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Estrutura de Sólidos Cristalinos 
Prof. Carol Chaves Mesquita e Ferreira 
Janeiro/2015 
1 ORDENAÇÃO DE ÁTOMOS 
1.1 Ordem a longo alcance 
Material cristalino 
 
 Átomos ordenados em longas distâncias atômicas 
 formam uma estrutura tridimensional 
 
 
 rede cristalina 
 
 Metais, muitas cerâmicas e alguns 
 polímeros formam estruturas 
 cristalinas sob condições 
 normais de solidificação 
 
1 ORDENAÇÃO DE ÁTOMOS 
1.1 Ordem a longo alcance 
 A rede é formada por átomos se repetem 
regularmente 
REDE:conjunto de pontos espaciais 
 que possuem vizinhança 
 idêntica. 
PARÂMETROS PELOS QUAIS SE DEFINE UM CRISTAL 
Exemplo esquemático 
de rede 
 Na rede a relação com vizinhos é constante: 
- simetria com os vizinhos; 
- distâncias define o parâmetro de rede; 
- ângulos entre arestas 
1 ORDENAÇÃO DE ÁTOMOS 
1.1 Ordem a longo alcance 
 Na solidificação ou por saturação de uma solução. 
SOLIDIFICAÇÃO Cristais se formam no sentido 
 contrário da retirada de calor 
SATURAÇÃO de uma solução. 
 Como os cristais se formam? 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
 As estruturas ideais apresentam baixa energia e maior empacotamento, 
já as reais compreendem os defeitos possíveis nas ideais. 
 
 
 As estruturas ideais compreendem: 
 
- diferentes sistemas cristalinos ângulos α, β, γ 
 tamanho das arestas a, b, c 
- sistemas cristalinos 7 diferentes 
- redes de Bravais 14 diferentes 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
 CÉLULA UNITÁRIA menor subdivisão da rede cristalina 
 que retém as características de toda 
 a rede. 
 
Célula unitária 
Arranjo de 
átomos em 
um cristal 
Rede 
cristalina 
Representação da célula unitária CFC 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
 CÉLULA UNITÁRIA existem diferentes tipos de células 
 unitárias, que dependem da relação 
 entre seus ângulos e arestas. 
 
 Existem 14 tipos diferentes: 
redes de Bravais, agrupadas em 
sete tipos de estruturas 
cristalinas (sistemas cristalinos). 
Três diferentes tipos de estruturas cristalinas 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
Sete sistemas cristalinos 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
Metais cristalizam 
preferencialmente: 
- hexagonal 
- CCC 
- CFC 
- CS  muito raro 
7 sistemas cristalinos e 14 redes de Bravais 
METAIS 
 
Ligação metálica  não-
direcional: não há restrições 
quanto ao número e 
posições dos vizinhos mais 
próximos. 
 
 
 
Estrutura cristalina dos 
metais têm geralmente um 
número de vizinhos grandes 
e alto empacotamento 
atômico. 
Romboédrico 
Hexagonal 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
2.1 Número de átomos por célula unitária 
 É o número específico de pontos da 
rede que define cada célula unitária. 
 - Átomo no vértice da célula 
 unitária cúbica: partilhado por 
 sete células unitárias em contato 
 somente 1/8 de cada 
 vértice pertence a uma 
 célula particular. 
 
- Átomo da face centrada: 
 partilhado por 
 duas células 
 unitárias 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
Cúbico Simples (CS) Cúbico Corpo Centrado (CCC) Cúbico Face Centrada (CFC) 
2.1 Número de átomos por célula unitária 
SISTEMA CÚBICO 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
2.1 Número de átomos por célula unitária 
Exemplo 1: Determine o número de átomos da rede cristalina por célula no 
sistema cristalino cúbico. 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
CS n° pontos da rede = 8(cantos) *1 = 1 átomo 
 célula unitária 8 
 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
2.1 Número de átomos por célula unitária 
Exemplo 1: Determine o número de átomos da rede cristalina por célula no 
sistema cristalino cúbico. 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
CCC n° pontos da rede = 8(cantos)*1 + 1 (centro)= 2 átomos 
 célula unitária 8 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
2.1 Número de átomos por célula unitária 
Exemplo 1: Determine o número de átomos da rede cristalina por célula no 
sistema cristalino cúbico. 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
CFC n° pontos da rede = 8(cantos)*1 + 6 (faces)*1= 4 átomos 
 célula unitária 8 2 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
2.1 Número de átomos por célula unitária 
 
CS 1 átomo 
CCC 2 átomos 
CFC 4 átomos 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
2.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede 
 Determina-se primeiramente como os átomos estão em contato 
(direção de empacotamento fechado, ou de maior empacotamento) 
 
 Geometricamente determina-se a relação entre o raio atômico (r) e 
o parâmetro de rede (ao). 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
2.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede 
Exemplo 2: Determine a relação entre o raio atômico e o 
parâmetro da rede cristalina para as células unitárias do 
sistema cristalino cúbico (CS, CFC, CCC). 
CÚBICO SIMPLES 
ao = 2r 
Contato entre os átomos ocorre através 
da aresta da célula unitária 
ao = r + r 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
2.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede 
ao = 4r 
 21/2 
Contato entre os átomos ocorre 
através da diagonal da face da 
célula unitária 
dface
2 = ao
2 + ao
2 
(4r)2 = 2ao
2 
Exemplo 2: Determine a relação entre o raio atômico e o 
parâmetro da rede cristalina para as células unitárias do 
sistema cristalino cúbico (CS, CFC, CCC). 
CÚBICO DE FACE CENTRADA 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
2.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede 
CÚBICO DE CORPO CENTRADO 
ao = 4r 
 31/2 
Contato entre os átomos ocorre 
através da diagonal do cubo da 
célula unitária 
Dcubo
2 = ao
2 + dface
2 
(4r)2 = 3ao
2 
Exemplo 2: Determine a relação entre o raio atômico e o 
parâmetro da rede cristalina para as células unitárias do 
sistema cristalino cúbico (CS, CFC, CCC). 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
2.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede 
Fe CCC 
Exemplo3: O raio atômico do ferro é 1,24 A Calcule o parâmetro de rede 
do Fe CCC e CFC. 
Fe CFC 
ao = 4r 
 31/2 
ao = 4 x 1,24 = 2,86 A 
 31/2 
ao = 4r 
 21/2 
ao = 4 x 1,24 = 3,51 A 
 21/2 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
2.3 Número de coordenação 
 O número de coordenação é o número de vizinhos mais próximos, 
depende de: - covalência: o número 
 de ligações covalentes 
 que um átomo pode 
 compartilhar; 
 - fator de empacotamento 
 cristalino. 
CÚBICO 
SIMPLES 
NC = 6 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
2.3 Número de coordenação 
CÚBICO DE CORPO 
CENTRADO 
NC = 8 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
2.3 Número de coordenação 
CÚBICO 
DE FACE 
CENTRADA 
NC = 12 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
2.3 Número de coordenação 
HEXAGONAL 
COMPACTO 
NC = 12 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
2.4 Fator de empacotamento Atômico 
 Fator de empacotamento atômico é a fração de volume da célula 
unitária efetivamente ocupada por átomos, assumindo que os átomos são 
esferas rígidas. 
FEA = (n° átomos / célula) * volume cada átomo 
 volume da célula unitária 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
2.4 Fator de empacotamento Atômico 
CS FEA = (1 átomo / célula) * (4r3/3) 
 ao
3 
 FEA = (1 átomo / célula) * (4r3/3) = 0,52 
 (2r)3 
 
CCC FEA = (2 átomo / célula) * (4r3/3) 
 ao
3 
 FEA = (2 átomo / célula) * (4r3/3) = 0,68 
 (4r/31/2)3 
CFC FEA = (4 átomo / célula) * (4r3/3) 
 ao
3 
 FEA = (4 átomo / célula) * (4r3/3) = 0,74 
 (4r/21/2)3 
Exemplo 4: Calcule o FEA do sistema cúbico. 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
2.5 Densidade 
 A densidade teórica de um cristal pode ser calculada usando-se as 
propriedades da estrutura cristalina. 
 = (n° átomos / célula)*(massa atômica de cada átomo) 
 (volume da célula unitária) * (n° de Avogadro) 
Exemplo 5: Determine a densidade do Fe CCC, que tem um a0 de 2,866 A. 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
2.5 Densidade 
 = (2 átomos / célula)*(55,85 g/g.mol) 
 (23,55 10-24 cm3/célula) * (6,02 1023 átomos/g.mol) 
 
  = 7,879 Mg/m3 
 
Átomos/célula = 2 átomos 
Massa atômica = 55,85 g/g.mol 
Volume da célula unitária = a0
3 = 23,55 10-24 cm3/célula 
Número de Avogadro = 6,02 1023 átomos/g.mol 
Exemplo 5: Determine a densidade do Fe CCC, que tem um a0 de 2,866 A. 
2 CÉLULA UNITÁRIA 
 
 Átomos Número de Parâmetro Fator de 
 por célulacoordenação de rede empacotamento 
 
 CS 1 6 2R 0,52 
CCC 2 8 4R/(3)1/2 0,68 
CFC 4 12 4R/(2)1/2 0,74 
 
CS CCC CFC 
Resumo da estrutura cúbica 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
 As propriedades de muitos materiais são direcionais, por exemplo o módulo de elasticidade 
do FeCCC é maior na diagonal do cubo que na direção da aresta. 
3. 1 Coordenadas dos pontos 
 Pode-se localizar os pontos das posições 
atômicas da célula unitária cristalina 
construindo-se um sistema de eixos 
coordenados. 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.2 Direções da célula unitária 
 Algumas direções da célula unitária são de particular importância, por exemplo os metais 
se deformam ao longo da direção de maior empacotamento. 
 Algumas propriedades dos materiais dependem da direção do cristal em que se encontram 
e são medidas. 
 Os índices de Miller das direções são usados para descrever estas direções. 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.2 Direções da célula unitária 
ÍNDICES DE MILLER PARA DIREÇÕES: 
1. Definir dois pontos por onde passa a direção 
2. Definir o ponto alvo e origem, fazendo-se: ALVO-ORIGEM 
3. Eliminar as frações e reduzir ao m.m.c. 
4. Escrever entre colchetes, e se houver n° negativo o sinal é colocado sobre o n°. 
[h k l] 
x y z 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.2 Direções da célula unitária 
Exemplo 7: Determine os Índices de Miller das direções A, B e C, da figura 
abaixo. 
Direção A: 
1. alvo= 1, 0, 0; origem= 0, 0, 0 
2. alvo - origem = 1, 0, 0 
3. sem frações 
4. [1 0 0] Direção B: 
1. alvo= 1,1,1; origem= 0, 0, 0 
2. alvo - origem = 1, 1, 1 
3. sem frações 
4. [1 1 1] 
Direção C: 
1. alvo= 0, 0, 1; origem= 1/2, 1, 0 
2. alvo - origem = -1/2, -1, 1 
3. 2 (-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2 
4. [1 2 2] 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.2 Direções da célula unitária 
 Algumas observações: 
 - direção e suas múltiplas são idênticas [111]  [222]; 
 - índices de Miller simétricos não são da mesma direção (direções e 
suas negativas não são idênticas) [111]  [111]; 
 
FAMÍLIA DE DIREÇÕES: conjunto de Índices de Miller onde todos tem mesma simetria. 
 
 Exemplo para 
 simetria cúbica: 
Para o sistema cúbico: 
 A simetria da estrutura permite que as direções equivalentes sejam agrupadas: 
 Família de direções: 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.2 Direções da célula unitária 
<100> para as faces 
<110> para as diagonais das faces 
<111> para a diagonal do cubo 
 
CCC 
Família de direções <111> 
 empacotamento 
 atômico fechado 
CFC 
Família de direções <110> 
 empacotamento 
 atômico fechado 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.2 Direções da célula unitária 
 Outra maneira de caracterizar as direções é através da distância de repetição, fator de 
empacotamento e densidade linear. 
DENSIDADE LINEAR: É o número de átomos por unidades de 
 comprimento. 
L = número de átomos 
 unidade de comprimento 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.2 Direções da célula unitária 
Exemplo 8: Calcular a densidade linear na direção [1 0 0] para o potássio. 
Dados: K - CCC 
 r - 0,2312 nm 
L = n° átomos 
 unid comprimento 
L = 1/2 + 1/2 
 ao 
ao= 4r/3
1/2
 
L = 0,187 átomos/Å 
Exercício: Qual a densidade linear na direção [1 1 0] para o Cu? 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.2 Direções da célula unitária 
DISTÂNCIA DE REPETIÇÃO: De quanto em quanto se repete o 
centro de um átomo. É o inverso da densidade linear. 
FATOR DE EMPACOTAMENTO LINEAR: É quanto da direção está definitivamente coberta por 
átomos. 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.2 Direções da célula unitária 
Exemplo 9: Calcule a distância de repetição, densidade linear e o fator de 
empacotamento para a direção [1 1 1] do Cu CFC. (ao=3,6151 A) 
Distância de repetição 
 
 
o centro do átomo se repete 
a cada diagonal do cubo 
 
 
Dr = a0 3
1/2 
Dr = 3,6151 10
-8*31/2 
Dr = 6,262 10
-8 cm 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.2 Direções da célula unitária 
Densidade linear L 
 
 
L = 1/ Dr = 1/ 6,262 10
-8 
 
L = 1,597 10
7 átomos/cm 
 
 
Fator de empacotamento FE 
 
 
FE = 2r/ Dcubo = 0,408 
Exercício: Compare a Dr, rL e o FE para as direções [1 1 1] e [1 1 0] do Cu CFC. 
Exemplo 9: Calcule a distância de repetição, densidade linear e o fator de 
empacotamento para a direção [1 1 1] do Cu CFC. (ao=3,6151 A) 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO 
CRISTAL 
3.3 Planos 
 Um cristal possui planos de átomos que influenciam as 
propriedades e o comportamento de um material. 
 Os Índices de Miller também são determinados para planos. 
ÍNDICES DE MILLER PARA PLANOS: 
1. Definir três pontos onde o plano corta x, y e z. 
2. Calcular os recíprocos dos valores obtidos. 
3. Eliminar as frações sem reduzir ao m.m.c. 
4. Escrever entre parênteses, e se houver n° negativo o sinal é 
colocado sobre este n°. 
OBS.: Se o plano passar pela origem, desloque-a. 
(h k 
l) 
x y 
z 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO 
CRISTAL 
3.3 Planos 
Exemplo 10: Determine os Índices de Miller para os 
planos A, B e C da figura abaixo. Plano A: 
1. 1 1 1 
2. 1/1 1/1 1/1 
3. Não tem 
frações 
4. (1 1 1) 
Plano B: 
1. 1 2  
2. 1/1 1/2 1/ 
3. 1 1 0 
4. (1 1 0) 
Plano C: passa 
pela origem 
 (x’, y’, z’) 
1.  -1  
2. 1/  1/-1 1/ 
3. 0 -1 0 
4. (0 1 0) 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO 
CRISTAL 
3.3 Planos 
Observações importantes: 
- Iguais Índices de Miller para direção e 
plano, significa que estes apresentam 
perpendicularidade. 
 
 Exemplo: (1 0 0)  [1 0 0] 
 
 
- Índices de Miller simétricos são o 
mesmo plano, depende apenas do 
referencial (planos e seus negativos são 
idênticos). 
 
 Exemplo: (0 2 0)  (0 2 0) 
 
 
- Planos e seus múltiplos não são 
idênticos (densidade planar diferente). 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO 
CRISTAL 
3.3 Planos 
DENSIDADE PLANAR: É o número de átomos por unidades de 
comprimento. 
P = número de átomos no plano 
 área do plano 
FATOR DE EMPACOTAMENTO PLANAR: É quanto da área está 
efetivamente coberta por átomos. 
FEP = área dos átomos 
 área do plano 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO 
CRISTAL 3.3 Planos 
DISTÂNCIA INTERPLANAR: É a distância de dois planos com mesmos 
índices de Miller. 
D (h, k, l) = a0 
 (h2 + k2 + l2)1/2 
Para o sistema cúbico 
d (110) = a 
 (12 + 12 + 
02)1/2 
 
d (110) = a 
 21/2 
 Ou, 
geometricamente: 
d = dface = a 2
1/2 
 2 2 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO 
CRISTAL 
3.3 Planos 
Exemplo 12: Calcule a distância interplanar entre dois 
planos adjacentes [1 1 1 ] no ouro, que tem a0 = 4,0786 
Å. 
d (h, k, l) = a0 
 (h2 + k2 + l2)1/2 
d (h, k, l) = 4,0786 A = 2,355 Å 
 (12 + 12 + 12)1/2 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO 
CRISTAL 3.3 Planos 
Família de planos: em cada célula unitária os planos formam um grupo 
equivalente que tem índices particulares devido a orientação de suas 
coordenadas. 
Exemplo: planos da família {1 1 0} (1 1 0) (1 0 1) (0 1 1) 
(1 1 0) (1 0 1) (0 1 1) 
O átomo do centro do cubo é interceptado pela família de planos 
{111} para o CCC? 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO 
CRISTAL 
3.3 Planos 
FAMÍLIA DE PLANOS {110} é 
paralelo a um eixo 
 
z 
 
y 
 
x 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO 
CRISTAL 
3.3 Planos 
FAMÍLIA DE PLANOS {111} 
3.4 Índices de Miller para a Célula Hexagonal 
 Direções na célula 
unitária hexagonal 
[h k i l] 
 
 Eixos: a1 a2 a3 c 
 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO 
CRISTAL 
3.4 Índices de Miller para a Célula Hexagonal 
Exemplo 13: Determine os índices de Miller para os 
planos A e B e para as direções C e D 
Plano A: 
1.    1 
2. 1/  1/  1/  1/1 
3. 0 0 0 1 
4. (0 0 0 1) ou (0 0 1) 
Plano B: 
1. 1 1 -1/2 1 
2. 1/1 1/1 -2/1 1/1 
3. 1 1 -2 1 
4. (1 1 -2 1) ou (1 1 1) 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO 
CRISTAL3.4 Índices de Miller para a Célula Hexagonal 
Direção C: 
1. alvo= 0, 0, 0, 1; origem= 1, 0, 0, 
0 
2. alvo - origem = -1, 0, 0, 1 
3. sem frações 
4. [1 0 01] 
Direção D: 
1. alvo= 0, 1, 0, 0; origem= 1, 0, 0, 
0 
2. alvo - origem = -1, 1, 0, 0 
3. sem frações 
4. [1 1 0 0] 
3 DIREÇÕES E PLANOS NO 
CRISTAL 
Exemplo 13: Determine os índices de Miller para os 
planos A e B e para as direções C e D 
Sistema cúbico 
Sistema 
hexagonal 
compacto 
4 METAIS 
Sumarizando: os metais cristalizam preferencialmente 
em sistemas cúbico(CCC, CFC) ou hexagonal (HC). 
Logo, a estrutura cristalina destes materiais já foi 
estudada. 
CCC CFC