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Estrutura de Sólidos Cristalinos Prof. Carol Chaves Mesquita e Ferreira Janeiro/2015 1 ORDENAÇÃO DE ÁTOMOS 1.1 Ordem a longo alcance Material cristalino Átomos ordenados em longas distâncias atômicas formam uma estrutura tridimensional rede cristalina Metais, muitas cerâmicas e alguns polímeros formam estruturas cristalinas sob condições normais de solidificação 1 ORDENAÇÃO DE ÁTOMOS 1.1 Ordem a longo alcance A rede é formada por átomos se repetem regularmente REDE:conjunto de pontos espaciais que possuem vizinhança idêntica. PARÂMETROS PELOS QUAIS SE DEFINE UM CRISTAL Exemplo esquemático de rede Na rede a relação com vizinhos é constante: - simetria com os vizinhos; - distâncias define o parâmetro de rede; - ângulos entre arestas 1 ORDENAÇÃO DE ÁTOMOS 1.1 Ordem a longo alcance Na solidificação ou por saturação de uma solução. SOLIDIFICAÇÃO Cristais se formam no sentido contrário da retirada de calor SATURAÇÃO de uma solução. Como os cristais se formam? 2 CÉLULA UNITÁRIA As estruturas ideais apresentam baixa energia e maior empacotamento, já as reais compreendem os defeitos possíveis nas ideais. As estruturas ideais compreendem: - diferentes sistemas cristalinos ângulos α, β, γ tamanho das arestas a, b, c - sistemas cristalinos 7 diferentes - redes de Bravais 14 diferentes 2 CÉLULA UNITÁRIA CÉLULA UNITÁRIA menor subdivisão da rede cristalina que retém as características de toda a rede. Célula unitária Arranjo de átomos em um cristal Rede cristalina Representação da célula unitária CFC 2 CÉLULA UNITÁRIA CÉLULA UNITÁRIA existem diferentes tipos de células unitárias, que dependem da relação entre seus ângulos e arestas. Existem 14 tipos diferentes: redes de Bravais, agrupadas em sete tipos de estruturas cristalinas (sistemas cristalinos). Três diferentes tipos de estruturas cristalinas 2 CÉLULA UNITÁRIA Sete sistemas cristalinos 2 CÉLULA UNITÁRIA Metais cristalizam preferencialmente: - hexagonal - CCC - CFC - CS muito raro 7 sistemas cristalinos e 14 redes de Bravais METAIS Ligação metálica não- direcional: não há restrições quanto ao número e posições dos vizinhos mais próximos. Estrutura cristalina dos metais têm geralmente um número de vizinhos grandes e alto empacotamento atômico. Romboédrico Hexagonal 2 CÉLULA UNITÁRIA 2.1 Número de átomos por célula unitária É o número específico de pontos da rede que define cada célula unitária. - Átomo no vértice da célula unitária cúbica: partilhado por sete células unitárias em contato somente 1/8 de cada vértice pertence a uma célula particular. - Átomo da face centrada: partilhado por duas células unitárias 2 CÉLULA UNITÁRIA Cúbico Simples (CS) Cúbico Corpo Centrado (CCC) Cúbico Face Centrada (CFC) 2.1 Número de átomos por célula unitária SISTEMA CÚBICO 2 CÉLULA UNITÁRIA 2.1 Número de átomos por célula unitária Exemplo 1: Determine o número de átomos da rede cristalina por célula no sistema cristalino cúbico. Resposta: CS n° pontos da rede = 8(cantos) *1 = 1 átomo célula unitária 8 2 CÉLULA UNITÁRIA 2.1 Número de átomos por célula unitária Exemplo 1: Determine o número de átomos da rede cristalina por célula no sistema cristalino cúbico. Resposta: CCC n° pontos da rede = 8(cantos)*1 + 1 (centro)= 2 átomos célula unitária 8 2 CÉLULA UNITÁRIA 2.1 Número de átomos por célula unitária Exemplo 1: Determine o número de átomos da rede cristalina por célula no sistema cristalino cúbico. Resposta: CFC n° pontos da rede = 8(cantos)*1 + 6 (faces)*1= 4 átomos célula unitária 8 2 2 CÉLULA UNITÁRIA 2.1 Número de átomos por célula unitária CS 1 átomo CCC 2 átomos CFC 4 átomos 2 CÉLULA UNITÁRIA 2.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede Determina-se primeiramente como os átomos estão em contato (direção de empacotamento fechado, ou de maior empacotamento) Geometricamente determina-se a relação entre o raio atômico (r) e o parâmetro de rede (ao). 2 CÉLULA UNITÁRIA 2.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede Exemplo 2: Determine a relação entre o raio atômico e o parâmetro da rede cristalina para as células unitárias do sistema cristalino cúbico (CS, CFC, CCC). CÚBICO SIMPLES ao = 2r Contato entre os átomos ocorre através da aresta da célula unitária ao = r + r 2 CÉLULA UNITÁRIA 2.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede ao = 4r 21/2 Contato entre os átomos ocorre através da diagonal da face da célula unitária dface 2 = ao 2 + ao 2 (4r)2 = 2ao 2 Exemplo 2: Determine a relação entre o raio atômico e o parâmetro da rede cristalina para as células unitárias do sistema cristalino cúbico (CS, CFC, CCC). CÚBICO DE FACE CENTRADA 2 CÉLULA UNITÁRIA 2.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede CÚBICO DE CORPO CENTRADO ao = 4r 31/2 Contato entre os átomos ocorre através da diagonal do cubo da célula unitária Dcubo 2 = ao 2 + dface 2 (4r)2 = 3ao 2 Exemplo 2: Determine a relação entre o raio atômico e o parâmetro da rede cristalina para as células unitárias do sistema cristalino cúbico (CS, CFC, CCC). 2 CÉLULA UNITÁRIA 2.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede Fe CCC Exemplo3: O raio atômico do ferro é 1,24 A Calcule o parâmetro de rede do Fe CCC e CFC. Fe CFC ao = 4r 31/2 ao = 4 x 1,24 = 2,86 A 31/2 ao = 4r 21/2 ao = 4 x 1,24 = 3,51 A 21/2 2 CÉLULA UNITÁRIA 2.3 Número de coordenação O número de coordenação é o número de vizinhos mais próximos, depende de: - covalência: o número de ligações covalentes que um átomo pode compartilhar; - fator de empacotamento cristalino. CÚBICO SIMPLES NC = 6 2 CÉLULA UNITÁRIA 2.3 Número de coordenação CÚBICO DE CORPO CENTRADO NC = 8 2 CÉLULA UNITÁRIA 2.3 Número de coordenação CÚBICO DE FACE CENTRADA NC = 12 2 CÉLULA UNITÁRIA 2.3 Número de coordenação HEXAGONAL COMPACTO NC = 12 2 CÉLULA UNITÁRIA 2.4 Fator de empacotamento Atômico Fator de empacotamento atômico é a fração de volume da célula unitária efetivamente ocupada por átomos, assumindo que os átomos são esferas rígidas. FEA = (n° átomos / célula) * volume cada átomo volume da célula unitária 2 CÉLULA UNITÁRIA 2.4 Fator de empacotamento Atômico CS FEA = (1 átomo / célula) * (4r3/3) ao 3 FEA = (1 átomo / célula) * (4r3/3) = 0,52 (2r)3 CCC FEA = (2 átomo / célula) * (4r3/3) ao 3 FEA = (2 átomo / célula) * (4r3/3) = 0,68 (4r/31/2)3 CFC FEA = (4 átomo / célula) * (4r3/3) ao 3 FEA = (4 átomo / célula) * (4r3/3) = 0,74 (4r/21/2)3 Exemplo 4: Calcule o FEA do sistema cúbico. 2 CÉLULA UNITÁRIA 2.5 Densidade A densidade teórica de um cristal pode ser calculada usando-se as propriedades da estrutura cristalina. = (n° átomos / célula)*(massa atômica de cada átomo) (volume da célula unitária) * (n° de Avogadro) Exemplo 5: Determine a densidade do Fe CCC, que tem um a0 de 2,866 A. 2 CÉLULA UNITÁRIA 2.5 Densidade = (2 átomos / célula)*(55,85 g/g.mol) (23,55 10-24 cm3/célula) * (6,02 1023 átomos/g.mol) = 7,879 Mg/m3 Átomos/célula = 2 átomos Massa atômica = 55,85 g/g.mol Volume da célula unitária = a0 3 = 23,55 10-24 cm3/célula Número de Avogadro = 6,02 1023 átomos/g.mol Exemplo 5: Determine a densidade do Fe CCC, que tem um a0 de 2,866 A. 2 CÉLULA UNITÁRIA Átomos Número de Parâmetro Fator de por célulacoordenação de rede empacotamento CS 1 6 2R 0,52 CCC 2 8 4R/(3)1/2 0,68 CFC 4 12 4R/(2)1/2 0,74 CS CCC CFC Resumo da estrutura cúbica 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL As propriedades de muitos materiais são direcionais, por exemplo o módulo de elasticidade do FeCCC é maior na diagonal do cubo que na direção da aresta. 3. 1 Coordenadas dos pontos Pode-se localizar os pontos das posições atômicas da célula unitária cristalina construindo-se um sistema de eixos coordenados. 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.2 Direções da célula unitária Algumas direções da célula unitária são de particular importância, por exemplo os metais se deformam ao longo da direção de maior empacotamento. Algumas propriedades dos materiais dependem da direção do cristal em que se encontram e são medidas. Os índices de Miller das direções são usados para descrever estas direções. 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.2 Direções da célula unitária ÍNDICES DE MILLER PARA DIREÇÕES: 1. Definir dois pontos por onde passa a direção 2. Definir o ponto alvo e origem, fazendo-se: ALVO-ORIGEM 3. Eliminar as frações e reduzir ao m.m.c. 4. Escrever entre colchetes, e se houver n° negativo o sinal é colocado sobre o n°. [h k l] x y z 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.2 Direções da célula unitária Exemplo 7: Determine os Índices de Miller das direções A, B e C, da figura abaixo. Direção A: 1. alvo= 1, 0, 0; origem= 0, 0, 0 2. alvo - origem = 1, 0, 0 3. sem frações 4. [1 0 0] Direção B: 1. alvo= 1,1,1; origem= 0, 0, 0 2. alvo - origem = 1, 1, 1 3. sem frações 4. [1 1 1] Direção C: 1. alvo= 0, 0, 1; origem= 1/2, 1, 0 2. alvo - origem = -1/2, -1, 1 3. 2 (-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2 4. [1 2 2] 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.2 Direções da célula unitária Algumas observações: - direção e suas múltiplas são idênticas [111] [222]; - índices de Miller simétricos não são da mesma direção (direções e suas negativas não são idênticas) [111] [111]; FAMÍLIA DE DIREÇÕES: conjunto de Índices de Miller onde todos tem mesma simetria. Exemplo para simetria cúbica: Para o sistema cúbico: A simetria da estrutura permite que as direções equivalentes sejam agrupadas: Família de direções: 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.2 Direções da célula unitária <100> para as faces <110> para as diagonais das faces <111> para a diagonal do cubo CCC Família de direções <111> empacotamento atômico fechado CFC Família de direções <110> empacotamento atômico fechado 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.2 Direções da célula unitária Outra maneira de caracterizar as direções é através da distância de repetição, fator de empacotamento e densidade linear. DENSIDADE LINEAR: É o número de átomos por unidades de comprimento. L = número de átomos unidade de comprimento 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.2 Direções da célula unitária Exemplo 8: Calcular a densidade linear na direção [1 0 0] para o potássio. Dados: K - CCC r - 0,2312 nm L = n° átomos unid comprimento L = 1/2 + 1/2 ao ao= 4r/3 1/2 L = 0,187 átomos/Å Exercício: Qual a densidade linear na direção [1 1 0] para o Cu? 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.2 Direções da célula unitária DISTÂNCIA DE REPETIÇÃO: De quanto em quanto se repete o centro de um átomo. É o inverso da densidade linear. FATOR DE EMPACOTAMENTO LINEAR: É quanto da direção está definitivamente coberta por átomos. 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.2 Direções da célula unitária Exemplo 9: Calcule a distância de repetição, densidade linear e o fator de empacotamento para a direção [1 1 1] do Cu CFC. (ao=3,6151 A) Distância de repetição o centro do átomo se repete a cada diagonal do cubo Dr = a0 3 1/2 Dr = 3,6151 10 -8*31/2 Dr = 6,262 10 -8 cm 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.2 Direções da célula unitária Densidade linear L L = 1/ Dr = 1/ 6,262 10 -8 L = 1,597 10 7 átomos/cm Fator de empacotamento FE FE = 2r/ Dcubo = 0,408 Exercício: Compare a Dr, rL e o FE para as direções [1 1 1] e [1 1 0] do Cu CFC. Exemplo 9: Calcule a distância de repetição, densidade linear e o fator de empacotamento para a direção [1 1 1] do Cu CFC. (ao=3,6151 A) 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.3 Planos Um cristal possui planos de átomos que influenciam as propriedades e o comportamento de um material. Os Índices de Miller também são determinados para planos. ÍNDICES DE MILLER PARA PLANOS: 1. Definir três pontos onde o plano corta x, y e z. 2. Calcular os recíprocos dos valores obtidos. 3. Eliminar as frações sem reduzir ao m.m.c. 4. Escrever entre parênteses, e se houver n° negativo o sinal é colocado sobre este n°. OBS.: Se o plano passar pela origem, desloque-a. (h k l) x y z 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.3 Planos Exemplo 10: Determine os Índices de Miller para os planos A, B e C da figura abaixo. Plano A: 1. 1 1 1 2. 1/1 1/1 1/1 3. Não tem frações 4. (1 1 1) Plano B: 1. 1 2 2. 1/1 1/2 1/ 3. 1 1 0 4. (1 1 0) Plano C: passa pela origem (x’, y’, z’) 1. -1 2. 1/ 1/-1 1/ 3. 0 -1 0 4. (0 1 0) 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.3 Planos Observações importantes: - Iguais Índices de Miller para direção e plano, significa que estes apresentam perpendicularidade. Exemplo: (1 0 0) [1 0 0] - Índices de Miller simétricos são o mesmo plano, depende apenas do referencial (planos e seus negativos são idênticos). Exemplo: (0 2 0) (0 2 0) - Planos e seus múltiplos não são idênticos (densidade planar diferente). 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.3 Planos DENSIDADE PLANAR: É o número de átomos por unidades de comprimento. P = número de átomos no plano área do plano FATOR DE EMPACOTAMENTO PLANAR: É quanto da área está efetivamente coberta por átomos. FEP = área dos átomos área do plano 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.3 Planos DISTÂNCIA INTERPLANAR: É a distância de dois planos com mesmos índices de Miller. D (h, k, l) = a0 (h2 + k2 + l2)1/2 Para o sistema cúbico d (110) = a (12 + 12 + 02)1/2 d (110) = a 21/2 Ou, geometricamente: d = dface = a 2 1/2 2 2 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.3 Planos Exemplo 12: Calcule a distância interplanar entre dois planos adjacentes [1 1 1 ] no ouro, que tem a0 = 4,0786 Å. d (h, k, l) = a0 (h2 + k2 + l2)1/2 d (h, k, l) = 4,0786 A = 2,355 Å (12 + 12 + 12)1/2 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.3 Planos Família de planos: em cada célula unitária os planos formam um grupo equivalente que tem índices particulares devido a orientação de suas coordenadas. Exemplo: planos da família {1 1 0} (1 1 0) (1 0 1) (0 1 1) (1 1 0) (1 0 1) (0 1 1) O átomo do centro do cubo é interceptado pela família de planos {111} para o CCC? 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.3 Planos FAMÍLIA DE PLANOS {110} é paralelo a um eixo z y x 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.3 Planos FAMÍLIA DE PLANOS {111} 3.4 Índices de Miller para a Célula Hexagonal Direções na célula unitária hexagonal [h k i l] Eixos: a1 a2 a3 c 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 3.4 Índices de Miller para a Célula Hexagonal Exemplo 13: Determine os índices de Miller para os planos A e B e para as direções C e D Plano A: 1. 1 2. 1/ 1/ 1/ 1/1 3. 0 0 0 1 4. (0 0 0 1) ou (0 0 1) Plano B: 1. 1 1 -1/2 1 2. 1/1 1/1 -2/1 1/1 3. 1 1 -2 1 4. (1 1 -2 1) ou (1 1 1) 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL3.4 Índices de Miller para a Célula Hexagonal Direção C: 1. alvo= 0, 0, 0, 1; origem= 1, 0, 0, 0 2. alvo - origem = -1, 0, 0, 1 3. sem frações 4. [1 0 01] Direção D: 1. alvo= 0, 1, 0, 0; origem= 1, 0, 0, 0 2. alvo - origem = -1, 1, 0, 0 3. sem frações 4. [1 1 0 0] 3 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL Exemplo 13: Determine os índices de Miller para os planos A e B e para as direções C e D Sistema cúbico Sistema hexagonal compacto 4 METAIS Sumarizando: os metais cristalizam preferencialmente em sistemas cúbico(CCC, CFC) ou hexagonal (HC). Logo, a estrutura cristalina destes materiais já foi estudada. CCC CFC
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