UA 2 - Estrutura Cristalina e Amorfa dos

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Estrutura Cristalina e Amorfa dos 
Materiais
Apresentação
Nesta Unidade de Aprendizagem, estudaremos a estrutura cristalina e amorfa dos materiais e 
aprenderemos como as propriedades dos materiais estão diretamente relacionadas às suas 
estruturas cristalinas. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Descrever o que são materiais cristalinos e não cristalinos.•
Reconhecer como os átomos e íons estão arranjados no espaço e identificar a ordenação 
básica dos sólidos.
•
Relacionar o comportamento de alguns metais de acordo com sua estrutura cristalina.•
Desafio
Utilizando o conceito de densidade volumétrica, calcule o valor teórico da densidade do cobre em 
megagramas por metro cúbico.
Sabendo que o cobre tem estrutura cristalina cúbica de face centrada, em que seus tomos são 
esferas rígidas que se tocam ao longo das diagonais das faces da célula unitária CFC, raio atômico 
de 0,1278 nm e massa atômica de 63,54 g/mol, apresente os cálculos para obtenção do resultado e 
justifique sua resposta.
Infográfico
O infográfico traz um esquema do que veremos nesta Unidade referente ao conceito de estrutura 
cristalina.
 
Conteúdo do Livro
Um aspecto importante da natureza das estruturas cristalinas é que uma dada posição reticular é 
estruturalmente equivalente à posição em qualquer outra célula da mesma estrutura; essas 
posições estão conectadas por meio de translações, que são múltiplos inteiros das constantes 
reticulares ao longo das direções paralelas aos eixos cristalográficos.
Acompanhe um trecho do seguinte livro: SMITH, W.F.; HASHEMI, J. Fundamentos de engenharia e 
ciência dos materiais. 5.ed. Porto Alegre: AMGH, 2012. O livro está na quinta edição e servirá de 
base teórica para esta Unidade de Aprendizagem. Inicie a leitura a partir do título "Posições 
atômicas em células unitárias cúbicas".
FUNDAMENTOS 
DE ENGENHARIA
e Ciência
dos Materiais 
William F. SMITH
Javad HASHEMI
S663f Smith, William F.
 Fundamentos de engenharia e ciência dos materiais 
 [recurso eletrônico] / William F. Smith, Javad Hashemi ; 
 tradução: Necesio Gomes Costa, Ricardo Dias Martins de 
 Carvalho, Mírian de Lourdes Noronha Motta Melo. – 5. ed. 
 – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2012.
 Editado também como livro impresso em 2012.
 ISBN 978-85-8055-115-0
 1. Engenharia. 2. Ciência dos materiais. I. Hashemi, 
 Javad. II. Título. 
CDU 62
Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
c A P í t u l O 3
estrutura cristalina 
e Amorfa nos materiais
((a) © Paul Silverman/Fundamental Photographs.)((b) © The McGraw-Hill Companies, Inc./Doug Sherman, photographer.)((c) e (d) © Dr. Parvinder Sethi.)
Os sólidos podem ser classificados em cristalinos e 
amorfos. Sólidos cristalinos, devido à estrutura ordena-
da de seus átomos, moléculas ou íons, possuem formas 
bem definidas. Metais são cristalinos e compostos de 
cristais ou grãos muito bem definidos, são pequenos e 
não claramente observáveis, devido à natural opacidade 
dos metais. Nos minerais, geralmente translúcidos ou 
transparentes, as estruturas cristalinas são claramente 
observáveis. As figuras acima mostram a natureza cris-
talina dos minerais como a (a) Celestita (SrSO4) com 
um azul celeste ou cor celestial, (b) Pirita (FeS2), tam-
bém chamada de “ouro de tolo” por causa de sua cor 
amarela latão, (c) Ametista (SiO2), uma variedade púr-
pura de Quartzo, e (d ) Halita (NaCl), mais conhecido 
como pedra de sal. Em contraste, sólidos amorfos têm 
pouca ou nenhuma ordenação de longo alcance e não se 
solidificam com a simetria e a regularidade dos sólidos 
cristalinos. 
(a) (b) (c) (d )
1. Descrever o que são materiais cristalinos 
e não cristalinos (amorfos).
2. Saber como os átomos e íons estão arranjados no 
espaço e identificar a ordenação básica dos sólidos.
3. Descrever a diferença entre estrutura atômica 
e estrutura cristalina do material sólido.
4. Distinguir entre estrutura cristalina e sistema cristalino.
5. Explicar porque os plásticos não podem 
ser 100% cristalinos na estrutura.
6. Explicar polimorfismo ou alotropia nos materiais.
7. Calcular as densidades dos metais com estruturas 
cúbicas de corpo centrado e de face centrada.
8. Descrever como usar o método da difração de 
raios X para caracterização do material.
9. Escrever a designação para posição do átomo, 
índices de direção, e índices de Miller para cristais 
cúbicos. Especificar o que são as três estruturas 
compactas da maioria dos metais. Determinar os 
índices de Miller-Bravais para estrutura hexagonal 
compacta. Ser capaz de desenhar direções e 
planos em cristais cúbicos e hexagonais.
MetaS de aprendizageM
Ao final deste capítulo, o aluno será capaz de:
Capítulo 3  Estrutura Cristalina e Amorfa nos Materiais 59
3.1 Rede esPAciAl e célulAs unitÁRiAs 
A estrutura física dos materiais sólidos com importância para a engenharia depende principalmente do 
arranjo estabelecido entre os átomos, íons ou moléculas que os constituem, e das forças de ligação entre 
eles. Se os átomos ou íons de um sólido estiverem dispostos em um padrão que se repete segundo as três 
dimensões, é formado um sólido que se diz ter estrutura cristalina, e é chamado de sólido cristalino ou 
material cristalino. Os metais, as ligas metálicas e alguns materiais cerâmicos constituem exemplos de ma-
teriais cristalinos. Em contraste com os materiais cristalinos, existem alguns materiais cujos átomos e íons 
não estão arranjados em uma estrutura periódica e de maneira repetitiva, e possuem somente uma pequena 
ordenação. Isso significa que a ordena-
ção existe somente na fronteira imediata 
de um átomo ou de uma molécula. Como 
exemplo, água no estado líquido tem 
uma pequena ordenação em suas molé-
culas nas quais um átomo de oxigênio é 
covalentemente ligado a dois átomos de 
hidrogênio. Mas essa ordem desaparece, 
pois cada molécula é atraída de maneira 
aleatória por outras moléculas, por meio 
de ligações secundárias fracas. Materiais, 
somente com ordenações pequenas, são 
classificados como amorfos (sem forma) 
ou não cristalinos. Uma definição mais 
detalhada e alguns exemplos de materiais 
amorfos são apresentados na Seção 3.12. 
Nos sólidos cristalinos, os arranjos estabelecidos entre os átomos podem ser descritos fazendo-se 
referência aos átomos dos pontos de interseção de uma rede tridimensional de linhas retas. Esta rede 
designa-se por rede espacial (Figura 3.1a) e pode ser descrita como um arranjo infinito tridimensional 
de pontos. Cada ponto (ou nó) da rede espacial tem vizinhanças idênticas. Em um cristal ideal, o agru-
pamento de nós da rede em torno de um dado nó é idêntico ao agrupamento em torno de qualquer outro 
nó da rede cristalina. Cada rede espacial pode, por conseguinte, ser descrita especificando as posições 
atômicas em uma célula unitária que se repete, tal como a representada com um ponto cheio, na Figura 
3.1a. A célula unitária pode ser considerada como a menor subdivisão da rede que mantém as caracte-
rísticas gerais do cristal. Um grupo de átomos, organizado num determinado arranjo relativo entre si, e 
associado aos pontos da rede, constitui o padrão ou base. A estrutura cristalina pode, então, ser definida 
como a coleção de rede e base. É importante notar que os átomos não necessariamente coincidem com 
os pontos da rede. O tamanho e a forma da célula unitária podem ser descritos pelos três vetores de rede 
a, b e c, com origem num dos vértices da célula unitária (Figura 3.1b). Os comprimentos a, b e c e os 
ângulos α, β e γ entre os eixos são os parâmetros de rede da célula unitária. 
3.2 sistemAs cRistAlOgRÁFicOs e Redes de BRAvAis 
Atribuindo valores específicos aos comprimentos segundo os eixos e os ângulos existentes entre eles, 
diferentes tipos de células unitárias podem ser construídos. Os cristalógrafos mostraram que, para criar 
todos os tipos de redes de pontos, são necessários apenas sete tipos distintos de célulasunitárias. Esses 
sistemas cristalográficos estão enumerados na Tabela 3.1. 
Muitos dos sete sistemas cristalográficos apresentam variações da célula unitária básica. A. J. Bravais1 
mostrou que 14 células unitárias padrão podem descrever todas as possíveis redes. Estas redes de Bra-
vais estão representadas na Figura 3.2. Existem quatro tipos básicos de células unitárias: (1) simples, (2) 
de corpo centrado, (3) de faces centradas e (4) de bases centradas. 
1August Bravais (1811-1863). Cristalógrafo francês que deduziu os 14 possíveis arranjos de pontos no espaço.
(b)(a)
c
b a
ga
b
FigUra 3.1
(a) Rede espacial de um sólido cristalino ideal. (b) Célula unitária e seus respectivos 
parâmetros de rede.
Animação 
Tutorial
Tutorial
60 Fundamentos de Engenharia e Ciência dos Materiais
No sistema cúbico, existem três tipos de células unitárias: cúbica simples, cúbica de corpo centrado 
e cúbica de faces centradas. No sistema ortorrômbico, estão representados todos os quatro tipos. No 
sistema tetragonal, existem apenas dois: simples e de corpo centrado. A célula unitária tetragonal de 
faces centradas parece faltar; mas pode, no entanto, ser construída a partir de quatro células unitárias 
tetragonais de corpo centrado. O sistema monoclínico tem células unitárias simples e de bases centra-
das; e os sistemas romboédrico, hexagonal e triclínico têm apenas células unitárias de tipo simples. 
3.3 PRinciPAis estRutuRAs cRistAlinAs dOs metAis 
Neste capítulo serão abordadas, em detalhe, as principais estruturas cristalinas dos elementos metálicos. 
No Capítulo 11, serão analisadas as principais estruturas cristalinas iônicas e covalentes que ocorrem 
nos materiais cerâmicos.
A maior parte dos elementos metálicos (cerca de 90%) se cristaliza, ao se solidificar, em três estrutu-
ras cristalinas compactas: cúbica de corpo centrado (CCC) (Figura 3.3a), cúbica de faces centradas 
(CFC) (Figura 3.3b) e hexagonal compacta (HC) (Figura 3.3c). A estrutura HC se constitui, na verda-
de, de uma alteração mais intensa da estrutura cristalina hexagonal simples representada na Figura 3.2. 
A maior parte dos metais se cristaliza nestas estruturas compactas, pelo fato da energia ser liberada à 
medida que os átomos se aproximam uns dos outros e se ligam mais compactamente. Assim, as estrutu-
ras mais densas correspondem a arranjos de energia mais baixa, portanto são mais estáveis.
O tamanho extremamente pequeno das células unitárias dos metais cristalinos, representadas na 
Figura 3.3 precisa ser destacado. Por exemplo, à temperatura ambiente, o comprimento da aresta da 
tabela 3.1
Classificação das redes espaciais por sistemas cristalográficos.
Sistema 
cristalográfico
Comprimento dos eixos 
e dos ângulos 
rede 
espacial
Cúbico Três eixos com o mesmo 
comprimento, em ângulos retos
a = b = c, a = b = g = 90º
Cúbica simples
Cúbica de corpo centrado
Cúbica de faces centradas
Tetragonal Três eixos em ângulos retos, sendo que 
dois deles têm o mesmo comprimento
a = b ≠ c, a = b = g = 90º
Tetragonal simples
Tetragonal de corpo centrado
Ortorrômbico Três eixos com comprimentos 
diferentes, em ângulos retos
a ≠ b ≠ c, a = b = g = 90º
Ortorrômbica simples
Ortorrômbica de corpo centrado
Ortorrômbica de bases centradas
Ortorrômbica de faces centradas
Romboédrico Três eixos com o mesmo 
comprimento, igualmente inclinados
a = b =c, a = b = g ≠ 90º
Romboédrica simples
Hexagonal Dois eixos com o mesmo comprimento, 
em um ângulo 120º; terceiro eixo 
perpendicular aos outros dois
a = b ≠ c, a = b = 90º, g = 120º
Hexagonal simples
Monoclínico Três eixos com comprimentos diferentes, 
sendo que um par se localiza em um 
ângulo não reto
a ≠ b ≠ c, a = g = 90º ≠ b
Monoclínica simples
Monoclínica de bases centradas
Triclínico Três eixos com comprimentos diferentes, 
fazendo ângulos diferentes e não sendo 
nenhum reto.
a ≠ b ≠ c, a ≠ b ≠ g ≠ 90º
Triclínica simples
MatVis
Capítulo 3  Estrutura Cristalina e Amorfa nos Materiais 61
a
a
a a
a
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
a
c
a a
a
c
a
a
a
a
a
a
c
a
b
b
c
a
b
b
Monoclínico
a
c
b
g
b
a
TriclínicoOrtorrômbicoHexagonal*
Romboédrico
Tetragonal
Cúbico
a
a
a
a
Figura 3.2 
Células unitárias convencionais das 14 redes de Bravais, agrupadas por sistemas Cristalográficos. Os círculos 
indicam os nós da rede que uma vez localizados em faces ou em vértices, são partilhados por outras células 
unitárias idênticas. 
(W.G. Moffatt, G.W. Pearsall and J. Wulff, “The Struture and Properties of Material”, vol I: “Structure”: Wiley, 1964, p. 47)
* A célula unitária é representada por linhas cheias.
célula unitária da estrutura cúbica de corpo centrado do ferro é 0,287 × 10–9 m, ou 0,287 nanômetros2 
(nm). Assim, se as células unitárias do ferro puro se alinharem lado a lado, em um milímetro existirão
 1 mm
1 célula unitária
0,287 nm 10 6 mm/nm
3,48 106 células unitárias. 
Examinemos agora em detalhe o arranjo dos átomos nas células unitárias das três principais estrutu-
ras cristalinas. Embora seja uma aproximação, consideraremos nesse tipo de estruturas, os átomos como 
21 nanômetro = 10–9 metro.
Tutorial
Animação
MatVis
62 Fundamentos de Engenharia e Ciência dos Materiais
sendo esferas rígidas. A distância entre os átomos (distância interatômica) nas estruturas cristalinas pode 
ser determinada experimentalmente por difração de raios X3. Por exemplo, em uma peça de alumínio 
puro a 20 °C, a distância entre dois átomos de alumínio é 0,2862 nm. Considera-se que o raio do átomo 
de alumínio, no alumínio metálico, é metade da distância interatômica, ou seja, 0,143 nm. Para agilizar 
e facilitar os cálculos, os raios atômicos de alguns metais estão indicados nas Tabelas 3.2 a 3.4.
3.3.1 estrutura cristalina cúbica de corpo centrado (ccc) 
Em primeiro lugar, considerem-se as posições atômicas na célula unitária da estrutura cristalina CCC 
representada na Figura 3.4a. Nesta célula unitária, os círculos representam as posições onde os átomos 
estão localizados, sendo que suas posições relativas estão claramente indicadas. Se, nesta célula, se 
representarem os átomos por esferas rígidas, então a célula unitária aparece conforme representado na 
Figura 3.4b. Nesta célula unitária, vemos que o átomo central está rodeado por oito vizinhos mais pró-
ximos, e diz-se que o número de coordenação é 8.
tabela 3.2
Alguns metais com estrutura cristalina CCC, à temperatura ambiente (20 °C), e respectivos parâmetros de rede e raios 
atômicos.
Metal parâmetro de rede a (nm) raio atômico R* (nm)
Cromo 0,289 0,125
Ferro 0,287 0,124
Molibdênio 0,315 0,136
Potássio 0,533 0,231
Sódio 0,429 0,186
Tântalo 0,330 0,143
Tungstênio 0,316 0,137
Vanádio 0,304 0,132
* Calculado a partir do parâmetro de rede, usando a Equação (3.1), R 13a 4.
Se isolarmos uma célula unitária com esferas rígidas, obtemos o modelo representado na Figura 3.4c. 
Cada uma destas células possui o equivalente a dois átomos por célula unitária. No centro desta célula está 
localizado um átomo completo e, em cada vértice um oitavo de esfera, obtendo-se o equivalente a outro 
átomo. Assim, existe um total de 1 (no centro) + 8  1
8 (nos vértices) = 2 átomos por célula unitária. Na 
3Alguns dos princípios da análise por difração de raios X serão estudados na Seção 3.11. 
Figura 3.3
Células unitárias das principais estruturas cristalinas dos metais: (a) cúbica de corpo centrado, 
(b) cúbica de faces centradas, (c) hexagonal compacta (a célula unitária é apresentada com 
linhas grossas).
(b)(a) (c)
Animação 
Tutorial
Capítulo 3  Estrutura Cristalina e Amorfa nos Materiais 63
célula unitária CCC, os átomos se tocam segundo a diagonal do cubo, conforme indicado na Figura 3.5, 
pelo que a relação entre o comprimento da aresta do cubo a e o raio atômico R é
 13a 4 R ou a
4 R
13
 (3.1)
tabela 3.3
Alguns metais com estrutura cristalina CFC, à temperatura ambiente (20 °C), e respectivos parâmetros de rede e raios atômicos. 
Metal parâmetro de rede a(nm) raio atômico R* (nm)
Alumínio 0,405 0,143
Cobre 0,3615 0,128
Ouro 0,408 0,144
Chumbo 0,495 0,175
Níquel 0,352 0,125
Platina 0,393 0,139
Prata 0,409 0,144
* Calculado a partir do parâmetro de rede, usando a Equação (3.3), R 12a 4. 
tabela 3.4
Alguns metais com estrutura cristalina HC, à temperatura ambiente (20 °C), e respectivos parâmetros de rede e raios 
atômicos, e razão c/a. 
Metal
parâmetros de rede (nm) raio atômico R 
(nm)
razão c/a
desvio da idealidade 
(%)a c
Cádmio 0,2973 0,5618 0,149 1,890 +15,7
Zinco 0,2665 0,4947 0,133 1,856 +13,6
HC ideal 1,633 0
Magnésio 0,3209 0,5209 0,160 1,623 –0,66
Cobalto 0,2507 0,4069 0,125 1,623 –0,66
Zircônio 0,3231 0,5148 0,160 1,593 –2,45
Titânio 0,2950 0,4683 0,147 1,587 –2,81
Berílio 0,2286 0,3584 0,113 1,568 –3,98
(a) (b) (c)
Figura 3.4 
Células unitárias: (a) posições atômicas na célula unitária, (b) célula unitária com esferas 
rígidas, e (c) célula unitária isolada.
Tutorial
Animação
MatVis
a
4R
3
–
a
3
–
a � 4R
2
–
a
Figura 3.5 
Célula unitária mostrando a relação entre 
o parâmetro de rede a e o raio atômico R.
Tutorial
64 Fundamentos de Engenharia e Ciência dos Materiais
A 20 °C, o ferro apresenta a estrutura CCC, sendo o raio atômico 0,124 nm. Calcule o parâmetro de rede a da 
célula unitária do ferro. 
� Solução
A Figura 3.5 mostra que, na célula unitária CCC, os átomos se tocam segundo as diagonais do cubo. Assim, se 
a for o comprimento da aresta do cubo, tem-se 
 13a 4 R (3.1)
sendo R o raio atômico do ferro. Portanto,
 a
4 R
13
410,124 nm2
13
0,2864 nm 
Calcule o fator de empacotamento atômico (FEA) da célula unitária CCC, considerando que os átomos apre-
sentam um comportamento similar ao de esferas rígidas. 
� Solução
 FEA
volume dos átomos na célula unitária CCC
volume da célula unitária CCC
 (3.2)
Uma vez que existem dois átomos na célula unitária CCC, o volume dos átomos, de raio R, existentes na célula 
unitária é 
 Vátomos 122 143pR32 8,373R3
 
O volume da célula unitária CCC é 
 Vcélula unitária a3 
onde a é o parâmetro de rede. A relação entre a e R é obtida a partir da Figura 3.5, onde se mostra que, na célula 
unitária CCC, os átomos se tocam segundo a diagonal do cubo. Assim:
 ou a
4 R
13
13a 4 R (3.1)
Assim,
 Vcélula unitária = a3 = 12,32 R3 
O fator de empacotamento atômico da célula unitária é, portanto,
 FEA
Vátomos célula unitária
Vcélula unitária
8,373R3
12,32 R3 0,68 
Se os átomos da célula unitária CCC forem considerados como esferas rígidas, pode-se calcular um 
fator de empacotamento atômico (FEA) usando a equação
 FEA
volume dos átomos na célula unitária
volume da célula unitária
 (3.2) 
Usando esta equação, é possível calcular o FEA da célula unitária CCC (Figura 3.4c), que é 68% 
(ver Exemplo 3.2). Isso significa que 68% do volume da célula unitária CCC está ocupado pelos átomos 
e o restante, 32%, é espaço vazio. A estrutura cristalina CCC não é uma estrutura compacta, já que os 
átomos poderiam estar dispostos mais próximos uns dos outros. À temperatura ambiente, muitos me-
tais, tais como o ferro, o cromo, o tungstênio, o molibdênio e o vanádio, apresentam estrutura cristalina 
CCC. Na Tabela 3.2, são indicados os parâmetros de rede e os raios atômicos de alguns metais CCC. 
exeMplo
3.1
exeMplo
3.2
Tutorial
Capítulo 3  Estrutura Cristalina e Amorfa nos Materiais 65
3.3.2 estrutura cristalina cúbica de face centrada (cFc)
Consideremos, em seguida, a célula unitária da rede CFC representada na Figura 3.6a. Nesta célula uni-
tária, existe um nó da rede em cada vértice do cubo e um nó no centro de cada uma das faces. O modelo 
de esferas rígidas da Figura 3.6b indica que, na estrutura cristalina CFC, os átomos estão organizados 
da maneira mais compacta possível. O FEA desta estrutura compacta é 0,74 quando comparado ao 
valor 0,68 da estrutura CCC, a qual não é compacta. A célula unitária CFC, conforme a representação 
da Figura 3.6c, possui o equivalente a quatro átomos por célula unitária. Aos oito octantes dos vértices 
corresponde um átomo (8  1
8 = 1), e os seis meios-átomos, nas faces do cubo, contribuem com outros 
três átomos, perfazendo um total de quatro átomos por célula unitária. Posto isto, na célula unitária 
CFC, os átomos se tocam segundo as diagonais das faces do cubo, conforme a Figura 3.7, de modo que 
a relação entre o comprimento da aresta do cubo a e o raio atômico R é 
 12a 4 R ou a
4 R
12
 (3.3)
O FEA da estrutura cristalina CFC é 0,74, que é superior ao valor 0,68 obtido para o fator de em-
pacotamento atômico da estrutura CCC. O FEA de 0,74 é o da disposição mais compacto possível de 
“átomos esféricos”. Muitos metais, tais como o alumínio, o cobre, o chumbo, o níquel e o ferro a tempe-
raturas elevadas (de 912 a 1.394 °C), se cristalizam e passam a apresentar estrutura cristalina CFC. Na 
Tabela 3.3, os parâmetros de rede e de raios atômicos de alguns metais CFC estão indicados. 
3.3.3 estrutura cristalina hexagonal compacta (hc)
A terceira estrutura cristalina mais comum nos materiais metálicos é a estrutura HC, representada nas 
Figuras 3.8a e b. Os metais não se cristalizam na estrutura hexagonal simples indicada na Figura 3.2, 
porque o FEA desta estrutura é demasiado baixo. Os átomos podem conseguir uma energia mais baixa 
e um estado mais estável, formando a estrutura HC da Figura 3.8b. O FEA da estrutura cristalina HC é 
0,74, igual ao da estrutura cristalina CFC, já que, em ambas as estruturas, os átomos estão organizados 
da maneira mais compacta possível. Quer na estrutura cristalina HC, quer na estrutura cristalina CFC, 
cada átomo está rodeado por 12 outros átomos, e, portanto, ambas as estruturas têm um número de 
coordenação 12. As diferenças do chamado empilhamento atômico nas estruturas cristalinas CFC e HC 
serão abordadas na Seção 3.8. 
Na Figura 3.8c, está representada uma célula unitária HC isolada, também chamada de célula pri-
mitiva, à qual correspondem seis átomos. Os átomos marcados com “1” na Figura 3.8c contribuem com 
1
6 do átomo na célula unitária. Os átomos marcados com “2” contribuem com 1
12 do átomo na célula 
unitária.
(a) (b) (c)
Figura 3.6
Células unitárias CFC: (a) posições atômicas na célula unitária, (b) célula unitária com 
esferas rígidas, e (c) célula unitária isolada. 
a
4R
2a � 4R
2a
1
1
Figura 3.7
Célula unitária CFC mostrando a 
relação entre o parâmetro de rede 
a e o raio atômico R. Desde que 
os átomos se tocam segundo as 
diagonais das faces, 12a 4R.
Tutorial
Animação
MatVis
66 Fundamentos de Engenharia e Ciência dos Materiais
Então, os átomos dos oito vértices da célula unitária em conjunto contribuem com um átomo 
(4 (1
6) 4 ( 1
12) 1). O átomo da localização “3” está centrado na célula unitária, no entanto se estende 
levemente além do limite da célula. O número total de átomos no interior da célula unitária HC é, portanto, 
2 (1 nos vértices e 1 no centro). Em alguns livros, a célula unitária é representada pela da Figura 3.8a e é 
chamada de “célula maior”. Nesse caso, se encontram 6 átomos por célula unitária. É importante ressaltar 
que isso ocorre por motivos didáticos e a verdadeira célula unitária é representada na Figura 3.8c pelas 
linhas grossas. Quando da apresentação dos tópicos sobre direções e planos nos cristais, nós também 
usaremos a célula maior para tornar a explicação mais elucidativa, ao invés da célula primitiva.
O quociente entre a altura c do prisma hexagonal da estrutura cristalina HC e a aresta da base a é 
designado razão c/a (Figura 3.8a). A razão c/a de uma estrutura cristalina HC ideal, constituída por 
esferas uniformes organizadas da maneira mais compacta possível, é 1,633. Na Tabela 3.4 estão indi-
cados alguns metais importantes com estrutura HC e os respectivos valores da razão c/a. Dos metais 
indicados, o cádmio e o zinco têm valores de c/a superiores ao ideal, o que significa que, nessas estrutu-
ras, os átomos se encontram ligeiramente alongados segundo o eixo c da célula unitária HC. Osmetais 
magnésio, cobalto, zircônio, titânio e berílio têm valores de c/a inferiores ao ideal. Por este motivo, 
nestes metais, os átomos estão ligeiramente comprimidos na direção do eixo c. Os metais HC indicados 
na Tabela 3.4 apresentam, portanto, certo desvio em relação ao modelo ideal de esferas rígidas. 
(a) (b)
c c
a
60°
1
1
1
1
2
2
2
2
3
120°
(c)
a
Figura 3.8 
Células unitárias HC: (a) posições atômicas na célula unitária, (b) célula unitária com esferas rígidas, e (c) célula unitária isolada.
(F.M. Miller, Chemistry: Structure and Dynamics, McGraw-Hill, 1984, p. 296. Reproduzido com permissão de The McGraw-Hill Companies.)
a. Calcule o volume da célula unitária da estrutura cristalina do zinco, utilizando os seguintes dados: o zinco 
puro tem estrutura cristalina HC, com os parâmetros de rede a = 0,2665 nm e c = 0,4947 nm. 
b. Encontre o volume da célula grande.
� Solução
O volume da célula unitária HC do zinco pode ser obtido multiplicando a área da base pela altura da célula 
unitária (Figura E3.3). 
a. A área da base da célula unitária é a área ABDC da Figura E3.3a e b. Esta área total é igual à área de seis 
triângulos equiláteros de área ABC, conforme está representado na Figura E3.3b. A partir da Figura E3.3c, 
temos,
1
2 1a2 1a sen 60°2 1
2 a2 sen 60°
Área do triângulo ABC 1
2 1base2 1altura2
Da Figura E3.3b, 
a2 sen 60°
Área total da base HC, área ABDC 122 112a
2 sen 60°2
exeMplo
3.3
Tutorial
MatVis
Capítulo 3  Estrutura Cristalina e Amorfa nos Materiais 67
3.4 POsições AtÔmicAs em célulAs unitÁRiAs cÚBicAs
Para localizar as posições atômicas em células unitárias cúbicas, usam-se os eixos ortogonais x, y e z. 
Em cristalografia, o sentido positivo do eixo x tem geralmente a direção que sai do papel, o sentido po-
sitivo do eixo y aponta para a direita do papel, e o sentido positivo do eixo z aponta para cima (Figura 3.9). 
Os sentidos negativos são os opostos a estes descritos. 
As posições dos átomos nas células unitárias são localizadas por meio das distâncias unitárias ao 
longo dos eixos x, y e z, conforme indicado na Figura 3.9a. Por exemplo, as coordenadas dos átomos na 
célula unitária CCC estão indicadas na Figura 3.9b. As posições dos oito átomos que se encontram nos 
vértices da célula unitária CCC são:
(0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)
(1,1,1) (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1)
Da Figura E3.3a, 
0,0304 nm3
10,2665 nm2210,86602 10,4947 nm2
Volume da célula unitária HC do zinco 1a2 sen 60°2 1c2
A B
C
D
EF
G
a
C
D
EF
G
A Ba
c
(a) (b) (c)
A B
60°60°
a
h
a
C
Figura e3.3
Esquemas para determinação do volume da célula unitária HC; (a) célula unitária HC, (b) base da célula unitária HC, 
(c) triângulo ABC removido da base da célula unitária.
b. Da Figura E3.3a,
 Volume da célula HC “grande” do zinco = 3(volume da célula unitária primitiva) = 3(0,0304)
 = 0,0913 nm3
z
x
a
y
(0, 0, 1)
(0, 1, 1)
(1, 1, 1)
(0, 1, 0)
(1, 1, 0)
(1, 0, 0)
(1, 0, 1)
(0, 0, 0)
(0, 0, 0)
(0, 0, 1)
21, 0) (0, 1, 0)
(0, 0, 21)
(1, 0, 0)
(21, 0, 0)
1z
2z
2y 1y
2x
1x
(a) (b)
,1
2( ),1
2
1
2
Figura 3.9
(a) Eixos ortogonais x, y, z utilizados 
para localizar as posições dos 
átomos nas células unitárias cúbicas. 
(b) Posições atômicas na célula 
unitária CCC.
Tutorial
68 Fundamentos de Engenharia e Ciência dos Materiais
O átomo no centro da célula unitária CCC tem as coordenadas (1
2, 
1
2, 
1
2).. Para simplificar, algu-
mas vezes apenas são especificadas duas posições atômicas da célula unitária CCC, que são (0, 0, 0) e (1
2, 
1
2, 
1
2).. 
Considera-se que as restantes posições atômicas da célula unitária CCC estejam subentendidas. Da 
mesma forma, podem-se localizar as posições atômicas da célula unitária CFC. 
3.5 diReções em célulAs unitÁRiAs cÚBicAs 
É necessário fazer, com frequência, referência a direções específicas nas redes cristalinas. Isto é es-
pecialmente importante no caso dos metais e ligas com propriedades que variam com a orientação 
cristalográfica. Para os cristais cúbicos, os índices de direções cristalográficas são as componentes do 
vetor-direção segundo cada um dos eixos coordenados, após redução aos menores inteiros. 
Para indicar esquematicamente uma direção em uma célula unitária cúbica, desenha-se um vetor-
-direção a partir de uma origem, que é geralmente um vértice da célula cúbica, até surgir a superfície 
do cubo (Figura 3.10). As coordenadas do ponto da célula unitária em que o vetor-direção emerge da 
superfície do cubo, após conversão em inteiros, são os índices da direção. Os índices de uma direção são 
colocados entre colchetes, sem vírgulas para separá-los. 
Por exemplo, as coordenadas do ponto onde o vetor-direção OR da Figura 3.10a aparece na superfície 
do cubo são (1,0,0), de modo que os índices da direção do vetor OR são [100]. As coordenadas de posição 
do vetor-direção OS (Figura 3.10a) são (1,1,0); os índices da direção OS são, portanto, [110]. As coorde-
nadas de posição do vetor-direção OT (Figura 3.10b) são (1,1,1), então os índices da direção OT são [111]. 
As coordenadas de posição do vetor-direção OM (Figura 3.10c) são (1, 12, 0), dado que os índices de 
uma direção têm de ser números inteiros, estas coordenadas têm de ser multiplicadas por 2 para obter 
números inteiros. Assim, os índices da direção OM são 2(1, 12, 0) [210]. As coordenadas de posição 
do vetor ON (Figura 3.10d) são (21,21,0). Para indicar que o índice de uma direção é negativo, coloca-se 
uma barra sobre o índice. Portanto, os índices da direção ON são [1 10]. Note-se que, para desenhar a 
direção ON dentro do cubo, tem de se deslocar a origem do vetor-direção para o vértice inferior direito 
da face frontal do cubo unitário (Figura 3.10d). No Exemplo 3.4, são dados exemplos adicionais de 
vetores-direção em células unitárias cúbicas. 
Usam-se as letras u, v, w para indicar, de um modo geral, os índices segundo os eixos x, y e z, res-
pectivamente, e escreve-se [uvw]. É também importante salientar que todas as direções paralelas têm 
os mesmos índices. 
As direções dizem-se cristalograficamente equivalentes se, ao longo destas, o espaçamento entre 
os átomos for o mesmo. Por exemplo, as seguintes direções, correspondentes às arestas do cubo, são 
cristalograficamente equivalentes: 
[100], [010], [001], [100] H100I[001],[010],
Direções equivalentes são designadas por índices de uma família ou de uma forma. Utiliza-se a notação 
〈100〉 para indicar todas as direções correspondentes às arestas do cubo. Outros exemplos são: as diagonais 
do cubo, que pertencem à forma 〈111〉, e as diagonais das faces do cubo, que pertencem à forma 〈110〉. 
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
O
R S
Origem
[100]
[110]
O
T
[111]
O
N
[1̄1̄0]
Notar a
nova origem
O
M
[210]
(a) (b) (c) (d)
1
2
Figura 3.10
Diversas direções em células unitárias cúbicas.
Tutorial
Capítulo 3  Estrutura Cristalina e Amorfa nos Materiais 69
Desenhe os seguintes vetores-direção, em células unitárias cúbicas: 
a. [100] e [110]
b. [112]
c. [110]
d. [321] 
� Solução
a. As coordenadas de posição da direção [100] são (1,0,0) (Figura E3.4a). As coordenadas de posição da 
direção [110] são (1,1,0) (Figura E3.4a). 
b. As coordenadas de posição da direção [112] são obtidas dividindo os índices da direção por 2, de modo a 
ainda caírem dentro do cubo. Assim, obtém-se (1
2, 12, 1) (Figura E3.4b). 
c. As coordenadas de posição da direção [110] são (21,1,0) (Figura E3.4c). Note que a origem do vetor-
-direção tem de ser deslocada para o vértice inferior esquerdo da face frontal do cubo. 
d. As coordenadas de posição da direção [321], são obtidas dividindo todos os índices por 3, que é o índice 
maior. Obtém-se 1, 23, 1
3 para coordenadas do ponto de saída da direção [321], os quais são mostrados 
na Figura 3.4d.
x
z
y
x
z
y
x
z
z
y
x
OOrigem
[100] [110]
O
Notar a nova origem
Notar a novaorigem
[1̄10]
[3̄21̄]
[112]
O
O
1–
3
(a) (b)
(c) (d)
y
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
Figura e3.4
Vetores-direção em células unitárias cúbicas.
Determine os índices da direção da célula cúbica representada na Figura E3.5a. 
� Solução
Direções paralelas têm os mesmos índices, e, assim, mantendo-os dentro do cubo, translada-se o vetor-direção 
até que a sua origem atinja o vértice mais próximo do cubo. Neste caso, o vértice superior esquerdo da face 
frontal torna-se a nova origem do vetor-direção (Figura E3.5b). Podemos agora determinar as coordenadas 
do ponto em que o vetor-direção sai da célula unitária cúbica, obtendo-se x = 21, y = + 1, e z 1
6 . As 
exeMplo
3.5
exeMplo
3.4
Tutorial
70 Fundamentos de Engenharia e Ciência dos Materiais
Determine os índices da direção definida pelos pontos de coordenadas e (1
4, 12, 12).(3
4, 0, 14) de uma célula unitária 
cúbica. 
� Solução
Em primeiro lugar, localizemos, dentro do cubo unitário, os pontos correspondentes à origem e à extremidade 
do vetor-direção, conforme a Figura E3.6. As componentes fracionárias deste vetor-direção são 
z 112
1
4 2
1
4
y 112 02 1
2
x 1 34
1
4 2
1
2
Assim, o vetor-direção apresenta as componentes fracionárias 1
2, 12, 14. Os índices da direção estarão na mes-
ma razão das respectivas componentes fracionárias. Multiplicando-as por 4, obtemos [221] para índices da 
direção definida por este vetor-direção. 
3
4
1
4, 0, ��
1
4
1
2, 1
2, ��
Origem das
coordenadas
z
y
x
Figura e3.6
3.6 índices de milleR de PlAnOs cRistAlOgRÁFicOs em 
célulAs unitÁRiAs cÚBicAs 
Em uma estrutura cristalina, é, por vezes, necessário fazer referência a determinados planos de átomos, 
ou pode até mesmo haver interesse em conhecer a orientação cristalográfica de um plano ou conjunto de 
planos de uma rede cristalina. Para identificar esses planos cristalográficos, em uma estrutura cristalina 
cúbica, usa-se o sistema de notação de Miller4. Os índices de Miller de um plano cristalográfico são 
4William Hallowes Miller (1801-1880). Cristalógrafo inglês que publicou, em 1839, um “Treatise on Crystallography” usando 
eixos cristalográficos de referência, paralelos às arestas do cristal, e índices inversos. 
coordenadas do ponto em que a direção sai da célula unitária cúbica são, então, ( 1, 1, 1
6). Os índices 
dessa direção são – após redução ao mesmo denominador – 6x, ( 1, 1, 1
6). ou [661]. 
1–
3
1–
2
1–
6
1–
2
(0, 0, 0)
Nova
origem
1–
31–
2
zz
yy
xx
(a) (b)
Figura e3.5
exeMplo
3.6
Tutorial
Capítulo 3  Estrutura Cristalina e Amorfa nos Materiais 71
definidos como os inversos das interseções fracionárias (com as frações reduzidas ao mesmo denomi-
nador) que o plano faz com os eixos cristalográficos x, y e z coincidentes com três arestas não paralelas 
da célula unitária cúbica. As arestas da célula unitária representam comprimentos unitários; e as inter-
seções do plano são medidas justamente em termos destes comprimentos unitários. 
O procedimento para determinar os índices de Miller de um plano num cristal cúbico é o seguinte: 
1. Escolher um plano que não passe pela origem (0,0,0). 
2. Determinar as interseções do plano com os eixos cristalográficos x, y e z do cubo unitário. Estas 
interseções podem ser números fracionários. 
3. Obter os inversos destas interseções. 
4. Reduzir as frações ao mesmo denominador e determinar o menor conjunto de números inteiros 
que estejam na mesma proporção das interseções. Estes números inteiros são os índices de Miller 
do plano cristalográfico e são colocados entre parênteses, sem vírgulas entre eles. Genericamen-
te, num cristal cúbico, usa-se a notação (hkl) para indicar índices de Miller, sendo h, k e l os 
índices de Miller de um plano, referentes aos eixos x, y e z, respectivamente. 
Na Figura 3.11, estão representados três dos mais importantes planos cristalográficos em estrutu-
ras cristalinas cúbicas. Consideremos, em primeiro lugar, o plano cristalográfico sombreado da Figura 
3.11a, que intercepta os eixos x, y e z, às distâncias 1, ∞, ∞, respectivamente. Para obter os índices de 
Miller, parte-se dos inversos destas interseções, que são 1, 0, 0. Já que esses números não são fracioná-
rios, os índices de Miller desse plano são (100), lendo-se “plano um-zero-zero”. Consideremos, segui-
damente, o segundo plano representado na Figura 3.11b. As interseções desse plano são 1, 1, ∞. Uma 
vez que os inversos desses números são 1, 1, 0, que são números não fracionários, os índices de Miller 
desse plano são (110). Finalmente, as interseções do terceiro plano (Figura 3.11c) são 1, 1, 1, obtendo-se 
para os índices de Miller (111). 
Consideremos agora, num cristal cúbico, o plano representado na Figura 3.12, 
que tem as interseções 13, 
2
3, 1. Os inversos destas interseções são 3, 32, 1. Dado que 
não são permitidas interseções fracionárias, estas terão de ser multiplicadas por 2, 
de modo a eliminar a fração 3
2. Por isso, os inversos das interseções passam a ser 
6, 3, 2, e os índices de Miller são (632). No Exemplo 3.7, são indicados outros 
exemplos de planos em cristais cúbicos. 
Se o plano cristalográfico considerado passar pela origem, fazendo com que 
uma ou mais interseções sejam zero, o plano terá de ser deslocado para uma posi-
ção equivalente, dentro da célula unitária, mantendo-se paralelo ao plano inicial. 
Isso é possível porque todos os planos paralelos, de igual espaçamento, têm os 
mesmos índices de Miller. 
(632)
O
y
z
x
1
3
2
3
Figura 3.12
Plano (632) em um cristal cúbico que 
tem interseções fracionárias.
x
z
x
z
x
z
(100)
(a)
(110)
(b)
(111)
(c)
yyy
Figura 3.11
Índices de Miller de alguns planos importantes em cristais cúbicos (a) (100), (b) (110) e (c) (111).
Tutorial
Tutorial
MatVis
72 Fundamentos de Engenharia e Ciência dos Materiais
Desenhe os seguintes planos cristalográficos de células unitárias cúbicas: 
a. (101) b. (110) c. (221) 
d. Em uma célula unitária CCC, desenhe o plano (110) e indique as coordenadas de posição dos átomos cujos 
centros são interceptados por este plano. 
� Solução
x
z
yy
z
x
y
z
x
z
x
(101)
O
(a)
O
(221)
1
2
1
2
(c)
O
(11̄0)
Notar a 
nova origem
(b)
(d )
y
O
(110)
Figura e3.7
Vários planos cristalinos 
cúbicos importantes.
a. Em primeiro lugar, determinam-se os inversos dos índices de Miller do plano (101). Obtém-se 1, ∞, 1. O 
plano (101) tem de interceptar os eixos do cubo unitário às distâncias x = 1 e z = 1 e ser paralelo ao eixo y 
(Figura E3.7a). 
b. Em primeiro lugar, determinam-se os inversos dos índices de Miller do plano (110). Obtém-se 1, 21, ∞. O pla-
no (110) tem de interceptar os eixos do cubo unitário às distâncias x = 1 e y = 21 e ser paralelo ao eixo z. 
Note que a origem dos eixos tem de ser deslocada para o vértice inferior direito da face posterior do cubo 
(Figura E3.7b).
c. Em primeiro lugar, determinam-se os inversos dos índices de Miller do plano (221). Obtém-se 1
2, 
1
2,1 . O 
plano (221) tem de interceptar os eixos do cubo unitário às distâncias y 1
2,x 1
2, e z = 1 (Figura E3.7c).
d. As coordenadas dos átomos cujos centros são interceptados pelo plano (110) são (1,0,0), (0,1,0), (1,0,1), 
(0,1,1) e (1
2, 12, 12). Estas posições estão indicadas pelos círculos em destaque (Figura E3.7d).
Se conjuntos de planos cristalográficos equivalentes estiverem relacionados pela simetria do sistema 
cristalográfico, serão designados por planos de uma família ou forma. Para representar uma família de 
planos simétricos, isto é, de uma mesma família, os índices de um dos planos são colocados entre cha-
ves, {h k l}. Por exemplo, os índices de Miller dos planos (100), (010) e (001), correspondentes às faces 
do cubo, são representados coletivamente como uma família ou forma pela notação {100}. 
Uma relação importante no sistema cúbico, e apenas no sistema cúbico, é que os índices de uma 
direção perpendicular a um plano cristalográfico são iguais aos índices de Miller desse mesmo plano. 
Por exemplo,a direção [100] é perpendicular ao plano cristalográfico (100). 
Nas estruturas cristalinas cúbicas, a distância interplanar de dois planos paralelos sucessivos, com 
os mesmos índices de Miller, designa-se por dhkl, em que h, k e l são os índices de Miller dos planos. 
exeMplo
3.7
MatVis
Capítulo 3  Estrutura Cristalina e Amorfa nos Materiais 73
Determine os índices de Miller do plano cristalográfico da célula cúbica representada na Figura E3.8a. 
� Solução
Em primeiro lugar, transfere-se o plano para a direita, ao longo do eixo y e paralelamente ao eixo z, de uma dis-
tância igual a 1
4
 do comprimento da aresta do cubo, conforme a Figura E3.8b, de modo que o plano intercepte 
o eixo x à distância unitária, medida a partir da nova origem localizada no vértice inferior direito da face pos-
terior do cubo. As novas interseções do plano que foi transferido, com os eixos coordenados, são ( 1, 5
12, q). 
Em seguida, tomamos os inversos destas interseções, obtendo-se (1, 12
5 , 0). Finalmente, após a eliminação da 
fração 12
5 , obtemos (5120) como índices de Miller desse plano.
Nova
origem
1
3
2 52
3
1
4
5
12 z
y
z
y
xx
3
4
(a) (b)
Figura e3.8
Num cristal cúbico, determine os índices de Miller do plano que passa pelos pontos das coordenadas 
(1, 14, 0), (1, 1, 12), (3
4, 1, 14), e que intercepta todos os eixos coordenados. 
Este espaçamento representa a distância entre o plano que passa 
pela origem e o plano paralelo, com os mesmos índices, mais 
próximo do primeiro. Por exemplo, a distância, d110, entre os 
planos 1 e 2 de índices (110) representados na Figura 3.13 é 
AB. De igual modo, a distância entre os planos 2 e 3 de índices 
(110) é d110 igual ao comprimento BC na Figura 3.13. Por simples 
geometria, pode-se mostrar que nas estruturas cristalinas cúbicas 
 dhkl
a
2h2 k 2 l 2
 (3.4)
onde: dhkl = distância interplanar entre dois planos de índices 
de Miller h, k e l, sucessivos 
 a = parâmetro de rede (comprimento da aresta do 
cubo unitário) 
 h, k, l = índices de Miller dos planos considerados. 
d110
d110
a
A
B
O
C
a
x
y
(110) plano 1
(110) plano 2
(110) plano 3
Figura 3.13
Vista de cima de uma célula unitária cúbica, mostrando a 
distância entre planos cristalográficos (110), d110.
� Solução
O primeiro passo é localizar os três pontos representados na Figura E3.9 por A, B e C. Em seguida, unimos os 
pontos A e B, prolongamos AB até D e unimos os pontos A e C. Finalmente, unimos os pontos A e C de modo 
a completar o plano ACD. Em relação a este plano, a origem pode ser colocada no ponto E, obtendo-se para as 
exeMplo
3.8
exeMplo
3.9
74 Fundamentos de Engenharia e Ciência dos Materiais
O cobre tem estrutura cristalina CFC, sendo o parâmetro de rede 0,361 nm. Qual é a distância interplanar d220? 
� Solução 
 dhkl
a
2h2 k 2 l2
0,361 nm
2122 2 122 2 102 2
0,128 nm 
interseções do plano ACD com os eixos os valores x 1
2, y 3
4, e z 1
2. Os inversos dessas interseções 
são 2, 4
3, e 2. Multiplicando esses valores por 3, de modo a eliminar a fração, obtém-se para índices de 
Miller do plano (6). 
z
y
D
A
B
C E (origem para o plano)
Origem
das
coordenadas
x
1
21, 1, 
1
2   , 1, 0
1, , 01
4
1
4 , 1, 3
4
Figura e3.9 
3.7 PlAnOs e diReções cRistAlOgRÁFicAs em célulAs 
unitÁRiAs hexAgOnAis 
3.7.1 índices de planos cristalográficos em células unitárias hc 
Em células unitárias HC, os planos cristalográficos são geralmente identificados utilizando-se quatro ín-
dices ao invés de três. Em cristais HC, os índices de um plano, designados por índices de Miller-Bravais, 
são indicados pelas letras h, k, i e l colocadas entre parênteses (hkil). Em uma célula unitária hexagonal, 
esses índices com quatro inteiros estão relacionados a um sistema com qua-
tro eixos coordenados, conforme consta na Figura 3.14. Existem três eixos 
na base da célula, a1, a2 e a3, que fazem entre si ângulos de 120°. O quarto 
eixo, ou eixo c, é o chamado eixo vertical localizado no centro da célula 
unitária. A unidade a de medida ao longo dos eixos a1, a2 e a3 é a distância 
interatômica ao longo destes eixos e está indicada na Figura 3.14. Na dis-
cussão de planos e direções HC, nós usaremos tanto “célula unitária” como 
“célula grande” para a preservação dos conceitos. A unidade de medida ao 
longo do eixo c é a altura da célula unitária. Os inversos das interseções do 
plano cristalográfico com os eixos a1, a2 e a3 dão os índices h, k e l, enquan-
to o inverso da interseção com o eixo c dá o índice l.
Planos basais Os planos basais da célula unitária HC são muito impor-
tantes e estão representados na Figura 3.15a. Já que o plano basal superior 
da célula unitária HC da Figura 3.15a é paralelo aos eixos a1, a2 e a3, a 
interseção desse plano com qualquer um desses eixos será infinita. Portanto, 
a1 = ∞, a2 = ∞ e a3 = ∞. Contudo, a interseção com o eixo c é unitária, já que 
c
2c
a
1a2
1a3
1a1
2a2
2a3
2a1
1c
Figura 3.14
Os quatro eixos coordenados (a1, a2, a3 e c) em 
uma célula unitária da estrutura cristalina HC.
exeMplo
3.10
Capítulo 3  Estrutura Cristalina e Amorfa nos Materiais 75
o plano basal superior intercepta o eixo c a uma distância unitária. Tomando os inversos destas interse-
ções, obtêm-se os índices de Miller-Bravais dos planos basais da estrutura HC. Então h = 0, k = 0, i = 0 e 
l = 1. Os planos basais da estrutura HC são, por isso, os “planos zero-zero-zero-um”, ou (0001). 
Planos prismáticos Usando o mesmo método, as interseções do plano frontal (ABCD) do prisma da 
Figura 3.15b são a1 = 1 1, a2 = ∞, a3 = 21 e c = ∞. Tomando os inversos dessas interseções, obtém-se 
h = 1, k = 0, i = 21 e 1 = 0, ou seja, o plano (1010). De igual modo, o plano ABEF do prisma da 
Figura 3.15b tem os índices (1100); e o plano DCGH, os índices (0110). Os planos prismáticos da es-
trutura HC podem ser identificados coletivamente pela família de planos 510106. 
Na estrutura HC, os planos são, por vezes, identificados apenas por três índices (hkl) já que h 1 k = 2i. 
Contudo, os índices (hkil) são usados mais frequentemente, porque mostram a simetria hexagonal da 
célula unitária HC. 
3.7.2 índices de direções em células unitárias hc5
Nas células unitárias hexagonais, as direções são também geralmente indicadas por quatro índices u, v, 
t e w, colocados entre colchetes [uvtw]. Os índices u, v e t são vetores da rede segundo as direções a1, a2 
e a3, respectivamente (Figura 3.16), e o índice w é um vetor de rede segundo a direção c. Para manter 
uniformidade entre índices de planos e de direções em redes hexagonais, convencionou-se que, também 
no caso das direções, u + v = 2t.
Vamos determinar os índices hexagonais para as direções a1, a2 e a3, que são os eixos basais da célu-
la unitária hexagonal. Os índices na direção a1 são apresentados na Figura 3.16a, os índices na direção 
a2 na Figura 3.16 b, e os eixos na direção a3 na Figura 3.16c. Se for necessário indicar a direção c na 
mesma direção de a3, conforme a Figura 3.16d. A Figura 3.16e resume as direções positivas e negativas 
sobre o plano basal de uma estrutura hexagonal simples.
3.8 cOmPARAçãO entRe As estRutuRAs cRistAlinAs cFc, 
hc e ccc
3.8.1 estruturas cristalinas cFc e hc
Conforme dito anteriormente, quer a estrutura HC, quer a estrutura CFC, são cristalinas compactas. 
Isto é, os átomos, que, em primeira aproximação, são considerados “esferas”, estão dispostos o mais 
5O tópico dos índices de direção em células unitárias hexagonais não é normalmente apresentado em um curso introdutório 
de materiais, no entanto foi incluído neste livro para estudantes avançados.
(b)
c
E
B C
F
A
D
H
G
a3
2a2 a2
a1
2a3
2a1
Interseção
é 21
Interseção
é 21
Interseção
é 11
Interseção
é 11
(011̄0)
(11̄00)
(101̄0)
(a)
c
a3
2a2 a2
a1
2a3
2a1
(0001)
Figura 3.15
Índices de Miller-Bravais de planos cristalográficos em uma rede de planos cristalográficos em uma rede hexagonal: (a) 
planos basais e (b) planos prismáticos.MatVis
76 Fundamentos de Engenharia e Ciência dos Materiais
próximo possível uns dos outros com um fator de empacotamento atômico provável6 de 0,74. Os planos 
(111) da estrutura cristalina CFC, representados na Figura 3.17a, têm um arranjo atômico idêntico ao 
dos planos (0001) da estrutura cristalina HC representada na Figura 3.17b.
Contudo, as estruturas cristalinas tridimensionais CFC e HC não são idênticas, porque existe uma dife-
rença no empilhamento dos planos atômicos, o qual pode ser melhor descrito considerando a organização 
de esferas rígidas, que representam os átomos. Como analogia útil, pode-se imaginar o empilhamento de 
planos constituídos por mármores iguais, uns sobre os outros, de modo a minimizar o espaço entre eles. 
Considere-se, em primeiro lugar, um plano atômico de máximo empacotamento, designado como 
plano A, conforme mostra a Figura 3.18a. É importante notar que existem dois tipos de espaços vazios, 
ou interstícios, entre os átomos. Os interstícios apontando para o topo da página são designados por 
interstícios a, enquanto os interstícios apontando para o fundo da página são designados por interstí-
cios b. Um segundo plano atômico pode ser colocado sobre os interstícios a ou sobre os interstícios b, 
obtendo-se a mesma estrutura tridimensional. Coloquemos o plano B sobre os interstícios a, conforme 
mostra a Figura 3.18b. Agora, ao colocar um terceiro plano sobre o plano B, de modo a formar uma es-
trutura compacta, é possível formar duas estruturas compactas diferentes. Uma possibilidade é colocar 
os átomos do terceiro plano nos interstícios b do plano B. Neste caso, os átomos desse terceiro plano 
ficam diretamente sobre os átomos do plano A, e por isso, pode ser também denominado plano A (Figura 
3.18c). Se os planos de átomos subsequentes forem empilhados nessa mesma sequência, então a sequência 
obtida da estrutura tridimensional resultante será ABABAB. . . . Esta sequência conduz à estrutura cris-
talina HC (Figura 3.17b). 
6Conforme referido na Seção 3.3, na estrutura HC, os átomos desviam-se, em diferentes graus, do ideal. Em alguns metais HC, 
os átomos estão alongados segundo o eixo c e, em outros casos, estão comprimidos ao longo do eixo c (ver Tabela 3.4). 
2a1
1a3
2a2 a1
2a3
1a2
[1̄21̄0]
(b)
2a1
1a3
2a2 a1
2a3
1a2
[21̄1̄0]
(a)
2a1
1a3
2a2 a1
2a3
1a2
[1̄1̄20]
(c)
[1̄1̄21]
[1̄1̄20]
[1̄21̄0]
(d)
1a3
c
2a3
2a2 1a1
1a2
2a1
[21̄1̄0]
[1̄1̄20]
(e)
2a2
1a1
1a3
1a2
2a3
2a1
[1̄21̄0]
Figura 3.16
Índices de Miller-Bravais da estrutura cristalina hexagonal para as direções principais: (a) +a1 direção do eixo no plano basal, 
(b) +a2 direção do eixo no plano basal, (c) +a3 direção do eixo no plano basal e (d) direção do eixo e incorporação do eixo c. 
(e) direções positivas e negativas de Miller-Bravais são indicadas na estrutura cristalina hexagonal simples no plano basal 
superior.
Capítulo 3  Estrutura Cristalina e Amorfa nos Materiais 77
A segunda possibilidade de formar uma estrutura 
compacta é colocar o terceiro plano nos interstícios 
a do plano B (Figura 3.18d). Este terceiro plano é de-
nominado plano C, já que os seus átomos não ficam 
nem sobre os do plano B, nem sobre os do plano A. 
A sequência de empilhamento nessa estrutura com-
pacta é, por isso, ABCABCABC. . . e conduz à estrutu-
ra CFC representada na Figura 3.17a.
3.8.2 estrutura cristalina ccc
A estrutura CCC não é uma estrutura de empacota-
mento máximo e, por isso, não tem planos do tipo 
mais compacto possível, como os planos {111} da es-
trutura CFC e os planos {0001} da estrutura HC. Os 
planos de maior densidade na estrutura CCC perten-
cem à família {110}, da qual está representado na Fi-
gura 3.19b o plano (110). Contudo, na estrutura CCC, 
os átomos estão arranjados em direções de máximo 
empacotamento ao longo das diagonais do cubo, que 
são as direções 〈111〉. 
(111)
plano
(0001) plano
(a) (b)
Figura 3.17
Comparação da (a) estrutura cristalina CFC, mostrando os planos (111) 
de máximo empacotamento, com a (b) estrutura cristalina HC, mostrando 
os planos (0001) de máximo empacotamento. 
(W.G. Moffatt, G.W. Pearsall and J. Wulff, “The Structure and Properties of Materials”, vol. I: 
“Structure”, Wiley, 1964, p. 51.) 
3.9 cÁlculO de densidAdes, PlAnARes e lineARes em 
célulAs unitÁRiAs
3.9.1 densidade
Usando o modelo atômico de esferas rígidas para a célula unitária da estrutura cristalina de um metal e 
um valor para o raio atômico do metal, determinado por difração de raios X, pode se obter a densidade 
de um metal usando a equação 
Plano A
Plano B
Plano A
Plano A
Plano B
Plano C
(a) (b)
(c) (d)
Plano A
Plano B
Interstício a
Interstício b
Plano A
Interstício a
Interstício b
Figura 3.18
Formação das estruturas cristalinas HC e CFC, alterando o empilhamento dos planos atômicos de máximo empacotamento. 
(a) Plano A contendo interstícios dos tipos a e b entre os átomos, (b) o segundo plano B está localizado sobre os interstícios 
do tipo a do plano A, (c) terceiro plano: outro plano A é empilhado sobre os interstícios b do plano B, para formar a 
sequência de empilhamento da estrutura cristalina HC, (d) terceiro plano (alternativa): um plano C é organizado sobre os 
interstícios a do plano B, de modo a obter a sequência de empilhamento da estrutura cristalina CFC.
(Ander, P. Sonnessa, A.J., Principles of Chemistry, 1. ed., 1965. Reimpresso com permissão de Pearson Education, Inc., Upper Sadle River, NJ.) 
Animação
78 Fundamentos de Engenharia e Ciência dos Materiais
 Densidade do metal ry
massa/célula unitária
volume/célula unitária
 (3.5)
No Exemplo 3.11, obteve-se para a densidade do cobre o valor 8,98 Mg/m3 (8,98 g/cm3). O valor 
experimental tabelado para a densidade do cobre é 8,96 Mg/m3 (8,96 g/cm3). O valor ligeiramente 
mais baixo da densidade experimental pode ser atribuído à ausência de átomos em algumas posições 
atômicas (lacunas), a defeitos lineares e à desordem dos átomos nos contornos de grão (fronteiras entre 
grãos). Esses defeitos cristalinos serão abordados no Capítulo 4. Outra causa dessa discrepância pode 
ser atribuída ao fato de os átomos não serem esferas perfeitas. 
a
√2
–
a
[11̄1] [1̄11]
(100)
Plano
(110)
Plano
(a) (b)
Figura 3.19
Estrutura cristalina CCC mostrando (a) o plano (100) e (b) uma seção do plano (110). Note-se que esta não é uma estrutura 
de máximo empacotamento, mas que as diagonais são direções de máximo empacotamento. 
(W.G. Moffatt, G.W. Pearsall and J. Wulff, “The Structure and Properties of Materials”, vol. I: “Structure”, Wiley, 1964, p. 51.)
O cobre tem estrutura cristalina CFC e raio atômico 0,1278 nm. Considerando que os átomos são esferas 
rígidas que se tocam ao longo das diagonais das faces da célula unitária CFC, como se mostra na Figura 3.7, 
calcule o valor teórico da densidade do cobre, em megagramas por metro cúbico. A massa atômica do cobre 
é 63,54 g/mol. 
� Solução 
Na célula unitária CFC, 12a 4R, em que a é o parâmetro de rede da célula unitária e R o raio atômico do 
cobre. Assim, 
 
Densidade do cobre ry
massa/célula unitária
volume/célula unitária
a
4R
12
142 10,1278 nm2
12
0,361 nm
 (3.5)
Na célula unitária CFC, existem quatro átomos/célula unitária. Cada átomo de cobre tem a massa de (63,54 g/mol)/
(6,02  1023 átomos/mol). Assim, a massa m dos átomos de Cu na célula unitária CFC é:
 m
14 átomos2 163,54 g/mol2
6,02 1023 átomos/mol
a
10 6 Mg
g
b 4,22 10 28 Mg 
O volume V da célula unitária de Cu é:
 V a3 a0,361 nm
10 9 m
nm
b
3
4,70 10 29 m3 
exeMplo
3.11
Capítulo 3  Estrutura Cristalina e Amorfa nos Materiais 79
Então, a densidade do cobre é:
 
ry
m
V
4,22 10 28 Mg
4,70 10 29 m3 8,98 Mg/m3 18,98 g/cm32 
 
3.9.2 densidade atômica planar 
Por vezes, é importante determinar as densidades atômicas de alguns planos cristalográficos. Para tanto, 
calcula-se a quantidade por meio da densidade atômica planar usando a relação
 
no efetivo de átomos cujos centros
são interceptadospela área selecionada
Densidade atômica planar rp
 
área selecionada
 (3.6)
Para fins didáticos, é costume usar, nestes cálcu-
los, a área do plano que intercepta a célula uni-
tária, como se exemplifica na Figura 3.20 para o 
plano (110) da célula unitária CCC. Nesses cál-
culos, para que a área de um átomo seja consi-
derada, o plano de interesse terá de interceptar o 
centro do átomo. No Exemplo 3.12, o plano (110) 
intercepta o centro de cinco átomos, mas conta-se 
apenas o equivalente a dois átomos (número efi-
caz, já que apenas um quarto de cada um dos qua-
tro átomos dos vértices fica contido na área da 
célula unitária). 
z
x
y
aa (110)
(a) (b)
2a
2a
1
1
Figura 3.20
(a) célula unitária CCC com as posições atômicas, indicando-se pelo 
sombreado o plano (110); (b) áreas dos átomos cortados pelo plano (110) 
em uma célula unitária.
Calcule a densidade atômica planar rp em átomos/mm2 no plano (110) do ferro-a, cuja rede é CCC. O parâ-
metro de rede do ferro-a é 0,287 nm.
� Solução
 rp
no efetivo de átomos cujos centros são interceptados pela área selecionada
área selecionada
 (3.6)
O número eficaz de átomos interceptados pelo plano (110), em termos da área interior à célula unitária CCC, 
que está representado na Figura 3.22 é:
 1 átomo no centro 4 1
4 átomos nos quatros vértices do plano 2 átomos 
A área do plano (110) interior à célula unitária (área selecionada) é
 112a2 1a2 12a2
 
exeMplo
3.12
80 Fundamentos de Engenharia e Ciência dos Materiais
Calcule a densidade atômica linear rl na direção [110] da rede cristalina do cobre, em átomos/mm. O cobre é 
CFC e o parâmetro de rede é 0,361 nm. 
� Solução
Os átomos cujos centros são interceptados pela direção [110] estão indicados na Figura E3.23. Selecionemos 
como comprimento de referência, o da diagonal da face da célula unitária CFC, que é 12a. O número de diâ-
metros atômicos interceptados por este comprimento de referência é 12 1 1
2 2 átomos. Assim, usando a 
Equação (3.7), a densidade atômica linear é: 
 3,92 106 átomos/mm 
3,92 átomos
nm
106 nm
mm
 rl
2 átomos
12a
2 átomos
1210,361 nm2
3,92 átomos
nm
 
z
o
y
a
[110]
Figura e3.13
Esquema para determinação 
da densidade atômica linear na 
direção [110], em uma célula 
unitária CFC.
3.9.3 densidade atômica linear 
Por vezes, é importante determinar as densidades atômicas em determinadas direções das estruturas 
cristalinas. Para isso, calcula-se a quantidade por meio da densidade atômica linear, usando a relação 
no de diâmetros atômicos interceptados por uma linha com
a direção considerada e com um determinado comprimento
Densidade atômica linear rl
 
comprimento da linha selecionada
 (3.7)
O Exemplo 3.13 mostra como se pode calcular a densidade atômica linear na direção [110] da rede 
cristalina do cobre puro.
Assim, a densidade atômica planar é
 
1,72 1013 átomos/mm2
17,2 átomos
nm2
1012 nm2
mm2
 rp
2 átomos
1210,287 nm22
17,2 átomos
nm2
 
exeMplo
3.13
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
Dica do Professor
Acompanhe no vídeo os conceitos fundamentais de estrutura cristalina e célula unitária.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/89c55c2e6c9ec75207cce662d1f9b93f
Exercícios
1) A 20°C, o ferro apresenta a estrutura cúbica de corpo centrado (CCC), sendo o raio atômico 
0,124 nm. Calcule o parâmetro de rede "a" da célula unitária do ferro e, de acordo com o 
conhecimento adquirido nesta Unidade de Aprendizagem, assinale a alternativa correta. 
A) 0,2864 nm.
B) 0,414 nm.
C) 0,612 nm.
D) 0,214 nm.
E) 0,515 nm.
2) Calcule o fator de empacotamento atômico de uma célula unitária CCC. Com base na 
resposta do seu cálculo, podemos afirmar que: 
A) Isso significa que 32% do volume da célula unitária CCC está ocupado pelos átomos; o 
restante é espaço vazio.
B) Isso significa que 68% do volume da célula unitária CCC está ocupado pelos átomos; o 
restante, 32%, é espaço vazio.
C) A estrutura cristalina CCC é uma estrutura muito compacta, já que os átomos estão dispostos 
muito próximos uns dos outros.
D) O fator de empacotamento é 0,74. Isso significa que 74% do volume da célula unitária CCC 
está ocupada pelos átomos; o restante é espaço vazio.
E) O fator de empacotamento atômico encontrado foi 0,74, e significa que os átomos estão mais 
compactos na estrutura CCC.
3) Com base em seu conhecimento a respeito das principais estruturas cristalinas dos metais, 
assinale a alternativa INCORRETA. 
A) A estrutura cristalina HC possui numero de coordenação 8, ou seja, nesta célula, vemos que o 
átomo central esta rodeado por 8 vizinhos mais próximos.
B) Em torno de 90% dos materiais metálicos se cristaliza ao se solidificar, em três estruturas 
cristalinas compactas principais.
C) A distância entre átomos nas estruturas cristalinas pode ser determinada experimentalmente 
por difração de raio X.
D) O FEA da estrutura HC é 0,74, igual ao que ocorre na estrutura CFC.
E) O número de coordenação da estrutura CFC é 12.
4) Com base no que aprendemos ao longo desta Unidade de Aprendizagem, indique a 
alternativa que informa corretamente a estrutura cristalina dos seguintes metais: 
molibdênio, tântalo, cromo, ouro, platina, zircônio e zinco. 
A) Todos os metais citados apresentam estrutura CFC.
B) CCC, HC, CFC, CFC, CCC, CCC e HC.
C) HC, HC, HC, HC, CCC, CFC e HC.
D) CCC, CCC, CCC, CFC, CFC, HC e HC.
E) HC, CCC, CFC, CFC, HC, HC e CCC.
5) Utilizando o que aprendemos a respeito de materiais amorfos, assinale a alternativa 
incorreta. 
A) Os materiais amorfos não possuem padrões de difração acentuados.
B) O cloreto de polivinil é um exemplo de material amorfo.
C) No polímero conhecido como polietileno, podemos dizer que esse material possui estrutura 
semicristalina.
D) Os materiais amorfos possuem propriedades superiores; um exemplo dessa afirmação é a 
maior resistência dos vidros metálicos quando comparados com seus homólogos cristalinos.
E) Ligas de 78% Fe-9%Si-13%B possuem estrutura cristalina, quando solidificados rapidamente 
e com velocidade de resfriamento superior a 108oC/s.
Na prática
Saiba mais
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Ciência dos Materiais - Aula 03 - Sólidos cristalinos e amorfos
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Célula unitária CFC.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Difração de Raio X.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://www.youtube.com/embed/41pCrW3BZng
https://www.youtube.com/embed/FygrpuHoLH4
http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/fismod/mod05/m.html