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CODHAB
COMPANHIA HABITACIONAL DO DISTRITO FEDERAL
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
PROBLEMAS MATEMÁTICOS – I
Livro Eletrônico
JOSIMAR PADILHA
Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas 
presenciais, telepresenciais e online de Mate-
mática Básica, Raciocínio Lógico, Matemática 
Financeira e Estatística para processos seleti-
vos em concursos públicos estaduais e federais. 
Além disso, é professor de Matemática e Ra-
ciocínio Lógico em várias faculdades do Distrito 
Federal. É servidor público há mais de 20 anos. 
Autor de diversas obras e palestrante.
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Problemas Matemáticos – I
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SUMÁRIO
Problemas Matemáticos ...............................................................................5
1. Unidades de Medida ................................................................................7
1.1. Comprimento ......................................................................................7
1.2. Capacidade .........................................................................................9
1.3. Massa ...............................................................................................10
1.4. Superfície – Área ...............................................................................11
1.5. Volume .............................................................................................12
1.6. Grandeza: Tempo ...............................................................................14
1.7. Temperatura ......................................................................................14
1.7.1. Celsius para Kelvin, Kelvin para Celsius ..............................................14
1.7.2. Celsius para Fahrenheit, Fahrenheit para Celsius ..................................15
1.7.3. Kelvin para Fahrenheit, Fahrenheit para Kelvin ....................................15
1.8. Ângulos ............................................................................................16
Questões de Concurso ...............................................................................17
Gabarito ..................................................................................................20
Gabarito Comentado .................................................................................20
2. Proporcionalidades ................................................................................27
2.1. Regra de Três Simples ........................................................................27
Questões de Concurso ...............................................................................29
Gabarito ..................................................................................................30
Gabarito Comentado .................................................................................30
2.2. Regra de Três Composta .....................................................................34
Questões de Concurso ...............................................................................34
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Gabarito ..................................................................................................36
Gabarito Comentado .................................................................................36
Autoavaliação ..........................................................................................48
Gabarito ..................................................................................................52
3. Razão e Proporção ................................................................................53
3.1. Razão ...............................................................................................53
Questões de Concurso ...............................................................................54
Gabarito ..................................................................................................54
Gabarito Comentado .................................................................................55
3.2. Proporção .........................................................................................58
3.3. Divisão Diretamente Proporcional .........................................................59
Questões de Concurso ...............................................................................60
Gabarito ..................................................................................................63
Gabarito Comentado .................................................................................64
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PROBLEMAS MATEMÁTICOS
Neste módulo, serão apresentados métodos para resolução de questões de con-
cursos públicos relacionados a problemas envolvendo:
1) Unidades de medidas – Volume;
2) Grandezas proporcionais (regra de três simples e composta);
3) Razão e proporção.
Esta aula propõe-se a desenvolver, gradualmente, o raciocínio matemático e 
criativo, promovendo maior independência na busca de soluções de problemas, 
aprendendo a interpretar tais questões por meio da prática e aplicação de métodos 
que facilitarão na conclusão das questões.
No decorrer do nosso estudo, iremos seguir um cronograma didático que tem 
dado muito certo:
1) Conceitos – de forma esquematizada;
2) Métodos e dicas de resolução rápida;
3) Questões comentadas com esquemas estratégicos.
Antes de começarmos, vamos para mais um desafio, ok?
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DESAFIO DAS CARTAS
André tem um conjunto de cartas. Cada carta tem apenas um número em uma das 
faces e a foto de apenas um animal na outra. André dispôs quatro cartas sobre a 
mesa, com as seguintes faces expostas: cisne, gato, número 7 e número 10, como 
se mostra:
André disse: “Se na face de uma carta há número par, então no verso há um animal 
mamífero”.
Para verificar se a afirmação de André está correta, é
a) suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e C.
b) suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e C.
c) suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e D.
d) suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e D.
e) necessário que se verifiquem os versos das quatro cartas.
Comentário no final do módulo.
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1. Unidades de Medida
1.1. Comprimento
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade padrão de medida de 
comprimento é o metro, representado pela letra “m”.
Para melhor entendimento, vamos construir uma tabela:
Para realizarmos as transformações, temos que trabalhar com a vírgula, uma 
vez que a vírgula indica a unidade daquela grandeza. Por exemplo:
Exemplo 1:
10,3 m (a vírgula está na casa dos metros, logo o número está em metros).
Exemplo 2:
345,87 dm (a vírgula está na casa dos decímetros, logo o número está em decímetros).
Vamos aprender agora a realizar as transformações:
Utilizando a tabela acima, que apresenta as unidades de medida do comprimento, 
vamos seguir 3 passos para realizar as transformações:
1. Coloque a vírgula na unidade respectiva (tabela).
2. Coloque o número, sendo um algarismo em cada casa.
3. Transfira a vírgula para a unidade que se deseja transformar a grandeza.
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Para cada casa (unidade) iremos colocar somente um algarismo na tabela.
a) Transformar 34,6 m em km.
b) Transformar 5,89 dm em hm.
c) 2,45 m em dam.
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1.2. Capacidade
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade padrão de medida de ca-
pacidade é o litro, representado pela letra l.
�Os.:� Para transformações de capacidade e massa, teremos o mesmo raciocínio, 
mudando somente a simbologia.
Vejamos a tabela:
Utilizando os 3 passos que aprendemos nas transformações de comprimento, 
iremos atuar da mesma forma, porém, as unidades são as de capacidade.
Vejamos os exemplos:
a) Transformar 324,6 dl em kl.
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b) 5,43 hl em ml.
c) 2,9845 dal em cl.
1.3. Massa
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade padrão de medida de 
massa é o grama, representado pela letra g.
De forma análoga, temos o mesmo procedimento para a grandeza massa, por 
exemplo:
Transformar 45,87 g em kg
Nesse caso, teremos que 45,87g equivale a 0,04587 Kg.
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1.4. Superfície – Área
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade padrão de medida de 
área é o metro ao quadrado, representado pela letra m2.
Para melhor entendimento, vamos construir uma tabela:
Para realizarmos as transformações, temos que trabalhar com a vírgula, uma 
vez que a vírgula indica a unidade daquela grandeza.
Para cada casa (unidade), iremos colocar agora dois (2) algarismos.
Vamos seguir os seguintes passos para realizar as transformações:
•	 coloque a vírgula na unidade respectiva;
•	 coloque o número, sendo dois algarismos em cada casa;
• transfira a vírgula para a unidade que se deseja transformar a grandeza.
Por exemplo:
a) 45,678 m2 em km2
b) 32,8 cm2 em hm2
Comentários:
a) 45,678 m2 em km2
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O) 32,8 cm2 em hm2
1.5. Volume
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade padrão de medida de vo-
lume é o metro ao cubo, representado pela letra m3.
Para melhor entendimento, vamos construir uma tabela:
Para realizarmos as transformações, temos que trabalhar com a vírgula, uma 
vez que a vírgula indica a unidade daquela grandeza.
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Para cada casa (unidade), iremos colocar agora três algarismos.
Vamos seguir os seguintes passos para realizar as transformações:
•	 coloca a vírgula na unidade respectiva;
•	 coloca o número, sendo três algarismos em cada casa;
•	 transferir a vírgula para a unidade que se deseja transformar a grandeza.
Por exemplo:
a) 335,978 m3 em dm3
Temos uma relação muito importante entre volume e capacidade:
•	 1 m3 equivale a 1000l.
•	 1 dm3 equivale a 1l.
• 1 cm3 equivale a 1 ml.
Vejamos agora algumas transformações importantes.
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1.6. Grandeza: Tempo
No Sistema Internacional de Medida, temos: segundos “s”.
•	 1 minuto equivale a 60 segundos.
•	 60 minuto equivale a 1 hora.
•	 1 hora equivale a 3600 segundos.
1.7. Temperatura
No Sistema Internacional de Medida, temos: Kelvin “K”.
Escala AOsoluta
Conversão de Escalas:
1.7.1. Celsius para Kelvin, Kelvin para Celsius
A diferença entre as escalas Celsius (C) e Kelvin (K) é simplesmente o ponto 0. 
Assim, para fazermos a conversão, basta somar 273.
K=C+273
Exemplo:
Converta 36ºC para a escala Kelvin.
K = C + 273
C = 36ºC
K = 36 + 273
K = 309 K
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1.7.2. Celsius para Fahrenheit, Fahrenheitpara Celsius
A diferença entre os pontos de fusão e de ebulição da água representam a mes-
ma variação de temperatura. Assim, para fazermos a conversão, temos:
F= 1,8 C + 32
Exemplo:
Converta 37ºC para a escala Fahrenheit.
F=1,8 . 37+32
F=66,6+32
F=98,6
Converta 95ºF para a escala Celsius:
C=95−321,8
C=631,8
C=35
1.7.3. Kelvin para Fahrenheit, Fahrenheit para Kelvin
Para converter da escala Kelvin para Fahrenheit, podemos converter de Celsius 
para Kelvin e então para Fahrenheit, ou usar a fórmula:
K - 273
5
 = F - 32
9
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Para convertermos valores de temperaturas de uma escala para outra, basta 
colocarmos na fórmula o valor conhecido e calcularmos a incógnita, sabendo que:
C = Temperatura em Graus Celsius (°C)
F = Temperatura em Graus Fahrenheit (°F)
K = Temperatura em Kelvin (K)
1.8. Ângulos
No Sistema Internacional de Medida, temos: radiano “rad.”
180º= π rad.
Para realizar as conversões, basta utilizarmos a regra de três simples, que ve-
remos ainda neste módulo.
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QUESTÕES DE CONCURSO
1. (2017) João participou da última edição da Volta Internacional da Pampulha, 
uma das grandes provas do calendário brasileiro, realizada no primeiro domingo 
de dezembro em Belo Horizonte. O percurso total dessa prova é de 17,8 km. João 
conseguiu percorrer 9,75 km da prova.
Quantos quilômetros faltaram para ele concluir o percurso?
a) 28,55 km
O) 17,80 km
c) 9,75 km
d) 8,05 km
2. (2017) Quantos litros de água cabem em um cubo com 20 centímetros de aresta?
a) 8000 litros
O) 4000 litros
c) 8 litros
d) 4 litros
e) 400 litros
3. (2017) Ao somarmos 72,5 decigramas com 0,875 decagramas teremos?
a) 7,3375 gramas
O) 73,375 gramas
c) 9,475 gramas
d) 16 gramas
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4. (2017) Um recipiente estava com 6 litros de água e foram retirados o equivalen-
te a 12 copos de 300 mililitros de água do recipiente. Nessas circunstâncias, o total 
de água, em mililitros, que sobrou no recipiente foi:
a) 1400
O) 3600
c) 2400
d) 2600
5. (2017) O valor em decímetros de 0,473 dam é:
a) 4,73 dm.
O) 0,0473 dm.
c) 4730 dm.
d) 47,3 dm.
e) 473 dm.
6. (2016) No depósito há um rolo de arame cujo fio mede 0,27 km de comprimen-
to. Se todo o fio desse rolo for cortado em pedaços iguais, cada qual com 120cm 
de comprimento, o número de partes que serão obtidas é:
a) 225;
O) 205;
c) 180;
d) 160.
7. (2016) De uma jarra com suco que tinha na geladeira, Pedro tomou dois quintos 
deste suco e Lucas tomou três oitavos do mesmo suco. Sabendo-se que sobraram 
ainda 405 ml de suco na jarra, a quantidade que os dois tomaram, em ml, foi de
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a) 405 ml.
O) 1600 ml.
c) 720 ml.
d) 1395 ml.
e) 945 ml.
8. (2016) Quantos hectolitros cabem em 1,2 dam3?
a) 120
O) 1.200
c) 12.000
d) 120.000
9. (2016/QUADRIX/CRQ 18º REGIÃO-PI/AUXILIAR DE SERVIÇOS GERAIS) Quanto 
é, em metros, 3 km + 300 cm?
a) 33 m.
O) 303 m.
c) 3.003 m.
d) 3.000,3 m.
e) 30.000,3 m.
10. (2016/QUADRIX/CRO-PR/AGENTE OPERACIONAL) Assumindo que uma milha 
corresponda a 1,6 Km, quantos centímetros há em 0,5 milha?
a) 4.000.
O) 80.000.
c) 320.
d) 800.
e) 400.000.
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GABARIT�
1. d
2. c
3. d
4. c
5. d
6. a
7. d
8. c
9. c
10. b
GABARIT� C�MENTAD�
1. (2017) João participou da última edição da Volta Internacional da Pampulha, 
uma das grandes provas do calendário brasileiro, realizada no primeiro domingo 
de dezembro em Belo Horizonte. O percurso total dessa prova é de 17,8 km. João 
conseguiu percorrer 9,75 km da prova.
Quantos quilômetros faltaram para ele concluir o percurso?
a) 28,55 km
O) 17,80 km
c) 9,75 km
d) 8,05 km
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Letra d.
Essa questão é bem tranquila, basta apenas realizarmos uma subtração:
17,8 - 9,75 = 8,05 Km
2. (2017) Quantos litros de água cabem em um cubo com 20 centímetros de aresta?
a) 8000 litros
O) 4000 litros
c) 8 litros
d) 4 litros
e) 400 litros
Letra c.
Temos um sólido geométrico, um cubo, com três dimensões: largura, altura e com-
primento, sendo elas com as mesmas dimensões.
O referido cubo tem 20cm de aresta, ou seja, 20cm de altura, 20cm de largura e 
20 cm de comprimento.
Multiplicando as dimensões, teremos: 8000³ (20cm x 20cm x 20cm = 8000cm³).
É importante saber a relação entre volume e capacidade, em que cada 1cm³ equi-
vale a 1ml. Dessa forma o volume de 8000cm³ equivale a 8000ml.
Se cada 1000ml equivale a 1litro, então em 8000 ml teremos 8 litros.
3. (2017) Ao somarmos 72,5 decigramas com 0,875 decagramas teremos?
a) 7,3375 gramas
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O) 73,375 gramas
c) 9,475 gramas
d) 16 gramas
Letra d.
Usando a tabela mostrada na aula, é só seguir os 3 passos:
kg hg dag g dg cg mg
7 2, 5
7, 2 5
0, 8 7 5
0 8, 7 5
Transformando as medidas em gramas, teremos:
72,5 decigramas = 7,25 gramas
0,875 decagramas = 8,75 gramas
Somando os valores:
7,25 + 8,75 = 16 gramas
4. (2017) Um recipiente estava com 6 litros de água e foram retirados o equivalen-
tea 12 copos de 300 mililitros de água do recipiente. Nessas circunstâncias, o total 
de água, em mililitros, que sobrou no recipiente foi:
a) 1400
O) 3600
c) 2400
d) 2600
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Letra c.
Sabemos que 6l equivale a 6000 ml.
12 copos de 300 mililitros equivalem a (12 x 300) = 3600 ml.
Como os valores já se encontram com as mesmas medidas, podemos realizar a 
diferença:
6000 - 3600 = 2400ml
5. (2017) O valor em decímetros de 0,473 dam é:
a) 4,73 dm.
O) 0,0473 dm.
c) 4730 dm.
d) 47,3 dm.
e) 473 dm.
Letra d.
Usando a tabela e seguindo os passos, teremos:
km hm dam m dm cm mm
0, 4 7 3
0 4 7, 3
Colocamos a vírgula na unidade de decâmetro, depois o número, sendo um alga-
rismo em cada casa, e depois deslocamos a vírgula para a unidade de decímetros.
6. (2016) No depósito há um rolo de arame cujo fio mede 0,27 km de comprimen-
to. Se todo o fio desse rolo for cortado em pedaços iguais, cada qual com 120cm 
de comprimento, o número de partes que serão obtidas é:
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a) 225;
O) 205;
c) 180;
d) 160.
Letra a.
Uma questão básica de transformação, em que iremos transformar de quilômetros 
em centímetros, sendo 0,27 Km:
km hm dam m dm cm mm
0, 2 7
2 7 0 0 0,
Dessa forma temos que o rolo possui 27000cm de fio.
Se cada rolo possui 120 cm, basta dividirmos 27000 por 120 para calcularmos a 
quantidade de partes necessárias.
27000 / 120 = 225 partes.
7. (2016) De uma jarra com suco que tinha na geladeira, Pedro tomou dois quintos 
deste suco e Lucas tomou três oitavos do mesmo suco. Sabendo-se que sobraram 
ainda 405 ml de suco na jarra, a quantidade que os dois tomaram, em ml, foi de
a) 405 ml.
O) 1600 ml.
c) 720 ml.
d) 1395 ml.
e) 945 ml.
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Letra d.
Podemos fazer com que as frações possuam os mesmos denominadores, pois ficará 
mais fácil.
2/5 do suco (multiplicando por 8) podemos ter a seguinte fração equivalente: 16/40.
3/8 do suco (multiplicando por 5) podemos ter a seguinte fração equivalente: 15/40.
Dessa forma já temos 16/40 + 15/40 = 31/40
Assim, sobram 9/40 que corresponde a 405 ml.
9/40 (do total) = 405
Total = (405 x 40) / 9
Total = 1800
Daí tirando os 405ml, 1800 – 405 = 1395 ml.
8. (2016) Quantos hectolitros cabem em 1,2 dam3?
a) 120
O) 1.200
c) 12.000
d) 120.000
Letra c.
Para realizar as transformações, utilize as tabelas, em que teremos:
1 hectolitros = 100 litros
1,2 dam³ = 1.200.000 dm³ = 1.200.000 litros
1.200.000 / 100 = 12.000
Obs.: sabemos que 1 dm³ = 1 litro.
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9. (2016/QUADRIX/CRQ 18º REGIÃO-PI/AUXILIAR DE SERVIÇOS GERAIS) Quanto 
é, em metros, 3 km + 300 cm?
a) 33 m.
O) 303 m.
c) 3.003 m.
d) 3.000,3 m.
e) 30.000,3 m.
Letra c.
Uma questão simples, em que devemos transformar, conforme já visto:
3k = 3000 metros.
300cm = 3 metros.
3000 + 3 = 3003 metros.
10. (2016/QUADRIX/CRO-PR/AGENTE OPERACIONAL) Assumindo que uma milha 
corresponda a 1,6 Km, quantos centímetros há em 0,5 milha?
a) 4.000.
O) 80.000.
c) 320.
d) 800.
e) 400.000.
Letra O.
Sabendo que uma milha corresponde a 1,6 Km, logo meia milha - 0,8Km
Sendo 1Km = 1000 metros.
Km (0,8) hm (8) dam (80) m (800) dm (8000) cm (80.000) mm (800.000)
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2. Proporcionalidades
Grandezas são todos os termos pelos quais atribuímos um valor, ou seja, tudo 
aquilo que é suscetível de ser aumentado ou diminuído. Por exemplo, 10 operá-
rios constroem 5 casas, trabalhando 7 horas por dia, durante 90 dias. Encontrar 
as grandezas é verificar os termos a que foram atribuídos valores, nesse exemplo 
temos três grandezas: operários, casas e horas por dia.
Essas grandezas se relacionam entre si, podendo ser de maneira direta ou 
inversa, logo, regra de três nada mais é que um processo prático para resolver 
problemas que envolvam grandezas, desejando determinar uma outra a partir das 
já conhecidas.
2.1. Regra de Três Simples
Quando são Relacionadas apenas 2 Grandezas
Passos utilizados em uma Regra de Três Simples:
1º) determinar as grandezas;
2º) identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais;
3º) colocar os valores. Se as grandezas forem diretas, iremos multiplicar cruza-
do; caso as grandezas sejam inversas, iremos multiplicar reto.
Veja como se faz no esquema para facilitar as resoluções.
Grandezas Diretamente Proporcionais
São diretamente proporcionais quando as duas grandezas aumentam ou dimi-
nuem na mesma proporção – não esquecer que as grandezas aumentam multipli-
cando e diminuem dividindo. Não temos soma ou subtração, ok?
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Dica: Após montar o esquema abaixo, isto é, as grandezas e os respectivos valo-
res, multiplicar cruzado.
Grandezas Inversamente Proporcionais
São inversamente proporcionais quando as duas grandezas aumentam ou dimi-
nuem na mesma proporção – não esquecer que as grandezas aumentam multipli-
cando e diminuem dividindo. Não temos soma ou subtração, ok?
Dica: Após montar o esquema abaixo, isto é, as grandezas e os respectivos valo-
res, multiplicar de forma linear.
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QUESTÕES DE CONCURSO
Considere que a empresa X tenha disponibilizado um aparelho celular a um empre-
gado que viajou em missão de 30 dias corridos. O custo do minuto de cada ligação, 
para qualquer telefone, é de R$ 0,15. Nessa situação, considerando que a empresa 
tenha estabelecido limite de R$ 200,00 e que, após ultrapassado esse limite, o em-
pregado arcará com as despesas, julgue os itens a seguir.
11. (PC-DF/AGENTE/2013) Se, ao final da missão, o tempo total de suas ligações 
for de 20 h, o empregado não pagará excedente.
12. (PC-DF/AGENTE/2013) Se, nos primeiros 10 dias, o tempo total das ligações 
do empregado tiver sido de 15 h, então, sem pagar adicional, ele disporá de mais 
de um terço do limite estabelecido pela empresa.
13. (PC-DF/AGENTE/2013) Se, ao final da missão, o empregado pagar R$ 70,00 
pelas ligações excedentes, então, em média, suas ligações terão sido de uma hora 
por dia.
14. (TJ-RR/2012) Quando a água no interior da caixa atingiu 3 metros de altura, 
mais de 10.000 litros de água haviam sido despejados na caixa.
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GABARIT�
11. C
12. E
13. C
14. E
GABARIT� C�MENTAD�
Considere que a empresa X tenha disponibilizado um aparelho celular a um empre-
gado que viajou em missão de 30 dias corridos. O custo do minuto de cada ligação, 
para qualquer telefone, é de R$ 0,15. Nessa situação, considerando que a empresa 
tenha estabelecido limite de R$ 200,00 e que, após ultrapassado esse limite, o em-
pregado arcará com as despesas, julgue os itens a seguir.
11. (PC-DF/AGENTE/2013) Se, ao final da missão, o tempo total de suas ligações 
for de 20 h, o empregado não pagará excedente.
Certo.
Temos uma questão de grandezas proporcionais, regra de três simples, pois temos 
apenas 2 (duas) grandezas se relacionando.
Nesse caso, as duas grandezas são: tempo (minutos) e valor (reais).
Tais grandezas se relacionam de maneira direta, pois quanto mais tempo de liga-
ções tivermos, maior o valor a ser pago em reais.
Para facilitarmos os cálculos, iremos utilizar o tempo em horas, da seguinte maneira:
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O custo do minuto de cada ligação, para qualquer telefone, é de R$ 0,15, logo, se 
quisermos saber o custo a cada hora, basta multiplicarmos 0,15 x 60 (minutos) = 
9,00 reais a cada hora.
Assim, teremos
X – = 20 x 9,0
40X = 180,0
X – = 180,00
12. (PC-DF/AGENTE/2013) Se, nos primeiros 10 dias, o tempo total das ligações 
do empregado tiver sido de 15 h, então, sem pagar adicional, ele disporá de mais 
de um terço do limite estabelecido pela empresa.
Errado.
Temos uma questão de grandezas proporcionais, regra de três simples, pois temos 
apenas 2 (duas) grandezas se relacionando.
Nesse caso, as duas grandezas são: tempo (minutos) e valor (reais).
Tais grandezas se relacionam de maneira direta, pois quanto mais tempo de liga-
ções tivermos, maior o valor a ser pago em reais.
Para facilitarmos os cálculos, iremos utilizar o tempo em horas, da seguinte maneira:
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O custo do minuto de cada ligação, para qualquer telefone, é de R$ 0,15, logo, se 
quisermos saber o custo a cada hora, basta multiplicarmos 0,15 x 60 (minutos) = 
9,00 reais a cada hora.
Assim, teremos
X – = 15 x 9,0
X – = 135,00
Podemos inferir que 1/3 de 200,00 (valor limite) é igual a 66,66..., ou seja, pelos 
cálculos o empregado ainda pode gastar 65,00, o que não corresponde a mais de 
um terço do limite estabelecido pela empresa.
13. (PC-DF/AGENTE/2013) Se, ao final da missão, o empregado pagar R$ 70,00 
pelas ligações excedentes, então, em média, suas ligações terão sido de uma 
hora por dia.
Certo.
Temos uma questão de grandezas proporcionais, regra de três simples, pois temos 
apenas 2 (duas) grandezas se relacionando.
Nesse caso, as duas grandezas são: tempo (minutos) e valor (reais).
Tais grandezas se relacionam de maneira direta, pois quanto mais tempo de liga-
ções tivermos, maior o valor a ser pago em reais.
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Para facilitarmos os cálculos, iremos utilizar o tempo em horas, da seguinte maneira:
O custo do minuto de cada ligação, para qualquer telefone, é de R$ 0,15, logo, se 
quisermos saber o custo a cada hora, basta multiplicarmos 0,15 x 60 (minutos) = 
9,00 reais a cada hora.
Assim, teremos
9X = 270,00
X – = 30 horas.
Podemos inferir que se foram gastas 30 horas em um período de 30 dias, logo, em 
média, suas ligações terão sido de uma hora por dia.
14. (TJ-RR/2012) Quando a água no interior da caixa atingiu 3 metros de altura, 
mais de 10.000 litros de água haviam sido despejados na caixa.
Errado.
Temos uma questão de grandezas proporcionais, regra de três simples, pois temos 
apenas 2 (duas) grandezas se relacionando.
Tais grandezas se relacionam de maneira diretamente proporcional, pois quanto 
maior a altura, maior será a capacidade.
Assim, teremos
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10x = 90.000
x = 9000 litros
2.2. Regra de Três Composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grande-
zas, direta ou inversamente proporcionais.
Para que você entenda de maneira plena essa parte de regra de três composta, 
vamos aprender um método muito bacana, simples e eficiente.
Nada melhor do que aprender com questões.
QUESTÕES DE CONCURSO
Método Causa & Consequência
Considerando que 300 pessoas tenham sido selecionadas para trabalhar em locais 
de apoio na próxima copa do mundo e que 175 dessas pessoas sejam do sexo mas-
culino, julgue os seguintes itens.
15. (MI/2013) Se todos os empregados trabalharem 6 horas por dia durante 8 
dias, então, nesse período, eles construirão menos de 110 cisternas.
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16. (MI/2013) Se todos os empregados trabalharem 12 horas por dia durante 2 
dias, então eles construirão, nesse período, mais de 55 cisternas.
17. (MI/2013) Se, do início do ano até o presente momento, 800 cisternas tiverem 
sido construídas, e isso corresponder a 16% do total previsto para o ano, então, 
para se atingir a meta do ano, será necessário construir mais 4.200 novas cisternas.
18. (MI/2013) Considere que, de 1.250 cisternas construídas, 8% delas tiveram de 
ser refeitas por apresentarem defeitos de várias naturezas. Considere, ainda, que, 
das cisternas que apresentaram defeitos, 15% foram refeitas por terem apresenta-
do vazamentos. Em face dessa situação, é correto afirmar que, das 1.250 cisternas 
construídas, menos de 1,3% delas foram refeitas por apresentarem vazamentos.
19. (MI/2013) Se os empregados trabalharem 8 horas por dia durante 7 dias, eles 
construirão, nesse período, mais de 145 cisternas.
20. (MI/2013) Se todos os empregados trabalharem 10 horas por dia durante 3 
dias, eles construirão, nesse período, mais de 70 cisternas.
21. (2017/QUADRIX/CONTER/AUXILIAR ADMINISTRATIVO/CRTR) Uma máqui-
na que confecciona filmes fotográficos produz 900 desses filmes em 50 minutos. 
Quantos filmes ela produzirá em 1h e 43 minutos?
a) 1800
O) 1890
c) 1287
d) 1818
e) 1854
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22. (2017/QUADRIX/SEDF/PROFESSOR – ADMINISTRAÇÃO) Com relação a pro-
porcionalidade, regras de três e divisão de grandezas, julgue o item que se segue.
Suponha-se que a realização de um serviço tenha demandado a participação de 5 
funcionários, trabalhando 8 horas por dia, durante 30 dias. Se forem alocados 8 
funcionários, trabalhando 4 horas por dia, serão necessários 40 dias.
GABARIT�
15. E
16. C
17. C
18. C
19. E
20. E
21. e
22. E
GABARITO COMENTADO
Método Causa & Consequência
Considerando que 300 pessoas tenham sido selecionadas para trabalhar em locais 
de apoio na próxima copa do mundo e que 175 dessas pessoas sejam do sexo mas-
culino, julgue os seguintes itens.
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15. (MI/2013) Se todos os empregados trabalharem 6 horas por dia durante 8 
dias, então, nesse período, eles construirão menos de 110 cisternas.
Errado.
Temos uma questão de grandezas proporcionais, regra de três composta, pois te-
mos mais de 2 (duas) grandezas se relacionando.
Nesse caso, as grandezas são: empregados, horas/dia, tempo (dias) e cisternas.
Para resolvermos as questões de regra de três composta, iremos aplicar um mé-
todo muito eficiente, prático e rápido, o qual chamaremos de: MÉTODO CAUSA E 
CONSEQUÊNCIA.
Primeiramente, devemos saber quem são as causas e quem é a consequência, e, 
para isso, basta na questão encontrarmos o sujeito (quem pratica a ação) e per-
guntarmos a ele o que ele está fazendo, a reposta será a consequência. As demais 
grandezas serão as causas.
Segundo a questão, temos como sujeito os empregados. O que eles estão fazendo? 
A resposta é “cisternas”, logo a consequência será: CISTERNAS.
As causas serão as seguintes grandezas: empregados, horas/dia, tempo (dias).
Vamos construir um esquema para melhor interpretarmos e realizarmos os cálculos.
Vamos preencher:
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Ao preencher os valores, basta apenas multiplicarmos os números seguindo as re-
tas, da seguinte forma:
200. 8. 3. x = 200. 6. 8.60
24x = 2880
x= 2880/24
x= 120
É importante ressaltar que não é preciso aquelas setas indicando se as grande-
zas são inversas ou diretas, quando utilizamos o método causa e consequência já 
resolvemos tudo isso. Para multiplicar os números, não se esqueça: siga as setas 
ilustradas no esquema acima.
O item está errado, pois serão construídas mais de 110 cisternas.
16. (MI/2013) Se todos os empregados trabalharem 12 horas por dia durante 2 
dias, então eles construirão, nesse período, mais de 55 cisternas.
Certo.
Temos uma questão de grandezas proporcionais, regra de três composta, pois te-
mos mais de 2 (duas) grandezas se relacionando.
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Nesse caso, as grandezas são: empregados, horas/dia, tempo (dias) e cisternas.
Para resolvermos as questões de regra de três composta, iremos aplicar um mé-
todo muito eficiente, prático e rápido, o qual chamaremos de: MÉTODO CAUSA E 
CONSEQUÊNCIA.
Primeiramente, devemos saber quem são as causas e quem é a consequência, e, 
para isso, basta na questão encontrarmos o sujeito (quem pratica a ação) e per-
guntarmos a ele o que ele está fazendo, a reposta será a consequência. As demais 
grandezas serão as causas.
Segundo a questão, temos como sujeito os empregados. O que eles estão fazendo? 
A resposta é “cisternas”, logo a consequência será: CISTERNAS.
As causas serão as seguintes grandezas: empregados, horas/dia, tempo (dias).
Vamos construir um esquema para melhor interpretarmos e realizarmos os cálculos.
Vamos preencher:
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Ao preencher os valores, basta apenas multiplicarmos os números seguindo as re-
tas, da seguinte forma:
200. 8. 3. x = 200. 12. 2.60
24x = 1440
x= 1440/24
x= 60
É importante ressaltar que não é preciso aquelas setas indicando se as grande-
zas são inversas ou diretas, quando utilizamos o método causa e consequência já 
resolvemos tudo isso. Para multiplicar os números, não se esqueça: siga as setas 
ilustradas no esquema acima.
17. (MI/2013) Se, do início do ano até o presente momento, 800 cisternas tiverem 
sido construídas, e isso corresponder a 16% do total previsto para o ano, então, 
para se atingir a meta do ano, será necessário construir mais 4.200 novas cisternas.Certo.
Temos uma questão de porcentagem com regra de três simples, pois temos apenas 
2 (duas) grandezas se relacionando.
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Nesse caso, as duas grandezas são: cisternas (valor absoluto) e cisternas (valor 
relativo).
Tais grandezas se relacionam de maneira direta, pois quanto mais cisternas (valor 
absoluto), maior será o valor relativo (porcentagem).
Assim, teremos
Cisternas (absoluto) Cisternas (relativo %)
800 ---------------------------------------16
x ------------------------------------------ 84 (complementar – o que falta para 100%)
16 x = 800. 84
16 x = 67200
X – = 67200 / 16
x = 4200
18. (MI/2013) Considere que, de 1.250 cisternas construídas, 8% delas tiveram de 
ser refeitas por apresentarem defeitos de várias naturezas. Considere, ainda, que, 
das cisternas que apresentaram defeitos, 15% foram refeitas por terem apresenta-
do vazamentos. Em face dessa situação, é correto afirmar que, das 1.250 cisternas 
construídas, menos de 1,3% delas foram refeitas por apresentarem vazamentos.
Certo.
Para essa questão iremos utilizar como referência o número “100”, para facilitar-
mos os cálculos, uma vez que a afirmação está em porcentagem.
Sendo assim, teremos:
Cisternas: 100
Cisternas com defeitos: 8% de 100 = 8
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Das cisternas que apresentaram defeitos, 15% foram refeitas por terem apresen-
tado vazamentos:
15% de 8 = 1,2.
Como simulamos o valor 100, a resposta já sai em porcentagem = 1,2%.
19. (MI/2013) Se os empregados trabalharem 8 horas por dia durante 7 dias, eles 
construirão, nesse período, mais de 145 cisternas.
Errado.
Temos uma questão de grandezas proporcionais, regra de três composta, pois te-
mos mais de 2 (duas) grandezas se relacionando.
Nesse caso, as grandezas são: empregados, horas/dia, tempo (dias) e cisternas.
Para resolvermos as questões de regra de três composta, iremos aplicar um mé-
todo muito eficiente, prático e rápido, o qual chamaremos de: MÉTODO CAUSA E 
CONSEQUÊNCIA.
Primeiramente, devemos saber quais são as causas e quem é a consequência, e, 
para isso, basta na questão encontrarmos o sujeito (quem pratica a ação) e per-
guntarmos a ele o que ele está fazendo, a reposta será a consequência. As demais 
grandezas serão as causas.
Segundo a questão, temos como sujeito os empregados. O que eles estão fazendo? 
A resposta é “cisternas”, logo a consequência será: CISTERNAS.
As causas serão as seguintes grandezas: empregados, horas/dia, tempo (dias).
Vamos construir um esquema para melhor interpretarmos e realizarmos os cálculos.
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Vamos preencher:
Ao preencher os valores, basta apenas multiplicarmos os números seguindo as re-
tas, da seguinte forma:
200. 8. 3. x = 200. 8. 7.60
24 x = 3360
x= 3360/24
x= 140
É importante ressaltar que não é preciso aquelas setas indicando se as grande-
zas são inversas ou diretas, quando utilizamos o método causa e consequência já 
resolvemos tudo isso. Para multiplicar os números, não se esqueça: siga as setas 
ilustradas no esquema acima.
O item está errado, pois serão construídas menos de 145 cisternas.
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20. (MI/2013) Se todos os empregados trabalharem 10 horas por dia durante 3 
dias, eles construirão, nesse período, mais de 70 cisternas.
Certo.
Temos uma questão de grandezas proporcionais, regra de três composta, pois te-
mos mais de 2 (duas) grandezas se relacionando.
Nesse caso, as grandezas são: empregados, horas/dia, tempo (dias) e cisternas.
Para resolvermos as questões de regra de três composta, iremos aplicar um mé-
todo muito eficiente, prático e rápido, o qual chamaremos de: MÉTODO CAUSA E 
CONSEQUÊNCIA.
Primeiramente, devemos saber quem são as causas e quem é a consequência, e, 
para isso, basta na questão encontrarmos o sujeito (quem pratica a ação) e per-
guntarmos a ele o que ele está fazendo, a reposta será a consequência. As demais 
grandezas serão as causas.
Segundo a questão, temos como sujeito os empregados. O que eles estão fazendo? 
A resposta é “cisternas”, logo a consequência será: CISTERNAS.
As causas serão as seguintes grandezas: empregados, horas/dia, tempo (dias).
Vamos construir um esquema para melhor interpretarmos e realizarmos os cálculos.
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Vamos preencher:
Ao preencher os valores, basta apenas multiplicarmos os números seguindo as re-
tas, da seguinte forma:
200. 8. 3. x = 200. 10. 3.60
24 x = 1800
x= 1800/24
x= 75
É importante ressaltar que não é preciso aquelas setas indicando se as grande-
zas são inversas ou diretas, quando utilizamos o método causa e consequência já 
resolvemos tudo isso. Para multiplicar os números, não se esqueça: siga as setas 
ilustradas no esquema acima.
O item está certo, pois serão construídas mais de 75 cisternas.
21. (2017/QUADRIX/CONTER/AUXILIAR ADMINISTRATIVO/CRTR) Uma máqui-
na que confecciona filmes fotográficos produz 900 desses filmes em 50 minutos. 
Quantos filmes ela produzirá em 1h e 43 minutos?
a) 1800
O) 1890
c) 1287
d) 1818
e) 1854
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Letra e.
50min ------- 900 filmes
1h43 min --------- X filmes
Transformando o tempo para minutos, temos:
1h43min = 60min + 43min = 103min
As grandezas se relacionam de maneira direta.
900 * 103 = 50 * X
X – = 92700/50
X= 1854 filmes.
22. (2017/QUADRIX/SEDF/PROFESSOR – ADMINISTRAÇÃO) Com relação a pro-
porcionalidade, regras de três e divisão de grandezas, julgue oitem que se segue.
Suponha-se que a realização de um serviço tenha demandado a participação de 5 
funcionários, trabalhando 8 horas por dia, durante 30 dias. Se forem alocados 8 
funcionários, trabalhando 4 horas por dia, serão necessários 40 dias.
Errado.
Aplicando o método CAUSAS e CONSEQUÊNCIAS:
5 func. 8h 30d / 1serv.
8 func. 4h x / 1serv.
8.4.x.1 = 5.8.30.1 (simplificando por 8 em cada lado)
4.x. = 5.30 (simplificando por 2 em cada lado)
2.x = 5.15
x = 75 / 2
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O resultado da divisão seria 37 com resto 1.
Convertendo em 24h, temos 24.1 = 24.
Então dividimos 24 por 2 = 12.
Logo, ele precisaria de 37 dias e 12h.
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AUT�AVALIAÇÃ�
1. (2017) Um restaurante “por quilo” apresenta seus preços de acordo com a 
tabela:
Rodolfo almoçou nesse restaurante na última sexta-feira. Se a quantidade de ali-
mentos que consumiu nesse almoço custou R$ 21,00, então está correto afirmar 
que essa quantidade é, em gramas, igual a
a) 375.
O) 380.
c) 420.
d) 425.
e) 450.
2. (2017) Com 48 kg de comida estocada, 15 pessoas podem permanecer isoladas 
durante 28 dias. Considerando que haja proporcionalidade de consumo, com 60 kg 
de comida estocada, 35 pessoas podem permanecer isoladas durante um número 
de dias igual a
a) 35.
O) 32.
c) 21.
d) 15.
e) 12.
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3. (2016) Sabe-se que 6 máquinas iguais, trabalhando ininterruptamente durante 
6 horas por dia, produzem n unidades de certa peça em 6 dias. Se as mesmas 6 
máquinas trabalharem ininterruptamente durante 8 horas por dia, o número de 
dias necessários para a produção de n unidades da mesma peça será reduzido em
a) um dia.
O) um dia e meio.
c) dois dias.
d) dois dias e meio.
e) três dias.
4. (2016) Sandro ajuda uma ONG, acolhendo e alimentando cachorros abandonados 
de porte médio em sua chácara até que seja realizada uma feira para adoção. Ele 
calcula a quantidade de ração necessária para alimentá-los com base no número de 
cachorros abrigados e no período de dias até a próxima feira de adoção. Por exem-
plo, em sua última experiência para alimentar 18 cães de porte médio durante 40 
dias foram necessários 288 kg de ração. Agora, ele tem sob seus cuidados 15 cães 
de porte médio que ficarão 60 dias em sua chácara até a próxima feira. Sendo assim, 
em comparação a sua última experiência, a quantidade de ração necessária será
a) a mesma.
O) aumentada em 12 kg.
c) aumentada em 36 kg.
d) aumentada em 72 kg.
e) aumentada em 144 kg.
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5. (2015) Para reformar 40 sofás de um mesmo tipo, 2 trabalhadores com a mes-
ma força de trabalho precisam de 120 dias. Se um cliente necessitar do mesmo ser-
viço em apenas 30 dias, então é verdade que o número mínimo de trabalhadores, 
com a mesma força de trabalho dos 2 já referenciados, necessário para atender a 
esse cliente, será
a) 2.
O) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 10.
6. (2015) Trabalhando um determinado número de horas por dia, 16 máquinas 
iguais produzem 600 unidades de um mesmo produto, em 5 dias. Com o mesmo 
número de horas diárias de trabalho, 4 das mesmas máquinas irão produzir, em 8 
dias, um número de unidades desse produto igual a
a) 180.
O) 240.
c) 300.
d) 420.
e) 560.
7. (2015) Trabalhando 6 horas por dia, um funcionário de uma empresa levou 14 dias 
para fazer a manutenção nos equipamentos. Se ele tivesse trabalhado 7 horas por 
dia, da mesma maneira que anteriormente, teria feito essa mesma manutenção em
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a) 8 dias.
O) 9 dias.
c) 10 dias.
d) 11 dias.
e) 12 dias.
8. (2015) No último Natal, do total da população carcerária de certa unidade pri-
sional, 1/5 teve o indulto natalino para sair temporariamente. Desses que saíram, 
15% não retornaram à unidade, o que corresponde a 24 homens. Pode-se dizer que 
o total da população carcerária dessa unidade é
a) 600.
O) 800.
c) 540.
d) 480.
e) 640.
9. (2014) Para executar um determinado serviço em 30 dias, uma firma utiliza 24 
funcionários trabalhando 10 horas por dia, todos no mesmo ritmo. Mas, para que 
esse trabalho seja executado no mesmo número de dias de modo que os funcioná-
rios trabalhem apenas 8 horas diárias, será preciso contratar mais pessoas. Assim, 
admitindo-se que os novos contratados mantenham o mesmo ritmo dos funcioná-
rios antigos, será necessária a contratação de mais
a) 6 funcionários.
O) 8 funcionários.
c) 10 funcionários.
d) 12 funcionários.
e) 14 funcionários.
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10. (2014) Certo produto foi submetido a um período predeterminado de testes em 
uma máquina específica. Operando durante 5 horas e meia por dia, essa máquina 
completou o ciclo necessário de testes em 18 dias. Para completar esse teste em 
exatamente 12 dias, essa mesma máquina precisaria trabalhar diariamente durante
a) 8 h 15 min.
O) 8 h 25 min
c) 9 h 30 min
d) 9 h 45 min
e) 10 h 05 min.
GABARIT�
1. c
2. d
3. b
4. d
5. d
6. b
7. e
8. b
9. a
10. a
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3.Razão e Proporção
3.1. Razão
A razão de dois números é dada em uma ordem, em que o segundo (denomi-
nador) é diferente de zero, ao quociente do primeiro pelo segundo. Assim, a razão 
entre os números x e y pode ser dita “x está para y” e representada como:
A razão entre dois números deve ser interpretada como uma divisão, ou até 
mesmo uma fração:
O inteiro foi dividido em 7 partes iguais e foram utilizadas 2 partes, em que 2 é 
chamado antecedente, enquanto 7 é chamado consequente da razão dada.
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QUESTÕES DE CONCURSO
23. Em uma prova de natação, um dos participantes desiste de competir ao com-
pletar apenas 1/5 do percurso total da prova. No entanto, se tivesse percorrido 
mais 300 metros, teria percorrido 4/5 do percurso total da prova. Com essas infor-
mações, o percurso total da prova, em quilômetros, era igual a:
a) 0,75
O) 0,25
c) 0,15
d) 0,5
e) 1
24. Considere a seguinte situação hipotética e julgue o item a seguir.
Um juiz tem quatro servidores em seu gabinete. Ele deixa uma pilha de processos 
para serem divididos igualmente entre seus auxiliares. O primeiro servidor conta os 
processos e retira a quarta parte para analisar.
O segundo, achando que era o primeiro, separa a quarta parte da quantidade que 
encontrou e deixa 54 processos para serem divididos entre os outros dois servi-
dores. Nessa situação, o número de processos deixados inicialmente pelo juiz era 
maior que 100.
GABARIT�
 23. d
 24. E
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GABARIT� C�MENTAD�
23. Em uma prova de natação, um dos participantes desiste de competir ao com-
pletar apenas 1/5 do percurso total da prova. No entanto, se tivesse percorrido 
mais 300 metros, teria percorrido 4/5 do percurso total da prova. Com essas infor-
mações, o percurso total da prova, em quilômetros, era igual a:
a) 0,75
O) 0,25
c) 0,15
d) 0,5
e) 1
Letra d.
Ilustrando o percurso temos o seguinte:
O percurso foi dividido em 5 partes iguais, pois o atleta ao completar 1/5 da prova 
desistiu e se tivesse percorrido 4/5 teria realizado 300 m. Sendo assim, temos que 
o intervalo de 1/5 até 4/5 equivale a 300 m, logo:
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O inteiro possui 5 partes iguais de 100, assim como foram utilizados 3/5 = 300, 
temos:
O percurso consiste em 5 partes de 100 m, logo temos
500 m = 0,5 km.
24. Considere a seguinte situação hipotética e julgue o item a seguir.
Um juiz tem quatro servidores em seu gabinete. Ele deixa uma pilha de processos 
para serem divididos igualmente entre seus auxiliares. O primeiro servidor conta os 
processos e retira a quarta parte para analisar.
O segundo, achando que era o primeiro, separa a quarta parte da quantidade que 
encontrou e deixa 54 processos para serem divididos entre os outros dois servi-
dores. Nessa situação, o número de processos deixados inicialmente pelo juiz era 
maior que 100.
Errado.
Ilustraremos cada auxiliar com uma letra: A, B, C e D.
Auxiliar A: retirou a ¼ parte, logo podemos representar A = 1/4, sobrou ainda ¾.
Auxiliar B: retirou quarta parte da quantidade que encontrou, logo devemos obser-
var que 
Os auxiliares C e D receberam a mesma quantidade.
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Somando as razões temos: A + B igual a:
 
Representando geometricamente a razão soma, temos:
Temos que as partes restantes sobraram para os auxiliares C e D, sabendo que re-
ceberam 54 processos podemos calcular quanto vale cada parte (p) do inteiro, da 
seguinte forma:
Como cada parte equivale a 6 e temos um total de 16 partes, a quantidade total de 
processos é dada por: 16 x 6 = 96 processos.
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3.2. Proporção
É a expressão representada pela igualdade entre duas ou mais razões.
A proporção acima pode ser lida como “x está para y assim como z está para 
w”. Nessa proporção, os números x e w são os extremos e os números y e z são os 
meios. Uma propriedade importante é que, na proporção, o produto dos extremos 
é igual ao produto dos meios.
Proporção Simples
Exemplo:
Dado três números a, b e c, nesta ordem, 4 é o número x que completa, com os 
outros três, uma proporção tal que:
É interessante observar que 8 é proporcional a 2, isto é (2 x 4) e x deverá ser pro-
porcional a 6, isto é (6. p = x), logo p = 4 e x = 24.
Logo: 2. p = 8
Podemos concluir com a primeira equação que 6. p = x e que p = 4, sendo assim, 
6. p(4) = 24. Logo x = 24.
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Proporção Múltipla
É a igualdade simultânea de três ou mais razões.
Razões inversas são duas razões, cujo produto é igual a 1.
3.3. Divisão Diretamente Proporcional
Em seu edital, temos razão e proporção, porém é importante resolvermos al-
gumas questões de proporção utilizando a ideia de divisão proporcional, regra do 
“p”, uma vez que fica mais prático e rápido, inclusive temos algumas questões da 
Vunesp que, se não aplicarmos esse método, tornam-se complicadas. Veremos nas 
questões comentadas para melhor compreensão.
Sendo a sucessão de valores (X1, X2, X3,...), dizemos que esses valores são di-
retamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (Y1, Y2, Y3,...) 
quando forem iguais às razões entre cada valor de uma das sucessões e o valor 
correspondente da outra.
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O resultado das razões (p) obtido de duas sucessões de números diretamente 
proporcionais é chamado de constante de proporcionalidade ou coeficiente de pro-
porcionalidade. Ilustrando melhor uma divisão proporcional, temos:
O inteiro foi dividido em 10 partes iguais a P. A divisão proporcional consiste em 
dividir o total em partes iguais, que serão divididas de forma direta ou inversa, e 
até mesmo direta e inversa, sabendo que as partes são iguais a todos, o que muda 
é a quantidade de partes que cada um recebe.
Para dividir proporcionalmente, deve-se montar uma proporção.
Vamos fazer 2 (dois) exemplos usando a regra do “p”, beleza?
QUESTÕES DE CONCURSO
Regra do “p”
25. (2016/VUNESP) Em uma casa, a razão entre o número de copos coloridos e o 
número de copos transparentes é 3/5. Após a compra de mais 2 copos coloridos, a 
razão entre o número de copos coloridos e o número de copos transparentes pas-
sou a ser 2/3. O número de copos coloridos nessa casa, após a compra, é
a) 24.
O) 23.
c) 22.
d) 21.
e) 20.
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26. Para emitir parecer sobre 70 processos da área administrativa, 3 analistas fo-
ram convocados, sendo que os números de processos que cada um recebeu eram 
diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5. Com base nessa situação hipoté-
tica, julgue os itens a seguir.
a) A um dos analistas foram destinados menos de 12 processos.
O) Um dos analistas recebeu mais de 33 processos.
c) Um dos analistas recebeu entre 15 e 20 processos.
27. (2017/VUNESP) Sabe-se que 16 caixas K, todas iguais, ou 40 caixas Q, todas 
também iguais, preenchem totalmente certo compartimento, inicialmente vazio. 
Também é possível preencher totalmente esse mesmo compartimento completa-
mente vazio utilizando 4 caixas K mais certa quantidade de caixas Q. Nessas con-
dições, é correto afirmar que o número de caixas Q utilizadas será igual a
a) 10.
O) 28.
c) 18.
d) 22.
e) 30.
28. (2017/VUNESP) Os preços de venda de um mesmo produto nas lojas X, Y e 
Z são números inteiros representados, respectivamente, por x, y e z. Sabendo-se 
que x + y = 200, x + z = 150 e y + z = 190, então a razão x/y é:
a) 3/8
O) 1/3
c) 3/5
d) 2/3
e) 4/9
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29. (2015/VUNESP) Sabe-se, de um grupo de pessoas, que 2/5 são homens, todos 
com mais de 18 anos, e que 4/5 das mulheres têm mais de 18 anos. Nesse grupo, 
a razão entre o número de homens e o de mulheres com mais de 18 anos é, nessa 
ordem,
a) 6:7.
O) 5:6.
c) 4:5.
d) 3:5.
e) 2:3.
30. (2015/VUNESP) Em uma sala de aula, há alguns alunos com idades de 7 anos e 
15 alunos com idades de 8 anos. Sabendo-se que a razão entre o número de alunos 
com idades de 7 anos e o número de alunos com idades de 8 anos é igual a doze 
décimos, é correto afirmar que o número total de alunos, nessa sala, é
a) 31.
O) 32.
c) 33.
d) 34
e) 35.
Regra do “p”
31. (2015/VUNESP) Em uma reunião havia 80 pessoas, e a razão entre o número 
de homens e o número de mulheres era 2/3. Se após certo tempo, 3 homens e 1 
mulher chegaram à reunião, então a razão entre o número de homens e o número 
de mulheres que estavam presentes, nessa reunião, era
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a) 2/9
O) 3/7
c) 4/9
d) 5/7
e) 7/9
11. (2018/QUADRIX/SEDUCE-GO/PROFESSOR DE NÍVEL III – MATEMÁTICA) Um 
auditório estava cheio de estudantes. Então, 42 mulheres saíram e restaram es-
tudantes na razão de 2 homens para cada mulher. Depois, 50 homens saíram e 
restaram estudantes na razão de 3 mulheres para cada homem.
Considerando essa situação hipotética, assinale a alternativa que apresenta o nú-
mero de estudantes que havia inicialmente no auditório.
a) 92
O) 100
c) 112
d) 120
e) 132
GABARIT�
25. e
26. E, C, E
27. e
28. d
29. b
30. c
31. d
32. e
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GABARIT� C�MENTAD�
Regra do “p”
25. (2016/VUNESP) Em uma casa, a razão entre o número de copos coloridos e o 
número de copos transparentes é 3/5. Após a compra de mais 2 copos coloridos, a 
razão entre o número de copos coloridos e o número de copos transparentes pas-
sou a ser 2/3. O número de copos coloridos nessa casa, após a compra, é
a) 24.
O) 23.
c) 22.
d) 21.
e) 20.
Letra e.
Peguei a razão de 2/3, após a compra de 2 copos.
2K + 3k = (Ele não deu o valor total)
5k = (agora você já sabe que o K tem que ser algum número múltiplo de 5, logo, 
vá nas alternativas e verifique qual delas é múltiplo de 5).
Nesse caso, seria a letra e (20).
26. Para emitir parecer sobre 70 processos da área administrativa, 3 analistas fo-
ram convocados, sendo que os números de processos que cada um recebeu eram 
diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5. Com base nessa situação hipoté-
tica, julgue os itens a seguir.
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a) A um dos analistas foram destinados menos de 12 processos.
O) Um dos analistas recebeu mais de 33 processos.
c) Um dos analistas recebeu entre 15 e 20 processos.
Errado, Certo, Errado.
Em uma divisão proporcional, devemos construir uma proporção:
, sendo esta diretamente proporcional, logo temos:
A é proporcional a 2, logo: A = 2p
B é proporcional a 3, logo: B = 3p
C é proporcional a 5, logo: C = 5p
O total de processos é igual a 70, ou seja, A + B + C = 70.
Substituindo, temos:
A + B + C = 70
2p + 3p + 5p = 70
10p = 70
p = 7 (constante de proporcionalidade)
A = 2p = 2. 7 = 14
B = 3p = 3. 7 = 21
C = 5p = 5. 7 = 35
Julgue os itens.
a) A um dos analistas foram destinados menos de 12 processos (Errado).
O) Um dos analistas recebeu mais de 33 processos (Certo).
c) Um dos analistas recebeu entre 15 e 20 processos (Errado).
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