Apostila - Calculo Numerico - Completa

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Apostila
Cálculo Numérico
Professora Mariluci Ferreira Portes
 UERJ – CTC – IME – Departamento de Informática e Ciência da Computação
 Cálculo Numérico – Professora Mariluci Ferreira Por tes
1
Unidade I - Erros nas aproximações numéricas.
I.1 - Considerações gerais.
Há várias situações em diversos campos da ciência em que operações numéricas são
utilizadas com valores aproximados e conseqüentemente obtemos resultados aproximados.
 Os principais motivos que concorrem para a inexatidão das operações são:
I. Uso de dados provenientes de medições . Nas medições temos dois tipos de erros:
A. Erros sistemáticos → são devidos à falta de perfeição na construção,
regulagem,
 etc., do instrumento de medida utilizado no processo.
B. Erro fortuitos → são devidos às variações acidentais (ao acaso) de
temperatura,
II. Uso de dados matemáticos inexatos → são erros provenientes da própria natureza dos
números como 2 , π, e .
III. Uso de dados provenientes de tabelas → as tabelas contém um número fixo de casas
decimais.
IV. Uso de dados inexatos provenientes da supressão de algarismos :
Exemplo: Seja calcular o valor de K = (C . D) + E , onde C = 3,1234 ; D = 18,134 ;
 E = 5,52014 ; neste caso K = 62,159875.
 Se utilizar-mos para C = 3,12 ; D = 18,1 ; E = 5,52 ; teremos K = 61,992.
IV. Aproximações devido à fórmulas de resolução aproximadas.
 Seja, por exemplo, calcular 1 05, . Se desenvolver-mos f(x) = x em Série de Taylor
em
 torno de x0=1 e aplicar para x=1,05, temos:
024695313,1....
6
05,0
..
8
3
.
2
05,0
..
4
1
05,0
2
1
1x
32
≅−×+×−×+=
VI. Ordem de cálculo nas operações:
Exemplo: Calcular o valor de V =
A + B
C
, onde A=1, B=2, C=3;
1º o modo :V =
1+ 2
3
= 1;
2ºº modo: V =
A
C
B
C
+ = + = + =1
3
2
3
0 333 0 666 0 999, ... , ... , ...
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VII. Uso de rotinas inadequadas de cálculo.
 Exemplo: Seja calcular o valor médio de p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e .
 Neste caso temos total de 4 adições e 10 multiplicações, a saber:
 ax4 = a·x·x·x·x → 4 multiplicações
 bx3 = b·x·x·x → 3 multiplicações
 cx2 = c·x·x → 2 multiplicações
 dx = d·x → 1 multiplicação
Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini-Hormer:
[ ]{ }p(x) = (a x + b) x + c x + x + e⋅ ⋅ ⋅ ⋅d , temos pois 4 adições e 4
multiplicações.
Conclusão: o segundo método é mais preciso que o primeiro.
VIII. Enganos: são erros devido à falta de cuidado do calculista que poderá escrever números
e sinais trocados devido à sua habilidade e rapidez.
I.2 - Números aproximados
Definição : Número aproximado é a aproximação de um valor exato, sendo a
diferença entre os dois bem pequena. Consideramos um valor exato quando não existe
aproximação ou incerteza associado a ele.
I.3 - Algarismos significativos de um número
Definição : Os dígitos 1, 2, 3, …, 9 constituem algarismos significativos de
um número. O dígito 0 (zero) também constitui um significativo, exceto nas casos em que é
usado para fixar a posição da parte decimal ou preencher casas decimais de dígitos
desprezados ou desconhecidos.
Exemplo: 3,124 → 4 significativos
405 → 3 significativos
0,0095 = 9,5× 10-3 → 2 significativos
45,1300 → 4 significativos se os zeros estiverem preenchendo casas decimais vazias
 → 6 significativos se os zeros vieram do arredondamento:
4512999 451300, ,≅
I.4 - Arredondamento de um número
Definição : Arredondar um número é guardar uma certa quantidade de
dígitos, contados a partir da esquerda para a direita, e ignorando conseqüentemente os demais
dígitos do número.
Para que o arredondamento ocasione o menor erro possível, empregamos a seguinte
regra:
Se desejarmos um número com n algarismos e:
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a) o algarismo desprezado for maior que 5, adiciona-se 1 unidade ao enésimo dígito;
b) o algarismo desprezado for menor que 5, o enésimo dígito permanece inalterado;
c) o algarismo desprezado for igual a 5, então:
c. 1 - deixa-se o enésimo dígito inalterado se for par;
c. 2 - acrescenta-se 1 unidade ao enésimo dígito se for ímpar:
Exemplo: 2,45879 → 2,459 2,45376 → 2,45
 4,67857 → 4,678 4,67757 → 4,678
I.5 - Tipos de Erro
 Seja Q o valor exato e Q * o valor aproximado de um número.
I.5.1 - Erro Absoluto
Definição : . Definimos erro absoluto como sendo a diferença em módulo
entre o valor exato e o valor aproximado. Denotaremos por ∆ .
*Q-Q=Q∆
I.5.2 - Erro Relativo
Definição : É a razão entre o erro absoluto e o valor exato do número.
Denotaremos porδ .
δ Q Q
Q
= ∆
I.5.3 - Erro Percentual Relativo
 Definição : É o erro relativo expresso em percentagem. Denotaremos por
.
100
Q
Q
%Q ×∆=δ
Exemplos:
1) Q = 3,251408
Q* = 3,2524634
∆Q = Q – Q* = 1,0554 .10 - 3
3100554,1Q −⋅=δ
%10554,0100554,1100%Q 3 =⋅×= −δ
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2) Comprimento real → L= 5 Km
 Comprimento aproximado → L * =5,1 Km
02,0
0,5
1,50,5
L =
−
=δ → relativo
 δ L%= 2 % → percentual relativo
3) Pressão real: 10 Kg/cm2
Pressão aproximada: 10,5 Kg/cm2
∆ p = 0,5 Kg/cm 2
δ p = 0,05 e δ p % = 5 %
Observação:
1) Os erros relativo e percentual relativo são quantidades adimensionais, permitindo comparar
erros de quantidades homogêneas ou não-homogêneas.
2) Se um número é arredondado com N algarismos significativos, é claro que
o erro absoluto cometido em seu arredondamento é menor ou igual a cinco unidades no
algarismo que ocupa a posição (n + 1), contadas da esquerda para a direita.
 Q = 3,45789
Q* = 3,458
∆Q = 3,45789 - 3,458= = ⋅ < ⋅− −0 00011 011 10 0 5 103 3, , ,
1.1 I.5.4 - Cota Superior de Erro Absoluto
Definição : Cota superior de erro absoluto é o limite máximo permitido
para o erro absoluto e denotaremos como αααα.
∆Q < α
I.5.5 - Cota Superior de Erro Relativo
Definição: De modo análogo definimos cota superior de erro relativo, e
denotamos por ββββ.
δ βQ <
Observação: Normalmente escolhemos a potência de 10 mais próxima do valor da
cota superior de erro sempre por majoração. Com isto estaremos nos referindo ao erro como
sendo da ordem de 10N, N Z∈ .
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Aplicação: Considere e =
i!i=0
1∞
∑ e e* = i!i=0
7 1
∑ , determine a cota superior de erro
absoluto:
e
e
e e e
= + + + + + + + +
= + + + + +
= − = + + +
=
=
⋅
1 1
1
2
1
3
1
7
1
8
1
9
1 1
1
2
1
3
1
7
1
8
1
9
1
10
1
8
1
8
1
9
1
8 9
! !
...
! ! !
...
*
! !
...
!
*
! ! !
...
! !
! !
∆
1
10
1
8 9 10
1
8 9
1
11
1
8 9 10 11
1
8 9
1
8
1
1
9
1
9
1
9
1
8
1
1
1
9
0 279017 10 0 3 10
2
3
2 3
4 4
! ! !
! ! !
!
...
!
, ,
=
⋅ ⋅
<
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
<
⋅
< + + + +




 →
< ⋅
−
⇒ < ⋅ ⇒ < ⋅− −
∆
∆ ∆ ∆
e
e e e
 P.G. ilimitada decrescente com q =
1
9
 
Logo a cota superior de erro absoluto é 10-4.
I.5.6 - Propagação de Erro em Operações Elementares
A. Adição
A.1 - Erro Absoluto:
Considere x e y valores exatos, x* e y* valores aproximados de x e y
respectivamente, ∆x e ∆Y os erros associados a x e y respectivamente.
x y x x y y x y x y
x yx y
+ = + + + = + + +
= ++
( * ) ( * ) ( * *) ( )∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
A.2 - Erro Relativo:
y
yx
y
x
yx
x
yx
y
y
yx
x
x
yx
y
y
y
yx
x
x
x
yx
yx
yx
yx
yx
yx
δδδ
δδ
δ
⋅
+
+⋅
+
=
+
+
+
=
=
+
⋅∆+
+
⋅∆=
+
∆+∆=
+
+∆=
+
+**
*
**
*
**
*
**
*
 
**
*
***
*
*****
)(
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B. Subtração
B.1 - Erro Absoluto:
yxyx ∆−∆=∆ −
B.2 - Erro Relativo:
y
yx
y
x
yx
x
yx δδδ ⋅−
−⋅
−
=− **
*
**
*
C. Multiplicação
C.1 - Erro Absoluto:
 x y x y y y x y x y y x x y
x y y xxy
⋅ = + ⋅ + = + + +
= +
( * ) ( * ) * * * *
* *
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
C.2 - Erro Relativo:
δ δ δ
δ δ δ
xy
xy
y x
xy x y
x y
x y y x
x y
y
y
x
x
= = + = + = +
= +
∆ ∆ ∆ ∆ ∆
* *
* *
* * * *
D. Divisão
D.1 - Erro Absoluto:
x
y
x x
y y
x y
y
y
y y
x x
y y
= +
+
= + ⋅
+
= + ⋅
+
*
*
*
*
*
*
*
*
∆
∆
∆
∆
∆ 1
1 δ
Desenvolvendo em série MacLaurin, temos: 1 22− + +δ δy y ...
Desprezando as potências de ordem igual ou superior a 2, temos:
1
1
1
1 2 2
2
+
≈ −
≈ + − = + − −
≈ −
δ
δ
y
y
x
y
x x
y
y
y
x
y
x
y
x y
y
x y
y
y x x y
y
x
y
*
*
(
*
)
*
* *
*
* *
* *
*
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
D.2 - Erro Relativo:
δ δ δ
δ δ δ
x
y
x
y
x
y
x
y
y x x y
y
y
x
y x
y x
x y
y x
x y
x y
= = − ⋅ = − = −
= −
∆ ∆ ∆ ∆ ∆
*
*
* *
*
*
*
*
* *
*
* *2
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I.6 - Algarismos significativos exatos contidos em um número
aproximado.
Definição: Consideramos que os “n” primeiros algarismos de um número são
exatos quando o erro absoluto não exceder a uma unidade na enésima casa, contando-se da
esquerda para a direita.
p = 3,1415926
p* = 3,1416
∆p = 0,0000074 < 0,001
A precisão de um resultado é função do número de algarismos significativos exatos
contidos no número. Há uma relação entre o erro relativo e o número de algarismos
significativos exatos.
Teorema I :
Se o 1o. algarismo significativo de um número aproximado A* é k, contendo o
referido número N algarismos significativos, então o erro relativo associado à aproximação
será:
δA
k
N ≤ × −1 101
Considere A k L
M N M
* _ _ ..., _ _ ...=
−
1 2 3 1 2 3 ; N algarismos significativos exatos.
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N
M
NM
M
MM
N
M
NM
NMM
NM
NMNM
NM
MN
M
M
k
A
kA
A
A
kA
kkA
kkA
kA
kA
AA
AA
AA
A
kA
LkA
−
−
−
−
−−
−
−
−−
−−
−
−−
−
+−−
−
−−
•<
•⋅
⋅<∆=
••≥
−•+••≥
−+•≥
−•≥
•−•≥
•−≥
•≤−≤•−
•≤−
••≤∆
•≥
•++•=
1
1
2
1
2
1
1
11
1
1
11
1
)1(
1
11
10
1
10
10
10
2
1
)1(10
2
1
10
2
1
)]
10
1
([10
2
1
)102(10
2
1
10
2
1
10
10
2
1
*
10
2
1
*10
2
1
10
2
1
*
1010
2
1
 :lado outroPor 
10*
10...10*
δ
δ
Aplicação:
Seja A*=3,1415 com 5 algarismos significativos exatos. Determine uma cota superior
de erro relativo.
A* = 3,1415
k = 3, N = 5
A <
1
3
δ
δ
β
⋅ = •
< •
=
− −
−
−
10 0 333 10
0 333 10
10
1 5 4
4
4
, ...
, ...A
Resposta: A cota superior de erro relativo é 10-4.
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Teorema II:
Se o erro relativo δA cometido na aproximação de A for menor que 1
1
101
k
N
+
• − (k :
1o. algarismo significativo de A*) então contém, N algarismos significativos exatos.
Aplicação:
Determine o número de algarismos significativos exatos contidos em A* = 3,241
sendo ∆A<0,001.
Pelo Teorema II temos:
( )
δ
δ δ
A
k
k A A
N
N N
<
+
•
= ⇒ < • ⇒ < •
−
− −
1
1
10
3
1
4
10 0 25 10 1
1
1 1,
Por definição temos:
( )
3,25) ; (3,23 *A
0,013,24=A*
:exatos ivossignificat Algarismos 3
321
1025,0103085,0 : vem(2) e (1) De
2103085,0
241,3
001,0
13
3
∈
±
=⇒−=−
•<•
•<<∆=
−−
−
NN
A
A
A
N
δ
I.7 - Propagação de Erros
I.7.1 - Introdução: Algumas grandezas não podem ser medidas
diretamente. Nesse caso a medida é feita de modo indireto.
Exemplo: A medida do volume de um cilindro é dado pela relação V = πR2·H.
Precisamos saber os erros cometidos nas medidas das grandezas raio e altura para saber o erro
no cálculo do volume.
A este estudo denominamos análise de propagação de erros.
I.7.2 - Funções de uma variável real:
Seja y = f (x) uma função contínua diferenciável em [a,b]. Sejam X, X* ∈ [a,b].
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 y
 y = f (x) N f (x)
 y* = f (x*) M θ
 P
 a x* x b x
x - valor real
x* - valor aproximado de x
∆x - erro cometido em x*
∆y - erro cometido em y* = f (x*)
Do ∆ MNP
*xx
(x*) f-(x) f
 Tg 
MP
NP
= Tg
−
=⇒ θθ
Pelo teorema do valor médio:
)(')('
)('
*
*)()(
)('
*
*)()(
)(' :que Tal )*,(
max xff
xfy
x
y
xx
xfxf
f
xx
xfxf
fxx
≤
∆⋅=∆
∆
∆=
−
−=
−
−=∈∃
ξ
ξ
ξ
ξξ
Como x e x* são próximos, então f x f y' ( ) ' ( *)max ≈
Logo: xxfy ∆⋅≤∆ )('
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Exercícios:
1. Determine o erro absoluto cometido no cálculo do volume de um cubo de
0,45 metros de aresta, sabendo que o erro cometido na medida da aresta é
inferior a 0,005 metros.
322
2,
,
3
 1030375,0005,0)45,0(3
.45,0.*....005,0..
3)(
*)(
)(
mV
maeaComo
aaV
aaVV
aaV
−×=××≤∆
==∆
=
∆⋅≤∆
=
Resp: O erro cometido no cálculo do volume é inferior a 0,30375 · 10-2 m3
Resp: < 0,30375 · 10-2 m3
2. Entre que valores está o valor real do volume do cubo do exercício 1 ?
a. Cálculo do volume: V = (0,45)3 = 0,91125 · 10-1 m3
b. Pelo Teorema II temos:
δ δV VN N=
+
× ⇒ = ×− −1
1 9
10 01 101 1, (*) 
c. Cálculo do erro relativo:
δ
δ
V
V
V
V
= < ⋅
⋅
= ⋅
< ⋅
−
−
−
−
∆ 0 30375 10
0 91125 10
0 3333 10
0 3333 10
2
1
1
1
,
,
,
, (**) 
d. Comparando os resultados obtidos em (*) e (**), temos:
0,3333·10-1 < 0,1·101-N
1 - N = 0 ⇒ N = 1
1 algarismo significativo ⇒ V = 0,09 ± 0,0 1
Resp: V ∈ ( 0,08 ; 0,10 )
Resp: (0,08 ; 0,10)
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I.7.3 - Funções de variáveis reais várias:
Seja w = f (x1, x2, ..., xn) em que as diversas quantidades x1, x2, ..., xn estão sujeitas a
erros ∆x1, ∆x2, ..., ∆xn , respectivamente.
(1) f (x1
* +∆x1, x2* +∆x2, ..., xn * +∆xn) = w *+ ∆w
Usando a expansão em série de Taylor para funções de variáveis reais várias, temos:
.........
!2
1
.....),...,,(
),...,,.(
21
21
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
**
2
*
1
*
2
*
21
*
1
+





+∆⋅∆⋅+∆++∆+∆++∆+∆+
=∆+∆+∆+
xx
xx
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
xxxf
xxxxxxf
n
n
n
n
n
nn
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Como os erros são bem pequenos, então:
n
n
nnn xx
f
x
x
f
xxxfxxxxxxf ∆++∆+≈∆+∆+∆+
∂
∂
∂
∂
...),...,,(),...,,( 1
1
*
2
*
1
**
22
*
11
*
De (1) vem:
w *+ ∆w ≈ w* + + +∂
∂
∂
∂
f
x
x
f
x
x
n
n
1
1∆ ∆...
Logo:
Erro relativo:
w
x
x
f
w
w
w
n
i
i
i
∑
=
∆
=∆= 1
∂
∂
∂
(2) ∂
∂
∂
w
w
w
f
x
x
w
i
n
≤ = =
∑∆
∆
1
1
1
 O segundo membro de (2) é a diferencial logarítmica de w.
Logo:
∑
=
∆⋅≤
n
i
n xixxxfxi
w
1
21 )],...,,([ln∂
∂∂
∑
=
∆=∆++∆≤∆
n
i
i
i
n
n
x
x
f
x
x
f
x
x
f
w
1
1
1
...
∂
∂
∂
∂
∂
∂
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Exercícios:
1. Entre que valores está o valor real de z (x,y) = x2y + 2y+ 0,3 para x =
3,14 e y = 2,71; com ∆x e ∆y inferiores a 0,01.
a. Cálculo de z: z = (3,14)2 × 2,71 + 2 × 2,71 + 0,3 = 32,43952
b. Cálculo do erro relativo (pela definição):
∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
∆
∆
∆
z <
z
x
 (*)
∂
∂
∂
∂
δ
⋅ + ⋅
< + +
< ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅
<
= < = ⋅ −
x
z
y
y
z xy x x y
z
z
z
z
z
2 2
2 314 217 0 01 314 2 0 01
0 25487
0 25487
32 43952
0 78568 10
2
2
2
( )
, , , [( , ) ] ,
,
,
,
,
c. Pelo Teorema II temos:
δ
δ
z <
1
3 + 1
1
4
10
 (**)
N 1-N× = ×
< ×
−
−
10
0 25 10
1
1z N,
d. Comparando os resultados em (*) e (**), temos:
0,8902228×10-2 < 0,25×101-N
1-N = -1 → N = 2
2 algarismos significativos exatos z = 32 ± 1
Resposta: z ∈ (31;33)
Resp: (31 , 33)
2. Sabendo-se que o volume de uma esfera é dado pela expressão V = 1/6
πd3 , determine entre que valores está o valor real de V, considerando π ≈ 3,141 (
com ∆π<0,001 ) e d = 3,71 cm (com ∆d < 0,005 cm ).
V d
A A
V A d
=
= ≈ <
= ⋅ ⋅
1
6
1
6
01666 0 0001
3
3
π
π
, , ∆
a. Cálculo de V:
V = 0,1666 × 3,41 × (3,71)3 = 26,7217 cm3
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14
b. Cálculo do erro relativo:
ln ln ln ln
,
,
,
,
,
,
,
V A d
V
V
A
A
d
d
V
V
= + +
= + +
< + + ⋅
< ⋅ −
π
π
δ
δ
3
3
0 0001
01666
0 001
3141
3
0 005
3 71
0 49617 102
∆ ∆ ∆π ∆
 (*)
c. Pelo Teorema II, temos:
δ
δ
V
V
N
N
< ×
< ×
−
−
1
3
10
0 333 10
1
1, ... (*)
d. Comparando os resultados obtidos em (*) e (**), temos:
0,49617 × 10-2 < 0,333... × 101-N
1 - N = -1
N = 2 → 2 algarismos significativos exatos.
Resp: 26 ± 1 cm3 V ∈ (25 cm3 ; 27 cm3)
Resp: V = 26 ±±±± 1 cm3
( 25cm3 , 27cm3 )
I.7.4 - Problema Inverso:
Este tipo de problema é matematicamente indeterminado, uma vez que o erro relativo
pode ser determinado mediante combinações diferentes dos erros relativos das diversas
variáveis.
A solução mais simples é baseada na hipótese da igualdade de efeitos. De acordo com
esta hipótese tem-se : δx1 = δx2 = ... = δxn ; e a solução procurada é dada por :
∂ ∂x w
ni
= ≤ ≤ 1 i n
Exercício: Qual deve ser a precisão da medida do raio R = 30,5 cm de um
círculo e quantas decimais devem ser consideradas em π para que o erro cometido
no cálculo da área não ultrapasse a 0,1%.
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15
Solução:
S R
S
R
R
=
= + <
π
∂
π
2
2 0 001
∆π ∆
,
Pelo princípio da igualdade de efeitos :
∆π
∆
π
<
<
0 0005
2 0 0005
,
,
R
R
Fazendo π ≈ 3,14 , temos:
∆π ∆π
∆ ∆
< × ⇒ < ⋅
< − × ⇒ < ⋅
−
−
0 0005 314 0157 10
0 001 0 0005 30 5
2
0 7625 10
2
2
, , ,
( , , ) ,
,
 
 R R
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Lista de exercícios sobre a Unidade I
1) Arredonde cada número abaixo para 3, 4, 5, 6, 7, algarismos significativos,
respectivamente:
a) 85,432431 b) 0,003134499 c) 998,075414 e) 3,318051 d) 45,3083102
2) Com os números arredondados para 4 algarismos significativos e para 7 algarismos
significativos, do exercício 1, determine o erro absoluto, o erro relativo e o erro percentual
relativo para cada item.
3) Calcule a área de um círculo de raio 100 m, utilizando os seguintes valores
aproximados para π :
a) 3,14 b) 3,1416 c)3,14159 d) 3,1415926
4) Calcule o erro absoluto entre os resultados obtidos em a, b, c com o resultado
obtido em d) do exercício anterior. Compare e faca sua conclusão.
5) Determine o número de algarismos significativos exatos contidos na aproximação
dos números abaixo, sendo dados os respectivos erros:
a) Z* = 32,4395 ∆Z < 0,263629
b) I* = 0,984375 * 10-4 δI < 0,22858
c) A* = 45,8214 ∆A < 0,0001
d) X* = 8,57943 ∆X < 0,001
6) Determine o erro relativo cometido no cálculo do valor numérico de
y(x) = 3x2 + 3x + 5 , sendo x = 3,16 e o erro absoluto cometido nessa medida inferior
a 0,001.
7) Determine o número de algarismos significativos exatos contidos no cálculo de y(x)
do exercício 6.
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17
8) Sabendo-se que o volume de uma esfera é dado pela expressão V
d= π
3
6
 , entre que
valores esta o valor real de V, sabendo-se que d = 3,71 m, ∆d < 0,005 m , π = 3,141 e ∆π <
0,001.
9) A expressão V
a b c= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅4
3
π
 nos dá o volume de um elipsóide de eixos principais
a, b, c. Sabendo-se que a = 5 cm, b= 100 mm, c= 0,15 dm, e que o instrumento de medição
apresenta um erro inferior a 0,05 mm, pede-se:
a) o volume;
b) o erro relativo;
c) o erro absoluto;
d) entre que valores esta o valor de V.
10) Dada a expressão y
e
O
= ×
×
12 20 22
1 8
, sen
, π
, determine entre que valores esta o valor
real de y, sabendo que o instrumento de cálculo utilizado só registra 3 algarismos significativos
exatos.
11) O tempo de oscilação de um pêndulo simples e dado pela expressão t
l
g
= 2π .
Sabendo-se que o comprimento l = 1,50 m, medido com erro inferior a 0,05 m e que
g = 9,81 m/s2 , com erro inferior a 0,01 m/s2 , determine entre que valores esta o valor real de
t.
 Nota: π = 3,1415926
Trabalho Computacional: Somar 0,001 mil vezes. Justifique o resultado.
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Unidade II - Séries de Potências
II.1 - Introdução
As linguagens de programação de computadores fornecem certas funções tais como
seno, cosseno, logaritmo, exponencial, etc.
No entanto, muitas vezes não temos a função pré-definida e recorremos ao
desenvolvimento em série de potências para fazer nossos cálculos.
II.2 - Série de Taylor e MacLaurin
Definição 1 : Uma série da forma c c x a c x a c x an
n
0 1 2
2+ − + − + + − +( ) ( ) ... ( ) ... , onde
“a” e ci (0 ≤ i < ∞) são constantes, é classificada de série de potências em (x - a).
Se a = 0, temos uma série de potências em x.
Obs: Toda série de potências em (x - a) é convergente, pelo menos para x = a.
Ex.: x x x x
x
n
n
n
− + − + + − +1
2
1
3
1
4
12 3 4 ... ( ) ...
II.2.1 - Descrição do método de calcular funções por série de potências:
Seja y = f(x) uma função contínua e que todas as suas derivadas existam no domínio
que nos interessa.
Suponha que se conheça tudo da função no ponto x = 0, ou seja:
f (0) ⇒ valor da f (x) em x = 0
f ’(0) ⇒ inclinação da curva f (x) em x = 0
f ”(0) ⇒ curvatura da f (x) em x = 0
·
·
·
f n(0) ⇒ n-ésima derivada da f (x) em x = 0
 y
 0 x1 x2 x3 x
• Se x1 está bem próximo de x0, podemos fazer: f (x1) ≅ f(x0) ; e o erro será bem
pequeno.
• Para x2 um pouco afastado da origem, a melhor aproximação será dada pela
tangente à curva f (x) . A inclinação da tangente é dada por f ’(0).
A equação da reta é y = mx + b ⇒ f (x) = f ’(0)· x + b
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19
Para x = 0, tem-se b = f(0)
Logo, se x ∈ [0 , x2] → f (x) ≅ f(0) + f ’(0) · x
• Para x3 bem afastado da origem, uma melhor aproximação será dada pela parábola:
f (x) ≅ a0 + a1x + a2 x2 ; de tal forma que a0 = f(0) a1 = f ’(0)
Precisamos determinar a2 .
f ’(x) = a1 + 2 a2 x
f ”(x) = 2 a2 ⇒ a
f
2
0
2
= "( )
Então: f x f f x
f
x( ) ( ) ' ( )
"( )≅ + ⋅ + ⋅0 0 0
2
2
De um modo geral, para x afastado da origem o valor exato da f (x) será dado por um
polinômio de grau infinito, ou seja:
f x c c x c x c xn
n( ) ... ...= + + + + +0 1 2
2
Para se determinar c ii ( )0 ≤ < ∞ , apliquemos a derivaçãosucessiva de f (x) em x = 0:
f c
f x c c x c x nc x f c
f x c c x n n x f c
f x c n n n x f c
f n c f n c
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
( )
' ( ) ... ... ' ( )
"( ) ... ( )c ... "( )
"' ( ) ... ( )( )c ... "' ( )
.
.
.
( ) ! ... ( ) !
0
2 3 0
2 6 1 0 2
6 1 2 0 6
0 0
0
1 2 3
2 1
1
2 3
2
2
3
3
3
=
= + + + + + ⇒ =
= + + + ⋅ − + ⇒ =
= + + ⋅ − − + ⇒ =
= + ⇒ =
−
−
−
Dai, vem que:
c f
c f
c
f
c
f
c
f
nn
n
0
1
2
3
0
0
0
2
0
3
0
=
=
=
=
=
( )
' ( )
"( )
!
"' ( )
!
.
.
.
( )
!
Então:
f x f f x
f
x
f
x
f
n
x
n
n( ) ( ) ' ( )
"( )
!
"' ( )
!
...
( )
!
...= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +0 0 0
2
0
3
02 3 , que é o
desenvolvimento da f (x) em série de MacLaurin.
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20
Como muitas vezes é inconveniente, ou mesmo impossível, desenvolver uma função
em torno de x = 0 (caso do log. neperiano), então temos a generalização da série de MacLaurin
que é chamada Série de Taylor.
Consideremos f (x) satisfazendo a condição de continuidade e possuindo derivadas de
todas as ordens em um certo domínio de nosso interesse.
Suponha que se conheça o valor desta função e de suas derivadas no ponto x = a.
Formemos a seguinte série de potências:
f (x) = c c x a c x a c x an
n
0 1 2
2+ − + − + + − +( ) ( ) ... ( ) ...
Diferenciando f (x) e calculando x = a , determinamos c ii ( )0 ≤ < ∞ .
Dai, vem:
f x f a f a x a
f a
x a
f a
x a
f a
n
x a
n
n( ) ( ) ' ( ) ( )
"( )
!
( )
"' ( )
!
( ) ...
( )
!
( ) ...= + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + + ⋅ − +
2 3
2 3
; que é o desenvolvimento da f (x) em Série de Taylor.
Exemplo 1 : Desenvolver f (x) = sen x , em Série de MacLaurin.
f x x f
f x x f
f x x f
f x x f
f x x f
f x x
n
f
n
x f f x
f
x
f
n
x
x x
x x x
IV IV
n n
n
n
( ) sen ( )
' ( ) cos '( )
' ' ( ) sen ' ' ( )
' ' ' ( ) cos ' ' ' ( )
( ) sen ( )
.
.
.
( ) sen( ) ( ) sen
sen ( ) ' ( )
' ' ( )
!
...
( )
!
...
sen
! ! !
= → =
= → =
= − → =
= − → = −
= → =
= + → =
= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +
= − + −
0 0
0 1
0 0
0 1
0 0
2
0
2
0 0
0
2
0
3 5 7
2
3 5 7
π π
+ + ⋅ +...
sen( )
!
...
n
n
xn
π
2
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21
Exemplo 2: Desenvolver f (x) = ln x , em torno de x = 1.
...
)1()1(
...
4
)1(
3
)1(
2
)1(
)1(ln
...
!
)1()!1()1(
...
!4
)1(6
!3
)1(2
!2
)1(
)1(0ln
)!1()1()1()!1()1()(
.
.
.
6)1(6)(
2)1('''2)('''
1)1('')(''
1)1(')('
0)1(ln)(
1432
1432
11
4
3
2
1
+−−++−−−+−−−=
+−−−++−−−+−−−+=
−−=→−−=
−=→−=
=→=
−=→−=
=→=
=→=
+
+
+−+
−
−
−
−
n
xxxx
xx
n
xnxxx
xx
nfxnxf
fxxf
fxxf
fxxf
fxxf
fxxf
nn
nn
nnnnn
IVIV
Pergunta: para que valores de x este desenvolvimento do ln x é bom?
Caso 1 → x = 0
ln ...0 1
1
2
1
3
1
4
1
5
= − − − − − − não converge, ou melhor, tende a - ∞ .
Caso 2 → x = 1
ln 1 = 0
Caso 3 → x = 2
ln ...2 1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
= − + − + − + −
A convergência é garantida pelo Teorema de Leibnitz, que cujo enunciado
é:
“Se um série alternada c c c c c1 2 3 4 5− + − + −... satisfaz as condições:
1. Cada termo é, em módulo, menor que o anterior.
2. O limite dos termos é zero.
Então a série possui uma soma finita e, além disso, o erro que se comete ao
tomarmos n termos está entre zero e o termo de ordem (n + 1) não nulo .”
De acordo com o Teorema, a série converge:
O erro,
 se aproximarmos ..
5
1
4
1
3
1
2
1
12ln +−+−= = 0,78333 , está entre zero e
−





1
6
.
0,617 < ln 2 < 0,78333
ln 2 = 0,6931
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22
Caso 4 → x = 3
ln ...
ln ...
3 2 2
2
3
2
4
2
5
2
6
3 2 2
8
3
16
4
32
5
64
6
2 4 5 6
= − + − + − +
= − + − + − +
 não converge, pois cada termo, em
módulo, é maior que o anterior.
Obs:
1. Para x = 0 , o ln não existe e esse ponto é chamado de ponto singular.
2. O desenvolvimento em Série de Taylor só é válido para uma região
conhecida como região de convergência.
3. A região de converg6encia estende-se em todas as direções com um raio
igual a distância ao mais próximo ponto singular.
4. No desenvolvimento acima, o raio de convergência é igual a 1.
II.3 - Raio de Convergência:
Teorema: Seja c x an
n
n
( )−
=
∞
∑
0
uma série de potências em (x - a). Se
lim
n
n
n
c
c
R R
→∞
+
= ≤ ≤ ∞
1
0 , então R é raio de convergência da série de potências.
No desenvolvimento da Série de Taylor,
c
f a
n
f a
n
R
f a
n
f a
n
n
f a
f a
n
n
n
n
n
n
n n
n
n
= =
+
=
+
= +
+
+
→∞ + →∞ +
( )
!
( )
( )!
lim
( )
!
( )
( )!
lim( )
( )
( )
 c 1
1
1 1
1
1
1
Aplicação: (no cálculo de ln x )
f
f
R n
n
n n
n n
n n
n
n
n n n
( ) ( )
( ) ( )
lim( )
( )
( )
lim lim
1 1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 2
1
2
= −
= −
= + −
−
= + = +




 =
+
+ +
→∞
+
+ →∞ →∞
(n -1)!
n! 
(n -1)!
n!
II.4 - Erro de truncamento no desenvolvimento em série.
Considere a função f (x) desenvolvida em Série de Taylor em torno de x = a, ou
seja:
[f x f a f a x a f a x a f a x a f a x a
n
n n
Rn( ) ( ) ( )( )
( )( )
!
( )( )
!
...
( )( )
!
...,
,, ,,,
= + − + − + − + + − +
2 3
2 3
 
Sejam Rn os termos da série após o termo que envolve a n-ésima derivada.
Queremos uma expressão para Rn.
Se f (x) é contínua e suas derivadas existem em [a , x] , então:
f t dt f x f a f x f a f t dt
a
x
a
x
, ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⋅ = − ⇒ = + ⋅∫∫
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23
Comparando com o desenvolvimento em Série de Taylor, vem: R f t dt
a
x
0 = ⋅∫
,( )
Integremos R0 por partes:
 u = f ’(t) → du = f ”(t) dt
dv = dt → v = t - x
f t dt f t t x f t x t dt a x a f t x t dta
x
a
x
a
x
a
x
, , ,, , ,,( ) [ ( )( )] ( )( ) ( )( ) ( )( )⋅ = − + − = − + −∫ ∫∫ f
Logo:
f (x) = f (a) + R0
f (x) = f (a) + f a x a f t x t dt
a
x
, ,,( )( ) ( )( )− + −∫
R1 = f t x t dt
a
x
,,( )( )−∫
Integrando R1 por partes:
 u = f ”(t) → du = f ’”(t) dt
dv = (x - t) dt → v = − −( )x t
2
2
f t x t dt
f t x t f t x t dt f a x a f t x t dt
a
x
a
x
a
x
a
x
,,
,, ,,, ,, ,,,
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )− = − −





 +
− = − + −∫ ∫∫
2 2 2 2
2 2 2 2
 
Logo:
f x f a f a x a
f a x a f t x t dt
a
x
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( ),
,, ,,,
= + − + − + −∫
2 2
2 2
R2 = 
f t x t dt
a
x ,,,( )( )−
∫
2
2
Dai concluímos que:
R
f t x t dt
nn
n n
a
x
= −
+
∫
1( )( )
!
Vamos transformar Rn na forma Lagrangiana.
Para t ∈ [a , x], f n + 1 (t) possuí distintos valores. Seja m o menor desses valores e
M o maior deles.
m
x t dt
n
R M
x t dt
n
m
x t
n
R M
x t
n
m
x a
n
R M
x a
n
n
na
x n
a
x
n
a
x
n
n
a
x
n
n
n
( )
!
( )
!
( )
( )!
( )
( )!
( )
( )!
( )
( )!
− ≤ ≤ −
⋅ − −
+





 ≤ ≤ ⋅ −
−
+






⋅ −
+
≤ ≤ ⋅ −
+
∫ ∫
+ +
+ +
1 1
1 1
1 1
1 1
Existe ξ1 ∈ [a , x] tal que o resto sob a Forma Lagrangiana é
 
)!1(
)(
)(
1
1
1
+
−=
+
+
n
ax
fR
n
n
n ξ
OBS: Na prática, trabalhamos com uma cota superior para f n + 1 (t).,ou seja
 R M
x a
nn
n
≤ ⋅ −
+
+( )
( )!
1
1
 , onde M = máx | f n + 1 (t)| em [a , x]
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24
Exemplo: Determine o valor da constante exponencial , com erro inferior a 10-6.
A. Desenvolver f (x) = ex em série de MacLaurin
...
!
...
!4!3!2
1
1)()(
1)0(')('
1)0()(
432
+++++++=
=→=⋅
⋅
=→=
=→=
n
xxxx
xe
xfexf
fexf
fexf
n
x
nxn
x
x
Para x = 1 , temos:
...
!
1
...
!4
1!3
1
!2
1
11 +++++++=
n
e
B. Raio de Convergência
R n
n f
f
n
n
= + = ∞
→∞ →
→
+
lim ( )
( )
( )
1
1
1 1 0
0
 ⇒ Para x ∈ Reais temos a convergência
garantida.
C. Erro de Truncamento
R
M
x a
n
M x
M max e
n
n
n
x
<
−
+
<
=
→
→






=
⋅ <
+
<
→ <
−
+
−
−
−
−
10
1
10
10
3
1
10
10
6
1
6
6
6
6
( )
( )!
( )]
( )!
max [f em [0,1] 
0 ponto de desenvolvimento
1 ponto de calculo
 em [0,1]
M = e < 3
3 (1- 0)
(n + 1)!
Por tentativa temos que para n = 9 
3
10!
n+1
n+1
Então:
e
e
= + + + + + + + + +
=
1 1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2 7182807
! ! ! ! ! ! ! !
,
Obs: Pela calculadora o valor e = 2,718281828
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25
Lista de exercícios sobre a Unidade II
1) Desenvolva as funções abaixo em Série de MacLaurin:
a) f(x) = sen x
b) f(x) = cos x
c) f(x) = ex
2)
a) Desenvolva f(x) = ln x em Série de Taylor em torno de a = 1 .
b) Calcule o raio de convergência da Série acima.
c) Calcule ln 1,2 com 2 decimais exatas.
3) Calcule o raio de convergência do desenvolvimento em série das funções do exercício 1.
4)
a) Desenvolva f(x) = 1/ ex em serie de Taylor em torno do ponto a = 1.
b) Calcule o raio de convergência.
c) Calcule 1/ e1,3 com 3 decimais exatas.
5) Desenvolva f(x) = sen x em torno de a = π/2 , e determine o seno de 93o (graus) com
3 decimais exatas.
6) Desenvolva f(x) = x em torno de a = 1 e determine o valor e 1 4, com 3 decimais
exatas.
Trabalho Computacional: Desenvolver a função f (x) = sen (x) em Série de
Taylor em torno do ponto a = 1, e calcular f (1) com 30 termos, 60 termos e 100 termos que
aparecem no desenvolvimento. Compare os resultados obtidos com o valor obtido quando
utilizamos a função “ sen (x) ” pré-definida.
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26
 Unidade III - Resolução de Equações Algébricas Transcendentes
III.1 - Introdução
Existem fórmulas para resolução de equações algébricas em que f (x) é uma expressão
quadrática, cúbica ou biquadrática. No entanto, para equações em que f (x) é um polinômio de grau
superior a 4 ou uma função em que a incógnita figura em expressões logarítmicas, trigonométricas,
etc., podendo aparecer em expressões elementares, não existem fórmulas para resolver tais
equações.
Neste caso empregamos métodos gráficos ou numéricos.
III.2 - Métodos Gráficos
Seja a equação f (x) = 0 da qual se deseja determinar a raiz.
Graficamente existem 2 métodos
III.2.1 - Interseção da curva com o eixo das abcissas.
Neste caso, tabela-se a função e esboça-se o gráfico.
Exemplo: f (x) = x2 - 5x + 6 = 0 , nos pontos 0, 1, 2, 3, 4, 5.
III.2.2 - Interseção de duas curvas.
Neste caso, desdobramos f (x) em duas funções h (x) e g (x), de tal modo que:
f (x) = h (x) - g (x) = 0
O ponto de interseção de h (x) com g (x) fornece a raiz de f (x) = 0.
Exemplo: f (x) = sen x - cos x
h (x) = sen x
g (x) = cos x 



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27
III.3 - Métodos Numéricos
III.3.1 - Determinação do intervalo onde se encontra a raiz real
Suponha que a função f (x) seja continua em [a , b].
Admitindo-se que:
A. Se f (x) tem sinais diferentes em dois pontos de abcissas a e b, então a função se
anula pelo menos uma vez em [a , b] ou em geral um número ímpar de vezes.
B. Se f (x) tem sinal igual em dois pontos de abcissas a e b, ou f (x) não se anula em [a , b],
ou se anula um número par de vezes.
C. Se f (x) é constantemente crescente (decrescente) em [a , b], e se f '(x) tem sinal
determinado, e além disso o sinal de :
a) f (a) sinal de f (b)≠ , com certeza existe uma única raiz em [a , b].
b) f (a) sinal de f (b)= , não existe raiz em [a , b].
(a) (b)
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28
Exemplo:
Analise a existência de raízes da equação f (x) = x - cos = 0 , nos quatro
quadrantes.
Solução:
f (x) = h (x) - g (x)
h (x) = x → contínua
g (x) = cos x → contínua
f (x) é contínua em todo ℜ
f '(x) = 1 + sen x
A. 0
2
,
π



f
f
( )0 1 0
2 2
0
= − <





 = >
π π
f (x) é contínua em 0
2
,
π



f '(x) > 0 em 0
2
,
π



 ⇒ ∃ uma raiz em 0
2
,
π



_______________________________________
B. 
π π
2
,



f
f
π π
π π
2 2
0
1 0





 = >
= + >( )
f (x) é contínua em 
π π
2
,



f '(x) > 0 em 
π π
2
,



 ⇒ não existe uma raiz em
π π
2
,



C. π π, 3
2




f
f
( )π π
π π
= + >





 = >
1 0
3
2
3
2
0
f (x) é contínua em π π, 3
2




f '(x) > 0 em π π, 3
2




 ⇒ não existe uma raiz em






2
3
,
ππ
_______________________________________
D. 
3
2
2
π π,



f
3
2
3
2
0
π π




 = >
f ( )2 2 1 0π π= − >
f (x) é contínua em 
3
2
2
π π,



f '(x) > 0 em 
3
2
2
π π,



 ⇒ não existe uma raiz
em 
3
2
2
π π,



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29
III.3.2 - Método de Newton-Raphson (método das tangentes)
III.3.2.1 - Introdução
Seja a equação f (x) = 0 que possua uma raiz real em [a , b] .
O método consiste em traçar a tangente à curva f (x) em uma de suas
extremidades e determinar a interseção da tangente com o eixo das abcissas.
Se o ponto for a raiz, o problema está resolvido!
Caso contrário, determina-se o valor da f (x) nesse ponto e repete-se o
procedimento anterior.
O critério de parada desse procedimento é quando se encontra a raiz com a
precisão desejada.
 θ β
III.3.2.2 – Dedução da fórmula de iteração do Método
Do triângulo retângulo
temos:
tg
f a
x a
a
f a
x a
x a
f a
f a
θ = −
−
= −
−
= −
( )
( )
( )
( )
( ),
1
1
1
f ,
De modo análogo:
tg
f x
x x
x
f x
x x
x x
f x
f x
β =
−
−
=
−
−
= −
( )
( )
( )
( )
( ),
1
2 1
1
1
2 1
2 1
1
1
f ,
Generalizando:
x x
f x
f x
n n
n
n
+ = −1
( )
( ),
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III.3.2.3 - Critério de Fourrier  condição de convergência
Se aplicarmos o mesmo critério no extremo b, o intervalo para determinar a
raiz aumentaria.
Neste caso, para escolhermos adequadamente o extremo, aplicamos o
critério de Fourrier, que é:
a) f '(x) tem que ter sinal determinado em [a , b] .
b) f "(x) não pode se anular em [a , b] .
c) Escolhe-se o extremo em que f (x) · f "(x) > 0
Exemplo: Determine a raiz da equação f (x) = x + ln x = 0 , com 2 decimais
exatas.
Solução:
A. Método Gráfico:
f (x) = h (x) - g (x)
h (x) = ln x
g (x) = - x
f (0 , 5) < 0
f (0 , 6) > 0
Logo a raiz ∈ [0,5 ; 0,6]
B. Método numérico de Newton-Raphson
B.1 - Critério de Fourrier
a) f x
x
,( ) = + >1 1 0 em [0,5 ; 0,6] → sinal determinado
b) f x
x
,,( ) = − 1
2
 não se anula em [0,5 ; 0,6]
c) 
f
f
f
( , ) ,
( , )
( , ) ( , )
,,
,,
0 5 0193147
0 5 4
0 5 0 5 0
= −
= −




⋅ > f
Extremo escolhido 0,5 (x0 = 0,5)
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31
B.2 - Newton-Raphson
1o. Iteração:
x x
f x
f x
x
f
f
x
x
x x
1 0
0
0
1
1
1
1 0
0 5
0 5
0 5
0 5
01931471
3
0 5643823
0 0643823 0 001
= −
= −
= − −
=
− = >
( )
( )
,
( , )
( , )
,
( , )
,
, ,
,
,
 (*)
2o. Iteração:
x x
f x
f x
x
x x
2 1
1
1
2
2 1
0 5671389
0 00275668 0 001
= −
=
− = >
( )
( )
,
, ,
,
3o. Iteração:001,00000043,0
5671432,0
)(
)(
23
3
2
,
2
23
<=−
=
−=
xx
x
xf
xf
xx
Resp: x = 0,56 + 0,01
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III.3.3 - Erro de truncamento
Desenvolvendo-se f (x) em Série de Taylor e considerando até o termo que envolve
a segunda derivada, temos:
f x f a f a x a f
x a
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ), ,,= + ⋅ − + ⋅ −ε1
2
2
, onde ε1 ∈ [a , x]
Seja x a raiz de f (x) = 0 ⇒ f ( x ) = 0
0 = f (a) + f ’(a)·( x - a) + f
x a,,( )
( )ε1
2
2
⋅ −
Supondo f ’(a) ≠ 0 , vamos dividir a expressão acima por f ’(a).
2
)(
)(
)(
)(
)(
2
)(
)(
)(
)(
)(
)(
0
2
_
,
1
,,
,
2
_
,
1
,,
,
ax
af
f
af
af
ax
ax
af
f
ax
af
af
−⋅−−=
−⋅+−+=
ε
ε
Os dois primeiros termos do segundo membro da igualdade acima é a aproximação
de x , segundo Newton-Raphson.
O erro que se comete no método de Newton-Raphson é: 
2
)(
)(
)( 2
_
,
1
,, ax
af
f
ET
−⋅= ε
Como não se conhece ε1 e x , então avaliamos o erro por meio de cotas superiores.
Seja:
h b a
k x
k h
f a
= −
=




< ⋅
⋅ max f em [a , b]
 Logo: E,, T( ) ( ),
2
2
 → Observação: a convergência do método
de Newton-Raphson é quadrática.
Exemplo:
Resolva a equação: f (x) = x · (log x) - 5 = 0, sabendo que a raiz pertence ao
intervalo [6,7]. Após 2 iterações qual é a precisão do resultado?
Solução:
A. Critério de Fourrier
A.1 - f '(x) tem que ter sinal determinado em [6,7].
f x x x
x
e
f x x c 
,
,
( ) log log
( ) log
= + ⋅
= +
1
> 0 em [6,7]
A.2 - f "(x) não pode se anular em [6,7]. De fato
f x
x
e,,( ) log= >1 0 em [6,7].
A.3 - Escolha do extremo
f x f x
f f
( ) ( )
( ) ( )
,,
,,
⋅ >
⋅ >
0
7 7 0
B. Método de Newton-Raphson
1o. Iteração:
x
f
f
1 7
7
7
6 2842804= − =( )
( )
,
,
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Análise do erro:
 ET <
⋅
⋅
k h
f a
2
2 ,( )
 ⇒ 6 < 6,28 < 7
h = 7 - 6,2842804
k = máx |f "(x)| em [6,28 ; 7] = 
log
,
e
6 284804
a = 7 → f ’(7)
0,013835=
1,27939242
0,0691080,5122545
E
×
×< ; Temos 1 significativo
exato.
2o. Iteração:
x = x -
f (x
f
= 6,2709245 2 1
1
,
)
( )x1
Análise do erro: ⇒ 6 < 6,27 < 6,28 < 7
h = 6,2842804 - 6,2709245
k = máx |f "(x)| em [6,27 ; 6,28]
a = 6,2842804
E T< 0,00000501137 ⇒ 5 decimais exatas.
III.3.4 - Método das Partes Proporcionais
O método consiste em determinar a raiz da equação f (x) = 0, sabendo que a
mesma pertence ao intervalo [a , b], no qual f (a) · f (b) < 0.
Substituímos o arco AB  ponto A (a , f (a) ) e ponto B (b , f (b) )  pela corda
AB, que determina um ponto P (x , 0) no eixo das abcissas. Se x1 for a raiz, já se alcançou o
objetivo. Caso contrário, repete-se o processo acima descrito.
O critério de parada é dado pela condição: | xn+1 - xn | < ε, onde ε é a precisão
desejada para a raiz.
C(b, f(a))C1C2
R
B1
B2
PP2 P1
A(a,f(a))
B(b,f(b))
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III.3.4.1 - Fórmula de iteração para calcular a raiz:
∆ ∆ ABC PRB
PR
AC
≈
= ⇔ −
−
= −
−
= − −
−
RB
CB
b x
b a
f b
f a f b
x b
b a
f b f a
f b
1
1
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
De modo análogo:
∆ ∆ AC P PB
P P
AC
1 1
1
1
1 1
1
1 1
2 1
1
1
1
2 1
1
1
1
B
PB
C B
x x
x a
f x
f a f x
x x
x a
f x f a
f x
≈
= ⇔ −
−
= −
−
= − −
−
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
Generalizando:
Observações:
1) Se a função for constantemente crescente, o extremo fixo é o B (b , f (b) ),
 e a fórmula de iteração será:
2) Para se escolher o extremo fixo, basta aplicar a condição:
f (x) · f "(x) > 0
3) Este método também é conhecido como “Regula Falsi” ou Falsa
Posição.
4) A convergência do método não é quadrática e nem linear.
)(
)()(1 nn
n
nn xfafxf
ax
xx
−
−−=+
)(
)()(1 nn
n
nn xfbfxf
bx
xx
−
−−=+
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III.3.5 - Método das Aproximações Sucessivas
Queremos determinar a raiz de f (x) = 0 e f (x) de tal forma que pode ser
escrita como h (x) - g (x) , onde g (x) = x e consequentemente , x = h ( x)
Representação gráfica do método.
 h(x)
 x0
Seja x0 uma aproximação inicial para solução de x = h (x).
x1 = h (x0)
Como aproximação seguinte, toma-se x2 = h (x1). E assim sucessivamente até
determinar a solução.
De um modo geral: xn = h ( xn-1 ), onde xn é a raiz procurada.
O método das aproximações sucessivas só converge no caso em que | h '(x) < 1
|.
Se | h '(x) | > 1 , acontece que a cada iteração nos afastamos mais da raiz.
1.1.1 Convergência do Método
A conclusão da convergência do método pode ser provada por um raciocínio
elementar. Note que: x = h (x ) ⇒ xn = h (xn - 1) ⇒ xn - x = h (xn-1) - h (x ).
Multiplicando-se à direita por 
( )
( )
x x
x x
n
n
−
−
−
−
1
1
 e utilizando o teorema do valor médio
temos: )( onde ,)( )( 11
, xxxxhxx nnn −∈−=− −− ξξ .
Seja M o valor máximo absoluto de h (x) no intervalo [a , b] :
| xxn − | ≤ M |x xn− −1 |
Mas,  x xn− −1 | ≤ M  xxn −−2 , então
 | xxn −  ≤ M2  xxn −−2 
E assim sucessivamente:
| xxn −  ≤ M n | xx −0 |
Se M< 1 em todo intervalo [a , b] seja qual for a escolha de x0, quando n
aumentar, o membro à direita tornar-se-á menor e xn se aproximará de x .
O critério de parada é quando duas iterações sucessivas diferirem por um dado
ε.
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Exemplo:
Determinar a raiz da equação f (x) = x2 – sen x = 0, com 4 casas decimais e x0 =
0,9
Solução:
Há vários modos de se escolher h(x), vejamos:
h1(x) = x
2 + x– sen x e g (x) = x
h2 (x) = senx e g (x) = x
h3 (x) = arc sen x e g (x) = x
Analisando, as primeiras derivadas das 3 funções, temos:
Logo:
x = 0,7071 ± 0,0001
III.3.6 - Problema das Raízes Múltiplas
Suponha que f (x) = 0 admita várias raízes reais iguais.
Por exemplo: f (x) = x3 - 11x2 + 39x - 45 = 0 , admita a raiz dupla x = 3 e a raiz
simples x = 5.
Podemos empregar um dos métodos vistos, ou especificamente o método de
Newton-Raphson , e eliminar cada raiz encontrada. Isto é, se f (x) = an x
n
 + an - 1 x
n - 1 + ... + a0
é um polinômio de grau n e possuí n raízes, então f (x) = an (x - x1) (x - x2) (x - x3) ... (x - xn) ,
onde x1 , x2 , x3 , ... , xn são as raízes de f (x) = 0.
Quando as raízes são múltiplas, então vários xi são iguais entre si.
Para eliminarmos uma raiz da função f (x) basta dividir a função por (x - xi).
Obtemos uma f1 (x) que é um polinômio de grau n-1 e procuramos as
raízes de f1 (x) = 0 .
A divisão sintética por uma raiz encontrada a fim de eliminá-la da função
original dada é chamada deflação da função original e pode ser efetuada pelo computador
usando o seguinte algoritmo:
Suponha que f
(x) = am x
m + ...+ a0 , é dividido por (x - xn).
Obtemos :
Q (x) = bm x
m - 1 + bm - 1 x
m - 2 +...+ b0
R (x) = f (xn)
Para se obter bi utilizamos a seguinte fórmula de recorrência.
bm = am
bi = ai + bi + 1 xn i = (m - 1), (m - 2), ..., 2, 1.
Exemplo:
Determinar as raízes de x3 - 11x2 + 39x - 45 = 0 , no intervalo [2 , 6], com 2
decimais exatas.
Solução:
f '(x) = 3x2 - 22x + 39 → f "(x) = 6x - 22
f
f
f f
( )
( )
( ) ( )
,,
,,
6 9
6 24
6 6 0
=
=




⋅ >
Apliquemos Newton-Raphson no extremo 6 :
)(
)()(1 nn
n
nn xfbfxf
bx
xx
−
−−=+
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→ x0 = 6 ⇒ x1 = 6 - 
f
f
( )
( ),
6
6
 = 6 - 
9
15
 = 5,4 ⇒ x1 - x0 = 0,6
→ x f
f
x x2 2 15 4
5 4
5 4
5 4
2 30
7 68510 0 3= − = − = ⇒ − =, ( , )
( , )
,
,
,
, ,,
→ x f
f
x x3 3 251
51
51
51
0 44
4 83
5 01 0 09= − = − = ⇒ − =, ( , )
( , )
,
,
,
, ,,
→ x f
f
x x4 4 35 01
5 01
5 01
5 01
0 04
4 08
5 00 0 01= = − = ⇒ − =, ( , )
( , )
,
,
,
, ,,
Logo x 1 = 5,00
Façamos a divisão de f (x) por x -5.
Utilizamos a fórmula de recorrência.
R (x) = f (5) = 0
f1(x) = bm x
m - 1 + bm - 1 x
m - 2 + ... + b1 ≡ b3 x2 + b2x + b1
b a
b a b x
m m
m m m
= =
= + ⋅


 − −
1
1 1
b3 = a3 = 1
b2 = -11 + (1·5) = -6
b1 = 39 + ((-6)·5) = 9 ∴ f1(x) = x2 - 6x + 9
Busquemos as raízes de f1(x) = 0 no intervalo [2 , 5]
f1’(x) = 2x - 6
f1’(2) = 1 → f1”(2) = 2
f1’(5) = 4 → f1”(5) = 2 f (5) · f ”(5) > 0
Apliquemos o método de Newton-Raphson no extremo 5.
→ x0 = 5
→ x1 = 5 - 
f
f
x x1
1
1 0
5
5
5
4
4
4 1
( )
( ),
= − = ⇒ − =
→ x f
f
x x2
1
1
2 14
4
4
4
1
2
3 5 0 5= − = − = ⇒ − =( )
( )
, ,,
→ x f
f
x x3
1
1
3 23 5
3 5
3 5
3 25
0 25
1
3 25 0 25= − = − = ⇒ − =, ( , )
( , )
,
,
, ,,
→ x
f
f
x x4
1
1
4 33 25
3 25
3 25
3 25
0 06
0 5
3 25 012= − = − = ⇒ − =,
( , )
( , )
,
,
,
, ,
,
→ x f
f
x x5
1
1
5 4313
313
313
313
0 02
0 26
3 05 0 08= − = − = ⇒ − =, ( , )
( , )
,
,
,
, ,,
→ x f
f
x x6
1
1
6 53 05
3 05
3 05
3 05
0 002
01
3 03 0 02= − = − = ⇒ − =, ( , )
( , )
,
,
,
, ,,
→ x f
f
x x7
1
1
7 63 03
3 03
3 03
3 03
0 0009
0 06
3 01 0 02= − = − = ⇒ − =, ( , )
( , )
,
,
,
, ,,
→ x f
f
x x8
1
1
8 73 01
3 01
3 01
3 01
0 0001
0 02
3 00 0 02= − = − = ⇒ − =, ( , )
( , )
,
,
,
, ,,
→ x f
f
x x9
1
1
9 83 00
3 00
3 00
3 00 0 00= − = ⇒ − =, ( , )
( , )
, ,,
Logo x 2 = 3,00
Partamos em busca da outra raiz. Façamos a divisão de f1 (x) por (x - 3):
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38
R (x) = f1 (3) = 0
f2 (x) = b2 x + b1
b a
b
f x x2 2
1
2
1
6 1 3 3
3
= =
= − + × = −



∴ = −
( ) ( )
( )
Mas a raiz de f2 (x) é 3. Logo as raízes são 3, 3 e 5.
III.3.7 - Raízes Complexas - Método de Newton-Raphson
Seja f (x) = 0 uma equação em os coeficientes são reais, mas que admita raízes
complexas.
Neste caso a equação admitirá um número par de raízes complexas e se x1 = α +
βi for raiz de f (x) = 0 então x2 = α - βi também será raiz de f (x) = 0.
Podemos empregar o método de Newton-Raphson: x x
f x
f xi i
i
i
+ = −1
( )
( ),
, sendo
que a estimativa inicial x0 é complexa.
Exemplo : f (x) = x2 + x + 1
Solução:
Como todos os coeficientes são reais, a equação é do 2o. grau e ∆ < 0,
então deve admitir 2 raízes complexas.
Façamos x0 = 1 + i ⇒ f ’(x) = 2x + 1
1. 
x i
f i
f i
i
i
i
i
i i
i
i
i i i i
1 1
1
1
1
2 3
3 2
1
2 3 3 2
9 4
1
12 5
13
1
12
13
5
13
1
13
8
13
0 77 0 62
= + − +
+
= + − +
+
= + − + −
+
⇒
⇒ + − +




 = + − +




 = + = +
( )
( )
( )( )
, ,
,
2. x i
f i
f i
i2 0 77 0 62
0 77 0 62
0 77 0 62
0 52 0 63= + − +
+
= − +( , , ) ( , , )
( , , )
, ,,
3. x i
f i
f i
i3 0 52 0 63
0 52 0 63
0 52 0 63
0 49 0 91= − + − − +
− +
= − +( , , ) ( , , )
( , , )
, ,
,
4. x i
f i
f i
i4 0 49 0 91
0 49 0 91
0 49 0 91
0 4997 0 8670= − + − − +
− +
= − +( , , ) ( , , )
( , , )
, ,,
5. x i
f i
f i
i5 0 4997 0 8670
0 4997 0 8670
0 4997 0 8670
0 499999963 0 86602591= − + − − +
− +
= − +( , , ) ( , , )
( , , )
, ,,
6. x x
f x
f x
i6 5
5
5
0 49999999 0 86602540= − = − +( ) ( )
( )
, ,,
7. x x
f x
f x
i7 6
6
6
0 5 0 86602540= − = − +( ) ( )
( )
, ,,
8. x x
f x
f x
i8 7
7
7
0 5 0 86602540= − = − +( ) ( )
( )
, ,,
Logo x = − +0 5 0 86602540, , i
Observação: Estes resultados foram retirados do livro do Stark, página 122.
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39
Lista de exercícios sobre a Unidade III
1) Dada a equação f(x) = x3 - 3x - 1 = 0, determine os intervalos de amplitude 1, onde
se encontram as suas raízes.
2) Determine a raiz da equação f(x) = x ex - 2 = 0, com duas decimais exatas, usando o
método de Newton-Raphson.
3) Determine as raízes de f(x) = x2 - 2 = 0, com 4 decimais exatas, usando o método das
partes proporcionais.
4) Determine as raízes de f(x) = (5 - x) ex - 5 = 0, com 3 decimais exatas.
5) Determine as raízes de f(x) = x3 - 0,2 x2 - 0,2 x - 1,2 = 0, com 4 decimais exatas.
6) Determine as raízes de f(x) = x3 - 4 x + 2 = 0, com 3 decimais exatas.
7) Dada f(x) = tg x - x = 0, determine :
a) o intervalo onde se encontram as raízes reais;
b) a menor raiz positiva, com 3 decimais exatas, pelo método de Newton-
Raphson.
8) Idem para a equação f(x) = x2 - sen x = 0.
Trabalho Computacional: Programar o método de Newton-Raphson para
determinar a raiz da equação : f (x) = x3 - 0,2x2 - 0,2x -1,2 = 0 , com 8 decimais exatas.
Imprima cada iteração e o erro cometido em cada uma.
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44
Unidade IV - Sistemas Lineares
IV.1 - Introdução
O Problema que aparece no cálculo de estruturas, em redes elétricas, e em solução de
equações diferenciais é o da resolução de um sistema linear de “ n ” equações a “ n ” incógnitas. Sn
é um sistema tal que:
S
a x x x
a x x x
a x x x
n
n
n n
n n nn n
=
+ +
+ +
+ +







11 1 12 2
21 1 2 2
1 1 2 2
 a + a = b
 a + a = b
+ 
 a + a = b
1n 1
22 2
n
Λ
Λ
Μ Μ Λ Μ Μ
Λ
 S an
j
n
= ≤ ≤
=
∑ i j j x (1 i n)
1
Sob a forma matricial Sn pode ser escrito como A x = b, onde A é uma matriz de ordem
“ n ” , b e x são matrizes n × 1.
A matriz B = 
a a a b
a a a b
a a a b
n
n
n n nn n
11 21 1 1
21 22 2 2
1 2
Λ
Λ
Μ Μ Λ Μ Μ
Λ












 é chamada de matriz estendida do sistema Sn .
Definição:
O vetor x = ( x 1 , x 2 , ... , x n ) 
t constitui uma solução para Sn se para xi = x i 
(1≤ i ≤ n) as equações de Sn forem satisfeitas.
Um sistema linear pode ser classificado do seguinte modo:
1. Compatível (quando possuí solução):
a. Determinado (única solução)
b. Indeterminado (infinitas soluções)
2. Incompatível (quando NÃO possuí solução)
Exemplos:
1) O sistema Ax = 0 é homogêneo e todo sistema homogêneo é compatível, pois admite
pelo a solução trivial.
2) O sistema S2 = 
x x
x x
1 2
1 2
0
1
+ =
+ =



 é incompatível. Geometricamente temos:
 x 2
x1 + x2 = 0
 x 1
 x1 + x2 = 1
As retas são paralelas
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45
3) O sistema S2 = 
x x
x x
1 2
1 2
0
0
+ =
− =



O sistema é incompatível e determinado. Geometricamente temos:
 x 2
 x1 - x2 = 0
 x 1
 x1 + x2 = 0
4) O sistema S2 = 
 x x1 2
1 2
0
2 2 0
+ =
− =


 x x
 é incompatível indeterminado. Geometricamente
temos:
 x 2
x 1
Retas Coincidentes
 x1 + x2 = 0
2x1 + 2x2 = 0
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46
IV.1.1 - Sistemas triangulares
Seja Sn um sistema da forma Ax = b, onde A = ai j tal que:
aij = 0 se j < i com i, j = 1, n ou:
S
 a
 
 a
n
22
nn
=
+ + + =
+ + =
=







a x a x a x b
x a x b
x b
n n
n n
n n
11 1 12 2 1 1
2 2 2
...
...
Ο Μ Μ Μ
 Um sistema deste tipo é dito triangular superior.
Observe que os sistemas triangulares superiores determinados, isto é, quando ai j ≠ 0
(i, j = 1,n) são facilmente resolvidos pelo processo retroativo, que consiste em:
a) Obter o valor de xn da n-ésima equação por meio da relação:
xn = 
b
a
n
nn
 (ann ≠ 0)
b) Substituir o valor de xn na equação de ordem (n-1) para obter xn - 1 . E assim
sucessivamente, até calcular x1 .
Se algum elemento da diagonal principal for zero, teremosa situação:
ax ,se:1 = −
= +
∑b a xij j
j i
n
1
1
b a xij j
j i
n
1
1
=
= +
∑ → sistema indeterminado
b1 ≠
= +
∑a xij j
j i
n
1
 → sistema incompatível
Exemplo:
Resolver o S4 pelo processo retroativo: S
 
 x x - 2x 
 4x - 5x 
 2 
4
4
3 4
=
+ − + = −
+ = −
=
=







3 4 5 10
1
3
2
1 2 3 4
2 3
4
x x x x
x
Solução:
Da 4a. equação vem: x4
2
2
1= =
Da 3a. equação vem: x3
3 5
4
2= + =
Da 2a. equação vem: x2
1 2 2
1
1= − − + = −
Da 1a. equação vem: x1
10 4 10 1
3
1= − + + − = Resposta : x = (1 -1 2 1)
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47
IV.1.2 - Norma de um vetor
Norma de um vetor x = (x1 , x2 , x3 ,..., xn) é todo número real denotado por || ||,
associado a x, que satisfaz a:
1. || x || > 0 e || x || = 0 ↔ x = 
ρ
0
2. || x + y || ≤ || x || + || y || onde x, y ∈ rn
3. || c · x || = | c | · || x || onde c ∈ r
Definição 1: A maior componente em módulo do vetor x é uma norma para x.
|| x || = máx | xi | onde 1 ≤ i ≤ n
x = (3 – 50) x + y = (5 – 4 3 ) ||x|| = 5 ||x + y|| = 5 ≤ ... ||x|| + ||y|| = 8
y = (2 1 3) ||y|| = 3
Seja c = -2
c · x = (-6 10 0) || c x || = 10 = | c | · || x ||
Definição 2: O | |xi
i
n
=
∑
1
 também é uma norma para o vetor x. É conhecida como norma c.
IV.1.3 - Transformações elementares
São operações sobre as equações dos sistemas lineares, tais como:
a) Trocar a ordem de duas equações do sistema;
b) Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula;
c) Adicionar duas equações do sistema.
Definição : Dois sistemas lineares Sn e Sn’ são equivalentes quando Sn’ é obtido de Sn
por meio de transformações elementares. Nesse caso, Sn tendo solução, Sn’ também terá.
Os métodos para resolução de sistemas lineares são:
I - Métodos de eliminação.
II - Métodos iterativos.
IV.2 - Método de eliminação de Gauss
Dado o sistema Sn , a matriz estendida é: B
a a a b
a a a b
a a a b
n
n
n n nn n
=












11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
Λ
Λ
Μ Μ Μ Μ Μ
Λ
O método de Gauss consiste em transformar a matriz B em uma matriz triangular
superior, da seguinte forma: 
1
0 1
0 0 1
0 0 0 1
12
1
13
1
1
1
1
1
23
2
2
2
2
2
3
3
3
3
a a a b
a a b
a b
b
n
n
n
n
n
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
Λ
Λ
Λ
Μ Μ Μ Μ Μ Μ
Λ
















, onde os índices superiores
indicam o número de modificações realizadas em cada linha.
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48
Aplica-se o processo retroativo para se obter a solução desejada.
Algoritmo do método:
Eliminação de ordem k:
1. Supondo akk
( k - 1) ≠ 0, dividir a linha lk( k -1) por akk( k - 1) (“pivô”), obtendo-se
assim uma nova linha lk
( k ) .
2. “Zerar” os elementos aik (i = i +1, n) usando-se a transformação:
l i 
(k) = li 
(k - 1) - ai k · lk 
(k) , com (k = i +1, n) e (i = 2, n) .
IV.2.1 - Condensação pivotal parcial
Os métodos de eliminação são exatos, mas podem conduzir a soluções errôneas devido
ao erro de arredondamento.
Para evitar isto, usaremos a condensação pivotal parcial, cujo procedimento é redispor
as linhas de tal forma que a linha do elemento pivô permaneça fixa e que o elemento pivô seja
escolhido dentre os elementos da coluna que tem o maior valor absoluto.
A finalidade da condensação pivotal parcial é:
1. Minimizar o erro de arredondamento.
2. Evitar a divisão por zero.
3. Testar a singularidade do sistema.
Exemplo: Resolver o sistema S
x x x
x x x
x x x
3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 40 39
36 106 7 63
25 5 12 32
=
+ =
+ + = −
+ + =





 +
 
 
 pelo método de
eliminação de Gauss com condensação pivotal parcial.
Solução:
2 3 40 39
36 106 7 63
25 5 12 32
36 106 7 63
2 3 40 39
25 5 12 32
36
2
25
1 2 94 019 1 75
0 2 88 39 62 42 5
0 68 5 7 25 75 5
1
1
1
2
1
2 1
1
3
1
3 1
1
−










→
−









→
=
= −
= −
→
−
−
−










→
CPP
L L
L L L
L L L
( )
( ) ( )
( ) ( )
/ , , ,
, , ,
, , ,
→
−
−
−










→
= −
= +
→
−
− −










→
CPP L L
L L L
1 2 94 019 1 75
0 68 5 7 25 75 75
0 2 88 39 62 42 5
68 5
2 88
1 2 94 019 1 75
0 1 0 106 1106
0 0 39 315 39 315
2
2
2
1
3
2
3
1
2
2
, , ,
, , ,
, , ,
/ ( , )
,
, , ,
, ,
, ,
( ) ( )
( ) ( ) ( )
→ = →
−
− −










L L3
3
3
1 39 315
1 2 94 0 19 1 75
0 1 0106 1106
0 0 1 1
( ) ( ) / ,
, , ,
, ,
Pelo Processo Retroativo:
x3 = 1
x2 = - 1,106 + 0,106 = -1
x1 = -1,75 - 0,19 + 2,94 = 1 Resp.: x = (1 -1 1)
t
IV.3 - Métodos Iterativos
A solução x de um sistema linear AX = B pode ser obtida utilizando-se um método
iterativo, que consiste em gerar uma seqüência de soluções x(1), x(2), x(3), ..., x(k), aproximações de
x , sendo dada uma aproximação inicial x(0).
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Para se aplicar o método é necessário transformar o sistema dado em: x = F (x) + d ,
onde:
• F é uma matriz de ordem n, chamada de matriz iteração;
• x, d são matrizes n × 1
Sendo x(0) = (x1
(0), x2
(0), ..., xn
(0)) a aproximação inicial, determinamos:
x Fx d
x Fx d
x Fx d
x Fx dk k
(1) ( )
( ) (1)
( ) ( )
( ) ( )
= +
= +
= +
= +−
0
2
3 2
1
Μ Μ 
O critério de parada é dado por lim ( )
k
kx x
→∞
− = 0 . Neste caso, temos x(k) como solução
aproximada.
Obs.: x x má x x xk i
k
i
( ) ( )− = −
≤ ≤1 i n
IV.3.1 - Método de Jacobi
Considere o sistema: S
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n
n n
n n
n n nn n n
=
+ + + =
+ + + =
+ + + =







11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
 Μ Μ Κ Μ Μ
Explicitemos x1 na 1ª equação
 x2 na 2ª equação
 Μ Μ
 x n na n-ésima equação
Daí resulta:
x
)(
1
k
 = 1 (b1 – a12 x2 – a13 x
)1( −k
x - ... – a1n x
)1( −k
n
 a11
x )(
2
k
 = 1 (b2 – a21 x
)1(
1
−k
 – a23 x
)1( −k
x - ... – a2n x
)1( −k
n
 É necessário que aii ≠ 0 (i = 1,n).
 a22
 .
 .
 .
xn
(k)
 = 1 (bn– an1 x
)1(
1
−k
 – an2 x2
(k-1) - ... – an n-1 x
)1(
1
−
−
k
n
 a
nn
Desse modo, podemos escrever o sistema da forma x = F x + d.
x = (x1 , x2, ..., xn )
t
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50
F
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
nn
n
nn
n
nn
=
− − −
− − −
− − −
















0
0
0
12
11
13
11
1
11
21
22
23
22
2
22
1 2 3
Λ
Λ
Μ Μ Μ Λ Μ
Λ
d
b
a
b
a
b
a
n
nn
t
=





1
11
2
22
Λ 
O método de Jacobi consiste em:
1. partindo-se da aproximação inicial x(0)
2. gera-se a seqüência de aproximações x(1), x(2), ..., x(k)
3. como critério de parada, utilizamos x xk k( ) ( )− <−1 ε , onde ε = precisão desejada
para raiz.
Exemplo: Resolver o sistema: S
x x
x x2
1 2
1 2
2 1
2 3
=
− =
+ =



 pelo método de Jacobi, com 2 casas
decimais exatas.
Solução: Equações de iteração:
x x
x x
X
k k
k k
1 2
1
2 1
1
0
1
2
1
1
2
3
0 9
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ,
= +
= −
=
−
−
 0,9)
1ª. Iteração
x )1(1 = ½ (1+0,9) = 0,95
x )1(2 = ½ (3- 0,9) = 1,05
||x(1) – x(0)|| = ||0,95 – 0,9) (1,05 – 0,9) || = ||(0,5) (0,15)|| = 0,15 > 10-3
2ª. Iteração
 x )2(1 = ½ (1+1,05) = 1,025
 x )2(2 = ½ (3 – 0,95) = 1,025
 ||x(2) – x(1)|| = 0,075 > 10-3
3ª.Iteração
 x )3(1 = ½ (1+1,025) = 1,0125
 x )3(2 = ½ (3 – 1,025) = 0,9875
||x3 – x2 || = 0,0375 > 10-3
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51
4ª. Iteração
 x1
(4) = ½ (1+ 0,9875) = 0,99375
 x2
(4) = ½ (3 – 0,9875) = 0,99375
 ||x4 – x3 || = 0,01875 > 10-3
5ª. Iteração
 x1
(5) = ½ (1+ 0,99375) = 0,996875
 x2
(5) = ½ (3 – 0,99375) = 1,003125
 ||x(5) – x(4)|| = 0,009375 > 10-3
6ª. Iteração
 x1
(6) = ½ (1+ 1,003125) = 1,0015625
 x2
(6) = ½ ( 3 – 0,996875) = 1,0015625
 ||x(6) – x(5)|| = 0,0046875 > 10-3
7ª. Iteração
 x1
(7) = ½ (1 + 1, 003125) = 1,00078125
 x2
(7) = ½ (3 – 0.996875) = 0,99921875
||x(7) – x(6)|| = 0,00234375 > 10-3
8ª. Iteração
x1
(8) = ½ (1 + 0,99921875) = 0,99960938
x2
(8) = ½ (3 – 1,00078125) = 0,99960938
||x(8) – x(7)|| = 0,00117187 > 10-3
9ª. Iteração
x1
(9) = ½ (1 + 0,99960938) = 0,99980469
x2
(9)= ½ (3 – 0,99960938) = 1,00019531
||x(9) – x(8)|| = 0,00058593 < 10-3
 _
Resp: x = ( 0,99 1,00)t ± (0,01 0,01)t
 
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52
IV.3.2 - Método de Gauss-Seidel
Seja o sistema AX = b, na forma X = F X + b.
O método iterativo de Gauss-Seidel consiste em:
1. partindo-se da solução inicial x(0) = ( x1
(0) x2
(0) x3
(0) ... xn
(0) )
2. gerar a seqüência de aproximações x(1), x(2), ..., x(k) através das equações de
iteração: 
) ... (
1
 
) ... (
1
) ... (
1
) ... (
1
)(
1)1(
)(
22
)(
11
)(
)1(
3
)(
332
)(
2313
33
)(
3
)1(
2
)1(
323
)(
1212
22
)(
2
)1(
1
)1(
313
)1(
2121
11
)(
1
k
nnn
k
n
k
nn
nn
k
n
k
nn
kkk
k
nn
kkk
k
nn
kkk
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x
−−
−
−−
−−−
−−−−=
−−−−=
−−−−=
−−−−=
ΜΜΜ
3. Como critério de parada utilizamos || x(k) - x(k - 1) || < ε ∴ε a precisão desejada.
 Obs.: Este método converge mais rápido que o de Jacobi.
Exemplo: Resolver o sistema: 
2x x
 x
1 − =
+ =



2
1 2
1
2 3x
 pelo método de Gauss-Seidel com 2
casas decimais.
1ª. Iteração
x(0) = (0,9 0,9) ε = 0,001
 
3)0()1(
)1(
2
)(
1
)(
2
)1(
1
)1(
2
)(
1
10125,0
025,1)95,03(
2
1
)3(
2
1
95,0)9,01(
2
1
)1(
2
1
−
−
>=−
=−=⇒−=
=+=⇒+=
xx
xxx
xxx
kk
kk
2ª. Iteração
x
x
x x
1
2
2
2
2 1 3
1
2
1 1 025 1 0125
1
2
3 1 0125 0 99375
0 0625 10
( )
( )
( ) ( )
( , ) ,
( , ) ,
,
= + =
= − =
− = > −
3ª. Iteração
x
x
x x
1
3
2
3
3 2 3
1
2
1 0 99375 0 996875
1
2
3 0 996875 1 0015625
0 015625 10
( )
( )
( ) ( )
( , ) ,
( , ) ,
,
= + =
= − =
− = > −
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53
4ª. Iteração
3)3()4(
)4(
2
)4(
1
100039063,0
9996094,0)0007813,13(
2
1
0007813,1)0015625,11(
2
1
−>=−
=−=
=+=
xx
x
x
5ª. Iteração
3)4()5(
)5(
2
)5(
1
100009766,0
0009765,1)9992187,03(
2
1
9998047,0)9996094,01(
2
1
−<=−
=−=
=+=
xx
x
x
Resp: x = (0,99 1,00)t ± (0,01 0,01)t
IV.3.3 - Convergência dos métodos iterativos
Seja o sistema AX = b, na forma:
(1) x = F x + d , e a iteração definida por:
(2) x (k + 1) = F x (k) + d
Subtraindo (1) de (2) → x (k + 1) - x = F (x (k) - x)
Fazendo e(k + 1) = x (k + 1) - x → e(k + 1) = F e(k)
Teorema : A condição suficiente para que a iteração dada em (2) convirja é que os
elementos f i j da matriz F satisfaçam a desigualdade: | |f Li j
i
n
< <
=
∑ 1
1
 j = 1, n
Corolário 1: (Critério das linhas)
A condição suficiente para que a iteração dada em (2) convirja é que:
| | | |a ai i i j
j
j i
n
>
=
≠
∑ i = 1, n
1
Corolário 2: (Critério das colunas)
A condição suficiente para que a iteração dada em (2) convirja é que:
| | | |a aj j i j
i
i j
n
>
=
≠
∑ j = 1, n
1
Observações:
1. A matriz que satisfaz a hipótese dos corolários 1 ou 2 é chamada de matriz
diagonal dominante estrita.
2. Na prática são usados os critérios de suficiência expressos nos corolários 1 ou 2,
tanto para o método de Jacobi quanto para o método de Gauss-Seidel. Basta que o sistema
satisfaça apenas a um desses critérios para se ter a convergência garantida, independente da
escolha do vetor inicial.
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54
IV.3.4 - Qual o método melhor ?
Não se pode garantir de início que método será mais eficiente.
Os métodos de eliminação se prestam a sistemas de pequeno porte com matrizes de
coeficientes densos; também resolvem satisfatoriamente vários sistemas lineares com a mesma
matriz de coeficientes.
Os métodos iterativos, quando a convergência é garantida, são bastante vantajosos
na resolução de sistemas de grande porte com matrizes de coeficientes esparsos ( grande
quantidade de zeros entre seus elementos ).
Os sistemas oriundos da discretização de equações diferenciais parciais são
exemplos típicos.
IV.3.5 - Noções de matrizes mal condicionadas
Considere o sistema S
x
x2
2
1
1 001 2 001
0 999 1999
=
+ =
=



 x
+ x
1
2
, ,
, ,
.
Uma das soluções é x = (1 1)t .
Se utilizarmos o método de Jacobi, na 5ª. Iteração encontraríamos como solução
aproximada x 1 = (2,000 0,001)
t , que diverge da solução.
Isto aconteceu porque os coeficientes da matriz associada estão mal condicionados.
Uma forma de se detectar o mal condicionamento é através do determinante
normalizado de uma matriz. Se esse determinante for, sensivelmente, menor que 1 dizemos
que a matriz está mal condicionada.
Definição: Para a matriz A, associada ao sistema Sn , definimos determinante
normalizado de A, e denotamos por det (norm A) a:
det ( =
det A
 ... 1 n
norm A)
α α α⋅ ⋅ ⋅2
, onde: n1,=i ... 223
2
2
2
1 iniiii aaaa ++++=α
Obs.: No sistema S2 dado:
4135066,11999,0
4149208,1001,11
110105,0
000001,2
10,999
001,11
10,999
001,11
=A) (normdet 
22
2
22
1
66
21
=+=
=+=
<<<×==
⋅
−−
α
α
αα
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55
Lista de exercícios sobre a Unidade IV
1) Resolva pelo processo retroativo os seguintes sistemas :
a)
3 x1 + 4 x2 - 5 x3 + x4 = -10
 x2 + x3 - 2 x4 = -1
 4 x3 - 5 x4 = 3
 2 x4 = 2







 b)
3 x1 + 4 x2 - 5 x3 + x4 = -10
 x3 - 2 x4 = 0
 4 x3 - 5 x4 = 3
 2 x4 = 2







2) Resolva pelo método de Gauss, com condensação pivotal parcial.
a)
2 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 7
 x1 - x2 + 2 x3 - x4 = 1
3 x1 + 2 x2 - 3 x3 - 2 x4 = 4 
4 x1 + 3 x2 + 2 x3 + x4 = 12







b)
 8,7 x1 + 3,0 x2 + 9,3 x3 + 11,0 x4 = 16,4
24,5 x1 - 8,8 x2 + 11,5 x3 - 45,1 x4 = - 49,7
52,3 x1 - 84,0 x2 - 23,5 x3 + 11,4 x4 = - 80,8
21,0 x1 - 81,0 x2 - 13,2 x3 + 21,5 x4 = -106,3 







c)
 x1 + x2 + 2 x3 = 4
2 x1 - x2 - x3 = 0
 x1 - x2 - x3 = -1





3) Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Seidel.
a) 
 x1 + x2 + x3 = 3
2 x1 - 2 x2 + x3 = 1
3 x1 - x2 + 2 x3 = 4





 b) 
 2 x1 - x2 + x3 = 3
 x1 + 3 x2 - 2 x3 = 1
 x2 + 2 x3 = 8





Trabalho Computacional: Programar o método de Gauss com condensação pivotal
parcial para resolver o sistema:
8,7 x1 + 3,0 x2 + 9,3 x3 + 11,0 x4 = 16,4
24,5 x1 - 8,8 x2 + 11,5 x3 - 45,1 x4 = - 49,7
52,3 x1 - 84,0 x2 - 23,5 x3 + 11,4x4 = - 80,8
21,0 x1 - 81,0 x2 - 13,2 x3 + 21,5 x4 = -106,3







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52
Unidade V – Interpolação
V.1 - Introdução
Interpolar significa determinar valores intermediários entre valores dados de uma
função.
Suponha que um móvel, partindo do repouso, é dirigido com uma aceleração máxima
até atingir 96 Km/h e que as leituras do velocímetro, com intervalos não eqüidistantes, são
apresentadas no gráfico abaixo:
 y (km/h)
 96
 94
 60
 48
 38
 16 x
 
 0 
2 7 16 22 36 40
Desejaríamos que os pontos definissem uma curva suave. No entanto, devido a erros
de leitura e outros fatores, os pontos não estão muito bem situados, pois as velocidades são
grandes, e outras são pequenas.
A solução do problema pode ser vista sobre dois aspectos:
1. Ajuste da curva: Neste caso a provável curva ajustável não necessariamente
conterá os pontos medidos. O método utilizado é dos mínimos quadrados.
2. Interpolação: Neste caso são escolhidos polinômios que conterão os valores dos
pontos medidos.
V.2 - Interpolação Linear
Seja f (x) uma função contínua e diferenciável da qual se conhece os seguintes
valores:
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 Cálculo Numérico – Professora Mariluci Ferreira Por tes
53
x f (x)
x 0 f (x 0)
x 1 f (x 1)
Μ Μ
x i f (x i )
x i + 1 f (x i + 1 )
Μ Μ
x n f (x n )
Temos (n + 1) pontos tabelados.
Suponha que se deseja o valor de f (x ) para x ∈ [x i ; x i + 1 ]
y
 f(xi+1) B
 f(x) F
 f(xi) 
A D E
0 xi x x i+1 x
A interpolação linear consiste em determinar um polinômio de 1º. grau que contenha
os pontos A (x i ; f (x i )) e B ( x i + 1 ; f (x i + 1 )).
Os triângulos ABE e AFD são semelhantes. Daí resulta:
FD
BE
AD
AE
f x f x
f x f x
x x
x x
i
i
i
i i
= ⇔ −
−
= −
−+ +
( ) ( )
( ) ( )1 1 1
Logo:
f x f x
x x
x x
f x f xi
i
i i
i i( ) ( ) [ ( ) ( )]= +
−
−
⋅ −
+
+
1
1
Observe que para 
x x f x f x
x x f x f x
i i
i i
= ⇒ =
= ⇒ =


 + +
( ) ( )
( ) ( )1 1
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 Cálculo Numérico – Professora Mariluci Ferreira Por tes
54
f ( x ) = a 0 + a 1 x , onde 
a f x
x x
x x
f x f x
a
f x f x
x x
i
i
i i
i i
i i
i i
0
1
1
1
1
1
= − −
−
⋅ −
= −
−






+
+
+
+
( ) [ ( ) ( )]
( ) ( )
Então temos um polinômio interpolador do 1º. grau.
Aplicação:
1- Considere sen 0° e sen 10° = 0,17365.
Determine sen 6,5°.
x = 6,5
x i = 0 → f (x i) = 0
x i + 1 = 10 → f (x i + 1) = 0,17365
f ( x ) = sen 6,5° = 0 + 
6 5 0
10 0
, −
−
[ 0,17365 - 0 ] = 0,11287
2- Considere agora sen 6° = 0,10453 e sen 7° = 0,12187
Calcule sen 6,5°:
sen 6,5° = 0,10453 + 
6 5 6
7 6
, −
−
[ 0,12187 - 0,10453 ] = 0,11320
V.3 - Polinômio Interpolador
Para melhor aproximação de f (x) poderíamos escolher uma curva de ordem mais
elevada. dados (n + 1) pontos, a curva de mais alto grau e o polinômio de grau n, cuja
expressão é:
P x a x a x a x an n
n
n
n( ) = + + + +−
−
1
1
1 0Λ
Para se determinar os coeficientes basta observar que P x f xn i i( ) ( )= , i = 0 (1) n .
Com isso temos o seguinte sistema linear:
a x a x a x a f x
a x a x a x a f x
a x a x a x a f x
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n
n n
n
n n n
0 1 0
1
1 0 0 0
1 1 1
1
1 1 0 1
1
1
1
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =







−
−
−
−
−
−
Λ
Λ
Μ Μ
Λ
( )
( )
( )
 
A matriz associada ao sistema é:
 A= 
x x x
x x x
x x x
n n
n n
n
n
n
n
n
0 0
1
0
1 1
1
1
1
1
1
1
−
−
−














Λ
Λ
Μ Μ Μ Μ Μ
Λ
 que é a matriz de Vandermond. det A= 
ji >
π (xi – xj)
 UERJ – CTC – IME – Departamento de Informática e Ciência da Computação
 Cálculo Numérico – Professora Mariluci Ferreira Por tes
55
O determinante associado a essa matriz é não nulo desde que xi , i = 0 (1) n, sejam
todos distintos. Como essa condição é satisfeita, então o sistema tem solução. Utilizando um
dos métodos já estudados para resolver sistemas lineares, determinamos ai , i = 0 (1) n, e
conseqüentemente Pn(x).
Exemplo:
Dados: sen 0° = 0; sen 30° = 0,5; sen 60° = 0,866025; sen 90° = 1.
Determine a expressão do polinômio interpolador e o valor do sen 45°.
Solução:
P x a x a x a x a3 3
3
2
2
1 0( ) = + + +
a a a
a a a
a a a
a a a
3
3
2
2
1 0
3
3
2
2
1
3
3
2
2
1
3
3
2
2
1
0 0 0 0 0
30 30 30 0 5
60 60 60 0 866025
90 90 90 1 0
 a a0+ + + = ⇒ =
+ + =
+ + =
+ + =







,
,
,
Resolvendo o sistema acima, temos:
a1 = 0,178098 · 10
 -1
a2 = - 0,199435 · 10
 -4
a3 = 0,605409 · 10
 -6
Logo: P 3(x) = 0,605409 · 10
 -6 x3 - 0,199435 · 10 -4 x2 + 0,178098 · 10 -1
P 3 (45) =
V.4 - Polinômio Interpolador de Lagrange
Polinômio Interpolador de Lagrange de 1ª Ordem
Considere x0, x1, f (x0), f (x1).
A expressão do polinômio interpolador de 1ª ordem é:
P 1(x) = a 1x + a 0 em que P1(x0) = f (x0) e P1(x1) = f (x1)
P x a x a
f x a x a
f x a x a
1 1 0
0 1 0 0
1 1 1 0
0
0
0
( )
( )
( )
− − =
− − =
− − =





 UERJ – CTC – IME – Departamento de Informática e Ciência da Computação
 Cálculo Numérico – Professora Mariluci Ferreira Por tes
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Considere agora uma constante c = 1, e: 
c P x a x a
c f x a x a
c f x a x a
⋅ − − =
⋅ − − =
⋅ − − =





1 1 0
0 1 0 0
1 1 1 0
0
0
0
( )
( )
( )
Então temos um sistema linear, com 3 equações e 3 incógnitas (c; a1; a0).
A matriz associada ao sistema homogêneo é: 
P x x 
f x x
f x x
1
0 0
1 1
1
1
1
( )
( )
( )
 
 
 
− −
− −
− −










O sistema homogêneo tem solução quando o determinante da matriz associada
é nulo. Logo:
x P x f x x f x x f x x P x x f x x
x x P x x x x x x x
P x
x x
x x
f x
x x
x x
f x
0 1 0 0 1 1 0 1 1 0
0 1 1 1 0 0 1
1
1
0 1
0
0
1 0
1
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )f ( ) ( )f ( )
( ) ( ) ( )
+ + − − − =
− + − + − =
=
−
−
+
−
−
Observe que P1(x0) = f (x0) e P1(x1) = f (x1).
A expressão obtida pode ser escrita da seguinte forma:
P x L x x L x x 1 0 0 1 1( ) ( )f ( ) ( )f ( )= + , onde Li(x) são os coeficientes de
Lagrange, daí o polinômio interpolador de Lagrange de 1ª ordem.
Generalizando ...
O polinômio interpolador de Lagrange de ordem n , tem por expressão:
P x L x x L x x L f x L x xi i n n 1 0 0 1 1( ) ( )f ( ) ( )f ( ) ( ) ( )f ( )= + + + + +Λ Λ , onde
L x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x xi
i i n
i i i i i i i n
( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
=
− − − − −
− − − − −
− +
− +
0 1 1 1
0 1 1 1
Κ Κ
Κ Κ
Note que:
L i(xi) = 1
L i(xj) = 0 , i ≠ j
Isto acarreta que Pn (xi) = f (xi)
Uma fórmula compactada do Polinômio Interpolador de Lagrange de
ordem n é:
P x
x x
x x
f xn
j
i jj
i j
n
i
i
n
( )
( )
( )
( )=
−
−










⋅












=
=
=
∏∑
00
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Exemplo:
Dados os valores f (0) = 7,3 ; f (0,5) = - 5,1 ; f (1) = 6 ; determine a
expressão do Polin. Int. de Lagrange e f (0,8).
Solução:
P x L x x L x x L x x 2( ) ( )f ( ) ( )f ( ) ( )f ( )=