Mecânica celeste e astrônomia

Física GRAVITAÇÃO 1 Sumário Introdução ........................................................................................................................................... 2 Objetivo ................................................................................................................................................ 2 1. A L ei da gravitação de Isaac Newton ........................................................................................ 2 1.1 Gravitação per to da superfí cie terrestre ................................................................................. 3 1.2 Gravitação no i nterior de um planeta ..................................................................................... 4 1.3 Corpos em órbi ta ....................................................................................................................... 5 1.4 Velocidade de escape ............................................................................................................... 7 1.5 A imponderabi lidade ................................................................................................................ 7 2. Lei s De Kepler .................................................................................................................................. 8 Exercícios ............................................................................................................................................. 9 Gaba rito ............................................................................................................................................ 10 Resumo ............................................................................................................................................. 11 2 Introduçã o Desde os tempos antigos já existia a curiosi dade d e olhar para o céu e observar as estrelas e com o o un iverso se co mportava. Muitos pov os registraram fenômenos astronômicos como o ecl ipse solar, eclipse lunar e até alguns cometas, entretanto muitos desses povos relacionavam esses fenôm enos com Deuses e os interpretav am como “castigos divinos ”, apesar de não resultar em em nenhum a consequência sig nificativa para o planeta. Hoje já sabe mos que a Lua orbita a T erra, que o rbita o Sol . Este, por sua v ez, orbita a Via Láctea, e assim por di ante. Todas essas relações de pl anetas e estrelas se movimentan do, estão ligadas por uma força cham ada F orça Gravitacional. Ela consegue interagir através de grandes d istâncias e por isso dizemos que ela é interga láctica e universal, pois consegue atingir distân cias e normes , co mo por exemplo 2,3 x 10 6 Anos-Luz, que é a d istância aproximada entre a Terra e a galáxia Andrôm eda. Apesar de toda a tecnologia disponível atualme nte, ainda e xistem mistério s relacionados à força gravitacional e ao univ e rso. Ela é responsável por fazer as estrelas (norm almente maiores que o Sol) se tornarem Buracos Negros. Esse fenômeno ocorre q uando as estrelas possuem u ma massa m uito grande e a f orça grav itacional age sobre as par tículas da estre la , fazendo-a con trair i ndefinidamen te até se tornar um buraco negro, de cuja supe rfície nem mesmo a luz consegu e escapar. Dentro des se vasto universo gravitacional muitos cientistas contri bu íram com gran des feitos que até hoje são utilizados em cálculos e teorias para que prossigam os com o avanço da te cnologia e co m a obtenção de mais informações. Tomarem os como ponto de partida Isaac Newton e a lei da grav itação. Objetivo • Apresentar a L ei universal de Isaac Newton • Apresentar as L eis de Kepler • Descrever alguns fenôm enos do universo 1. A Lei da gravitaçã o de Isaac Newto n Em meados de 1665, o jovem Isaac Newton observou um f enômeno q ue o fez pensar em gran des possibilidades. A queda de uma maçã de uma árvor e resultou em todo o d esenvolvi mento d a gra vitação e de gr ande parte d o cálculo que possuímos hoje. 3 Newton chegou à conclusão de que a força responsável p or fazer a f ruta cair do pé é a mesma força responsável pelas movimentações d os planetas. Um fenômeno muito curioso, pois este relaciona tod os os corpos existentes no u niverso, desde pl anetas e es trelas até pequenos grãos de poeira . O que vai diferencia r a interação en tre esses corpos é a intensidade da força gravitacional. A necessidade de entender como que a Lua não “c ai” n o planeta Terra e como todos os corpos estão c onectados fez com que Newton p usesse à prova suas habilidades matemáticas e sua criatividade. Ele con cluiu que todos os corpos estão se atrain do de alguma forma e que essa tendência dos corpos se chama Gravitação. A Lei da gravi tação de Newton afirma que toda partícula no universo atra i outras partículas com uma força gravitacional q ue pode ser encontra da pela seguinte relação: 12 2 mm FG r = (1) Onde 1 m e 2 m são as massas das pa rtículas que estão se relacionando, e r é a distância entre essas partículas. É possível ob servar também que existe uma constante de proporcionalidade G que possui seu valor e m N .m² /kg² ou m³/k g.s² cujo va lor é de aproximadamente: 11 6 , 6 7 1 0 GX − = 3 1 1 m kg s −− Chamam os essa grandeza G de constante de grav itação universal, e ela é fundamental par a realização dos cálculos que iremos apresentar nos exemplos. 1 Ilustração da Lei da Gravita ção de N ewton Na figura aci ma é possível observar que as forças F1 e F2 ocorrem a u ma distância r como já tín hamos comentado anteri ormen te. E ntretanto as forças só vão ser significativas quando pelo menos u ma das massas m e M forem relativamente gran des, como por exemplo a massa do Sol e/ ou a ma ssa da Terra. 1.1 Gravitaçã o perto da superf ície terrestr e Vamos supor q ue exista um objeto a uma distâ ncia r da superfície terrestre tendo c omo referencial inicial o c entro do p lan eta e que possua uma massa m . 4 Portan to a força co m que a te rra irá atrair o objeto é dada p ela lei da gravitação d e Newton. Agora vamos cons iderar que essa mesma partícula está caindo em d ireção ao centro da terra . Nessas con dições podemos afir mar que a força que está agin do sobre a partícula é dada pela segunda lei de New ton: gg F m a = (2) Podemos então sub stituir a força g F na lei da gravitação de Newton, e iremos obter a seguinte expressão : ² g GM a r = (3) Isso implica que a aceleração gr avitacional é d iferente para alturas distintas. Entretan to f azendo considerações d e que o pl aneta terra é uma esf era pe rfeita a aceleração terrestre é a m esma em toda superfície. Aproximadamente 9,81m/s². SA IB A M AI S ! 1.2 Gravitaçã o no interior de u m planeta Em alguns casos, queremos saber qual é a gravidade no interior de um planeta, pois isso poderia aj udar cient istas a decifrarem melhor a formação do planeta ou até mesmo a sua composição de vido à de nsidade característica do planeta. Considerando a figura a se guir e considerando que queremos saber qual a grav idade dentro de um planeta em uma profundidade r partindo do centro dele. 2 Gravidade n o interior de um plan eta Quase sempre assumimos que o planeta Terr a é um a esfera perfeita, en tretanto é b om lembrar que isso não é exatamen te correto. O nome ideal p ara o tipo d e f ormato terrestre se chama geoide . 5 Parti ndo da equação ² g GM a r = onde queremos saber a ace leração da grav idade de um planeta e m uma distância r e considerando que a densidade do planeta da figura 2 é constan te e igual a d podem os dizer que: 2 g M aG r  = , entretanto sabendo que a densidade d p o de ser esc rita pela razão da massa pelo volume, logo: ΔM ΔV d = , portanto: Δ M d . Δ V = . Com isso , podemos dete rmi nar a acel eração d a gravidade no interior de um p laneta perfeitamente esfé rico considerando apenas a sua densidade e o volume da esfera menor destacada na figura 2. A equação final pode ser escrita da seguinte forma : 3 2 4 . 3 g dr aG r  = , na qual a parte 3 4 3 r  representa o ΔV indicad o anteriormen te. Ao simplificarm os a equação, a mesma permanece e m fun ção da d ensidade do planeta e do raio on de se dese ja calcular a g ravidade: 4 3 g a G d r  = (4) É importante ressaltar que a casca que englob a a esfera na qual q ueremos determina r a gr avidade não influencia no resultado final , portanto podemos d izer que a casca esf érica não e xerce força gravitacional sobre a partícula l ocalizada no interi or do planeta . Aliás, vale ressaltar também que para deduzirmos a equação (4 ) utilizam os o v olume de uma esfera, porta nto esta equação só é válida para planetas perfeitamente esféricos., 1.3 Corpos e m órbita Atualmente existem muitos satélites e est ações e spaciais orbitando o noss o planeta e querem os saber com o isso é possível. Vamos considerar o p laneta de r aio R e massa M que possui um satélite de m assa m em órbita cir cular em torno do planeta num a altitude h . 6 3 Satélite em órbita no pl a neta Terra Podemos observar que o satélite se mpre está dando voltas no planeta Terra e com isso podemos associar a su a ace leração c entrípeta, cp a com a acele ração da grav idade g a . cp g aa = (5) Ao ig ualarmos essas acelerações podemos tirar algumas informações importan tes dessa relação. A primeira delas é a velocidade : 2 cp v a r = e 2 g GM a r = , portan to, isolando o v na equação, obtém-se: GM v r = , consi derando que r é a distância do c entro da terra até o satélite temos que r R h =+ , logo: GM v Rh = + (6) Com isso achamos a velocidade com a qual o satélite orbita o planeta. Agora é possível determinar também o período pela mesma r elação: 22 2 2 4 . cp v a r r rT   = = = , 2 g GM a r = , isolando 2 T na equação obtemos: 23 T Kr = (7) , onde K representa a con stante de proporciona lidade: 2 4 K GM  = . Pode-se determin ar ta mbém as energia s relacionadas a este movim ento , tanto a energ ia potencial gravitacional como a energia cinética: 2 c GMm E r = e a energia potencial gravitacional: p Mm EG r =− 7 1.4 Velocida de de escape A velocidade d e escape p ode ser definida como a menor velocidade c om a qual um corpo deve ser l ançado da superfície terrestre para q ue este se livre da atração te rrestre, ou em outras palavras, para que o corpo chegue ao infinito c om velocidade nula. Prim eiramente vamos c onsiderar que todos os atritos relacionados ao movimento sejam nulos e damos início à solução do problema por meio da conservaçã o da energia mecânica do sistema: Energ ia cinética da partícula na terra: 2 0 2 c mv E = Energ ia potencial da partícula na terra: p mM EG R =− Energ ias no infinito: 0 , 0 cp EE == A energi a potencial é nula pois o referencial escolhido para a energia potencial gravi tacional, neste caso, é o infinito. C olocamos a e nergia cinética também como 0 no infinito p orque queremos descobrir a me nor velocidade inicial da partícula para que esta seja capaz de esc apar do c ampo gravitacional terrestre. Sendo assim temos que 2 0 2 mv G m M R − = 0 isolando 0 V , temos que: 0 2 GM V R = (7) 1.5 A impo n derabilidade Sempre q ue ob servam os a notícia de alguma missão espacial ou os astrona utas realiz ando alg um trabalho na ó rbita terrestre o u n a estação espacial , temos a impressão d e q ue ele s est ão flutua ndo e que não estão sujeitos a nenhuma força resultante, en tretanto este pensamento está equivocado. Como já falamos anteriormente , p ara um objeto se man ter na órbita ter restre é necessário que a acele ração centrípeta se i guale à aceleração d o planeta, dessa forma os objetos e stão em queda livre “eternamente” pois mesmo com a atuação da força grav itacional o objeto não atinge a superfície terrestre. Podemos compar ar esse fenômeno com a qued a de um elevador. Se estiverm os dentro de um elevador e m queda l iv re ambos estarão em queda livre, o que resulta numa “flutuação” pois a força normal realizada pel o el evador em nossos pés será nula, e ntretanto estare mos ai nda suje itos à força gravitacional d a q ued a livre. 8 Portan to podemos d izer que a imponderabilidade é a não distinção da atuação d o campo g ravitacional pelo corpo graças ao fato do m esmo estar sempre em queda livre. 2. Leis De Kep ler Kepler foi um grande estudioso dos planetas e do universo do séc ulo XVI e XVII. Suas análises e resultados serviram de inspiração e fundamentação para que o avan ço das descobertas d o univer so pudesse ser praticado. As leis estão relacionadas ao mo vim e nto dos planetas do nosso sistema solar, e foram f eitas usando o sol como objeto r eferencial. A primeira lei de Kepl er e stá relacionada ao movim ento real dos planetas, também cham ado de Lei das órbitas: 1 - O s planet as descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, o qual ocupa um dos foco s da elipse descrita . Uma elipse (figura 4) possui 2 focos, n o caso da órbita dos planetas um desses focos é o sol. 4 Lei das ó rbitas ( movimento elíptico ) A se gunda lei de Kepler também é c hama da de Lei das Áreas e relaciona a área va rrida A durante um tempo de percurso t , s endo ambos proporcionais: 2 – O segmento ima ginário que une o centro do sol e o centro do planeta varre áreas proporcionais aos intervalos de tempo dos percurs os. A K t = A constan te de proporcionalidade K é dada pelo pl aneta que estamos referindo, ela também pode ser chamada de velocidade areolar. 9 5 Segunda lei de K epler (L ei das áreas) A te rceira e última lei de Kepler, mas não a menos importante , ta mbém é chamada de Lei dos Períodos. Ela relaciona o período d o planeta com o raio m édio da elipse: 3 - O quadrado do período de transição de cada pl aneta em torno do Sol é proporcio nal ao cubo do raio médio da respectiva órbita. 2 ³ T kR = O raio médio de uma elipse pode ser dado pela m édia a ritmética entre o afélio e o p eriélio ( maior distância de um d os f ocos, neste caso o sol, e a m enor distância do sol, respectivamente). A constante k neste caso é d ependente das ma ssas envolvi das no processo , massa d o sol e do pl aneta que está em órbita . Entretanto a massa do sol é muito maior que a massa dos p lanetas, portanto desprezamos a massa dos planetas envolvi dos. Exerc ícios 1. O p laneta M arte está a uma distância m édia igual a 2.3 x 10 8 km d o Sol. Sendo 6.4 x 10 23 k g a massa de Marte e o módulo da f or ça com o qual Sol a traí Marte é de apr oxima damente 1.6 x 10 23 N. Dete rmine a massa do Sol sabendo que a constante gr avitacional é G = 6.67 x 10 - 11 2 . ² m N kg . 2. A massa da Terra é aproximadamente igual a 8 1 vezes a massa da Lua e o seu raio é aproxi madamente 3,7 vezes o raio da Lua. Se T g é a acel eração da grav idade na superfície da T erra, determine a aceleração da gravidade na Lua L g e m relação a T g . Quanto pesar á, na Lua, um corpo de peso 60N na superfície da terra?