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Disciplina<strong>computação Quantica</strong>5 materiais27 seguidores
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TÓPICOS ESPECIAIS EM 
ENGENHARIA DA 
COMPUTAÇÃO 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Luciano Frontino de Medeiros 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Esta aula dá continuidade ao estudo da computação quântica, expandindo 
a compreensão para portas de mais de um q-bit, como a porta SWAP, a porta 
Toffoli e a porta Fredkin. Os circuitos quânticos são apresentados de maneira a 
mostrar como um circuito pode ser composto de várias portas, bem como o 
cálculo da evolução de um estado quântico. O tema da superposição e 
interferência é mostrado também, como preâmbulo para as operações que 
explorarão o paralelismo quântico. Por fim, é feita uma ponte com alguns 
conceitos da álgebra linear, relativos ao produto interno, ortogonalidade, 
ortonormalidade e produto externo, mostrando-se com exemplos uma forma 
mais prática de avaliar a evolução dos circuitos quânticos. 
TEMA 1 \u2013 PORTAS DE MAIS DE UM Q-BIT 
Anteriormente foram apresentadas as portas quântica de 1 q-bit e a porta 
CNOT, as quais constituem um conjunto universal para a computação quântica. 
Isso quer dizer que qualquer circuito quântico pode ser construído com base no 
uso dessas portas. Agora serão estudadas outras portas de mais de um q-bit. 
1.1 Porta SWAP 
Outra porta derivada da CNOT é a porta de troca ou circuito de troca 
(SWAP), cuja representação é mostrada no quadro 1. Combinando-se três 
portas CNOT, de acordo com a Figura 1, tem-se a porta de troca (SWAP), que 
faz, portanto, a troca dos estados quânticos entre dois q-bits. 
Quadro 1 \u2013 Operador de troca (SWAP) 
Símbolo Representação Operador |\uf079\uf0f1=|a\uf0f1|b\uf0f1 \uf0ae |b\uf0f1|a\uf0f1 
SWAP 
 
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
\uf0e9 \uf0f9
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0eb \uf0fb
 
|00 |00
|01 |10
|10 |01
|11 |11
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
 
 
A porta de troca é utilizada, por exemplo, nos circuitos para o cálculo da 
transformada quântica de Fourier. 
 
 
3 
Figura 1 \u2013 Circuito para a porta de troca 
 
Exemplo 1: aplique a porta de troca sobre o estado quântico de 2 q-bits 
|\u3c80\u27e9 = (e
i\u3c0 4\u2044 |01\u27e9 \u2212 |10\u27e9)/\u221a2. 
A amplitude do primeiro estado |01\u27e9 contém uma potência complexa. 
Expressando o estado como um vetor coluna: 
|\ud835\udf130\u27e9 = [
0
\ud835\udc52\ud835\udc56\ud835\udf0b 4\u2044
\u22121
0
] 
Será aplicado sobre este estado a porta SWAP, para produzir então um 
novo estado: 
|\ud835\udf131\u27e9 = \ud835\udc46\ud835\udc4a\ud835\udc34\ud835\udc4312|\ud835\udf130\u27e9 = [
1 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 1
] . [
0
\ud835\udc52\ud835\udc56\ud835\udf0b 4\u2044
\u22121
0
] = [
0
\u22121
\ud835\udc52\ud835\udc56\ud835\udf0b 4\u2044
0
] = \u2212|01\u27e9 + \ud835\udc52\ud835\udc56\ud835\udf0b 4\u2044 |10\u27e9 
Note que os coeficientes de cada estado foram trocados entre si. Além 
disso, foram utilizados subíndices para indicar quais q-bits estão sendo trocados. 
Como o circuito continha apenas dois q-bits, poderia ser suprimido. Porém, no 
caso de se utilizar circuitos maiores, é necessário fazer a indicação. 
1.2 Porta Toffoli 
Foi visto anteriormente que a porta CNOT possuía um q-bit de controle e 
um q-bit alvo. Ela pode ser modificada de forma a conter mais de um q-bit de 
controle, com o seu acionamento na dependência de combinações de q-bits. 
Quando ela opera sobre três q-bits, dois q-bits de controle e um q-bit de alvo, é 
denominada de porta Toffoli, levando esse nome devido ao seu criador, 
Tommaso Toffoli. Ela pode, inclusive, ser generalizada para mais q-bits de 
controle (Nielsen; Chuang, 2005). 
A porta Toffoli perfaz a operação de soma de módulo 2 do q-bit alvo com 
o produto dos q-bits de controle: \ud835\udc50 \u2295 \ud835\udc4e\ud835\udc4f. O produto \ud835\udc4e\ud835\udc4f indica que somente 
quando este resultado é 1, resultado que somente pode ser alcançado quando 
 
 
4 
\ud835\udc4e = \ud835\udc4f = 1, o valor de \ud835\udc50 será modificado; caso seja 0, o resultado da operação é 
1; caso seja 1, o resultado será 0. A porta Toffoli pode ser utilizada, por exemplo, 
para reproduzir o comportamento da porta lógica AND e o meio somador lógico 
(half adder). 
Note que a porta Toffoli, manipulando 3 q-bits, é representada por meio 
de uma matriz 8x8, semelhante à matriz identidade, porém modificada nas duas 
últimas colunas e linhas (quadro 2). 
Como a porta Toffoli pode ser utilizada em circuitos com 3 q-bits ou mais, 
convenciona-se representar com subíndices. O primeiro subíndice se refere ao 
q-bit alvo e o segundo e terceiro são os q-bits de controle. 
Quadro 2 \u2013 Porta Toffoli 
Símbolo Representação Operador 
|\uf079\uf0f1=|a\uf0f1|b\uf0f1|c\uf0f1 \uf0ae 
|a\uf0f1|b\uf0f1|c\uf0c5ab\uf0f1 
TOFFOLI 
 
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0
\uf0e9 \uf0f9
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa\uf0eb \uf0fb
 
|000 |000
|001 |001
|010 |010
|011 |011
|100 |100
|101 |101
|110 |111
|111 |110
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
 
 Exemplo 2: demonstre a tabela-verdade da porta lógica AND com a porta 
Toffoli. 
Analisando o quadro 2, pode-se notar que na última tabela, quando o q-
bit |\ud835\udc50\u27e9 é |0\u27e9, o operador \ud835\udc47\ud835\udc5c\ud835\udc53\ud835\udc53\ud835\udc5c\ud835\udc59\ud835\udc56(1)23 reproduz exatamente o comportamento da 
porta lógica AND. Dessa forma, podemos construir a tabela-verdade: 
|\ud835\udc4e\u27e9 |\ud835\udc4f\u27e9 |\ud835\udc4e \u2227 \ud835\udc4f\u27e9 = |0 \u2295 \ud835\udc4e\ud835\udc4f\u27e9 
|0\u27e9 |0\u27e9 |000\u27e9 
|0\u27e9 |1\u27e9 |010\u27e9 
|1\u27e9 |0\u27e9 |100\u27e9 
|1\u27e9 |1\u27e9 |111\u27e9 
 Assim, somente quando os dois q-bits assumirem o estado quântico |1\u27e9, 
o q-bit |\ud835\udc50\u27e9 será |1\u27e9. 
 
 
5 
1.3 Porta Fredkin 
Assim como a porta Toffoli, a porta Fredkin pode ser considerada como 
uma generalização da porta SWAP, e leva o nome do seu descobridor, Edward 
Fredkin. Uma porta Fredkin possui quatro q-bits: dois q-bits de controle e dois q-
bits alvo. A condição para acontecer a troca dos estados quânticos nos q-bits 
alvo é a de que os q-bits de controle assumam, simultaneamente, o estado 
quântico |1\u27e9. O quadro 3 mostra os detalhes da operação Fredkin. 
Quadro 3 \u2013 Porta Fredkin 
Símbolo 
Representaç
ão 
Operador 
|\uf079\uf0f1=|a\uf0f1|b\uf0f1|c\uf0f1|d\uf0f1 \uf0ae 
|a\uf0f1|b\uf0f1|d\uf0f1|c\uf0f1 
FREDKIN 
 
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
\uf0e9 \uf0f9
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0eb \uf0fb
 
|0000 |0000
|0001 |0001
|0010 |0010
|0011 |0011
|0100 |0100
|0101 |0101
|0110 |0110
|0111 |0111
|1000 |1000
|1001 |1001
|1010 |1010
|1011 |1011
|1100 |1100
| |
| |
|1111
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
1101 1110
1110 1101
|1111\uf0f1 \uf0ae \uf0f1
 
 Como convenção, será assumido que o operador Fredkin contenha 
subíndices. Os dois primeiros entre parênteses são os q-bits alvo, e os 
posteriores serão os q-bits de controle. Por exemplo, \ud835\udc39\ud835\udc45\ud835\udc38\ud835\udc37\ud835\udc3e\ud835\udc3c\ud835\udc41(12)34 indica que 
os q-bits 1 e 2 são os q-bits alvo, e os q-bits 3 e 4 são os q-bits de controle. Assim 
como as portas CNOT e Toffoli, a porta Fredkin também é reversível. 
 Exemplo 3: aplique a porta Fredkin, num estado quântico com 4 q-bits 
|\u3c80\u27e9 = (|0010\u27e9 + |0110\u27e9 + |1010\u27e9 + |1110\u27e9) 2\u2044 , tendo os q-bits alvo 1 e 2 e q-bits 
de controle 3 e 4. 
 
 
6 
Este estado quântico é uma superposição de quatro estados, normalizado 
com o fator 1 2\u2044 . Como são 4 q-bits, teremos 24 = 16 elementos no vetor coluna 
deste vetor: 
|\ud835\udf130\u27e9 =
1
2
(|0010\u27e9 + |0110\u27e9 + |1010\u27e9 + |\ud835\udfcf\ud835\udfcf\ud835\udfcf\ud835\udfce\u27e9) =
1
2
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a porta Fredkin sobre o estado, tem-se: 
|\ud835\udf131\u27e9 = \ud835\udc39\ud835\udc5f\ud835\udc52\ud835\udc51\ud835\udc58\ud835\udc56\ud835\udc5b(12)34|\ud835\udf130\u27e9 =
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
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0