Sistemas de coordenadas

Física I SISTEMAS DE COORDENAD AS 1 Sumário Introduçã o .............................................................................................................................................. 2 Objetiv o .................................................................................................................................................. 2 1. Visão de um v etor a part ir do s istema de coord enada s ............................................................... 2 1.1. Si stema de c oordenada s em duas dim ensões ........................................................................ 2 1.2. So ma e sub tração de vetore s em d uas dimen sões ................................................................ . 5 1.3. Si stema de c oordenada s em t rê s dimens ões ................................ ......................................... 9 Exercíc ios ................................ .............................................................................................................. 11 Gabari to ................................................................................................................................................ 11 Resu mo ................................................................................................ ................................................. 12 2 Introduçã o Na apostila “ Adição e subtração de vetor es ” aprendemos algumas regras que nos pe rm itiram adicionar e subtrair vetores os quais estavam dispostos em um espaço qualquer. Agora, veremos que podemos representar estes vetores em planos em duas e três dimensões. Estes planos são denomin ados siste mas de coordenadas, uma ferramenta matemá tica bastante utilizada na Física. O sistema de coordena das mais utiliz ado é o plano cartesiano, o qual nos possibilita orientar vetores no espaço utili zando seus eixos como u m referencial e ain da , dete rmi nar o módulo dos mesmos. Nesta apostila va mos apr ender a representar u m vetor em pl anos em duas e três dimensões bem como efetuar op erações de adição e subtração dos mesmos nestes planos, encon trando um v etor resultante e determin ar seu módulo, su a direção e sentido. Mas, se rá q ue os vetores representados em um plano cartesiano podem ser adiciona dos ou subtra ídos? Objetivo • Compreender como representar os vetores em sistemas de coordenadas cartesiana s em duas e três di mensões. • Realiza r operações de ad ição e subtração de vetores nesses planos. 1. Visão de um vetor a partir do sistema de coordena das Vimos que a representação de um veto r é dada por uma seta em que o seu taman ho é o seu módulo, o seg mento de r eta ind ica a sua di reção e a orientação d a seta corresponde ao seu sentido. A representação d os vetores também se dá atra vés d e componentes em um sistema de eixos car tesianos o rtogonais em duas ou três dimensões. 1.1. Sistema de coordena das em du as dimens ões Em u m plano c artesiano em duas dimensões, q ue apresenta os ei xos x e y , podemos representar u m vetor que possui a orientação nestes eixos como 3 e xy xy V V i V V j == IMP O R T A NT E ! As quantidades i e j são vetores un itários corr esp ondentes as coordenadas x e y e x V e y V são chamados d e p roj eção do vetor V . São númer os reais e positivos, se x V possuir a mesma or ientação dos eixo x e y V a mesm a orientação do eixo y . Caso contrári os , são números r ea is e negativos, podendo ainda ser nu los , veja: Plano xy Um v etor V ainda pode ser escrito com o: xy V V i V j =+ Associamos aos ei xos,      r espe ctivam ente os vetores              q ue possuem a mesma orie ntação d o eixo. Estes vetores são ditos unit ários os quais v eremos mais d etalhes na apostila sob re vetores u nitários e módulo de um v etor. 4 Considerando o exemplo aba ixo em que cada quadrado do plano xy p ossui 1 cm de lado, a representação dos vetores 1 2345 6 , , , , e V V V V V V é dada da seguinte manei r a: • O vetor 1 V possui a orientação do eixo x e sentido positivo com módul o 1 3 V = . A sua r epresentação e m termos de vetor es un itários será 1 3 Vi = . • O vetor 2 V p ossui um deslocamento de 4 cm em rel ação ao ei xo x e 4 cm em relação ao eixo y , sua r ep resentação em te rmos de vetores uni tários será 2 24 V i j =+ . • O vetor 3 V possui um deslocamento de 2 cm e m r el ação ao eixo x e 2 cm em relação ao eix o y com ori entação contrária ao mesmo, sua representação em termos de vetores un itá rios será 3 22 V i j =− . • O vetor 4 V possui um deslocamento de 6 cm e m relação ao eixo x com orientação contrária ao mes mo e 2 cm em relação ao eixo y , sua representação em term os de vetores unitários será 4 62 V i j = − + • O vetor 5 V possui a or ientação do eixo x e sentido ne gativo, ou s eja, co ntrário ao mesmo, com módulo 5 5 V = . A sua representação e m termos de vetores unitários será 5 5 Vi =− . • O vetor 6 V possui a orientação do eixo y e sentido negativo, ou seja, contrár io ao mesmo, com módulo 6 6 V = . A sua representação em te rmos de vetores uni tár ios será 6 5 Vj =− . 5 01 Vetores no plano em d uas dimens ões 1.2. Soma e subtra ção de vetore s em duas dimen sões Para ef etuar a so ma de vetores em dua s di mensões basta som arm os suas componentes e, para determinarmos o vetor so ma, podemos apl icar qualquer uma das regras m ostr adas na a postila sobre adição d e subtração de vetores. No exemplo abaixo, vamos efetuar a adição dos v etores 1 V e 2 V e dos vetores 3 V e 4 V , bem como faz er a representação gráfica do vetor soma. 02 Vetores no p lano em duas d imens ões Seja o vetor 1 35 V i j =+ e 2 53 V i j = − + a soma 12 VV + será: ( ) ( )   12 12 12 3 5 5 3 3 ( 5) (5 3 ) 28 V V i j i j V V i j V V i j + = + + − + + = + − + + + = − + Para encontrar o veto r resultante vamos apl icar a r egra do polígono f echado, interlig ando a origem do vetor 2 V n a extr emidade do vetor 1 V . O v etor resultan te te m 6 sua origem coi ncidindo co m a origem de 1 V e sua extremidade coincidindo co m a extremidade de 2 V . Observe a fig ura a seguir: 03 Adição entr e os vetores 12 e VV O módulo deste vetor nada m a is é do que aplicar o teorema pitagórico. 22 12 12 12 12 ( 2) ( 8) 6 64 68 8 , 25 VV VV VV VV + = − + + = + += += Da mesma form a pa ra a subtração: ( ) ( ) 1 2 1 2 12 12 12 () 3 5 5 3 (3 5 ) (5 3 ) 82 V V V V V V i j i j V V i j V V i j − = + − − = + + − − = + + − − = + O vetor r esultante para a subtração será: 7 04 Subtração entre os veto res 12 e VV E seu módulo: 22 12 12 12 12 (8 ) ( 2) 64 4 68 8 , 25 VV VV VV VV − = + − = + −= −= Por fim, va m os realiz a r os mesmos procedimentos para efetuar a adição entr e vetores 3 V e 4 V . Seja 3 5 Vi = e 4 76 V i j =− . ( ) ( ) 34 34 34 5 7 6 (5 7) (0 6) 12 6 V V i i j V V i j V V i j + = + − + = + − + + = − A representação gr áfica do vetor so ma é mostrada na figura abaixo: 8 05 Adição entr e os vetores 34 e VV E seu módulo: 22 34 34 34 34 ( 12) ( 6) 144 36 180 13 , 42 VV VV VV VV + = + + = + += += Para a subtraçã o: ( ) ( ) 3 4 3 4 34 34 34 () 5 7 6 (5 7 ) (0 6) 26 V V V V V V i i j V V i j V V i j − = + − = − = + − + − = − + + − = − + A representação gráfica do vetor resultante par a a subtração é m ostrada na figura a baix o: 9 06 Subtração entre os veto res 34 e VV E o módulo da su btração será : 1.3. Sistema de c oordenadas em t rês dimens ões Em u m plano c artesiano em três dimensões teremos os eixos x , y e z , com seus respectivos vetores: xx V V i = , yy V V j = e z z V V k = Um v etor V ainda pode ser escrito com o: x y z V V i V j V k = + + 22 34 34 34 34 ( 2) (6) 4 36 40 6, 33 VV VV VV VV − = + − = + −= −=

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