ANÁLISE COMBINATÓRIA INSPER

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ANÁLISE COMBINATÓRIA: 
Exercícios: 
1. (2020/1) Uma agência financeira dispõe de sócios localizados em várias cidades para 
orientar a administração da carteira de investimentos de seus clientes. Os sócios 
possuem determinada raio de atuação e, a partir dessa informação, a empresa elenca 
os sócios disponíveis para atender seus novos clientes. Mariana, Paulo e Valdir são três 
dos sócios de que essa empresa dispõe. Para essa agência, cada cliente deve ser 
atendido por um único sócio, sendo que nenhum cliente deve ficar sem atendimento. 
Na última semana, 5 novos clientes (A, B, C, D e E) abriram contas nessa agência. 
 
O esquema indica qual cliente está na área de atuação de cada um desses três sócios. 
De quantas maneiras a distribuição da carteira de investimentos desses cinco novos 
clientes pode ser feita, de modo que esses três sócios fiquem com o atendimento de 
pelo menos um novo cliente? 
a) 14 
b) 12 
c) 15 
d) 13 
e) 16 
 
2. (2019/2) Na figura, M, E e H indicam, respectivamente, o mercado municipal, a escola 
pública e o hospital geral de uma cidade. As linhas da malha quadriculada indicam as 
únicas ruas da cidade, sendo todas de mão dupla. Há na cidade um projeto de 
construção de um rodoanel conectando M, E e H por uma autopista em forma de 
circunferência, como mostra a linha tracejada 
 
 
 
 
 
 
 
Com a atual configuração de ruas da cidade, de quantas formas diferentes é possível ir, 
pelo menor caminho possível, do mercado para o hospital, passando antes pela escola? 
a) 168. 
b) 224. 
c) 620. 
d) 432. 
e) 540. 
3. (2019/1) Uma agência de publicidade, especializada em e-commerce, fez um 
levantamento de novos microempreendedores da região em que atua, de modo a 
buscar desenvolver novos clientes. O esquema a seguir mostra a distribuição do tipo de 
venda adotado por esses novos microempreendedores: 
 
Essa agência irá escolher dois desses microempreendedores, que trabalham com e-
commerce e com vendas físicas, para um atendimento cortesia, visando ao 
desenvolvimento de novas estratégias de venda. O número de diferentes possibilidades 
de escolha desses dois microempreendedores é: 
a) 3240. 
b) 741. 
c) 174. 
d) 1482. 
e) 990. 
 
4. (2018/2) Uma pesquisa de mercado será feita com 10 casais. Inicialmente serão 
selecionadas 6 pessoas para compor um grupo, sendo que não é permitido que haja, 
nesse grupo, um casal qualquer dentre os 10. O total de maneiras diferentes de formar 
esse grupo é igual a: 
 
 
Leia o texto para responder as questões 5 e 6: 
 
LOTOGOL é um jogo de loteria em que o apostador marca seu palpite de placar em 5 
jogos de futebol de uma rodada. Ganha premiação aquele que acertar 3,4 ou 5 dos 
palpites. Estas são as instruções do jogo: 
 
Como jogar: 
 
Acerte a quantidade de gols feitos pelos times de futebol na rodada e concorra a uma 
bolada. Para apostar, basta marcar no volante o número de gols de cada time de futebol 
participante dos 5 jogos do concurso. Você pode assinalar 0,1,2,3 ou mais gols (está 
opção está representada pelo sinal +). Os clubes participantes estão impressos nos 
bilhetes emitidos pelo terminal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. (2018/1) O número total de diferentes apostas que podem ser feitas no LOTOGOL é igual 
a: 
 
6. (2018/1) Laura acredita que, nos 5 jogos da rodada, serão marcados um total de 4 gols. 
Além disso, ela também acredita que em apenas um dos jogos o placar será zero a zero. 
O número de apostas diferentes que Laura poderá fazer, seguindo sua crença, é: 
a) 64 
b) 96 
c) 80 
d) 84 
e) 75 
 
7. (2018/1) Alice, Bia, Cris, Dedé e Elis realizam tarefas diferentes na sequência de 
fabricação de um produto. Sabe-se que: 
• a tarefa realizada por Cris deve ser feita depois que já tenha sido concluída a tarefa 
realizada por Bia; 
• a tarefa realizada por Elis deve ser feita antes que já tenha sido concluída a tarefa 
realizada por Bia; 
• a tarefa realizada por Dedé deve ser feita depois que já tenha sido concluída a tarefa 
realizada por Alice; 
• a tarefa realizada por Bia deve ser feita antes que já tenha sido concluída a tarefa 
realizada por Dedé. 
Considerando-se apenas essas pessoas, tarefas e condições, o total de ordenações: 
a) 4. 
b) 8. 
c) 7. 
d) 5. 
e) 6. 
8. (2017/1) Muitas empresas utilizam senhas para que apenas o funcionário autorizado 
tenha acesso ao sistema informatizado. Em uma determinada empresa, o sistema atual 
exige que a senha tenha as seguintes características: 
4 letras seguidas de 2 algarismos, sendo que o sistema reconhece 
• 26 letras minúsculas e; 
• 10 algarismos. 
Além disso, o sistema permite repetição, tanto de letras quanto de algarismos. 
Essa empresa estuda implementar um novo sistema que exigirá um novo formato de 
senha: 
4 letras seguidas de 1 caractere especial e 2 algarismos, sendo que o sistema reconhece 
• 26 letras maiúsculas e minúsculas; 
• 10 caracteres especiais e; 
• 10 algarismos. 
Além disso, o sistema permite repetição, tanto de letras quanto de algarismos. 
Ao analisar o número de senhas possíveis para o novo sistema, pode-se afirmar que, em 
relação ao número de senhas do sistema atual, tem-se um número: 
a) 20 vezes maior. 
b) 80 vezes maior. 
c) 520 vezes maior. 
d) 160 vezes maior. 
e) 10 vezes maior. 
 
9. (2016/2) O número de pares ordenados (x, y) tais que x e y pertençam ao conjunto {1, 
3, 5, 7, ..., 1999}, com x > y, é igual a: 
a) 999000 
b) 499450 
c) 499500 
d) 249750 
e) 249724 
Texto para questões 11 e 12: 
Em um programa de televisão que revela novos talentos para a música, cada candidato 
faz uma breve apresentação para os 4 jurados que, inicialmente, ficam de costas, apenas 
ouvindo. Durante a apresentação, todos os jurados que gostarem da voz daquele 
candidato viram-se para ele. Se pelo menos um jurado se virar, o candidato é 
selecionado. 
10. (2016/1) Considerando a informação sublinhada no texto inicial, uma afirmação 
necessariamente verdadeira sobre esse programa é: 
a) se o candidato não foi selecionado, pelo menos um jurado não se virou para ele. 
b) se o candidato não foi selecionado, nenhum jurado se virou para ele. 
c) se pelo menos um dos jurados não se virar, o candidato não é selecionado. 
d) um jurado não se vira se, e somente se, o candidato não é selecionado. 
e) o candidato é selecionado se, e somente se, todos os jurados se virarem. 
 
11. (2016/1) Em certa edição do programa, n candidatos tiveram pelo menos um dos 4 
jurados se virando durante sua apresentação. O conjunto de todos os jurados que se 
viraram, porém, nunca foi o mesmo para dois quaisquer desses n candidatos. Dessa 
forma, n pode valer, no máximo, 
a) 4. 
b) 6. 
c) 12. 
d) 15. 
e) 24. 
 
12. (2016/1) Uma urna contém 20 fichas, numeradas de 1 a 20. O menor número de fichas 
que devemos retirar dessa urna para termos certeza de que três das fichas retiradas 
estejam marcadas com três números consecutivos é igual a: 
a) 11 
b) 14 
c) 15 
d) 16 
e) 18 
 
13. (2015/2) Um jogo disputado por três pessoas (A, B e C) é composto de várias rodadas. 
Cada rodada tem sempre um único ganhador. Quando um jogador ganha três rodadas 
consecutivas ou cinco rodadas no total, é declarado o vencedor do jogo. Se o jogador A 
foi declarado o vencedor do jogo ao final da 6° rodada, então o ganhador da 3° rodada. 
a) não pode ter sido o jogador A. 
b) certamente foi o jogador A. 
c) certamente foi o jogador B. 
d) certamente foi o jogador C. 
e) pode ter sido qualquer um dos três jogadores. 
 
14. (2015/2) O painel abaixo, formado por nove quadrados, é utilizado em um jogo em que 
o participante, em cada jogada, aciona um botão, fazendo com que os quadrados 
comecem a piscar até que somente a luz de um deles fique acesa. Então, o participante 
ganha a pontuação marcada no quadrado aceso. 
 
Um participante desse jogo, ao final de n jogadas, ganhou um total de 70 pontos. Nessas 
condições, n vale nomínimo: 
a) 2. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 10 
 
15. (2015/2) Ao criar sua conta em um portal da internet, um usuário precisa escolher uma 
senha de 3 caracteres de acordo com as seguintes condições: 
• Deve conter pelo menos uma das 26 letras maiúsculas. 
• Deve conter pelo menos uma das 26 letras minúsculas; 
• Deve conter pelo menos um dos algarismos de 0 a 9. 
• Não podem ser utilizados outros caracteres. 
Para aumentar a segurança dos usuários, o portal decidiu aumentar a quantidade de 
caracteres da senha de 3 para 4, satisfazendo às mesmas condições acima. Se N era a 
quantidade de senhas possíveis com 3 caracteres, com a nova regra, a quantidade de 
senhas será igual a 
a) 26N 
b) 62N 
c) 124N 
d) 184N 
e) 242N 
 
16. (2014/1) Em um jogo, cada participante recebe 12 fichas coloridas, devendo dividi-las 
em quatro grupos de três fichas cada, de modo a tentar obter a máxima pontuação 
possível. Cada trio de fichas formado é pontuado da seguinte maneira: 
• três fichas da mesma cor→ 8 pontos; 
• duas fichas de uma mesma cor e uma ficha de cor diferente→ 6 pontos; 
• três fichas de cores diferentes → 1 ponto. 
Se um participante recebeu 4 fichas verdes, 4 amarelas, 2 brancas, 1 preta e 1 marrom, 
então a máxima pontuação que ele poderá obter é: 
a) 23. 
b) 24. 
c) 25. 
d) 26. 
e) 27. 
 
17. (2014/1) Um dirigente sugeriu a criação de um torneio de futebol chamado Copa dos 
Campeões, disputado apenas pelos oito países que já foram campeões mundiais: os três 
sul-americanos (Uruguai, Brasil e Argentina) e os cinco europeus (Itália, Alemanha, 
Inglaterra, França e Espanha). As oito seleções seriam divididas em dois grupos de 
quatro, sendo os jogos do grupo A disputados no Rio de Janeiro e os do grupo B em São 
Paulo. Considerando os integrantes de cada grupo e as cidades onde serão realizados os 
jogos, o número de maneiras diferentes de dividir as oito seleções de modo que as três 
sul-americanas não fiquem no mesmo grupo é: 
a) 140. 
b) 120. 
c) 70. 
d) 60. 
e) 40. 
 
18. (2015) Certa comunidade mística considera 2015 um ano de sorte. Para tal comunidade, 
um ano é considerado de sorte se, e somente se, é formado por 4 algarismos distintos, 
sendo 2 pares e 2 ímpares. No período que vai do ano 1000 até o ano 9999, o número 
total de anos de sorte é igual a: 
a) 1680. 
b) 1840. 
c) 1920. 
d) 2160. 
e) 2400. 
19. (2012/2) Em cada ingresso vendido para um show de música, é impresso o número da 
mesa onde o comprador deverá se sentar. Cada mesa possui seis lugares, dispostos 
conforme o esquema a seguir: 
 
O lugar da mesa em que cada comprador se sentará não vem especificado no ingresso, 
devendo os seis ocupantes entrar em acordo. Os ingressos para uma dessas mesas 
foram adquiridos por um casal de namorados e quatro membros de uma mesma família. 
Eles acordaram que os namorados poderiam sentar - se um ao lado do outro. Nessas 
condições, o número de maneiras distintas em que as seis pessoas poderão ocupar os 
lugares da mesa é: 
a) 96. 
b) 120. 
c) 192. 
d) 384. 
e) 720. 
 
20. (2014) Em um jogo de azar, são sorteados 5 números, sem reposição, dentre os 
algarismos de 1 a 9. Esses 5 números são, então, escondidos, de modo que os 
participantes não os vejam. Cada participante escolhe de um a cinco números 
distintos dentre os algarismos de 1 a 9 e os anota em um papel, 
anotando também o valor que deseja apostar. Os números sorteados são 
revelados e, então, vencem as apostas apenas os jogadores que acertarem todos 
os números anotados. Se mais de um jogador vencer e esses vencedores tiverem 
apostado a mesma quantia, o prêmio é dividido de maneira 
inversamente proporcional á probabilidade de que cada aposta fosse vencedora. 
Numa determinada rodada, todos os jogadores apostaram em apenas 2 
números, todos eles venceram, e nenhum deles escolheu o mesmo par de 
números que outro jogador. A quantidade máxima possível de vencedores nessa 
rodada foi de 
a) 5. 
b) 8. 
c) 10. 
d) 16. 
e) 28. 
 
GABARITO: 
1) B 8) D 15) C 
2) D 9) C 16) D 
3) B 10) B 17) D 
4) A 11) D 18) D 
5) D 12) C 19) C 
6) C 13) A 20) C 
7) C 14) B 
DIFERENCIANDO OS MÉTODOS: 
 
PFC: 
• Usar quando o seu problema pode ser divido em etapas; 
• Para cada etapa atribuir um valor para ela. 
 
Exemplo: Desde 1999 houve uma significativa mudança nas placas dos carros particulares em 
todo o Brasil. As placas, que antes eram formadas apenas por seis caracteres alfanuméricos, 
foram acrescidas de uma letra, passando a ser formadas por sete caracteres, sendo que os três 
primeiros caracteres devem ser letras (dentre as 26 letras do alfabeto) e os quatro últimos 
devem ser algarismos (de 0 a 9). Essa mudança possibilitou a criação de um cadastro nacional 
unificado de todos os veículos licenciados e ainda aumentou significativamente a quantidade de 
combinações possíveis de placas. Não são utilizadas placas em que todos os algarismos sejam 
iguais a zero. Nessas condições, a quantidade de placas que podem ser utilizadas é igual a 
 
 
PERMUTAÇÃO (TROCA DE ELEMENTOS): 
• Usar quando a ordem importa; 
• Quando o número de lacunas é igual ao número de elementos. 
 
Exemplo: De quantos modos distintos seis homens e seis mulheres podem ser colocados em 
fila indiana: 
a) Em qualquer ordem? 
b) Iniciando com homem e terminando com mulher? 
c) Se os homens devem aparecer juntos, o mesmo ocorrendo com as mulheres? 
d) De modo que apareçam, do início para o final da fila, 2 homens, 2 mulheres, 3 
homens, 3 mulheres, 1 homem e 1 mulher? 
 
 
 
 
 
COMBINAÇÃO (FORMAR GRUPOS): 
• Usar quando a ordem não importar. 
 
Exemplo: Como não são adeptos da prática de esportes, um grupo de amigos resolveu 
fazer um torneio de futebol utilizando videogame. Decidiram que cada jogador joga uma 
única vez com cada um dos outros jogadores. O campeão será aquele que conseguir o 
maior número de pontos. Observaram que o número de partidas jogadas depende do 
número de jogadores, como mostra o quadro: 
 
Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas serão realizadas? 
a) 64 
b) 56 
c) 49 
d) 36 
e) 28 
 
ARRANJO: 
• Usar quando a ordem importa; 
• Quando o número de elementos for maior do que o número de lacunas, ou 
seja, nem todos os elementos serão usados. 
 
Exemplo: Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-
Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por 
exemplo: 1° lugar, Brasil; 2° lugar, Nigéria; 3° lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três 
países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir? 
a) 69 
b) 2024 
c) 9562 
d) 12144 
e) 13824