soluções 1 prova eletrotec (1)

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1. Em uma carga indutiva ligada em 220 V/60 Hz, mediu-se uma corrente de 0,5 A. Mediu-se,
também, um cosseno de defasagem entre a voltagem e a corrente de 0,7. Que circuito pode
representar essa carga?
Sendo arccos 0, 7 = 45, 57o e ϕV = 0o, o componente de resistência estando em fase com o vetor de
tensão e o circuito sendo indutivo, o vetor de corrente aparente possui componente vertical negativo.
Através da equação
−→
Z =
−→
V
−→
I
=
V ∠ϕV
I ∠ϕI
,
obtemos:
−→
Z =
220 V ∠ 0o
0, 5 A ∠ − 45, 57o = 440 Ω ∠ 45, 57
o.
Determinamos os componentes resistivo e reativo da impedância via trigonometria.
Zx = R = 440 Ω · cos 45, 57o = 308 Ω
Zy = X = 440 Ω · sin 45, 57o = 314, 22 Ω
Como o circuito é indutivo, temos que
X = XL = ω · L ∴ L = XL
2pif
.
Logo,
L =
314, 22 Ω
2 · pi · 60 Hz = 0, 83 H.
O circuito equivalente elementar é RL série, com R = 308 Ω e L = 0,83 H.
2. Marque a(s) resposta(s) correta(s).
a) A lei das malhas de Kirchhoff não vale para os circuitos alternados reativos.
Verdadeiro. A lei das malhas de Kirchhoff enuncia que a soma algébrica das tensões elétricas nos
componentes de um circuito fechado é igual a zero. Isso não é válido, pois para os circuitos alternados
é a soma vetorial que é nula.
b) Em um circuito RC série as voltagens nos elementos estão defasadas entre si em 180o.
Falso. Em um circuito RC série, o resistor não defasa a tensão (ϕR = 0o), enquanto que o capacitor o
faz em quadratura de atraso (ϕC = −90o). Logo, o defaso de tensão entre os elementos é de 90o.
c) Em um circuito RL série as voltagens nos elementos estão defasadas entre si em 90o.
Verdadeiro. Em um circuito RL série, o resistor não defasa a tensão, enquanto que o indutor o faz em
quadratura de adiantamento (ϕL = 90o). Logo, o defaso de tensão entre os elementos é de 90o.
d) Um circuito RLC série pode ser aparentemente resistivo.
Verdadeiro. Num circuito RLC o indutor e o capacitor causam respectivamente reatâncias XL e XC de
sinais opostos e a equação da impedância assume a forma Z =
√
R2 + (XL −XC)2. Logo, é possível
fazer XL = XC através de uma frequência de ressonância fres ou através de um par apropriado de
valores de L e C.
3. No circuito abaixo, determine as correntes em cada ramo do circuito sua corrente total e sua
impedância equivalente, sabendo que V = 220 V ∠ 0o.
+
−
220 V/60 Hz
290 Ω
+j368.8 Ω
3.5 μF
Devemos encontrar a impedância equivalente de cada ramo do circuito através da equação
Z ∠ ϕ =
√
R2 +X2∠ arctan X
R
.
Para o ramo RL:
Z1 ∠ϕ1 =
√
(290 Ω)2 + (368, 8 Ω)2 ∠ arctan 368, 8 Ω
290 Ω
=
= 469, 16 Ω ∠ 51, 82o
Para o ramo C, dado que
XC =
1
ω · C =
1
2 · pi · 60 Hz · 3, 5 µF = 757, 88 Ω
temos que:
Z2 ∠ϕ2 =
√
(0 Ω)2 + (−757, 88 Ω)2 ∠ arctan 0 Ω−757, 88 Ω =
= 757, 88 Ω ∠ − 90o
As correntes em cada ramo são dadas por −→I =
−→
V−→
Z
, logo:
I1 ∠ ϕ1 =
220 V ∠ 0o
469, 16 Ω ∠ 51, 82o = 0, 47 A ∠ − 51, 82
o
I2 ∠ ϕ2 =
220 V ∠ 0o
757, 88 Ω ∠ − 90o = 0, 29 A ∠ 90
o
A corrente total é dada por −→It = −→I1 +−→I2 .
It ∠ ϕt = 0, 47 A ∠ − 51, 82o + 0, 29 A ∠ 90o = 0, 3 A ∠ − 15, 12o
A impedância equivalente é dada por
−→
Z =
220 V ∠ 0o
0, 3 A ∠ − 15, 12o = 732, 73 Ω ∠ 15, 12
o.
Sugestão: A impedância equivalente também pode ser determinada por
−→
Z = Z ∠ ϕZ =
Z1 ∠ ϕ1 · Z2 ∠ ϕ2
Z1 ∠ ϕ1 + Z2 ∠ ϕ2
,
que deve responder com a corrente equivalente It ∠ ϕt.
4. Uma voltagem v(t) = 100·sen(1000·t - 30o) é aplicada a um determinado circuito que responde
com uma corrente i(t) = 20·sen(1000·t + 30o). Determinar a impedância equivalente deste cir-
cuito, bem como seus componentes físicos.
Pela equação da impedância,
−→
Z =
100 V ∠ − 30o
20 A ∠ 30o = 5 Ω ∠ − 60
o.
Como ϕI > ϕV , a impedância é aparentemente capacitiva, o que também pode ser visto entre a
impedância e a tensão (ϕV > ϕZ). Ao calcularmos as grandezas dos componentes físicos, devemos
atentar ao fato de que não há resistências, impedâncias ou capacitâncias negativas, ou seja, devemos
admitir os valores negativos em módulo.
R = Z · cos ϕZ = 5 Ω · cos | − 60o| = 2, 5 Ω
XC = Z · sin |ϕZ | = 1
ω · C ∴ C =
1
1.000 Hz · 5 Ω · sin | − 60o| = 230, 94 µF
Logo, o circuito equivalente elementar é RC série, com R = 2,5 Ω e C = 230,94 μF.
5. Duas impedâncias Z1 = 4 Ω ∠ 30o e Z2 = 5 Ω ∠ − 60o estão conectadas a uma tensão
V = 20 V ∠ 60o.
a) Considere que as impedâncias estão associadas em paralelo, determine as correntes de cada
carga e some-as. Desenhe o diagrama fasorial.
Para as impedâncias em paralelo, calculamos as correntes I1 e I2 e somamos as mesmas vetorialmente.
I1 ∠ ϕ1 =
20 V ∠ 60o
4 Ω ∠ 30o = 5 A ∠ 30
o
I2 ∠ ϕ2 =
20 V ∠ 60o
5 Ω ∠ − 60o = 4 A ∠ 120
o
4 A
6, 4 A
5 A
30o
120o
68, 66o
It ∠ ϕt = I1 ∠ ϕ1 + I2 ∠ ϕ2 = 5 A ∠ 30o + 4 A ∠ 120o = 6, 4 A ∠ 68, 66o
b) Considere que as impedâncias estão associadas em série, determine as tensões de cada carga
e some-as. Desenhe o diagrama fasorial.
Para as impedâncias em série, calculamos a impedância equivalente,
Ze ∠ ϕe = Z1 ∠ ϕ1 + Z2 ∠ ϕ2 = 4 Ω ∠ 30o + 5 Ω ∠ − 60o = 6, 4 Ω ∠ − 21, 34o,
determinamos a corrente total,
It ∠ ϕt =
V ∠ ϕV
Ze ∠ ϕe
=
20 V ∠ 60o
6, 4 Ω ∠ − 21, 34o = 3, 12 A ∠ 81, 34
o,
multiplicamos a corrente total por cada impedância para obtermos as respectivas quedas de tensão,
V1 ∠ ϕ1 = Z1 ∠ ϕ1 · It ∠ϕt = 4 Ω ∠ 30o · 3, 12 A ∠ 81, 34o = 12, 49 V ∠ 111, 34o
e
V2 ∠ ϕ2 = Z2 ∠ ϕ2 · It ∠ϕt = 5 Ω ∠ − 60o · 3, 12 A ∠ 81, 34o = 15, 62 V ∠ 21, 34o,
e somamos as quedas de tensão −→V1 e −→V2 para obtermos a tensão original.
12, 49 V
20 V
15, 62 V
21, 34o
111, 34o
60o
−→
V =
−→
V1 +
−→
V2 = 12, 49 V ∠ 111, 34o + 15, 62 V ∠ 21, 34o = 20 V ∠ 60o.