial
 Atribui-se [a,b] como intervalo inicial
 a0 = a
 b0 = b
 Condições de Aplicação
 f(a) x f(b) < 0
 Sinal da derivada constante
Método da Bisseção
 Definição de novos intervalos
 Calcula-se o ponto médio entre a e b, chamado de x0
 Determina-se qual o subintervalo – [a , x0] ou [x0 , b] –
contém a raiz
 Calcula-se o produto f(a) * f(x0)
 Verifica-se f(a) * f(x0) < 0
 Se verdadeiro
 Logo a = a e b = x0
 Caso contrario
 Logo a = x0 e b = b
 Repete-se o processo até que o valor de x atenda 
às condições de parada.
),( 0xaÎx
),( 0 bxÎx
Método da Bisseção - Resumo
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
>
>
<
+
=
0)(
0)(
0)(
2
0
0
0
00
0
xf
bf
af
ba
x
ï
î
ï
í
ì
=
=
Î
Þ
01
01
00 ),(
xb
aa
xax
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
<
>
<
+
=
0)(
0)(
0)(
2
1
1
1
11
1
xf
bf
af
ba
x
ï
î
ï
í
ì
=
=
Î
Þ
12
12
11 ),(
bb
xa
bxx
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
<
>
<
+
=
0)(
0)(
0)(
2
2
2
2
22
2
xf
bf
af
ba
x
ï
î
ï
í
ì
=
=
Î
Þ
23
23
22 ),(
bb
xa
bxx
 
Método da Bisseção - Graficamente
ba x0||
a1
x1 
||
a3
a2
||
b1
||
x2 
||
b3
x
y
b2=
Método da Bisseção
 Exemplo:
Utilizando o método de Equações Equivalentes para 
Isolamento de Raízes:
Equação Equivalente:
01)log()( =-= xxxf
x
x
1
)log( =
)log()( xxg =
x
xh
1
)( =
)3,2(Îx
h(x)
y
xx
g(x)
x1 2 3 4 5 6
Método da Bisseção
 Exemplo: 01)log()( =-= xxxf
x0 =
2+3
2
= 2.5
f (2) = -0.3979 < 0
f (3)= 0.4314 > 0
f (2.5) = -5.1510-3 < 0
ì
í
ï
î
ï
ü
ý
ï
þ
ï
Þ
x Î (2.5, 3)
a1 = x0 = 2.5
b1 = b0 = 3
ì
í
ï
î
ï
x1 =
2.5+3
2
= 2.75
f (2.5) < 0
f (3) > 0
f (2.75)= 0.2082 > 0
ì
í
ï
î
ï
ü
ý
ï
þ
ï
Þ
x Î (2.5, 2.75)
a2 = a1 = 2.5
b2 = x1 = 2.75
ì
í
ï
î
ï
 
18/02/2019
7
Método da Bisseção - Algoritmo
k = 0; 
a0 = a; b0 = b; 
xk = (ak + bk)/2;
while and
if f(ak)f(xk) < 0 then /*raiz em [ak , xk] */
ak+1 = ak; 
bk+1 = xk;
else /* raiz em [xk, bk] */
ak+1 = xk; 
bk+1 = bk ;
end if
xk+1 = (ak+1 + bk+1)/2;
k = k +1; 
end while
bk - ak >=e f (xk ) >= e
Método da Bisseção - Algoritmo
 Ao final da execução do algoritmo, teremos
um intervalo 
[ak, bk] que contém a raiz e uma aproximação para a 
raiz exata (tal que ou ) 
 A convergência do método é intuitiva
e<- kk ab
x
e<)(xf
Método da Bisseção – Estimativa do 
número de iterações
 Após n iterações, a raiz estará contida no intervalo:
 Deve-se obter o valor de k, tal que , ou seja: 
2
11 -- -=- kkkk
ab
ab
e<- kk ab
e<
-
k
ab
2
00
)2log(
)log()log( 00 e-->
ab
k
k
ab
2
00 -=
e
002
abk -> )log()log()2log( 00 e--> abk
 Exemplo: Considerando um intervalo [2,3] e ε=10-2, 
calcular o numero mínimo de iterações para que 
tenhamos (Critério de Parada).e<- kk ab
)2log(
)log()log( 00 e-->
ab
k
)2log(
)10log()23log( 2---
>k
64,6
3010,0
2
)2log(
)10log(2)1log(
=
+
>k
7=k
Método da Bisseção – Estimativa do 
número de iterações
Método da Bisseção
 Exemplo:
Utilizando o método de Equações Equivalentes para 
Isolamento de Raízes
Equação Equivalente
039)( 3 =+-= xxxf
0393 =-= xx
3)( xxg =
39)( -= xxh
)3,4(1 --Îx
)1,0(2 Îx
)3,2(3 Îx
Método da Bisseção
 Exemplo:
Cálculo da 1ª aproximação
 x0 = (a0+b0)/2 = (0+1)/2 = x0 = 0,5
 f(x0) = 0,5
3 – 9x0,5 + 3 = -1,375
Teste de Parada
 |b-a| = |1| > 10-3 e |f(x0)| = |-1,375| = 1,375 > 10
-3 
Escolha do Novo Intervalo
 f(a0) = 0
3 – 9x0 + 3 = 3, logo f(a0) > 0
 f(b0) = 1
3 – 9x1 + 3 = -5, logo f(b0) < 0
 f(x0) = 0,5
3 – 9x0,5 + 3 = -1,375, logo f(x0) < 0
 logo: a1=a0=0 e b1=x0=0,5
039)( 3 =+-= xxxf  1,0=I 3103 -=e
18/02/2019
8
Método da Bisseção
 Exemplo:
 Então em 9 iterações
 . foi atendida, enquanto , não foie<- kk abe<)(xf
039)( 3 =+-= xxxf  1,0=I 3103 -=e
337890625.0=x
Método da Bisseção
 Vantagens:
 Facilidade de implementação;
 Estabilidade e convergência para a solução procurada;
 Desempenho regular e previsível.
 Desvantagens
 Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo 
de f(x) em um elevado número de iterações);
 Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se 
encontra a raiz de interesse (nem sempre é possível);
 Complexidade da extensão do método para 
problemas multivariáveis.
258.24
10
3
7
00
=ÞÞ
þ
ý
ü
=
=-
-
kk
ab
e
Método da Bisseção – Exercício
a) Analise a função abaixo. Identifique um intervalo onde 
existe raiz real. Explique porque essa raiz é única. 
Execute as primeiras 7 iterações do Método da Bisseção 
para a função , tal que 
b) Caso a condição de 
erro não tenha sido 
satisfeita, calcule quantas 
iterações ainda seriam 
necessárias.
1)( 3 --= xxxf 3102 -<e
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
Método da Bisseção – Exercício
a) Execute as primeiras 5 iterações do Método da 
Bisseção para a função , tal que
Para a iteração 5 temos: 
e
1)( 3 --= xxxf
3102 -<e
Iter. a b f(a) f(b) x f(x )
1 1,000000 2,000000 -1,000000 5,000000 1,500000 0,875000
2 1,000000 1,500000 -1,000000 0,875000 1,250000 -0,296875
3 1,250000 1,500000 -0,296875 0,875000 1,375000 0,224609
4 1,250000 1,375000 -0,296875 0,224609 1,312500 -0,051514
5 1,312500 1,375000 -0,051514 0,224609 1,343750 0,082611
31020,06253125,1375,1 -=-=- ab
31020,082611)( -=xf
Método da Bisseção – Exercício
b) Caso a condição de erro não tenha sido satisfeita, 
calcule quantas iterações ainda seriam necessárias.
)2log(
)log()log( 00 e-->
ab
k
)2log(
)102log()12log( 3---
>k
)2log(
)10log32(log)1log( --
>k
9658,8
30103,0
2,69897
30103,0
)330103,0(0
)2log(
)10log32(log)1log(
==
--
=
--
>k
9=k
Zeros Reais de Funções
Reais – Método da Posição Falsa
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
18/02/2019
9
Método da Posição Falsa
 Método da Bisseção
 Calcula a média aritmética dos limites do intervalo que 
contém a raiz ([a, b])
 Método da Posição Falsa
 Calcula a média ponderada dos limites do intervalo que 
contém a raiz ([a, b])
Método da Posição Falsa
 Dada a função e, sendo o intervalo 
inicial , temos que 
 está mais próximo de zero que 
 Logo é provável que a raiz esteja mais próxima de x = 0 
que de x = 1 ( isso é sempre verdade quando f(x) é linear 
em )
 Assim, ao invés de tomar a média aritmética, o método 
da posição falsa toma a média ponderada, com pesos 
de e 
039)( 3 =+-= xxxf
   1,0, =ba )0(305)1( ff =<<-=
)0(f )1(f
 ba,
)(af )(bf
)()(
)()(
)()(
)()(
afbf
abfbaf
afbf
afbbfa
x
-
-
=
+
+
=
Método da Posição Falsa - Graficamente
 Graficamente x é a interseção entre o eixo x e a reta 
que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)): 
Método da Posição Falsa - Graficamente
x
a = a0
xx
f(x)
b = b0x0
x0 = a0f(b0) - b0f(a0)
f(b0) - f(a0) 
x
a = a1
xx
f(x)
b1 = x1
x1 = a1f(b1) – b1f(a1)
f(b1) - f(a1) 
x1
Método da Posição Falsa
 Definição do intervalo inicial
 Atribui-se [a,b] como intervalo inicial
 a0 = a
 b0 = b
 Condições de Aplicação
 f(a) x f(b) < 0
 Sinal da derivada constante
Método da Posição Falsa
 Definição dos Subintervalos
 Subdivide-se o intervalo pelo ponto de interseção da reta 
que liga f(a) a f(b) e o eixo das abscissas
Verifica-se se, através do teste de parada, se x0 é uma 
aproximação da raiz da equação (x)  pelo tamanho do 
intervalo [a, b] ou o valor f(x0)
 Se verdadeiro  x0 é a raiz procurada
 Caso contrário  define-se um novo intervalo
18/02/2019
10
Método da Posição Falsa
 Definição do novo intervalo
 Determina-se qual o subintervalo – [a , x0] ou [x0 , b] –
contém a raiz
 Calcula-se o produto f(a) * f(x0)
 Verifica-se f(a) * f(x0) < 0
 Se verdadeiro
 Logo a = a e b = x0
 Caso contrario
 Logo a = x0 e b = b
 Repete-se o processo até que o valor de x atenda 
às condições de parada.
),( 0xaÎx
),( 0 bxÎx
Método da Posição Falsa
 Exemplo:
logo, existe ao menos 1 raiz no 
intervalo dado
. Como têm o mesmo sinal,
]3,2[,1)log()( =-= Ixxxf
þ
ý
ü
>=
<-=
04314,0)(
03979,0)(
0
0
bf
af
)()(
)()(
0
afbf
abfbaf
x
-
-
=
)3979,0(4314,0
)3979,0(34314,02
--
--
=
8293,0
0565,2
= 4798,2=
00219,0)( 0 <-=xf )()( 00 xfeaf
þ
ý
ü
î
í
ì
>==
<==
0)(3
0)(4798,2
101
101
bfbb
afxa
 Exemplo:
Como , temos:
Método da Posição Falsa
]3,2[,1)log()( =-= Ixxxf
þ
ý
ü
î
í
ì
>=
<==
0)(3
0)(4798,2
11
101
bfb
afxa
)0219,0(4314,0
)0219,0(34314,04798,2
--
--
=
0,4533
1354,1
=
5049,21 =x
00011,0)( 1 <-=xf
þ
ý
ü
î
í
ì
>==
<==
0)(3
0)(5049,2
112
112
bfbb
afxa

Método da Posição Falsa - Algoritmo
k = 0; 
ak = a; bk = b; 
FAk = f(ak); GBk = f(bk);
xk = (akGBk - bkFAk) / (GBk - FAk); 
while and
if f(ak)f(xk) ≤ 0 then /* raiz em [ak , xk] */
bk = xk;
else /* raiz em [xk, bk] */
ak = xk;
end if
FAk = f(ak); GBk = f(bk);
xk = (akGBk - bkFAk) / (GBk - FAk); 
k = k +1;
end while
e>=- kk ab e>=)( kxf
Método da Posição Falsa
 Exemplo:
Cálculo da 1ª aproximação
Teste de Parada
 |b-a| = |1| > 10-3 e |f(x0)| = |-0,322265625| > 10
-3
Escolha do Novo Intervalo
 f(a0) = 0
3 – 9x0 + 3 = 3, logo f(a0) > 0
 f(b0) = 1
3 – 9x1 + 3 = -5, logo f(b0) < 0
 f(x0) = 0,375
3 – 9x0,375 + 3 = -0,32..., logo f(x0) < 0
 logo: a1=a0=0 e b1=x0=0,375
039)( 3 =+-= xxxf  1,0=I 3102 -=e
)()(
)()(
0
afbf
abfbaf
x
-
-
=
)3(5
)3(1)5(0
--
--
=
8
3
-
-
=
Método da Posição Falsa
 Exemplo:
Então em 3 iterações
. foi atendida, enquanto , não foi
No método da Bisseção, o valor foi 
encontrado depois de 9 iterações
e<- kk abe<)(xf
039)( 3 =+-= xxxf  1,0=I 3103 -=e
337890625.0=x
337635046.0=x
18/02/2019
11
Método da Posição Falsa
 Vantagens:
 Estabilidade e convergência para a solução procurada;
 Desempenho regular e previsível;
 Cálculos mais simples que o método de Newton.
 Desvantagens:
 Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo 
de f(x) em um elevado número de iterações);
 Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se 
encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é 
possível).
Método da Posição Falsa– Exercício
a) Analise a função abaixo. Identifique um intervalo onde 
existe raiz real. Execute as iterações do Método da 
Posição Falsa para a função , tal que 1)( 3 --= xxxf
3102 -<e
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
Recordando...
 O que é o Cálculo Numérico?
 O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de 
ferramentas ou métodos usados para se obter a solução 
de problemas matemáticos de forma aproximada, mas 
com um grau crescente de exatidão
 Qual o papel (ou função) do Cálculo Numérico na 
Engenharia?
 Solucionar problemas técnicos através de métodos 
numéricos, usando um modelo matemático
Recordando...
 Em que consiste obter a raiz de uma função?
 Quais foram os métodos estudados até o momento para 
obtenção de raiz?
 Os métodos são capazes de obter todas as raízes da 
função em estudo?
 Existe alguma condição para a aplicação dos métodos 
estudados até o momento?
Zeros Reais de Funções
Reais – Método do Ponto Fixo
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Método do Ponto Fixo
 Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde 
existe uma raiz única, f(x) = 0, é possível transformar tal 
equação em uma equação equivalente x = φ(x) e, a 
partir de uma aproximação inicial x0, gerar uma 
sequência {xk} de aproximações para x pela relação xk+1
= φ(xk), uma vez que φ(x) é tal que f(x) = 0 se e 
somente se φ(x) = x.
 Transformamos o problema de encontrar zero de f(x) no 
problema de encontrar um ponto fixo de φ(x)
 A função φ(x) é chamada de função de iteração 
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Método do Ponto Fixo
 Exemplo: Dada a função
São funções de iteração possíveis:
 A forma geral das funções de iteração φ(x) é dada por
com a condição de que 
A(x)  0 em x, ponto fixo de φ(x)
06)( 2 =-+= xxxf
1
6
)(
1
6
)(
6)(
6)(
4
3
2
2
1
+
=
-=
-=
-=
x
x
x
x
xx
xx




)()()( xfxAxx +=
Método do Ponto Fixo
 A partir da definição da forma de φ(x), , 
podemos então mostrar que
 Existem infinitas equações de iteração φ(x) para a 
equação f(x) = 0
xxx == )(0)(f
  0)( =Þ xx fquetalseja
)()()( xxxx fA+= )0)(()( ==Þ xxx fporque
  xx = )(se
xxxx =+Þ )()( fA 0)()( =Þ xx fA
)0)((0)( =Þ xx Aporquef
)()()( xfxAxx +=
Método do Ponto Fixo - Graficamente
 Uma raiz da equação φ(x)=x é a abscissa do ponto de 
interseção da reta y=x com a curva y=φ(x)
Método do Ponto Fixo - Graficamente
 Todavia, para algumas escolhas de φ(x) o Método do 
Ponto Fixo pode divergir do valor x procurado
Método do Ponto Fixo
 Exemplo: Dada a equação :
 As raízes são x1 = -3 e x2 = 2 (Não há necessidade de uso 
de métodos numéricos para o calculo)
 Objetivo: Mostrar a convergência ou divergência do processo 
iterativo
 Seja a raiz x2 = 2 e φ1 (x) = 6 - x
2,Tomando x0= 1,5 e φ (x) 
= φ1 (x) 
 Seja a raiz x2 = 2 e ,Tomando x0= 1,5 e φ (x) 
= φ2 (x) 
06)( 2 =-+= xxxf
xx -= 6)(2
Método do Ponto Fixo
 Exemplo: Dada a equação , com raiz 
x2 = 2 , φ1 (x) = 6 - x
2 e x0 = 1,5
x1 = φ(x0) = 6 – 1,5
2 = 3,75
x2 = φ(x1) = 6 – 3,75
2 = -8,0625
x3 = φ(x2) = 6 – (-8,0625)
2 = -59,003906
x4 = φ(x3) = 6 – (-59,003906)
2 = -3475,4609
Conclui-se que {xk} não convergirá para x2 = 2
06)( 2 =-+= xxxf
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Método do Ponto Fixo
06)( 2 =-+= xxxf Exemplo: Dada a equação , com raiz 
x2 = 2 , φ1 (x) = 6 - x
2 e x0 = 1,5
Análise Gráfica:
y
xx2x2
x1
φ(x)
xx00
y = x
x2
x
1
x
1
{xk}  x
Método do Ponto Fixo
 Exemplo: Dada a equação , com raiz 
x2 = 2 , e x0 = 1,5
x1 = φ(x0) =
x2 = φ(x1) =
x3 = φ(x2) =
x4 = φ(x3) =
x5 = φ(x4) =
Conclui-se que {xk} tende a convergir para x2 = 2
06)( 2 =-+= xxxf
xx -= 6)(2
121320343,25,16 =-
969436380,1121320343,26 =-
007626364,2969436380,16 =-
998092499,1007626364,26 =-
000476818,2998092499,16 =-
Método do Ponto Fixo
 Exemplo: Dada a equação , com raiz 
x2 = 2 , e x0 = 1,5
Análise Gráfica:
06)( 2 =-+= xxxf
xx -= 6)(2
{xk}  x2 quando k  inf
φ(x)
x
y
y = x
x
2
x
2
x1
x0
x2
Método do Ponto Fixo
Teorema 2:
Sendo x uma raiz de f(x) = 0, isolada em um intervalo I
centrado em x e φ(x) uma função de iteração para 
f(x) = 0. Se
1. φ(x) e φ’(x) são contínuas em I
2. |φ’(x)| < 1,  x Î I e
3. x0 Î I
então a sequencia {xk} gerada pelo processo iterativo xk+1
= φ(xk) convergirá para x . Além disso quanto menor for 
o valor de |φ’(x)|, mais rápido o Método do Ponto Fixo 
convergirá.
Método do Ponto Fixo
 Resgatando os exemplos anteriores, para a função 
temos que:
 φ1(x) ( )  geração de uma sequencia 
divergente de x2 = 2
 φ2(x) ( )  geração de uma sequencia 
convergente para x2 = 2
06)( 2 =-+= xxxf
2
1 6)( xx -=
xx -= 6)(2
Método do Ponto Fixo
 Avaliando a divergência de φ1(x)
 φ1(x) = 6 - x
2 e φ’1(x) = - 2x  contínuas em I
 |φ’1 (x)| < 1  |-2x| < 1  -½ < x < ½
 Não existe um intervalo I centrado em x2=2, tal que
|φ’(x)| < 1,  x Î I  φ1 (x) não satisfaz a
condição 2 do Teorema 2 com relação a x2=2.
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Método do Ponto Fixo
 Avaliando a convergência de φ2(x)
 e
 φ2 (x) é contínua em S = {x Î R | x  6}
 φ’2 (x) é contínua em S’ = {x Î R | x < 6}
 .
 É possível obter um intervalo I centrado em x2=2, tal que 
todas as condições do Teorema 2 sejam satisfeitas.
xx -= 6)(2 )62/1()('2 xx --=
75,5162/11)('2 <<-< xxx
Método do Ponto Fixo - Algoritmo
 Critérios de Parada
 |f(xk)|  e
 |xk – xk-1|  e
k = 0; 
Xk+1 = φ(xk);
while and
k = k +1;
xk = xk+1;
xk+1 = φ(xk);
end while
e>=-+ kk xx 1 e>=+ )( 1kxf
Método do Ponto Fixo – Verificando a 
Convergência
 Exemplo: Dada a função , cujas raízes 
são 2 e -3, vamos avaliar a convergência da função 
equivalente , dados x1 = -3 e x0= -2,5
06)( 2 =-+= xxxf
1
6
)(3 -=
x
x
0,,0
6
)('
2
Î<
-
= xx
x
x
0,,
66
)('
22
Î=
-
= xx
xx
x
6661
6
1)(' 2
2
>-<><< xouxx
x
x
0,,1
6
)( Î-= xx
x
x
Método do Ponto Fixo – Verificando a 
Convergência
 Exemplo: Dada a função , cujas raízes 
são 2 e -3, vamos avaliar a convergência da função 
equivalente , dados x1 = -3 e x0= -2,5
Como o objetivo é obter a raiz negativa, temos:
Podemos então definir o intervalo que o 
processo convergirá visto que o intervalo está 
centrado na raiz x = -3
)6;(:,,1)(' 111 --=Î< IseráIxxquetalI 
)4497897,26( -=-
)5.2,5.3( --=I
1II 
06)( 2 =-+= xxxf
1
6
)(3 -=
x
x
Método do Ponto Fixo – Verificando a 
Convergência
 Exemplo: Dada a função , cujas raízes 
são 2 e -3, vamos avaliar a convergência da função 
equivalente , dados x1 = -3 e x0= -2,5
Tomando x0= -2,5, temos: 
 Quando não se conhece a raiz, escolhe-se o intervalo I 
aproximadamente centrado em x
 Quanto mais preciso isolamento de x, maior exatidão na 
escolha de I
892617,2
170213,3
764706,2
5,2
4
3
2
1
-=
-=
-=
-=
x
x
x
x
06)( 2 =-+= xxxf
1
6
)(3 -=
x
x
Método do Ponto Fixo
 Exemplo: Dados:
, calcule a raiz de f(x) 
utilizando o MPF:
Assim, e
Importante lembrar: Iteramos de modo que , 
todavia avaliamos, a cada iteração se 
Desafio: Provar que satisfaz a condição 2 do 
Teorema 2 no intervalo (0, 1)
;
3
1
9
)(;039)(
3
3 +==+-=
x
xxxxf 
)1,0(;105;5,0 20 Î==
- xex
3376233,0=x 31012,0)( --=xf
)(1 kk xx =+
e<)( kxf
)(x
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Método do Ponto Fixo
 Vantagens
 Rapidez processo de convergência;
 Desempenho regular e previsível.
 Desvantagens
 Um inconveniente é a necessidade da obtenção de uma 
função de iteração φ(x);
 Difícil sua implementação.
Método do Ponto Fixo – Exercício Resolvido
1) Tente encontrar a raiz da função 
utilizando a função de iteração e , sendo
. Analise sua resposta. 
1)( 3 --= xxxf
3102 -<e
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
2
11
)(
xx
x += 10 =x
Método do Ponto Fixo – Exercício Resolvido
1) Tente encontrar a raiz da função 
utilizando a função de iteração e , sendo 
x1 = φ(x0) = x2 = φ(x1) =
x3 = φ(x2) = 
x4 = φ(x3) =
x5 = φ(x4) =
1)( 3 --= xxxf
3102 -<e
2
11
)(
xx
x += 10 =x
2
1
1
1
1
2
=+ 75,0
2
1
2
1
2
=+
...1111,3
75,0
1
75,0
1
2
=+
...4247,0
1111,3
1
1111,3
1
2
=+
...8973,7
4247,0
1
4247,0
1
2
=+
Método do Ponto Fixo – Exercício Resolvido
1) Tente encontrar a raiz da função 
utilizando a função de iteração e , sendo 
x6 = φ(x5) =
x7 = φ(x6) = 
Conclui-se que {xk} tende a divergir da raiz da equação f(x).
1)( 3 --= xxxf
3102 -<e
2
11
)(
xx
x += 10 =x
...1427,0
8973,7
1
8973,7
1
2
=+
...1461,56
1427,0
1
1427,0
1
2
=+
Método do Ponto Fixo – Exercício Resolvido
1) Tente encontrar a raiz da função 
utilizando a função de iteração e , sendo
Justificando a resposta: 
Como a condição deve ser satisfeita, onde I 
é o intervalo centrado em x , é fácil perceber que isso 
não acontece, uma vez que 
1)( 3 --= xxxf
3102 -<e
2
11
)(
xx
x += 10 =x
0,
11
)(
2
Î+= xx
xx
x 0,
21
)('
32
Î-
-
= xx
xx
x
1
2
1
2
1
21
1)('
33332
<
--
<-
-
<-
-
<
x
x
xx
x
xx
x
Ixx Î<1)('
03)1(')(' 00 >==Î  xeIx
Método do Ponto Fixo – Exercício
1) Tente encontrar a raiz da função 
utilizando a função de iteração e , 
sendo .Justifique sua resposta. 
1)( 3 --= xxxf
3102 -<e
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
13
1
)(
2
3
-
--
-=
x
xx
xx 10 =x
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Zeros Reais de Funções
Reais – Método de Newton Raphson
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Método de Newton-Raphson
 Método do Ponto Fixo (MPF)
 Uma das condições de convergência é que |φ’(x)|  M < 
1,  x Î I , onde I é um intervalo centrado na raiz 
 A convergência será tanto mais rápida quanto menor for 
|φ’(x)| 
 O método de Newton busca garantir e acelerar a 
convergência do MPF
 Escolha de φ(x), tal que φ’(x) = 0, como função de 
iteração
Método de Newton-Raphson
 Dada a equação f(x) = 0 e partindo da forma geral para 
φ(x)
φ(x) = x + A(x)f(x)
 Busca-se obter a função A(x) tal que φ’(x) = 0
φ(x) = x + A(x)f(x) Þ
φ’(x) = 1 + A’(x)f(x) + A(x)f’(x) Þ
φ’(x) = 1 + A’(x)f(x) + A(x)f’(x) Þ
φ’(x) = 1 + A(x)f’(x) 
Método de Newton-Raphson
 Assim
 donde se toma
 Como φ(x) = x + A(x)f(x)
 Logo:
)(
)('
1
)( xf
xf
xx 




 -
+=






-=
)('
)(
)(
xf
xf
xx
0)(' =x 0)(')(1 =+ xx fA
)('
1
)(
x
x
f
A
-
=
)('
1
)(
xf
xA
-
=
Método de Newton-Raphson
 Então, dada f(x), a função de iteração φ(x) = x -
f(x)/f’(x) será tal que φ’(x) = 0, posto que 
e, como f(x) = 0, φ’(x) = 0 ( desde que f’(x)  0 ) 





 -
-=
2
2
)]('[
)('')()]('[
1)('
xf
xfxfxf
x
2
2
2
2
)]('[
)('')()]('[
)]('[
)]('[
)('
xf
xfxfxf
xf
xf
x
-
-=
2)]('[
)('')(
)('
xf
xfxf
x =
Método de Newton-Raphson
 Deste modo, escolhido x0, a sequência {xk} será 
determinada por 
onde k = 0, 1, 2, ... 
)('
)(
1
k
k
kk
xf
xf
xx -=+
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Método de Newton-Raphson - Convergência
 Teorema 3:
Sendo f(x), f’(x) e f”(x) contínuas em um intervalo I que
contém uma raiz x = x de f(x) = 0 e supondo f’(x)  0,
existirá um intervalo Ī  I contendo a raiz x, tal que se
x0 Î Ī, a seqüência {xk} gerada pela fórmula recursiva
convergirá para a raiz.
)('
)(
1
k
k
kk
xf
xf
xx -=+
Método de Newton-Raphson –
Graficamente
 Dado o ponto ( xk , f(xk) )
 Traçamos a reta Lk(x) tangente à curva neste ponto:
Lk(x) = f(xk) + f’(xk)(x-xk)
 Determinanos o zero de Lk(x), que é um modelo linear 
que aproxima f(x) em uma vizinhança xk
 Faz-se xk +1 = x
0)( =xLk )('
)(
k
k
k
xf
xf
xx -=
Método de Newton-Raphson –
Graficamente
 Análise Gráfica
Repete-se o processo até que o valor de x
atenda às condições de parada.
x
xxxx
f(x)
x1xx00
x2
x3
1a iteração
2a iteração
3a iteração
4a iteração
Método de Newton-Raphson - Algoritmo
 Teste de parada:
 |f(xk)|  ε
 |xk – xk-1|  ε
 Algoritmo:
x0 := x;
k := 0;
while |f(xk)| > ε and |xk – xk-1| > ε
xk+1 := xk – f(xk)/f’(xk)
k := k +1;
end while
Método de Newton-Raphson
 Exemplo: Dado f(x) = x2 + x – 6 , x2 = 2 e x0 = 1,5
Fórmula recursiva:
12
6
)('
)(
)(
2
+
-+
-=-=
x
xx
x
xf
xf
xx
 
 
0625,2
15,12
65,15,1
5,1)(
2
01 =
+
-+
-== xx 
 
 
000762195,2
10625,22
60625,20625,2
0625,2)(
2
12 =
+
-+
-== xx 
000000116,2)( 23 == xx 
Método de Newton-Raphson
 Exemplo: Dado f(x) = x2 + x – 6 , x2 = 2 e x0 = 1,51,5
 Comentários:
 A parada poderá ocorrer na 3a iteração (x = 2,000000116), 
caso a precisão do cálculo com 6 casas decimais seja 
satisfatória para o contexto do trabalho
 Observe que, no Método do Ponto Fixo, com
o valor x = 2,000476818 foi encontrado 
somente na 5a iteração
xx -= 6)(
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18
Método de Newton-Raphson
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
x1 Î I1 = (-1, 0), x2 Î I2 = (1, 2)
Seja: 
x0 = 1
)('
)(
1
k
k
kk
xf
xf
xx -=+
13
1
)(
2
3
-
--
-=
x
xx
xx
Método de Newton-Raphson
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
x1 Î I1 = (-1, 0), x2 Î I2 = (1, 2)
 Cálculo da 1ª aproximação
φ(x0) = 1 – [ (1)³ – 1 – 1 ] = 1,5 = x1
[ 3x(1)² – 1 ]
 Teste de Parada
|f(x1)| = | (1,5)³ – 1,5 – 1 | = 0,875 > e
|x1-x0| =| 1,5 - 1 | = 0,5 > e
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
x1 Î I1 = (-1, 0), x2 Î I2 = (1, 2)
 Cálculo da 2ª aproximação
φ(x1) = 1,5 – [ (1,5)³ – 1,5 – 1 ] = 1,3478261 = x2
[ 3x(1,5)² – 1 ]
 Teste de Parada
|f(x2)| = | 0,100682 | = 0,100682 > e
|x2-x1| =| 1,3478261 - 1,5 | = 0,1521739 > e
Método de Newton-Raphson
 Cálculo da 3ª aproximação
φ(x2) = 1,3478261 - [ (1,3478261)³ - 1,3478261 - 1 ]
[ 3x(1,3478261)² - 1 ]
φ(x2) = 1,3252004 = x3
 Teste de Parada
|f(x3)| =| 0,0020584 | = 0,0020584 > e
|x3-x2| =| 1,3252004 – 1,3478261 | = 0,0226257 > e
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
x1 Î I1 = (-1, 0), x2 Î I2 = (1, 2)
Método de Newton-Raphson
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
x1 Î I1 = (-1, 0), x2 Î I2 = (1, 2)
A sequência {xk} gerada pelo método de Newton 
será:
Método de Newton-Raphson
Iteração x |xk-xk-1| F(x)
1 1,5 0,5 0,875
2 1,3478261 0,1521739 0,1006822
3 1,3252004 0,0226257 0,0020584
4 1,3247182 0,0004822 1,0352x10-6
e = 0,002
 Comprovando o impacto de uma boa escolha de x0
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 – 9x + 3, que 
possui três zeros: x1 Î I1 = (-4, -3), x2 Î I2 = (0, 1) e 
x3 Î I3 = (2, 3). Seja x0 = 1,5:
Método de Newton-Raphson
18/02/2019
19
 Comprovando o impacto de uma boa escolha de x0
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 – 9x + 3, que 
possui três zeros: x1 Î I1 = (-4, -3), x2 Î I2 = (0, 1) e 
x3 Î I3 = (2, 3). Seja x0 = 1,5:
 No início há um divergência da região onde estão as 
raízes, mas depois de x7 os valores se aproximam cada 
vez mais de x3
 Causa:
 x0 (1,5) é próximo de , que é raiz de f´(x)
 Da mesma forma, x1 (-1,6666667) está próximo
de , outra raiz de f’(x)
Método de Newton-Raphson
3
3-
 Vantagens:
 Rapidez processo de convergência
 Desempenho elevado
 Desvantagens:
 Necessidade da obtenção de f’(x) , o que pode ser 
impossível em determinados casos
 O cálculo do valor numérico de f’(x) a cada iteração
Método de Newton-Raphson
Exercício
 Encontre uma raiz da função f(x) = x3-2x utilizando o 
método Newton-Raphson.
 Considere o gráfico a seguir:
Zeros Reais de Funções
Reais – Método da Secante
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Método da Secante
 Método de Newton-Raphson
 Um grande inconveniente é a necessidade da obtenção de 
f’(x) e o cálculo de seu valor numérico a cada iteração
 Forma de desvio do inconveniente
 Substituição da derivada f’(xk) pelo quociente das 
diferenças
1
1)()()('
-
-
-
-

kk
kk
k
xx
xfxf
xf
Método da Secante
 A função de iteração será:
1
1)()(
)(
)(
-
-
-
-
-=
kk
kk
k
k
xx
xfxf
xf
xx
 1
1)()(
)(
)( -
-
-
-
-= kk
kk
k
k xx
xfxf
xf
xx
)()(
)()(
)()(
)()(
)(
1
1
1
1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
=
kk
kkkk
kk
kkkk
xfxf
xfxxfx
xfxf
xfxxfx
x
)()(
)()(
)(
1
11
-
--
-
-
=
kk
kkkk
xfxf
xfxxfx
x
18/02/2019
20
Método da Secante - Geometricamente
 A partir de duas aproximações xk-1 e xk obtém-se o 
ponto xk+1 como sendo a abscissa do ponto de 
intersecção do eixo x e da reta que passa pelos pontos 
( xk-1 , f(xk-1) ) e ( xk , f(xk) ) (secante à curva da função) 
x
1a iteração
2a iteração
3a iteração
4a iteração
xx
f(x)
x1xx00 x2
x3 x4
x5
Repete-se o processo até
que o valor de x atenda às
condições de parada.
Método da Secante - Convergência
 Como o Método da Secante é uma aproximação do 
método de Newton, as condições de convergência são 
praticamente as mesmas, ou seja basta que o 
Teorema 3 seja satisfeito
 Todavia, o Método da Secante pode divergir para o 
seguinte caso )()( 1- kk xfxf
)()(
)()(
)(
1
11
-
--
-
-
=
kk
kkkk
xfxf
xfxxfx
x
Método da Secante - Algoritmo
 Testes de Parada
 |f(xk)|  ε
 |xk – xk-1|  ε
 Algoritmo
x0 := x;
x1 := x1;
k := 1;
x2 := (x0*f(x1) – x1*f(x0)) / (f(x1) - f(x0));
while |f(xk+1)| > ε and |xk+1 – xk| > ε
xk+1 := (xk-1*f(xk) - xk*f(xk-1)) / (f(xk) - f(xk-1));
k := k +1;
end
while
Método da Secante
 Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1, 
e = 0,003, x0 = 1,5 e x1 = 1,7:
)()(
)()(
)(
1
11
-
--
-
-
=
kk
kkkk
xfxf
xfxxfx
x
Método da Secante
 Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1, e = 0,003, 
x0 = 1,5 e x1 = 1,7:
 Cálculo da 1ª aproximação x0 = 1,5 e x1 = 1,7
f(x0) = 0,875 > 0
f(x1) = 2,213 > 0
x2 = [1,5 x (2,213) – 1,7 x (0,875)] = 1,36921
[2,213 – (0,875)]
 Teste de Parada
|f(x2)| = | (1,36921)³ – 1,36921 – 1 | = 0,19769 > e
|x2 - x1| =|1,36921 – 1,7| = 0,33079 > e
 Novo Intervalo: x1 = 1,7 e x2 = 1,36921 
Método da Secante
 Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1, 
e = 0,003, x0 = 1,5 e x1 = 1,7:
 Cálculo da 2ª aproximação x1 = 1,7 e x2 = 1,36921
f(x1) = 2,213 > 0
f(x2) = 0,19769 > 0
x3 = [1,7 x (0,19769) - 1,36921x (2,213)] = 1,33676
[0,19769 - 2,213]
 Teste de Parada
|f(x3)| = |0,05193| = 0,05193 > e
|x3 - x2| =|1,33676 – 1,36921| = 0,03245 > e
 Novo Intervalo: x2 = 1,36921 e x3 = 1,33676 
18/02/2019
21
Método da Secante
 Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1, 
e = 0,003, x0 = 1,5 e x1 = 1,7:
 Cálculo da 3ª aproximação x2 = 1,36921 e x3 = 1,33676
f(x2) = 0,19769 > 0 
f(x3) = 0,05193 > 0
x4 = [1,36921 x (0,05193) - 1,33676 x (0,19769)] = 
[(0,05193) - 0,19769]
x4 = 1,3252
 Teste de Parada
|f(x4)| = |0,00206| = 0,00206 < e  cond. 
atendida
|x4 – x3| =|1,3252 – 1,33676| = 0,01156 > e
Método da Secante
 Exemplo: Considere-se a função f(x) = x2 + x – 6 = 0, 
x0 = 1,5 e x1 = 1,7:
Solução:
)()(
)()(
01
0110
2
xfxf
xfxxfx
x
-
-
=
25,241,1
25,27,1)41,1(5,1
+-
--
=
2,035712 =x
)()(
)()(
12
1221
3
xfxf
xfxxfx
x
-
-
= 1,99774=
)()(
)()(
23
2332
4
xfxf
xfxxfx
x
-
-
= 1,99999=
Método da Secante
 Exemplo: Considere-se a função f(x) = x2 + x – 6 = 0, 
x0 = 1,5 e x1 = 1,7:
 Comentários:
 A parada poderá ocorrer na 3a iteração (x = 1,99999 ), 
caso a precisão do cálculo com 5 casas decimais seja 
satisfatória para o contexto do trabalho
 No método de Newton-Raphson o valor 
x = 2,000000116, foi encontrado também na 3a 
iteração
Método da Secante
 Vantagens
 Rapidez processo de convergência
 Cálculos mais convenientes que do método de Newton
 Desempenho elevado
 Desvantagens
 Se o cálculo f’(x) não for difícil, então o método logo será 
substituído pelo de Newton-Raphson
 Se o gráfico da função for paralela a um dos eixos e/ou 
tangencia o eixo das abscissas em um ou mais pontos, 
logo não se deve usar o Método da Secante
Zeros Reais de Funções
Reais – Comparação entre os 
métodos
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Comparação entre os métodos
 Critérios de Comparação
 Garantias de Convergência
 Rapidez de Convergência
 Esforço Computacional
18/02/2019
22
Comparação entre os métodos
 Garantias de Convergência
 Bissecção e Posição Falsa
 Convergência garantida, desde que a função seja contínua 
num intervalo [a,b] , tal que f(a)f(b) < 0 
 Ponto Fixo, Newton-Raphson e Secante
 Condições mais restritivas de convergência
 Se as condições de convergência forem satisfeitas, os dois 
últimos métodos são mais rápidos do que os demais 
estudados
Comparação entre os métodos
 Rapidez de Convergência
 Número de Iterações  Medida usualmente adotada 
para a determinação da rapidez de convergência de um 
método
 Não deve ser uma medida conclusiva sobre o tempo de 
execução do programa
 Tempo gasto na execução de uma iteração  Variável
de método para método
Comparação entre os métodos
 Esforço Computacional
 Indicadores
 Número de operações efetuadas a cada iteração
 Complexidade das operações
 Número de decisões lógicas
 Número de avaliações de função a cada iteração
 Número total de iterações
Comparação entre os métodos
 Esforço Computacional
 Conclusões gerais sobre a eficiência computacional de 
um método.
 Bissecção  Cálculos mais simples por iteração
 Newton  Cálculos mais elaborados
 Número de iterações da Bissecção é, na grande maioria 
das vezes, muito maior do que o número de iterações 
efetuadas por Newton
Comparação entre os métodos
 Condições a Serem Satisfeitas pelo Método Ideal
 Convergência assegurada
 Ordem de convergência alta
 Cálculos por iteração simples
 Escolha do melhor método:
 Newton-Raphson  Caso seja fácil a verificação das 
condições de convergência e o cálculo de f’(x) 
 Secante  Caso seja trabalhoso obter e/ou avaliar f’(x) , 
uma vez que não é necessária a obtenção de f’(x)
Comparação entre os métodos
 Critério de Parada  Detalhe importante na escolha do 
método:
 Se o objetivo for a redução do intervalo que contém a 
raiz  Bissecção (não usar o Método da Posição Falsa)
 Se a escolha parte de um valor inicial para a raiz 
Newton-Raphson ou da Secante (pois trabalham com 
aproximações xk para a raiz exata)
18/02/2019
23
Comparação entre os métodos
 Observações importantes:
 Situações nas quais se deve evitar o uso do Método de 
Newton-Raphson e da Secante:
 Tendência da curva ao paralelismo a qualquer um dos 
eixos
 Tendência da função à tangência ao eixo das abscissas 
em um ou mais pontos.
Comparação entre os métodos
 Conclusão:
 Escolha do método  Diretamente relacionada com a 
equação cuja solução é desejada
 Comportamento da função na região da raiz exata
 Dificuldades com o cálculo de f´(x)
 Critério de parada, etc.
Comparação entre os métodos
 Exemplo: f(x) = x3 – x – 1
x1 2 3 4
y
50-1-2-3-4
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
x Î [1, 2 ], e = 10-6
Comparação entre os métodos
 Exemplo: f(x) = x3 – x – 1
Observações:
 Melhor desempenho: Método do Ponto Fixo
 Métodos de Newton e Secante: muitas iterações pois 
houve divergência no inicio da execução 
( denominador  0 ) 
Comparação entre os métodos
 Exemplo: f(x) = 4 sen(x) – e2
Observações:
 Melhor desempenho: Método de Newton, devido à boa 
escolha de x0
x Î [0, 1 ], e = 10-5
04_Sistemas_Lineares_Folheto.pdf
18/02/2019
1
Sistemas Lineares
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Programa
1. Introdução
2. Métodos Diretos
a) Eliminação de Gauss
b) Decomposição LU
3. Métodos Iterativos
a) Gauss-Jacobi
b) Gauss-Siedel
Sistemas Lineares 
Introdução
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Introdução
 A resolução de sistemas lineares é um problema que 
surge nas mais diversas áreas 
 Ex: Cálculos de estruturas, Redes de transporte, Redes de 
comunicação, etc
Introdução
Exemplo: Calcular tensões dos nós do circuito elétrico:
Solução:
Temos que a corrente entre 2 pontos é dada por: 
. Pela lei de Kirchoff a soma das correntes que chega a 
um nó é igual a soma das correntes que saem
dele. 
Assim:
1V
R
VV
I ba
-
=
Introdução
Exemplo: Calcular tensões dos nós do circuito elétrico:
Nó 1:
Nó 3:
Nó 4:
1V
1
0
221
1141312 -=
-
+
-
+
- VVVVVVV
31
2312 VVVV -=
-
3
127
213
3134323 VVVVVVV -=
-
+
-
+
-
21
1443 VVVV -=
-
Nó 2:
18/02/2019
2
Introdução
Exemplo: Calcular tensões dos nós do circuito elétrico:
Simplificando as equações:
Nó 1: 
Nó 2:
Nó 3:
Nó 4:
1
0
221
1141312 -=
-
+
-
+
- VVVVVVV
31
2312 VVVV -=
-
3
127
213
3134323 VVVVVVV -=
-
+
-
+
-
21
1443 VVVV -=
-
026 4321 =+++- VVVV
043 321 =-+- VVV
25461323 4321 =-+-- VVVV
032 431 =-+ VVV
Introdução
Exemplo: Calcular tensões dos nós do circuito elétrico:
Montando o sistema:
Nosso problema agora se resume em encontrar os valores 
de V1, V2, V3 e V4 que solucionem o sistema linear 
acima. 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=-++
=-+--
=+-+-
=+++-
03201
25461323
00143
01126
4321
4321
4321
4321
VVVV
VVVV
VVVV
VVVV
Introdução
 Um sistema linear com m equações e n variáveis tem a 
seguinte forma geral:
onde:
aij  coeficientes 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
xj  incógnitas j = 1,...,n
bi  termos independentes i = 1,...,m
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++
=+++
...
...
...
2211
22222121
11212111

Introdução
 Exemplo:
onde:
2, 4, -5, 4, 1, -5, 2, 4 e 5  coeficientes
x1, x2 e x3  incógnitas
5, 2 e -1  termos independentes
ï
î
ï
í
ì
-=++
=-+
=-+
1542
2514
5542
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Introdução
 Forma Matricial:
Ax = b
na qual:





ù





é
=
mnmmm
n
n
aaaa
aaa
aaa
A
321
22221
11211








ù





é
=
mb
b
b
b

2
1





ù





é
=
nx
x
x
x

2
1
Introdução
 Exemplo:
 Forma Geral:
 Forma Matricial:
ï
î
ï
í
ì
-=++
=-+
=-+
1542
2514
5542
321
321
321
xxx
xxx
xxx




ù




é
-
=




ù




é
´




ù




é
-
-
1
2
5
542
514
542
3
2
1
x
x
x
18/02/2019
3
Introdução
 Relembrando... Multiplicação de Matrizes
O produto de uma matriz A de dimensão n x m por um 
escalar k resulta em uma matriz B = kA de mesma 
dimensão n x m, tal que 
Ex: 
e 
.,, jikab ijij =


ù


é
=
654
321
A 

ù


é
==
12108
642
2AB
Introdução
 Relembrando... Multiplicação de Matrizes
O produto de uma matriz A (n x m) por um vetor v (m x 
1) resulta em um vetor x (n x 1) de forma que
Ex: 
....,,2,1,
1
nivax
m
j
jiji ==
=




ù




é
==®

ù


é
=




ù




é
=
17
11
5
2
1
,
65
43
21
AvxvA
Introdução
 Relembrando... Multiplicação de Matrizes
O produto de uma matriz A (n x p) por uma matriz 
B (p x m) é uma matriz C = AB (n x m) tal que
o elemento cij é obtido pela soma dos produtos da linha 
i de A pelos correspondentes elementos da coluna j de 
B. Logo, para a multiplicação de duas matrizes, o 
número de colunas da primeira tem que ser igual ao 
número de linhas da segunda
Ex:
....,,2,1...,,2,1,
1
mjenivac
p
k
kjikij ===
=
22
23
32
4841
126
53
04
61
,
653
012
x
x
x
ABCBA 

ù


é
==®




ù




é
=

ù


é
=
Introdução – Classificação de Sistemas
 Classificação dos sistemas
 Solução Única
 det (A) ≠ 0
 Infinitas Soluções ou Sem Solução
 det (A) = 0
Introdução – Classificação de Sistemas
 Relembrando…. Conceito de Determinante
Uma matriz quadrada (n x n) A, chamada matriz de ordem 
n, tem um número associado, conhecido por 
determinante, cujo valor pode ser obtido pela fórmula de 
recorrência
onde Mij é a matriz de ordem n-1 resultante da remoção 
da linha i e coluna j de A e sendo o determinante de uma 
matriz (1 x 1) igual a esse único elemento. Logo:
)det()1(...)det()det()det( 11
1
12121111 nn
n MaMaMaA +-++-=
1111 )det(][ aAaA =®=
12212211
2221
1211 )det( aaaaA
aa
aa
A -=®

ù


é
=
Introdução – Classificação de Sistemas
 Relembrando…. Conceito de Determinante
 Matriz A com det(A) = 0  Matriz Singular
 Matriz A com det(A) ≠ 0  Matriz Não Singular
®




ù




é
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A

)()()()det( 223132211323313321122332332211 aaaaaaaaaaaaaaaA -+---=
18/02/2019
4
Introdução – Classificação de Sistemas
 Solução Única
 Exemplo:
det (A) = -6 -1 = -7
 Infinitas Soluções
 Ex:
det (A) = 4 - 4 = 0
î
í
ì
-=-
=+
23
32
21
21
xx
xx


ù


é
=®
1
1
x
î
í
ì
=+
=+
624
32
21
21
xx
xx


ù


é
-
=® 


23
x
Introdução – Classificação de Sistemas
 Sem Solução
 Ex:
det (A) = 4 - 4 = 0
2x1 + x2 =1
4x1 + 2x2 = 6
ì
í
î
Introdução – Sistemas Triangulares
 Possibilidade de resolução da forma Direta
 Sistema Triangular Inferior
 Sistema Triangular Superior 
Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Inferior 
 A solução é calculada pelas substituições sucessivas
, ,







ù







é
=







ù







é
´







ù







é
nnnnnnn b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaa
aa
a






3
2
1
3
2
1
321
333231
2221
11
0
00
000
11
1
11111
a
b
xbxa =®=
22
1212
22222121
a
xab
xbxaxa
-
=®=+
23
2321313
33333232131
a
xaxab
xbxaxaxa
--
=®=++
Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Inferior







ù







é
=







ù







é
´







ù







é
nnnnnnn b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaa
aa
a






3
2
1
3
2
1
321
333231
2221
11
0
00
000
nnnnnnnnnn bxaxaxaxa =++++ -- 11,2211 ...

nn
nnnnnn
n
a
xaxaxab
x 11,2211
... ------=®
Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Inferior
As substituições sucessivas podem ser representadas por:







ù







é
=







ù







é
´







ù







é
nnnnnnn b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaa
aa
a






3
2
1
3
2
1
321
333231
2221
11
0
00
000
....,,2,1,
1
1
ni
a
xab
x
ii
i
j
jiji
i =
-
=

-
=
18/02/2019
5
Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Inferior
Exemplo: Calcular a solução do sistema triangular inferior 
usando as substituições sucessivas:
,





ù





é
=





ù





é





ù





é
--
-
6
48
1
4
9341
0861
0053
0002
4
3
2
1
x
x
x
x
2
2
4
42 11 ==®= xx 15
231
153 221 -=
´-
=®=+ xxx
5
8
)1(6248
4886 3321 =
-+-
=®=+- xxxx
Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Inferior
Exemplo: Calcular a solução do sistema triangular inferior 
usando as substituições sucessivas:
Logo, o vetor solução é dado por:





ù





é
=





ù





é





ù





é
--
-
6
48
1
4
9341
0861
0053
0002
4
3
2
1
x
x
x
x
3
9
)5(3)1(4)2(6
6934 44321 =
+--+
=®=+-+- xxxxx





ù





é
-
=
3
5
1
2
x
Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Superior
 A solução é calculada pelas substituições retroativas:
,







ù







é
=







ù







é
´







ù







é
nnnn
n
n
n
d
d
d
d
x
x
x
x
c
cc
ccc
cccc






3
2
1
3
2
1
333
22322
1131211
000
00
0
cnnxn = dn ® xn =
dn
cnn
cn-1,n-1xn-1 +cn-1,nxn = dn-1 ® xn-1 =
dn-1 - cn-1,nxn
cn-1,n-1
Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Superior
,







ù







é
=







ù







é
´







ù







é
nnnn
n
n
n
d
d
d
d
x
x
x
x
c
cc
ccc
cccc






3
2
1
3
2
1
333
22322
1131211
000
00
0

c22x2 + c23x3 + ...+c2nxn = d2 ® x2 =
d2 - c23x1 -...- c2nxn
c22
c11x1 + c12x2 +c13x3 + ...+c1nxn = d1
® x1 =
d1 -c12 -c13x1 -...-c1nxn
c11
Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Superior
As substituições retroativas podem ser representadas por:
.1...,,1,,
1
-=
-
=

+=
nni
c
xcd
x
ii
n
ij
jiji
i







ù







é
=







ù







é
´







ù







é
nnnn
n
n
n
d
d
d
d
x
x
x
x
c
cc
ccc
cccc






3
2
1
3
2
1
333
22322
1131211
000
00
0
Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Superior
Exemplo: Determinar a solução do sistema triangular superior 
utilizando as substituições retroativas:
, ,





ù





é
-
=





ù





é





ù





é
-
-
8
28
2
1
2000
5400
4730
1625
4
3
2
1
x
x
x
x
2x4 = 8® x4 =
8
2
= 4 4x3 + 5x4 = 28® x3 =
28- 5´ 4
4
= 2
3x2 + 7x3 - 4x4 = -2 ® x2 =
-2- 7´ 2+ 4´ 4
3
= 0
18/02/2019
6
Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Superior
Exemplo: Determinar a solução do sistema triangular superior 
utilizando as substituições retroativas:
Logo, o vetor solução é dado por: 





ù





é
-
=





ù





é





ù





é
-
-
8
28
2
1
2000
5400
4730
1625
4
3
2
1
x
x
x
x
3
5
426021
1625 14321 -=
-´-´+
=®=++- xxxxx
x =
-3
0
2
4
é





ù





Introdução – Métodos de Solução
 Os métodos numéricos para a solução de sistemas 
lineares podem ser divididos em dois grupos:
 Métodos Diretos  Fornecem a solução do sistema, 
caso ela exista, após um número finito de iterações 
(soluções arredondadas também podem ocorrer)
 Métodos Iterativos  Geram uma sequência de 
vetores {x(k)} a partir de uma aproximação inicial x(0). 
Sob certas condições esta sequência converge para a 
solução x do sistema, caso ela exista
Métodos Diretos
 Pertencem a essa classe todos métodos utilizados no 
primeiro e segundo graus
 Esses métodos não são eficientes para a resolução de 
sistemas lineares de grande porte, ou seja, sistemas que 
envolvam um grande número de equações e variáveis
 Para o caso de sistemas lineares n x n, com solução 
única, o vetor x é dado por x = A-1b, onde A-1 é a 
inversa da matriz de coeficientes A. 
 O cálculo de A-1 é demorado e, por isso, não competitivo 
com os métodos que veremos a seguir: Eliminação de 
Gauss e Decomposição LU
Eliminação de Gauss
 Consiste em transformar o sistema linear original em 
um sistema linear triangular superior equivalente
 Resolução do novo sistema utilizando as substituições 
retroativas
 A solução encontrada para o sistema equivalente será 
a mesma do sistema linear original  Conceito de 
Sistemas Equivalentes
Eliminação de Gauss
 A transformação do sistema linear original em outro 
equivalente é feita através das seguintes operações 
elementares:
 Trocar duas equações
 Multiplicar uma equação por uma constante não nula
 Adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra 
equação
î
í
ì
-=-
=+
®
î
í
ì
=+
-=-
222
94
94
222
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
î
í
ì
=+
-=-
®
î
í
ì
=+
-=-
94
1
94
222
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
î
í
ì
-=-
=+
®
î
í
ì
-=-
=+
1
832
1
94
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
Eliminação de Gauss - Execução
 Passo 1: 
 Construção da matriz aumentada Ab
 Importância:
 É necessário transformar matriz A em uma matriz 
triangular superior
 Todavia, todas as operações elementares aplicadas 
sobre as linhas de A, também devem ser refletidas no 
vetor de termos independentes b
 





ù





é
=
nnnnnn
n
n
baaaa
baaa
baaa
Ab
321
222221
111211



18/02/2019
7
Eliminação de Gauss - Execução
 Passo 2:
 Eliminar os coeficientes de x1 presentes nas linhas 
2,3,...,n, fazendo assim a21 = a31, = ... = an1 = 0, sendo 
a11 chamado de pivô e a linha 1 de linha pivotal 
 Substituir a linha 2, L2, pela combinação linear
 Substituir a linha 3, L3, pela combinação linear:
11
21
2112122 :,
a
a
mqualnaLmLL =×-=
11
31
3113133 :,
a
a
mqualnaLmLL =×-=
Eliminação de Gauss - Execução
 Passo 2:
 Continuar a substituição até a linha n
 Caso algum elemento app=0, achar outra linha k onde 
akp≠ 0 e trocar tais linhas. Caso a linha k não exista, o 
sistema linear não possui solução
 Próximos Passos:
 Eliminar os coeficientes de x2 nas linhas 3, 4, ..., n 
(fazendo a32=a42=...=an2 = 0)
 Eliminar os coeficientes de x3 nas linhas 4, 5, ..., n 
(fazendo a43=a53=...=an3 = 0) e assim 
sucessivamente
Eliminação de Gauss
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Matriz aumentada:
ï
î
ï
í
ì
-=+-
=-+
=-+
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 




ù




é
--
-
-
=
1132
3344
5132
Ab
Eliminação de Gauss
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Pivô da linha 1: 2
ï
î
ï
í
ì
-=+-
=-+
=-+
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
     7120513223344
2
2
11
21
2112122
---=-´--=
==´-=
L
a
a
mLmLL
     6260513211132
1,
3
11
31
3113133
--=-´---=
==´-=
L
a
a
mLmLL
Eliminação de Gauss
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Obtemos então a seguinte matriz aumentada:
ï
î
ï
í
ì
-=+-
=-+
=-+
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 




ù




é
--
---
-
=
6260
7120
5132
Ab
Eliminação de Gauss
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Pivô da linha 2: -2
ï
î
ï
í
ì
-=+-
=-+
=-+
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
     15500712036260
3,
3
22
32
3223233
=---´---=
==´-=
L
a
a
mLmLL
18/02/2019
8
Eliminação de Gauss
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Nova matriz [Ab] e sistema linear equivalente obtido:
ï
î
ï
í
ì
-=+-
=-+
=-+
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
ï
î
ï
í
ì
=
-=--
=-+
155x
7x2x
5x3x2x
3
32
321
 




ù




é
---
-
=
15500
7120
5132
Ab
Eliminação de Gauss
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
O novo sistema obtido é resolvido utilizando-se as 
substituições retroativas:
Logo, o vetor solução é dado por: 
ï
î
ï
í
ì
-=+-
=-+
=-+
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
3x155x 33 =®=




ù




é
=
3
2
1
x
1x22x5362x5x3x2x 111321 =®=®=-+®=-+
2x42x732x7x2x 22232 =®-=-®-=--®-=--
Eliminação de Gauss
 No método de Gauss os multiplicadores das linhas são 
gerados a partir da seguinte fórmula:
sendo aii o pivô e aik o elemento a ser zerado
 Assim, podemos concluir:
 O método de Gauss não funciona quando o pivô é nulo
 Quando o pivô é muito próximo de zero, os multiplicadores 
gerados para as linhas são muito grandes, ocasionando um 
aumento nos erros de arredondamento gerados durante a 
execução do método.
 Solução: Pivoteamento Parcial
nikni
a
a
m
ii
ik
ik ...,,1...,,1 +===
Eliminação de Gauss - Pivoteamento Parcial
 Melhoria do Método de Gauss
 Consiste em escolher o elemento de maior valor (em 
módulo) em cada coluna para ser o pivô
 Garante que os multiplicadores estarão sempre entre 0 e 1
 Minimiza a amplificação de erros de arredondamento 
durante as eliminações
Eliminação de Gauss - Pivoteamento Parcial
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Matriz aumentada:
ï
î
ï
í
ì
=+-
-=-+-
=+-
29564
15182
1123
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 




ù




é
-
---
-
=
29564
15182
11231
Ab
Eliminação de Gauss - Pivoteamento Parcial
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Maior elemento (em módulo) da primeira coluna: 4. Logo 
este será o primeiro pivô. Assim:
     75,375,05,102956425,011231
25,0
1
31
11
1331311
-=-´--=
==´-=
L
a
a
mLmLL
 




ù




é
-
---
-
=
29564
15182
11231
Ab
L2 = L2 -m23 ´ L3, m23 =
a21
a31
= -0, 5
L2 = -2 8 -1 -1 5
é

ù
- (-0,5)´ 4 -6 5 29
é

ù
= 0 5 1,5 -0, 5
é

ù

18/02/2019
9
Eliminação de Gauss - Pivoteamento Parcial
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Obtemos então a seguinte matriz aumentada:
 




ù




é
-
-
-
=
29564
5,05,150
75,375,05,10
Ab
ï
î
ï
í
ì
=+-
-=-+-
=+-
29564
15182
1123
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Eliminação de Gauss - Pivoteamento Parcial
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Maior elemento (em módulo) da segunda coluna: 5. Logo 
este será o segundo pivô. Assim:
L1 = L1 -m12 ´ L2 m12 =
a12
a22
= -0,3
L1 = 0 -1,5 0, 75 3, 75
é

ù
- (-0,3)´ 0 5 1, 5 -0, 5
é

ù
= 0 0 1, 2 3,6
é

ù

 




ù




é
-
-
-
=
29564
5,05,150
75,375,05,10
Ab
Eliminação de Gauss - Pivoteamento Parcial
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Nova matriz [Ab]:
Trocando a ordem das linhas, chegamos ao seguinte 
sistema equivalente:
ï
î
ï
í
ì
=+-
-=-+-
=+-
29564
15182
1123
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 




ù




é
-
-=
29564
5,05,150
6,32,100
Ab
ï
î
ï
í
ì
=
-=+
=+-
6,32,1
5,05,15
29564
3
32
321
x
xx
xxx
Eliminação de Gauss - Pivoteamento Parcial
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
O novo sistema obtido é resolvido utilizando-se as 
substituições retroativas:
Logo,
o vetor solução é dado por:




ù




é
-=
3
1
2
x
x1 -3x2 + 2x3 =11
-2x1 +8x2 -1x3 = -15
4x1 - 6x2 + 5x3 = 29
ì
í
ï
î
ï
1, 2x3 = 3, 6® x3 = 3
5x2 +1, 5x3 = -0, 5® 5x2 + 4, 5 = -0, 5® 5x2 = -5® x2 = -1
4x1 - 6x2 + 5x3 = 29® 4x1 + 6+15= 29 ® 4x1 = 8® x1 = 2
Exercício
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto de 
Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial. 
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
5734
22
8425
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Determinante
 O determinante da matriz de coeficientes pode ser 
obtido através da matriz triangular resultante da 
aplicação da Eliminação de Gauss. 
 Basta considerar no cálculo a influência das operações 
elementares realizadas durante o processo de eliminação
 Vamos então analisar essas relações:
1) Se duas linhas de uma matriz A forem trocadas, então o 
determinante da nova matriz B será:
)det()det( AB -=
10)det(
22
41
10)det(
41
22
-=®

ù


é
-
==®

ù


é -
= BBeAA
18/02/2019
10
Determinante
2) Se todos os elementos de uma linha de A forem 
multiplicados por uma constante k, então o determinante da 
matriz resultante B será:
3) Se um múltiplo escalar de uma linha de A for somado a 
outra linha, então o determinante da nova matriz B será:
det(B) = k´det(A)
A=
1 4
2 -2
é


ù

® det(A) = -10 e B=
1 4
1 -1
é


ù

® det(B) = -5
det(B) = det(A)
Determinante
4) Se A for uma matriz triangular ou diagonal de ordem n, 
então seu determinante será igual ao produto dos elementos 
da diagonal principal, ou seja:

=
==
n
i
iinn aaaaaA
1
332211 ...)det(
A=
2 3
0 -1
é


ù

® det(A) = -2 e B=
3 0 0
0 -5 0
0 0 -1
é




ù




® det(B) =15
Determinante
5) Se uma matriz A for multiplicada por uma matriz B, o 
determinante da matriz resultante C será:
)det()det()det( BAC ´=
3)det(
11
03
10)det(
43
21
=®

ù


é
==®

ù


é -
= BBeAA
30)det(
413
21
=®

ù


é -
= CC
Determinante
Exemplo: Calcular o determinante da matriz utilizada no 
último exemplo: 
Matriz de coeficientes:
Depois de 3 combinações lineares das linhas e uma troca 
de linhas, chegamos à seguinte matriz triangular:




ù




é
-
--
-
=
564
182
231
A
ï
î
ï
í
ì
-=+-
-=-+-
=+-
29564
15182
1123
321
321
321
xxx
xxx
xxx




ù




é -
=
2.100
5.150
564
A
Determinante
Exemplo: Calcular o determinante da matriz utilizada no 
último exemplo: 
Pela propriedade 3, não há alteração no determinante de 
B, todavia, pela propriedade 1, , assim:)det()det( AB -=
24)2,154()det()det( -=´´-=-= BA
Exercício
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto de 
Eliminação de Gauss. Use a técnica de pivoteamento 
parcial se necessário.
Solução:
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=+++
=-++
=+++
=+++
7239335
181284
25154193
8426
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx





ù





é-
=
1
11
20
138
x
18/02/2019
11
Sistemas Lineares
Decomposição LU
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Decomposição LU
 O objetivo é fatorar a matriz dos coeficientes A em um 
produto de duas matrizes L e U.
Seja:
A = matriz de coeficientes do sistema linear





ù





é
=
nnnnn
n
n
aaaa
aaa
aaa
A
321
22221
11211



Decomposição LU
e o produto LU:
sendo:
L = matriz triangular inferior unitária 
U = matriz triangular superior







ù







é
´







ù







é
=
nn
n
n
n
nnn u
uu
uuu
uuuu
lll
ll
l
LU










000
00
0
1
0
01
001
0001
333
22322
1131211
321
3231
21
( )ilii = ,1
Decomposição LU
 tem-se então:
 Logo, o sistema Ax = b pode ser reescrito como 
Ax = b  LUx = b
 Fazendo Ux = y, a equação acima reduz-se a Ly = b.
 Resolvendo o sistema triangular inferior (utilizando as 
substituições sucessivas) Ly = b, obtém-se o vetor y







ù







é
´







ù







é
==





ù





é
=
nn
n
n
n
nnn
nnnnn
n
n
u
uu
uuu
uuuu
lll
ll
l
LU
aaaa
aaa
aaa
A













000
00
0
1
0
01
001
0001
333
22322
1131211
321
3231
21
321
22221
11211
Decomposição LU
 O vetor y é então utilizado como termo independente 
no sistema triangular superior Ux = y, cuja solução x é 
calculada pelas substituições retroativas
 A Decomposição LU é um dos processos mais 
empregados. Uma das vantagens é que podemos 
resolver qualquer sistema linear que tenha A como 
matriz de coeficientes. Se o vetor b for alterado, a 
solução do novo sistema linear será quase que 
imediata
Decomposição LU - Execução
 Exemplo:
Resolver o sistema abaixo, utilizando a Decomposição 
LU:
Passo 1: Aplicar o método da Eliminação de Gauss à 
matriz de A. 
Pivô linha 1: 1




ù




é
-=




ù




é
´




ù




é
-
--
-
29
15
11
564
182
231
3
2
1
x
x
x
18/02/2019
12
Decomposição LU - Execução
 Exemplo:
Obtemos então a seguinte matriz de coeficientes:
Pivô linha 2: 2
     3602314564
4,
3
11
31
3113133
-=-´--=
==´-=
L
a
a
mLmLL




ù




é
-
-
360
320
231
     12003203360
3
3
22
32
3223233
-=´--=
==´-=
L
a
a
mLmLL
Decomposição LU - Execução
 Exemplo:
Nova matriz de coeficientes:
A matriz L é então constituída pelos multiplicadores 
utilizados nas eliminações de cada uma das linhas, 
logo:




ù




é
-
-
1200
320
231




ù




é
-®




ù




é
®




ù




é
=
134
012
001
1
01
001
1
01
001
3231
21
3231
21
mm
m
ll
lL
Decomposição LU - Execução
 Exemplo:
Nova matriz de coeficientes:
A matriz U é própria matriz de coeficientes, obtida após 
a Eliminação de Gauss:




ù




é
-
-
1200
320
231




ù




é
-
-
=




ù




é
=
1200
320
231
00
0
33
2322
131211
u
uu
uuu
U
Decomposição LU - Execução
 Exemplo:
Assim:
Substituindo a matriz de coeficientes A no sistema, 
temos então LUx = b. Fazendo Ux = y, temos então 
Ly = b. Assim o próximo passo na solução do problema 
é calcular o valor do vetor y.




ù




é
-
-
´




ù




é
-=




ù




é
-
--
-
®=
1200
320
231
134
012
001
564
182
231
LUA
Decomposição LU - Execução
 Exemplo:
Passo 2: Calcular a solução do sistema Ly = b:
Logo: 




ù




é
-=




ù




é
´




ù




é
-
29
15
11
134
012
001
3
2
1
y
y
y
111 =y
711215152 2221 =®´+-=®-=+- yyyy
3673114292934 33321 -=®´-´-=®=++ yyyyy
 Ty 36711 -=
Decomposição LU - Execução
 Exemplo:
Passo 3: De posse do valor de y, calcular então a 
solução do sistema Ux = y:
Logo: 




ù




é
-
=




ù




é
´




ù




é
-
-
36
7
11
1200
320
231
3
2
1
x
x
x
33612 33 =®-=- xx
12/)337(732 2232 -=®´-=®=+ xxxx
232)1(3111123 11321 =®´--´+=®=+- xxxxx
 Tx 312 -=
18/02/2019
13
Exercício
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
Solução:
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx




ù




é-
=
0
5
3
x
Exercício
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
Demonstrando a solução:
Aplicando a Eliminação de Gauss à matriz A:
Pivô linha 1: 3
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx




ù




é
=
234
211
423
A
     3/23/104233/1211
3
1
2
11
21
2112122
=´-=
==´-=
L
a
a
mLmLL
Exercício
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
Obtemos então a seguinte matriz de coeficientes:
Pivô linha 2: 1/3
     3/103/104233/4234
3
4
,
3
11
31
3113133
-=´-=
==´-=
L
a
a
mLmLL




ù




é
-
=
3/103/10
3/23/10
423
A
Exercício
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
Nova matriz de coeficientes:
A matriz L é então constituída pelos multiplicadores 
utilizados nas eliminações de cada uma das linhas, logo:




ù




é
-
=
400
3/23/10
423
A




ù




é
®




ù




é
®




ù




é
=
113/4
013/1
001
1
01
001
1
01
001
3231
21
3231
21
mm
m
ll
lL
Exercício
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
Nova matriz de coeficientes:
A matriz U é própria matriz de coeficientes, obtida após a 
Eliminação de Gauss:




ù




é
-
=
400
3/23/10
423
A




ù




é
-
=




ù




é
=
400
3/23/10
423
00
0
33
2322
131211
u
uu
uuu
U
Exercício
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
Assim:
Substituindo a matriz de coeficientes A no sistema, 
temos então LUx = b. Fazendo Ux = y, temos então 
Ly = b. Assim o próximo passo na solução do 
problema é calcular o valor do vetor y.




ù




é
-
´




ù




é
=




ù




é
®=
400
3/23/10
423
113/4
013/1
001
234
211
423
LUA
18/02/2019
14
Exercício
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
Calcular a solução do sistema Ly = b:
Fazendo os cálculos, vamos encontrar:




ù




é
=




ù




é
´




ù




é
3
2
1
113/4
013/1
001
3
2
1
y
y
y
 Ty 03/51=
Exercício
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
De posse do valor de y, calcular então a solução do 
sistema Ux = y:
Fazendo os cálculos, vamos encontrar:  Tx 053-=




ù




é
=




ù




é
´




ù




é
- 0
3/5
1
400
3/23/10
423
3
2
1
x
x
x
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
Mas e se, ao invés de colocar o termo de multiplicação na 
linha pivotal, eu colocá-lo na própria linha cujo elemento 
desejo zerar? Funciona?
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx




ù




é
=
234
211
423
A
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
Mas e se, ao invés de colocar o termo de multiplicação na 
linha pivotal, eu colocá-lo na própria linha cujo elemento 
desejo zerar? Funciona?
Aplicando a Eliminação de Gauss à matriz A:
Pivô linha 1: 3
     2104232113
3
2
2112212
--=+´-=
=+-=
L
mLLmL
     4/104/10423234
4
3
4
3
,
3
3113313
-=+-=
=´-=
L
mLLmL
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
Mas e se, ao invés de colocar o termo de multiplicação na 
linha pivotal, eu colocá-lo na própria linha cujo elemento 
desejo zerar? Funciona?
Obtemos então a seguinte matriz de coeficientes:
Pivô linha 2: -1 



ù




é
-
--=
4/104/10
210
423
A
     12002104/104/104
4
3
3223323
-=--+-´-=
=+-=
L
mLLmL
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
Mas e se, ao invés de colocar o termo de multiplicação na 
linha pivotal, eu colocá-lo na própria linha cujo elemento 
desejo zerar? Funciona?
Nova matriz de coeficientes:




ù




é
-
--=
1200
210
423
A
18/02/2019
15
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
Mas e se, ao invés de colocar o termo de multiplicação na 
linha pivotal, eu colocá-lo na própria linha cujo elemento 
desejo zerar? Funciona?
Fazendo então A = LU
Percebemos, pela igualdade acima, que, ao fazer L x U, 
não encontramos A. Daí concluímos que a multiplicação 
deve sempre ser feita na linha pivotal, como mostra 
a fórmula trabalhada em sala.




ù




é
-
--´




ù




é
--
-=




ù




é
®=
1200
210
423
144/3
013
001
234
211
423
LUA
Decomposição LU – Pivoteamento Parcial
 Os motivos para Pivoteamento Parcial na 
Decomposição LU são os mesmos de sua utilização 
na Eliminação de Gauss:
 Evitar pivô nulo
 Evitar que os multiplicadores mij tenham valores muito 
grandes
Decomposição LU – Pivoteamento Parcial
 No pivoteamento parcial, a decomposição é feita da 
forma:
PA = LU
onde P é uma matriz de permutações que será 
construída das linhas de uma matriz identidade I, 
colocadas na mesma ordem das linhas que geram a 
matriz triangular superior U. A matriz L é formada 
pelos multiplicadores utilizados na eliminação nas 
respectivas linhas de U. Assim, para resolver o 
sistema Ax = b, tem-se:
Ax = b  PAx = Pb  LUx = Pb
Fazendo Ux = y, então Ly = Pb
Decomposição LU – Pivoteamento Parcial
 Exemplo:
Resolver o sistema abaixo, utilizando a Decomposição 
LU, com Pivoteamento Parcial:
Passo 1: Aplicar o método da Eliminação de Gauss, com 
Pivoteamento Parcial, à matriz A. 
Primeiro pivô: 4




ù




é
-=




ù




é
´




ù




é
-
--
-
29
15
11
564
182
231
3
2
1
x
x
x
Decomposição LU - Pivoteamento Parcial
 Exemplo:
Obtemos então a seguinte matriz de coeficientes:
Segundo pivô: 5
     5,150564)5,0(182
5,0,
2
31
11
2332322
=-´----=
-==´-=
L
a
a
mLmLL




ù




é
-
-
564
5,150
75,05,10
     2,1005,150)3,0(75,05,10
3,0
1
32
12
1221211
=´---=
-==´-=
L
a
a
mLmLL
Decomposição LU - Pivoteamento Parcial
 Exemplo:
Nova matriz de coeficientes:
A matriz L é então constituída pelos multiplicadores 
relativos a cada uma das linhas pivotais, logo:




ù




é -
®




ù




é
- 2,100
5,150
564
564
5,150
2,100




ù




é
-
-®




ù




é
®




ù




é
=
13,025,0
015,0
001
1
01
001
1
01
001
1213
23
3231
21
mm
m
ll
lL
18/02/2019
16
Decomposição LU - Pivoteamento Parcial
 Exemplo:
Nova matriz de coeficientes:
A matriz U é própria matriz de coeficientes, obtida após 
o pivoteamento:




ù




é -
®




ù




é
- 2,100
5,150
564
564
5,150
2,100




ù




é -
=




ù




é
=
2,100
5,150
564
00
0
33
2322
131211
u
uu
uuu
U
Decomposição LU - Pivoteamento Parcial
 Exemplo:
Nova matriz de coeficientes:
A matriz P possui as linhas de uma matriz identidade na 
ordem das linhas pivotais. P pode ser vista ainda como 
uma matriz similar à identidade com as linhas colocadas 
de modo que os elementos iguais a 1 estejam nas 
colunas relativas aos índices das linhas pivotais.




ù




é -
®




ù




é
- 2,100
5,150
564
564
5,150
2,100
Decomposição LU - Pivoteamento Parcial
 Exemplo:
Assim:
Assim, para resolver o sistema Ax = b, temos:
Ax = b  PAx = Pb  LUx = Pb
Fazendo Ux = y, então Ly = Pb




ù




é -




ù




é
-
-=




ù




é
-
--
-




ù




é
®=
2,100
5,150
564
13,025,0
015,0
001
564
182
231
001
010
100
LUPA
Decomposição LU - Pivoteamento Parcial
 Exemplo:
Passo 2: Calcular a solução do sistema Ly = Pb:
A multiplicação Pb ordena as linhas de b na ordem das 
linhas pivotais
Logo: 




ù




é
-=




ù




é
´




ù




é
-
-
11
15
29
13,025,0
015,0
001
3
2
1
y
y
y
291 =y
5,0295,015155,0 2221 -=®´+-=®-=+- yyyy
5,03,02925,011113,025,0 3321 -´+´-=®=+- yyyy
 Ty 6,35,029 -=
6,33 =y
Decomposição LU - Pivoteamento Parcial
 Exemplo:
Passo 3: De posse do valor de y, calcular então a 
solução do sistema Ux = y:
Logo: 




ù




é
-=




ù




é
´




ù




é -
6,3
5,0
29
2,100
5,150
564
3
2
1
x
x
x
36,32,1 33 =®= xx
15/)35,15,0(5,05,15 2232 -=®´--=®-=+ xxxx
( ) 4/35)1(62929564 1321 ´--´+=®=+- xxxx
 Tx 312 -=
21 =x
Decomposição LU - Pivoteamento Parcial
 Exemplo:
Passo 4 (Opcional): Verificação da exatidão do 
resultado obtido através do vetor resíduo r = b – Ax:
Logo, a solução x obtida é exata.
A verificação acima pode ser utilizada também para 
validar os resultados encontrados pelos outros métodos 
estudados até agora.




ù




é
=




ù




é
-´




ù




é
-
--
-
-




ù




é
-®-=
0
0
0
3
1
2
564
182
231
29
15
11
Axbr
18/02/2019
17
Determinante
 Considerando que:
PA = LU  det (PA) = det (LU)
pela propriedade dos determinantes vista anteriormente:
 matriz triangular
 produto dos pivôs
 troca de linhas necessárias para 
transformar a matriz de permutações P em 
uma matriz identidade.
)det(
)det()det(
)det(
P
UL
A =
1...)det(
1
332211
=== 
=
n
i
iinn lllllL

=
=
n
i
iiuU
1
)det(
tP )1()det( -=
Determinante
 Considerando que:
PA = LU  det (PA) = det (LU)
pela propriedade dos determinantes vista anteriormente:
Logo:
)det(
)det()det(
)det(
P
UL
A =


=
= -=
-
´
=
n
i
ii
t
t
n
i
ii
u
u
A
1
1 )1(
)1(
1
)det(
Determinante
Exemplo: Calcular o determinante da matriz utilizada no 
último exemplo: 
Para calcular o determinante, precisamos encontrar o valor 
de t, isto é, o número de trocas de linhas necessárias para 
transformar a matriz P em uma matriz identidade. Voltando 
na matriz, percebemos que somente uma troca é 
suficiente. Assim, temos t=1 e:
242,154)1()1()det( 1
1
-=´´´-=-= 
=
n
i
ii
t uA




ù




é -
®




ù




é
-
--
-
=
2,100
5,150
564
564
182
231
A
Sistemas com Matriz Singular
 Quando a matriz de coeficientes do sistema linear for 
singular, ou seja, det(A) = 0, o sistema pode ter infinitas 
soluções ou não ter solução. Será mostrado como 
diferenciar essas situações.
 Exemplo:
Resolver os sistemas Ax = b e Ax = c utilizando a 
decomposição LU com pivoteamento parcial, sendo




ù




é
-=




ù




é
-=




ù




é
-
--
-
=
80
10
20
10
12
22
,
151
182
231
cebA
Sistemas com Matriz Singular
 Exemplo:
Os três fatores são:
Para Ax=b, a solução do sistema Ly = Pb é dada por:




ù




é
=




ù




é --
=




ù




é
-=
100
001
010
000
5,110
182
,
115,0
015,0
001
PeUL




ù




é-
=®




ù




é-
=




ù




é
´




ù




é
-
0
16
12
10
22
12
115,0
015,0
001
3
2
1
y
y
y
y
Sistemas com Matriz Singular
 Exemplo:
A solução do sistema Ux = y é dada por:
Logo:




ù




é-
=




ù




é
´




ù




é --
0
16
12
000
5,110
182
3
2
1
x
x
x
)(00 333 soluçãoéxdevalorqualquerxx =®=
5,116165,1 232 -=®=+ xxx
( ) 2/)5,116(8121282 1321 -+---=®-=-+- xxxx
5,6701 -=x
18/02/2019
18
Sistemas com Matriz Singular
 Exemplo:
Assim, o vetor solução do sistema é dado por
, ou seja, o sistema Ax=b
apresenta infinitas soluções, uma para cada valor de 
.
Para resolver o sistema Ax=c, não é necessário calcular 
novamente L, U e P. Como a matriz de coeficientes A é 
comum aos dois sistemas (Ax=b e Ax=c), os cálculos 
feitos anteriormente podem ser reaproveitados.
 Tx  5,1165,670 --=
 |
Sistemas com Matriz Singular
 Exemplo:
Assim, para Ax = c, solução de Ly = Pc é




ù




é-
=®




ù




é-
=




ù




é
´




ù




é
-
70
15
10
80
20
10
115,0
015,0
001
3
2
1
y
y
y
y
Sistemas com Matriz Singular
 Exemplo:
A solução do sistema Ux = y é dada por:
Logo:
Assim, o sistema Ax = c não tem solução pois tal 
que . 




ù




é-
=




ù




é
´




ù




é --
70
15
10
000
5,110
182
3
2
1
x
x
x
xxx ®®= 33 700
3x
00 3 x
Exercício
Resolva o sistema linear pela Decomposição LU, utilizando o 
pivoteamento parcial, e verificar a exatidão e unicidade da 
solução:
Solução:
ï
î
ï
í
ì
-=-
=++
=+-
234
322
943
31
321
321
xx
xxx
xxx




ù




é
-=
2
1
1
x
Sistemas Lineares 
Métodos Iterativos
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Métodos Iterativos
 A solução de problemas complexos com sistemas 
lineares tende à geração/existência de matrizes de 
coeficientes grandes e/ou esparsas
 Grandes  Comum para n > 100.000
 Esparsas  Maioria dos coeficientes nulos
 Resolução de sistemas esparsos por métodos diretos
 Processos de triangularização e fatoração  Onerosos, 
por não preservarem a esparsidade original, que pode ser 
útil por facilitar a resolução do sistema. 
18/02/2019
19
Métodos Iterativos
 Métodos mais apropriados para a resolução de 
sistemas de natureza esparsa  Métodos Iterativos 
 Gauss-Jacobi, Gauss-Seidel
Métodos Iterativos
 Os métodos iterativos consistem em gerar, a partir de 
um vetor inicial x0, uma sequência de vetores {x0, x1, x2, 
…, xk, …} que deve convergir para a solução x do 
sistema










ù










é
)0(
)0(
3
)0(
2
)0(
1
nx
x
x
x











ù










é
)1(
)1(
3
)1(
2
)1(
1
nx
x
x
x











ù










é
)2(
)2(
3
)2(
2
)2(
1
nx
x
x
x












ù










é
)(
)(
3
)(
2
)(
1
k
n
k
k
k
x
x
x
x

Métodos Iterativos
 Lembretes importantes:
 Como todo processo iterativo, estes métodos sempre 
apresentarão um resultado aproximado, que será tão 
próximo do resultado real conforme o número de 
iterações realizadas. 
 Além disto, também é preciso ter cuidado com a 
convergência destes métodos.
Métodos Iterativos - Funcionamento
 Os métodos iterativos funcionam a partir da 
transformação do sistema linear Ax = b em x = Cx + g, 
onde:
A: matriz dos coeficientes (n x n)
 x: vetor das variáveis (n x 1)
b: vetor dos termos constantes, (n x 1)
C: matriz n x n
g: vetor n x 1
Métodos Iterativos - Funcionamento
 Conhecida a estimativa inicial, x(0), obtém-se 
consecutivamente os vetores: 
 De um modo geral, a aproximação x(k+1) é calculada 
pela fórmula:
x(k+1) = C x(k) + g, k = 0, 1, ...
chamada de função de iteração, dada na 
forma matricial
o)aproximaçã ésima-(k ,
o)aproximaçã (segunda ,
o)aproximaçã (primeira ,
)1()(
)1()2(
)0()1(
gCxx
gCxx
gCxx
kk +=
+=
+=
-

Sistemas Lineares 
Gauss -
Jacobi
18/02/2019
20
Método de Gauss - Jacobi
 Dado o sistema linear:
e supondo , i = 1, …, n.
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=+++
=+++
=+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111

0iia
Método de Gauss - Jacobi
Isolamos então o vetor x mediante a separação pela 
diagonal. Assim, a partir da primeira equação do 
sistema:
obtemos:
e, analogamente:
11212111 ... bxaxaxa nn =+++
)...(
1
13132121
11
1 nn xaxaxab
a
x +---=
)...(
1
23231212
22
2 nn xaxaxab
a
x ---=

)...(
1
113311 -----= nnnnnn
nn
n xaxaxab
a
x
Método de Gauss - Jacobi
 Dessa forma, temos xk+1 = C xk + g, onde:
x(k+1) C x(k) g







ù







é
+







ù







é







ù







é
---
---
---
---
=







ù







é
nnnnnnnnnnnnn
n
n
n
n ab
ab
ab
ab
x
x
x
x
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
x
x
x
x
/
/
/
/
0
0
0
0
333
222
111
3
2
1
321
33333323331
22222232221
11111131112
3
2
1







Método de Gauss - Jacobi
 O método de Gauss-Jacobi consiste em, dado , 
aproximação inicial, obter através da 
relação recursiva :
0x
( ) ( )......,0 kxx
( ) ( ) gCxx kk +=+1
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
í
ì
+---=
+---=
+---=
--
+
+
+
)...(
1
)...(
1
)...(
1
)(
11,
)(
22
)(
11
)1(
)(
2
)(
323
)(
1212
22
)1(
2
)(
1
)(
313
)(
2121
11
)1(
1
k
nnn
k
n
k
nn
nn
k
n
k
nn
kkk
k
nn
kkk
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x

Método de Gauss - Jacobi
 O processo é repetido até que o vetor esteja 
suficientemente próximo ao vetor
 A distância entre duas iterações é dada por
assim, dada uma precisão , o vetor será 
escolhido como , solução aproximada da solução 
exata, se
 Podemos utilizar também como critério de parada o 
erro relativo:
( )kx
( )1-kx
 - max d 1)(k-i
(k)
i
(k) xx=
( )kx
x
 d(k) e
 e
 
 max 
d
 d
)(
(k)
(k)
r e

=
k
ix
Método de Gauss - Jacobi
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi com : x0 =
0,7
-1,6
0,6
é




ù




e e = 0, 05
ï
î
ï
í
ì
=++
-=++
=++
6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx
18/02/2019
21
Método de Gauss - Jacobi
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
O processo iterativo é dado por:
ï
î
ï
í
ì
=++
-=++
=++
6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx
( )
( )ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
++--=--=
--+-=---=
+--=--=
+
+
+
10
6
 0 
10
3
10
2
 3 26
10
1
 
5
8
 
5
1
 0
5
1
 8
5
1
 
10
7
 
10
1
 
10
2
0) 2 (7 
10
1
)(
3
)(
2
)(
1
)(
2
)(
1
)1(
3
)(
3
)(
2
)(
1
)(
3
)(
1
)1(
2
)(
3
)(
2
)(
1
)(
3
)(
2
)1(
1
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
Método de Gauss - Jacobi
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
Na forma matricial temos:
ï
î
ï
í
ì
=++
-=++
=++
6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx


ù


é
=
03/10– 1/5-
1/5-01/5-
1/10 -2/10 -0
C
( ) ( ) gCxx kk +=+1




ù




é
=
6/10
8/5-
7/10
ge
Método de Gauss - Jacobi
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
Assim para k=0 e temos:
ï
î
ï
í
ì
=++
-=++
=++
6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx
ï
î
ï
í
ì
=+-´-´-=+--=
-=-´-´-=---=
=+´--´-=+--=
94,06,0)6,1(3,07,02,0 6,0 3,02,0 
86,16,16,02,07,02,06,1 2,0 2,0 
96,07,06,0 1,0 )6,1(2,07,0 1,0 2,0
)0(
2
)0(
1
)1(
3
)0(
3
)0(
1
)1(
2
)0(
3
)0(
2
)1(
1
xxx
xxx
xxx
x 0 =
0,7
-1,6
0,6
é




ù




Método de Gauss - Jacobi
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
Logo: 
ï
î
ï
í
ì
=++
-=++
=++
6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx




ù




é
=+=
0,94
1,86-
0,96
 g C (0)(1) xx
e=== 1828,0
86,1
34,0
max
34,0
d
)1(
)1(
i
r
x
Método de Gauss - Jacobi
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
Calculando , para temos: d(1)r




ù




é
=




ù




é
=
0,94
1,86-
0,96
 
6,0
6,1-
7,0
 (1))0( xex
ï
î
ï
í
ì
=++
-=++
=++
6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx
34,0 -
26,0 -
26,0 -
)0(
3
)1(
3
)0(
2
)1(
2
)0(
1
)1(
1
=
=
=
xx
xx
xx
Método de Gauss - Jacobi
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
Assim para k=1 e temos:
ï
î
ï
í
ì
=++
-=++
=++
6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx
ï
î
ï
í
ì
-=+-´-´-=+--=
-=-´-´-=---=
=+´--´-=+--=
966,06,0)86,1(3,096,02,0 6,0 3,02,0 
98,16,194,02,096,02,06,1 2,0 2,0 
978,07,094,0 1,0 )86,1(2,07,0 1,0 2,0
)1(
2
)1(
1
)2(
3
)1(
3
)1(
1
)2(
2
)1(
3
)1(
2
)2(
1
xxx
xxx
xxx
x1 =
0, 96
-1,86
0, 94
é




ù




18/02/2019
22
Método de Gauss - Jacobi
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
Logo: 
ï
î
ï
í
ì
=++
-=++
=++
6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx




ù




é
=+=
0,966
1,98-
0,978
 g C )1()2( xx
e=== 0,0606
98,1
12,0
max
12,0
d
)2(
)2(
i
r
x
Método de Gauss - Jacobi
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
Calculando , para : d(2)r




ù




é
=




ù




é
=
0,966
1,98-
0,978
 
0,94
1,86-
0,96
 )2()1( xex
ï
î
ï
í
ì
=++
-=++
=++
6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx
026,0 -
12,0 -
018,0 -
)1(
3
)2(
3
)1(
2
)2(
2
)1(
1
)2(
1
=
=
=
xx
xx
xx
Método de Gauss - Jacobi
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
Prosseguindo com as iterações temos:
Para k=2
ï
î
ï
í
ì
=++
-=++
=++
6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx
e 0,0163 
1,9888
0,0324
 d
0,9984
1,9888-
0,9994
 g C 
(2)
r
(2)(3) ==




ù




é
=+= xx
Método de Gauss - Jacobi
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
Logo a solução obtida pelo método de Gauss-Jacobi é:
ï
î
ï
í
ì
=++
-=++
=++
6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx




ù




é
==
0,9984
1,9888-
0,9994
 (3)xx
Método de Gauss – Jacobi - Convergência
 No exemplo estudado, o valor de foi fornecido 
como entrada do problema. Todavia, a convergência 
ou não dos métodos iterativos independe da 
aproximação inicial escolhida
 Teorema: Critério das Linhas
Dado um sistema Ax=b, é condição suficiente para a 
convergência do método iterativo de Gauss-Jacobi:
ou seja, o somatório do módulo de todos os elementos 
da linha, exceto o elemento da diagonal principal, 
deve ser menor que este elemento
(0)x
n ..., 3, 2, 1,i para ,
1
=

=
ii
n
ij
j
ij aa
 Analisando a matriz A do sistema linear do exemplo 
anterior:
Assim:
Logo, como temos a 
convergência garantida para o método de Gauss-Jacobi
Método de Gauss – Jacobi - Convergência




ù




é
=
1032
151
1210
A
53210
2115
31210
323133
232122
131211
=+=+=
=+=+=
=+=+=
aaa
aaa
aaa
3 2, 1,i para 
1
=

=
ii
n
ij
j
ij aa
18/02/2019
23
 Exemplo: Dado o sistema:
O critério das linhas não é satisfeito pois:
Contudo, se permutarmos a primeira equação com a 
segunda, temos o sistema linear: 
Método de Gauss – Jacobi - Convergência
ï
î
ï
í
ì
-=+
=++
-=++
686
3225
23
32
321
321
xx
xxx
xxx
4131 131211 =+=+= aaa
ï
î
ï
í
ì
-=+
-=++
=++
686
23
3225
32
321
321
xx
xxx
xxx
 Exemplo: Dado o sistema:
O novo sistema é equivalente ao sistema original e 
sua matriz A satisfaz o critério de linhas:
Método de Gauss – Jacobi - Convergência
ï
î
ï
í
ì
-=+
=++
-=++
686
3225
23
32
321
321
xx
xxx
xxx




ù




é
=
860
131
225
A
 Conclusão:
 Sempre que o critério de linhas não for satisfeito, 
devemos tentar uma permutação de linhas e/ou colunas 
de forma a obtermos uma disposição para a qual a 
matriz dos coeficientes satisfaça o critério de linhas
Método de Gauss – Jacobi - Convergência
 Calcule as 3 primeiras iterações do método de Gauss-
Jacobi do sistema linear abaixo:
Utilize como chute inicial:
Exercício
ï
î
ï
í
ì
=+-
=--
=-+
5152
3865
7924
321
321
321
xxx
xxx
xxx




ù




é
=
3
2
1
 )0(x
 Calcule as 3 primeiras iterações do método de Gauss-
Jacobi do sistema linear abaixo:
Utilize como chute inicial:
Resp: 
Exercício
ï
î
ï
í
ì
=+-
=--
=-+
5152
3865
7924
321
321
321
xxx
xxx
xxx




ù




é
=
3
2
1
 )0(x




ù




é
-=
533,0
667,3
5,7
 )1(x
Sistemas Lineares 
Gauss - Seidel
18/02/2019
24
Método de Gauss-Seidel
 Similarmente ao método de Gauss-Jacobi, conhecida a 
estimativa inicial, x(0), obtém-se consecutivamente os 
vetores x(1), x(2), ..., x(k)
 Todavia, ao se calcular xj
(k+1), usa-se todos os valores 
x1
(k+1), x2
(k+1), ..., xj-1
(k+1) que já foram calculados e os 
valores xj+1
(k), xj+2
(k), ..., xn
(k) restantes. 
Método de Gauss-Seidel
 O processo do método de Gauss Seidel se dá a partir 
das equações: 
( )
( )
( )
( )
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ì
----=
-----=
-----=
-----=
+
--
+++
--
+++
--
++
--
+
1
11,
1
22
1
11
1
311,3
1
232
1
1313
33
1
3
211,2323
1
1212
22
1
2
111,13132121
11
1
1
...
1
...
1
...
1
...
1
k
nnn
k
n
k
nn
nn
k
n
k
nn
k
nn
kkk
k
nn
k
nn
kkk
k
nn
k
nn
kkk
xaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x

Método de Gauss - Seidel
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel com : 05,0
0
0
0
0 =




ù




é
= eex
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Método de Gauss - Seidel
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel: 
O processo iterativo é dado por:
( )
( )ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
--=--=
--=--=
--=--=
+++++
+++
+
 
6
3
6
3
6
0
 3 30
6
1
 
 
4
1
 
4
3
4
6
 36
4
1
 
 
5
1
 
5
1
5
5
) 5( 
5
1
)1(
2
)1(
1
)1(
2
)1(
1
)1(
3
)(
3
)1(
1
)(
3
)1(
1
)1(
2
)(
3
)(
2
)(
3
)(
2
)1(
1
kkkkk
kkkkk
kkkkk
xxxxx
xxxxx
xxxxx
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Método de Gauss - Seidel
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel: 
Assim para k=0 e temos:
ï
î
ï
í
ì
-=´-´-=--=
=´-´-=--=
=´-´-=--=
875,075,05,015,00 5,05,00 
75,0025,0175,05,1 25,0 75,05,1 
10 2,0 02,01 2,0 2,01
)1(
2
)1(
1
)1(
3
)0(
3
)1(
1
)1(
2
)0(
3
)0(
2
)1(
1
xxx
xxx
xxx




ù




é
=
0
0
0
0x
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Método de Gauss - Seidel
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel: 
Logo: 




ù




é
-
=+=
875,0
75,0
1
 g C (0)(1) xx
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
18/02/2019
25
875,0 -
75,0 -
1 -
)0(
3
)1(
3
)0(
2
)1(
2
)0(
1
)1(
1
=
=
=
xx
xx
xx
Método de Gauss - Seidel
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel: 
Calculando , para temos: d(1)r




ù




é
-
=




ù




é
=
875,0
75,0
1
 
0
0
0
 (1))0( xex
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
e=== 1
1
1
max
1
d
)1(
)1(
i
r
x
Método de Gauss - Seidel
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel: 
Assim para k=1 e temos:
ï
î
ï
í
ì
-=´-´-=--=
=-´-´-=--=
=-´-´-=--=
9875,095,05,0025,15,00 5,05,00 
95,0875,025,0025,175,05,1 25,0 75,05,1 
025,1875,0 2,0 75,02,01 2,0 2,01
)2(
2
)2(
1
)2(
3
)1(
3
)2(
1
)2(
2
)1(
3
)1(
2
)2(
1
xxx
xxx
xxx




ù




é
=
0,875-
0,75
1
)1(x
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Método de Gauss - Seidel
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel: 
Logo: 




ù




é
-
=+=
9875,0
95,0
025,1
 g C )1()2( xx
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
e=== 1951,0
025,1
2,0
max
2,0
d
)2(
)1(
i
r
x
Método de Gauss - Seidel
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel: 
Calculando , para : d(2)r




ù




é
-
=




ù




é
-
=
9875,0
95,0
025,1
 
875,0
75,0
1
 )2()1( xex
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
1125,0 -
20,0 -
025,0 -
)1(
3
)2(
3
)1(
2
)2(
2
)1(
1
)2(
1
=
=
=
xx
xx
xx
Método de Gauss - Seidel
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel: 
Prosseguindo com as iterações temos:
Para k=3
ε 4090,0 d
9930,9
9912,0
0075,1
 g C 
)3(
r
)2()3( =




ù




é
-
=+= xx
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Método de Gauss - Seidel
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel: 
Prosseguindo com as iterações temos:
Logo a solução obtida pelo método de Gauss-Seidel é:
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx




ù




é
-
==
9930,9
9912,0
0075,1
 )3(xx
18/02/2019
26
Método de Gauss – Seidel - Convergência
 Para o método de Gauss Seidel, utilizaremos os 
seguintes critérios de convergência
 Critério de Sassenfeld
 Critérios das Linhas
Critério de Sassenfeld
 Sejam o valores dados por:
n - ordem do sistema linear que se deseja resolver
aij - coeficientes das equações do sistema
Este critério garante que o método de Gauss-Seidel 
convergirá para um dado SEL se o valor M, definido por: 
for menor que 1 (M<1). Além disso, quanto menor o 
valor de mais rápida será a convergência 
n ..., 3, 2, i para
11
1
1
12
1
11
1
=


ù


é
+´´=´= 
+=
-
==
n
ij
ij
i
j
jij
ii
i
n
j
j aa
a
ea
a
bbb
ib
i
M
ni
bmax
1 
=
b
Critério de Sassenfeld
 Seja A a matriz dos coeficientes e b o vetor dos 
termos constantes, dados por:





ù





é
444434241
334333231
224232221
114131211
 
 
 
 
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
b1 =
1
a11
× | a12 |+ | a13 |+ | a14 |( )
b2 =
1
a22
× a21 b1 + a23 + a24( )
b3 =
1
a33
× a31 b1 + a32 b2 + a34( )
b4 =
1
a44
× a41 b1 + a42 b2 + a43 b3( )
Critério de Sassenfeld
 Exemplo: Mostrar que a solução do sistema a seguir 
convergirá pelo método de Gauss-Seidel. 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
-=+++-
=++--
-=--+
=+-+
10 48,0 2,1 4,0
1 2,0 2,0 1,0
8,7 3,06,0 3 6,0
4,0 2,02,0 2
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Critério de Sassenfeld
 Exemplo: Mostrar que a solução do sistema a seguir 
convergirá pelo método de Gauss-Seidel. 
( )
( )
( )
( ) 2736,0358,08,044,02,17,04,0
4
1
358,02,044,02,07,01,0
1
1
44,03,06,07,06,0
3
1
7,02,02,01
2
1
4
3
2
1
=´+´+´´=
=+´+´´=
=++´´=
=++×=
b
b
b
b
 
4,0 0,8 1,2 0,4 
0,2 1,0 0,2- 0,1-
0,3- 0,6- 3,0 0,6 
0,2 0,2- 1,0 2,0 
 A =
7,0max
1
==
 ini
M b
Logo, como M < 1, o método de
Gauss – Seidel converge para o
sistema em questão
Critério de Sassenfeld
 O exemplo anterior também satisfaz o critério das 
linhas:
 
4,0 0,8 1,2 0,4 
0,2 1,0 0,2- 0,1-
0,3- 0,6- 3,0 0,6 
0,2 0,2- 1,0 2,0 
 A =
4,28,02,14,04
5,02,02,01,01
5,13,06,06,03
4,12,02,012
43424144
34323133
24232122
14131211
=++=++=
=++=++=
=++=++=
=++=++=
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
 4 3, 2, 1,i para 
1
=

=
ii
n
ij
j
ij aa
18/02/2019
27
Considerações finais – Gauss Seidel
 Tanto o Critério de Sassenfeld quanto o Critério das 
Linhas são condições suficientes, porém não 
necessárias, para a convergência do método de 
Gauss-Seidel para um dado sistema linear
 Um dado sistema pode não satisfazer estes critérios e 
ainda convergir
 Um sistema pode não satisfazer o Critério das Linhas, 
porém sua convergência
será garantida se satisfizer o 
Critério de Sassenfeld 
Considerações finais – Gauss Seidel
 Critério das Linhas x Critério de Sassenfeld
Exemplo: Seja o sistema linear abaixo:
O Critério das Linhas não é satisfeito, visto que:
Todavia o Critério de Sassenfeld é satisfeito, uma vez que:
Convergência garantida!
î
í
ì
=+
=+
18 2 6
23 10
21
21
xx
xx
62 2122 == aa
( ) 3,01,06
2
1
1,01
10
1
21 =´´==´= bb e
Considerações finais – Métodos 
Diretos/Iterativos
 Métodos Diretos
 Processos finitos
 Teoricamente obtêm a solução de qualquer sistema 
linear ( det(A) diferente de 0 )
 Podem sofrer com problemas de arredondamento
 Solução: Técnicas de Pivoteamento
 Métodos Iterativos
 Convergem para a solução do sistema linear somente 
sob certas condições
 Sofrem menos com problemas de arredondamento
 Convergência independe do valor de x(0)
 Somente erros cometidos na última iteração 
afetam a solução
 Calcule as 3 primeiras iterações do método de Gauss-
Siedel do sistema linear abaixo:
Utilize como chute inicial:
Resp. 
Exercício
ï
î
ï
í
ì
=+-
=--
=-+
5152
3865
7924
321
321
321
xxx
xxx
xxx




ù




é
=
3
2
1
 )0(x




ù




é
=
0,067
75,1
5,7
 )1(x




ù




é
=
3,0
266,0
026,1
 )2(x




ù




é
=
315,0
01,1
292,2
 )3(x
05_Interpolacao_Folheto.pdf
18/02/2019
1
Interpolação
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Programa
1. Introdução
2. Métodos de Interpolação
a) Linear
b) Quadrática
c) Lagrange
d) Newton
e) Gregory-Newton
3. Estudo do Erro
Introdução
 Muitas funções são conhecidas apenas em um conjunto 
finito e discreto de pontos de um intervalo [a,b] 
 Exemplo: A tabela abaixo informa o número de carros 
que passam por um determinado pedágio em um 
determinado dia 
 A partir dos dados acima, suponhamos que se queira 
calcular o número de carros que passariam pelo 
pedágio às 11:30
Horário 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00
Quantidade 
Carros (x1000) 2,69 1,64 1,09 1,04 1,49 2,44
Introdução
 A interpolação tem o objetivo de ajudar na resolução 
deste tipo de problema
 Interpolar uma função y = f(x), em um conjunto discreto 
de pontos, pertencentes a um intervalo [a, b], consiste 
em substituí-la, ou aproximá-la, por uma outra 
função, y = g(x), escolhida dentro de uma classe de 
funções definida a priori e que satisfaça algumas 
propriedades. A função y = g(x) é, então, usada no 
lugar da função y = f(x)
Introdução
 A necessidade de se efetuar esta substituição surge em 
várias situações, como por exemplo:
 Quando y = f(x) não é conhecida na sua forma analítica, 
nas apenas em um conjunto discreto de pontos 
(xi, yi), i = 0, 1, ..., n
 Quando y = f(x) é conhecida na sua forma analítica, mas 
operações como a diferenciação e a integração são 
difíceis (ou impossíveis) de realizar, ou seja, a função é 
difícil de ser tratada.
 Logo, podemos procurar uma outra função que seja uma 
aproximação y = f(x) e cujo manuseio seja bem mais 
simples
Introdução
 Teoricamente, a função interpoladora, y = g(x), pode ser 
de tipos variados, tais como:
 polinomiais
 trigonométricas
 exponenciais
 logarítmicas
 Porém, para consideraremos apenas o estudo das 
funções polinomiais
18/02/2019
2
Conceito Formal de Interpolação Numérica
 Consideremos (n+1) pontos distintos: x0, x1, ..., xn, 
chamados nós da interpolação, e os valores de f(x)
nesses pontos: f(x0), f(x1), ..., f(xn)
 Uma forma de interpolação de f(x) consiste em se obter 
uma determinada função g(x) tal que:
)()(
)()(
)()(
)()(
22
11
00
nn xfxg
xfxg
xfxg
xfxg
=
=
=
=

Conceito Formal de Interpolação Numérica
 Graficamente, para n=5 temos (6 pontos), temos:
 Nos nós da interpolação as funções f(x) e g(x)
assumem os mesmos valores!
Interpolação Polinomial
 Dados os pontos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)), 
portanto (n+1) pontos, queremos aproximar f(x) por um 
polinômio pn(x) de grau menor ou igual a n, tal que:
f(xk) = pn(xk) k = 0,1, 2 , …. , n
 Representaremos pn(x) por:
 Portanto, obter pn(x) significa obter os coeficientes a0,
a1, ..., an
n
nn xaxaxaaxp ++++= ...)(
2
210
Interpolação Polinomial
 Surgem então as seguintes perguntas: 
 Existe sempre um polinômio que satisfaça as condições 
anteriores? 
 Caso exista, ele é único?
Teorema:
Existe um único polinômio pn(x) de grau ≤ n, tal que 
pn(xk) = f(xk), k = 0,1, 2 , …. , n desde que xk ≠ xj, j ≠ k
 Demonstrando o Teorema:
Seja 
Da condição , 
montamos o seguinte sistema linear:
com n+1 equações e n+1 incógnitas a0, a1, ..., an
Interpolação Polinomial
nkxfxp kkn ...,,2,1,0),()( ==
a0 +a1x0 +a2x0
2 +...+ anx0
n = f (x0 )
a0 +a1x1 +a2x1
2 +...+ anx1
n = f (x1)
     
a0 +a1xn +a2xn
2 +...+ anxn
n = f (xn)
ì
í





n
nn xaxaxaaxp ++++= ...)(
2
210
Interpolação Polinomial
 Demonstrando o Teorema:
Da notação Matricial temos: v x a = f
onde V é uma matriz de Vardermonde e, portanto, desde 
que x0, x1, x2, …, xn sejam pontos distintos, temos det(v) ≠ 0. 
Logo, o sistema linear admite solução única. A matriz coluna 
a é a matriz das incógnitas e a matriz coluna f é a matriz das 
constantes f(xi) = yi












=












=














=
)(
)(
)(
,
1
1
1
1
0
1
0
2
1
2
11
0
2
00
nn
n
nnn
n
n
xf
xf
xf
fe
a
a
a
a
xxx
xxx
xxx
v





18/02/2019
3
Interpolação Polinomial
 Existem várias formas de se obter o polinômio pn(x) 
 Linear
 Quadrática
 Lagrange
 Newton
 Gregory-Newton, etc
Interpolação
Interpolação Linear
Interpolação Linear
 Dados dois pontos distintos de uma função y = f(x) :
(x0, y0) e (x1, y1), deseja-se calcular o valor de ӯ para 
um determinado valor de x entre x0 e x1, utilizando-se a 
interpolação polinomial
 O polinômio interpolador é uma unidade menor que o 
número de pontos conhecidos
 Assim, nesse caso, o polinômio interpolador terá grau 1, 
ou seja:
p1(x) = a0 + a1x 
Interpolação Linear
 Para determinar este polinômio, os coeficientes a0 e a1
devem ser calculados de forma que se tenha:
p1(x0) = f(x0) = y0 e p1(x1) = f(x1) = y1
 Ou seja, basta resolver o sistema linear abaixo:
onde a1 e a0 são as incógnitas
 Reescrevendo o sistema na forma matricial, temos:

í
ì
=+
=+
1110
0010
yxaa
yxaa






=











1
0
1
0
1
0
1
1
y
y
a
a
x
x
 Transformando em um sistema triangular equivalente 
(utilizando a Eliminação de Gauss), temos:
 A solução do sistema é dada por:








0101
00
0
1
yyxx
yx
Interpolação Linear






11
00
1
1
yx
yx
 
í
ì
=
=+

01011
0010
yyxxa
yxaa
0100
01
01
1 xayae
xx
yy
a =


=
Interpolação Linear
 Logo, o polinômio interpolador pode ser escrito da 
seguinte forma:
ou, de forma mais apropriada:
xaaxp 101 )( +=
)()( 0
01
01
01 xx
xx
yy
yxp 


+=
)( 010 xxay +=xaxay 1010 )( +=
18/02/2019
4
Interpolação Linear
 O determinante da matriz A é diferente de zero, sempre 
que x0 ≠ x1, logo para pontos distintos o sistema tem 
solução única
 O polinômio interpolador p1(x) = a1x+ a0 tem como 
imagem geométrica uma reta, portanto a função f(x)
está sendo aproximada por uma reta que passa pelos 
pontos conhecidos (x0, y0) e (x1, y1)
Interpolação Linear
 O gráfico abaixo, mostra geometricamente, os dois 
pontos (x0, y0) e (x1, y1), e a reta que passa por eles.
Interpolação Linear
 Exemplo: Seja a função y = p1(x) definida pelos pontos 
da tabela abaixo, determinar o valor de p1(15):
Solução:
Aplicando a fórmula temos:
Logo: 
i 0 1
x 10 20
y = f(x) 250 432
)()( 0
01
01
01 xx
xx
yy
yxp 


+=
)10(
1020
250432
250)(1 


+= xxp
34168152,18)15(1 =+=p
682,18 += x
Interpolação
Interpolação Quadrática
Interpolação Quadrática
 Se conhecermos três pontos distintos de uma função, 
então o polinômio interpolador será:
p2(x) = a2x
2 + a1x + a0
 O polinômio p2(x) é conhecido como função quadrática 
cuja imagem geométrica é uma parábola
 Portanto, a função f(x) é aproximada por uma parábola 
que passa pelos três pontos conhecidos (x0, y0), (x1, y1) 
e (x2, y2)
Interpolação Quadrática
 Para determinar os valores de a0, a1 e a2 é necessário 
resolver o sistema:
onde a1, a0 e a2 são as incógnitas e os pontos (x0, y0), 
(x1, y1) e (x2, y2) são conhecidos.



í
ì
=++
=++
=++
2
2
22210
1
2
12110
0
2
02010
yxaxaa
yxaxaa
yxaxaa
18/02/2019
5
Interpolação Quadrática
 Reescrevendo o sistema na forma matricial, temos:
 O sistema acima admite solução única, pois 
det(X) = (x2 –x0) (x2 – x1)(x1 – x0) ≠ 0. Logo, pelos três 
pontos ordenados passa um único polinômio 
interpolador de 2° grau










=





















2
1
0
2
1
0
2
22
2
11
2
00
1
1
1
y
y
y
a
a
a
xx
xx
xx
Interpolação Quadrática
 Para encontrar os coeficientes ai, basta resolver 
o sistema de equações ( Eliminação de Gauss, 
Decomposição LU, Método de Gauss-Jacobi, Método 
de Gauss-Siedel, etc )
Interpolação Quadrática
 Exemplo: Seja a função y = p2(x) definida pelos pontos 
da tabela abaixo, determinar o valor de p2(0,2):
Solução:
Montando o sistema linear:
i 0 1 2
x 0,1 0,6 0,8
y = f(x) 1,221 3,320 4,953



í
ì
=++
=++
=++
953,48,08,0
320,36,06,0
221,11,01,0
2
210
2
210
2
210
aaa
aaa
aaa
Interpolação Quadrática
 Exemplo: Seja a função y = p2(x) definida pelos pontos 
da tabela abaixo, determinar o valor de p2(0,2):
Solução:
Montando o sistema linear:










=





















953,4
320,3
221,1
8,08,01
6,06,01
1,01,01
2
1
0
2
2
2
a
a
a
i 0 1 2
x 0,1 0,6 0,8
y = f(x) 1,221 3,320 4,953
Interpolação Quadrática
 Exemplo: Seja a função y = p2(x) definida pelos pontos 
da tabela abaixo, determinar o valor de p2(0,2):
Solução:
Aplicando a Eliminação de Gauss ao sistema, 
chegaremos ao seguinte sistema triangular superior:



í
ì
=
=+
=++











 567,01,0
733,363,07,0
221,101,01,0
567,01,000
733,363,07,00
221,101,01,01
2
21
210
a
aa
aaa
i 0 1 2
x 0,1 0,6 0,8
y = f(x) 1,221 3,320 4,953
Interpolação Quadrática
 Exemplo: Seja a função y = p2(x) definida pelos pontos 
da tabela abaixo, determinar o valor de p2(0,2):
Solução:
Resolvendo o sistema triangular superior, encontramos: 
a2 = 5,667; a1 = 0,231; a0 = 1,141
Logo o polinômio terá a seguinte forma:
2
2 667,5231,0141,1)( xxxp ++=
i 0 1 2
x 0,1 0,6 0,8
y = f(x) 1,221 3,320 4,953
18/02/2019
6
Interpolação Quadrática
 Exemplo: Seja a função y = p2(x) definida pelos pontos 
da tabela abaixo, determinar o valor de p2(0,2):
Solução:
Calculando o valor de p2(0,2)
2
2 2,0667,52,0231,0141,1)2,0( ++=p
414,1)2,0(2 =p
i 0 1 2
x 0,1 0,6 0,8
y = f(x) 1,221 3,320 4,953
Exercício prático
 Seja a tabela:
 Usando interpolação quadrática sobre pontos 
adequados, calcule f(0.35), onde f(x) = ex.
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
ex 1 1.11 1.22 1.35 1.49 1.65
Interpolação
Interpolação de Lagrange
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Interpolação de Lagrange
 As interpolações vistas anteriormente são casos 
particulares da interpolação de Lagrange. Vamos 
estudar agora o polinômio interpolador de grau menor 
ou igual a n, sendo dados n + 1 pontos distintos
Interpolação de Lagrange
 Sejam x0, x1, x2, ..., xn, ( n + 1 ) pontos distintos e 
yi = f(xi), i = 0, 1, ..., n
 Seja pn(x) o polinômio de grau ≤ n que interpola f em 
x0, ..., xn.
 Podemos representar pn(x) na forma:
onde os polinômios Lk(x) são de grau n.
)(...)()()( 1100 xLyxLyxLyxp nnn +++=
Interpolação de Lagrange
 Para cada i, queremos que a condição pn(xi) = yi seja 
satisfeita, ou seja:
 A forma mais simples de se satisfazer esta condição é 
impor: 

í
ì
=

=
ikse
ikse
xL ik
1
0
)(
iinniiin yxLyxLyxLyxp =+++= )(...)()()( 1100
18/02/2019
7
Interpolação de Lagrange
 E para isso, definimos Lk(x) por:
como o numerador de Lk(x) é um produto de n fatores 
da forma: (x - xi), i = 0, 1, 2, ..., n, i ≠ k, então Lk(x) é 
um polinômio de grau n e, assim, pn(x) é um 
polinômio de grau menor ou igual a n
 Note que, na fórmula acima, e
como pré-definido anteriormente
))...()()...()((
))...()()...()((
)(
1110
1110
nkkkkkkk
nkk
k
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xL


=
+
+
1)( =kk xL
kise0)( =ik xL
Interpolação de Lagrange
 Assim, para x = xi, i = 0, …,
n temos:
 Então a interpolação de Lagrange para o polinômio 
interpolador é:
 Fazendo a substituição de Lk(x) na fórmula, temos:

=
===
n
k
iiiiikkin yxLyxLyxp
0
)()()(
 
= = 

==
n
k
n
kjj jk
j
kkkn
xx
xx
xLondexLyxp
0 ,0 )(
)(
)(),()(
 
= = 









=
n
k
n
kjj jk
j
kn
xx
xx
yxp
0 ,0 )(
)(
)(
Interpolação de Lagrange
 Exemplo: Considere a tabela de dados abaixo:
Solução:
Pela forma de Lagrange, temos que:
onde:
i 0 1 2
x -1 0 2
y = f(x) 4 1 -1
)()()()( 2211002 xLyxLyxLyxp ++=
))((
))((
)(
2010
21
0
xxxx
xxxx
xL


=
3
22 xx 
=
)21)(01(
)2)(0(


=
xx
Interpolação de Lagrange
 Exemplo: Considere a tabela de dados abaixo:
Solução:
Pela forma de Lagrange, temos que:
i 0 1 2
x -1 0 2
y = f(x) 4 1 -1
))((
))((
)(
2101
20
1
xxxx
xxxx
xL


=
))((
))((
)(
1202
10
2
xxxx
xxxx
xL


=
2
22


=
xx
)20)(10(
)2)(1(
+
+
=
xx
6
2 xx +
=
)02)(12(
)0)(1(
+
+
=
xx
Interpolação de Lagrange
 Exemplo: Considere a tabela de dados abaixo:
Solução:
Voltando na forma de Lagrange, temos:
Chegamos então a:
i 0 1 2
x -1 0 2
y = f(x) 4 1 -1





 +
+







+




 
=
6
)1(
2
2
1
3
2
4)(
222
2
xxxxxx
xp
)()()()( 2211002 xLyxLyxLyxp ++=
2
2
3
2
3
7
1)( xxxp +=
Interpolação de Lagrange
 Exercício: Considere a tabela de dados abaixo:
Escreva o polinômio de Lagrange de ordem 2 para esse 
conjunto de pontos. Calcule p2(2,5).
Resposta: p2(x) = 20,897 – 23,497x + 12,354x
2
p2(2,5) = 39,37
i 0 1 2
x 1,1 2,2 3,5
y = f(x) 10 29 90
18/02/2019
8
Interpolação Linear/Quadrática
 Exercício: Dados os pontos abaixo, encontre:
a) O polinômio interpolador de ordem 2 (Parábola) que 
ajusta os pontos acima, utilizando o método de Gauss 
para triangularizar o sistema de equações
Resposta: p2(x) = -0,5775 + 0,7567x – 0,0214x
2
b) O polinômio de ordem 1 ( reta ) que ajusta os pontos 
x0 e x2
Resposta: p1(x) =0,7059 + 0,2647x
i 0 1 2
x 3 9 20
y = f(x) 1,5 4,5 6,0
Interpolação
Interpolação de Newton
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira
Interpolação de Newton
 Um polinômio pn(x) com grau n é baseado em n + 1 
pontos
 Um novo ponto é observado. Como atualizar pn(x)
passando a pn+1(x)?
 Não queremos recalcular todos os valores...
 É possível fazer isto?
 Sim: Interpolação de Newton
Interpolação de Newton
 A forma de Newton para o polinônio pn(x), que interpola 
f(x) em (n+1) pontos distintos x0, x1, ..., xn , é a seguinte:
 No Método da Interpolação de Newton, os valores de dk
são dados por Diferenças Divididas de ordem k.
    
    110
102010
....... 
.......)(
+
++++=
nn
n
xxxxxxd
xxxxdxxddxp
 Seja f(x) definida em (n+1) pontos distintos x0, 
x1, ..., xn. O operador Diferenças Divididas é dado:
 Dizemos que f[x0, x1, x2, ..., xn] é a diferença dividida
de ordem k da função f(x) sobre os k + 1 pontos
Interpolação de Newton – Dif. Divididas
)(][ 00 xfxf =
01
01
01
01
10
)()(][][
],[
xx
xfxf
xx
xfxf
xxf


=


=

02
1021
210
],[],[
],,[
xx
xxfxxf
xxxf


=
0
121021
210
],....,,,[],...,,[
],...,,,[
xx
xxxxfxxxf
xxxxf
n
nn
n


= 
Interpolação de Newton – Dif. Divididas
 Conhecidos os valores que f(x) assume nos pontos 
distintos x0, x1, x2, ..., xn, podemos construir a seguinte 
tabela das Diferenças Divididas:
)(][ 00 xfxf =
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem n
x0
x1
x2
..... ...... ...... .........
xn
],[ 10 xxf
],[ 21 xxf
],,[ 210 xxxf
][ 0xf
][ 1xf
][ 2xf
],[ 32 xxf
],[ 1 nn xxf 
],,[ 321 xxxf
],..,,[ 10 nxxxf
18/02/2019
9
Interpolação de Newton – Dif. Divididas
 Montando a tabela das Diferenças Divididas para 
n = 4:
 Passo 1 : calcule f[x0, x1] 
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3
x0 f [x0]
f [x0, x1]
x1 f [x1]
x2 f [x2]
x3 f [x3]
Interpolação de Newton – Dif. Divididas
 Montando a tabela das Diferenças Divididas para 
n = 4:
 Passo 2 : calcule f[x1, x2] 
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3
x0 f [x0]
f [x0, x1]
x1 f [x1]
f [x1, x2]
x2 f [x2]
x3 f [x3]
Interpolação de Newton – Dif. Divididas
 Montando a tabela das Diferenças Divididas para 
n = 4:
 Passo 3 : calcule f[x2, x3] 
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3
x0 f [x0]
f [x0, x1]
x1 f [x1]
f [x1, x2]
x2 f [x2]
f [x2, x3]
x3 f [x3]
Interpolação de Newton – Dif. Divididas
 Montando a tabela das Diferenças Divididas para 
n = 4:
 Passo 4 : calcule f[x0, x1, x2] 
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3
x0 f [x0]
f [x0, x1]
x1 f [x1] f [x0, x1 ,x2]
f [x1, x2]
x2 f [x2]
f [x2, x3]
x3 f [x3]
Interpolação de Newton – Dif. Divididas
 Montando a tabela das Diferenças Divididas para 
n = 4:
 Passo 5 : calcule f[x1, x2, x3] 
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3
x0 f [x0]
f [x0, x1]
x1 f [x1] f [x0, x1 ,x2]
f [x1, x2]
x2 f [x2] f [x1, x2 ,x3]
f [x2, x3]
x3 f [x3]
Interpolação de Newton – Dif. Divididas
 Montando a tabela das Diferenças Divididas para 
n = 4:
 Passo 6 : calcule f[x0, x1, x2, x3] 
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3
x0 f [x0]
f [x0, x1]
x1 f [x1] f [x0, x1 ,x2]
f [x1, x2] f [x0, x1 ,x2, x3]
x2 f [x2] f [x1, x2 ,x3]
f [x2, x3]
x3 f [x3]
18/02/2019
10
Interpolação de Newton – Dif. Divididas
 Propriedades das Diferenças Divididas:
 Satisfazem a propriedade de ser simétrica aos 
argumentos:
 Exemplo: 
],[
][][][][
],[ 01
10
10
01
01
10 xxf
xx
xfxf
xx
xfxf
xxf =


=


=
].......,,[],,[],,[ 021201210 xxxfxxxfxxxf ==
Interpolação de Newton – Dif. Divididas
 Propriedades das Diferenças Divididas:
 Cada coeficiente dn do Polinômio Interpolador de 
Newton corresponde ao operador de grau n de 
Diferenças Divididas:
nn dxxxxf
dxxxf
dxxf
dxf
=
=
=
=
],...,,,[
],,[
],[
][
210
2210
110
00

Interpolação de Newton
 Logo a forma de Newton para o polinômio de ordem n 
que interpola f(x) é dada por:
))....()(](,..,,,[... 
...))(](,,[)](,[][)(
110210
102100100
++
+++=
nn
n
xxxxxxxxxxf
xxxxxxxfxxxxfxfxp
    
    110
102010
....... 
.......)(
+
++++=
nn
n
xxxxxxd
xxxxdxxddxp
Interpolação de Newton
 Exemplo: Usando a forma de Newton, calcule o 
polinômio p4(x) que interpola f(x) nos pontos abaixo:
Tabela das Diferenças Divididas:
x -1 0 1 2 3
f(x) 1 1 0 -1 -2
Interpolação de Newton
 Exemplo: Usando a forma de Newton, calcule o 
polinômio p4(x) que interpola f(x) nos pontos abaixo:
A forma de Newton que interpola estes pontos é 
dada por:
x -1 0 1 2 3
f(x) 1 1 0 -1 -2
)2)(1)(0)(1(
24
1
 
)1)(0)(1(
6
1
 
)0)(1(
2
1
)1(01)(4
+





+
+





+
+





+++=
xxxx
xxx
xxxxp
Interpolação de Newton
 Exemplo: Usando a forma de Newton, calcule o 
polinômio p4(x) que interpola f(x) nos pontos abaixo:
A forma de Newton que interpola estes pontos é 
dada por:
x -1 0 1 2 3
f(x) 1 1 0 -1 -2
)2)(1)(1(
24
1
 
)1)(1(
6
1
 
)1(
2
1
1)(4
+





+
+





+
+





+=
xxxx
xxx
xxxp
18/02/2019
11
Interpolação de Newton
 Lagrange e Newton acham o mesmo polinômio, apenas 
expressam e calculam de forma diferente
 O cálculo de Newton e estável numericamente (como 
Lagrange) mas é computacionalmente mais eficiente 
que Lagrange (menos operações)
Interpolação de Newton
 Exercício: Usando a forma de Newton, calcule o 
polinômio p2(x) que interpola f(x) nos pontos abaixo:
Resposta:
i 0 1 2
x -1 0 2
y = f(x) 4 1 -1
2
2
3
2
3
7
1)( xxxp +=
Interpolação
Interpolação de Gregory-Newton
Interpolação de Gregory-Newton
 Muitas vezes são encontrados problemas de 
interpolação cuja tabela de pontos conhecidos tem 
valores que são igualmente espaçados, ou seja:
 Assim xi+1 – xi = h, para todo i, sendo h uma constante
hxxxxxxxx nn ===== 1231201 ...
hxx ii += 1 hixxi *0 +=
Interpolação de Gregory-Newton
 Diferenças Ordinárias ou Finitas
)()()(1 xfhxfxf +=
)()(0 xfxf =

)()()( 112 xfhxfxf +=
)()()( 11 xfhxfxf nnn  +=
Interpolação de Gregory-Newton
 Diferenças Ordinárias ou Finitas
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 … Ordem n
x0 f (x0)
∆1 f (x0)
x1 f (x1) ∆
2 f (x0)
∆1 f (x1)
x2 f (x2) ∆
2 f (x1)
... ... ... ... ... ∆n f (x0)
xn-2 f (xn-2)
∆1 f (xn-2)
xn-1 f (xn-1) ∆
2 f (xn-2)
∆1 f (xn-1)
xn f (xn)
18/02/2019
12
Interpolação de Gregory-Newton
 Montando a tabela das Diferenças Ordinárias ou 
Finitas para n = 4:
 Passo 1: calcule ∆1 f (x0)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
x0 f (x0)
∆1 f (x0)
x1 f (x1)
x2 f (x2)
x3 f (x3)
x4 f (x4)
Interpolação de Gregory-Newton
 Montando a tabela das Diferenças Ordinárias ou 
Finitas para n = 4:
 Passo 2: calcule ∆1 f (x1)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
x0 f (x0)
∆1 f (x0)
x1 f (x1)
∆1 f (x1)
x2 f (x2)
x3 f (x3)
x4 f (x4)
Interpolação de Gregory-Newton
 Montando a tabela das Diferenças Ordinárias ou 
Finitas para n = 4:
 Passo 3: calcule ∆1 f (x2)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
x0 f (x0)
∆1 f (x0)
x1 f (x1)
∆1 f (x1)
x2 f (x2)
∆1 f (x2)
x3 f (x3)
x4 f (x4)
Interpolação de Gregory-Newton
 Montando a tabela das Diferenças Ordinárias ou 
Finitas para n = 4:
 Passo 4: calcule ∆1 f (x3)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
x0 f (x0)
∆1 f (x0)
x1 f (x1)
∆1 f (x1)
x2 f (x2)
∆1 f (x2)
x3 f (x3)
∆1 f (x3)
x4 f (x4)
Interpolação de Gregory-Newton
 Montando a tabela das Diferenças Ordinárias ou 
Finitas para n = 4:
 Passo 5: calcule ∆2 f (x0)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
x0 f (x0)
∆1 f (x0)
x1 f (x1) ∆
2 f (x0)
∆1 f (x1)
x2 f (x2)
∆1 f (x2)
x3 f (x3)
∆1 f (x3)
x4 f (x4)
Interpolação de Gregory-Newton
 Montando a tabela das Diferenças Ordinárias ou 
Finitas para n = 4:
 Passo 6: calcule ∆2 f (x1)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
x0 f (x0)
∆1 f (x0)
x1 f (x1) ∆
2 f (x0)
∆1 f (x1)
x2 f (x2) ∆
2 f (x1)
∆1 f (x2)
x3 f (x3)
∆1 f (x3)
x4 f (x4)
18/02/2019
13
Interpolação de Gregory-Newton
 Montando a tabela das Diferenças Ordinárias ou 
Finitas para n = 4:
 Passo 7: calcule ∆2 f (x2)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
x0 f (x0)
∆1 f (x0)
x1 f (x1) ∆
2 f (x0)
∆1 f (x1)
x2 f (x2) ∆
2 f (x1)
∆1 f (x2)
x3 f (x3) ∆
2 f (x2)
∆1 f (x3)
x4 f (x4)
Interpolação de Gregory-Newton
 Montando a tabela das Diferenças Ordinárias ou 
Finitas para n = 4:
 Passo 8: calcule ∆3 f (x0)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
x0 f (x0)
∆1 f (x0)
x1 f (x1) ∆
2 f (x0)
∆1 f (x1) ∆
3 f (x0)
x2 f (x2) ∆
2 f (x1)
∆1 f (x2)
x3 f (x3) ∆
2 f (x2)
∆1 f (x3)
x4 f (x4)
Interpolação de Gregory-Newton
 Montando a tabela das Diferenças Ordinárias ou 
Finitas para n = 4:
 Passo 9: calcule ∆3 f (x1)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
x0 f (x0)
∆1 f (x0)
x1 f (x1) ∆
2 f (x0)
∆1 f (x1) ∆
3 f (x0)
x2 f (x2) ∆
2 f (x1)
∆1 f (x2) ∆
3 f (x1)
x3 f (x3) ∆
2 f (x2)
∆1 f (x3)
x4 f (x4)
Interpolação de Gregory-Newton
 Montando a tabela das Diferenças Ordinárias ou 
Finitas para n = 4:
 Passo 10: calcule ∆4 f (x0)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
x0 f (x0)
∆1 f (x0)
x1 f (x1) ∆
2 f (x0)
∆1 f (x1) ∆
3 f (x0)
x2 f (x2) ∆
2 f (x1) ∆
4 f (x0)
∆1 f (x2) ∆
3 f (x1)
x3 f (x3) ∆
2 f (x2)
∆1 f (x3)
x4 f (x4)
Interpolação de Gregory-Newton
 Relação entre Diferenças Divididas e Diferenças 
Ordinárias
Teorema: Se xj = x0 + j * h, para j = 0, 1, 2, …, n, então:
 
n
n
n
hn
xf
xxxxf
!
)(
...,,,, 0210

=
Interpolação de Gregory-Newton
 Relação entre Diferenças Divididas e Diferenças 
Ordinárias
Prova:
por indução, podemos mostrar que esta regra é válida 
para valores maiores que 2
  )( 00 xfxf =
  =


=
02
1021
210
],[],[
,,
xx
xxfxxf
xxxf
  =


=


=
01
01
01
01
10
)()(][][
,
xx
xfxf
xx
xfxf
xxf
h
xf
h
xfhxf )()()( 000 =
+
=
2
0
2
01
2
)(
2
)()(
h
xf
h
h
xf
h
xf

=



=
18/02/2019
14
Interpolação de Gregory-Newton
 Partindo da fórmula original do Método de Newton, 
que é:
podemos derivar a fórmula do Método de Gregory-
Newton, que utiliza as Diferenças Ordinárias:
))....()(](,..,,,[ 
...))(](,,[)](,[][)(
110210
102100100
+
+++=
nn
n
xxxxxxxxxxf
xxxxxxxfxxxxfxfxp
))....()((
!
)(
 
...))((
2
)(
)(
)(
)()(
110
0
102
0
2
0
0
0


+
+

+

+=
nn
n
n
xxxxxx
hn
xf
xxxx
h
xf
xx
h
xf
xfxp
Interpolação de Gregory-Newton
 Exemplo: Construir a tabela de diferenças ordinárias 
para a função f(x) tabelada abaixo e calcular p4(0,5)
pela fórmula de Gregory-Newton:
Solução:
x -1 0 1 2 3
f(x) 2 1 2 5 10
 Exemplo: Construir a tabela de diferenças ordinárias 
para a função
f(x) tabelada abaixo e calcular p4(0,5)
pela fórmula de Gregory-Newton:
Solução:
A forma de Gregory-Newton que interpola estes pontos 
é dada por:
Interpolação de Gregory-Newton
x -1 0 1 2 3
f(x) 2 1 2 5 10
))()()((
!4
)(
))()((
!3
)(
))((
!2
)(
)(
!1
)(
)()(
32104
0
4
2103
0
3
102
0
2
01
0
04
xxxxxxxx
h
xf
xxxxxx
h
xf
xxxx
h
xf
xx
h
xf
xfxp



+


+
+


+


+=
 Exemplo: Construir a tabela de diferenças ordinárias 
para a função f(x) tabelada abaixo e calcular p4(0,5)
pela fórmula de Gregory-Newton:
Solução:
Interpolação de Gregory-Newton
x -1 0 1 2 3
f(x) 2 1 2 5 10
)2)(1)()(1(
124
0
)1)()(1(
16
0
))(1(
12
2
)1(
11
1
2)(4
+

++

+
+

++


+=
xxxxxxx
xxxxp
1)( 24 += xxp
 Exemplo: Construir a tabela de diferenças ordinárias 
para a função f(x) tabelada abaixo e calcular p4(0,5)
pela fórmula de Gregory-Newton:
Solução:
Interpolação de Gregory-Newton
x -1 0 1 2 3
f(x) 2 1 2 5 10
25,1125,01)5,0( 24 =+=+= xp
Grau do Polinômio Interpolador
 Para a escolha do grau do polinômio interpolador:
1) Construa a tabela de diferenças divididas
2) Examine as diferenças na vizinhança do ponto de 
interesse
Se as diferenças de ordem k forem praticamente 
constantes, ou se as diferenças de ordem k+1 variarem em 
torno de zero, o polinômio de grau k será o que melhor 
aproximará a função na região considerada
18/02/2019
15
Grau do Polinômio Interpolador
 Exemplo: Dada com os valores tabelados:
Um polinômio de grau 1 é uma boa aproximação para 
Vamos provar?
xxf =)(
x 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05
y = f(x) 1 1,005 1,01 1,0149 1,0198 1,0247
xxf =)(
Grau do Polinômio Interpolador
a) Tabela de diferenças:
Exercício prático
 Seja a tabela:
 Usando interpolação de Gregory Newton, gere os 
polinômios P4(x) e P2(x) sobre pontos adequados, 
calcule f(0.35), P4(0.35) e P2(0.35) onde f(x) = e
x, e 
calcule o erro obtido pelas funções interpoladoras.
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
ex 1 1.11 1.22 1.35 1.49 1.65 Interpolação
Estudo do Erro
Estudo do Erro na Interpolação
 Ao se aproximar uma função f(x) por um polinômio 
interpolador pn(x), de grau n, comete-se um erro En (x)
tal que seu valor estimado é:
onde é a derivada de ordem (n + 1) da 
função interpolada e
)!1(
)(
))...()(()()()(
)1(
10
+
==
+
n
f
xxxxxxxpxfxE x
n
nnn

),( 0 nx xx
)()1( x
nf +
Estudo do Erro na Interpolação
 Interpolação linear de f1(x) e f2(x)
x
f(x)
x0 x1
f1(x0)= f2(x0)=p1(x0)
f1(x)
p1(x)
f2(x)f1(x1)= f2(x1)=p1(x1)
18/02/2019
16
Estudo do Erro na Interpolação
 Interpolação linear de f1(x) e f2(x)
 O mesmo polinômio p1(x) interpola f1(x) e f2(x) em x0 e x1
 O erro E1
1(x)=f1(x) - p1(x) > E1
2(x)= f2(x) - p1(x) para todo 
x de (x0 , x1)
 O erro depende da concavidade da curva, ou seja, de 
f1”(x) e f2”(x)
Estudo do Erro na Interpolação
 Exemplo: Considere a função e a 
tabela dada abaixo. Obtenha p1(0,7) por interpolação 
linear e calcule o erro cometido: 
Solução:
Pela fórmula de Newton temos: 
1)( += xexf x
x 0 0,5 1 1,5 2,0
y = f(x) 0 1,1487 2,7183 4,9811 8,3890
],[)()()( 10001 xxfxxxfxp +=
Estudo do Erro na Interpolação
 Exemplo: Considere a função e a 
tabela dada abaixo. Obtenha p1(0,7) por interpolação 
linear e calcule o erro cometido: 
Solução:
Como x = 0,7, logo x0 = 0,5 e x1 = 1, temos: 
1)( += xexf x
x 0 0,5 1 1,5 2,0
y = f(x) 0 1,1487 2,7183 4,9811 8,3890








+=
5,01
1487,17183,2
)5,0(1487,1)(1 xxp
1392,3)5,0(1487,1)(1 += xxp
7765,1=1392,3)5,07,0(1487,1)7,0(1 +=p
Estudo do Erro na Interpolação
 Exemplo: Considere a função e a 
tabela dada abaixo. Obtenha p1(0,7) por interpolação 
linear e calcule o erro cometido: 
Solução:
O cálculo do erro então será:
1)( += xexf x
x 0 0,5 1 1,5 2,0
y = f(x) 0 1,1487 2,7183 4,9811 8,3890
== )7,0()7,0()7,0( 11 pfE == 7765,17137,1 0628,0=
0628,00628,0)7,0(1 ==E
Estudo do Erro na Interpolação
 A fórmula do erro tem uso limitado na prática pois raras 
são as situações em que conhecemos . Além 
disso, o ponto nunca é conhecido
 Assim o que normalmente se usa é uma fórmula para 
a estimativa do erro, que é dada pela expressão abaixo:
onde 
)()1( xf n+
x
 !1
)).....()(()()()( 110
+
= +
n
M
xxxxxxxpxfxE nnnn
.1max
)!1(
1 +=
+
+ nordemdivididasdiferenças
n
Mn
Estudo do Erro na Interpolação
 Exemplo: Sejam os valores de f(x) informados na tabela 
abaixo:
a) Utilize a fórmula de Newton para obter f(0,47) usando 
um polinômio de grau 2
b) Encontre uma estimativa para o erro
x 0,2 0,34 0,4 0,52 0,6 0,72
y = f(x) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32 0,37
18/02/2019
17
Estudo do Erro na Interpolação
a) Gerando a tabela de Diferenças Divididas:
Estudo do Erro na Interpolação
a) Escolhendo
Substituindo:
6,0,52,0,4,0 210 === xxx
],,[))((],[)()()( 2101010002 xxxfxxxxxxfxxxfxp ++=
)04115,1()52,0)(4,0()1667,0()4,0(27,0)(2 ++= xxxxp
)47,0(2780,0)47,0(2 fp =
Estudo do Erro na Interpolação
b) Tabela de Diferenças Divididas:
Estudo do Erro na Interpolação
b)
como
Logo 
|2492,18||)6,047,0)(52,047,0)(4,047,0(||)47,0(| 2 E
3
2 10303,8|)47.0(|
E
009,0278,0)47,0(2 =p
 !12
))()(()( 122102
+
 +
M
xxxxxxxE
.1max
)!1(
1 +=
+
+ nordemdivididasdiferenças
n
Mn
Exercício prático
 Seja a tabela:
 Usando interpolação de Gregory Newton, gere os 
polinômios P4(x) e P2(x) sobre pontos adequados, 
calcule f(0.35), P4(0.35) e P2(0.35) onde f(x) = e
x, e 
calcule o erro obtido pelas funções interpoladoras, de 
acordo com a estimativa de erro apresentada 
previamente.
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
ex 1 1.11 1.22 1.35 1.49 1.65
 Exercício: Construir a tabela de diferenças ordinárias 
para a função f(x) tabelada abaixo e calcular p2(115)
pela fórmula de Gregory-Newton:
Interpolação de Gregory-Newton
i 0 1 2
x 110 120 130
f(x) 2,041 2,079 2,114
18/02/2019
18
 Exercício: Construir a tabela de diferenças ordinárias 
para a função f(x) tabelada abaixo e calcular p2(115)
pela fórmula de Gregory-Newton:
Resposta:
Interpolação de Gregory-Newton
i 0 1 2
x 110 120 130
f(x) 2,041 2,079 2,114
2
2 000015,000725,0425,1)( xxxp += 060,2)115(2 =p
06_Ajuste_de_Curvas_folheto.pdf
31/10/2018
1
Ajuste de Curvas
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@gmail.com
Programa
1. Introdução
a) Caso Discreto
2. Método dos Quadrados Mínimos
3. Caso Não-Linear
Ajuste de Curvas
Introdução
Introdução
 Anteriormente vimos uma forma de trabalhar com uma 
função definida por uma tabela: a interpolação 
polinomial 
 Nem sempre a interpolação é aconselhável:
 Quando se quer aproximar um valor da função fora do 
intervalo
de tabelamento (extrapolação).
 Quando os valores são medidas experimentais com erros. 
Nesse caso, a função deve passar pela barra de erros e 
não pelos pontos.
Introdução
 Graficamente, a extrapolação e o ajuste por barras de 
erros são vistos abaixo:
xexf )(
x
)(xf
x
 xf
Curva ajustada
Curva extrapolada
Barra de 
erros
Introdução
 É necessário então ajustar essas funções tabeladas por 
uma função que seja uma “boa aproximação” e que nos 
permita “extrapolar” com certa margem de segurança
 Devemos então aproximar f(x) por outra função  x), 
escolhida de uma família de funções ou por uma soma 
de funções em duas situações distintas:
 Caso discreto: quando a função f é dada por uma tabela 
de valores
 Caso contínuo: quando a função f é dada por sua forma 
analítica
31/10/2018
2
Introdução
 Caso discreto:
 Caso contínuo:
Introdução – Caso Discreto
 Dados os pontos 
em um intervalo [a,b], devemos escolher funções 
, e constantes 
tais que a função
se aproxime de
 Este modelo é dito linear pois os coeficientes a 
determinar aparecem linearmente
 Note que as funções podem ser 
funções não-lineares, como por exemplo
     )(,,......,)(,,)(, 2211 mm xfxxfxxfx
)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n naaa ,.......,, 21
)(...)()()( 2211 xgxgxgx nnaaa 
)(xf
naaa ,.......,, 21
)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n
  .......,1)(,)( 221 xxgexg x 
Introdução – Caso Discreto
 Problema 1
 Como escolher as funções ?
 Podemos escolher as funções 
observando os pontos tabelados (diagrama de 
dispersão) ou a partir de conhecimentos teóricos do 
experimento
 Assim, dada uma tabela de pontos 
, devemos, 
primeiramente, colocar esses pontos em um gráfico 
cartesiano, o que vai nos permitir visualizar a 
curva que melhor se ajusta aos dados
)(,...,)(,)( 21 xgxgxg n
     )(,,......,)(,,)(, 2211 mm xfxxfxxfx
)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n
Introdução – Caso Discreto
 Exemplo: Dada a tabela: 
 Devemos construir o diagrama de dispersão
x -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1,0
f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05
Introdução – Caso Discreto – Diagrama de 
Dispersão
Introdução – Caso Discreto
 Escolhemos a partir da forma dos pontos no 
diagrama de dispersão
 Procuramos a função que se aproxime ao máximo 
de e que tenha a forma 
parábola passando pela origem
 Problema 2: 
 Qual o valor de gera melhor ajuste da parábola?
2
1 )( xxg 
)(xf
2
11 )()( xxgx aa 
a
31/10/2018
3
Introdução – Caso Discreto
 Uma vez escolhidas as funções g1(x), g2(x), ..., gn(x), 
temos de estabelecer o conceito de proximidade entre 
as funções  (x) e f(x) para obter as constantes a1, a2, 
a3, …, an
 Uma possibilidade é impor que o desvio entre f(x) e 
 (x), ou seja, dk = (f(xk) - ϕ(xk)) seja mínimo para todos 
os pontos (k =1, 2, ...., m)
 Existem varias formas de impor que os desvios sejam 
mínimos. Estudaremos o Método dos Quadrados 
Mínimos 
Método dos Quadrados Mínimos 
 Objetivo: encontrar os coeficientes aj tais que a função 
se aproxime ao máximo de f(x)
 Método dos Quadrados Mínimos - Consiste em 
escolher os aj’s de modo que a soma dos quadrados 
dos desvios seja mínima
 deve ser mínimo
)()()()()( 2211 xgxxgxgx nnaaa  



m
k
kk
m
k
k xxf
1
2
1
2
))()((d
 Recapitulando, no caso discreto temos o tabelamento 
dos pontos como 
entrada do problema
 Dadas as funções , escolhidas 
de alguma forma, nosso objetivo então é encontrar os 
coeficientes tais que a função
Se aproxime ao máximo de f(x)
     )(,...,,)(,,)(, 2211 mm xfxxfxxfx
)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n
)()()()( 2211 xgxgxgx nnaaa 
naaa ,.......,, 21
Método dos Quadrados Mínimos 
 Seja o desvio em :
 Se a soma dos quadrados dos desvios
é mínima, cada desvio 
será pequeno. Assim, aj’s devem ser tais que 
minimizem a função
 Se a aproximação  (x) for perfeita  somatório acima 
será nulo, que é o que acontece na interpolação
)()( kkk xxf d



m
k
kk
m
k
k xxf
1
2
1
2
))()((d
)()( kkk xxf d



m
k
kkn xxf
1
2
21 )]()([),,( aaa F
kx
Método dos Quadrados Mínimos 
 Para obter um ponto mínimo devemos encontrar os 
números críticos, ou seja, aj’s tais que
onde
nj
n
j


2,1,0
),,,( 21



aaa
a
F



m
k
kkn xxf
1
2
21 )]()([),,,( aaa F
Método dos Quadrados Mínimos 



m
k
knnkkk xgxgxgxf
1
2
2211 )]()()()([ aaa 
 Calculando as derivadas, temos
 Igualando a zero,






m
k
kjknnkkk
j
xgxgxgxgxf
n
1
2211
),,,(
)]()][()()()([2
21
aaa
a
aaa


F
njxgxgxgxgxf
m
k
kjknnkkk ,,2,1,0)]()][()()()([
1
2211  

aaa
Método dos Quadrados Mínimos 
31/10/2018
4
 Ou seja, temos um sistema linear a resolver:




















0)]()][()()()([
 
0)]()][()()()([
0)]()][()()()([
1
2211
1
22211
1
12211
m
k
knknnkkk
m
k
kknnkkk
m
k
kknnkkk
xgxgxgxgxf
xgxgxgxgxf
xgxgxgxgxf
aaa
aaa
aaa




Método dos Quadrados Mínimos 
 Reescrevendo o sistema
 Sistema linear com n equações e com n incógnitas 
(a1, a2, a3, ..., an)




















m
k
knk
m
k
nknkn
m
k
knk
m
k
kk
m
k
nkkn
m
k
kk
m
k
kk
m
k
nkkn
m
k
kk
xgxfxgxgxgxg
xgxfxgxgxgxg
xgxfxgxgxgxg
111
11
1
2
1
2
1
121
1
1
1
1
1
111
)()()]()([)]()([
 
)()()]()([)]()([
)()()]()([)]()([
aa
aa
aa




Método dos Quadrados Mínimos 
 O sistema linear pode ser reescrito na forma matricial 
Aa = b:
onde A = (aij) tal que 
ou seja, A é uma matriz simétrica, e 
é tal que 










nnnnnn
nn
nn
baaa
baaa
baaa
aaa
aaa
aaa
...
...
...
2211
22222121
11212111

jiki
m
k
kjkj
m
k
kiij axgxgxgxga  

)()()()(
11
t
n ]...,,,[ 21 aaaa 
t
nbbbb ]...,,,[ 21 


m
k
kiki xgxfb
1
)()(
Método dos Quadrados Mínimos Método dos Quadrados Mínimos – Passo a 
Passo
 O funcionamento do
Método dos Quadrados Mínimos 
pode ser dividido em 4 passos:
 Passo 1:
 Depois de escolhida a função ajuste  (x) identificar nela 
as funções auxiliares g(x) tal que  (x) seja do tipo:
 Passo 2:
 Montar o sistema de equações. O numero de equações do 
sistema é igual ao numero de funções auxiliares gi(x) ( 
igual ao numero de incógnitas ai )
)(...)()()( 2211 xgxgxgx nnaaa 
Método dos Quadrados Mínimos – Passo a 
Passo
 Passo 2:
 No caso da reta
teremos um sistema com 2 equações:
 No caso de uma parábola
teremos um sistema 
com 3 equações:
exgxx 1)()( 121  aa
xxg )(2


















2
1
2
1
2221
1211
b
b
aa
aa
a
a
 2321)( xxx aaa
2
321 )()(,1)( xxgexxgxg 
































3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
aaa
aaa
aaa
a
a
a
Método dos Quadrados Mínimos – Passo a 
Passo
 Passo 2:
 No caso de uma exponencial simples
teremos um sistema com 1 equação:
 Passo 3:
 Calcular os coeficientes aij e bi do passo 2. Esses 
coeficientes são definidos pelos seguintes somatórios e 
após seu calculo obteremos números
número de pontos experimentais
 xex 1)( a
xexg )(1
1111 ba a
jikj
m
k
kiij axgxga  

)()(
1



m
k
kiki xgxfb
1
)()(
31/10/2018
5
Método dos Quadrados Mínimos – Passo a 
Passo
 Passo 4:
 Reescrever o sistema de equações do passo 2 (agora os 
aij e bi são números) e resolvê-lo, por exemplo, utilizando 
o método de eliminação de Gauss ou algum método 
iterativo (Gauss-Jacobi ou Gauss-Seidel).
 Exemplo: Encontre a reta de quadrados mínimos que 
melhor se ajusta aos pontos (2, 1), (5, 2), (7, 3), (8, 3). 
Calculemos para 
Solução:
Nesse caso temos o que resulta em 
termos Para encontrarmos a1 e 
a2, resolveremos o sistema de 2 equações abaixo: 
. )(e1)( 21 xxgxg 
xxxf 21)()( aa 
. )(e1)( 21 xxgxg 


















2
1
2
1
2221
1211
b
b
aa
aa
a
a
Método dos Quadrados Mínimos - Retas
 Exemplo: Encontre a reta de quadrados mínimos que 
melhor se ajusta aos pontos (2, 1), (5, 2), (7, 3), (8, 3). 
Calculemos para 
Solução:
Escrevendo o sistema em termos dos aij e bi, ficamos assim:
. )(e1)( 21 xxgxg 



































4
1
22
4
1
221
4
1
12
4
1
12
4
1
211
4
1
11
)()()()()()(
)()()()()()(
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
xgxfxgxgxgxg
xgxfxgxgxgxg
aa
aa
Método dos Quadrados Mínimos - Retas
 Exemplo: Encontre a reta de quadrados mínimos que 
melhor se ajusta aos pontos (2, 1), (5, 2), (7, 3), (8, 3). 
Calculemos para 
Solução:
Calculando os termos da primeira equação:
= 1
= xk = 1
= 1
 


4
1
22222
1
4
1
11 41111)()()(
k
k
k
kk xgxgxg
913131211)()(
4
1
1 
k
kk xgxf
2218171512)()(
4
1
12 
k
kk xgxg
. )(e1)( 21 xxgxg 
Método dos Quadrados Mínimos - Retas
 Exemplo: Encontre a reta de quadrados mínimos que 
melhor se ajusta aos pontos (2, 1), (5, 2), (7, 3), (8, 3). 
Calculemos para 
Solução:
Calculando os termos da segunda equação:
= 1 = xk
= xk = xk
= xk
5738372512)()(
4
1
2 
k
kk xgxf
  1428752)()()( 2222
4
1
2
2
4
1
22  
 k
k
k
kk xgxgxg
2281715121)()(
4
1
21 
k
kk xgxg
. )(e1)( 21 xxgxg 
Método dos Quadrados Mínimos - Retas
 Exemplo: Encontre a reta de quadrados mínimos que 
melhor se ajusta aos pontos (2, 1), (5, 2), (7, 3), (8, 3). 
Calculemos para 
Solução:
Logo, chegamos ao seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema acima pela Eliminação de Gauss 
chegamos à solução:
. )(e1)( 21 xxgxg 
























57
9
14222
224
5714222
9224
2
1
21
21
a
a
aa
aa
T





14
5
7
2
a
Método dos Quadrados Mínimos - Retas
31/10/2018
6
 Exemplo: Encontre a reta de quadrados mínimos que 
melhor se ajusta aos pontos (2, 1), (5, 2), (7, 3), (8, 3). 
Calculemos para 
Solução:
Substituindo os valores encontrados na equação original:
. )(e1)( 21 xxgxg 
xxxf 21)()( aa 
xxxf
14
5
7
2
)()(  
Método dos Quadrados Mínimos - Retas Método dos Quadrados Mínimos - Retas
 Exemplo: Ajuste os dados abaixo pelo método dos 
quadrados mínimos utilizando uma parábola do tipo
Solução:
Para encontrarmos a1, a2 e a3 resolveremos o sistema de 3 
equações a seguir:
2
321
2
321 )()(,1)()( xxgexxgxgxxx  aaa
x 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0
































3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
aaa
aaa
aaa
a
a
a
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
 Exemplo: Ajuste os dados abaixo pelo método dos 
quadrados mínimos utilizando uma parábola do tipo
Escrevendo o sistema em termos dos aij e bi, temos:
2
321
2
321 )()(,1)()( xxgexxgxgxxx  aaa
x 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0






































































8
1
33
8
1
332
8
1
231
8
1
13
8
1
23
8
1
322
8
1
221
8
1
12
8
1
13
8
1
312
8
1
211
8
1
11
)()()()()()()()(
)()()()()()()()(
)()()()()()()()(
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
xgxfxgxgxgxgxgxg
xgxfxgxgxgxgxgxg
xgxfxgxgxgxgxgxg
aaa
aaa
aaa
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
9,2 1 0,2 1 7,1
 1 5,1 1 1,2 1 8,0 1 9,0 1 6,0 1 5,0)()(
8
1
1


k
kk xgxf
361817
161514131211)()(
8
1
12


k
kk xgxg
2041817
161514131211)()(
22
222222
8
1
13


k
kk xgxg
 


8
1
222222222
1
8
1
11 811111111)()()(
k
k
k
kk xgxgxg
Calculando os termos da primeira equação:
= 1
= xk = 1
= xk
2 = 1
= 1
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
368171
615141312111)()(
8
1
21


k
kk xgxg
 
20487
654321)()()(
22
222222
8
1
2
2
8
1
22

 
 k
k
k
kk xgxgxg
50,5 8 0,2 7 7,1
 6 5,1 5 1,2 4 8,0 3 9,0 2 6,0 1 5,0)()(
8
1
2


k
kk xgxf
12968877
665544332211)()(
22
222222
8
1
23


k
kk xgxg
Calculando os termos da segunda equação:
= 1 = xk
= xk = xk
= xk
2 = xk
= xk
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
31/10/2018
7
2048171
615141312111)()(
22
222222
8
1
31


k
kk xgxg
12968877
665544332211)()(
22
222222
8
1
32


k
kk xgxg
319,1 8 0,2 7 7,1 6 5,1
 5 1,2 4 8,0 3 9,0 2 6,0 1 5,0)()(
222
22222
8
1
3


k
kk xgxf
 
877287
654321)()()(
44
444444
8
1
2
3
8
1
33

 
 k
k
k
kk xgxgxg
Calculando os termos da terceira equação:
= 1 = xk
2
= xk = xk
2
= xk
2 = xk
2
= xk
2
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
Logo, chegamos ao seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema acima pela Eliminação de Gauss 
chegamos à solução:









1,31987721296204
5,50129620436
2,9204368
321
321
321
aaa
aaa
aaa
 T0,03160,0871-0,7587a































1,319
5,50
2,9
87721296204
129620436
204368
3
2
1
a
a
a
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
 Exemplo: Ajuste os dados abaixo pelo método dos 
quadrados mínimos utilizando uma parábola do tipo
Solução:
Substituindo os valores encontrados na equação original:
2
321
2
321 )()(,1)()( xxgexxgxgxxx  aaa
x 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0
2
321)()( xxxxf aaa 
20316.00871.07587,0)()( xxxxf  
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
 Exemplo: Encontre a parábola através dos quadrados 
mínimos que melhor se ajusta aos pontos da tabela
Solução:
Nesse caso temos , ou seja, 
uma parábola. Todavia, pelo diagrama de dispersão (a seguir 
) que uma parábola que passa pela origem seria uma boa 
escolha, logo o que resulta em termos 
Para encontrarmos a1, basta resolvermos a 
equação abaixo: 
x -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1,0
f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05
2
321)()( xxxxf aaa 
2
1)()( xxxf a 
. )( 21 xxg 
1111 ba a
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas Introdução – Caso Discreto – Diagrama de 
Dispersão
31/10/2018
8
Montando os termos da equação:
Calculando os termos:



11
1
1
11
1
111 )()()]()([
k
kk
k
kk xgxfxgxg a
 
8464,2)1()7,0()5,0()4,0()2,0(
)0()3,0()5,0()6,0(75,0)0,1()(
44444
444444
11
1
4


k
kx
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
   


11
1
2
1
11
1
4
)()()(
k
kk
k
k xfxx a
  21
11
1
11
11
1
2
1 )()()()( kk
k
kk
k
k xxgcomoxgxfxg  

a
Calculando os termos:
Substituindo na equação original, temos
 
8756,505,2)1(2,1)7,0(
512,0)5,0(6,0)4,0(2,0)2,0(0)0(
5,0)3,0(4,0)5,0(45,0)6,0(
153,175,005,2)0,1()()(
22
2222
222
22
11
1
2




k
kk xfx
2
11 0642,2)(0642,28756,58464,2 xx  aa
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
 Comentários:
 Note que a parábola pela origem que melhor ajusta os 
pontos fornecidos, através Método dos Quadrados 
Mínimos, é dada por
 Uma parábola da forma permite 
um melhor ajuste dos pontos, mas o sistema a ser 
resolvido é 3x3 com várias somas e produtos 
intermediários, o que aumenta o tempo de processamento
20642,2)( xx 
2
321)( xxx aaa 
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
 Exercício: Ajuste os dados abaixo pelo método dos 
quadrados mínimos utilizando uma parábola do tipo
2
321
2
321 )()(,1)()( xxgexxgxgxxx  aaa
x 0 1 2 3 4
f(x) 27 42 60 87 127
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
20
40
60
80
100
120
140
 Exercício: Ajuste os dados abaixo pelo método dos 
quadrados mínimos utilizando uma parábola do tipo
Resposta: 
2
321
2
321 )()(,1)()( xxgexxgxgxxx  aaa
x 0 1 2 3 4
f(x) 27 42 60 87 127
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
221,464,702,28)( xxx 
31/10/2018
9
Ajuste de Curvas
Caso Não-Linear
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@gmail.com
Caso Não-Linear
 Em alguns casos, a família de funções escolhidas pode 
não ser linear nos parâmetros
 Ex: Função exponencial do tipo , 
sendo a1 e a2 positivos 
 Para aplicar o Método dos Quadrados Mínimos torna-se 
necessário o uso de alguma transformação linear
 Ex: . Se 
e que é um problema 
linear nos parâmetros b1 e b2
xaexxf 21)()(
 a
xyzey xa 211 )ln()ln(
2 aaa   )ln( 11 ab
)()ln( 2122 xxbbyb a 
Caso Não-Linear
 Aplicamos então o Método dos Quadrados Mínimos na 
resolução do problema linearizado. Utilizamos então os 
valores encontrados para calcular os parâmetros 
originais
 Observação: Os parâmetros a1 e a2 não serão ótimos 
dentro do critério dos quadrados mínimos, pois vamos 
aplicar o método ao problema linearizado e não ao 
problema original
Caso Não-Linear
 Exemplo: Suponhamos que em um laboratório 
obtivemos experimentalmente os seguintes valores para 
f(x) sobre os pontos xi, i = 1, 2, ..., 8
Fazendo diagrama de dispersão dos dados
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
f(x) 36,547 17,264 8,155 3,852 1,820 0,860 0,406 0,246
Caso Não-Linear
O gráfico de dispersão nos sugere um ajuste
xexy 21)(
aa 
Caso Não-Linear
 Como vimos, a lineaziração a ser feita é
 Logo, ajustaremos por quadrados mínimos, 
encontrando , onde 
. Assim, temos: 
)()ln()ln()ln( 211
2 xxeyz xa aaa  
)ln( yz 
xbbx 21)(  eb )ln( 11 a
22 ab
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z = ln(y) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
31/10/2018
10
Solução:
Montando o sistema linear. Utilizando 
(caso linear) e lembrando que b1 e b2 serão a solução desse 
sistema:



































8
1
22
8
1
221
8
1
21
8
1
12
8
1
121
8
1
11
)()()()()()(
)()()()()()(
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
xgxfbxgxgbxgxg
xgxfbxgxgbxgxg
Caso Não-Linear
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z = ln(y) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
xxgxg  )(e1)( 21
Solução:
Calculando os termos da primeira equação:
= 1
= xk = 1
= 1
 


8
1
2
1
8
1
11 8)()()(
k
k
k
kk xgxgxg
041,8)()(
8
1
1 
k
kk xgxz
3,0)()(
8
1
12 
k
kk xgxg
Caso Não-Linear
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z = ln(y) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
Solução:
Calculando os termos da segunda equação:
= 1 = xk
= xk = xk
= xk
646,8)()(
8
1
2 
k
kk xgxz
59,3)()(
8
1
22 
k
kk xgxg
3,0)()(
8
1
21 
k
kk xgxg
Caso Não-Linear
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z = ln(y) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
Solução:
Logo, chegamos ao seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema acima pela Eliminação de Gauss 
chegamos à solução:

























646.8
041,8
59,33,0
3,08
646,859,33,0
041,83,08
2
1
21
21
b
b
bb
bb
 Tb 5,2099,1 
Caso Não-Linear
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z = ln(y) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
Solução:
Agora,
Assim, a função 
Caso Não-Linear
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z = ln(y) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
5,2
001,3)ln(
222
099,1
1111
1


aa
aaa
b
eeb b
xx eex 5,21 001,3)(
2   aa
 Existem outras situações em que será preciso fazer a 
linearização da curva ajustada aos pontos do diagrama 
de dispersão:
 Hipérbole:
 Curva Exponencial:
 Curva Trigonométrica:
Caso Não-Linear
)(
1
21
x
x
y 
aa


 x
y
z 21
1
aa 
)(21 xy
x aa 
))()ln()ln()ln(,0( 2121 xxbbxyzyse aa 
1b 2b
)()cos(21 xwxy aa 
ttwxt 21)()cos( aa 
31/10/2018
11
 Exercício: O número de bactérias, por unidade de 
volume, existente em uma cultura após x horas é dado 
na tabela abaixo:
a) Ajuste os dados acima à curva pelo método dos 
quadrados mínimos.
Resposta: 
b) Quantas horas seriam necessárias para que o número de 
bactérias por unidade de volume ultrapasse 2000?
Resposta: 11,64 hrs
Caso Não-Linear
x 0 1 2 3 4 5 6
y 32 47 65 92 132 190 275
xey 21
aa
xeyxy 355,0104,32355,0469,3ln 
07_Integracao_folheto.pdf
16/05/2019
1
Integração
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Programa
1. Introdução
2. Fórmulas de Newton – Cotes
a) Regra dos Trapézios
b) Regra 1/3 de Simpson
c) Regra 3/8 de Simpson
3. Quadratura Gaussiana
Integração
Introdução
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Introdução
 O Cálculo Diferencial e Integral ensina que se y = f(x) é 
uma função contínua em [a, b] , então para se obter
basta determinar uma primitiva, isto é, uma função F(x), 
tal que F’(x) = f(x), de forma que

b
a
dxf(x) I 
F(a)F(b)dxf(x) I 
b
a
 
Introdução
 Problemas
 Pode não ser fácil, ou impossível, expressar F(x) por meio 
de uma combinação finita de funções elementares
 Há situações nas quais y = f(x) é conhecida apenas em 
um conjunto discreto de pontos
 Solução
 Nessas situações, avalia-se numericamente!
b
a
dxf(x)I
Introdução
 Estratégia
 Para calcular numericamente vamos 
expressar f(x) como um polinômio no intervalo [a,b].
Deduziremos expressões que têm a forma
onde Quando 
escrevemos uma integral na forma acima , estamos 
implementando o formalismo de Newton - Cotes
dxxf
b
a
)(
)(....)()()( 1100 nn
b
a
xfAxfAxfAdxxf 
  ....,,2,1,0 com , nibaxi 
16/05/2019
2
Integração
Fórmulas de Newton - Cotes
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Fórmulas de Newton - Cotes
 No procedimento de Newton - Cotes o polinômio 
aproxima f(x) em pontos de [a,b], igualmente 
espaçados. Se os subintervalos têm comprimento h, 
então as fórmulas fechadas de Newton - Cotes para 
integração têm a forma
 
n
ab
hxx
xfAxfAxfAxfA
dxxfdxxf
ii
ii
n
i
nn
x
x
b
a
n
)(
 onde
)(....)()(
)()(
1
0
1100
0








Fórmulas de Newton - Cotes
 Os coeficientes Ai das formulas fechadas de Newton -
Cotes são determinados de acordo com o grau do 
polinômio aproximador de f(x)
 As fórmulas abertas de Newton - Cotes, construídas de 
forma análoga às fechadas, diferem pelo fato que 
 Vamos estudar as seguintes fórmulas fechadas de 
Newton – Cotes: 
 Regra dos Trapézios 
 Regra 1/3 de Simpson
 Regra 3/8 de Simpson
 baxx n , e 0 
Integração
Regra dos Trapézios
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Regra dos Trapézios
 A estratégia da Regra dos Trapézios é aproximar a 
função f(x) por um polinômio de ordem 1 (reta) 
 Veremos que, nessa aproximação a integral da função 
f(x) pode ser aproximada pela área de um trapézio
 ,, e 10 baxx 
Regra dos Trapézios
 Utilizando a Fórmula de Lagrange para expressar 
p1(x), que interpola f(x) em teremos o 
seguinte:
sendo 
 Fazendo h = (x1 – x0)/n, onde nesse caso n = 1 e 
substituindo os fatores de Lagrange no polinômio 
podemos reescrevê-lo assim:
 ,, e 10 baxx 
)()()()()( 11001 xLxfxLxfxp 
01
0
1
10
1
0 )()(
xx
xx
xLe
xx
xx
xL






h
xx
xf
h
xx
xfxp 01
1
01 )()()(





16/05/2019
3
   
T
x
x
Idxxf
h
xx
xf
h
xx



 



 )()( 1
0
0
11
0
 )()(
2
10 xfxf
h
IT 
Regra dos Trapézios
 Pela nossa aproximação, a integral da função f(x) será 
escrita por:
 


dxxpdxxf
xb
xa
b
a
)()( 1
1
0
 Note que IT é a área do trapézio de altura h = x1 - x0 e 
de base f(x0) e f(x1)
Regra dos Trapézios
)x(fy 
0y
1xb 0xa 
)x(py 
1y
Regra dos Trapézios
 Ao substituir a área sob a curva f(x) pela área do 
trapézio estamos realizando uma aproximação e 
cometendo um erro. Verifica-se que este erro é 
dado por:
 
],[ onde )(max
12
 
3
baccf
ab
ET 


Regra dos Trapézios
 Exemplo: Considere a integral
a) Calcule a integral utilizando a Regra dos Trapézios.
b) Calcule a
estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
Solução:
a) Utilizando a equação de IT, , e, 
sendo a = 1, b = 7, h = 6, temos:
dx
x2
7
1
1

 )()(
2
10 xfxf
h
IT 





22 7
1
1
1
2
6
TI 0612245,3
Regra dos Trapézios
 Exemplo: Considere a integral
a) Calcule a integral utilizando a Regra dos Trapézios.
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
Solução:
b) Para o erro, temos que:
Como a derivada segunda de f(x) é f’’(x) = 6x-4, 
logo:
dx
x2
7
1
1

],[ )(max
12
6
 
3
baccfET 
 6
12
63
108  TE )1(''12
6
 
3
fET
Regra dos Trapézios
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule a integral utilizando a Regra dos Trapézios.
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
Respostas:
a) 1,8591
b) 
dxex
1
0
0,2265TE
16/05/2019
4
Regra dos Trapézios
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule a integral utilizando a Regra dos Trapézios.
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
Respostas:
a) 32
b) 
dxx 56
9
1

384TE
Regra dos Trapézios Repetida
 A Regra dos Trapézios é uma aproximação um pouco 
grosseira para o valor da integral (erros muito grandes)
 Afim de melhorar essa aproximação podemos fazer 
várias subdivisões no intervalo [a, b] e aplicar a Regra 
dos Trapézios repetidas vezes, conforme a figura 
abaixo:
Regra dos Trapézios Repetida
 Dividindo o intervalo [a, b] em n subdivisões iguais de 
largura h, sendo h calculado da seguinte forma:
 Logo, os valores de cada ponto xi das subdivisões 
pode se obtidos através da expressão: 
 Podemos então escrever a integral de f(x) como sendo 
a soma das áreas dos n trapézios pequenos contidos 
dentro do intervalo [a, b]:
tal que Ai = área 
do trapézio i, com i = 1, 2, …, n.
n
ab
h
)( 

hixxi  0
n
b
a
AAAAdxxf  ...)( 321
Regra dos Trapézios Repetida
Sendo
Temos então que o valor numérico da integral calculada 
segundo a Regra dos Trapézios Repetida será
ou, na forma resumida:
 )()(
2
1 iii xfxf
h
A  
   
     )()(
2
)()(
2
...)()(
2
)()(
2
)()(
2
)(
11232
2110
nnnn
b
a
xfxf
h
xfxf
h
xfxf
h
xfxf
h
xfxf
h
dxxf




TR
n
i
in
b
a
Ixfxfxf
h
dxxf 





 


1
1
0 )(2)()(
2
)(
Regra dos Trapézios Repetida
 A estimativa para o erro gerado pela aplicação da Regra 
dos Trapézios Repetida é dada por:
sendo n o número de subdivisões no intervalo [a, b].
 Comparando com o erro na Regra dos Trapézios 
Simples, temos:
ou seja: 
],[ onde )(max
12
)(
 
2
3
baccf
n
ab
ETR 


 
)(max
12
)(
 )(max
12 2
33
cf
n
ab
Ecf
ab
E TRT 




2n
E
E TTR 
Regra dos Trapézios Repetida
 Se quisermos fazer o caminho inverso, ou seja, calcular 
quantas subdivisões são necessárias para atingir um 
certo valor de erro, devemos fazer o seguinte cálculo:
)(max
12
)(
n 
3
cf
E
ab
TR



16/05/2019
5
Regra dos Trapézios Repetida
 Exemplo: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 10 
subintervalos e a Regra dos Trapézios Repetida. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o 
erro seja inferior a 10-3?
dx
x2
7
1
1

Regra dos Trapézios Repetida
Solução:
a) Fazendo 10 subintervalos no intervalo [1, 7] temos h = 0,6
Como , logo: x0 = 1, x1 = 1,6 , x2 = 2,2 , 
x3 = 2,8 , x4 = 3,4 , x5 = 4,0 , x6 = 4,6 , x7 = 5,2 , x8 = 5,8 , 
x9 = 6,4, x10 = 7. Aplicando então a Regra dos Trapézios 
Repetida:
hixxi  0






 


1
1
0 )(2)()(
2
n
i
inTR xfxfxf
h
I














2
9
2
8
2
7
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
2
10
2
0
111111111
2
11
2
xxxxxxxxx
xx
h
ITR
Regra dos Trapézios Repetida
Solução:
a) Fazendo 10 subintervalos no intervalo [1, 7] temos h = 0,6
Como , logo: x0 = 1, x1 = 1,6 , x2 = 2,2 , 
x3 = 2,8 , x4 = 3,4 , x5 = 4,0 , x6 = 4,6 , x7 = 5,2 , x8 = 5,8 , 
x9 = 6,4, x10 = 7. Aplicando então a Regra dos Trapézios 
Repetida:
hixxi  0














222222222
22
4,6
1
8,5
1
2,5
1
6,4
1
0,4
1
4,3
1
8,2
1
2,2
1
6,1
1
2
7
1
1
1
2
6,0
TRI
0,9134TRI
Regra dos Trapézios Repetida
Solução:
b) Para o erro, temos:
Como a derivada segunda de f(x) é f’’(x) = 6x-4, 
logo:
)(max
12
)(
 
2
3
cf
n
ab
ETR 




 6
1012
1) -(7
 
2
3
08,1  TRE

 )(max
12
)(
 
2
3
cf
n
ab
ETR
Regra dos Trapézios Repetida
Solução:
c) O número de subdivisões para que o erro fosse menor do 
que 10-3 pode ser obtido por:





6
1012
)17(
3
3
329n 


 )(max
12
)(
n
3
cf
E
ab
TR
 63,328n
Regra dos Trapézios Repetida
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 10 
subintervalos e a Regra dos Trapézios Repetida. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o 
erro seja inferior a 10-3?
Respostas:
a) 1,7197
b) 
c) 15,051  16 subdivisões
dxex
1
0
0,00227TRE
16/05/2019
6
Regra dos Trapézios Repetida
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 8 
subintervalos e a Regra dos Trapézios Repetida. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o 
erro seja inferior a 10-4?
Respostas:
a) 37,818
b) 
c) 3,84 x 106 subdivisões
dxx 56
9
1

6TRE
Integração
Regra 1/3 de Simpson
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Regra 1/3 de Simpson
 Consideremos agora que se queira aproximar f(x) por 
um polinômio interpolador de ordem 2 (parábola)
Regra 1/3 de Simpson
 Utilizando a Fórmula de Lagrange para expressar p2(x):
com , 
e 
temos ainda que: ,
assim: x0 – x1 = -h x0 – x2 = -2h
x1 – x0 = h x1 – x2 = -h
x2 – x0 = 2h x2 – x1 = h
)()()()()()()( 2211002 xfxLxfxLxfxLxp 
  
  2010
21
0 )(
xxxx
xxxx
xL



  
  2101
20
1 )(
xxxx
xxxx
xL



  
  1202
10
2 )(
xxxx
xxxx
xL



bhxx  202e e a 010 hxxx 
Regra 1/3 de Simpson
 Logo,
S
bx
ax
b
a
Idxxpdxxf  


)()( 2
2
0
  
  
  
  
  
  
)(
2
)()(
2
)( 2
10
1
20
0
21
2 xf
hh
xxxx
xf
hh
xxxx
xf
hh
xxxx
xp








     
  dxxxxx
h
xf
dxxxxx
h
xf
dxxxxx
h
xf
I
x
x
x
x
x
x
S
102
2
202
1
212
0
2
0
2
0
2
0
2
)(
)(
2
)(








 )()(4)(
3
210 xfxfxf
h
IS 
Regra 1/3 de Simpson
 De modo análogo à Regra dos Trapézios, na Regra 1/3 
de Simpson estamos realizando uma aproximação e 
cometendo um erro. Verifica-se que este erro é dado 
por
como h = (b – a) / 2  h5 = (b – a)5 / 32, tem-se:
],[ onde )(max
90
4
5
baccf
h
ES 
],[ onde )(max
2880
)( 4
5
baccf
ab
ES 


16/05/2019
7
Regra 1/3 de Simpson
 Exemplo: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Regra 1/3 de Simpson. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
dx
x2
7
1
1

Regra 1/3 de Simpson
Solução:
a) Como agora temos n = 2 subdivisões dentro do intervalo 
[a, b], teremos h = (b – a)/2 = (7 – 1)/2 = 3. Logo: x0 = 1, 
x1 = x0 + h = 4, x2 = 7. 
Assim o valor da integral será:
1,27
 )()(4)(
3
210 xfxfxf
h
IS 







222 7
1
4
1
4
1
1
3
3
SI
Regra 1/3 de Simpson
Solução:
b) Para o erro, temos:
Como a derivada quarta de f(x) é f4(x) = 120x-6 logo


 )(max
2880
)(
 4
5
cf
ab
ES 324  TRE
)(max
2880
)( 4
5
cf
ab
ES


 120
2880
6
 
5
Regra 1/3 de Simpson
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Regra 1/3 de Simpson. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
Respostas:
a) 1,719
b) 
dxex
1
0
410439,9 SE
Regra 1/3 de Simpson
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Regra 1/3 de Simpson. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
Respostas:
a) 37,3333
b)
dxx 56
9
1

13824SE
Regra 1/3 de Simpson Repetida
 Vamos agora repetir o procedimento anterior para n
pares de subintervalos. Definimos o número de 
subintervalos pela letra m = 2n
 Por que precisamos definir a variável n?
 A cada par de subintervalos temos 3 pontos para ajustar 
uma parábola ( p2(x) )
16/05/2019
8
Regra 1/3 de Simpson Repetida
 Tomemos 
para m = 2n  m é par
 Aplica-se a Regra 1/3 de Simpson repetidas vezes no 
intervalo [a, b] = [x0, xm]:
tal que Ai = área
do subintervalo i, com i = 1, 2, …, n.
mihxx
m
ab
h ii ...,,2,1,0 com 1 

 
n
b
a
AAAAdxxf  ...)( 321
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Sendo
Temos então que o valor numérico da integral calculada 
segundo a Regra 1/3 de Simpson Repetida será
 )()(4)(
3
2101 xfxfxf
h
A 
 
   )()(4)(
3
...)()(4)(
3
)()(4)(
3
)()(
12432
210
0
mmm
x
x
b
a
xfxfxf
h
xfxfxf
h
xfxfxf
h
dxxfdxxf
m




))](...)()((4
))(...)()((2)()([
3
)(
131
2420




m
mm
b
a
xfxfxf
xfxfxfxfxf
h
dxxf
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Logo:
onde:
Valor da função nos pontos de
índices pares dentro do intervalor [a, b], 
excluindo as extremidades
Valor da função nos pontos de
índices ímpares dentro do intervalor [a, b], 
excluindo as extremidades
SR
m
i
i
m
i
im
b
a
Ixfxfxfxf
h
dxxf 










 




2
1
12
1
2
1
20 )(4)(2)()(
3
)(



1
2
1
2 )(2
m
i
ixf



2
1
12 )(4
m
i
ixf
Regra 1/3 de Simpson Repetida
 A estimativa para o erro gerado pela aplicação da Regra 
1/3 de Simpson Repetida é dada por:
como h = (b – a) / m  h5 = (b – a)5 / 32n5, tem-se:
],[ onde )(max
90
4
5
baccf
h
nESR 
],[ onde )(max
2880
)( 4
4
5
baccf
n
ab
ESR 


Regra 1/3 de Simpson Repetida
 Comparando com o erro na Regra 1/3 de Simpson 
Simples, temos:
ou seja: 
 Se quisermos fazer o caminho inverso, ou seja, calcular 
quantas subdivisões são necessárias para atingir um 
certo valor de erro, devemos fazer o seguinte cálculo:
4
4
5
)(max
2880
)(
n cf
E
ab
SR


 )(max
2880
)(
 )(max
2880
)( 4
4
5
4
5
cf
n
ab
Ecf
ab
E SRS




4n
E
E SSR 
Regra 1/3 de Simpson Repetida
 Exemplo: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 10 
subintervalos e a Regra 1/3 de Simpson Repetida. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o 
erro seja inferior a 10-3?
dx
x2
7
1
1

16/05/2019
9
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Solução:
a) Fazendo 10 subintervalos no intervalo [1, 7] temos h = 0,6. 
Como , logo: x0 = 1 , x1 = 1,6 , x2 = 2,2 , 
x3 = 2,8 , x4 = 3,4 , x5 = 4 , x6 = 4,6 , x7 = 5,2 , x8 = 5,8 , 
x9 = 6,4 , x10 = 7.
Aplicando então a Regra 1/3 de Simpson Repetida:
hixxi  0










 




2
1
12
1
2
1
20 )(4)(2)()(
3
m
i
i
m
i
imSR xfxfxfxf
h
I
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Solução:
a) Calculando os somatórios:
)()()()()()( 8642
41
2
10
1
2
1
2
1
2 xfxfxfxfxfxf
i
i
m
i
i  




)()()()()()()( 97531
5
2
10
1
12
2
1
12 xfxfxfxfxfxfxf
i
i
m
i
i  





3701,0
8,5
1
6,4
1
4,3
1
2,2
1
2222

642,0
4,6
1
2,5
1
4
1
8,2
1
6,1
1
22222

Regra 1/3 de Simpson Repetida
Solução:
a) Logo:










 




2
1
12
1
2
1
2100 )(4)(2)()(
3
m
i
i
m
i
iSR xfxfxfxf
h
I
8657,06427,04701,02
7
1
1
1
3
6,0
22




SRI
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Solução:
b) Para o erro, temos:
Como a derivada quarta de f(x) é f4(x) = 120x-6 logo


 )(max
2880
)(
 4
4
5
cf
n
ab
ESR 5184,0  SRE
)(max
2880
)( 4
4
5
cf
n
ab
ESR




 120
52880
6
4
5
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Solução:
c) O número de subdivisões para que o erro fosse menor do 
que 10-3 pode ser obtido por:
Logo, precisamos de 52 subdivisões!





4
3
5
120
102880
)17(


 4 4
5
)(max
2880
)(
n cf
E
ab
SR
 85,25n 26n 
Regra 1/3 de Simpson Repetida
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 8 
subintervalos e a Regra 1/3 de Simpson Repetida. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o 
erro seja inferior a 10-10?
Respostas:
a) 1,7183
b) 
c) n = 56  m = 112 subdivisões
dxex
1
0
-6103,6869SRE
16/05/2019
10
Integração
Regra 3/8 de Simpson
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Regra 3/8 de Simpson
 Consideremos agora que se queira aproximar f(x) por 
um polinômio interpolador de ordem 3
 Utilizando a Fórmula de Lagrange para expressar p3(x) 
que interpola f(x) nos pontos:
bhxxhxxhxxx  3,2,,a 0302010
Regra 3/8 de Simpson
 Utilizando a Fórmula de Lagrange para expressar p3(x):
com
e
)()()()()()()()()( 332211003 xfxLxfxLxfxLxfxLxp 
   
   
,)(
302010
321
0
xxxxxx
xxxxxx
xL



   
   
,)(
312101
320
1
xxxxxx
xxxxxx
xL



   
   321202
310
2 )(
xxxxxx
xxxxxx
xL



   
   231303
210
3 )(
xxxxxx
xxxxxx
xL



Regra 3/8 de Simpson
 Logo,
8/33 )()(
3
0
S
bx
ax
b
a
Idxxpdxxf  


   
   
   
   
   
   
   
   
)(
23
)(
2
)(
2
)(
32
)(
3
210
2
310
1
320
0
321
3
xf
hhh
xxxxxx
xf
hhh
xxxxxx
xf
hhh
xxxxxx
xf
hhh
xxxxxx
xp











Regra 3/8 de Simpson
 Logo,
   
   
   
   dxxxxxxx
h
xf
dxxxxxxx
h
xf
dxxxxxxx
h
xf
dxxxxxxx
h
xf
I
x
x
x
x
x
x
x
xS
2103
3
3103
2
3203
1
3213
0
8/3
3
0
3
0
3
0
3
0
6
)(
2
)(
2
)(
6
)(












 )()(3)(3)(
8
3
32108/3 xfxfxfxfhIS 
Regra 3/8 de Simpson
 O erro cometido na aproximação pela Regra 3/8 de 
Simpson é dado por:
como h = (b – a) / 3  h5 = (b – a)5 / 243, tem-se:
],[ onde )(max
80
3 45
8/3 baccfhES 
],[ onde )(max
19440
)( 4
5
8/3 baccf
ab
ES 


16/05/2019
11
Regra 3/8 de Simpson
 Exemplo: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Regra 3/8 de Simpson. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
dx
x2
7
1
1








22228/3 7
1
5
1
3
3
1
3
1
1
2
8
3
SI
Regra 3/8 de Simpson
Solução:
a) Como agora temos n = 3 subdivisões dentro do intervalo 
[a, b], teremos h = (b – a)/3 = (7 – 1)/3 = 2. Logo: x0 = 1, 
x1 = x0 + h = 3, x2 = x1 + h = 5, x3 = 7. 
Assim o valor da integral será:
1,105
 )()(3)(3)(
8
3
32108/3 xfxfxfxfhIS 
Regra 3/8 de Simpson
Solução:
b) Para o erro, temos:
Como a derivada quarta de f(x) é f4(x) = 120x-6 logo


 )(max
19440
)(
 4
5
8/3 cf
ab
ES 48  TRE
)(max
19440
)( 4
5
8/3 cf
ab
ES


 120
19440
6
 
5
Regra 3/8 de Simpson
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Regra 3/8 de Simpson. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
Respostas:
a) 1,716
b) 
dxex
1
0
410398,1 SE
Regra 3/8 de Simpson
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Regra 3/8 de Simpson. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
Respostas:
a) 37,610
b)
dxx 56
9
1

0482SE
Regra 3/8 de Simpson Repetida
 Vamos agora repetir o procedimento anterior para n trios 
de subintervalos. Definimos o número de subintervalos 
pela letra m = 3n
 Por que precisamos definir a variável n?
 A cada trio de subintervalos temos 4 pontos para ajustar 
uma função de grau 3 ( p3(x) )
16/05/2019
12
Regra 3/8 de Simpson Repetida
 Tomemos 
para m = 3n  m é múltiplo de 3
 Aplica-se a Regra 3/8 de Simpson repetidas vezes no 
intervalo [a, b] = [x0, xm]:
tal que Ai = área
do subintervalo i, com i = 1, 2, …, n.
mihxx
m
ab
h ii ...,,2,1 com 1 

 
n
b
a
AAAAdxxf  ...)( 321
Regra 3/8 de Simpson Repetida
Sendo
Temos então que o valor numérico da integral calculada 
segundo a Regra 3/8 de Simpson Repetida será
 )()(3)(3)(
8
3
32101 xfxfxfxfhA 
 
 
 
 )()(3)(3)(
8
3
)()(3)(3)(
8
3
...)()(3)(3)(
8
3
)()(3)(3)(
8
3
)()(
123
3456
6543
3210
0
mmmm
mmmm
x
x
b
a
xfxfxfxfh
xfxfxfxfh
xfxfxfxfh
xfxfxfxfhdxxfdxxf
m







Regra 3/8 de Simpson Repetida
Temos então que o valor numérico da integral calculada 
segundo a Regra 3/8 de Simpson Repetida será
Logo:
))]()(...)()()()((3
))(...)()((2)()([
8
3
)(
125421
3630




mm
mm
b
a
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfhdxxf










 






3
1
13
3
1
23
1
3
1
308/3 )(3)(3)(2)()(
8
3
m
i
i
m
i
i
m
i
imSR xfxfxfxfxfhI
Regra 3/8 de Simpson Repetida
 A estimativa para o erro gerado pela aplicação da Regra 
3/8 de Simpson Repetida é dada por:
como h = (b – a) / m  h5 = (b – a)5 / 243n5, tem-se:
],[ onde )(max
80
3 45
8/3 baccfhnESR 
],[ onde )(max
19440
)( 4
4
5
8/3 baccf
n
ab
ESR 


Regra 3/8 de Simpson Repetida
 Comparando com o erro na Regra 3/8 de Simpson 
Simples, temos:
ou seja: 
 Se quisermos fazer o caminho inverso, ou seja, calcular 
quantas subdivisões são necessárias para atingir um 
certo valor de erro, devemos fazer o seguinte cálculo:
4
4
5
)(max
19440
)(
n cf
E
ab
SR


 )(max
19440
)(
)(max
19440
)( 4
4
5
8/3
4
5
8/3 cf
n
ab
Ecf
ab
E SRS




4
8/3
8/3
n
E
E SSR 
Regra 3/8 de Simpson Repetida
 Exemplo: Considere a integral
a)
Calcule uma aproximação para a integral utilizando 12 
subintervalos e a Regra 3/8 de Simpson Repetida. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o 
erro seja inferior a 10-3?
dx
x2
7
1
1

16/05/2019
13
Regra 3/8 de Simpson Repetida
Solução:
a) Fazendo 12 subintervalos no intervalo [1, 7] temos h = 0,5 
Como , logo: x0 = 1 , x1 = 1,5 , x2 = 2,0 , 
x3 = 2,5 , x4 = 3,0 , x5 = 3,5 , x6 = 4,0 , x7 = 4,5 , x8 = 5,0 , 
x9 = 5,5 , x10 = 6 , x11 = 6,5 , x12 = 7.
Aplicando então a Regra 3/8 de Simpson Repetida:
hixxi  0










 






3
1
13
3
1
23
1
3
1
308/3 )(3)(3)(2)()(
8
3
m
i
i
m
i
i
m
i
imSR xfxfxfxfxfhI
Regra 3/8 de Simpson Repetida
Solução:
a) Calculando os somatórios:
)()()()()(2 963
31
3
12
1
3
1
3
1
3 xfxfxfxfxf
i
i
m
i
i  




)()()()()()(3 10741
4
3
12
1
23
3
1
23 xfxfxfxfxfxf
i
i
m
i
i  





256,0
5,5
1
4
1
5,2
1
222

633,0
6
1
5,4
1
3
1
5,1
1
2222

)()()()()()(3 11852
4
3
12
1
13
3
1
13 xfxfxfxfxfxf
i
i
m
i
i  





395,0
5,6
1
5
1
5,3
1
2
1
2222

Regra 3/8 de Simpson Repetida
Solução:
a) Logo:




 395,03633,03256,02
7
1
1
1
5,0
8
3
228/3SR
I










 






3
1
13
3
1
23
1
3
1
31208/3 )(3)(3)(2)()(
8
3
m
i
i
m
i
i
m
i
iSR xfxfxfxfxfhI
889,0
Regra 3/8 de Simpson Repetida
Solução:
b) Para o erro, temos:
Como a derivada quarta de f(x) é f4(x) = 120x-6 logo


 )(max
19440
)( 4
4
5
8/3 cf
n
ab
ESR
0,1875 8/3  SRE
)(max
19440
)( 4
4
5
8/3 cf
n
ab
ESR




 120
419440
6
4
5
Regra 3/8 de Simpson Repetida
Solução:
c) O número de subdivisões para que o erro fosse menor do 
que 10-3 pode ser obtido por:
Logo, precisamos de 45 subdivisões!





4
3
5
120
1019440
)17(


 4 4
5
)(max
19440
)(
n cf
E
ab
SR
 80,14n 51n 
Regra 3/8 de Simpson Repetida
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 12 
subintervalos e a Regra 3/8 de Simpson Repetida. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o 
erro seja inferior a 10-10?
Respostas:
a) 1,715
b) 
c) n = 35  m = 105 subdivisões!
dxex
1
0
-7105,462SRE
16/05/2019
14
Comentários
 Percebemos que à medida que aumentamos o grau do 
polinômio, a convergência do método é mais fácil
 As demais fórmulas fechadas de integração de Newton -
Cotes trabalham com polinômios de graus n=4, n=5, ...
 Para um n qualquer, a fórmula de Newton – Cotes é 
apresentada no próximo slide
Comparativo
 Fórmula de Newton - Cotes para n qualquer
 )( 
0

nx
x
ii dxxLA
    dxxLxfxLxfxLxf nn
x
x
n
)()(...)()()()( 1100
0
 )()(...)()()()(
000
1100  
nnn x
x
nn
x
x
x
x
dxxLxfdxxLxfdxxLxf
 


Lagrange de forma utilizando )()(
00
dxxpdxxf n
x
x
xb
xa
nn
 )(....)()( 1100 nn xfAxfAxfA 
Integração
Quadratura Gaussiana
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Quadratura Gaussiana
 Os métodos de integração numérica apresentados até 
agora (a saber, Regra dos Trapézios e de Simpson) 
tomam como base uma regra simples para escolha dos 
pontos de avaliação da função f(x), onde
 Esses métodos são particularmente adequados para 
dados tabulados de forma regular, tais como algumas 
medidas de laboratório e valores obtidos de programas 
de computador que produzem tabelas
hxx ii 1
Quadratura Gaussiana
 Se, por outro lado, tivermos a liberdade de escolher os 
pontos nos quais a função f(x) é avaliada, então uma 
escolha cuidadosa pode levar a uma maior precisão da 
avaliação da função
 Essa é a proposta do método conhecido por Quadratura 
Gaussiana, Integração Gaussiana ou Integração de 
Gauss-Legendre
Quadratura Gaussiana
 Outra vantagem da Quadratura Gaussiana no erro 
relativo à integração:
 Os erros dos poliômios interpoladores gerados pelas 
fórmulas de Newton-Cotes envolvem a (n+1)-ésima ou 
(n+2)-ésima derivadas. Logo, essas integrações são 
exatas para polinômios de grau < n+1 ou < n+2, 
respectivamente.
 A Quadratura de Gauss integra exatamente polinômios de 
grau < 2n+2
16/05/2019
15
Quadratura Gaussiana
 Partimos então da fórmula para a integral utilizada nos 
métodos de Newton - Cotes
onde os coeficientes Ai e os pontos xi para i = 0, 1, 2, .., n 
devem ser determinados de modo a obter a melhor precisão 
possível
Diferença Importante: Uso de Partições Não-Regulares
     nn
b
a
xfAxfAxfAdxxfI   ....)( 1100
Quadratura Gaussiana
 Comecemos então o desenvolvimento para dois pontos:
 Por simplicidade tomemos o intervalo [-1, 1]. Note que 
sempre é possível passar do intervalo [a, b] --> [-1, 1] 
através da transformação:
   1100)( xfAxfAdxxfI
b
a
 
dtabdttxdx )(
2
1
)( 
 1,1 para )(
2
1
)(
2
1
)(  tabtabtx
 Segue
devemos então encontrar valores de A0, A1, t0, t1 que 
tornem a exatidão da integral a maior possível. Para isto 
o método é construído para ser exato para polinômios 
de graus até 3, pois deste modo teremos quatro 
incógnitas (A0, A1, t0, t1) e quatro equações
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)( onde
)(
1
1
ababtabftF
dttF







 
Quadratura Gaussiana
  dxxfI
b
a
)(   dttxtxf )())((
1
1
   1100
1
1
)( tFAtFAdttFI  
Quadratura Gaussiana
 Sejam
 Note que qualquer polinômio de grau 3
é combinação das funções acima. Assim, impomos que 
a fórmula da Quadratura Gaussiana seja exata para 
estes polinômios, segue: 
3
3
2
210 )(,)(,)(,1)( ttFttFttFtF 
)()()()()( 332211003 tFatFatFatFatP 
   
   

)()()()(
)()()()(
13103031210202
11101011010000
tFAtFAatFAtFAa
tFAtFAatFAtFAa






dttFadttFa
dttFadttFa
1
1
33
1
1
22
1
1
11
1
1
00
)()(
)()( dttP )(3
1
1
Quadratura Gaussiana
)()( 131030 tPAtPA 


)()()()(
)()()()(
1313121211111010
0303020201010000
tFAatFAatFAatFAa
tFAatFAatFAatFAa


))()()()((
))()()()((
1331221111001
0330220110000
tFatFatFatFaA
tFatFatFatFaA
 Exatamente a fórmula da 
Quadratura Gaussiana quando temos somente 2 pontos
Quadratura Gaussiana
 Considerando
podemos determinar as incógnitas A0, A1, t0, t1 através 
de
ou seja, igualamos a equação à integral 
analítica de , gerando então um sistema não-
linear 4 x 4. Vejamos: 
3
3
2
210 )(,)(,)(,1)( ttFttFttFtF 
3,2,1,0 para )( 1100
1
1
1
1
   ktAtAdttdttFI
kkk
k
kk
tAtA 1100 
)(tFk
16/05/2019
16
Quadratura Gaussiana
 Obtemos o sistema
20 10
0
11
0
00
1
1
0   AAtAtAdttk
01 1100
1
11
1
00
1
1
1   tAtAtAtAdttk
3/22
2
11
2
00
2
01
2
00
1
1
2   tAtAtAtAdttk
03
3
11
3
00
3
11
3
00
1
1
3   tAtAtAtAdttk
Quadratura Gaussiana
 Resolvendo o sistema, obtemos
de modo que podemos escrever a Fórmula de 
Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de 
graus até 3, como
3/3e1 1010  ttAA
















  3
3
3
3
)(
1
1
FFdttFIGauss
Quadratura Gaussiana
 Para 3 pontos, a fórmula da quadratura gaussiana é 
exata para polinômios de graus até 5. Então,
 Analogamente, qualquer polinômio de grau 5 pode ser 
escrito em termos de 
     221100
1
1
)( tFAtFAtFAdttFI  
5
5
4
4
3
3
2
210 )(,)(,)(,)(,)(,1)( ttFttFttFttFttFtF 
Quadratura Gaussiana
 Agora podemos determinar as incógnitas A0, A1, A2, t0, 
t1, t2 através do sistema linear 6 x 6 abaixo:
 Escrevendo explicitamente o sistema:
5,4,3,2,1,0 para
 )( 221100
1
1
1
1

  
k
tAtAtAdttdttFI
kkkk
k
Quadratura Gaussiana
 Obtemos:
20 210
0
22
0
11
0
00
1
1
0   AAAtAtAtAdttk
01 221100
1
22
1
11
1
00
1
1
1   tAtAtAtAtAtAdttk
3/22
2
21
2
11
2
00
2
22
2
11
2
00
1
1
2   tAtAtAtAtAtAdttk
05
5
22
5
11
5
00
5
22
5
11
5
00
1
1
5   tAtAtAtAtAtAdttk
03
3
22
3
11
3
00
3
22
3
11
3
00
1
1
3   tAtAtAtAtAtAdttk
5/24
4
21
4
11
4
00
4
22
4
11
4
00
1
1
4   tAtAtAtAtAtAdttk
Quadratura Gaussiana
 Resolvendo o sistema, obtemos
de modo que podemos escrever a Fórmula de 
Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de 
graus inferiores a 5, como
0e
5
3
,
9
8
e
9
5
120120  tttAAA
 
















  5
3
9
5
0
9
8
5
3
9
5
)(
1
1
FFFdttFIGauss
16/05/2019
17
Quadratura Gaussiana
 A estimativa para o erro gerado pela aplicação da 
Quadratura Gaussiana é dada por:
onde n é o grau do polinômio interpolado
],[ onde )(max
])!22)[(32(
])!1[(2 )22(
3
432
baccf
nn
n
E n
n
QG 


 

Quadratura Gaussiana
 Exemplo: Calcule utilizando o Método da 
Quadratura Gaussiana para 2 e 3 pontos.
Solução: 
Temos no intervalo [1, 3]. Fazendo a mudança de 
variáveis
dxeI x3
3
1
xexf 3)( 
   1,1 temos3,1 para
2)(
2
1
)(
2
1
)(


tx
tabtabtx
2t3e 
dtdtabdttxdx 1)(
2
1
)( 






 )(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)( ababtabftF
Quadratura Gaussiana
 Exemplo: Calcule utilizando o Método da 
Quadratura Gaussiana para 2 e 3 pontos.
Solução: 
Para 2 pontos:
dxeI x3
3
1
1018,523 :Exato
3
1
  dxeI
x
















   3
3
3
3
)(3
1
1
3
1
FFdttFIdxe Gauss
x

















 2
3
3
2
3
3
33 ee 9309,51
Quadratura Gaussiana
 Exemplo: Calcule utilizando o Método da 
Quadratura Gaussiana para 2 e 3 pontos.
Solução: 
Para 3 pontos:
dxeI x3
3
1
1018,523 :Exato
3
1
  dxeI
x
   dttFIdxe Gauss
x )(3
1
1
3
1





 



  25
3
2
25
3
9
5
3
9
8
3
9
5
3 eee
  















5
3
9
5
0
9
8
5
3
9
5
FFF
1004,52
Quadratura Gaussiana
 A tabela abaixo compara o Método da Quadratura 
Gaussiana com a Regra 1/3 de Simpson para 
dxeI x3
3
1
Exato Gauss 
2 pontos
Gauss 
3 pontos
Simpson 
3 pontos
Simpson
5 pontos
Simpson 
7 pontos
Valor 52,1018 51,9309 52,1004 52,3601 52,1194 52,1053
Erro 0,1709 0,0014 0,2583 0,0176 0,0035
Quadratura Gaussiana
 Exemplo: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Quadratura de Gauss para 2 pontos.
dxe x
10
0
16/05/2019
18
Quadratura Gaussiana
Solução: 
a) Temos no intervalo [0,10]. Fazendo a mudança 
de variáveis
xexf )(
   1,1 temos10,0 para
55)(
2
1
)(
2
1
)(


tx
tabtabtx
dtdtabdttxdx 5)(
2
1
)( 






 )(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)( ababtabftF 5--5te5
Quadratura Gaussiana
Solução: 
a) Para dois pontos:
O erro verdadeiro:
 A Regra dos Trapézios necessitaria de 16 pontos para atingir 
este erro. Através da 1/3 de Simpson seriam necessários 
9 pontos
















  

3
3
3
3
)(
1
1
10
0
FFdttFIdxe Gauss
x

















 5
3
3
55
3
3
5
55 ee 606102,0
393853,0606102,0999955,0Erro 
Quadratura Gaussiana
 Conclusões: 
 As fórmulas da Quadratura Gaussiana produzem 
melhores resultados que aquelas dos métodos de 
Newton-Cotes com partição regulares (Trapézio, 
Simpson)
 Quando aumentamos o número de pontos todos métodos 
melhoram a precisão
 Se o intervalo for grande, no caso de Trapézio e Simpson
Repetidas, podemos criar subintervalos e aplicar 
Quadratura Gaussiana em cada intervalo
 Problema: Se não tivermos f(x) e sim uma tabela de 
dados experimentais, então o método da Quadratura 
Gaussiana não é aplicável
Quadratura Gaussiana
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Quadratura de Gauss para 2 e 3 pontos.
Resposta: 2 pontos  38,287
3 pontos  38,076
dxx 56
9
1

Quadratura Gaussiana
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação
para a integral utilizando a 
Quadratura de Gauss para 2 e 3 pontos.
Resposta: 2 pontos  1,718
3 pontos  1,7183
dxex
1
0
Quadratura Gaussiana - Exercícios
1) Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Quadratura de Gauss para 2 pontos.
Resposta: 0,746594
2) Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Quadratura de Gauss para 2 pontos.
Resposta: 27,14719
dxe x
21
0


dxxsenx
x
)(
4
2
0


16/05/2019
19
Quadratura Gaussiana – Exercícios
3) Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Quadratura de Gauss para 3 pontos.
Resposta: 3,14108
dx
x2
1
0 1
1
4

Laboratorio_01_apres.pdf
Cálculo Numérico 
Laboratório 1
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@gmail.com
Introdução
� Software destinado a fazer cálculos com matrizes ( 
MATLAB = MATrix LABoratory)
� Comandos próximos à forma como escrevemos 
expressões
� Torna o uso mais simples� Torna o uso mais simples
Introdução
� Tela Inicial do MATLAB
� Desktop � Desktop Layout � Default
Introdução
� Janela de Comandos (Command Window)
� Principal janela do MATLAB, onde os comandos devem 
ser executados
� Utilizando as teclas e é possível navegar pelos 
comandos já digitados
� Comando clc limpa a tela� Comando clc limpa a tela
Introdução
� Local de Trabalho (Workspace)
� Armazena as variáveis já criadas, 
com seus respectivos valores
� Comando clear (executado na 
Command Window) limpa todas as 
variáveis existentesvariáveis existentes
� Histórico de Comandos (Command
History)
� Armazena os comandos já 
executados
� Para limpar essa lista, botão direito 
� Clear Command History
Introdução
� Diretório de trabalho (Current
Folder)
� Se algum arquivo for chamado, 
este deve estar neste diretório
� Atividade Inicial (Importante)� Atividade Inicial (Importante)
� Fazer o apontamento do MATLAB 
para um diretório pessoal 
(preferencialmente no Desktop)
� Sempre refazer esse apontamento 
no inicio de cada aula 
Cálculos Simples
� MATLAB faz cálculos simples e científicos como uma 
calculadora
� Ex: Suponha que você vá a uma loja e compre 3 objetos 
que custam 25 reais cada e 5 objetos que custam 12 reais 
cada. Quanto custou a sua compra?
� MATLAB respeita a precedência de operadores e cria 
uma nova variável
� Quando não definimos uma variável para guardar o 
resultado, o MATLAB utiliza a variável ans
Cálculos Simples
� Ex: Suponha que você vai a uma loja e compra 3 objetos 
que custam 25 reais cada e 5 objetos que custam 12 reais 
cada. Quanto custou a sua compra?
Outra maneira de resolver o problema:
Cálculos Simples
� Utilizamos a virgula para separar os comandos na 
mesma linha
� Poderíamos usar ponto e virgula também. Nesse caso, o 
MATLAB não mostra o resultado dos comandos
� Quando definimos uma variável para receber o resultado 
de uma operação, o MATLAB armazena este resultado 
somente nessa variável, NÃO utilizando a variável ans
Cálculos Simples
� Para ver o valor contido em uma variável, verificamos o 
Workspace ou digitamos seu nome na linha de comando
� Operações aritméticas disponibilizadas pelo MATLAB: 
+ (soma), - (subtração), * (multiplicação), / (divisão), 
^ (exponenciação)
� Outras operações mais complexas, como cálculo de raiz, 
são disponibilizados como funções 
� Precedência de operações ^, * ou /, + ou –
Nomenclatura de Variáveis
� Nomes de variáveis devem ser iniciados por letras
� Não podem conter espaços
� Não podem conter caracteres de pontuação
� MATLAB é case sensitive
� casa ≠ cAsA
� Variáveis pré-definidas:
� ans, pi, eps, flops, inf, NaN, nan, nargin, nargout, realmin, 
realmax
� MATLAB não impossibilita a redefinição destas 
variáveis, mas esta deva ser evitada
Funções Científicas
� Existem funções pré-definidas no MATLAB
� Para se verificar a lista de todas as funções para 
manipulação de expressões algébricas, disponíveis no 
MATLAB, basta executar o comando help symbolic
� Para se verificar a documentação de uma função 
específica, execute o comando help nome_funcao
� Ex: help sqrt
Funções Científicas
� Alguns outros exemplos de funções científicas 
disponíveis:
Formatos Numéricos
� MATLAB respeita certas regras para apresentar 
resultados numéricos
� Número Inteiro � Apresentado como Inteiro
� Número Real � Apres. com aprox. de até quatro casas
� Números Muito Grandes ou Muito Pequenos �
Apresentados com Notação CientíficaApresentados com Notação Científica
� Possível definição de novos formatos
� format short – 5 dígitos (1 antes da virgula, + 4 decimais)
� format long – 16 dígitos (1 antes da virgula, + 15 decimais)
� format rat – formato racional
� Formatos diferentes não alteram a representação interna 
dos números no MATLAB
Programação no MATLAB
� Não é preciso declarar o tipo das variáveis
� O tipo é definido na atribuição do valor
� x = 5 � x é uma variável inteira
� y = 4.5 � y é uma variável do tipo doule
� z = ‘Hello World’ � z é uma variável do tipo string
� No MATLAB o primeiro índice de uma string é 1, ou seja z(1) 
retorna ‘H’
� Comando de atribuição =
� Comando % indica comentário
� MATLAB não aceita comandos como y--, x++, etc
Programação no MATLAB
� Estruturas de controle de fluxo
� Desvio condicional
Caso simples: Utilizando elseif:
Com if aninhado: 
Exemplo:
Programação no MATLAB
� Estruturas de controle de fluxo
� Repetição
� For
Caso simples: Exemplo:
� No caso simples o incremento é de 1 em 1
Definindo o incremento: Exemplo: 
Programação no MATLAB
� Estruturas de controle de fluxo
� Repetição
� While
� O comando break pode ser utilizado para interromper o 
while durante sua execução (funciona para o for também)
� Operadores relacionais: <, >, <=, >=, ==, ~=
� Operadores lógicos: & (e), | (ou), ~ (não)
Criação de Funções Externas
� Executar muitos comandos na Command Window pode 
ser confuso
� Solução: Criação de funções externas
� File � New� Function
Criação de Funções Externas
� MATLAB já cria um esqueleto da função
� output_args � lista de parâmetros de saida (pode ser um 
vetor ou uma matriz)
� Untitled� nome sugerido para a função, pode ser 
mudado
� Obs: Quando salvar o arquivo, utilizar o mesmo nome da � Obs: Quando salvar o arquivo, utilizar o mesmo nome da 
função criada)
� input_args� lista de parâmetros de entrada 
� Os comentários nas linhas abaixo do titulo são mostrados 
quando o comando help nome_funcao é executado
Criação de Funções Externas
� Criando uma função que calcula a soma de x + y
� Executando o help
� Executando a função
Laboratorio_02_apres.pdf
Cálculo Numérico 
Laboratório 2
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@gmail.com
Configurações Iniciais
� Tela Inicial do MATLAB
� Desktop � Desktop Layout � Default
Equações não lineares - Gráficos
� Comando para plotagem de gráficos:
� plot(x, y) � comando para plotagem de gráficos
� x e y podem ser dois vetores com os
valores de cada ponto 
(x,y) no gráfico 
� Aplicação: problemas de interpolação (futuro)
Equações não lineares - Gráficos
� Comando para plotagem de gráficos:
� plot(x, y) � comando para plotagem de gráficos
� x pode ser um intervalo e y pode estar em função de x
� x = -2:0.5:2 (executar sem o ; a fim de ver os resultados na tela) 
� Este comando gera uma sequência de números, iniciada em -2,
com saltos de 0.5 em 0.5, até finalizar com o valor 2com saltos de 0.5 em 0.5, até finalizar com o valor 2
� y = x.^3-x-1 (executar sem o ; afim de ver os resultados na tela) 
� Este comando define o valor de y em função de x. Para cada 
valor de x gerado pelo primeiro comando, será gerado, 
respectivamente, um valor para y, a partir da formula acima.
� Para os operadores * (multip), / (divisão) e ^ (exp.) , utilizar .*, ./
e .^ (operadores termo a termo) � manter essa prática sempre 
quando for plotar gráficos
� grpx=plot(x,y);
Equações não lineares - Gráficos
� Comando para plotagem de gráficos:
-2
0
2
4
6
y
3
4
� Uma vez que o gráfico esteja 
plotado, não fechar a janela
� Necessário repetir os
comandos 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-8
-6
-4
-2
x1 2 3 4 50-1-2-3-4
1
2
3
-4
-3
-2
-1
Equações não lineares - Gráficos
� Formatação de gráficos:
� Justificativa para a necessidade de atribuir o resultado da 
função plot a uma variável (grpx=plot(x,y);) � Para alterar 
algumas propriedades, é necessário identificar o gráfico 
� Tamanho da linha, estilo e cor:� Tamanho da linha, estilo e cor:
� set(grpx, 'LineWidth',3, 'LineStyle','--', 'Color','k');
� Alguns estilos de linha: '--' (tracejada) ':' (pontilhada) 
'-.' (tracejada-pontilhada) '-' (contínua) 
� Algumas cores 'k' (black) 'b' (blue) 'r' (red)
'g' (green)
Equações não lineares - Gráficos
� Formatação de gráficos:
� Definições grid
� axis([-4 5 -4 4]); � Limites dos eixos
� grid ; � Mostrar as linhas do grid
Equações não lineares - Gráficos
� Formatação de gráficos:
y
3
4
0
1
2
3
4
x1 2 3 4 50-1-2-3-4
1
2
3
-4
-3
-2
-1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
Equações não lineares - Gráficos
� Formatação de gráficos:
� Legenda para a curva:
� legend(grpx,'Curva teste'); 
� Título dos eixos:
� xlabel('eixo X'); 
� ylabel('eixo Y'); 
� Título gráfico:
� title('Gráfico teste'); 
Equações não lineares - Gráficos
� Formatação de gráficos:
y
3
4
0
1
2
3
4
e
i
x
o
 
y
Gráfico teste
 
Curva teste
x1 2 3 4 50-1-2-3-4
1
2
3
-4
-3
-2
-1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
eixo X
e
i
x
o
 
y
 
Equações não lineares - Gráficos
� É possível fazer tudo de uma vez?
� Para tipo e cor das linhas, sim:
� plot(x, y, ':r'); 
4
6
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
Equações não lineares - Gráficos
� É possível fazer a edição de gráficos dentro da própria 
janela
Equações não lineares - Gráficos
� É possível colocar mais de uma curva dentro de um 
mesmo gráfico:
� t = 0:0.1:4.*pi; z=sin(t); w=cos(t); g=0.*t;
a = plot(t, z, t, w, t, g);
legend(a, 'seno', 'cosseno', 'marcacao eixo X');
text(2.2, -0.5, 'cosseno');
1 
text(2.2, -0.5, 'cosseno');
0 2 4 6 8 10 12 14
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
 
 
cosseno
seno
cosseno
marcacao eixo X
Equações não lineares - Gráficos
� É possível plotar gráficos em três dimensões
� points = linspace(-2, 2, 40);
[x, y] = meshgrid(points, points);
z = 2./exp((x-.5).^2+y.^2)-2./exp((x+.5).^2+y.^2); 
surf(x, y, z);
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Equações não lineares - Gráficos
� Galeria de gráficos do MATLAB:
� http://www.mathworks.com/discovery/gallery.html
Equações não lineares - Raízes
� O MATLAB possui duas poderosas funções para o 
cálculo de raízes de equações
� Função roots ( p )
� Obtém todas as raízes de uma equação polinomial
� Função fzero (f, x0)
� Determina uma raiz de uma equação polinomial ou 
transcendente
Equações não lineares - Raízes
� Função roots (p)
� Parâmetros
� p ����O polinômio fornecido na entrada da função roots é 
representado através de um vetor de coeficientes, em suas 
respectivas posições
� Dado p(x) = x4 + 2x3 - 13x2 - 14x + 24� Dado p(x) = x4 + 2x3 - 13x2 - 14x + 24
� p = [1 2 -13 -14 +24];
� r = roots(p)
� Resultado mostrado pelo Matlab
r =
-4.0000
3.0000
-2.0000 1.0000
Equações não lineares - Raízes
� Função roots (p)
� Dado p(x) = x3 - x – 1
� p = [1 0 -1 -1];
� r = roots(p);
� Resultado mostrado 
3
4
Gráfico teste
 
Curva teste
pelo Matlab
r =
1.3247 
-0.6624 + 0.5623i
-0.6624 - 0.5623i
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
eixo X
e
i
x
o
 
y
 
Equações não lineares - Raízes
� Função roots (p)
� Dado p(x) = x3 - x – 1
� O comando poly(x) faz o caminho contrário, ou seja, recupera 
o polinômio a partir de suas raízes
� p=poly(r)
Resultado mostrado pelo Matlab� Resultado mostrado pelo Matlab
p =
1.0000 0.0000 -1.0000 -1.0000
� A função roots é limitada, pois só funciona para funções 
polinomiais
Equações não lineares - Raízes
� Função fzero (f, x0)
� Parâmetros
� f���� Função de trabalho, fornecida como um string
� Como a função é fornecida em um string, não é necessário, 
para os operadores ^ (exponenciação.) , * (multiplicação) e / 
(divisão) , utilizar o . (ponto)(divisão) , utilizar o . (ponto)
� Mas e se eu quiser colocar o ponto, para padronizar? Sem
problemas, não vai gerar erro.
� x0���� Vetor aproximação da raiz. Pode conter 1 ou 2 
elementos. Para o segundo caso (2 elementos), a raiz deve 
estar contida dentro do intervalo definido entre os dois 
elementos. Para o caso em que f tenha mais de uma raiz, os 
cálculos devem ser feitos separadamente 
Equações não lineares - Raízes
� Função fzero (f, x0)
� Dado f(x) = x3 - x – 1
� f='x^3-x-1';
� x=fzero(f, 1.5)
� Resultado 3
4
Gráfico teste
 
Curva teste
mostrado pelo
Matlab
x =
1.3247
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
eixo X
e
i
x
o
 
y
 
Equações não lineares - Raízes
� Função fzero
� Dado f(x) = 3x2 * seno(x) * e-X
� f='3*x^2*sin(x)*exp(-x)';
� x=fzero(f, 3.5)
� Resultado
2
mostrado pelo
Matlab
x =
3.141592653589793
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Equações não lineares - Raízes
� Função fzero –Observações:
� A função fzero funciona bem para funções continuas
� Ex: fzero('tan', 1)
� Resultado mostrado pelo Matlab
ans =
1.570796326794898
� A função tangente não é continua em π/2
� A função fzero necessita de troca de sinal da função para 
encontrar a raiz
� Ex: f(x) = x2 = 0 � x = 0
� y =fzero('x^2', 0.5)
� Resultado mostrado pelo Matlab
y = NaN
Equações não lineares - Raízes
� Função fzero (f, x0) - Passos na execução da função
� Passo 1: Análise crítica
� Parece existir algum valor de x tal que f(x) = 0?
� Sim/Talvez � Passo 2
� Não � A função não tem raiz
� Passo 2: Plotar o gráfico
� Importante:
� Ao definir o intervalo, verificar se a função é contínua, 
para aquele intervalo
� Verificar se a curva cruza o eixo x, pois caso contrário, 
a função fzero (f, x0) falha
� A partir do gráfico plotado, definir um valor inicial (chute) x0
� Passo 3: Executar a função fzero (f, x0)
Laboratorio_02_FundamentosParaAnaliseFuncoes.pdf
06/09/2018
1
Fundamentos para análise de 
funções no Octave/Matlab
Funções e gráficos
• O gráfico de uma função é gerado à partir dos seus 
pontos (xi, yi);
– Define-se o conjunto de pontos xi:
• x = -2:0.5:2; 
– Este comando gera uma sequência de números, iniciada em -2, com 
saltos de 0.5 em 0.5, até finalizar com o valor 2.
– Define-se o conjunto de pontos yi correspondentes, 
utilizando a função em questão.
• Para a função f(x)=x3-x-1:
– y = x.^3-x-1;
» Este comando define o valor de y em função de x. Para cada valor 
de x gerado pelo primeiro comando, será gerado, respectivamente, 
um valor para y, a partir da formula acima.
» Para os operadores * (multip), / (divisão) e ^ (exp.) , utilizar .*, ./ e .^ 
(operadores termo a termo)
Funções e gráficos
• Os vetores x e y contem todos os pontos do 
gráfico;
• Para plotar, use o comando plot(x,y)
Funções e gráficos
• Para manipular as propriedades do gráfico, gere-o assim:
grafico = plot(x,y);
• A variável grafico permitirá realizar diversas alterações:
set(grafico, 'LineWidth',3, 'LineStyle','--', 'Color','k');
• Alguns estilos de linha: '--' (tracejada) ':' (pontilhada)'-.' (tracejada-pontilhada) 
'-' (contínua)
• Algumas cores 'k' (black) 'b' (blue) 'r' (red) 'g' (green)
Funções e gráficos
axis([-4 5 -4 4]); % Limites dos eixos
grid;% Mostrar as linhas do grid
Funções e gráficos
• Legenda para a curva:
legend(grafico,'Curva teste');
• Título dos eixos:
xlabel('eixo X');
ylabel('eixo Y');
• Título gráfico:
title('Gráfico teste');
06/09/2018
2
Funções e gráficos
• É possível colocar mais de uma curva dentro de um mesmo 
gráfico:
t = 0:0.1:4.*pi; z=sin(t); w=cos(t); g=0.*t;
a = plot(t, z, t, w, t, g);
legend(a, 'seno', 'cosseno', 'marcacao eixo X');
text(2.2, -0.5, 'cosseno'); 
grid;
Exercícios práticos
• Plote as seguintes funções:
• Dica: é preciso definir o intervalo numérico em x, gerando um vetor, para depois 
lançar estes números num vetor y, correspondendo a cada uma das funções.
Manipulação de funções
• Podemos definir uma função como simbólica (para integração, derivação, etc.):
– Depende do pacote “symbolic”.
syms f(x); % define f(x) como simbólica
f(x) = sin(x^2); % define a função propriamente dita
df = diff(f,x); % calcula a derivada em relação à variável x
df(1) % a derivada recebe o valor 1 como parâmetro
Manipulação de funções
• Criando uma função f(x):
function retval = polinomio(x)
retval = x.^2+x-6;
endfunction
• Informando ao Octave que polinomio é uma 
função manipulável, criando o ponteiro f:
f=@polinomio
Manipulação de funções
• Como f faz referência à função polinomio, podemos 
utilizá-la em outra função:
function retval = bissecao (a, b, f, precisao)
if(f(a)*f(b)>0)
fprintf('Intervalo invalido (f(a)*f(b)>0)! %f * %f = %f > 0\n', f(a), f(b), f(a)*f(b));
return;
end
x = (b+a)/2;
k = 0;
fprintf('Iteracao | \t x \t\t | \t f(x) \t\t | \t |b-a| \t\t \n');
while( abs(b-a) >= precisao && abs(f(x)) >= precisao )
if(f(a)*f(x) < 0) % trocar o b
b = x;
else % trocar o a
a = x;
end
x = (b+a)/2;
k = k+ 1;
fprintf(' %d \t | %.5f \t\t | %.5f \t\t | %.5f \t\t \n', k, x, f(x), abs(b-a)); 
end
retval = x;
fprintf('resposta x = %f, pois f(%f) = %f\n', x, x, f(x));
endfunction
Laboratorio_03_Obtencao de raizes.pdf
06/09/2018
1
Obtenção de raízes
Raízes usando Octave
• Conforme visto, a análise do gráfico da função 
f(x) e demais (ф(x), ф’(x), f’(x), f’’(x)) é relevante 
para obtenção da raiz da função.
– Gera-se um vetor de valores x e depois os valores y
correspondentes.
• Podemos implementar nossas próprias funções 
para obtenção de raízes.
• Ou reusar funções existentes.
Implementando um método...
• Pode-se implementar um método para obtenção de raízes e aplicá-
lo na função desejada.
• Gera-se um arquivo contendo a função:
function retval = polinomio(x)
retval = x.^2+x-6;
endfunction
• Cria-se um ponteiro para a função:
f=@polinomio
• Implementa-se o método (slides a seguir).
Bisseção
function retval = bissecao (a, b, f, precisao)
if(f(a)*f(b)>0)
fprintf('Intervalo invalido (f(a)*f(b)>0)! %f * %f = %f > 0\n', f(a), f(b), f(a)*f(b));
return;
end
x = (b+a)/2;
k = 0;
fprintf('Iteracao | \t x \t\t | \t f(x) \t\t | \t |b-a| \t\t \n');
while( abs(b-a) >= precisao && abs(f(x)) >= precisao )
if(f(a)*f(x) < 0) % trocar o b
b = x;
else % trocar o a
a = x;
end
x = (b+a)/2;
k = k+ 1;
fprintf(' %d \t | %.5f \t\t | %.5f \t\t | %.5f \t\t \n', k, x, f(x), abs(b-a)); 
end
retval = x;
fprintf('resposta x = %f, pois f(%f) = %f\n', x, x, f(x));
endfunction
Posição Falsa
function retval = posicaoFalsa (a, b, f, precisao)
if(f(a)*f(b)>0)
fprintf('Intervalo invalido (f(a)*f(b)>0)! %f * %f = %f > 0\n', f(a), f(b), f(a)*f(b));
return;
end
x = (a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a));
k = 0;
fprintf('Iteracao | \t x \t\t | \t f(x) \t\t | \t |b-a| \t\t \n');
while( abs(b-a) >= precisao && abs(f(x)) >= precisao )
if(f(a)*f(x) < 0) % trocar o b
b = x;
else % trocar o a
a = x;
end
x = (a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a));
k = k+ 1;
fprintf(' %d \t | %.5f \t\t | %.5f \t\t | %.5f \t\t \n', k, x, f(x), abs(b-a)); 
end
retval = x;
fprintf('resposta x = %f, pois f(%f) = %f\n', x, x, f(x));
endfunction
Newton-Raphson
function retval = NewtonRaphson (x, f, precisao)
pkg load optim; % para uso da função deriv
x = x-f(x)/deriv(f, x);
k = 0;
fprintf('Iteracao | \t x \t\t | \t f(x) \t\t \n');
fprintf(' %d \t | %.5f \t\t | %.5f \t\t \n', k, x, f(x)); 
while( abs(f(x)) >= precisao )
x = x-f(x)/deriv(f, x);
k = k+ 1;
fprintf(' %d \t | %.5f \t\t | %.5f \t\t \n', k, x, f(x)); 
end
retval = x;
fprintf('resposta x = %f, pois f(%f) = %f\n', x, x, f(x));
endfunction
06/09/2018
2
Secante
function retval = secante (x_k_1, x_k, f, precisao)
x = (x_k_1*f(x_k)-x_k*f(x_k_1))/(f(x_k)-f(x_k_1))
k = 0;
fprintf('Iteracao | \t x \t\t | \t f(x) \t\t \n');
while(abs(x_k - x_k_1) >= precisao && abs(f(x)) >= precisao )
x = (x_k_1*f(x_k)-x_k*f(x_k_1))/(f(x_k)-f(x_k_1));
x_k_1 = x_k;
x_k = x; 
k = k+ 1;
fprintf(' %d \t | %.5f \t\t | %.5f \t\t \n', k, x, f(x)); 
end
retval = x;
fprintf('resposta x = %f, pois f(%f) = %f\n', x, x, f(x));
endfunction
Funções oferecidas pelo 
Octave/Matlab
• Função roots ( p )
– Obtém todas as raízes de uma equação polinomial
• Função fzero (f, x0)
– Determina uma raiz de uma equação polinomial 
ou transcendente
Funções oferecidas pelo 
Octave/Matlab
• Função roots (p)
– Parâmetros
• p -> O polinômio fornecido na entrada da função roots é
representado através de um vetor de coeficientes, em suas
respectivas posições
– Dado p(x) = x4 +
2x3 - 13x2 - 14x + 24
p = [1 2 -13 -14 +24];
r = roots(p)
• Resultado mostrado pelo Matlab
r =
-4.0000
3.0000
-2.0000 1.0000
Funções oferecidas pelo 
Octave/Matlab
• Função roots (p)
– Dado p(x) = x3-x-1
p =[1 0 -1 -1];
r = roots(p)
r =
1.32472 + 0.00000i
-0.66236 + 0.56228i
-0.66236 - 0.56228i
Funções oferecidas pelo 
Octave/Matlab
Funções oferecidas pelo 
Octave/Matlab
• Função fzero(f,x0)
– Parâmetros:
• f -> Função de trabalho fornecida como uma handle function:
f =@(x) x.^3-x-1;
f =@(x) 2*sin(x);
• x0 -> Ponto inicial:
>> f = @(x) x.^2
f =
@(x) x .^ 2
>> fzero(f, 1)
ans = 0
>>
06/09/2018
3
Funções oferecidas pelo 
Octave/Matlab
• Função fzero(f,x0)
– Dado f(x)=x3-x-1
f =@(x) x.^3-x-1;
x=fzero(f,1.5)
x = 1.3247
Funções oferecidas pelo 
Octave/Matlab
• Função fzero(f,x0)
– Dado f(x)=3x2*seno(x)*e-x
f =@(x) 3*x.^2*sin(x)*exp(-x);
x=fzero(f,3.5);
x = 3.14159
Funções oferecidas pelo 
Octave/Matlab
Laboratorio_04_apres.pdf
Cálculo Numérico 
Laboratório 3
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@gmail.com
Configurações Iniciais
� Tela Inicial do MATLAB
� Desktop � Desktop Layout � Default
Configurações Iniciais
� Diretório de trabalho (Current
Folder)
� Se algum arquivo for chamado, 
este deve estar neste diretório
� Atividade Inicial (Importante)
� Fazer o apontamento do MATLAB 
para um diretório pessoal 
(preferencialmente no Desktop)
� Sempre refazer esse apontamento 
no inicio de cada aula 
Matrizes no Matlab
� Matrizes são tratadas da mesma forma que escalares e 
vetores no Matlab, já que os últimos são casos 
particulares de matrizes
� Criação de matrizes no Matlab
� .
� Ex: a=[1 2 3; 4 5 6]
� É também possível criar matrizes digitando cada linha 
separadamente (utilizar Shift+Enter para mudar de linha)
� Ex: b=[7 8 9 
10 11 12]
];;[ 212222111211 mnmmnn aaaaaaaaaNomeMatriz LLL=
Matrizes no Matlab
� Outros comandos para criação de matrizes:
� eye(n) � cria uma matriz identidade de ordem n
� ones(n)� cria uma matriz de ordem n com todos os 
elementos iguais a 1
� zeros(n)� cria uma matriz nula de ordem n
� rand(n)� matriz aleatória (entre 0 e 1) de ordem n
� magic(n)� cria uma matriz aleatória ordem n. O 
somatório de cada linha é o mesmo de cada coluna
Matrizes no Matlab
� O comando size permite obter as dimensões da matriz
� Ex: [l,c]=size(b)
� Retorno do Matlab: l = 2
c = 3
� Para acessar uma determinada posição da matriz, basta 
digitar o comando NomeMatriz(i,j), lembrando que, no 
Matlab, os índices começam a partir de 1
� Ex: b(2,1)
� Retorno do Matlab: ans = 10
Matrizes no Matlab
� Para retornar de uma vez todos os elementos da 
linha/coluna da matriz:
� Ex: b(1,:) ���� retorna os elementos da primeira linha de b
� Retorno do Matlab: ans = 7 8 9
� Ex: b(:,2) ���� retorna os elementos da segunda coluna de b
� Retorno do Matlab: ans = 7 
10
� É possível também remover linhas/colunas da matriz
� Ex: c = b(:,[1 3]) � remove a segunda coluna da matriz b, 
atribuindo o resultado à variável c.
� Retorno do Matlab: c = 7 9
10 12
Matrizes no Matlab - Operações
� As operações matriciais são executadas de maneira 
semelhante às operações escalares
� Ex: a=[1 2; 3 4]; c=[3 5; -5 2];
� Adição: d = a + c
� Retorno do Matlab: d = 4 7
-2 6
� Subtração: d = c - a
� Retorno do Matlab: d = 2 3
-8 -2
Matrizes no Matlab - Operações
� As operações matriciais são executadas de maneira 
semelhante às operações escalares
� Ex: a=[1 2; 3 4]; c=[3 5; -5 2];
� Multiplicação: d = a * c
� Retorno do Matlab: d = -7 9
-11 23
E se fizermos d = a .* c, o que esperar?
� Divisão: d = c/a
� Retorno do Matlab: d = 1.5000 0.5000
13.0000 -6.0000
Matrizes no Matlab - Operações
� As operações matriciais são executadas de maneira 
semelhante às operações escalares
� Ex: a=[1 2; 3 4]; c=[3 5; -5 2];
� Exponenciação: d = a ^ 2
� Retorno do Matlab: d = 7 10
15 22
� E se fizermos a .^ 2, o que esperar?
� Transposta: d=d'
� Retorno do Matlab: d = 7 15
10 22
Matrizes no Matlab - Operações
� As operações matriciais são executadas de maneira 
semelhante às operações escalares
� Ex: a=[1 2; 3 4]; c=[3 5; -5 2];
� Inversa: d = inv(a)
� Retorno do Matlab: d = -2.0000 1.0000
1.5000 -0.5000
� Determinante: x=det(a)
� Retorno do Matlab: x = -2
Solução de Sistemas Lineares
� O Matlab dispõe de operadores e funções que podem 
ser utilizadas para solucionar sistemas de equações 
lineares
� Divisão à esquerda
� Permite resolver um sistema linear de n equações, 
no formato Ax = b, onde:
A = matriz de coeficientes n x n
x = matriz coluna (n x 1) de incógnitas
b = matriz coluna (n x 1) de termos independentes
� O comando da divisão à esquerda tem a seguinte forma:
x = a\b
� A solução é calculada fazendo-se a Eliminação de Gauss
Solução de Sistemas Lineares
� Exemplo: Encontre as raízes do sistema de equações:






=





×





6
5
43
21
2
1
x
x
Solução:
a= [1 2; 3 4];
b=[5 ; 6]
x=a\b
Retorno do Matlab: x = -4.0000
4.5000
Solução de Sistemas Lineares
� Exemplo: Encontre as raízes do sistema de equações:












−
=












×












−−
−−
−−
17
16
5.6
12
15.152212
5.525.65.71
65.676
6324
4
3
2
1
x
x
x
x
Solução:
a=[4 -2 -3 6; -6 7 6.5 -6; 1 7.5 6.25 5.5;-12 22 15.5 -1]
b=[12 ; -6.5; 16; 17]
x=a\b
Retorno do Matlab: x = 2.0000
4.0000
-3.0000 0.5000
 −− 1715.152212 4x
Solução de Sistemas Lineares
� Decomposição LU com Pivoteamento Parcial
� Comando para decompor a matriz A em L e U
[L,U,P] = lu(A)
onde:
L = matriz triangular inferior unitária
U = matriz triangular superior
P = matriz identidade reordenada (pivoteamento
parcial)
� A partir do cálculo acima, a resolução dos sistemas 
Ly=Pb e Ux=y é realizada através da divisão à 
esquerda.
Solução de Sistemas Lineares






=





×





6
5
43
21
2
1
x
x
� Exemplo: Encontre as raízes do sistema de equações 
utilizando a decomposição LU:
Solução:
a= [1 2; 3 4];
b=[5 ; 6];
[l,u,p] = lu(a)
Retorno do Matlab: 
l = 1.0000 0 u= 3.0000 4.0000 p= 0 1
0.3333 1.0000 0 0.6667 1 0
Solução de Sistemas Lineares






=





×





6
5
43
21
2
1
x
x
� Exemplo: Encontre as raízes do sistema de equações 
utilizando a decomposição LU:
Solução:
Resolvendo o sistema Ly=Pb
y= l\(p*b)
Retorno do Matlab:
y = 6
3
Solução de Sistemas Lineares






=





×





6
5
43
21
2
1
x
x
� Exemplo: Encontre as raízes do sistema
de equações 
utilizando a decomposição LU:
Solução:
Resolvendo o sistema Ux=y
x= u\y
Retorno do Matlab:
x= -4.0000
-4.5000
Solução de Sistemas Lineares
� Exemplo: Encontre as raízes do sistema de equações 
utilizando a decomposição LU:










−
=










×










−−
−−
16
5.6
12
5.525.65.71
65.676
6324
3
2
1
x
x
x
Solução:
a=[4 -2 -3 6; -6 7 6.5 -6; 1 7.5 6.25 5.5;-12 22 15.5 -1]
b=[12 ; -6.5; 16; 17]











 −− 1715.152212 4
3
x
Solução de Sistemas Lineares
� Exemplo: Encontre as raízes do sistema de equações 
utilizando a decomposição LU:










−
=










×










−−
−−
16
5.6
12
5.525.65.71
65.676
6324
3
2
1
x
x
x
Solução:
[l,u,p] = lu(a) 
Retorno do Matlab:











 −− 1715.152212 4
3
x
Solução de Sistemas Lineares
� Exemplo: Encontre as raízes do sistema de equações 
utilizando a decomposição LU:










−
=










×










−−
−−
16
5.6
12
5.525.65.71
65.676
6324
3
2
1
x
x
x
Solução:
Resolvendo o sistema Ly=Pb
y= l\(p*b)
Retorno do Matlab:
y = 17.0000
17.4167 7.7143 -0.4000











 −− 1715.152212 4
3
x
Solução de Sistemas Lineares
� Exemplo: Encontre as raízes do sistema de equações 
utilizando a decomposição LU:










−
=










×










−−
−−
16
5.6
12
5.525.65.71
65.676
6324
3
2
1
x
x
x
Solução:
Resolvendo o sistema Ux=y
x= u\y
Retorno do Matlab:
x = 2.0000
4.0000 -3.0000 0.5000











 −− 1715.152212 4
3
x
Laboratorio_05_apres.pdf
Cálculo Numérico 
Laboratório 4
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@gmail.com
Configurações Iniciais
� Tela Inicial do MATLAB
� Desktop � Desktop Layout � Default
Interpolação
� O MATLAB disponibiliza métodos para interpolação 
de funções
� Neste laboratório, trabalharemos com as funções 
abaixo:
� polyfit (x, y, m)
� Calcula o polinômio de grau até n-1 que passa pelo 
conjunto de n pontos (x, y)
� interp1(x, y, xi, 'método')
� Dado um conjunto de pontos (x,y),faz a interpolação dos 
pontos contidos na variável xi, utilizando para isso o método de 
interpolação informado em 'método'
Interpolação - polyfit
� Função polyfit (x, y, m)
� Parâmetros
� x� vetor contendo as coordenadas horizontais dos 
pontos
� y� vetor contendo as coordenadas verticais dos pontos
� m� grau do polinômio interpolado
Interpolação - polyfit
� Função polyfit (x, y, m)
� Observação:
� Embora o polinômio interpolado possa ter grau até n-1, 
onde n é o número de pontos fornecidos, normalmente 
utilizar polinômios de grau muito elevados não é uma boa 
escolha ( problemas de arredondamento, etc ). Assim, escolha ( problemas de arredondamento, etc ). Assim, 
costumamos trabalhar com polinômios de graus mais 
baixos, como 3,4 e 5 que, na maioria dos casos, 
apresentam boas aproximações para a função interpolada. 
Interpolação - polyfit
� Considere o conjunto de pontos abaixo e obtenha o 
polinômio interpolador de grau 4:
x 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6
y 0 3 4.5 5.8 5.9 5.8 6.2 7.4 9.6 15.6
Solução:
Gerando os valores de x e y:
x = 0:0.4:3.6 
y = [0 3 4.5 5.8 5.9 5.8 6.2 7.4 9.6 15.6]
Gerando o polinômio interpolador:
p =polyfit(x, y, 4)
Interpolação - polyfit
� Considere o conjunto de pontos abaixo e obtenha o 
polinômio interpolador de grau 4:
x 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6
y 0 3 4.5 5.8 5.9 5.8 6.2 7.4 9.6 15.6
Solução:
Resultado do MATLAB:
p =
0.2726 -0.5966 -2.4014 7.9459 0.0591
O resultado acima mostra que, para os pontos (x,y) fornecidos, 
o MATLAB calculou o seguinte polinômio de grau 4:
P4(x) = 0.2726x4 - 0.5966x3 - 2.4014x2 + 7.9459x + 0.0591
Interpolação - polyfit
� Considere o conjunto de pontos abaixo e obtenha o 
polinômio interpolador de grau 4:
x 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6
y 0 3 4.5 5.8 5.9 5.8 6.2 7.4 9.6 15.6
Solução:
Agora, vamos analisar a qualidade do polinômio retornado 
pelo MATLAB. Para isso, vamos plotar, num mesmo gráfico, o 
pontos (x,y) fornecidos na entrada e os pontos (x, yi), onde yi
é calculado a partir da avaliação do polinômio P4 no ponto x.
Interpolação - polyfit
� Considere o conjunto de pontos abaixo e obtenha o 
polinômio interpolador de grau 4:
x 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6
y 0 3 4.5 5.8 5.9 5.8 6.2 7.4 9.6 15.6
Solução:
Vamos utilizar a função polyval (p, x), onde p é o polinômio 
que vamos avaliar e x é o conjunto de 1 ou mais pontos nos 
quais desejamos avaliar p. Logo:
yi = polyval (p, x)
Resultado do Matlab:
yi = 0.0591 2.8220 4.6851 5.6706 5.9679 5.9344 6.0945 
7.1403 9.9314 15.4948
Interpolação - polyfit
� Considere o conjunto de pontos abaixo e obtenha o 
polinômio interpolador de grau 4:
x 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6
y 0 3 4.5 5.8 5.9 5.8 6.2 7.4 9.6 15.6
Solução:
Plotando o gráfico:
plot(x, y, '*', x, yi, '-')
No gráfico, os pontos (x, y) originais estarão marcados com *, 
já os pontos (x, yi), calculados pelo polinômio interpolado, 
estarão ligados por uma linha contínua
Interpolação - polyfit
10
12
14
16
� Considere o conjunto de pontos abaixo e obtenha o 
polinômio interpolador de grau 4:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
2
4
6
8
10
E aí, o polinômio interpolado está bom ou ruim?
Interpolação – interp1
� Função interp1(x, y, xi, 'método')
� Parâmetros
� x� vetor contendo as coordenadas horizontais dos 
pontos
� y� vetor contendo as coordenadas verticais dos pontos
� xi� conjunto de 1 ou mais pontos cujos quais 
desejamos interpolar
� 'método' � método utilizado na interpolação. Existem 
vários métodos disponíveis, mas nós vamos trabalhar 
com somente 2:
� 'linear' � interpolação spline linear
� 'cubic' � interpolação spline cúbica
Interpolação – interp1
� Função interp1(x, y, xi, 'método')
� Observações:
� O vetor x deve ser monotônico ( os elementos devem 
estar na ordem ascendente ou descendente )
Interpolação – interp1
� Considere o conjunto de pontos abaixo e realize a 
interpolação para o ponto x = 18
x 8 11 14 17 20
y 5 9 10 8 7
Solução:
Gerando os valores de x e y:
x = 8:3:20 
y = [5 9 10 8 7]
Interpolação – interp1
� Considere o conjunto de pontos abaixo e realize a 
interpolação para o ponto x = 18
x 8 11 14 17 20
y 5 9 10 8 7
Solução:
Calculando a interpolação no ponto x = 18
yi = interp1(x,y,18,'linear') ���� método linear
Resposta do MATLAB: yi = 7.6667
yi = interp1(x,y,18,'cubic') ���� método cúbico
Resposta do MATLAB: yi = 7.5802